Решение квадратных неравенств с параметрами: Квадратные неравенства с параметром — КАК РЕШАТЬ НЕРАВЕНСТВА С ПАРАМЕТРОМ

Квадратные уравнения и неравенства с параметром

Серия «Учимся решать задачи с параметром»

IV. Квадратные уравнения и неравенства с параметром

IV.1. Основные понятия

Определение. Функцию вида  (1), где , ,  – данные функции от параметра а, рассматриваемые на пересечении их областей определения, назовём квадратичной функцией с параметром а.

В частности, некоторые из коэффициентов или свободный член могут быть числами.

Примеры.

1. .                                                          2. .
3. .                                                    4. .
5. .                                          6.       .
7. .                                       8. . 
9. .                                    10. .

Определение. Под

областью определения квадратичной функции (1) с параметром а будем понимать всё множество пар значений х и а вида (х; а), при каждой из которых выражение  не теряет смысла.

Установим области определения  функций 1-10.

1.     2.     3.    4.     5.
6.     7.     8.     9.     10.

Если параметр принимает одно из числовых значений из , то функция (1) примет вид одной из функций с числовыми коэффициентами:

;                            ;                            ;
;                                            ;                                ;              ,

где k, b, c – действительные числа.

Обратим внимание на то, что при некоторых значениях параметра из  квадратичная функция с параметром принимает вид либо квадратичной функции без параметра, либо – линейной.

Так как квадратичная функция с параметром чаще всего «порождает» семейство квадратичных или линейных функций с числовыми коэффициентами, то говоря о графиках квадратичной функции с параметром, мы будем подразумевать множество графиков этого семейства.

Определение. Квадратным уравнением с параметром а называется уравнение вида  (1) где , ,  – данные функции от параметра а, рассматриваемые на пересечении их областей определения.

В частности, некоторые из коэффициентов или свободный член могут быть числами.

Примеры.

, (1)
,         (2)
,    (3)
, (4)
.   (5)

Используя определение квадратичной функции с параметром, можно дать такое определение квадратного уравнения с параметром.

Определение.

 Квадратным уравнением с параметром а называется уравнение вида , где  – квадратичная функция с параметром а.

Если , то уравнение (1) является квадратным в традиционном смысле, т.е. второй степени.
Если же , то уравнение (1) становится линейным.

При всех допустимых значениях параметра а, при которых   и , по известным формулам получаем выражения корней уравнения (1) через параметр.

Те значения а, при которых , следует рассматривать отдельно в качестве особых случаев.
Так, например, уравнение (5) при  примет вид , откуда .

IV.2. Квадратные уравнения с параметром

№1. Решите уравнение .

Решение

ООУ:

 – уравнение-следствие. Получим: , .

В системе координат (аОх) завершаем решение. (Рис. 1)

 

Ответ: 1. Если , то .

2. Если , то .

3. Если , , то , .

№2. Найдите значение параметра а, при котором уравнение  имеет единственный корень. Если таких значений несколько, в ответе запишите их сумму.

Решение

ООУ:

Данное уравнение сводится к равносильной системе:

Приведём её к виду:  и решим графически в системе координат (хОа). (Рис. 2).

Уравнение имеет единственный корень при ,  и .

0 + 1 + 4 =5.

Ответ: 5.

 

№3. Найдите все значения х такие, что при любом значении параметра а, не принадлежащем промежутку (0; 2], выражение  не равно выражению . (ЕГЭ-2007).

Решение

Переформулируем задачу: «Найдите все значения

х такие, что при любом значении параметра  уравнение  не имеет корней».
Выразим а через х:

; .

1) Пусть . Тогда . Поэтому уравнение имеет корни. Значит,  не удовлетворяет условию.
2) Пусть . Тогда . Воспользуемся системой координат (хОа).  (Рис. 3).

Условию удовлетворяют .

Ответ: .

 

№4. Сколько корней в зависимости от параметра а имеет уравнение ?

Решение

ООУ:

Раскроем модуль:

             

В системе координат (хОу) построим график функции

 и несколько прямых пучка параллельных прямых, задаваемых уравнением . (Рис. 4).

Ответ: 1. Если , то корней нет.

                       

2. Если , то один корень.

3. Если , то два корня.

IV.3. Квадратные неравенства с параметром

№5. Решите неравенство .

Решение

1 способ.

Учтём, что . Тогда  - решение данного неравенства при любом b.  (Рис. 5).

Если , то переходим к неравенству , множество решений которого изобразим в системе координат (bOx). (Рис. 6).

Совместим рис. 5 и 6.

 

А теперь по рис. 7, рассекая его вертикальными прямыми, легко получить ответ.

Ответ: 1. Если , то .
2. Если , то .
3. Если , то

2 способ.

Решим неравенство графическим методом в системе координат (хОb):

. (Рис. 8).

Рассмотрим два случая.

1) . Тогда неравенство примет вид , откуда .
2) , тогда .

График функции  и часть плоскости, содержащая точки, координаты которых удовлетворяют неравенству , изображены на рисунке 8.

Ответ:

1. Если , то .
2.  Если , то . 3. Если , то .

3 способ.

Привёдем теперь графическое решение в системе координат (хОу). Для этого раскроем модуль:

Рассмотрим функцию .

,  — корни квадратного трёхчлена .

Сравним  и .

1) , откуда .

Получаем совокупность                .  (Рис. 9)

 

 

2) , откуда . (Рис. 10).

Тогда  т.е. .

3) , откуда . (Рис. 11).

Тогда  т.е. .

Ответ: 1. Если , то .

2. Если , то .
3. Если , то .

№6. Найдите все значения параметра а, для которых наименьшее значение функции  больше 2.

Решение

Достаточно найти все значения параметра

а, для каждого из которых для любого  верно неравенство . Перепишем неравенство в виде .

Решим его графически в системе координат (хОу).

Для этого рассмотрим функции  (1),   (2).

(1)

      (Рис. 12).

Неравенство будет выполняться для всех , если график функции  будет выше графика функции .

Рассмотрим 2 случая: 1) прямая  является касательной к графику функции ; 2) прямая  является касательной к графику функции .

1. , , , ,  - уравнение касательной. Откуда , . Тогда .

2. График функции  проходит через точку с координатами (1; 1): , откуда .

Условию задачи удовлетворяют все .

Ответ: .
№7. Решите совокупность неравенств

Решение

Установим сначала область определения совокупности:

   

Будем решать совокупность графически в системе координат (хОа). (Рис. 13).

Перепишем совокупность в виде

Введем функцию . (0; 0), (6; 0) — точки пересечения с осями координат; (3; 9) — вершина параболы.

Найдём корни квадратного трёхчлена : ; .

На рис. 13 множество решений совокупности выделено цветом (темным или светлым).

Ответ:

1. Если , то решений нет.
2. Если , то .
3. Если , то .
4. Если , то .
5. Если , то .
6. Если , то .
7. Если , то .

Рис. 13

В данной статье мы рассмотрели лишь некоторые примеры, иллюстрирующие применение графического метода к решению квадратных уравнений и неравенств с параметром. Более подробно с теорией и методикой решения линейных и квадратных уравнений, неравенств, их систем и совокупностей с параметром вы можете ознакомиться в учебном пособии: авторы Беляева Э.

С., Титоренко С.А.,  Потапов А.С. «Графический метод решения линейных и квадратных уравнений и неравенств с параметром». (Воронеж: Изд-во «Наука-ЮНИПРЕСС», 2010. — 300 с.).

Страница не найдена | ГБОУ СОШ ИМ.Н.С.ДОРОВСКОГО С.ПОДБЕЛЬСК

По данному адресу ничего не найдено. Попробуйте воспользоваться поиском.

Найти:

Версия для слабовидящих

  • Встреча с В. А. Казаковым 01.12.2022
  • Онлайн-встречи с вузами Самары (информация для 10-11 классов) 01.12.2022
  • Урок мужества 30.11.2022
  • Дни открытых дверей в вузах Самары 30.11.2022
  • Киноуроки ноября 30.11.2022
  • Мероприятия, направленные на профилактику распространения ВИЧ-инфекции среди обучающихся 29.11.2022
  • Акция «Фронтовая открытка» 29. 11.2022
  • Проектория.Обслуживание авиационной техники. 28.11.2022
  • Профориентационные встречи 28.11.2022
  • Разговоры о важном. Символы России. 27.11.2022

Декабрь 2022
Пн Вт Ср Чт Пт Сб Вс
 1234
567891011
12131415161718
19202122232425
262728293031  

  1. schkola

  2. schkola

  3. Министерство образования и науки Самарской области (далее – министерство) информирует, что в целях оценки удовлетворенности граждан качеством образовательных услуг, предоставляемых государственными и муниципальными образовательными организациями дошкольного и общего образования, в 2022 году проводится опрос граждан.

    Опросная анкета размещена на Интернет-ресурсе по адресу: https://forms.yandex.ru/u/621dda79a8e13ea3010ce648/

    schkola

  4. schkola

  5. Мониторинг удовлетворенности родителей психолого-педагогическими услугами, предоставляемыми государственными и муниципальными образовательными организациями. Опрос граждан проводится с 21 февраля по 15 декабря 2022 года. Форма для опроса https://forms.gle/ihe9nP9RW5kVESWp7.

    schkola

  6. schkola

    schkola

  7. schkola

  8. schkola

  9. schkola

Другие ссылки →

ЗАГРУЗКА…

Работает на Quick Chat

2-2n-3-M>0$$, что вам и нужно.

$\endgroup$

$\begingroup$

После того, как вы нашли

$n=\dfrac{2\pm \sqrt{16+4M}}{2}=1\pm \sqrt{4+M}$

, вы рассматриваете следующие возможности

, если $16+4M<0\to M<-4$ то неравенство проверяется для любого $n$

если $M\ge -4$ то решение $n\le1-\sqrt{M+4}\lor n\ge\sqrt{M+4}+1$

$\endgroup$

Зарегистрируйтесь или войдите в систему

Зарегистрируйтесь с помощью Google

Зарегистрироваться через Facebook

Зарегистрируйтесь, используя электронную почту и пароль

Опубликовать как гость

Электронная почта

Требуется, но никогда не отображается

Опубликовать как гость

Электронная почта

Требуется, но не отображается

Нажимая «Опубликовать свой ответ», вы соглашаетесь с нашими условиями обслуживания, политикой конфиденциальности и политикой использования файлов cookie

.

неравенство — Как решать квадратные неравенства с двумя границами

спросил

Изменено 1 год, 9несколько месяцев назад

Просмотрено 145 раз

$\begingroup$

Я решал математический вопрос в онлайн-тесте, и вопрос заключался в том, каковы возможные значения $x$, если периметр некоторой прямоугольной плитки находится между $20$ см и $54$ см. Я задавался вопросом, как бы мы нашли возможные значения $x$, если площадь была между $20$ и $54$ см.

Я думал, что мы можем использовать анализ знаков для каждого неравенства, но я понял, что это не сработает, потому что у нас будут разные неравенства в каждой части, а это не имеет смысла.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *