Решение квадратных дробных уравнений: Урок по теме «Решение дробных рациональных уравнений». 8-й класс

alexxlab / / Разное

Содержание

Решение целых и дробно рациональных уравнений

Давайте познакомимся с рациональными и дробными рациональными уравнениями, дадим их определение, приведем примеры, а также разберем наиболее распространенные типы задач.

Рациональное уравнение: определение и примеры

Знакомство с рациональными выражениями начинается в 8 классе школы. В это время на уроках алгебры учащиеся все чаще начинают встречать задания с уравнениями, которые содержат рациональные выражения в своих записях. Давайте освежим в памяти, что это такое.

Определение 1

Рациональное уравнение – это такое уравнение, в обеих частях которого содержатся рациональные выражения.

В различных пособиях можно встретить еще одну формулировку.

Определение 2

Рациональное уравнение – это такое уравнение, запись левой части которого содержит рациональное выражение, а правая – нуль.

Определения, которые мы привели для рациональных уравнений, являются равнозначными, так как говорят об одно и том же.

Подтверждает правильность наших слов тот факт, что для любых рациональных выражений P и Q уравнения P=Q и P−Q=0 будут равносильными выражениями.  

А теперь обратимся к примерам.

Пример 1

Рациональные уравнения:

 x=1, 2·x−12·x2·y·z3=0, xx2+3·x-1=2+27·x-a·(x+2), 12+34-12x-1=3.

Рациональные уравнения точно также, как и уравнения других видов, могут содержать любое количество переменных от 1 до нескольких. Для начала мы рассмотрим простые примеры, в которых уравнения будут содержать только одну переменную. А затем начнем постепенно усложнять задачу.

Рациональные уравнения делятся на две большие группы: целые и дробные. Посмотрим, какие уравнения будут относиться к каждой из групп.

Определение 3

Рациональное уравнение будет являться целым в том случае, если в записи левой и правой его частей содержатся целые рациональные выражения.

Определение 4

Рациональное уравнение будет являться дробным в том случае, если одна или обе его части содержат дробь.

Дробно рациональные уравнения в обязательном порядке содержат деление на переменную или же переменная имеется в знаменателе. В записи целых уравнений такого деления нет.

Пример 2

3·x+2=0 и (x+y)·(3·x2−1)+x=−y+0,5 – целые рациональные уравнения. Здесь обе части уравнения представлены целыми выражениями.

1x-1=x3 и x:(5·x3+y2)=3:(x−1):5 – это дробно рациональные уравнения.

К числу целых рациональных уравнений можно отнести линейные и квадратные уравнения.

Решение целых уравнений

Решение таких уравнений обычно сводится к преобразованию их в равносильные алгебраические уравнения. Достичь этого можно путем проведения равносильных преобразований уравнений в соответствии со следующим алгоритмом:

  • сначала получим ноль в правой части уравнения, для этого на необходимо перенести выражение, которое находится в правой части уравнения, в его левую часть и поменять знак;
  • затем преобразуем выражение в левой части уравнения в многочлен стандартного вида.

Мы должны получить алгебраическое уравнение. Это уравнение будет равносильным по отношению к исходному уравнению. Легкие случаи позволяют нам для решения задачи свести целое уравнение с линейному или квадратному. В общем случае мы решаем алгебраическое уравнение степени n.

Пример 3

Необходимо найти корни целого уравнения 3·(x+1)·(x−3)=x·(2·x−1)−3.

Решение

Проведем преобразование исходного выражения с целью получить равносильное ему алгебраическое уравнение. Для этого произведем перенос выражения, содержащегося в правой части уравнения, в левую часть и заменим знак на противоположный. В итоге получим:

3·(x+1)·(x−3)−x·(2·x−1)+3=0.

Теперь проведем преобразование выражения, которое находится в левой части в многочлен стандартного вида и произведем необходимые действия с этим многочленом:

3·(x+1)·(x−3)−x·(2·x−1)+3=(3·x+3)·(x−3)−2·x2+x+3==3·x2−9·x+3·x−9−2·x2+x+3=x2−5·x−6

У нас получилось свести решение исходного уравнения к решению квадратного уравнения вида x2−5·x−6=0. Дискриминант этого уравнения положительный: D=(−5)2−4·1·(−6)=25+24=49. Это значит, действительных корней будет два. Найдем их, воспользовавшись формулой корней квадратного уравнения:

x=—5±492·1,

x1=5+72 или x2=5-72,

x1=6 или x2=-1

Проверим верность корней уравнения, которые мы нашли в ходе решения. Для этого числа, которые мы получили, подставим в исходное уравнение: 3·(6+1)·(6−3)=6·(2·6−1)−3

и 3·(−1+1)·(−1−3)=(−1)·(2·(−1)−1)−3. В первом случае 63=63, во втором 0=0. Корни x=6 и x=−1 действительно являются корнями уравнения, данного в условии примера.

Ответ: 6, −1.

Давайте разберем, что значит «степень целого уравнения». С этим термином мы будем часто встречаться в тех случаях, когда нам надо будет представить целое уравнение в виде алгебраического. Дадим определение понятию.

Определение 5

Степень целого уравнения – это степень алгебраического уравнения, равносильного исходному целому уравнению.

Если посмотреть на уравнения из примера, приведенного выше, можно установить: степень данного целого уравнения вторая.

Если бы наш курс ограничивался решением уравнений второй степени, то рассмотрение темы на этом можно было бы закончить. Но все не так просто. Решение уравнений третьей степени сопряжено с трудностями. А для уравнений выше четвертой степени и вовсе не существует общих формул корней. В связи с этим решение целых уравнений третьей, четвертой и других степеней требует от нас применения целого ряда других приемов и методов.

Чаще прочих используется подход к решению целых рациональных уравнений, который основан на методе разложения на множители. Алгоритм действий в этом случае следующий:

  • переносим выражение из правой части в левую с тем, чтобы в правой части записи остался нуль;
  • представляем выражение в левой части как произведение множителей, а затем переходим к совокупности нескольких более простых уравнений.
Пример 4

Найдите решение уравнения (x2−1)·(x2−10·x+13)=2·x·(x2−10·x+13).

Решение

Переносим выражение из правой части записи в левую с противоположным знаком:

 (x2−1)·(x2−10·x+13)−2·x·(x2−10·x+13)=0. Преобразование левой части в многочлен стандартного вида нецелесообразно в связи с тем, что это даст нам алгебраическое уравнение четвертой степени: x4−12·x3+32·x2−16·x−13=0. Легкость преобразования не оправдывает всех сложностей с решением такого уравнения.

Намного проще пойти другим путем: вынесем за скобки общий множитель x2−10·x+13. Так мы придем к уравнению вида (x2−10·x+13)·(x2−2·x−1)=0. Теперь заменим полученное уравнение совокупностью двух квадратных уравнений x2−10·x+13=0 и x2−2·x−1=0 и найдем их корни через дискриминант: 5+2·3, 5-2·3, 1+2, 1-2.

Ответ:  5+2·3, 5-2·3, 1+2, 1-2.

Точно также мы можем использовать метод введения новой переменной. Этот метод позволяет нам переходить к равносильным уравнениям со степенями ниже, чем были степени в исходном целом уравнении.

Пример 5

Есть ли корни у уравнения (x2+3·x+1)2+10=−2·(x2+3·x−4)?

Решение

Если мы сейчас попробуем свести целое рациональное уравнение к алгебраическому, то получим уравнение 4 степени, которое не имеет рациональных корней. Потому нам будет проще пойти другим путем: ввести новую переменную у, которая заменит в уравнении выражение x2+3·x.

Теперь мы будем работать с целым уравнением (y+1)2+10=−2·(y−4). Перенесем правую часть уравнения в левую с противоположным знаком и проведем необходимые преобразования. Получим: y2+4·y+3=0. Найдем корни квадратного уравнения: y=−1 и y=−3.

Теперь проведем обратную замену. Получим два уравнения x2+3·x=−1 и x2+3·x=−3. Перепишем их как x2+3·x+1=0 и x2+3·x+3=0. Используем формулу корней квадратного уравнения для того, чтобы найти корни первого уравнения из полученных: -3±52 . Дискриминант второго уравнения отрицательный. Это значит, что действительных корней у второго уравнения нет.

Ответ: -3±52

Целые уравнения высоких степеней попадаются в задачах достаточно часто. Пугаться их не нужно. Нужно быть готовым применить нестандартный метод их решения, в том числе и ряд искусственных преобразований.

Решение дробно рациональных уравнений

Начнем рассмотрение этой подтемы мы с алгоритма решения дробно рациональных уравнений вида p(x)q(x)=0 , где p(x) и q(x) – целые рациональные выражения. Решение остальных дробно рациональных уравнений всегда можно свести к решению уравнений указанного вида.

В основу наиболее употребимого метода решения уравнений p(x)q(x)=0  положено следующее утверждение: числовая дробь uv, где v – это число, которое отлично от нуля, равна нулю только в тех случаях, когда числитель дроби равен нулю. Следуя логике приведенного утверждения мы можем утверждать, что решение уравнения p(x)q(x)=0  может быть сведено в выполнению двух условий:

p(x)=0 и q(x)≠0. На этом построен алгоритм решения дробных рациональных уравнений вида p(x)q(x)=0 :

  • находим решение целого рационального уравнения p(x)=0;
  • проверяем, выполняется ли для корней, найденных в ходе решения, условие q(x)≠0.

Если это условие выполняется, то найденный корень является корнем исходного уравнения. Если нет, то корень не является решением задачи.

Пример 6

Найдем корни уравнения 3·x-25·x2-2=0 .

Решение

Мы имеем дело с дробным рациональным уравнением вида p(x)q(x)=0, в котором p(x)=3·x−2, q(x)=5·x2−2=0. Приступим к решению линейного уравнения 3·x−2=0. Корнем этого уравнения будет x=23.

Проведем проверку найденного корня, удовлетворяет ли он условию 5·x2−2≠0

. Для этого подставим числовое значение в выражение. Получим: 5·232-2=5·49-2=209-2=29≠0.

Условие выполняется. Это значит, что  x=23 является корнем исходного уравнения.

Ответ: 23.

Есть еще один вариант решения дробных рациональных уравнений p(x)q(x)=0. Вспомним, что это уравнение равносильно целому уравнению p(x)=0 на области допустимых значений переменной x исходного уравнения. Это позволяет нам использовать следующий алгоритм в решении уравнений p(x)q(x)=0 :

  • решаем уравнение p(x)=0;
  • находим область допустимых значений переменной x;
  • берем корни, которые лежат в области допустимых значений переменной x, в качестве искомых корней исходного дробного рационального уравнения.
Пример 7

Решите уравнение x2-2·x-11×2+3·x=0.

Решение

Для начала решим квадратное уравнение x2−2·x−11=0. Для вычисления его корней мы используем формулу корней для четного второго коэффициента. Получаем D1=(−1)2−1·(−11)=12, и x=1±23.

Теперь мы можем найти ОДЗ переменной x для исходного уравнения. Это все числа, для которых x2+3·x≠0. Это то же самое, что x·(x+3)≠0, откуда x≠0, x≠−3.

Теперь проверим, входят ли полученные на первом этапе решения корни x=1±23 в область допустимых значений переменной x. Мы видим, что входят. Это значит, что исходное дробное рациональное уравнение имеет два корня x=1±23.

Ответ​​: x=1±23

Нужна помощь преподавателя?

Опиши задание — и наши эксперты тебе помогут!

Описать задание

Второй описанный метод решения проще первого в случаях, когда легко находится область допустимых значений переменной x, а корни уравнения p(x)=0 иррациональные. Например, 7±4·269. Корни могут быть и рациональными, но с большим числителем или знаменателем. Например, 1271101 и −3159. Это позволяет сэкономить время на проведении проверки условия q(x)≠0 : намного проще исключить корни, которые не подходят, по ОДЗ.

В тех случаях, когда корни уравнения p(x)=0 целые, целесообразнее использовать первый из описанных алгоритмов решения уравнений вида p(x)q(x)=0.  Быстрее сразу находить корни целого уравнения p(x)=0, после чего проверять, выполняется ли для них условие q(x)≠0, а не находить ОДЗ, после чего решать уравнение p(x)=0 на этой ОДЗ. Это связано с тем, что в таких случаях сделать проверку обычно проще, чем найти ОДЗ.

Пример 8

Найдите корни уравнения (2·x-1)·(x-6)·(x2-5·x+14)·(x+1)x5-15·x4+57·x3-13·x2+26·x+112=0.

Решение

Начнем с рассмотрения целого уравнения (2·x−1)·(x−6)·(x2−5·x+14)·(x+1)=0 и нахождения его корней. Для этого применим метод решения уравнений через разложение на множители. Получается, что исходное уравнение равносильно совокупности четырех уравнений 2·x−1=0, x−6=0, x2−5·x+14=0, x+1=0, из которых три линейных и одно квадратное. Находим корни: из первого уравнения x=12, из второго – x=6, из третьего – x=7, x=−2, из четвертого – x=−1.

Проведем проверку полученных корней. Определить ОДЗ в данном случае нам сложно, так как для этого придется провести решение алгебраического уравнения пятой степени. Проще будет проверить условие, по которому знаменатель дроби, которая находится в левой части уравнения, не должен обращаться в нуль.

По очереди подставим корни на место переменной х в выражение x5−15·x4+57·x3−13·x2+26·x+112и вычислим его значение:

 125−15·124+57·123−13·122+26·12+112==132−1516+578−134+13+112=122+132≠0;

65−15·64+57·63−13·62+26·6+112=448≠0;

75−15·74+57·73−13·72+26·7+112=0;

(−2)5−15·(−2)4+57·(−2)3−13·(−2)2+26·(−2)+112=−720≠0;

(−1)5−15·(−1)4+57·(−1)3−13·(−1)2+26·(−1)+112=0.

