Превращение обыкновенных дробей в десятичные
Не только целые числа, но и дроби можно записывать с помощью позиционной десятичной системы счисления, только стоящие в разных разрядах цифры умножаются не на 1, 10, 100, 1000 и т. д., а на 1/10, 1/100, 1/1000 и т. д. Десятичные дроби, в отличие от обыкновенных, легче складывать и вычитать.
Десятичная дробь
Десятичная дробь — это записанная особым образом дробь со знаменаталем 10 или 100 или 1000, 10000 и т. д. Например, обыкновенную дробь 73/100 можно записать в виде десятичной 0,73 Другой пример 73/1000 = 0,073
Периодические дроби
Десятичная дробь называется периодической, если последовательность её цифр начиная с некоторого места периодически повторяется. Эта повторяющаяся часть называется период. При записи период берут в скобки. Например:
0,11111111111… = 0,(1)
0,7272727272… = 0,(72)
7,619539539539. .. = 7,61(953)
Чистая периодическая дробь
У чистой периодической дроби период начинается сразу после запятой:
0,112112112… = 0,(112)
53,112112112… = 53,(112)
Смешанная периодическая дробь
У смешанной периодической дроби между десятичной запятой и периодом есть цифры:
0,3112112112112… = 0,3(112)
5,1753753753753… = 5,1(753)
Обращение обыкновенных дробей в десятичные
Обыкновенная дробь обращается в конечную десятичную дробь, если в знаменателе стоит произведение пятёрок и двоек.
1/5 × 5 × 5 = 1/125 = 0,008
7/2 × 2 × 5 = 7/20 = 0,35
Если в знаменателе дроби стоит не произведение двоек и пятёрок, то десятичное представление дроби — это периодическая дробь. Например
1/7 = 0,1428571428571… = 0,(142857)
Как обратить чистую периодическую дробь в обыкновенную?
Чистая периодическая десятичная дробь равна обыкновенной, у которой в числителе стоит период, а в знаменателе столько девяток, сколько цифр в периоде.
Например:
0,373737… = 37/99
Это правило доказано в отдельном уроке.
Как обратить смешанную периодическую дробь в обыкновенную?
Смешанную периодическую дробь можно представить в виде суммы конечной десятичной дроби и чистой периодической, делённой на степень десяти. Например:
7,35123123123123… = 7,35(123) = 7,35 + 0,(123)/100.
Чтобы преобразовать эту сумму в обыкновенную дробь — надо представить конечную десятичную дробь в виде обыкновенной, периодическую часть в виде обыкновенной дроби, делённой на степень десяти, и сложить две полученные дроби.
735/100 + 123/99900 = 734265/99900 + 123/99900 = 734388/99900 .
← Предыдущий урок
Оглавление
Следующий урок →
Числитель и знаменатель дроби, виды дробей
Числитель и знаменатель дроби. Виды дробей. Продолжаем рассматривать дроби.
Сначала небольшая оговорка – мы, рассматривая дроби и соответствующие примеры с ними, пока будем работать только с числовым её представлением. Бывают ещё и дробные буквенные выражения (с числами и без них). Впрочем, все «принципы» и правила также распространяются и на них, но о таких выражениях поговорим в будущем отдельно. Рекомендую посетить эту страницу и изучать (вспоминать) тему дробей шаг за шагом.
Самое главное понять, запомнить и осознать, что ДРОБЬ – это ЧИСЛО!!!
Обыкновенная дробь – это число вида:
Число расположенное «сверху» (в данном случае m) называется числителем, число расположенное снизу (число n) называется знаменателем. У тех, кто только коснулся темы частенько возникает путаница – что как называется.
Вот вам приёмчик, как навсегда запомнить – где числитель, а где знаменатель. Данный приём связан со словесно-образной ассоциацией. Представьте себе банку с мутной водой. Известно, что по мере отстоя воды чистая вода остаётся сверху, а муть (грязь) оседает, запоминаем:
ЧИСССтая вода ВВЕРХУ (ЧИСССлитель сверху)
ГряЗЗЗНННая вода ВНИЗУ (ЗНННаменатель внизу)
Так что, как только возникнет необходимость вспомнить, где числитель, а где знаменатель, то сразу зрительно представили банку с отстоянной водой, в которой сверху ЧИСтая вода, а снизу гряЗНая вода.
