Решение логарифма: Решение логарифмических уравнений по определению логарифма — урок. Алгебра, 11 класс.

Отлично! А теперь решим уравнение .

И в этом случае невозможно назвать точное значение, то есть мы понимаем, что корень больше одного и меньше двух, но более точных данных нет.

Вот такой корень и задается с помощью логарифма, а именно (читается как «логарифм пяти по основанию три» или «логарифм по основанию три от пяти»).

Мы определили смысл — теперь перейдем к общему определению логарифма.

Логарифмом числа b по основанию a называют показатель степени с основанием a, равной b. То есть, попросту говоря, логарифм — это степень, в которую нужно возвести a для получения

Практикующий детский психолог Екатерина Мурашова

Бесплатный курс для современных мам и пап от Екатерины Мурашовой. Запишитесь и участвуйте в розыгрыше 8 уроков

Как решать примеры с логарифмами?

Рассмотрим пример, как решить логарифм:

Задаем вопрос: в какую степень нужно возвести 7, чтобы получить 49?

Ответ: во вторую степень. Значит, .

Какие бывают виды логарифмов?

Логарифм по основанию 10 называется десятичным логарифмом и обозначается как . Пример десятичного логарифма: .

Логарифм по основанию e называется натуральным логарифмом и обозначается как . Пример натурального логарифма: .

Учёба без слёз (бесплатный гайд для родителей)

Пошаговый гайд от Екатерины Мурашовой о том, как перестать делать уроки за ребёнка и выстроить здоровые отношения с учёбой.

Свойства и формулы логарифмов

1. Эта формула называется основным логарифмическим тождеством.

   Пример: .

2. Пример: .

3. Пример: .

4. Логарифм степени находится по формуле: .

   Видно, что показатель степени выносим перед логарифмом.

   Пример: .

5. Показатель степени основания также выносим перед логарифмом, но в виде обратного числа, то есть, например, вместо 5 будет .

   Пример: .

6. Если нужно перейти к другому основанию, то можно сделать это по формуле: . Свойство называется формулой перехода к новому основанию.

7. А частным случаем предыдущей формулы является формула, которая позволяет менять местами основание и аргумент логарифма: .

Конечно, это не все свойства логарифмов, а только самые главные. Комбинируя свойства выше, можно получать все новые и новые формулы для логарифмов. Например, соединив 4-ю и 5-ю формулы, получим . Но запоминать ее нет смысла, важно знать лишь базовые свойства логарифмов.

Применение логарифмических свойств в примерах

Пример 1

Найдите значение выражения , если .

Если видите частное в показателе логарифма, то распишите по 3-й формуле: .

Решение

У каждого логарифма в показателе стоит степень, значит, поможет 4-я формула:

.

Первый логарифм можно вычислить по определению. И обратите внимание на второй логарифм: у него в основании стоит

.

Подставьте числовое значение из условия, и все готово:

.

Отличный пример! Мы использовали практически все свойства логарифмов. А теперь попрактикуйтесь еще, но помните, что задача с подвохом!

Пример 2

Вычислите: .

Получился ответ 27? Если да, то поздравляю: вы попались на удочку самых популярных ошибок! Какое бы задание вам ни встретилось, действия с логарифмами нужно производить только по определениям и правилам. В примере вы видите деление двух логарифмов. А есть ли какая-то формула, в которой записано деление двух логарифмов?

Конечно, это формула перехода к новому основанию, которую мы привели в пункте 6 выше. Применим ее к этому случаю и вычислим логарифм по определению, задав вопрос: в какую степень нужно возвести основание, чтобы получился показатель?

.

И получается ответ 4, а не 27.

Практическое применение логарифмов

Помните, выше мы говорили, что логарифм объединяет задания на ЕГЭ, галактики и рога горных козлов? И если с баллами на ЕГЭ все понятно, то про галактики и рога — интереснее.

Все дело в том, что существует логарифмическая спираль, которая задается по формуле: . По этой логарифмической спирали растут рога горных козлов, закручены многие галактики (и даже та, в которой мы живем), а также раковины некоторых морских животных, усики растений, ураганы, смерчи и многое другое.

Как видите, логарифмы имеют большое значение для нашей жизни — не только баллы на ЕГЭ!

Вопросы для самопроверки

Чтобы информация точно усвоилась, вспомните:

1. Что такое логарифм?

2. Какие ограничения есть у логарифма?

3. Какие логарифмические свойства вы знаете?

4. Какие бывают способы преобразования выражений с логарифмом?

5. В чем практическое применение логарифмов?

На курсах по математике в онлайн-школе Skysmart мы всегда показываем, зачем нужны математические правила и формулы в реальной жизни — ведь так учиться гораздо интереснее! И подтянуть знания перед ЕГЭ тоже поможем: приходите на бесплатный вводный урок и все увидите сами.

Как решить логарифмическое уравнение: подробное объяснение

Как решить логарифмическое уравнение? Этим вопросом задаются многие школьники, особенно в преддверии сдачи ЕГЭ по математике. Ведь в задании С1 профильного ЕГЭ могут встретиться именно логарифмические уравнения.

Уравнение, в котором неизвестное находится внутри логарифмов, называется логарифмическим. Причем неизвестное может находится как в аргументе логарифма, так и в его основании.

Способов решения таких уравнений существует несколько. В этой статье мы разберем способ, который легко понять и запомнить.

1. Как решать уравнения с логарифмами: 2 способа с примерами
2. Пример решения логарифмического уравнения с разными основаниями
3. Пример решения логарифмического уравнения с переменными основаниями
4. Как сделать проверку – это важно

Решить логарифмическое уравнение можно разными способами. Чаще всего в школе учат решать логарифмическое уравнение с помощью определения логарифма. То есть мы имеем уравнение вида:Вспоминаем определение логарифма и получаем следующее:Таким образом мы получаем простое уравнение, которое сможем легко решить.

При решении логарифмических уравнений важно помнить об области определения логарифма, т.к. аргумент f(x) должен быть больше ноля. Поэтому после решения логарифмического уравнения мы всегда делаем проверку!

Давайте посмотрим, как это работает на примере:

Воспользуемся определением логарифма и получим:

2х + 3 = 3²

Теперь перед нами простейшее уравнение, решить которое не составит труда:

2х + 3 = 9

2х = 6

х = 3

Сделаем проверку. Подставим найденный Х в исходное уравнение:Так как 3² = 9, то последнее выражение верно. Следовательно,  х = 3 является корнем уравнения.

Ответ: х = 3

Основной минус данного метода решения логарифмических уравнений в том, что многие ребята путают, что именно нужно возводить в степень. То есть при преобразовании log_af(x) = b, многие возводят не a в степень b, а наоборот b в степень a. Такая досадная ошибка может лишить вас драгоценных баллов на ЕГЭ.

Поэтому мы покажем еще один способ решения логарифмических уравнений.

Чтобы решить логарифмическое уравнение, нам нужно привести его к такому виду, когда и в правой, и в левой части уравнения будут стоять логарифмы с одинаковыми основаниями. Это выглядит вот так:

Когда уравнение приведено к такому виду, то мы можем «зачеркнуть» логарифмы и решить простое уравнение. Давайте разбираться на примере.

Решим еще раз то же самое уравнение, но теперь этим способом:В левой части у нас логарифм с основанием 2. Следовательно, правую часть логарифма нам нужно преобразовать так, чтобы она тоже содержала логарифм с основанием 2.

Для этого вспоминаем свойства логарифмов. Первое свойство, которое нам здесь понадобится – это логарифмическая единица. Напомним его:То есть в нашем случае:Возьмем правую часть нашего уравнения и начнем ее преобразовывать:Теперь нам нужно 2 тоже внести в логарифмическое выражение. Для этого вспоминаем еще одно свойство логарифма:

Воспользуемся этим свойством в нашем случае, получим:Мы преобразовали правую часть нашего уравнения в тот вид, который нам был нужен и получили:Теперь в левой и в правой частях уравнения у нас стоят логарифмы с одинаковыми основаниями, поэтому мы можем их зачеркнуть. В результате, получим такое уравнение:

2х + 3 = 3²

2х + 3 = 9

2х = 6

х = 3

Ответ: х = 3

Да, действий в этом способе больше, чем при решении с помощью определения логарифма. Но все действия логичны и последовательны, в результате чего шансов ошибиться меньше. К тому же данный способ дает больше возможностей для решения более сложных логарифмических уравнений.

Разберем другой пример:Итак, как и в предыдущем примере применяем свойства логарифмов и преобразовываем правую часть уравнения следующим образом:После преобразования правой части наше уравнение принимает следующий вид:Теперь можно зачеркнуть логарифмы и тогда получим:Вспоминаем свойства степеней:

3х – 5 = 4

3х = 9

х = 3

Теперь делаем проверку:то последнее выражение верно. Следовательно,  х = 3 является корнем уравнения.

Ответ: х = 3

Еще один пример решения логарифмического уравнения:Преобразуем сначала левую часть нашего уравнения. Здесь мы видим сумму логарифмов с одинаковыми основаниями. Воспользуемся свойством суммы логарифмов и получим:Теперь преобразуем правую часть уравнения:Выполнив преобразования правой и левой частей уравнения, мы получили:Теперь мы можем зачеркнуть логарифмы:

Решим данное квадратное уравнение, найдем дискриминант:

Сделаем проверку, подставим х₁ = 1 в исходное уравнение:Верно, следовательно, х₁ = 1 является корнем уравнения.

Теперь подставим х₂ = -5 в исходное уравнение:Так как аргумент логарифма должен быть положительным, выражение не является верным. Следовательно, х₂ = -5 – посторонний корень.

Ответ: х = 1

Выше мы решали логарифмические уравнения, в которых участвовали логарифмы с одинаковыми основаниями. А что же делать, если основания у логарифмов разные? Например,

Правильно, нужно привести логарифмы в правой и левой части к одному основанию!

Итак, разберем наш пример:Преобразуем правую часть нашего уравнения:

Мы знаем, что 1/3 = 3^-1. Еще мы знаем свойство логарифма, а именно вынесение показателя степени из логарифма:Применяем эти знания и получаем:Но пока у нас есть знак «-» перед логарифмом в правой части уравнения, зачеркивать мы их не имеем права. Необходимо внести знак «-» в логарифмическое выражение. Для этого воспользуемся еще одним свойством логарифма:

Тогда получим:Вот теперь в правой и левой части уравнения у нас стоят логарифмы с одинаковыми основаниями и мы можем их зачеркнуть:Делаем проверку:Если мы преобразуем правую часть, воспользовавшись свойствами логарифма, то получим:Верно, следовательно, х = 4 является корнем уравнения.

Ответ: х = 4.

Выше мы разобрали примеры решения логарифмических уравнений, основания которых были постоянными, т.е. определенным значением – 2, 3, ½ … Но в основании логарифма может содержаться Х, тогда такое основание будет называться переменным. Например, log_x+1(х²+5х-5) = 2. Мы видим, что основание логарифма в данном уравнении – х+1. Как же решать уравнение такого вида? Решать мы его будем по тому же принципу, что и предыдущие. Т.е. мы будем преобразовывать наше уравнение таким образом, чтобы слева и справа были логарифмы с одинаковым основанием.Преобразуем правую часть уравнения:Теперь логарифм в правой части уравнения имеет такое же основание, как и логарифм в левой части:Теперь мы можем зачеркнуть логарифмы:Но данное уравнение неравносильно исходному уравнению, так как не учтена область определения. Запишем все требования, относящиеся к логарифму:

1. Аргумент логарифма должен быть больше ноля, следовательно:

2. Основание логарифма должно быть больше 0 и не должно равняться единице, следовательно:

Сведем все требования в систему:

Данную систему требований мы можем упростить. Смотрите х²+5х-5 больше ноля, при этом оно приравнивается к (х + 1)², которую в свою очередь так же больше ноля. Следовательно, требование х²+5х-5 > 0 выполняется автоматически и мы можем его не решать. Тогда наша система будет сведена к следующему:Перепишем нашу систему:Следовательно, наша система примет следующий вид:Теперь решаем наше уравнение:Справа у нас квадрат суммы:Данный корень удовлетворяет наши требования, так как 2 больше -1 и не равно 0. Следовательно, х = 2 – корень нашего уравнения.

Для полной уверенности можем выполнить проверку, подставим х = 2 в исходное уравнение:

Т.к. 3²=9, то  последнее выражение верно.

Ответ: х = 2

Еще раз обращаем ваше внимание, что при решении логарифмических уравнений необходимо учитывать область допустимых значений. Так, основание логарифма должно быть больше ноля и не должно равняться единице. А его аргумент должен быть положительным, т.е. больше ноля.

Если наше уравнение имеет вид log_a (f(x)) = log_a (g(x)), то должны выполняться следующие ограничения:

После решения логарифмического уравнения нужно обязательно сделать проверку. Для этого вам необходимо подставить получившееся значения в исходное уравнение и посчитать его. Времени это займет немного, зато позволит не записать в ответ посторонние корни. Ведь так обидно правильно решить уравнение и при этом неправильно записать ответ!

Итак, теперь вы знаете, как решить логарифмическое уравнение с помощью определения логарифма и с помощью преобразования уравнения, когда в обеих его частях стоят логарифмы с одинаковыми основаниями, которые мы можем «зачеркнуть». Отличное знание свойств логарифма, учет области определения, выполнение проверки – залог успеха при решении логарифмических уравнений.

Решение логарифмов егэ базовый уровень. Логарифмы: примеры и решения

Как известно, при перемножении выражений со степенями их показатели всегда складываются (a b *a c = a b+c). Этот математический закон был выведен Архимедом, а позже, в VIII веке, математик Вирасен создал таблицу целых показателей. Именно они послужили для дальнейшего открытия логарифмов. Примеры использования этой функции можно встретить практически везде, где требуется упростить громоздкое умножение на простое сложение. Если вы потратите минут 10 на прочтение этой статьи, мы вам объясним, что такое логарифмы и как с ними работать. Простым и доступным языком.

Определение в математике

Логарифмом называется выражение следующего вида: log a b=c, то есть логарифмом любого неотрицательного числа (то есть любого положительного) «b» по его основанию «a» считается степень «c», в которую необходимо возвести основание «a», чтобы в итоге получить значение «b». Разберем логарифм на примерах, допустим, есть выражение log 2 8. Как найти ответ? Очень просто, нужно найти такую степень, чтобы из 2 в искомой степени получить 8. Проделав в уме некоторые расчеты, получаем число 3! И верно, ведь 2 в степени 3 дает в ответе число 8.

Разновидности логарифмов

Для многих учеников и студентов эта тема кажется сложной и непонятной, однако на самом деле логарифмы не так страшны, главное — понять общий их смысл и запомнить их свойста и некоторые правила. Существует три отдельных вида логарифмических выражений:

1. Натуральный логарифм ln a, где основанием является число Эйлера (e = 2,7).
2. Десятичный a, где основанием служит число 10.
3. Логарифм любого числа b по основанию a>1.

Каждый из них решается стандартным способом, включающим в себя упрощение, сокращение и последующее приведение к одному логарифму с помощью логарифмических теорем. Для получения верных значений логарифмов следует запомнить их свойства и очередность действий при их решениях.

Правила и некоторые ограничения

В математике существует несколько правил-ограничений, которые принимаются как аксиома, то есть не подлежат обсуждению и являются истиной. Например, нельзя числа делить на ноль, а еще невозможно извлечь корень четной степени из отрицательных чисел. Логарифмы также имеют свои правила, следуя которым можно с легкостью научиться работать даже с длинными и емкими логарифмическими выражениями:

• основание «a» всегда должно быть больше нуля, и при этом не быть равным 1, иначе выражение потеряет свой смысл, ведь «1» и «0» в любой степени всегда равны своим значениям;
• если а > 0, то и а b >0, получается, что и «с» должно быть больше нуля.

Как решать логарифмы?

К примеру, дано задание найти ответ уравнения 10 х = 100. Это очень легко, нужно подобрать такую степень, возведя в которую число десять, мы получим 100. Это, конечно же, 10 2 =100.

А теперь давайте представим данное выражение в виде логарифмического. Получим log 10 100 = 2. При решении логарифмов все действия практически сходятся к тому, чтобы найти ту степень, в которую необходимо ввести основание логарифма, чтобы получить заданное число.