Проведенная проверка позволяет нам установить, что корнями исходного дробного рацинального уравнения являются 12, 6 и −2.

Ответ: 12, 6, -2

Пример 9

Найдите корни дробного рационального уравнения 5·x2-7·x-1·x-2×2+5·x-14=0 .

Решение

Начнем работу с уравнением (5·x2−7·x−1)·(x−2)=0. Найдем его корни. Нам проще представить это уравнение как совокупность квадратного и линейного уравнений 5·x2−7·x−1=0 и x−2=0.

Используем формулу корней квадратного уравнения для поиска корней. Получаем из первого уравнения два корня x=7±6910 , а из второго x=2.

Подставлять значение корней в исходное уравнение для проверки условий нам будет достаточно сложно. Проще будет определить ОДЗ переменной x. В данном случае ОДЗ переменной x – это все числа, кроме тех, для которых выполняется условие x2+5·x−14=0. Получаем: x∈-∞, -7∪-7, 2∪2, +∞.

Теперь проверим, принадлежат ли найденные нами корни к области допустимых значений переменной x.

Корни x=7±6910 — принадлежат, поэтому, они являются корнями исходного уравнения, а x=2 – не принадлежит, поэтому, это посторонний корень.

Ответ: x=7±6910.

Разберем отдельно случаи, когда в числителе дробного рационального уравнения вида p(x)q(x)=0 находится число. В таких случаях, если в числителе находится число, отличное от нуля, то уравнение не будет иметь корней. Если это число будет равно нулю, то корнем уравнения будет любое число из ОДЗ.

Пример 10

Решите дробное рациональное уравнение -3,2×3+27=0.

Решение

Данное уравнение не будет иметь корней, так как в числителе дроби из левой части уравнения находится отличное от нуля число. Это значит, что ни при каких значениях x значение приведенной в условии задачи дроби не будет равняться нулю.

Ответ: нет корней.

Пример 11

Решите уравнение 0x4+5·x3=0.

Решение

Так как в числителе дроби находится нуль, решением уравнения будет любое значение x из ОДЗ переменной x.

Теперь определим ОДЗ. Оно будет включать все значения x, при которых x4+5·x3≠0. Решениями уравнения x4+5·x3=0являются 0 и −5, так как, это уравнение равносильно уравнению x3·(x+5)=0, а оно в свою очередь равносильно совокупности двух уравнений x3=0 и x+5=0, откуда и видны эти корни. Мы приходим к тому, что искомой областью допустимых значений являются любые x, кроме x=0 и x=−5.

Получается, что дробное рациональное уравнение 0x4+5·x3=0 имеет бесконечное множество решений, которыми являются любые числа кроме нуля и -5.

Ответ: -∞, -5∪(-5, 0∪0, +∞

Теперь поговорим о дробных рациональных уравнениях произвольного вида и методах их решения. Их можно записать как r(x)=s(x), где r(x) и s(x) – рациональные выражения, причем хотя бы одно из них дробное. Решение таких уравнений  сводится к решению уравнений вида p(x)q(x)=0.

Мы уже знаем, что мы можем получить равносильное уравнение при переносе выражения из правой части уравнения в левое с противоположным знаком. Это значит, что уравнение  r(x)=s(x) равносильно уравнение r(x)−s(x)=0. Также мы уже разобрали способы преобразования рационального выражения в рациональную дробь. Благодаря этому мы без труда можем преобразовать уравнение r(x)−s(x)=0 в тождественную ему рациональную дробь вида p(x)q(x).

Так мы переходим от исходного дробного рационального уравнения r(x)=s(x)  к уравнению вида p(x)q(x)=0, решать которые мы уже научились.

Следует учитывать, что при проведении переходов от r(x)−s(x)=0 к p(x)q(x)=0 , а затем к p(x)=0 мы можем не учесть расширения области допустимых значений переменной x.

Вполне реальна ситуация, когда исходное уравнение r(x)=s(x) и уравнение p(x)=0  в результате преобразований перестанут быть равносильными. Тогда решение уравнения p(x)=0 может дать нам корни, которые будут посторонними для r(x)=s(x). В связи с этим в каждом случае необходимо проводить проверку любым из описанных выше способов.

Чтобы облегчить вам работу по изучению темы, мы обобщили всю информацию в алгритм решения дробного рационального уравнения вида r(x)=s(x):

  • переносим выражение из правой части с противоположным знаком и получаем справа нуль;
  • преобразуем исходное выражение в рациональную дробь p(x)q(x), последовательно выполняя действия с дробями и многочленами;
  • решаем уравнение p(x)=0;
  • выявляем посторонние корни путем проверки их принадлежности ОДЗ или методом подстановки в исходное уравнение.

Визуально цепочка действий будет выглядеть следующим образом:

r(x)=s(x)→r(x)-s(x)=0→p(x)q(x)=0→p(x)=0→отсеиваниепостороннихкорней

Пример 12

Решите дробное рациональное уравнение xx+1=1x+1.

Решение

Перейдем к уравнению xx+1-1x+1=0. Преобразуем дробное рациональное выражение в левой части уравнения к виду p(x)q(x).

Для этого нам придется привести рациональные дроби к общему знаменателю и упростить выражение:

xx+1-1x-1=x·x-1·(x+1)-1·x·(x+1)x·(x+1)==x2-x-1-x2-xx·(x+1)=-2·x-1x·(x+1)

Для того, чтобы найти корни уравнения -2·x-1x·(x+1)=0, нам необходимо решить уравнение −2·x−1=0. Получаем один корень x=-12.

Нам осталось выполнить проверку любым из методов. Рассмотрим их оба.

Подставим полученное значение в исходное уравнение. Получим -12-12+1=1-12+1. Мы пришли к верному числовому равенству −1=−1. Это значит, что x=−12 является корнем исходного уравнения.

Теперь проведем проверку через ОДЗ. Определим область допустимых значений переменной x. Это будет все множество чисел, за исключением −1 и 0 (при x=−1 и x=0 обращаются в нуль знаменатели дробей). Полученный нами корень x=−12 принадлежит ОДЗ. Это значит, что он является корнем исходного уравнения.

Ответ: −12.

Пример 13

Найдите корни уравнения x1x+3-1x=-23·x.

Решение

Мы имеем дело с дробным рациональным уравнением. Следовательно, будем действовать по алгоритму.

Перенесем выражение из правой части в левую с противоположным знаком: x1x+3-1x+23·x=0

Проведем необходимые преобразования: x1x+3-1x+23·x=x3+2·x3=3·x3=x.

Приходим к уравнению x=0. Корень этого уравнения – нуль.

Проверим, не является ли этот корень посторонним для исходного уравнения. Подставим значение в исходное уравнение: 010+3-10=-23·0. Как видите, полученное уравнение не имеет смысла. Это значит, что 0 – это посторонний корень, а исходное дробное рациональное уравнение корней не имеет.

Ответ: нет корней.

Если мы не включили в алгоритм другие равносильные преобразования, то это вовсе не значит, что ими нельзя пользоваться. Алгоритм универсален, но он создан для того, чтобы помогать, а не ограничивать.

Пример 14

Решите уравнение 7+13+12+15-x2=7724

Решение

Проще всего будет решить приведенное дробное рациональное уравнение согласно алгоритму. Но есть и другой путь. Рассмотрим его.

Отнимем от правой и левой частей 7, получаем: 13+12+15-x2=724 .

Отсюда можно заключить, что выражение в знаменателе левой части должно быть равно числу, обратному числу из правой части, то есть, 3+12+15-x2=247.

Вычтем из обеих частей 3: 12+15-x2=37. По аналогии 2+15-x2=73, откуда 15-x2=13, и дальше 5-x2=3, x2=2, x=±2

Проведем проверку для того, чтобы установить, являются ли найденные корни корнями исходного уравнения.

Ответ: x=±2

Дробно рациональные уравнения. Решения

Уравнение которые можно свести к дроби f(x)/g(x)=0 называется дробно рациональным уравнением.
Решение дробно рациональных уравнений не слишком сложная задача если Вы знаете методику, а она достаточно проста.
Если уравнение имеет несколько слагаемых то переносим их по одну сторону знака равенства и сводим к общему знаменателю. В результате получим дробную функцию f(x)/g(x), которая равна нулю

Следующим шагом находим корни числителя. Отвергаем среди них те, которые не принадлежат области допустимых значений (нули знаменателя) и записываем правильный ответ.

В теории все просто, однако на практике и у школьников и у студентов возникают проблемы при сведены к общему знаменателю, отыскании корней и т. д. Для ознакомления с решением рассмотрим несколько распространенных задач.

Примеры дробно рациональных уравнений

Пример 1. Найти корни уравнения

Решение: По методике переносим слагаемые и сводим к общему знаменателю

Приравниваем числитель и знаменатель к нулю и находим корни. Первое уравнение можем решить по теореме Виета

Второе раскладываем на множители

Если от корней числителя отбросить нули знаменателя то получим только одно решение x=-7.

Внимание: Всегда проверяйте совпадают ли корни числителя и знаменателя. Если такие есть то не учитывайте их в ответе.

Ответ: х=-7.

————————————

Пример 2. Решить уравнение

Решение: Задано дробное рациональное уравнение. Находим сначала корни числителя, для этого решаем квадратное уравнение

Вычисляем дискриминант

и корни уравнения

Получили три нуля числителя .
Квадратное уравнение в знаменателе проще и можем решить по теореме Виета

Числитель и знаменатель не имеют общих корней поэтому все три найденные значения будут решениями.

————————————

Пример 3. Найти корни уравнения

Решение: Переносим слагаемое за знак равенства

и сводим к общему знаменателю

Раскрываем в числителе скобки и сводим к квадратному уравнению


Полученное дробно рациональное уравнение эквивалентно системе двух уравнений

Корни первого вычисляем через дискриминант

Нули второго находим без проблем

Исключаем из решений числителя значение и получим.

Ответ: х=3.

————————————

Задачи на движение

Задача 4. Вертолет пролетел по ветру расстояние 120 км и обратно вернулся, потратив на весь путь 6 час. Найдите скорость ветра если скорость в штиль составляет 45 км/час.

Решение:
Обозначим скорость ветра через х км/час. Тогда за ветром скорость вертолета составит (45+х) км/час, и в обратном направлении (45-х) км/час. По условию задачи вертолет потратил 6 часов на дорогу.
Разделив расстояние на скорость и просуммировав получим время

Получили дробно рациональное уравнение схема решения которого неоднократно повторялась


Решением второго уравнения будут значения x=-45; x=45.

Корни числителя найдем после упрощений

С физических соображений первое решение отвергаем.

Ответ: скорость ветра 15 км/час.

————————————

Задачи о совместной работе

Задача 2. Два лесорубы работая вместе выполнили норму вырубки за 4 дня. Сколько дней нужно на выполнение этой работы каждому лесорубу отдельно если первому для вырубки нормы нужно на 6 дней меньше чем другому?

Решение: Пусть первый лесоруб выполняет норму по х дней. Тогда второму необходимо (х+6) дней.
Это означает что за один день первый выполнит , а второй — часть всей нормы. По условию выполняют норму за 4 дня, то есть оба в день могут выполнить нормы.
Составляем и решаем уравнение

Данное дробно рациональное уравнение эквивалентно системе двух уравнений


Одно решение не соответствует физической сути задачи. Время второго лесоруба
х+6=6+6=12 (дней)

Ответ: Работу первый лесоруб выполнит за 6 дней, а второй за 12.

————————————

Подобных дробно рациональных уравнений можно рассмотреть множество, схема их решения неизменна. В теоретических задачах правильно составляйте уравнение и не заблуждайтесь при сведении к общему знаменателю. Все остальное сводится к решению преимущественно линейных или квадратных уравнений.

Рациональные уравнения (ЕГЭ — 2021)

А вот еще одно уравнение \( \displaystyle \frac{5}{x+1}+\frac{4{x}-6}{(x+1)\cdot (x+3)}=3\). Это уравнение целое? НЕТ!!! Тут есть деление на переменную \( \displaystyle x\), а это говорит о том, что уравнение не целое. Тогда какое же оно? Это дробно рациональное уравнение.

Дробно-рациональное уравнение – рациональное (без знака корня) уравнение, в котором левая или правая части являются дробными выражениями.

На первый взгляд особой разницы не видно, ну давай попробуем решать его как мы решали целое (линейное) уравнение.

Для начала найдем наименьший общий знаменатель, это будет \( \displaystyle (x+1)\cdot (x+3)\). {2}}+3x=0.\end{array}\)

Ну как, это уже попроще выглядит, чем в начале было?

Выносим за скобку общий множитель: \( \displaystyle 3x\cdot (x+1)=0\)

У этого уравнения два решения, его левая сторона принимает нулевое значение при \( \displaystyle x=0\) и \( \displaystyle x=-1\). 

Вроде бы все, ну ладно давайте напоследок подставим корни \( \displaystyle x=0\) и \( \displaystyle x=-1\) в исходное уравнение, чтобы проверить, нет ли ошибок. Сначала подставим \( \displaystyle 0\), получается \( \displaystyle 3=3\) –нет претензий?

С ним все нормально. А теперь \( \displaystyle -1\), и тут же видим в знаменателе первого члена \( \displaystyle -1+1\)!

Но ведь это же будет ноль!

На ноль делить нельзя, это все знают, в чем же дело???

Дело в ОДЗ! (если забыл что это, повтори тему «ОДЗ»!) Области Допустимых Значений.