Есть и другие приёмы для запоминания, если они вам помогут, то хорошо.
Примеры обыкновенных дробей:
Что означает горизонтальная черточка между числами? Это не что иное, как знак деления. Получается, что дробь можно рассматривать как бы как пример с действием делением. Просто записано это действие вот в таком виде. То есть, верхнее число (числитель) делится на нижнее (знаменатель):
Кроме того, есть ещё форма записи – дробь может записываться и так (через косую черту):
1/9, 5/8, 45/64, 25/9, 15/13, 45/64 и так далее…
Можем записать вышеуказанные нами дроби так:
Результат деления, как известно это число.
Уяснили – ДРОБЬ ЭТО ЧИСЛО!!!
Как вы уже заметили, у обыкновенной дроби числитель может быть меньше знаменателя, может быть больше знаменателя и может быть равен ему. Тут присутствует множество важных моментов, которые понятны интуитивно, без каких-либо теоретических изысков. Например:
1.
Дроби 1 и 3 можно записать как 0,5 и 0,01. Забежим немного вперёд – это десятичные дроби, о них поговорим чуть ниже.
2. Дроби 4 и 6 в результате дают целое число 45:9=5, 11:1 = 11.
3. Дробь 5 в результате даёт единицу 155:155 = 1.
Какие выводы напрашиваются сами собой? Следующие:
1. Числитель при делении на знаменатель может дать конечное число. Может и не получится, разделите столбиком 7 на 13 или 17 на 11 — никак! Делить можно бесконечно, но об этом также поговорим чуть ниже.
2. Дробь в результате может дать целое число. Следовательно и любое целое число мы можем представить в виде дроби, вернее бесконечного ряда дробей, посмотрите, все эти дроби равны 2:
Ещё! Любое целое число мы всегда можем записать в виде дроби – само это число в числителе, единица в знаменателе:
3. Единицу мы всегда можем представить в виде дроби с любым знаменателем:
*Указанные моменты крайне важны для работы с дробями при вычислениях и преобразованиях.
Виды дробей.
А теперь о теоретическом разделении обыкновенных дробей. Их разделяют на правильные и неправильные.
Дробь у которой числитель меньше знаменателя называется правильной. Примеры:
Дробь у которой числитель больше знаменателя или равен ему называется неправильной. Примеры:
Смешанная дробь (смешанное число).
Смешанной дробью называется дробь, записанная в виде целого числа и правильной дроби и понимается как сумма этого числа и дробной его части. Примеры:
Смешанную дробь всегда можно представить в виде неправильной дроби и наоборот. Идём далее!
Десятичные дроби.
Выше мы их уже затронули, это примеры (1) и (3), теперь подробнее. Вот примеры десятичных дробей: 0,3 0,89 0,001 5,345.
Дробь, знаменатель которой есть степень числа 10, например 10, 100, 1000 и так далее, называется десятичной. Записать первые три указанные дроби в виде обыкновенных дробей несложно:
Четвёртая является смешанной дробью (смешанным числом):
Десятичная дробь имеет следующую форму записи — сначала целая часть, затем разделитель целой и дробной части точка или запятая и затем дробная часть, количество цифр дробной части строго определяется размерностью дробной части: если это десятые доли, дробная часть записывается одной цифрой; если тысячные — тремя; десятитысячные — четырьмя и т.
д.
Данные дроби бывают конечными и бесконечными.
Примеры конечных десятичных дробей: 0,234; 0,87; 34,00005; 5,765.
Примеры бесконечных. Например число Пи это бесконечная десятичная дробь, ещё – 0,333333333333…… 0,16666666666…. и прочие. Также результат извлечения корня из чисел 3, 5, 7 и т.д. будет являться бесконечной дробью.
Дробная часть может быть цикличная (в ней присутствует цикл), два примера выше именно такие, ещё примеры:
0,123123123123…… цикл 123
0,781781781718…… цикл 781
0,0250102501…. цикл 02501
Записать их можно как 0,(123) 0,(781) 0,(02501).