Для безошибочного определения значенияя неизвестной степени необходимо научиться работать с таблицей степеней. Выглядит она следующим образом:

Как видите, некоторые показатели степени можно угадать интуитивно, если имеется технический склад ума и знание таблицы умножения. Однако для больших значений потребуется таблица степеней. Ею могут пользоваться даже те, кто совсем ничего не смыслит в сложных математических темах. В левом столбце указаны числа (основание a), верхний ряд чисел — это значение степени c, в которую возводится число a. На пересечении в ячейках определены значения чисел, являющиеся ответом (a c =b). Возьмем, к примеру, самую первую ячейку с числом 10 и возведем ее в квадрат, получим значение 100, которое указано на пересечении двух наших ячеек. Все так просто и легко, что поймет даже самый настоящий гуманитарий!

Уравнения и неравенства

Получается, что при определенных условиях показатель степени — это и есть логарифм. Следовательно, любые математические численные выражения можно записать в виде логарифмического равенства. Например, 3 4 =81 можно записать в виде логарифма числа 81 по основанию 3, равному четырем (log 3 81 = 4). Для отрицательных степеней правила такие же: 2 -5 = 1/32 запишем в виде логарифма, получим log 2 (1/32) = -5. Одной из самых увлекательных разделов математики является тема «логарифмы». Примеры и решения уравнений мы рассмотрим чуть ниже, сразу же после изучения их свойств. А сейчас давайте разберем, как выглядят неравенства и как их отличить от уравнений.

Дано выражение следующего вида: log 2 (x-1) > 3 — оно является логарифмическим неравенством, так как неизвестное значение «х» находится под знаком логарифма. А также в выражении сравниваются две величины: логарифм искомого числа по основанию два больше, чем число три.

Самое главное отличие между логарифмическими уравнениями и неравенствами заключается в том, что уравнения с логарифмами (пример — логарифм 2 x = √9) подразумевают в ответе одно или несколько определенных числовых значений, тогда как при решении неравенства определяются как область допустимых значений, так и точки разрыва этой функции. Как следствие, в ответе получается не простое множество отдельных чисел как в ответе уравнения, а а непрерывный ряд или набор чисел.

Основные теоремы о логарифмах

При решении примитивных заданий по нахождению значений логарифма, его свойства можно и не знать. Однако когда речь заходит о логарифмических уравнениях или неравенствах, в первую очередь, необходимо четко понимать и применять на практике все основные свойства логарифмов. С примерами уравнений мы познакомимся позже, давайте сначала разберем каждое свойство более подробно.

1. Основное тождество выглядит так: а logaB =B. Оно применяется только при условии, когда а больше 0, не равно единице и B больше нуля.
2. Логарифм произведения можно представить в следующей формуле: log d (s 1 *s 2) = log d s 1 + log d s 2. При этом обязательным условием является: d, s 1 и s 2 > 0; а≠1. Можно привести доказательство для этой формулы логарифмов, с примерами и решением. Пусть log a s 1 = f 1 и log a s 2 = f 2 , тогда a f1 = s 1 , a f2 = s 2. Получаем, что s 1 *s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (свойства степеней), а далее по определению: log a (s 1 *s 2)= f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2, что и требовалось доказать.
3. Логарифм частного выглядит так: log a (s 1/ s 2) = log a s 1 — log a s 2.
4. Теорема в виде формулы приобретает следующий вид: log a q b n = n/q log a b.

Называется эта формула «свойством степени логарифма». Она напоминает собой свойства обычных степеней, и неудивительно, ведь вся математика держится на закономерных постулатах. Давайте посмотрим на доказательство.

Пусть log a b = t, получается a t =b. Если возвести обе части в степень m: a tn = b n ;

но так как a tn = (a q) nt/q = b n , следовательно log a q b n = (n*t)/t, тогда log a q b n = n/q log a b. Теорема доказана.

Примеры задач и неравенств

Самые распространенные типы задач на тему логарифмов — примеры уравнений и неравенств. Они встречаются практически во всех задачниках, а также входят в обязательную часть экзаменов по математике. Для поступления в университет или сдачи вступительных испытаний по математике необходимо знать, как правильно решать подобные задания.

К сожалению, единого плана или схемы по решению и определению неизвестного значения логарифма не существует, однако к каждому математическому неравенству или логарифмическому уравнению можно применить определенные правила. Прежде всего следует выяснить, можно ли упростить выражение или привести к общему виду. Упрощать длинные логарифмические выражения можно, если правильно использовать их свойства. Давайте скорее с ними познакомимся.

При решении же логарифмических уравнений, следует определить, какой перед нами вид логарифма: пример выражения может содержать натуральный логарифм или же десятичный.

Вот примеры ln100, ln1026. Их решение сводится к тому, что нужно определить ту степень, в которой основание 10 будет равно 100 и 1026 соответственно. Для решений же натуральных логарифмов нужно применить логарифмические тождества или же их свойства. Давайте на примерах рассмотрим решение логарифмических задач разного типа.

Как использовать формулы логарифмов: с примерами и решениями

Итак, рассмотрим примеры использования основных теорем о логарифмах.

1. Свойство логарифма произведения можно применять в заданиях, где необходимо разложить большое значение числа b на более простые сомножители. Например, log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4*128) = log 2 512. Ответ равен 9.
2. log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1,5 — как видите, применяя четвертое свойство степени логарифма, удалось решить на первый взгляд сложное и нерешаемое выражение. Необходимо всего лишь разложить основание на множители и затем вынести значения степени из знака логарифма.

Задания из ЕГЭ

Логарифмы часто встречаются на вступительных экзаменах, особенно много логарифмических задач в ЕГЭ (государственный экзамен для всех выпускников школ). Обычно эти задания присутствуют не только в части А (самая легкая тестовая часть экзамена), но и в части С (самые сложные и объемные задания). Экзамен подразумевает точное и идеальное знание темы «Натуральные логарифмы».

Примеры и решения задач взяты из официальных вариантов ЕГЭ. Давайте посмотрим, как решаются такие задания.

Дано log 2 (2x-1) = 4. Решение:
перепишем выражение, немного его упростив log 2 (2x-1) = 2 2 , по определению логарифма получим, что 2x-1 = 2 4 , следовательно 2x = 17; x = 8,5.

• Все логарифмы лучше всего приводить к одному основанию, чтобы решение не было громоздким и запутанным.
• Все выражение, стоящие под знаком логарифма, указываются как положительные, поэтому при вынесении множителем показателя степени выражения, который стоит под знаком логарифма и в качестве его основания, остающееся под логарифмом выражение должно быть положительно.

Что такое логарифм?

Внимание!
К этой теме имеются дополнительные
материалы в Особом разделе 555.
Для тех, кто сильно «не очень…»
И для тех, кто «очень даже…»)

Что такое логарифм? Как решать логарифмы? Эти вопросы многих выпускников вводят в ступор. Традиционно тема логарифмов считается сложной, непонятной и страшной. Особенно — уравнения с логарифмами.

Это абсолютно не так. Абсолютно! Не верите? Хорошо. Сейчас, за какие-то 10 — 20 минут вы:

1. Поймете, что такое логарифм .

2. Научитесь решать целый класс показательных уравнений. Даже если ничего о них не слышали.

3. Научитесь вычислять простые логарифмы.

Причём для этого вам нужно будет знать только таблицу умножения, да как возводится число в степень…

Чувствую, сомневаетесь вы… Ну ладно, засекайте время! Поехали!

Для начала решите в уме вот такое уравнение:

Кстати, у меня есть ещё парочка интересных сайтов для Вас. )

Можно потренироваться в решении примеров и узнать свой уровень. Тестирование с мгновенной проверкой. Учимся — с интересом!)

можно познакомиться с функциями и производными.

Логарифмические выражения, решение примеров. В этой статье мы рассмотрим задачи связанные с решением логарифмов. В заданиях ставится вопрос о нахождении значения выражения. Нужно отметить, что понятие логарифма используется во многих заданиях и понимать его смысл крайне важно. Что касается ЕГЭ, то логарифм используется при решении уравнений, в прикладных задачах, также в заданиях связанных с исследованием функций.

Приведём примеры для понимания самого смысла логарифма:

Основное логарифмическое тождество:

Свойства логарифмов, которые необходимо всегда помнить:

*Логарифм произведения равен сумме логарифмов сомножителей.

* * *

*Логарифм частного (дроби) равен разности логарифмов сомножителей.

* * *

*Логарифм степени равен произведению показателя степени на логарифм ее основания.

* * *

*Переход к новому основанию

* * *

Ещё свойства:

* * *

Вычисление логарифмов тесно связано с использованием свойств показателей степени.

Перечислим некоторые из них:

Суть данного свойства заключается в том, что при переносе числителя в знаменатель и наоборот, знак показателя степени меняется на противоположный. Например:

Следствие из данного свойства:

* * *

При возведении степени в степень основание остаётся прежним, а показатели перемножаются.

* * *

Как вы убедились само понятие логарифма несложное. Главное то, что необходима хорошая практика, которая даёт определённый навык. Разумеется знание формул обязательно. Если навык в преобразовании элементарных логарифмов не сформирован, то при решении простых заданий можно легко допустить ошибку.

Практикуйтесь, решайте сначала простейшие примеры из курса математики, затем переходите к более сложным. В будущем обязательно покажу, как решаются «страшненькие» логарифмы, таких на ЕГЭ не будет, но они представляют интерес, не пропустите!

На этом всё! Успеха Вам!

С уважением, Александр Крутицких

P. S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.

Решение уравнений, содержащих неизвестную в основании логарифма

Цели урока:

• обучающие: закрепить основные способы решения логарифмических уравнений: по определению логарифма с учётом области определения, на основании свойств монотонности (потенцирование) с учётом равносильности перехода, переход к новому основанию, введение новой переменной; рассмотреть некоторые приемы быстрого решения уравнений рассматриваемого типа;
• развивающие: содействовать развитию логического мышления учащихся; развивать умения рассуждать, сравнивать, осмысливать материал; развивать у учащихся умения анализа условия задачи перед выбором способа ее решения; развивать навыки исследовательской деятельности; учить видеть задачу целиком, логически мыслить при переходе от частного к общему; развивать навыки обобщения;
• воспитывающие: воспитание познавательного интереса, элементов культуры общения; побуждение учащихся к преодолению трудностей в процессе умственной деятельности; воспитание у учащихся уверенности в себе, веры в свои силы в нестандартной ситуации.

Тип урока: урок комплексного применения знаний и навыков.

(сообщить учащимся тему урока, поставить перед ними задачи урока), (на партах у каждого раздаточный материал см. Приложение 1).

Изучив основные свойства логарифмической функции, правила вычисления логарифмов, овладев основными приемами решения логарифмических уравнений и неравенств, наша основная задача на сегодняшний урок – обобщить методы решения логарифмических уравнений, содержащих переменную в основании логарифма.

Устная работа:

1. Найдите область определения функций:

Ответ: (0;1) U (1;∞)

(- 4; — 3) U (- 3; — 1) U (1;∞)

(-∞; — 2) U (- 2; 2)

2. Каким способом решается уравнение:

. Ответ: по определению логарифма. Решений нет!!

3. При каком значении параметра а функция определена на множестве (1; ∞); если изменить основание, значение параметра изменится?

Ответ: а ≥ 1

Ответ: а ≥ 1

Ответ: а > 1

3. Основная часть урока.

Слайд 2. Виды уравнений и методы решения

слайд 3.

На области определения  по определению логарифма

Или

слайд 4.

Пример  Решение:   x=6. Ответ: 6.

слайд 5.

На области определения  по определению логарифма

слайд 6.

Пример:

Решение: 7x-14=3-2x; 9x=17; x=17/9; НО!!!  промежутки не пересекаются, значит, решений нет!! Ответ: решений нет.

слайд 7.

Пример:Каким способом решается уравнение?

предполагаемый ответ учащихся: решаем, применяя определение логарифма (решение учеником письменно на доске и в тетрадях)

Решение:    

при х= 6  верно. Ответ: 6

Слайд 8

Слайд 10. На найденной области определения  

решим уравнение: , , х = 0 или х = 1,5

 Ответ: 1,5

Слайд 11 Следующий вид уравнения:

Одна и та же функция в основании логарифма

Вопрос: Каким способом решать?

Один из вариантов ответов: область определения достаточно объёмная, поэтому переходим к следствию  

Найдём корни этого уравнения и подстановкой в первоначальное логарифмическое, проверим.

Слайд 12. Одна и та же функция является подлогарифмическим выражением

Вопрос: Каким способом решать? Один из вариантов ответов: область определения достаточно объёмная, поэтому переходим к совокупности уравнений

 Найдём корни этого уравнения и подстановкой в первоначальное логарифмическое, проверим.

Слайд 13 .Пример

Решение:

Слайд 14. На промежутке  решаем совокупность уравнений:

Слайд 15. Проверяем на принадлежность этих чисел области определения, делаем вывод: решением уравнения являются числа: ; . Ответ: ;.

Слайд 16 Следующий вид уравнений:

Область определения достаточно объёмная

Найдём корни этого уравнения и подстановкой в первоначальное логарифмическое, проверим.

Слайд 17. Как вы думаете, каким способом лучше решать это уравнение?

Один из вариантов ответов: переход к новому основанию (числовому)

Слайд 18. или к буквенному  

Слайд 19. Пример:

(решение с подробным комментарием письменно на доске и в тетрадях).

Решение: Очевидно . Выполним преобразования основания и подлогарифмического выражения правой части уравнения

,

Перейдём в правой части уравнения к новому основанию х, применяя свойство: логарифм произведения равен сумме логарифмов множителей по такому же основанию

 ,

Выполним замену переменных

Получим уравнение , ,

Выполнив обратную замену, получим

 Х= — 1.

Очевидно – 1 не входит в область определения заданного уравнения.

Или , , .

По свойству: если коэффициенты квадратного уравнения таковы, что

a + c – b =0, то Х= — 1, Х= ½. Ответ: ½

Слайд 20   

Следующий тип уравнений

Слайд 21. Пример  

Решение:

  Ответ: 5,5.

Слайд 22 «Комбинированные» виды уравнений

Пример

Решение: очевидно   

Слайд 23  , ,  

(очевидно, последнее уравнение решений не имеет)

Слайд 24 , . Ответ:

Слайд 25 Уравнения, левая часть которых – сумма взаимно обратных слагаемых

Пример:  (*)

Очевидно, каждое слагаемое равно 1.

Получим систему, равносильную уравнению (*)

Слайд 26

  x = 2. Ответ: 2

Слайд 27. В чём отличие в решении следующего уравнения?

  (*)

Равенство взаимно обратных слагаемых верно при условии х > 0,5, х ≠ 1,5.

На рассматриваемом промежутке уравнение (*) равносильно совокупности

Слайд 28

Слайд 29

с учётом области определения:  Ответ: 1

Подведение итогов урока

4. Домашнее задание.

Слайд 30. Решите уравнения: ,

P. S. Урок проведён в 10 классе физико-химического профиля. Уложились за урок за счёт экономии времени: на партах лежали у каждого ученика листы с напечатанными типами уравнений, учащиеся записывали только метод решения (без области определения и решения). Эти листы ученики забрали с собой и вклеили в тетрадь.

В слабом классе лучше потратить на эту тему сдвоенный урок.

P. S. S. В кабинете один компьютер с выходом на экран телевизора. В связи с этим, на слайдах текст печатается очень крупно.

Список используемой литературы:

1. Балаян Э. Н. ЕГЭ по математике: Новейшие тесты. Пособие для учащихся старших классов и абитуриентов вузов. — М: ИКЦ «МарТ»; Ростов-на-Дону: Издательский центр «МарТ», 2004.
2. Балаян Э. Н. Математика. Серия «Единый госэкзамен». — Ростов н/Д: Феникс, 2004.
3. Математика. Интенсивный курс подготовки к Единому государственному экзамену. — М.: Айрис-пресс, 2004.
4. Математика: Варианты задач для вступительных испытаний в НГУЭУ. — Новосибирск: НГУЭУ, 2005.
5. Математика: Учебное пособие для поступающих в вузы и старшеклассников / М. К. Потапов, С. Н. Олехник, Ю. В. Нестеренко. — М.: ООО «Издательство АСТ»: ООО «Издательство Астрель», 2004.
6. Уравнения и неравенства: Учеб. пособие / А. Г. Калашникова и др.— Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2003.

Презентация.

логарифмических уравнений

	ЛОГАРИФМИЧЕСКИЙ УРАВНЕНИЯ
Определение	Любой уравнение с переменной x, содержащее логарифм, называется логарифмическим уравнение.
	Отзыв определение логарифма. Это определение будет важно для понять, чтобы иметь возможность решать логарифмические уравнения.
Примеры	ПРИМЕРЫ ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
		Пример 1			Пример 2
	Журнал 2 х = -5			5 + пер 2х = 4
		Пример 3			Пример 4
	лн х + пер (х — 2) = 1			журнал 6 х + журнал 6 (х + 1) = 1
Решение	ШАГОВ ДО РЕШИТЬ ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
	Ваш цель состоит в том, чтобы иметь возможность использовать определение логарифма. Чтобы использовать это, изолируйте логарифмическое выражение с одной стороны уравнение. Все константы должны быть объединены в другую сторону. Использовать свойства логарифмов, при необходимости объединять логарифмы в один логарифмический член. Подать заявление определение — переход к экспоненциальной форме. Упростите результат. Это Это!
Образец Проблемы	Образец Проблема 1
	Журнал 2 х = -5 2 -5 = х Ответ: 1     = х 32			Это уравнение содержит одну логарифмическое выражение с одной стороны и константа с другой стороны. Просто примените определение логарифма. (т.е. перейти к экспоненциальному форма.)
Образец Проблемы	Образец Задача 2
	5 + пер 2х = 4 -5 -5 пер. 2х = -1 и -1 = 2х х = е -1 /2 Ответ: Икс 0,1839			Изолировать термин журнала. Применить определение логарифм. (перейти к экспоненциальной форме) Напомним, «ln» — это логарифм, основанием которого является число е.           Ответ может быть приблизительно с помощью научного калькулятора.
Образец Проблемы	Образец Задача 3
	лн х + пер (х — 2) = 0 пер х(х — 2) = 0 е 0 = х(х — 2) 1 = х 2 — 2х х 2 — 2х — 1 =0   ОТКЛОНЯТЬ ПРИЕМЛЕМЫЙ Ответ: 2,41			Объедините два логарифма в один логарифм. Напомним:   Переход к экспоненциальной форме с использованием определения логарифма. Решите полученное уравнение. Здесь мы имеем квадратное уравнение. Поскольку оно неразложимо, будем решать по квадратичной формуле.   Так как мы не можем логарифмировать ноль или отрицательные числа. Отклоняйте любые ответы, которые приведут к одному из них в оригинал.
Образец Проблемы	Образец Задача 4
	журнал 6 х + журнал 6 (х + 1) = 1 журнал 6 х(х + 1) = 1 6 1 = х(х + 1) х 2 + х = 6 х 2 + х — 6 = 0 (х + 3)(х — 2) = 0 х = -3   ИЛИ   x = 2     ОТКЛОНИТЬ ПРИЕМЛЕМЫЙ Ответ: Х = 2			Объедините два логарифма в один логарифм. Отзыв: Перейти к экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Решите полученное уравнение. Здесь мы имеем квадратное уравнение. Поскольку оно факторизуемо, будем решать с помощью факторинга. Так как мы не можем логарифмировать ноль или отрицательные числа. Отклоняйте любые ответы, которые приведут к одному из них в оригинал.

Алгебра — решение уравнений логарифмов

Онлайн-заметки Пола
Главная / Алгебра / Экспоненциальные и логарифмические функции / Решение логарифмических уравнений

Показать мобильное уведомление Показать все примечания Скрыть все примечания

Уведомление для мобильных устройств

Похоже, вы используете устройство с «узкой» шириной экрана ( т. е. вы наверное на мобильном телефоне). Из-за характера математики на этом сайте лучше всего просматривать в ландшафтном режиме. Если ваше устройство не находится в ландшафтном режиме, многие уравнения будут отображаться сбоку вашего устройства (должна быть возможность прокрутки, чтобы увидеть их), а некоторые пункты меню будут обрезаны из-за узкой ширины экрана.

Раздел 6-4: Решение логарифмических уравнений

В этом разделе мы рассмотрим решение логарифмических уравнений или уравнений с логарифмами в них. Здесь мы рассмотрим два конкретных типа уравнений. В частности, мы рассмотрим уравнения, в которых каждый член является логарифмом, а также мы рассмотрим уравнения, в которых все члены уравнения, кроме одного, являются логарифмами, а член без логарифма будет константой. Кроме того, мы будем предполагать, что логарифмы в каждом уравнении будут иметь одно и то же основание. Если в логарифмах уравнения более одного основания, процесс решения становится намного сложнее.

Прежде чем мы приступим к решению, нам нужно помнить, что мы можем подставлять только положительные числа в логарифм. Это будет важно в будущем, поэтому мы не можем об этом забывать.

Теперь давайте начнем с уравнений, в которых каждый член является логарифмом, а все основания логарифмов одинаковы. В этом случае мы будем использовать тот факт, что

\[{\mbox{Если}}{\log _b}x = {\log _b}y{\mbox{тогда}}x = y\]

Другими словами, если у нас в задаче два логарифма, по одному по обе стороны от знака равенства и оба с коэффициентом, равным единице, то мы можем просто отбросить логарифмы.

Давайте рассмотрим пару примеров.

Пример 1. Решите каждое из следующих уравнений.

1. \(2{\log _9}\left({\sqrt x} \right) — {\log _9}\left({6x — 1} \right) = 0\)
2. \(\log x + \log \left( {x — 1} \right) = \log \left( {3x + 12} \right)\)
3. \(\ln 10 — \ln \left( {7 — x} \right) = \ln x\)

Показать все решения Скрыть все решения

a \(2{\log _9}\left({\sqrt x } \right) — {\log _9}\left({6x — 1} \right) = 0\) Показать решение

В этом уравнении всего два логарифма, поэтому легко получить по обе стороны от знака равенства. Нам также нужно будет разобраться с коэффициентом перед первым членом. 92} & = {\log _9}\left({6x — 1} \right)\\ {\log _9}x & = {\log _9}\left({6x — 1} \right)\end{align *}\]

Теперь, когда у нас есть два логарифма с одинаковым основанием и коэффициентами 1 по обе стороны от знака равенства, мы можем отбросить логи и решить.

\[\begin{align*}x & = 6x — 1\\ 1 & = 5x\hspace{0.25in} \Rightarrow \hspace{0.25in}x = \frac{1}{5}\end{align*} \]

Теперь нам нужно побеспокоиться о том, будет ли это решение производить какие-либо отрицательные числа или нули в логарифмах, поэтому следующим шагом будет вставить это в исходное уравнение и посмотреть, получится ли.

\[2{\log _9}\left({\sqrt {\frac{1}{5}}} \right) — {\log _9}\left({6\left({\frac{1}{5} }} \right) — 1} \right) = 2{\log _9}\left( {\sqrt {\frac{1}{5}} } \right) — {\log _9}\left({\frac {1}{5}} \справа) = 0\]

Обратите внимание, что нам не нужно делать здесь чек до конца. Нам просто нужно убедиться, что после подстановки \(x\) у нас не будет отрицательных чисел или нулей в логарифмах. Поскольку в данном случае у нас нет решения, это \(x = \frac{1}{5}\).

b \(\log x + \log \left( {x — 1} \right) = \log \left( {3x + 12} \right)\) Показать решение

Итак, в этом уравнении три логарифма, а может быть только два. Итак, мы видели, как выполнять такую ​​работу, в наборе примеров в предыдущем разделе, поэтому нам просто нужно сделать то же самое здесь. На самом деле не имеет значения, как мы это делаем, но поскольку на одной стороне уже есть один логарифм, мы могли бы также объединить журналы на другой стороне. 92} — 4x — 12 & = 0\\ \left( {x — 6} \right)\left( {x + 2} \right) & = 0\hspace{0.25in} \Rightarrow \hspace{0.25in} х = — 2,\,\,х = 6\конец{выравнивание*}\]

Теперь, прежде чем мы объявим их решениями, мы ДОЛЖНЫ проверить их в исходном уравнении.

\(х = 6\, :\)

\[\begin{align*}\log 6 + \log \left( {6 — 1} \right) & = \log \left( {3\left( 6 \right) + 12} \right)\\ \ журнал 6 + \ журнал 5 & = \ журнал 30 \ конец {выравнивание *} \]

Нет логарифмов отрицательных чисел и логарифмов нуля, так что это решение.

\(х = — 2\, :\)

\[\log \left( { — 2} \right) + \log \left( { — 2 — 1} \right) = \log \left( {3\left( { — 2} \right) + 12} \Правильно)\]

Дальше идти не надо, в первом члене стоит логарифм отрицательного числа (остальные тоже отрицательные) и это все, что нам нужно, чтобы исключить это как решение.

Будьте осторожны. Мы не исключаем \(x = — 2\), потому что оно отрицательное, проблема не в этом. Мы исключаем его, потому что, как только мы подставим его в исходное уравнение, мы получим логарифмы отрицательных чисел. Возможны отрицательные значения \(x\) для решения этих проблем, так что не перепутайте причину исключения этого значения.

Кроме того, в том же духе мы взяли \(x = 6\) в качестве решения не потому, что оно было положительным, а потому, что оно не давало никаких отрицательных чисел или нулей в логарифмах при подстановке. Положительные числа могут не быть решениями. 2} — 7x + 10 & = 0\ \ \left( {x — 5} \right)\left( {x — 2} \right) & = 0\hspace{0.25in} \Rightarrow \hspace{0.25in}x = 2,\,\,x = 5\конец{выравнивание*}\]

У нас есть два возможных решения для проверки.

\(х = 2 :\)

\[\begin{align*}\ln 10 — \ln \left( {7 — 2} \right) & = \ln 2\\ \ln 10 — \ln 5 & = \ln 2\end{align*} \]

С этим все в порядке.

\(х = 5 :\)

\[\begin{align*}\ln 10 — \ln \left( {7 — 5} \right) & = \ln 5\\ \ln 10 — \ln 2 & = \ln 5\end{align*} \]

Этот тоже подойдет.

В этом случае оба возможных решения, \(x = 2\) и \(x = 5\), на самом деле являются решениями. Нет причин ожидать, что всегда придется выбрасывать одно из двух в качестве решения.

Теперь нам нужно взглянуть на второй вид логарифмического уравнения, которое мы будем здесь решать. В этом уравнении будут все члены, но один будет логарифмическим, а один член, не имеющий логарифма, будет константой. 2} — 6x} \right) = 3 + {\log _2}\left({1 — x} \right)\)

Показать все решения Скрыть все решения

a \({\log _5}\left({2x + 4} \right) = 2\) Показать решение

Чтобы решить их, нам нужно привести уравнение к тому виду, в котором оно находится. Нам нужен один логарифм в уравнении с коэффициентом, равным единице, и константой по другую сторону от знака равенства. Как только мы получим уравнение в этой форме, мы просто преобразуем его в экспоненциальную форму.

Итак, давайте сделаем это с этим уравнением. Экспоненциальная форма этого уравнения: 92} = 25\]

Обратите внимание, что это уравнение мы можем легко решить.

\[2x = 21\hspace{0,25 дюйма} \Rightarrow \hspace{0,25in}x = \frac{{21}}{2}\]

Теперь, как и в первом наборе примеров, нам нужно снова подключить это к исходному уравнению и посмотреть, будут ли оно давать отрицательные числа или нули в логарифмах. Если да, то это не может быть решением, а если нет, то это решение.

\[\ begin{align*}{\log _5}\left( {2\left( {\ frac {{21}}{2}} \right) + 4} \right) & = 2\\ {\log _5}\left( {25} \right) & = 2\end{align*}\]

Только положительные числа в логарифме, поэтому \(x = \frac{{21}}{2}\) на самом деле является решением.

b \(\log x = 1 — \log \left( {x — 3} \right)\) Показать решение

В этом случае у нас есть два логарифма в задаче, поэтому нам нужно объединить их в один логарифм, как мы сделали в первом наборе примеров. Выполнение этого для этого уравнения дает

\[\begin{align*}\log x + \log \left( {x — 3} \right) & = 1\\ \log \left( {x\left( {x — 3} \right)} \ справа) & = 1\end{align*}\]

Теперь, когда уравнение приведено в правильную форму, мы преобразуем его в экспоненциальную форму. 2} — 3x — 10 & = 0\\ \left( {x — 5 } \right)\left( {x + 2} \right) & = 0\hspace{0.25in} \Rightarrow \hspace{0.25in}x = — 2,\,\,x = 5\end{align*} \]

Итак, у нас есть два возможных решения. Давайте проверим их обоих.

\(*х = — 2:\)

\[\log \left( { — 2} \right) = 1 — \log \left( { — 2 — 3} \right)\]

У нас есть отрицательные числа в логарифмах, поэтому это не может быть решением.

\(х = 5:\)

\[\begin{align*}\log 5 & = 1 — \log \left( {5 — 3} \right)\\ \log 5 & = 1 — \log 2\end{align*}\]

Нет отрицательных чисел или нулей в логарифмах, так что это решение.

Следовательно, у нас есть единственное решение этого уравнения, \(x = 5\).

Опять же, помните, что мы не исключаем потенциальное решение, потому что оно отрицательное, и не включаем потенциальное решение, потому что оно положительное. Мы исключаем потенциальное решение, если оно дает отрицательные числа или нули в логарифмах при подстановке его в уравнение, и мы включаем потенциальное решение, если это не так.

Итак, после подстановки этого решения в мы видим, что все числа в логарифмах положительны и, таким образом, это ЯВЛЯЕТСЯ решением. Еще раз обратите внимание, что не имеет значения, что решение отрицательное, просто оно не может давать отрицательные числа или нули в логарифмах.

В этом случае, несмотря на то, что потенциальное решение положительно, мы получаем отрицательные числа в логарифмах и, следовательно, это не может быть решением.

Следовательно, мы получаем единственное решение этого уравнения, \(x = — 4\).

РЕШЕНИЕ ЛОГАРИФМИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

1. Чтобы решить логарифмическое уравнение, перепишите уравнение в экспоненциальной форме и найдите переменную.

Пример 1: Найдите x в уравнении Ln ( x )=8.

Решение:

Шаг 1: Пусть обе части являются показателями основания e. Уравнение Ln ( x )=8 можно переписать.

Шаг 2: К настоящему времени вы должны знать, что когда основание экспоненты и основание логарифма совпадают, левая часть может быть записана как x. Уравнение теперь можно записать .

Шаг 3: Точный ответ:

и примерный ответ

Проверить: Вы можете проверить свой ответ двумя способами. Вы можете построить график функции Ln ( x )-8 и посмотрите, где он пересекает ось x. Если вы правы, график должен пересечь ось X в ответе, который вы получили алгебраически.
Вы также можете проверить свой ответ, подставив значение x в начальный уравнения и определить, равна ли левая часть правой части. За например, если Ln (2980,95798704)=8, вы правы. Так и есть, и вы правы.

Пример 2: Найдите x в уравнении 7 Log (3 х )=15.

Решение:

Шаг 1: Изолируйте логарифмический член перед преобразованием логарифмического уравнения в показательное уравнение. Разделите обе части исходного уравнения на 7:

Шаг 2: Преобразование логарифмического уравнения в показательное уравнение: если основание не указано, это означает, что основание логарифма равно 10. Напомним также, что логарифмы являются показателями степени, поэтому показатель степени . Уравнение

теперь можно написать

Шаг 3: Разделите обе части приведенного выше уравнения на 3:

точный ответ и приблизительный ответ.

Проверить: Вы можете проверить свой ответ двумя способами: построить график функции

или подставив значение x в исходное уравнение. Если вы выберете график, точка пересечения по оси x должна совпадать с ответом, который вы полученный ( ).
Если вы выбираете замену, значение левой части оригинала уравнение должно равняться значению правой части уравнения после того, как вы рассчитали значение каждой стороны на основе вашего ответа для x.