Всякий раз когда ты видишь уравнение, где есть переменные (\( \displaystyle x,y\) и т.д.) в знаменателе, прежде всего, нужно найти ОДЗ, найти какие значения может принимать икс, хотя удобнее в ОДЗ написать, чему икс НЕ может быть равен, ведь таких значений не так много, как правило.

Просто запомни, что на ноль делить нельзя! И перед тем как решать наше уравнение нам следовало сделать так:

ОДЗ: \( \displaystyle x+1\ne 0\) и \( \displaystyle x+3\ne 0\) \( \displaystyle \Rightarrow x\ne -1\) и \( \displaystyle x\ne -3\).

Если бы мы сразу так написали, то заранее бы знали, что эти ответы стоит исключить и так, из полученных нами \( \displaystyle x=0\) и \( \displaystyle x=-1\) мы смело исключаем \( \displaystyle x=-1\), т.к. он противоречит ОДЗ.

Значит, какой ответ будет у решенного уравнения?

В ответ стоит написать только один корень, \( \displaystyle x=0\).

Стоит заметить, что ОДЗ не всегда сказывается на ответе, возможны случаи, когда корни, которые мы получили, не попадают под ограничения ОДЗ.

Но писать ОДЗ в дробно рациональных уравнениях стоит всегда – так просто спокойнее, что ты ничего не упустил и да,

ВСЕГДА по окончании решения сверяй свои корни и область допустимых значений!

Урок 3.

квадратные уравнения, неравенства и их системы — Алгебра и начала математического анализа — 10 класс

Алгебра и начала математического анализа, 10 класс

Урок №3. Квадратные уравнения, неравенства и их системы.

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

  • систематизация знаний учащихся о решении квадратных уравнений и неравенств;
  • установление зависимости количества и расположения корней квадратного уравнения от его коэффициентов и значения дискриминанта;
  • способы решения квадратных уравнений и неравенств с параметрами.

Глоссарий по теме:

Параметр — (от греч. parametron — отмеривающий) в математике, величина, числовые значения которой позволяют выделить определенный элемент из множества элементов того же рода.

Основная литература:

Колягин Ю. М., Ткачева М. В., Фёдорова Н.Е. и др. Алгебра и начала математического анализа. 10 класс. Базовый и углублённый уровни. — М. : Просвещение, 2017.

Ткачева М. В., Федорова Н. Е. Алгебра и начала математического анализа. Тематические тесты. 10 класс. Базовый и профильный уровни. 2016.

Шабунин М. И., Ткачева М. В., Фёдорова Н.Е. и др. Алгебра и начала математического анализа. Дидактические материалы. 10 класс. Профильный уровень. 2016.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

В курсе средней школы будут рассматриваться показательные, логарифмические, тригонометрические уравнения и неравенства. Чтобы облегчить дальнейшее изучение специальных уравнений, нужно уметь решать квадратные уравнения и неравенства, устанавливать и объяснять зависимость вида решения от его коэффициентов и дискриминанта, представлять геометрическую интерпретацию задач.

Квадратные уравнения.

На уроке будем рассматривать различные способы решения квадратных уравнений.

Как определить, сколько корней имеет уравнение, подскажет дискриминант.

Дискриминант – это число, которое находим по формуле

Если D <0 корней нет, если D = 0 один корень, если D> 0 два корня.

Если дискриминант D> 0 , корни можно найти по формуле:

Если D = 0 , то

Рассмотрите пример. Решить уравнение

Шаг 1. Выпишем коэффициенты a, b, c. 

Шаг 2. Найдем дискриминант. D=16.

Шаг 3. Запишем формулу корней и подставим значения. Вычислим значения корней:

Заметим:

1.Перед решением квадратного уравнения привести его к стандартному виду.

2. Избавьтесь от минуса перед . Для этого надо умножить всё уравнение на -1.

3. Если в уравнении есть дробные коэффициенты, умножьте уравнение на общий знаменатель.

4. Проверяйте корни по теореме Виета. Это просто, когда a=1.

Рассмотрите другие формулы:

, где второй коэффициент b=2k – четное число.

Приведенное квадратное уравнение , старший коэффициент равен a= 1, проще решать по теореме Виета.

Уравнение (х-3) (х+5) =0 является квадратным. Для его решения воспользуйтесь свойством: произведение равно 0, когда один из множителей равен 0.

Осталось вспомнить, как решаются неполные квадратные уравнения. Неполные — значит один или два коэффициента равны нулю.

Для решения систем уравнений применяются все методы решения: подстановки, сложения, графический.

Рассмотрим несколько примеров:

Пример 1.

Если из одного из уравнений можно выразить х или у, применяем метод подстановки. Выразите х из первого уравнения и подставьте во второе. Решите и найдите корни.

Пример 2.

Применяем метод сложения. Выполнив сложение, получаем уравнение , далее x= ±5. Находим у= ±2. Составляем возможные пары чисел.

Записываем ответ: (5; 2), (5; -2), (-5; 2), (- 5; -2).

Пример 3. Иногда проще ввести новые переменные.

Пусть xy=u, x+y=v. Тогда систему можно записать в более простом виде:

Решение смотри в примере 1.

Часть 2. Квадратные неравенства.

Теперь, когда мы разобрали решение квадратных уравнений, переходим к решению квадратных неравенств
ax^2+ bx + c больше или меньше нуля.  

Шаг 1. Запишем соответствующее неравенству квадратное уравнение и найдем его корни. Отметим корни на оси OХ и схематично покажем расположение ветвей параболы «вверх» или «вниз».

Шаг 2. Расставим на оси знаки, соответствующие знаку квадратичной функции: там, где парабола выше оси, ставим +, а там, где ниже –.

Шаг 3. Выписываем интервалы, соответствующие знаку неравенства. Если неравенство нестрогое, корни входят в интервал, если строгое не входят.

Вспомните возможные случаи расположения корней на оси и ветвей параболы в зависимости от коэффициента а и дискриминанта.

Метод интервалов упрощает схему решения. По-прежнему находим корни квадратного трехчлена, расставляем на числовой прямой. Определяем знаки на интервалах + или – по схеме:

если а>0 + — +, если а <0 — + -. Или путём подстановки произвольного значения квадратный трехчлен.

Рассмотрим несколько примеров:

D=0 все точки параболы выше оси и только одна х=2 на оси ОХ -нет решений.

D<0 коэффициент а=2>0 ветви вверх. Парабола выше оси, все значения положительны, значит х- любое число. Неравенство не имеет решений.

Далее рассмотрим схему решения системы неравенств.

Алгоритм решения системы неравенств.

1.Решить первое неравенство системы, изобразить его графически на оси x.

2.Решить второе неравенство системы, изобразить его графически на оси x.

3.Выбрать в ответ те участки, в которых решение первого и второго неравенств пересекаются. Записать ответ.

Часть 3

Теперь, когда мы разобрали решение квадратных уравнений и неравенств переходим к решению самых сложных заданий с параметрами. Если в уравнении или неравенстве некоторые коэффициенты заданы не числовыми значениями, а обозначены буквами, то они называются параметрами, а само уравнение или неравенство параметрическим.

