Квадратные уравнения и неравенства с параметром
Серия «Учимся решать задачи с параметром»
IV. Квадратные уравнения и неравенства с параметром
IV.1. Основные понятия
Определение. Функцию вида (1), где , , – данные функции от параметра а, рассматриваемые на пересечении их областей определения, назовём квадратичной функцией с параметром а.
В частности, некоторые из коэффициентов или свободный член могут быть числами.
Примеры.
1. .
2. .
3. .
4. .
5. .
6.
.
7. .
8. .
9. .
10. .
Определение.
Под
Установим области определения функций 1-10.
1. 2.
3. 4. 5.
6. 7. 8. 9. 10.
Если параметр принимает одно из числовых значений из , то функция (1) примет вид одной из функций с числовыми коэффициентами:
;
;
;
;
;
;
,
где k, b, c – действительные числа.
Обратим внимание на то, что при некоторых
значениях параметра из квадратичная функция с параметром
принимает вид либо квадратичной функции без
параметра, либо – линейной.
Так как квадратичная функция с параметром чаще всего «порождает» семейство квадратичных или линейных функций с числовыми коэффициентами, то говоря о графиках квадратичной функции с параметром, мы будем подразумевать множество графиков этого семейства.
Определение. Квадратным уравнением с параметром а называется уравнение вида (1) где , , – данные функции от параметра а, рассматриваемые на пересечении их областей определения.
В частности, некоторые из коэффициентов или свободный член могут быть числами.
Примеры.
, (1)
,
(2)
, (3)
, (4)
. (5)
Используя определение квадратичной функции с параметром, можно дать такое определение квадратного уравнения с параметром.
Определение.
Если , то
уравнение (1) является квадратным в традиционном
смысле, т.е. второй степени.
Если же , то
уравнение (1) становится линейным.
При всех допустимых значениях параметра а, при которых и , по известным формулам получаем выражения корней уравнения (1) через параметр.
Те значения а, при которых , следует рассматривать
отдельно в качестве особых случаев.
Так, например, уравнение (5) при примет вид , откуда .
IV.2. Квадратные уравнения с параметром
№1. Решите уравнение .
Решение
ООУ:
– уравнение-следствие. Получим: , .
В системе координат (аОх) завершаем решение. (Рис. 1)
Ответ: 1. Если , то .
2. Если , то .
3. Если , , то , .
№2. Найдите значение параметра а,
при котором уравнение имеет единственный корень. Если таких
значений несколько, в ответе запишите их сумму.
Решение
ООУ:
Данное уравнение сводится к равносильной системе:
Приведём её к виду: и решим графически в системе координат (хОа). (Рис. 2).
Уравнение имеет единственный корень при , и .
0 + 1 + 4 =5.
Ответ: 5.
№3. Найдите все значения х такие, что при любом значении параметра а, не принадлежащем промежутку (0; 2], выражение не равно выражению . (ЕГЭ-2007).
Решение
Переформулируем задачу: «Найдите все значения
Выразим а через х:
; .
1) Пусть . Тогда . Поэтому уравнение
имеет корни. Значит, не удовлетворяет условию.
2) Пусть . Тогда . Воспользуемся
системой координат (хОа). (Рис. 3).
Условию удовлетворяют .
Ответ: .
№4.
Сколько корней в зависимости от
параметра а имеет уравнение ?
Решение
ООУ:
Раскроем модуль:
В системе координат (хОу) построим график функции
и несколько прямых пучка параллельных прямых, задаваемых уравнением . (Рис. 4).
Ответ: 1. Если , то корней нет.
2. Если , то один корень.
3. Если , то два корня.
IV.3. Квадратные неравенства с параметром
№5. Решите неравенство .
Решение
1 способ.
Учтём, что . Тогда - решение данного неравенства при любом b. (Рис. 5).
Если , то переходим к неравенству , множество решений которого изобразим в системе координат (bOx). (Рис. 6).
Совместим рис. 5 и 6.
А теперь по рис. 7, рассекая его вертикальными
прямыми, легко получить ответ.
Ответ: 1. Если ,
то .
2. Если , то .
3. Если , то
2 способ.
Решим неравенство графическим методом в системе координат (хОb):
. (Рис. 8).
Рассмотрим два случая.
1) . Тогда
неравенство примет вид , откуда .
2) , тогда .
График функции и часть плоскости, содержащая точки, координаты которых удовлетворяют неравенству , изображены на рисунке 8.
Ответ:
1. Если , то .
2. Если , то . 3. Если , то .
3 способ.
Привёдем теперь графическое решение в системе координат (хОу). Для этого раскроем модуль:
Рассмотрим функцию .
, — корни квадратного трёхчлена .
Сравним и .
1) , откуда .
Получаем совокупность . (Рис. 9)
2) , откуда . (Рис. 10).
Тогда т.е. .
3) , откуда . (Рис. 11).
Тогда т.е. .
Ответ: 1. Если , то .
2. Если , то .
3. Если , то .
№6. Найдите все значения параметра а, для которых наименьшее значение функции больше 2.
Решение
Достаточно найти все значения параметра а, для каждого из которых для любого верно неравенство . Перепишем неравенство в виде .
Решим его графически в системе координат (хОу).
Для этого рассмотрим функции (1), (2).
(1)
(Рис. 12).
Неравенство будет выполняться для всех , если график функции будет выше графика функции .
Рассмотрим 2 случая: 1) прямая является касательной к графику функции ; 2) прямая является касательной к графику функции .
1. , , , , - уравнение касательной. Откуда , . Тогда .
2. График функции проходит через точку с координатами (1; 1): , откуда .
Условию задачи удовлетворяют все .
Ответ: .
№7. Решите совокупность неравенств
Решение
Установим сначала область определения совокупности:
Будем решать совокупность графически в системе координат (хОа). (Рис. 13).
Перепишем совокупность в виде
Введем функцию . (0; 0), (6; 0) — точки пересечения с осями координат; (3; 9) — вершина параболы.
Найдём корни квадратного трёхчлена : ; .
На рис. 13 множество решений совокупности выделено цветом (темным или светлым).
Ответ:
1. Если , то
решений нет.
2. Если , то .
3. Если , то .
4. Если , то .
5. Если , то .
6. Если , то .
7. Если , то .
Рис. 13
В данной статье мы рассмотрели лишь некоторые
примеры, иллюстрирующие применение графического
метода к решению квадратных уравнений и
неравенств с параметром. Более подробно с
теорией и методикой решения линейных и
квадратных уравнений, неравенств, их систем и
совокупностей с параметром вы можете
ознакомиться в учебном пособии: авторы Беляева
Э.
Страница не найдена | ГБОУ СОШ ИМ.Н.С.ДОРОВСКОГО С.ПОДБЕЛЬСК
По данному адресу ничего не найдено. Попробуйте воспользоваться поиском.
Найти:Версия для слабовидящих
- Встреча с В. А. Казаковым 01.12.2022
- Онлайн-встречи с вузами Самары (информация для 10-11 классов) 01.12.2022
- Урок мужества 30.11.2022
- Дни открытых дверей в вузах Самары 30.11.2022
- Киноуроки ноября 30.11.2022
- Мероприятия, направленные на профилактику распространения ВИЧ-инфекции среди обучающихся 29.11.2022
- Акция «Фронтовая открытка»
29.
11.2022 - Проектория.Обслуживание авиационной техники. 28.11.2022
- Профориентационные встречи 28.11.2022
- Разговоры о важном. Символы России. 27.11.2022
11.2022| Пн | Вт | Ср | Чт | Пт | Сб | Вс |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 2 | 3 | 4 | |||
| 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 |
| 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 |
| 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 |
| 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | |
schkola
schkola
Министерство образования и науки Самарской области (далее – министерство) информирует, что в целях оценки удовлетворенности граждан качеством образовательных услуг, предоставляемых государственными и муниципальными образовательными организациями дошкольного и общего образования, в 2022 году проводится опрос граждан.
Опросная анкета размещена на Интернет-ресурсе по адресу: https://forms.yandex.ru/u/621dda79a8e13ea3010ce648/
schkola
schkola
Мониторинг удовлетворенности родителей психолого-педагогическими услугами, предоставляемыми государственными и муниципальными образовательными организациями. Опрос граждан проводится с 21 февраля по 15 декабря 2022 года.
Форма для опроса https://forms.gle/ihe9nP9RW5kVESWp7.schkola
schkola
schkola
schkola
schkola
schkola
Форма для опроса https://forms.gle/ihe9nP9RW5kVESWp7.ЗАГРУЗКА…
Работает на Quick Chat
2-2n-3-M>0$$, что вам и нужно.$\endgroup$
$\begingroup$
После того, как вы нашли
$n=\dfrac{2\pm \sqrt{16+4M}}{2}=1\pm \sqrt{4+M}$
, вы рассматриваете следующие возможности
, если $16+4M<0\to M<-4$ то неравенство проверяется для любого $n$
если $M\ge -4$ то решение $n\le1-\sqrt{M+4}\lor n\ge\sqrt{M+4}+1$
$\endgroup$
Зарегистрируйтесь или войдите в систему
Зарегистрируйтесь с помощью Google
Зарегистрироваться через Facebook
Зарегистрируйтесь, используя электронную почту и пароль
Опубликовать как гость
Электронная почта
Требуется, но никогда не отображается
Опубликовать как гость
Электронная почта
Требуется, но не отображается
Нажимая «Опубликовать свой ответ», вы соглашаетесь с нашими условиями обслуживания, политикой конфиденциальности и политикой использования файлов cookie
.
неравенство — Как решать квадратные неравенства с двумя границами
спросил
Изменено 1 год, 9несколько месяцев назад
Просмотрено 145 раз
$\begingroup$
Я решал математический вопрос в онлайн-тесте, и вопрос заключался в том, каковы возможные значения $x$, если периметр некоторой прямоугольной плитки находится между $20$ см и $54$ см. Я задавался вопросом, как бы мы нашли возможные значения $x$, если площадь была между $20$ и $54$ см.
Я думал, что мы можем использовать анализ знаков для каждого неравенства, но я понял, что это не сработает, потому что у нас будут разные неравенства в каждой части, а это не имеет смысла.