Решение квадратных и линейных уравнений: Онлайн калькулятор. Решение квадратных уравнений

{2}\)

4. С помощью сокращённого дискриминанта найдем корни по формулам:

\(\left\lbrack \begin{matrix} \ \\ \ x_{1} = \frac{3 + 2\ }{1} \\ \ \\ \ x_{1} = \frac{3 — 2\ }{1}\ \\ \ \\ \end{matrix} \right.\ \) \(\left\lbrack \begin{matrix} x_{1} = 5 \\ {\text{\ \ \ }x}_{2} = 1 \\ \end{matrix} \right.\ \)

Ответ: 5; 1.

Как мы видим, ответ остался прежним, но числа, используемые при вычислениях, стали меньше. Это значит, что при работе с большими коэффициентами решение через сокращённый дискриминант уменьшает вероятность вычислительной ошибки.

ТЕОРЕМА ВИЕТА:

В некоторых случаях (например, \(a = 1\)) корни проще искать по теореме Виета, решая подбором систему уравнений:

\(\left\{ \begin{matrix} \ \\ x_{1} \cdot x_{2} = \frac{c}{a}\ \\ \ \\ \text{\ \ \ \ \ \ x}_{1} + x_{2} = — \frac{b}{a}\ \\ \ \\ \end{matrix} \right.\ \)

Важно, что теорему Виета можно использовать при любом ненулевом коэффициенте а, формула представлена в общем виде.

Однако если \(a = 1,\) то чаще всего нужно работать с целыми числами, а не с дробными, что упрощает подбор.

Следствия из теоремы Виета:

Используя теорему Виета, можно увидеть взаимосвязь между коэффициентами b и c и знаками корней уравнения.

Коэффициент c показывает, будут ли одинаковыми знаки корней:

Если\(\ c > 0\), то корни\(\ x_{1}\) и \(x_{2}\ \) имеют одинаковый знак.
Если коэффициент \(c < 0\), корни \(x_{1}\) и \(x_{2}\) будут разных знаков.

Коэффициент b показывает, какой именно знак у корней, если он один, либо какой корень положительный, а какой отрицательный, если знаки разные.

Если \(x_{1} + x_{2} = — b > 0\) (т.е. сумма корней положительна), то возможны 2 варианта:

а) либо оба корня положительны;

б) либо модуль положительного корня больше модуля отрицательного.

Если\(\ x_{1} + x_{2} = — \ b < 0\) (т. {2} + \frac{c}{a} = 0\)
2. Смотрим на знак слагаемого без переменной.
Если \(\frac{c}{a} < 0\), то раскладываем по формуле разности квадратов, приравниваем каждую из скобок к нулю и решаем полученные уравнения.
Если \(\frac{c}{a} = 0\), то получаем единственное решение \(x = 0.\)
Если \(\frac{c}{a} > 0\), то решений нет.
Содержание
«Решение линейных, квадратных и неполных квадратных уравнений»

Муниципальное общеобразовательное учреждение
«Бурлинская средняя общеобразовательная школа»
Практический материал к ОГЭ
по математике
«Решение линейных, квадратных и неполных квадратных уравнений»
Составила: Околович В.А.,
учитель математики
с. Бурла
2022г
Тема методической разработки: «Решение линейных, квадратных и неполных квадратных уравнений» составлена для проведения занятий по обобщающему повторению в классах с различным уровнем усвоения учебного материала и различной мотивацией обучения.
Цель разработки: умение анализировать, обобщать, делать выводы через усвоение различных методов решения уравнений; преодоление психологического барьера, связанного с новой формой проведения итоговой аттестации по математике.
Задачи: систематизировать основные методы решения уравнений, научиться применять их при решении уравнений, совершенствовать навыки самостоятельной работы, работы в группах; совершенствовать навыки самоконтроля.
Предлагается образец решения уравнений и уравнения для самостоятельного выполнения с опорой на образец решения.
Линейное уравнение – уравнение вида ax+b=0, где x – переменная, a и b некоторые числа, причем a≠0.
Уравнение нужно привести к виду ах=b и его решить. Достаточно поделить левую часть и правую часть уравнения на а. В результате получим х=а/b.
Линейными уравнениями называют не только уравнения вида ax+b=0, но и любые уравнения, которые при помощи преобразований и упрощений сводятся к этому виду.
Алгоритм решение линейных уравнений
1. Раскрыть скобки (если они есть)
2. Неизвестны слагаемые перенести в левую часть, числа – в правую, привести подобные слагаемые. Получится уравнение вида ax=b.
3. Решить данное линейное уравнение: x=b/a.
4. Записать ответ.
Примеры решения линейных уравнений:
2x+1=2(x−3)+8
Это линейное уравнение, так как переменная стоит в первое степени.
Попробуем преобразовать его к виду ax=b:
Для начала раскроем скобки:
2x+1=4x−6+8
В левую часть переносятся все слагаемые с x, в правую – числа:
2x−4x=2−1
−2x=1
Теперь поделим левую и правую часть на число (-2):
−2x:(−2)=1:(−2), х=- 0,5
Ответ: x=−0,5

Квадратное уравнение – уравнение вида ax²+bx+c=0, где x – переменная, a, b и c – некоторые числа, причем a≠0.
Алгоритм решения квадратного уравнения:
1. Определить коэффициенты уравнения: а ,b, с
2. Вычислить дискриминант по формуле:
D=b²−4ac
1. Если D0, будет два различных корня, которые находятся по формуле:
X_1,2=(−b±√D):2a
1. Если D=0, будет один корень, который находится по формуле:
x=−b/2a
1. Если D
2. Записать ответ.
Примеры решения квадратного уравнения:
1) –x²+6x+7=0
a=−1, b=6, c=7
D=b²−4ac= 62−4⋅(−1)⋅7= 36+28=64
D0 – будет два различных корня:
X_1,2=(−b±√D ):2a
х_1,2=( −6±√64):2⋅(−1)= (−6±8):(−2), х₁=(-6+8):(-2)=-1_,х₂=(-6-8):(-2)=7
Ответ: x₁=−1,x₂=7
2) −x²+4x−4=0
a=−1,b=4,c=−4
D=b2−4ac= 42−4⋅(−1)⋅(−4)= 16−16=0
D=0 – будет один корень:
x=−b/2a=−4:(2⋅(−1))= −4:(−2)=2
Ответ: x=2
Неполные квадратные уравнения :
1) Если с=0, а#0 , b#0, тогда ах²+bx=0, x(ax+b)=0, x₁₌0 или х₂=-b/a
2) Еcли b=0, а#0 , с#0,тогда ах²+с=0, -с/а0 x_1,2= +-√(-с/а), -с
3) Если b=c=0,а#0,тогда ах²=0, х₁=х₂=0
Алгоритм решение неполных квадратных уравнений:
1. По условию определить тип неполного квадратного уравнения.
2. Решить неполное квадратное уравнение по правилу, соответствующему его типу.
3. Записать ответ.
Примеры решения неполных квадратных уравнений:
1. 5х²-4х=0, имеет вид ах²+bx=0
x(5x-4)=0, х=0 или 5х-4=0, х=5/4=0,8
Ответ: 0;0,8
1. 9х²-36=0, имеет вид ах²+с=0, 9а²=36, а²=4, а₁=2, а₂=-2
Ответ: -2; 2
1. -128х=0, х=0
Ответ:0
Выполни самостоятельно.
1.Линейные уравнения:
1) (х+10)²=(5-х)² 2) (х+2)²=(1-х)²
3) 4(х+10)=-1 4) 10(х+2)=-7
5) 4х-7=2х 6) 6х-3=8х
7) (х -5)²-х²=0 8) (2х-6)²-4 х²=0
9) 2+3х=-7х-5 10) 1-10х=5х+10
11) -2х-4=3х 12) 6х+1=-4х
2. Квадратные уравнения:
1) х²+8х+15=0 2) х²+10х+24=0
3) х²-20=х 4) х²-35=2х
5) 2х² +5х-7=0 6) 5 х²+4х-1=0
7) х²-5х=14 8) х²+4х=21
9) 5 х²+9х+4=0 10) 6 х²-9х+3=0
11)8 х²-12х+4=0 12) 8 х²-10х+2
3. Неполные квадратные уравнения:
1) 1/4х²-36=0 2) 1/3х²-27=0
3) 5 х²+20х=0 4) 7 х²-14х=0
5) 5 х²+15х=0 6) 4 х²-20х=0
7) 3х²-12=0 8) 3х²-27=0
9) 6 х²=36х 10) 7 х²=42х
11) 7 х²— 49=0 12) 8 х² -64=0
Литература:
1. Алгебра 7-9 классы Т.М. Виноградова. Москва: Эксмо,2019
2. ОГЭ математика И.В. Ященко, 2021г,2022г.
Решение линейных и квадратных уравнений: деление, исключение
Ключевые понятия
- Линейно-квадратичная система уравнений.
- Ликвидация.
- Подстановка
Введение
На предыдущем уроке мы узнали о решении квадратного уравнения, а на предыдущем уроке мы узнали о решении линейных уравнений.
Теперь мы научимся совместно решать системы линейных и квадратных уравнений.
Линейно-квадратичная система уравнений
Мы узнали о линейном уравнении, имеющем вид y =mx + c, и
мы также знаем о квадратном уравнении, имеющем вид y = ax ² +bx +с.
Теперь мы узнаем о системе уравнений, которая включает
y = mx +c и y = ax ² +bx+c.
И мы увидим, как решения квадратных уравнений связаны с решениями линейно-квадратичной системы уравнений.
На следующем рисунке показано уравнение прямой и парабола,
- если прямая пересекает параболу в двух точках, то система уравнений имеет два решения.
- если прямая пересекает параболу в одной точке, то система уравнений имеет одно решение.
- если прямая не пересекает параболу ни в одной точке, то система уравнений не имеет решения.
Решения, полученные для квадратных уравнений, подобны решениям, полученным в системе линейно-квадратичных уравнений.
В квадратном уравнении рассматривается пересечение параболы с осью x.
Здесь в системе линейно-квадратичного уравнения рассматривается пересечение уравнения прямой и параболы.
На следующем рисунке показаны решения квадратных уравнений.
Давайте рассмотрим несколько примеров.
Пример 1:
Сколько решений имеет уравнение y = 2x и y = 4x ²?
Решение:
Даны уравнения y = 2x и y = 4x ² .
Нарисуем график для двух приведенных выше уравнений.
Теперь из графика парабола и прямая пересекаются в двух точках (0,0) и (1, 1)
Итак, у данных уравнений есть два решения.
То есть x=0, y=0 и x=1, y=1.
Решение линейно-квадратичного уравнения путем деления0023 2
+6 = 4x+2.
Решение:
Данное уравнение x ² +6 = 4x+2.
Запишите уравнение путем деления, приравняйте каждую часть уравнения к y
y = x ² +6
y = 4x+2 бола пересекаются в одной точке (2, 10)
Такое, что решение x = 2, y =10
Проверка решения:
Прямая и парабола пересекаются в одной точке (2, 10)
Такое, что решение равно x = 2.
Теперь проверим, подставив в уравнение x ² +6 = 4x+2.
Для x=2,
x ² +6 = 4x+2.
(2)2+6 = 4(2)+2.
4+6 = 8+2.
10 = 10.
Мы проверили, что решение линейно-квадратичного уравнения при x = 2 и y =10.
Решение системы уравнений методом исключения
Мы можем решить систему линейных и квадратных уравнений методом исключения.
В методе исключения мы вычитаем линейное уравнение и квадратное уравнение, чтобы исключить переменную «y», и мы запишем одинаковые члены с одной стороны.
Пример 1:
Найдите решения системы уравнений
y = x ² −4x+4, y = x+4.
Решение:
Дана система уравнений: y = x²-4x+4… (1)
y = x +4… (2)
Теперь исключим переменную y из системы уравнений
(1)-(2) =
x ² −4x−x=0
x ² −5x = 0
подставляя значение x в по системе уравнений получаем
Для x = 0, y = x+4
=0+4=4.
Для x=5, y=x+4
= 5+4= 9.
Решениями системы уравнений являются (0, 4) и (5, 9).
Пример 2:
Найдите решения системы уравнений
y = x ² +6x+9, y = x+3.
Дана система уравнений: y = 2+6x+9 … (1)
y = x+3…(2)
Теперь исключим переменную y из системы уравнений
(1) -(2) =
x ² +6x+9−x−3 = 0
x ² +5x+6 = 0
z +52 +6 = 0
Получаем x=-2 , x = -3
подставив значение x в систему уравнений, получим
Для x = -2, y = x+3
= -2+3=1.
Для х =-3, у = х+3
= -3+3 = 0.
Решениями системы уравнений являются (-2, 1) и (-3, 0).
Решение системы уравнений с помощью подстановки
Мы можем решить систему линейных и квадратных уравнений также с помощью метода подстановки.
В методе подстановки подставим линейное уравнение в квадратное уравнение на место переменной ‘y’ и запишем с одной стороны одинаковые члены, а процесс квадратного уравнения продолжим разложением на множители.
Пример 1:
Текстильная компания выпустила два товара в одном месяце. Продажи двух продуктов одинаковы в конкретном месяце. Продажи первого продукта равны y = −x ² −10x+25y, а продажи второго продукта равны y = 14x−119y. В каком месяце продажи одинаковы?
Решение:
Дано
y= x² – 10x + 25…(1)
y= 14x – 120… (2)
Подставить (2) в (1),
14 – 119= x ² – 10x +25
-x²-10x+25-14x + 120 = 0
x²+24x-145 = 0
. Х не может будет отрицательным, поэтому мы считаем, что x = 5
Итак, в 5 ^-м-м месяце от начала продажи одинаковы.
Пример 2:
Решите систему уравнений подстановкой.
y = x ² +8x+81, y = −10x
Решение:
Дано
y = x² + 8x + 81…(1)
y = -10x … (2)
Замена (2) в (1),
-10x= x² + 8x + 81
x²+8x+10x+81 = 0
x²+18x+81 = 0
Факторами мы получаем x = -9
Для x = -9, y = -10x = -10 (-9) = 90
Следовательно, решение (-9, 90). Пример из реальной жизни Как далеко арбуз запущен?
Решение:
Учитывая y = -2x² +120 + 2000, =
y = 150x
Решим это путем замены,
150x = -2x² + 120x + 2000
2x²+150x120x – 2000 = 0
2x²+30×2000 = 0
Факторизуя приведенное выше квадратное уравнение, мы получаем x = 25, -40
Мы игнорируем отрицательное значение x,
Итак, x=25
Мы получаем y 150 x 25 = 3750
Итак, решение (25, 3750), это точка запуска арбуза.
Упражнение
1. Найдите решения системы уравнений y = 2x² + 4x – 5, y = 2x.
2. Найдите решения системы уравнений x² + 8x+16=x+3.
3. Найдите решения системы уравнений x²-10x+12=4x+ 6.
4. Найдите решения системы уравнений y = x²+6x-9, y= 4x методом исключения.
5. Найдите решения системы уравнений y = x² + 4x-6,y=2x+5 методом исключения.
6. Найдите решения системы уравнений y = x²+16x+25, y = x.
7. Найдите решения системы уравнений y = 6x²+20x+2,y=-4x подстановкой.
8. В матче по крикету уравнение брошенного мяча записывается как y = 5x²+10x+5, уравнение летучей мыши с земли y = 3x. Сколько времени мяч находится в воздухе после удара?
9. Найдите количество решений уравнения y = x²+4x-2,y=x-2 подстановкой. 10. Найдите решения уравнения y = x²+10x + 24, y = 2x.
Концептуальная карта
Чему мы научились
- Решение системы линейно-квадратичных уравнений графическим методом.
- Решение системы уравнений методом исключения.
- Решение системы уравнений с помощью замены.
Система уравнений линейного и квадратного уравнений (Видео)
TranscriptPractice
Привет и добро пожаловать на это видео по решению систем уравнений с линейным и квадратным уравнением! В этом видео мы рассмотрим два разных способа решения этих задач: графический и алгебраический. Давайте начнем! 92+bx+c\), и они имеют вид параболы. Обратите внимание, что член y по-прежнему не является степенью или корнем, но у нас есть член x, который возведен в квадрат.

Когда мы решаем системы уравнений, мы берем два или более уравнений и находим точку или точки, в которых они пересекаются. Когда у нас есть линейное уравнение и квадратное уравнение, у нас будет ноль, одна или две точки пересечения.
Первый метод решения, который мы собираемся рассмотреть, это решение графически. Для этого мы просто рисуем наши уравнения, либо с помощью калькулятора, либо от руки, и смотрим, где графики пересекаются. 92–x–20\)

Если изобразить эти два уравнения рядом друг с другом, мы получим что-то похожее на это:
Из нашего графика видно, что два уравнения пересекаются в отрицательных точках 4,0) и (7,22). (-4,0) и (7,22).
Но что, если мы не можем изобразить наши уравнения в виде графиков? Ну, вот тут-то и приходит на помощь алгебра. Другой способ решения подобных систем очень похож на метод подстановки для решения регулярных систем линейных уравнений.

Чтобы найти, в каких точках наши уравнения равны друг другу, мы можем заменить наши значения y друг на друга. 2–x–20\) на \(2x+8\) , или, другими словами, приравняем наши уравнения друг к другу. 92–3x–28\)

Затем мы можем разложить это уравнение на множители, чтобы получить:
Нуль равен, у нас есть x-термины, мы хотим перевернуть ФОЛЬГ, поэтому 28, мы можем иметь 7 умножить на 4 дает у нас 28, и нам нужно отрицательное число 3 в середине, поэтому мы вычитаем 7 и прибавляем 4. Что дает нам, если мы разобьем его на два разных уравнения, 0 равно х минус 7 или 0 равно х плюс 4. Теперь мы можем прибавьте 7 к обеим сторонам и получите, что x равно 7. Или вычтите 4 из обеих сторон и получите, что x равно минус 4.
\(0=(x+4)(x–7)\)
\(x=-4, 7\)

Это говорит нам о том, что наши нули для этого квадратного уравнения равны -4 и 7. Это наши значения для x в двух точках, где наши графики пересекаются. Чтобы найти наши значения y для каждой из этих точек, мы просто хотим подключить наши значения x к любому уравнению и найти y. Я подставлю их в линейное уравнение, потому что для получения y потребуется меньше шагов.

\(y=2(-4)+8=-8+8=0\)
\(y=2(7)+8=14+8=22\)

Итак, наши точки пересечения для этого графику являются (-4,0) и (7,22), что мы и нашли, нарисовав их. 92–3x–28\)

Чтобы изобразить наше линейное уравнение в виде графика, мы сначала перестроим его так, чтобы y был сам по себе с одной стороны. Мы можем сделать это, добавив y и вычтя 1 с обеих сторон.
Когда мы это сделаем, это даст нам:
\(y=12x–1\)

Теперь мы можем изобразить оба уравнения, и наш график будет выглядеть так:
Мы можем видеть, что наши графики пересекаются в точках (\(-\frac{3}{2}\),-19) и (9, 107).

Теперь давайте проверим, получим ли мы одинаковые ответы, используя алгебру. 92–15x–27\)

Теперь мы хотим разложить наше уравнение на множители, чтобы получить значения x.
\(0=(2x+3)(x–9)\)

Если мы приравняем каждое уравнение к нулю, мы получим:
\(2x+3=0\)

И
\ (x–9=0\)

На этой стороне, чтобы решить для x, мы вычитаем 3 из обеих сторон, а затем делим на 2. Таким образом, x равняется отрицательным трем половинам.
На этой стороне мы просто добавляем 9 к обеим сторонам.
\(x=9\)

Это наши значения x для двух точек пересечения. Теперь мы хотим найти наши значения y.
Итак, мы возьмем наше исходное уравнение, y равно 12x – 1, и подставим в него наше значение x, состоящее из трех отрицательных половинок. А затем подставим наше значение x равное 9.

\(y=12(-\frac{3}{2})–1=-18–1=-19\)
\(y= 12(9)–1=108–1=107\)

Наши две точки пересечения: (\(-\frac{3}{2}\),-19) и (9,107). Это точно так же, как мы обнаружили при построении графика!
Прежде чем мы пойдем, нужно отметить одну важную вещь. В обоих этих примерах наши уравнения хорошо учитывались, чтобы дать нам наши значения x. Так будет не всегда. Иногда вы не сможете факторизовать, и вам нужно будет использовать квадратное уравнение, чтобы найти ваши значения x. После того, как вы найдете свои значения x, выполните те же шаги, чтобы найти точки пересечения. 92+2x+3\) и \(2y-2x=10\) представлены на графике ниже. Сколько решений может быть у этой системы уравнений?
3 решения
2 решения
1 решение
0 решений
Показать ответ
Ответ:
Линейное уравнение и квадратное уравнение будет иметь ноль, одну или две точки пересечения. Каждая точка пересечения является решением системы уравнений. В этом случае мы видим, что графики для этих уравнений пересекаются ровно два раза, в точках \((-2,3)\) и \((1,6)\). Следовательно, есть два решения, и B — правильный ответ. 92-3x+2\) и \(y=x+6\). Решите эту систему уравнений алгебраическим способом, чтобы узнать, есть ли какие-либо пересекающиеся точки на этих двух маршрутах. Если да, то каковы координаты точек пересечения этих двух автобусных маршрутов?
Имеется одна точка пересечения \((-2,4)\).
Нет точек пересечения.
Есть две точки пересечения в точках \((-1,5)\) и \((5,11)\). 2+2x\). Решите эту систему уравнений алгебраически, чтобы найти координаты точек пересечения этих двух улиц. 92+3x-6=0\), отождествите два числа с произведением \(c\), что равно \(-6\), и суммой \(b\), что равно \(3\). Поскольку \(a=3\), факторизованное уравнение выглядит как \((3x+\text{_})(x+\text{_})=0\). \(-3\) и \(2\) — это два числа, которые работают для факторизованного уравнения. \(-3\times2=-6\) и \(-3x+2(3x)=3x\).
\(3x-3=0\)
\(3x-3+3=0+3\)
\(3x=3\)
\(\frac{3x}{3}=\frac{ 3}{3}\)
\(x=1\) Затем разделите \((3x-3)(x+2)=0\) на два отдельных уравнения и найдите \(x\). Начните с \(3x-3=0\). Изолируйте переменную, чтобы найти, что \(x=1\). \(x+2=0\)
\(x+2-2=0-2\)
\(x=-2\) Решить \(x+2=0\). Изолируйте переменную, чтобы найти, что \(x=-2\). \(x+y=5\)
\((1)+y=5\)
\(1-1+y=5-1\)
\(y=4\)
\( x+y=5\)
\((-2)+y=5\)
\(-2+2-y=5+2\)
\(y=7\)
Чтобы определить \ (y\)-значение для каждой точки, подставьте каждое \(x\)-значение обратно в исходное уравнение \(x+y=5\) и решите.

No related posts.