Первый шаг в решении — найти особое значение параметра.

Второй шаг – определить допустимые значения.

Если в задаче требуется определить знаки корней квадратного уравнения, то, как правило, удобнее использовать теорему Виета.

Но прежде, чем применять теорему Виета, обязательно нужно проверить, что уравнение имеет корни! Для этого вычисляем дискриминант.

Рассмотрите примеры решения неравенства с параметром.

Графический метод решения обладает несомненным преимуществом – можно представить решение наглядно.

Для любого свойства, сформулированного на алгебраическом языке, нужно уметь давать геометрическую интерпретацию и, наоборот, по поведению графика параболы дать общую оценку коэффициентов квадратного трехчлена и его корней.

Например, если старший коэффициент квадратного трехчлена меньше 0, то ветви параболы направлены вниз. Если дискриминант больше 0, то трехчлен имеет различные действительные корни и парабола пересекает ось абсцисс в двух точках и т.д.

Мы рассмотрели лишь некоторые примеры, иллюстрирующие применение графического метода к решению квадратных уравнений и неравенств. Более подробно с методами решения квадратных уравнений, неравенств, их систем вы можете, поработав с интерактивными моделями.

Задания тренировочного модуля с разбором.

Пример 1.

При каких значениях параметра, а квадратное уравнение

имеет только один корень?

Находим дискриминант D=25-4∙2∙5a=25-40a. Уравнение имеет один корень, если D=0, т.е. 25-40a=0, а=5/8.

Пример 2.

Определите, на каком интервале значения квадратного трехчлена отрицательны?

Решаем неравенство: . Находим дискриминант квадратного трехчлена D= 1-4∙2∙ (-1) =1+8=9. Находим корни . Расставляем точки на числовой прямой.

Старший коэффициент а=2 ветви параболы вверх. Знаки чередуются + — +. Записываем ответ: — 0,5< х <1.

Методы решения квадратных и дробно-рациональных уравнений

Исследования методов решений квадратных и дробно рациональных уравнений

Выполнили:

Аббасов Руслан

Землянский Руслан

Голубцов Артур

Содержание

  • Из истории
  • Определение
  • Классификация
  • Способы решения
  • Теорема Виета
  • Проверка знаний
  • Решение дробно рациональных уравнений
  • Выдающаяся личность Виет

О математика. В веках овеяна ты славой, Светило всех земных светил. Тебя царицей величавой Недаром Гаусс окрестил. Строга, логична, величава, Стройна в полете, как стрела, Твоя немеркнущая слава В веках бессмертье обрела. Мы славим разум человека, Дела его волшебных рук, Надежду нынешнего века, Царицу всех земных наук. Поведать мы сегодня вам хотим Историю возникновения Того, что каждый школьник должен знать – Историю квадратных уравнений.

Из истории

Необходимость решать уравнения не только первой, но и второй степени еще в древности была вызвана потребностью решать задачи, связанные с нахождением площадей земельных участков и с земляными работами военного характера, а также с развитием астрономии и самой математики. Квадратные уравнения умели решать около 2000 лет до нашей эры вавилоняне. Применяя современную алгебраическую запись, можно сказать, что в их клинописных текстах встречаются, кроме неполных, и такие, например, полные квадратные уравнения:

Из истории

Правило решения этих уравнений, изложенное в вавилонских текстах, совпадает по существу с современным, однако неизвестно, каким образом дошли вавилоняне до этого правила. Почти все найденные до сих пор клинописные тексты приводят только задачи с решениями, изложенными в виде рецептов, без указаний относительно того, каким образом они были найдены. Несмотря на высокий уровень развития алгебры в Вавилоне, в клинописных текстах отсутствуют понятие отрицательного числа и общие методы решения квадратных уравнений. 

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Квадратным уравнением называется уравнение вида где a , b, c , d – заданные числа, x – переменная. Числа a, b, c носят следующие названия: a — первый коэффициент, b второй коэффициент, с — свободный член.

КЛАССИФИКАЦИЯ

Полные: ax 2 + bx + c =0 ,

где коэффициенты b и с отличны от нуля ;

Неполные: ax 2 + bx =0, ax 2 + c =0 или ax 2 =0

т.е. хотя бы один из коэффициентов b или c равен нулю;

Приведенные: x 2 + bx + c =0 ,

т. е. уравнение, первый коэффициент которого равен единице (а=1).

СПОСОБЫ РЕШЕНИЯ

  • Решение полных квадратных уравнений
  • Дискриминант
  • Решение неполных квадратных уравнений
  • Решение приведенного квадратного уравнения
  • Графический метод решения квадратных уравнений
  • Решение биквадратных уравнений

Решение полных квадратных уравнений

По формуле корней квадратного уравнения: a x 2 + b x + c =0 ,

Дискриминант

Дискриминант

при

квадратное уравнение имеет два корня

Дискриминант

при

квадратное уравнение имеет один корень

Дискриминант

при

квадратное уравнение не имеет корней

Формулы корней

Решение неполных квадратных уравнений

Если хотя бы один из коэффициентов c или b равен нулю, то квадратное уравнение называется неполным квадратным уравнением .

    1.Если c =0 и b =0 , то уравнение ax 2 =0 имеет один корень x =0 ;

2.Если c =0 , то уравнение ax 2 + bx =0 имеет два корня:

3.Если b =0 , то уравнение ax 2 + c =0

при не имеет корней,

при имеет два корня

  

Решение приведенного квадратного уравнения

3. По теореме обратной теореме Виета

x 2 + bx + c =0

х 1 +х 2 =- b,

x 1 ×x 2 =c .

1.По формуле корней квадратного уравнения

2. Метод выделения полного квадрата

Пример . x 2 +2x-3=0

x 2 +2x=3,

x 2 +2x+1=3+1

(x+1) 2 =4

x+1=2 или x+1=-2

x 1 =1 , x 2 =-3

Графический метод решения квадратных уравнений

Чтобы получить решение квадратного уравнения графическим способом Квадратное уравнение разделяют на две функции, линейную и квадратичную. 2

y 2 =-(bx+c)

Графический метод решения квадратных уравнений

  • Функция y1 это парабола. Функция y2 это прямая линия. Решением, корнями квадратного уравнения являются точки пересечения этих функций.
  • При решении могут представиться три варианта:
  • Функции имеют две точки пересечения — два корня квадратного уравнения действительны и различны между собой.
  • Функции имеют одну точку пересечения — квадратное уравнение имеет только один действительный корень.
  • Функции не имеют ни одной точки пересечения — тогда оба корня квадратного уравнения мнимые, комплексные числа.

Решение биквадратного уравнения

Определение : уравнение вида ax 4 + bx 2 + c =0 называют биквадратным .

  • Определение : уравнение вида ax 4 + bx 2 + c =0 называют биквадратным .
  • Определение : уравнение вида ax 4 + bx 2 + c =0 называют биквадратным .

Пример . 9 x 4 +5 x 2 -4=0

Обозначим x 2 = t . Тогда данное уравнение примет вид

9 t 2 +5 t -4=0

Откуда t 1 =9/4, t 2 =-1.

Уравнение x 2 =4/9 имеет корни x 1 =2/3, x 2 =-2/3 ,

а уравнение x 2 =-1 не имеет действительных корней.

Решение квадратных уравнений

Если все коэффициенты квадратного уравнения отличны от нуля, то находим дискриминант.

Если квадратное уравнение является приведенным, то можем его решить с помощью теоремы Виета.

Теорема Виета.

Если x 1 и х 2 – корни приведенного квадратного уравнения х 2 +рх+ q =0 , то х 1 +х 2 = — р , х 1 . х 2 = q .

Если коэффициент при квадрате переменной равен 1, то уравнение называется приведенным.

Решите?

1.

2.

3.

4.

5.

Проверим…

1.

так как получили число меньше нуля, следовательно, уравнение корней не имеет

Проверим…

2.

Проверим…

3.

Проверим…

4.

найдем дискриминант

так как дискриминант меньше нуля, следовательно, квадратное уравнение не имеет корней

Проверим…

5.

Решение дробно рациональных уравнений

  • При решении уравнений, содержащих переменную в знаменателе дроби сначала нужно избавиться от дроби.  Для этого находят наименьший общий знаменатель, и обе части уравнения умножают на этот знаменатель. Далее полученное выражение упрощают, и получается обыкновенное линейное или квадратное уравнение.
  • Только нужно найти область допустимых значений выражения (ОДЗ). После того, как найдены корни уравнения, обязательно проверяем, входят ли они в ОДЗ.
  • Вспомним два правила решения уравнений:
  • 1) Если обе части уравнения разделить или умножить на одно и то же число, корни уравнения не изменятся.
  • 2) Слагаемые можно переносить из одной части уравнения в другую с противоположным знаком .

Выдающаяся личность Виет

Франсуа Виет родился в 1540 году в городе Фонтене ле-Конт провинции Пуату. Получив юридическое образование, он в 19 лет успешно занимался адвокатской практикой в родном городе. Как адвокат Виет пользовался у населения авторитетом и уважением. Он был широко образованным человеком. В 1571 году Виет переехал в Париж и там познакомился с математиком Пьером Рамусом. Благодаря своему таланту и, отчасти, благодаря браку своей бывшей ученицы с принцем де Роганом, Виет сделал блестящую карьеру и стал советником Генриха III, а после его смерти — Генриха IV. В последние годы жизни Виет занимал важные посты при дворе короля Франции. Умер он в Париже в самом начале семнадцатого столетия. Есть подозрения, что он был убит.

Квадратные уравнения: приведённые уравнения, формулы корней

Квадратное уравнение или уравнение второй степени с одним неизвестным — это уравнение, которое после преобразований может быть приведено к следующему виду:

ax2 + bx + c = 0  — квадратное уравнение,

где  x  — это неизвестное, а  a,  b  и  c  — коэффициенты уравнения. В квадратных уравнениях  a  называется первым коэффициентом  (a ≠ 0),  b  называется вторым коэффициентом, а  c  называется известным или свободным членом.

Уравнение:

ax2 + bx + c = 0

называется полным квадратным уравнением. Если один из коэффициентов  b  или  c  равен нулю, или нулю равны оба эти коэффициента, то уравнение представляют в виде неполного квадратного уравнения.

Приведённое квадратное уравнение

Полное квадратное уравнение можно привести к более удобному виду, разделив все его члены на  a,  то есть на первый коэффициент:

Затем можно избавиться от дробных коэффициентов, обозначив их буквами  p  и  q:

если  b = p,  а c = q,
aa

то получится   x2 + px + q = 0.

Уравнение  x2 + px + q = 0  называется приведённым квадратным уравнением. Следовательно, любое квадратное уравнение, в котором первый коэффициент равен 1, можно назвать приведённым.

Например, уравнение:

x2 + 10x — 5 = 0

является приведённым, а уравнение:

-3x2 + 9x — 12 = 0

можно заменить приведённым уравнением, разделив все его члены на  -3:

x2 — 3x + 4 = 0.

Решение квадратных уравнений

Чтобы решить квадратное уравнение, надо привести его к одному из следующих видов:

ax2 + bx + c = 0;

ax2 + 2kx + c = 0;

x2 + px + q = 0.

Для каждого вида уравнения есть своя формула нахождения корней:

Вид уравненияФормула корней
ax2 + bx + c = 0
ax2 + 2kx + c = 0
x2 + px + q = 0
или
если коэффициент  p  нечётный

Обратите внимание на уравнение:

ax2 + 2kx + c = 0

это преобразованное уравнение  ax2 + bx + c = 0,  в котором коэффициент  b  — четный, что позволяет его заменить на вид  2k.   Поэтому формулу нахождения корней для этого уравнения можно упростить, подставив в неё  2k  вместо  b:

Пример 1. Решить уравнение:

3x2 + 7x + 2 = 0.

Так как в уравнении второй коэффициент не является чётным числом, а первый коэффициент не равен единице, то искать корни будем по самой первой формуле, называемой общей формулой нахождения корней квадратного уравнения. Сначала определим, чему равны коэффициенты:

a = 3,  b = 7,  c = 2.

Теперь, для нахождения корней уравнения, просто подставим значения коэффициентов в формулу:

x1 = -2 = —1,   x2 = -12 = -2
636

Пример 2:

x2 — 4x — 60 = 0.

Определим, чему равны коэффициенты:

a = 1,  b = -4,  c = -60.

Так как в уравнении второй коэффициент — чётное число, то будем использовать формулу для квадратных уравнений с чётным вторым коэффициентом:

x1 = 2 + 8 = 10,   x2 = 2 — 8 = -6

Ответ:  10,  -6.

Пример 3.

y2 + 11y = y — 25.

Приведём уравнение к общему виду:

y2 + 11y = y — 25;

y2 + 11y — y + 25 = 0;

y2 + 10y + 25 = 0.

Определим, чему равны коэффициенты:

a = 1,  p = 10,  q = 25.

Так как первый коэффициент равен  1,  то будем искать корни по формуле для приведённых уравнений с чётным вторым коэффициентом:

Ответ:  -5.

Пример 4.

x2 — 7x + 6 = 0.

Определим, чему равны коэффициенты:

a = 1,  p = -7,  q = 6.

Так как первый коэффициент равен  1,  то будем искать корни по формуле для приведённых уравнений с нечётным вторым коэффициентом:

x1 = (7 + 5) : 2 = 6,

x2 = (7 — 5) : 2 = 1.

Ответ:  6,  1.

Линейные и квадратные уравнения

Определение

Уравнение (с одной переменной) — это некоторое равенство двух выражений, содержащее неизвестную (переменную). \[f(x)=g(x) \qquad \qquad (1)\]Пусть для определенности все дальнейшие уравнения содержат переменную, обозначенную буквой \(x\).

 

Замечание

Заметим, что \(x\) — это просто некоторое число, значение которого неизвестно.

 

Определение

Областью определения (или областью допустимых значений, сокращенно ОДЗ) любого уравнения вида \((1)\) будем называть множество значений переменной \(x\), при которых определены (то есть не теряют смысла) функции \(f(x)\) и \(g(x)\).

 

Пример

Уравнение \(\dfrac {10}{x-1}=5\) определено при всех значениях переменной \(x\), кроме \(x=1\), потому что в этом случае знаменатель дроби в левой части равенства обращается в ноль. Значит, ОДЗ уравнения \(x\in (-\infty;1)\cup(1;+\infty)\).

 

Определение

Корнем уравнения называется то числовое значение \(x\), при котором уравнение обращается в верное равенство.
Иногда корни уравнения называют решением этого уравнения.

Например, корнем уравнения из предыдущего примера является число \(x=3\), потому как тогда уравнение принимает вид \(\dfrac{10}{3-1}=5\) или, что то же самое, \(5=5\), что является верным равенством.

 

Замечание

 

1) Заметим, что уравнение может как иметь корни, так и не иметь корней. Например, уравнение \(\dfrac 1x=0\) ни при каких значениях \(x\) не может быть верным, потому что дробь равна нулю, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель при этом не теряет смысла. 3=64\) является \(x=4\).  

РЕШЕНИЕ КВАДРАТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ


Примечание:

  • Квадратное уравнение — это полиномиальное уравнение степени 2.
  • П-образный график квадратичной кривой называется параболой.
  • Квадратное уравнение имеет два решения. Либо два разных реальных решения, одно двойное действительное решение или два мнимых решения.
  • Есть несколько методов, которые вы можете использовать для решения квадратного уравнения:
    1. Факторинг
    2. Завершение площади
    3. Квадратичная формула
    4. Графики
  • Все методы начинаются с установки уравнения равным нулю.


Решите относительно x в следующем уравнении.

Пример 1:

Уравнение уже обнулено.

Если вы забыли, как манипулировать дробями, нажмите «Дроби» для просмотра.

Удалите все дроби, записав уравнение в эквивалентной форме без дробных коэффициентов. В этой задаче это можно сделать с помощью умножение обеих частей уравнения на 2.


Метод 1: Факторинг

Уравнение нелегко разложить на множители.Следовательно, мы не будем использовать этот метод.


Метод 2: Завершение квадрата

Добавьте 10 к обеим частям уравнения


Добавьте к обеим сторонам уравнения:


Разложите левую сторону на множители и упростите правую:


Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения:


Добавьте 16 к обеим сторонам уравнения:


Метод 3: квадратичная формула

Квадратичная формула:

В уравнении a — это коэффициент члена, b — коэффициент члена x , и c — постоянная.Замените 1 на a , -32 на b и -10 на c в квадратная формула и упростить.


Метод 4: построение графиков

Изобразите левую часть уравнения, и изобразите правую часть уравнения. График представляет собой не что иное, как ось абсцисс. Итак, что вы будете искать где график пересекает ось абсцисс. Другими словами, точки пересечения по оси x — это решения этого уравнения.

На графике видно, что есть два пересечения по оси x, одно на 32.309506 и один -0.309506.

Ответы: 32.309506, и эти ответы могут или могут не быть решениями исходных уравнений. Вы должны убедиться, что эти ответы — это решения.


Отметьте эти ответы в исходном уравнении.


Проверьте решение x = 32,309506, заменив 32,309506 в исходном уравнение для x. Если левая часть уравнения

равна правой сторону уравнения после подстановки, вы нашли правильный отвечать.

Поскольку левая часть исходного уравнения равна правой части исходное уравнение после того, как мы подставим значение 32.309506 вместо x, тогда x = 32,309506 — это решение.

Проверьте решение x = -0,309506, заменив -0,309506 в исходном уравнение для x. Если левая часть уравнения равна правой сторону уравнения после подстановки, вы нашли правильный отвечать.

Поскольку левая часть исходного уравнения равна правой части исходное уравнение после того, как мы подставим значение -0.309506 для x, затем x = — 0,309506 — это решение.


Решения уравнения равны 32,309506 и — 0,309506.


Комментарий: вы можете использовать точные решения, чтобы разложить исходное уравнение на множители.


С


С


Продукт


С


тогда мы могли бы сказать



Однако произведение первых членов множителей не равно


Умножение


Давайте проверим,




коэффициенты а, и

Если вы хотите проработать другой пример, нажмите «Пример».


Если вы хотите проверить себя, решив некоторые задачи, подобные этой Например, нажмите «Проблема»


Если вы хотите вернуться к оглавлению уравнения, щелкните СОДЕРЖАНИЕ

[Алгебра] [Тригонометрия] [Геометрия] [Дифференциальные уравнения] [Исчисление] [Комплексные переменные] [Матричная алгебра]

С. Домашняя страница O.S MATHematics


Вам нужна дополнительная помощь? Пожалуйста, разместите свой вопрос на нашем S.O.S. Математика CyberBoard.

Автор: Нэнси Маркус

Как решить это квадратное уравнение (где $ x $ представлен дробью, содержащей квадратный корень)?

Как решить это квадратное уравнение (где $ x $ представлен дробью, содержащей квадратный корень)? — Обмен математическими стеками
Сеть обмена стеков

Сеть Stack Exchange состоит из 177 сообществ вопросов и ответов, включая Stack Overflow, крупнейшее и пользующееся наибольшим доверием онлайн-сообщество, где разработчики могут учиться, делиться своими знаниями и строить свою карьеру.

Посетить Stack Exchange
  2. 0
  3. +0
  6. Авторизоваться Зарегистрироваться

Mathematics Stack Exchange — это сайт вопросов и ответов для людей, изучающих математику на любом уровне, и профессионалов в смежных областях. Регистрация займет всего минуту.

Зарегистрируйтесь, чтобы присоединиться к этому сообществу

Кто угодно может задать вопрос

Кто угодно может ответить

Лучшие ответы голосуются и поднимаются наверх

Спросил

Просмотрено 247 раз

$ \ begingroup $

Если $ x- \ frac {4} {5} = \ pm \ frac {\ sqrt {31}} {5} $, как я могу найти значения a и b в следующем уравнении?

$$ 5x ^ 2 + ax + b = 0? $$

Я попытался заменить $ (\ frac {4} {5} \ pm \ frac {\ sqrt {31}} {5}) $ на $ x $ и совершенно запутался.

Создан 30 дек.

блестящий

66155 серебряных знаков1010 бронзовых знаков

$ \ endgroup $ 1 $ \ begingroup $

Возведите в квадрат обе стороны, умножьте обе стороны на 5 долларов, затем переместите все члены влево.2-8 х — 3 = 0. \ end {align}

Итак, $ a = -8 $ и $ b = -3 $.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *