Решение комбинаторных уравнений: Элементы комбинаторики. Сочетания. Решение уравнений

3.8. Решение комбинаторных уравнений

В комбинаторике тоже могут решаться уравнения, особенностью которых является то, что неизвестная принадлежит множеству натуральных чисел. Например, уравнения вида ,xN, где N – множество натуральных чисел или вида:

, xN (решите!).

При решении комбинаторных уравнений часто необходимо уметь выполнять действия с факториалами типа:

,

или:

.

Например, в задаче о сравнении пар записей в базе данных из n записей:

, – что и требовалось доказать.

В комбинаторике рассматриваются и другие типовые комбинаторные комбинации, например, разбиения n-элементного множества на k подмножеств, которые называются блоками разбиения. В информатике вычисления на конечных математических структурах часто называют комбинаторными вычислениями, и они требуют комбинаторного анализа для установления свойств и оценки применимости используемых алгоритмов. На рис. 11 приведен один из возможных вариантов классификации основных комбинаций.

Рис. 11. Основные комбинации

Комбинаторные задачи могут быть решены, например, системой компьютерной математики Matematica (3,4) фирмы Wolfram Research,Inc. – пакет расширения «Дискретная математика» (DiscreteMath) – комбинаторика и ее функции (Combinatorica, CombinatorialFunctions): функции перестановок и сочетаний и др.

4. Основные понятия теории графов

4.1. Способы задания графов

Совокупность множества М с заданным на нем бинарным отношением ТМ² [9] называется графом

G=<M,T>,

где М – носитель графа – множество вершин, изображаемых точками, Т – сигнатура графа – множество линий, обозначающих отношения и называемых ребрами.

Между элементами М и Т определено отношение инцидентности, т.е. связи между двумя элементами множества М через один элемент множества Т. Примеры графов: отношения отцовства и материнства на множестве людей, отношения подчиненности, карты дорог местности, электрические схемы соединений приборов и т.

д.

Рис. 12. Пример графа «звезда»

М={1,2,3,4,5},

Т={(1,3),(1,4),(2,4),(2,5),(3,1),(3,5),(4,2),(4,1),(5,3),(5,2}).

Множество линий-ребер в Т задается обозначением пары (i,j), где i,j – инцидентные вершины, отношение Т – «быть связанным».

Теорию графов начали разрабатывать для решения некоторых задач о геометрических конфигурациях, состоящих из точек и линий. В этих задачах несущественно, соединены ли точки конфигурации отрезками прямых или они криволинейны, какова длина линий и другие геометрические характеристики конфигурации. Важно лишь, что каждая линия соединяет какие-либо две из заданных точек [24].

Первые серьезные результаты теории графов связаны с решением задач построения электрических цепей (Г. Кирхгоф) и подсчета числа химических соединений с различными типами молекулярных связей (А. Кэли). Изобразите в виде графа молекулу

В 30-е годы ХХ века благодаря трудам Д. Кенига [19] теория графов стала развиваться как самостоятельный раздел математики.

Широкое развитие теория графов получила с 50-х годов ХХ века в связи с появлением такой науки, как кибернетика. Графы применяют при анализе функционирования систем. С отдельными компонентами изучаемой системы удобно связывать вершины графа, а с парами взаимодействующих компонент – его ребра. Такой граф называют структурным графом системы.

В некоторых задачах существенно направление ребер графа. Направленные ребра называют дугами, а содержащий их граф – ориентированным (орграфом). Таковым графом может быть изображена диаграмма Хассе. Соответственно граф с неориентированными ребрами называется неориентированным.

Множество ребер может быть пусто. Если же множество вершин пусто, то пусто и множество ребер. Такой граф называется пустым. Линии, изображающие ребра, могут пересекаться на изображении графа, но точки их пересечений не являются вершинами. Различные ребра могут быть инцидентны одной и той же паре вершин, в этом случае они называются кратными. Граф, содержащий кратные ребра, называют мультиграфом (псевдографом). Ребро (дуга) может соединять некоторую вершину саму с собой, такое ребро (дуга) называется петлей. Будем рассматривать конечные графы, содержащие конечные множества вершин и ребер (дуг).

Рассмотрим предложенную фон Нейманом архитектуру ЭВМ, которая состоит из множества устройств М={а,b,c,d,e}, где а – устройство ввода, b – арифметическое устройство (процессор), с – устройство управления, d – запоминающее устройство, е – устройство вывода [9-10].

Информационный обмен между этими устройствами задается графом (рис. 13).

Рис. 13. Граф, описывающий архитектуру

фон Неймановской ЭВМ

Вершины графа на рис. 13 для удобства изображены кружками, а не точками, как на рис. 11.

Граф можно задать так называемой матрицей смежности, каждой i-ой строке (j-му столбцу) которой однозначно сопоставляют элемент множества М, между которыми выполняется отношение смежности. Две вершины, инцидентные одному ребру, смежны. Два ребра, инцидентные одной вершине, тоже смежны. Тогда каждая клетка b_ij взаимно однозначно соответствует элементам множества ММ=М

2. Клетку b_ij, которая соответствует элементу, принадлежащему бинарному отношению ТМ², отмечают, например, единицей, а в остальные клетки записывают нули.

Рассмотрим матрицу смежности В для графа, изображенного на рис. 13. Устройства i,j находятся в отношении Т, если из устройства i информация поступает в устройство j.

Граф можно задать и с использованием перечисления его дуг, как это сделано на рис. 13:

М={а,b,с,d,е},

Т={(а,b),(а,с),(а,d),(b,с),(b,е),(b,d),(с,а),(с,b),(с,d),(с,е),(d,с),(d,b),(d,е),(е,с)}.

Граф можно задать в виде так называемого фактор-множества, представленного парами «элемент множества М – подмножество М, представляющее собой окрестность единичного радиуса этого элемента»:

[<a,{b,c,d}>,<b,{c,d,е}>,<c,{a,b,d,e}>,<d,{b,c,e}>,<e,{c}>].

Ориентированный граф может быть задан и матрицей инцидентности А размерностью nm: A=a_ij, где n=|M|, m=|Т|, у которой

если вершина a_i является концом дуги t_j;

если вершина a_i является началом дуги t_j;

если вершина a_i не инцидентна дуге t_j,

, .

Так, для ориентированного графа (рис. 14) матрица инцидентности имеет вид:

Рис. 14. Некоторый ориентированный граф

В описанном виде матрицы инцидентности применимы только к графам без петель, в случае наличия которых матрицу надо разбить на две полуматрицы: положительную и отрицательную. Ориентированный граф также может быть задан матрицей смежности.

Для графов с кратными ребрами в матрице смежности указывают кратность ребер, например, для графа, изображенного на рис. 15, матрица смежности представляется в виде:

Такой граф называют мультиграфом.

Рис. 15. Некоторый ориентированный мультиграф

Граф называется нагруженным, если каждому ребру (дуге) поставлено в соответствие некоторое действительное число (длина дуги, вес дуги, стоимость дуги и т.д.).

Представим в виде графа некоторые бинарные отношения [9]. Отношение Т в множестве М рефлексивно, как мы уже знаем, если для каждого элемента mМ справедливо (m,m)Т. На графе это изображается петлей (рис. 16а). На матрице смежности графа с рефлексивным отношением все элементы, лежащие на главной диагонали отмечены единицами.

Отношение во множестве М называется симметричным, если из (m_i,m_j)Т следует (m_i,m_j)М, m_im_j (рис. 16б). Матрица смежности симметричного отношения симметрична относительно главной диагонали.

Отношение Т в множестве М называется транзитивным, если из (m_i,m_j)Т, (m_i,m_k)Т следует (m_i,m_k)Т m_i, m_j,m_kМ, m_im_j, m_im_k, m_jm_k (рис. 16в).

В графе, задающем транзитивное отношение Т, для всякой пары дуг таких, что конец первой совпадает с началом второй, существует транзитивно замыкающая дуга, имеющая общее начало с первой и общий конец со второй.

Рис. 16. Изображения бинарных отношений в виде графа

а) рефлексивное отношение, б) симметричное отношение,

в) транзитивное отношение

Решение комбинаторных задач — презентация онлайн

Похожие презентации:

Элементы комбинаторики ( 9-11 классы)

Применение производной в науке и в жизни

Проект по математике «Математика вокруг нас. Узоры и орнаменты на посуде»

Знакомство детей с математическими знаками и монетами

Тренажёр по математике «Собираем урожай». Счет в пределах 10

Методы обработки экспериментальных данных

Лекция 6. Корреляционный и регрессионный анализ

Решение задач обязательной части ОГЭ по геометрии

Дифференциальные уравнения

Подготовка к ЕГЭ по математике. Базовый уровень Сложные задачи

РЕШЕНИЕ
КОМБИНАТОРНЫХ
ЗАДАЧ
Решение комбинаторных задач
1
ПЕРЕСТАНОВКА
Задача 1
На полке стоят три книги. Сколькими способами
можно расставить эти книги на полке?
abc, acb
bac, bca
cab, cba
Pn = n!
Решение комбинаторных задач
2
РАЗМЕЩЕНИЕ
Задача 2
Из 12 учащихся нужно отобрать по одному человеку для участия в
городских олимпиадах по математике, физике, истории
и
географии. Каждый из учащихся участвует только в одной
олимпиаде. Сколькими способами это можно сделать?
11880
Решение комбинаторных задач
3
СОЧЕТАНИЕ
Задача 3
Из вазы с цветами, в которой стоят 10 красных роз и 5
белых , выбирают 2 красные розы и 1 белую. Сколькими
способами можно сделать такой выбор букета?
Решение
— выбор двух красных роз из 10
— выбор белой розы
225
Решение комбинаторных задач
4
СОЧЕТАНИЕ
Решение комбинаторных задач
5
ПЕРЕСТАНОВКИ, РАЗМЕЩЕНИЯ И СОЧЕТАНИЯ С ПОВТОРЕНИЯМИ
Решение комбинаторных задач
6
КОМБИНАТОРНЫЕ ЗАДАЧИ
• Правило суммы:
Если объект А выбран — m
способами, а объект В – n способами, то выбор «либо А,
либо В» — m+n способами.
• Правило произведения: Если объект А выбран
m способами, а после каждого из таких выборов объект
В выбран n – способами, то выбор «А и В» в указанном
порядке m*n
Решение комбинаторных задач
7
Решение комбинаторных задач
8
ЗАДАЧА 1
Сколько существует трехзначных
чисел, составленных из цифр 1,2,3,4,5,6
(без повторений), которые не кратны 3?
Решение комбинаторных задач
9
РЕШЕНИЕ
1,2,3 1,3,5 2,3,4
Числа кратные 3: 1,2,6 1,5,6 2,4,6
Составим Р3 чисел , кратных 3
Всего троек 8
Всего трехзначных чисел кратных 3
3,4,5
4,5,6
Количество трехзначных чисел не кратных трем
Решение комбинаторных задач
10
ЗАДАЧА 2
Из
спортсменов
А,Б,В,Г,Д
и
Е
выбирается пара для участия в
соревнованиях пар по теннису. Сколько
существует способов выбора этой пары?
Решение комбинаторных задач
11
РЕШЕНИЕ
Каждая пара должна отличаться хотя
бы одним из учащихся. Таких групп
должно быть
Решение комбинаторных задач
12
ЗАДАЧА 3
На плоскости отмечены 10 точек,
причем никакие 3 из них не лежат в
одной плоскости. Через каждые 2 из них
проведена прямая. Сколько проведено
прямых.
Решение комбинаторных задач
13
РЕШЕНИЕ
Сочетание
Количество прямых равно
Решение комбинаторных задач
14
ЗАДАЧА 4
Сколько
человек
участвовало
в
шахматном турнире, если известно, что
каждый участник сыграл с каждым из
остальных по одной партии, и всего было
сыграно 136 партий?
Решение комбинаторных задач
15
РЕШЕНИЕ
n — количество участников
— количество сыгранных партий
Решение комбинаторных задач
16
РЕШИТЬ УРАВНЕНИЕ
Решение
Решение комбинаторных задач
17
РЕШИТЬ УРАВНЕНИЕ
Решение
Решение комбинаторных задач
18
РЕШИТЬ УРАВНЕНИЕ
Решение
Решение комбинаторных задач
19
РЕШИТЬ УРАВНЕНИЕ
Решение
Решение комбинаторных задач
20
ДОКАЗАТЬ
ТОЖДЕСТВО
Решение
Решение комбинаторных задач
21
РЕШИТЕ НЕРАВЕНСТВО
Решение
Решение комбинаторных задач
22
СПАСИБО
ЗА ВНИМАНИЕ !!!
Решение комбинаторных задач
23

English     Русский Правила

комбинаторика — Сколько решений уравнения с простыми ограничениями

Задать вопрос

спросил 6 лет, 11 месяцев назад

Изменено 5 лет, 1 месяц назад

Просмотрено 3к раз

$\begingroup$

Я работаю над заданием, в котором мне нужно подсчитать количество решений для этого конкретного уравнения: $$x_1+x_2+x_3+x_4=20$$для неотрицательных целых чисел с $x_1<8 $ и $x_2 <6$

Знаю, что такая задача не такая уж и сложная, но в комбинаторику я не очень хорошо разбираюсь.

Итак, я попробовал два следующих подхода, чтобы сделать это.

Сначала попробовал подставить переменную x:

$x_1+x_2+x_3+x_4=20 \Leftrightarrow y_1+y_2+y_3+y_4=34$

, где $y_1=x_1+8$ и $y_2=x_2+6$ (случай $x_1=y_1-8$ и $x_2=y_1-6$) Следуя этому подходу, общее количество возможных решений будет

$${34+3 \выбрать 3} $$

Но я не уверен, что это правильное решение.

Второй подход заключается в суммировании всех возможных значений, которые могут принимать $x_1$ и $x_2$, а также $x_1=0,1,2,3,4,5,6,7$ и $x_2=0. ,1,2,3,4,5,6$ А затем посчитайте все возможности для каждой из переменных $${20 -x_1-x_2+1\выберите 1}$$ и суммировать их вместе следующим образом: $${21\выберите 1}+{20\выберите 1}+{19\выберите 1}+{18\выберите 1}+… $$ и так далее…

Я уверен, что получу правильный номер с этим, но мне не хочется суммировать все эти возможности. Должен быть лучший, более элегантный способ справиться с этим.

Мой профессор подсказал мне, что я должен сделать это с помощью дополнения.

• комбинаторика
• дискретная математика

$\endgroup$

2 9п+\cdots)$$ Таким образом, коэффициент: $1771-455-680+84=720$$

$\endgroup$

7

$\begingroup$

Для определения числа решений уравнения $$x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = 20 \tag{1}$$ в целых неотрицательных числах с учетом ограничений $x_1 < 7$ и $x_2 < 6$, из числа решений уравнения вычитаем количество решений, в которых $x_1 > 7$ или $x_2 > 5$.

Частное решение уравнения 1 соответствует размещению трех знаков сложения в ряд по $20$ единиц. Например, $$1 1 1 1 + 1 1 1 1 1 + 1 1 1 1 1 1 + 1 1 1 1 1$$ соответствует решению $x_1 = 4$, $x_2 = 5$, $x_3 = 6$ и $x_4 = 5$, а $$+ 1 1 1 1 1 1 1 1 1 + 1 1 1 1 1 1 1 + 1 1 1 1$$ соответствует решению $x_1 = 0$, $x_2 = 9$, $x_3 = 7$ и $x_4 = 4$. Таким образом, количество решений уравнения 1 равно количеству способов, которыми три дополнительных знака можно вставить в ряд из $20$ знаков, т.е. $$\binom{20 + 3}{3}$$ так как мы должны выбрать, какие три символа $23$ ($20$ и $3$ знаки сложения) будут знаками сложения.

Предположим, что $x_1 > 7$. Тогда $y_1 = x_1 — 8$ — целое неотрицательное число. Подстановка $y_1 + 8$ вместо $x_1$ в уравнении 1 дает \начать{выравнивать*} у_1 + 8 + х_2 + х_3 + х_4 & = 20\\ y_1 + x_2 + x_3 + x_4 & = 12 \tag{2} \конец{выравнивание*} Уравнение 2 представляет собой уравнение в неотрицательных целых числах с

$$\binom{12 + 3}{3} = \binom{15}{3}$$

растворы.

Предположим, что $x_2 > 5$. Тогда $y_2 = x_2 — 6$ — целое неотрицательное число. Подстановка $y_2 + 6$ вместо $x_2$ в уравнении 1 дает \начать{выравнивать*} х_1 + у_2 + 6 + х_3 + х_4 & = 20\\ x_1 + y_2 + x_3 + x_4 & = 14 \tag{3} \конец{выравнивание*} Уравнение 3 представляет собой уравнение в неотрицательных целых числах с

$$\binom{14 + 3}{3} = \binom{17}{3}$$

растворы.

Если мы вычтем количество решений уравнения 2 и уравнения 3 из числа решений уравнения 1, мы дважды вычтем те решения, в которых $x_1 > 7$ и $x_2 > 5$. Таким образом, мы должны добавить количество решений, в которых $x_1 > 7$ и $x_2 > 5$.

Предположим, что $x_1 > 7$ и $x_2 > 5$. Тогда $y_1 = x_1 — 8$ и $y_2 = x_2 — 6$ — целые неотрицательные числа. Подстановка $y_1 + 8$ вместо $x_1$ и $y_2 + 6$ вместо $x_2$ в уравнении 1 дает \начать{выравнивать*} у_1 + 8 + у_2 + 6 + х_3 + х_4 & = 20\\ y_1 + y_2 + x_3 + x_4 & = 6 \tag{4} \конец{выравнивание*} Уравнение 4 представляет собой уравнение в неотрицательных целых числах с

$$\binom{6 + 3}{3} = \binom{9}{3}$$

растворы.

По принципу включения-исключения количество решений уравнения 1 в неотрицательных целых числах с учетом ограничений $x_1 < 7$ и $x_2 < 6$ равно

$$\binom{23}{3} — \binom{15}{3} — \binom{17}{3} + \binom{9}{3}$$

$\endgroup$

2

$\begingroup$

Классический способ сделать это — подсчитать решения без условий, а затем использовать включение-исключение для обработки случаев, которые нарушают.

Итак, если $A$ — множество всех неотрицательных решений $x_1+x_2+x_3+x_4=20$, а $A_1$ — множество таких решений с $x_1\geq 8$ и $A_2$ представляет собой набор решений с $x_2\geq 6$, тогда набор, который вы хотите посчитать, равен $A\setminus(A_1\cup A_2)$ и:

$$\left|A\setminus(A_1\cup A_2)\ right|=|A|-|A_1|-|A_2|+|A_1\cap A_2|$$

По включению-исключению. Теперь каждый из этих терминов вычислить гораздо проще. Например, $A_1\cap A_2$ — это множество решений задачи $x_1+x_2+x_3+x_4=20$ с $x_1\geq 8,x_2\geq 6$, равное множеству неотрицательных решений на $y_1+y_2+x_3+x_4=20-14=6$.

$\endgroup$

комбинаций — Найдите количество решений этого уравнения с помощью комбинаторики

Задать вопрос

спросил 7 лет, 3 месяца назад

Изменено 7 лет, 3 месяца назад

Просмотрено 2к раз

$\begingroup$

Сколько решений есть у уравнения $$x_1 +x_2+x_3+x_4+x_5=21$$, где каждый $x$ — неотрицательное целое число, такое что $$0\le x_1 \le3 , 1 \le x_2 \lt4\text{ и }x_3\ge15$$

Моя попытка :

Итак, я сначала рассмотрел условия $x_1\ge0 , x_2\ge1$ и $x_3\ge15$

Я обнаружил, что общее количество возможных комбинаций с этим ограничением равно $9\choose5$ . Но они не включают другие ограничения на $x_1$ и $x_2$.

Итак, я нашел комбинации для случаев $x_1\ge4$ и $x_2\ge4$ , намереваясь вычесть их из общего числа комбинаций $9\выбрать 5$.

Однако я не могу найти правильный ответ $106$. Не могли бы вы мне помочь? Я использовал формулу $n-r+1\выбрать r$

• комбинаторика
• комбинации

$\endgroup$

3

$\begingroup$

Задача должна быть эквивалентна $x_1 +x_2+x_3+x_4+x_5=5$ с $0≤x_1≤3$ и $0≤x_2<3$ и $x_3 \ge 0$. Формула должна быть $n- r+1\choose {r-1}$, что дает ${9 \choose 4}=126 $ решений без ограничений. Применяя ограничения, мы должны избавиться от экземпляров $x_1=4$ (их 4) и $x_1=5$ (один). Также избавьтесь от $x_2=3$ (по формуле выше это ${2+4-1 \выберите 4-1}=10$) и $x_2=4 ($4 решения$)$ и $x_2=5$ (решение за 1$). Поскольку перекрытия нет, мы можем сложить все эти экземпляры и вычесть их из 126, чтобы получить $126-(1+4+10+1+4)=106$9.