Решение линейных систем уравнений метод гаусса: Онлайн калькулятор. Решение систем линейных уравнений. Метод Гаусса

4.2 Метод Гаусса решения систем линейных уравнений

Рассмотрим ещё один метод решения систем линейных уравнений (17). С помощью элементарных преобразований над строками расширенная матрица системы (17) может быть приведена к виду

. (21)

Эта матрица является расширенной матрицей системы

(22)

которая эквивалентна исходной системе (17). Проанализируем систему уравнений (22).

Если хотя бы одно из чисел ,…, отлично от нуля, то система (22), а следовательно, и система (17) несовместны, так как .

Если же …, то система совместна, так как , и из системы (22) можно выразить базисные неизвестные, в данном случае через свободные неизвестные .

4.2.1 Пример. Методом Гаусса исследовать совместность и найти общее решение системы (20).

Решение.

С помощью элементарных преобразований строк расширенную матрицу системы уравнений (20)

приведём к виду, подобному (21):

.

Очевидно, что (система уравнений (20) совместна). Выберем какой-нибудь не равный нулю минор второго порядка полученной матрицы , например, минор . Тогда , – базисные неизвестные, и – свободные неизвестные. Запишем систему уравнений, которая является эквивалентной исходной и соответствует полученной расширенной матрице:

Выразим из второго уравнения системы базисную переменную через свободную и аналогичным образом из первого уравнения найдём базисную переменную как функцию свободных переменных и :

, .

Теперь пусть , , где . Тогда общее решение исходной системы уравнений имеет вид:

.

4.2.2 Пример. Методом Гаусса исследовать совместность и найти общее решение системы

Решение.

С помощью элементарных преобразований строк расширенную матрицу приведём к виду

.

Итак, (система уравнений совместна и имеет единственное решение, так как ). Полученной матрице соответствует система

которая эквивалентна исходной. Из данной системы следует, что , , . Итак, общее решение .

4.3 Упражнения

4.3.1 Исследовать следующие системы уравнений и в случае совместности найти общее и одно частное решение:

4.3.2 Методом Гаусса исследовать следующие системы уравнений и в случае совместности найти общее решение:

4.4 Контрольные задания

Рекомендуемая литература [1, гл. 5, § 4], [2, гл. 1, § 1.11, § 1.16 – 1.17], [3, гл. 3, § 3.4, § 3.7].

4.4.1 Исследовать следующие системы уравнений и в случае совместности найти общее решение:

5 Однородные и неоднородные системы линейных уравнений

Цель занятия: выработка навыков построения фундаментальной системы решений и общих решений однородной и неоднородной систем уравнений.

5.1 Структура общего решения однородных и неоднородных систем

5.1.1 Определение. Если в (17) , то система уравнений называется однородной и имеет вид:

(23)

Система (23) всегда совместна, т. к. она имеет нулевое (тривиальное) решение . Приведём условия, при которых система (23) имеет ненулевые решения.

5.1.2 Теорема. Для того чтобы система (23) имела ненулевые решения, необходимо и достаточно, чтобы ранг её основной матрицы был меньше числа неизвестных.

Отсюда следует, что если , то нулевое решение будет единственным решением системы (23). Если же , то система (23) в соответствии с (п. 4.1.2.4) имеет бесконечно много решений. Предположим, что и – базисные неизвестные системы (23), – свободные неизвестные. Тогда общее решение системы (23) будет иметь вид (19). Выберем решений (23), полученных из общего решения так: одно из значений свободных переменных полагаем равным 1, а остальные – равными 0:

, , …, . (24)

Эти решения образуют систему решений однородной системы (23), обладающую следующим свойством: произвольное решение системы (23) может быть единственным образом представлено в виде

, (25)

где некоторые числа.

5.1.3 Определение. Любой набор из решений однородной системы (23), обладающих указанным свойством, называется фундаментальной системой решений системы (23).

Формула (25) определяет структуру общего решения однородной системы (23).

5.1.4 Определение. Если в (17) среди свободных членов () хотя бы один отличен от нуля, то система уравнений называется неоднородной.

Структура общего решения неоднородной системы уравнений определяется следующей теоремой.

5.1.5 Теорема. Общее решение неоднородной системы может быть представлено в виде

, (26)

где – частное решение неоднородной системы уравнений,

– общее решение соответствующей однородной системы.

5.1.6 Пример. Найти общее решение и фундаментальную систему решений однородной системы линейных уравнений:

Решение.

Имеем , . В качестве базисного минора возьмём . Наша система эквивалентна следующей:

где , – базисные неизвестные;

, – свободные неизвестные.

Откуда

; .

Теперь пусть , , где . Тогда общее решение исходной системы уравнений имеет вид:

.

Из общего решения находим фундаментальную систему решений:

, .

С использованием фундаментальной системы общее решение может быть записано в виде .

5.1.7 Пример. Найти общее решение неоднородной системы уравнений, используя фундаментальную систему решений соответствующей однородной:

Решение

.

С помощью элементарных преобразований строк расширенную матрицу приведём к виду

.

Имеем , . В качестве базисного минора возьмём . Наша система эквивалентна следующей:

где – базисные неизвестные;

– свободные неизвестные.

Откуда

; .

Теперь пусть , где . Тогда общее решение исходной системы уравнений имеет вид:

,

т. е. , где – частное решение, а столбцы , , образуют фундаментальную систему решений соответствующей однородной системы.

Gaussian-elimination-solver — Googlesuche

AlleBilderVideosNewsMapsShoppingBücher

suchoptionen

калькулятор исключения Gaussian — OnlineMSchool

Gaussian Elimination 4s калькуляторы Этот пошаговый онлайн-калькулятор поможет вам понять, как решать системы линейных уравнений с помощью Гаусса-Жордана . ..

Показать все онлайн-упражнения · Формулы · Калькулятор линейных уравнений

Исключение Гаусса-Жордана — Калькулятор матриц — Решиш

matrix.reshish.com › gauss-jordanElimination

Здесь вы можете решать системы одновременных линейных уравнений, используя Калькулятор исключения Гаусса-Жордана с комплексными числами онлайн бесплатно с очень Калькулятор исключения Гаусса с шагами .

Расширенная матрица · Как применять метод Гаусса…

Калькулятор исключения Гаусса-Жордана — eMathHelp

www.emathhelp.net › калькуляторы › линейная алгебра

, с показанными шагами. Полная редукция доступна опционально.

Система уравнений Калькулятор исключения Гаусса — Symbolab

www.symbolab.com › … › Линейная

Бесплатная система уравнений Калькулятор исключения Гаусса — шаг за шагом решайте систему уравнений без исключения Гаусса.

Ähnliche Fragen

Как решить метод исключения Гаусса?

Как быстрее всего выполнить исключение Гаусса?

Что такое пример исключения Гаусса?

Калькулятор исключения Гаусса Шаг за шагом

500km. ru › gaussian_elimination

Этот калькулятор решает системы линейных уравнений с помощью исключения Гаусса или исключения Гаусса Жордана. Эти методы отличаются только второй частью …

Решение систем линейных уравнений с помощью метода Гаусса-Жордана Исключение …

atozmath.com › CONM › GaussEli

Решение систем линейных уравнений с использованием метода Гаусса-Жордана Калькулятор метода исключения — Решение одновременных уравнений 2x+y+z=5, 3x+5y+2z=15,2x+y+4z=8 с использованием …

Решение систем линейных уравнений — калькулятор матриц

matrixcalc.org › slu

Калькулятор системы линейных уравнений — решение системы линейных уравнения шаг за шагом, исключение Гаусса, правило Крамера, метод обратной матрицы, …

Калькулятор исключения Гаусса — Приложения в Google Play GaussElim — это простое приложение, которое применяет процесс исключения Гаусса к заданной матрице. Вы можете установить размеры матрицы с помощью полос прокрутки . ..

Исключение по Гауссу — Википедия

en.wikipedia.org › wiki › Исключение по Гауссу

В математике метод исключения Гаусса, также известный как редукция строк, представляет собой алгоритм решения систем линейных уравнений. Он состоит из последовательности …

ähnliche sucalfragen

Гаусс-Джордан Элиминация

Гаусс-Джордан Калькулятор

Матрикс Гауссовый Элиминация

Уравнение матрикса

Уравнение матрикса

Уравнение Матрикс Уравнение

.

Калькулятор обратной матрицы

15.4 Решение неоднородных уравнений: исключение Гаусса

15.4 Решение неоднородных уравнений: исключение Гаусса

Главная | 18.022 | Глава 15 Инструменты    Индекс    Вверх    Предыдущий    Далее

Учитывая набор уравнений, можно выполнить несколько операций на них, которые не влияют на их содержание.
Они:

1. Сложить кратное одно к другому (сложение левых сторон с левыми и правых на права.)

Доказательство

2. Переупорядочить их.

Комментарий

3. Умножьте обе части любого из них на ненулевое число.

Они называются элементарными операциями со строками .
Решение уравнений означает нахождение эквивалентной системы уравнений, имеющей очень простая форма: каждое уравнение имеет только одну переменную, ее коэффициент равно 1, и переменная появляется одна в левой части уравнения. Затем уравнение предоставляет явное выражение для соответствующей переменной.

Решаем линейные уравнения по выполняя последовательность элементарных операции со строками, которые преобразуют исходную матрицу коэффициентов в тождество матрица. Эта процедура называется Исключение Гаусса .

Обсуждение:

1. Предположим, у нас есть матрица коэффициентов 3 на 3 C , мы определяем столбец вектор v , чтобы правая часть j-го уравнения была его j-й компонентой, и пусть вектор-столбец r имеет компоненты x, y и z.
Тогда линейные уравнения принимают вид C r = v , где левая часть представляет матричное произведение матрицы 3 на 3

С и матрица 3 на 1 r .

2. Если матрица коэффициентов C является единичной матрицей, мы имеем решение: C = I подразумевает C r = I r = r = v .

3. Исключение Гаусса — это в точности обычный стандартный метод решения уравнений, что происходит следующим образом: решить первое уравнение для любой переменной, которая встречается в нем с точки зрения остальных. Используйте это уравнение, чтобы исключить эту переменную из все остальные уравнения. Повторите эти шаги для другого уравнения и переменной. Повторение пока у вас не будет явного выражения для последней переменной. Замена для эту переменную во всех уравнениях, исключив ее из них; взять следующий переменную и повторяйте, пока не получите явное выражение для всех переменных.

Решение уравнения означает, помимо перестановки правой и левой частей, умножение уравнение на константу, чтобы сделать коэффициент связанной переменной в 1.