Число Пи не является цикличной дробью как и, например, корень из трёх.
Ниже в примерах, будут звучать такие слова как «переворачиваем» дробь – это означает что числитель и знаменатель меняем местами. На самом деле у такой дроби есть название – обратная дробь. Примеры взаимно-обратных дробей:
Небольшой итог! Дроби бывают:
Обыкновенные (правильные и неправильные).
Десятичные (конечные и бесконечные).
Смешанные (смешанные числа).
На этом всё!
С уважением, Александр.
*Делитесь информацией в социальных сетях.
| 1 | Найти том | сфера (5) | | |
| 2 | Найти площадь | круг (5) | | |
| 3 | Найдите площадь поверхности | сфера (5) | | |
| 4 | Найти площадь | круг (7) | | |
| 5 | Найти площадь | круг (2) | | |
| 6 | Найти площадь | круг (4) | | |
| 7 | Найти площадь | круг (6) | ||
| 8 | Найти том | сфера (4) | | |
| 9 | Найти площадь | круг (3) | | |
| 10 9(1/2) | ||||
| 11 | Найти простую факторизацию | 741 | ||
| 12 | Найти том | сфера (3) | | |
| 13 | Оценить | 3 квадратный корень из 8*3 квадратный корень из 10 | ||
| 14 | Найти площадь | круг (10) | | |
| 15 | Найти площадь | круг (8) | | |
| 16 | Найдите площадь поверхности | сфера (6) | | |
| 17 | Найти простую факторизацию | 1162 | ||
| 18 | Найти площадь | круг (1) | | |
| 19 | Найдите окружность | круг (5) | | |
| 20 | Найти том | сфера (2) | | |
| 21 | Найти том | сфера (6) | | |
| 22 | Найдите площадь поверхности | сфера (4) | | |
| 23 | Найти том | сфера (7) | | |
| 24 | Оценить | квадратный корень из -121 | ||
| 25 | Найти простую факторизацию | 513 | ||
| 26 | Оценка | квадратный корень из 3/16* квадратный корень из 3/9 | ||
| 27 | Найти том | коробка (2)(2)(2) | | |
| 28 | Найдите окружность | круг (6) | | |
| 29 | Найдите окружность | круг (3) | | |
| 30 | Найдите площадь поверхности | сфера (2) | | |
| 31 | Оценить | 2 1/2÷22000000 | ||
| 32 | Найдите Том | коробка (5)(5)(5) | | |
| 33 | Найти том | коробка (10)(10)(10) | | |
| 34 | Найдите окружность | круг (4) | | |
| 35 | Преобразование в проценты | 1,7 | ||
| 36 | Оценить | (5/6)÷(4/1) | ||
| 37 | Оценить | 3/5+3/5 | ||
| 38 | Оценить | ф(-2) | 92 | |
| 40 | Найти площадь | круг (12) | | |
| 41 | Найти том | коробка (3)(3)(3) | | |
| 42 | Найти том | коробка (4)(4)(4) | 92-4*-1+2||
| 45 | Найти простую факторизацию | 228 | ||
| 46 | Оценить | 0+0 | ||
| 47 | Найти площадь | круг (9) | | |
| 48 | Найдите окружность | круг (8) | | |
| 49 | Найдите окружность | круг (7) | | |
| 50 | Найти том | сфера (10) | | |
| 51 | Найдите площадь поверхности | сфера (10) | | |
| 52 | Найдите площадь поверхности | сфера (7) | | |
| 53 | Определить, является простым или составным | 5 | ||
| 60 | Преобразование в упрощенную дробь | 2 1/4 | ||
| 61 | Найдите площадь поверхности | сфера (12) | | |
| 62 | Найти том | сфера (1) | | |
| 63 | Найдите окружность | круг (2) | | |
| 64 | Найти том | коробка (12)(12)(12) | | |
| 65 | Добавить | 2+2= | ||
| 66 | Найдите площадь поверхности | коробка (3)(3)(3) | | |
| 67 | Оценить | корень пятой степени из 6* корень шестой из 7 | ||
| 68 | Оценить | 7/40+17/50 | ||
| 69 | Найти простую факторизацию | |||
| 70 | Оценить | 27-(квадратный корень из 89)/32 | ||
| 71 | Оценить | 9÷4 | ||
| 72 | Оценка 92 | |||
| 74 | Оценить | 1-(1-15/16) | ||
| 75 | Преобразование в упрощенную дробь | 8 | ||
| 76 | Оценка | 656-521 | 9-2 | |
| 79 | Оценить | 4-(6)/-5 | ||
| 80 | Оценить | 3-3*6+2 | ||
| 81 | Найдите площадь поверхности | коробка (5)(5)(5) | | |
| 82 | Найдите площадь поверхности | сфера (8) | | |
| 83 | Найти площадь | круг (14) | | |
| 84 | Преобразование в десятичное число | 5 ноября | ||
| 85 9-2 | ||||
| 88 | Оценить | 1/2*3*9 | ||
| 89 | Оценить | 4/4-17/-4 | ||
| 90 | Оценить | 11. 02+17.19 |
||
| 91 | Оценить | 3/5+3/10 | ||
| 92 | Оценить | 4/5*3/8 | ||
| 93 | Оценить | 6/(2(2+1)) | ||
| 94 | Упростить | квадратный корень из 144 | ||
| 95 | Преобразование в упрощенную дробь | 725% | ||
| 96 | Преобразование в упрощенную дробь | 6 1/4 | ||
| 97 | Оценить | 7/10-2/5 | ||
| 98 | Оценить | 6÷3 | ||
| 99 | Оценить | 5+4 | ||
| 100 | Оценить | квадратный корень из 12- квадратный корень из 192 |
Как преобразовать $0,123\\left( {123{\text{repeating}}} \\right)$ в дробь?
Ответить
Проверено
215,4 тыс.
+ просмотров
Подсказка: Дано десятичное число. Нам нужно преобразовать число в дробную форму. Во-первых, мы умножим термин на количество нулей, эквивалентное количеству цифр после запятой. Затем вычтите данное число из вновь сформированного числа. Затем найдите простые множители числителя и знаменателя, чтобы упростить выражение. Затем, сократив общие члены, приведите дробь к ее наименьшей форме.
Полный пошаговый ответ:
Нам дан повторяющийся номер. Запишите число $0,123\left( {123{\text{repeating}}} \right)$ в математической форме.
Пусть число равно $n$
$n = 0.\overline {123} $ ……(1)
Здесь полоса над тремя цифрами показывает, что эти цифры повторяются.
Здесь число цифр после запятой равно трем. Таким образом, мы умножим обе части уравнения (1) на $1000$
$ \Rightarrow 1000n = 0.\overline {123} \times 1000$
Упрощая уравнение, получаем:
$ \Rightarrow 1000n = 123.\overline {123} $ ……(2)
Теперь вычтем уравнение (1) из уравнения (2).
$ \Rightarrow 1000n — n = 123.\overline {123} — 0.\overline {123} $
Теперь упростим уравнение, чтобы определить значение $n$
$ \Rightarrow n\left( {1000 — 1} \right) = \left( {123 + 0.\overline {123} } \right) — 0.\overline {123} $
$ \Стрелка вправо n\left( {999} \right) = 123 + {{0.\overline {123} }} — {{0.\overline {123} }}$
Теперь разделите обе части уравнения на $999$
$ \Rightarrow \dfrac{{n\left( {999} \right)}}{{999}} = \dfrac{{123}}{{999}} $
$ \Rightarrow n = \dfrac{{123}}{{999}}$
Теперь найдите простые множители числителя и знаменателя правой части уравнения.
$ \Rightarrow n = \dfrac{{3 \times 41}}{{3 \times 333}}$
Теперь, сократив общие члены, мы получим:
$ \Rightarrow n = \dfrac{{{3} \times 41}}{{{3} \times 333}}$
$ \Rightarrow n = \dfrac{{41}}{{333}}$
Окончательный ответ: Следовательно, число в виде дроби равно $\dfrac{{41}}{{333}}$
Примечание:
В таких типах вопросов учащиеся в основном не понимают о том, как ее решить.