Пример 3: Найдите x в уравнении

Решение:

Шаг 1: Обратите внимание, что первый член Ln ( x -3) действителен только тогда, когда x >3; срок Ln ( x -2) действителен, только если x >2; а терм Ln (2 x +24) действителен только тогда, когда x >-12. Если мы потребуем, чтобы x был любым действительным числом, большим 3, все три термина будут действительными. Если все три условия верны, то уравнение верно.

Шаг 2: Упростим левую часть приведенного выше уравнения: По свойствам логарифмов мы знаем, что

Шаг 3: Теперь можно написать уравнение

Шаг 4: Пусть каждая часть приведенного выше уравнения будет показателем степени основания e:

Шаг 5: Упростите приведенное выше уравнение:

Другой способ взглянуть на уравнение на шаге 3 состоит в том, чтобы понять, что если Ln ( a ) = Ln ( b ), тогда a должно равняться b. В случае этой проблемы, то

Шаг 6: Упростите левую часть приведенного выше уравнения:

Шаг 7: Вычтите 2x + 24 с каждой стороны:

Шаг 8: Фактор левой части приведенного выше уравнения:

Шаг 9: Если произведение двух множителей равно нулю, то хотя бы один из множителей должен быть равен нулю. Если . Если . х = 9наше единственное решение. Почему 9 единственное решение? Мы определили нашу область определения как все действительные числа больше 3.

Проверка: Вы можете проверить свой ответ, построив график функции

и определить, равен ли x-перехват также 9. Если это так, вы правильно отработали задачу.
Вы также можете проверить свой ответ, подставив 9 вместо x слева и правые части исходного уравнения. Если после замены осталось часть уравнения имеет то же значение, что и правая часть уравнения, вы правильно проработали задачу.

Если вы хотите просмотреть другой пример, нажмите «Пример».

Работают следующие задачи. Если вы хотите просмотреть ответ и решение, нажмите Ответ.

Задача 1: Найдите x в уравнении

Ответ

Задача 2: Найдите x в уравнении

Ответ

Задача 3: Найдите x в уравнении

Ответ

Задача 4: Найдите x в уравнении

Ответ

Задача 5: Найдите x в уравнении

Ответ

Задача 6: Найдите x в уравнении

Ответить

Домашняя страница S. O.S MATHematics

Вам нужна дополнительная помощь? Пожалуйста, разместите свой вопрос на нашем S.O.S. Математика CyberBoard.

Автор: Нэнси Маркус

Copyright 1999-2022 MathMedics, LLC. Все права защищены.
Свяжитесь с нами
Математика Медикс, ООО. — П.О. Box 12395 — Эль-Пасо, Техас 79913 — США
пользователей онлайн за последний час

логарифмических уравнений | Колледж Алгебра

Результаты обучения 9{у}=х[/латекс]. Мы можем использовать этот факт вместе с правилами логарифмирования для решения логарифмических уравнений, где аргументом является алгебраическое выражение.

Например, рассмотрим уравнение [латекс]{\mathrm{log}}_{2}\left(2\right)+{\mathrm{log}}_{2}\left(3x — 5\right) =3[/латекс]. Чтобы решить это уравнение, мы можем использовать правила логарифмирования, чтобы переписать левую часть как один журнал, а затем применить определение журналов для решения для [latex]x[/latex]:

[latex]\begin{array}{ l}{\mathrm{log}}_{2}\left(2\right)+{\mathrm{log}}_{2}\left(3x — 5\right)=3\hfill & \hfill \\ \text{ }{\mathrm{log}}_{2}\left(2\left(3x — 5\right)\right)=3\hfill & \text{Применить правило произведения логарифмов}. {3}.\hfill \\ \text{ }18=6x\hfill & \text{Прибавьте 10 к обеим сторонам}.\hfill \\ \text{ }x=3\hfill & \text{Разделите обе стороны на 6}.\hfill \end{массив }[/латекс] 9{c}=S[/latex]

Пример. Использование алгебры для решения логарифмического уравнения

Решите [latex]2\mathrm{ln}x+3=7[/latex].

Показать раствор

Попробуйте

Решите [латекс]6+\mathrm{ln}x=10[/латекс].

Показать раствор

Пример: использование алгебры до и после использования определения натурального логарифма

Решите [латекс]2\mathrm{ln}\left(6x\right)=7[/latex].

Показать решение

Попробуйте

Решите [латекс]2\mathrm{ln}\left(x+1\right)=10[/latex]. 9{x}=1000[/latex] до 2 знаков после запятой.

Показать решение

Использование свойства «один к одному» логарифмов для решения логарифмических уравнений

Как и в случае показательных уравнений, мы можем использовать свойство «один к одному» для решения логарифмических уравнений. Свойство взаимно однозначности логарифмических функций говорит нам, что для любых действительных чисел x > 0, S > 0, T > 0 и любого положительного вещественного числа b , где [латекс]b\ пе 1[/латекс],

[латекс] {\ mathrm {log}} _ {b} S = {\ mathrm {log}} _ {b} T \ text { тогда и только тогда, когда} S = T [/latex]

Например,

[латекс]\текст{Если}{\mathrm{log}}_{2}\left(x — 1\right)={\mathrm{log}}_{2}\left(8\right),\ text{then}x — 1=8[/latex]

Итак, если [latex]x — 1=8[/latex], то мы можем найти x и получим x = 9. Чтобы проверить, мы можем подставить x = 9 в исходное уравнение: (8\справа)=3[/латекс]. Другими словами, когда логарифмическое уравнение имеет одинаковое основание с каждой стороны, аргументы должны быть равны. Это также применимо, когда аргументы являются алгебраическими выражениями. Поэтому, когда у нас есть уравнение с логарифмами одинакового основания на каждой стороне, мы можем использовать правила логарифмирования, чтобы переписать каждую сторону как один логарифм. Затем мы используем тот факт, что логарифмические функции являются взаимно однозначными, чтобы установить аргументы равными друг другу и найти неизвестное.

Например, рассмотрим уравнение [латекс]\mathrm{log}\left(3x — 2\right)-\mathrm{log}\left(2\right)=\mathrm{log}\left(x+4 \справа)[/латекс]. Чтобы решить это уравнение, мы можем использовать правила логарифмирования, чтобы переписать левую часть как одиночный логарифм, а затем применить свойство один к одному для решения для x :

[латекс]\begin{массив}{l }\mathrm{log}\left(3x — 2\right)-\mathrm{log}\left(2\right)=\mathrm{log}\left(x+4\right)\hfill & \hfill \\ \text{}\mathrm{log}\left(\frac{3x — 2}{2}\right)=\mathrm{log}\left(x+4\right)\hfill & \text{Применить правило отношения логарифмов}.\hfill \\ \text{}\frac{3x — 2}{2}=x+4\hfill & \text{Применить свойство один к одному}.\hfill \\ \text{} 3x — 2=2x+8\hfill & \text{Умножьте обе части уравнения на }2.\hfill \\ \text{}x=10\hfill & \text{Вычтите 2}x\text{ и прибавьте 2 }. \hfill \end{массив}[/latex]

Чтобы проверить результат, подставьте x  = 10 в [латекс]\mathrm{log}\left(3x — 2\right)-\mathrm{log}\left(2\right)=\mathrm{log} \влево(х+4\вправо)[/латекс].

[латекс]\begin{array}{l}\mathrm{log}\left(3\left(10\right)-2\right)-\mathrm{log}\left(2\right)=\mathrm {log}\left(\left(10\right)+4\right)\hfill & \hfill \\ \text{}\mathrm{log}\left(28\right)-\mathrm{log}\left( 2\right)=\mathrm{log}\left(14\right)\hfill & \hfill \\ \text{}\mathrm{log}\left(\frac{28}{2}\right)=\mathrm {log}\left(14\right)\hfill & \text{Решение проверяет}.\hfill \end{массив}[/latex]

Общее примечание: Использование свойства взаимно однозначности логарифмов для решения логарифмических уравнений

Для любых алгебраических выражений S и T и любого положительного вещественного числа b , где [latex]b\ne 1 [/латекс],

[латекс]{\mathrm{log}}_{b}S={\mathrm{log}}_{b}T\text{ тогда и только тогда, когда}S=T[/latex]

Обратите внимание: при решении уравнения с логарифмами всегда проверяйте, правильный ли ответ или это постороннее решение.

Как сделать: Имея уравнение, содержащее логарифмы, решите его, используя свойство «один к одному» mathrm{log}}_{b}S={\mathrm{log}}_{b}T[/латекс].

Используйте свойство «один к одному», чтобы установить аргументы равными друг другу.

Решите полученное уравнение S = T для неизвестного.

Пример. Решение уравнения с использованием свойства однозначности логарифмов 9{2}\right)=\mathrm{ln}1[/latex].

Показать решение

Поддержите!

У вас есть идеи по улучшению этого контента? Мы будем признательны за ваш вклад.

Улучшить эту страницуПодробнее

НАТУРАЛЬНЫЕ ЛОГАРИФМЫ

Обзор устройства
В этом модуле вы будете оценивать натуральные экспоненциальные и натуральные логарифмические функции и моделировать экспоненциальные процессы роста и затухания. Вы также будете решать логарифмические и показательные уравнения, используя алгебру и графики. Реальные задачи, связанные с экспоненциальными и логарифмическими отношениями, будут решены в конце модуля.

Натуральная экспонента и натуральная логарифмическая функция s

Число e является важным иррациональным числом. Он примерно равен 2,71828. Как и pi , значение является постоянным.

Показательная функция с основанием e называется показательной функцией с естественным основанием. Эти функции полезны при описании непрерывного роста или распада. Например, число e используется для решения проблем, связанных с непрерывным сложным процентом и непрерывным радиоактивным распадом. Экспоненциальные функции с основанием и обладают теми же свойствами, что и другие экспоненциальные функции.

Натуральная логарифмическая функция y = log _E x — сокращен y = LN x и является инверсом натуральной экспоненциальной функции
y 44444444444444 мг. 4444444444 мг.

Пример №1 : Если e 5 = 148,413, чему равно x в выражении ln x ? e 5 = 148,413   ln(148,413) = 5 Запишите экспоненту в виде обратного логарифма (ln). ∴ х = 148,413   *Примечание. Три треугольные точки — это сокращение от слова «поэтому».

Пример №2 : Если ln 54,598 = 4, чему равно x в выражении e x = 54,598? пр. 54,598 = 4   e 4 = 54,598 Запишите экспоненту в виде обратного логарифма (ln). ∴ х = 4

Давайте потренируемся заменять экспоненциальные выражения e натуральными логарифмами (ln) и наоборот. (Не пользуйтесь калькулятором, в этом нет необходимости. Просто следуйте определению натурального логарифма и тому, как он соотносится с e .)

Если e ³ = 20,086, чему равно x в выражении ln x = 3?

х = 20,086

«Нажмите здесь», чтобы проверить ответ.

Если e ⁻² = 0,0135, чему равно x в выражении ln 0,0135 = x ?

х = −2

«Нажмите здесь», чтобы проверить ответ.

Если ln 7,389 = 2, чему равно x в выражении e ² = x ?

х = 7,389

«Нажмите здесь», чтобы проверить ответ.

Если ln 1 = 0, чему равно x в выражении e ⁰ = x ?

х = 1

«Нажмите здесь», чтобы проверить ответ.

Если e = x , каково значение x ?

х = 1

«Нажмите здесь», чтобы проверить ответ.

Калькулятор и натуральный логарифм (LN ) Клавиша, обозначенная на калькуляторе как LN , является клавишей натурального логарифма.

Пример №1 : вычислите выражения с помощью калькулятора.

Свойства десятичных логарифмов (log) применимы и к натуральным логарифмам (ln).
  Правила и свойства журнала (04:34)

Пример № 2 : Выразите 3 в 5 как одинарный натуральный логарифм. 3 пер. 5 = пер. 5 3 -Степенное свойство логарифмов           = пер. 125 — Упростить

Пример №3 :  Выразите число 35 – число 5 в виде единичного натурального логарифма. пер. 35 – пер. 5 = пер. — Частное свойство логарифмов                    = пер. 7 — Упростить

Пример №4 : Выразите 2 ln x + 3 ln y + ln 8 как одинарный натуральный логарифм. 2 ряда x + 3 ряда г + пер 8 =   ln x 2 + ln y 3 + ln 8 = -Степенное свойство логарифмов ln 8 x 2 y 3 — Свойство произведения логарифмов

Стоп!   Перейдите к вопросам 1–8 по этому разделу, затем вернитесь, чтобы перейти к следующему разделу.

Решение уравнений с натуральными логарифмами

Теперь давайте рассмотрим использование натурального логарифма для решения уравнения.

Пример №1 : Решите 6,5 x = 44 для x . пер. 6,5 x = пер. 44 -Возьмите натуральное бревно с обеих сторон. x длина 6,5 = длина 44 — Применить свойство Power. х = — Разделите обе стороны на ln 6,5. х ≈ 2,02 -Округлите ответ до сотых.               Чтобы проверить вышеуказанную проблему, замените 2,02 дюйма на x в исходном уравнении. 6,5 х = 44   6,5 2,02 ≈ 43,86 -Используйте калькулятор для оценки. *Примечание : Эту задачу также можно решить, взяв десятичный логарифм (логарифм) обеих частей уравнения.

Натуральные логарифмы (ln) должны использоваться для решения задач, содержащих число e.

Пример #2 : Решите e x = 40 для x .     e x = 40   пер. e x = пер. 40 -Возьмите натуральное бревно с обеих сторон. х = пер. 40 — Помните, что е х = х . х ≈ 3,69 -Используйте калькулятор.

Пример #4

Пример №3 : Решите + 4 = 22 для x . + 4 = 22   = 18 -Вычтите 4 с обеих сторон. пер = пер 18 -Возьмите натуральное бревно с обеих сторон. = пер. 18 — Помните, что ln e x = x , ∴ln = . х = 3 (18) -Умножить обе части на 3. х ≈ 8,67 -Используйте калькулятор.

8 e 2 x− 5 = 56
и 2 х- 5 = 7	— Разделите обе стороны на 8.
пер. e 2 х- 5 = пер. 7	-Возьмите натуральное бревно с обеих сторон.
2 x − 5 = пер. 7	— Помните, что ln e x = x , ∴ln e 2 x− 5 = 2 х — 5,
2 х = пер. 7 + 5	-Добавить 5 с обеих сторон.
х =	— Разделить на 2.
х ≈ 3,47	-Используйте калькулятор.

Пример №5 : Решить 500 = 100 e 0,75 т для т .  500 = 100 e 0,75 т   5 = e 0,75 т — Разделите обе стороны на 100. пер. 5 = пер. е 0,75 т -Возьмите натуральное бревно с обеих сторон. ln 5 = 0,75 т — Помните, что ln e x = x , ∴ln e 0,75 t = 0,75 t . = т — Разделите обе части на 0,75. т ≈ 2,1459 -Используйте калькулятор.

  Натуральные логарифмы Пример № 7

Пример #6 : Решите ln (10 x ) = ln(3 x + 14) для x . ln (10 x ) = ln (3 x + 14)   10 х = 3 х + 14 — Применить свойство «Один к одному». 7 х = 14 -Вычесть 3 x с обеих сторон. х = 2 — Разделите обе части на 2.

ln x + ln ( x — 3) = ln 10
ln [ x ( x − 3)] = ln 10	— Применить свойство продукта.
х ( х — 3) = 10	— Применить свойство «Один к одному».
x 2 − 3 х = 10	— Распространение
х 2 — 3 х — 10 = 0	-Вычтите 10 из обеих сторон, затем примените свойство Zero product для решения.
( x – 5)( x + 2) = 0	-Фактор
х – 5 = 0 или х + 2 = 0	— Установить оба коэффициента равными нулю.
х = 5 или х = -2	-Решить

Проверьте оба этих ответа в исходной задаче. Если какое-либо решение дает отрицательный логарифм, это решение должно быть отклонено.

Чек :	для 5	для –2
	ln x + ln ( x — 3) = ln 10	ln x + ln ( x — 3) = ln 10
	пер 5 + пер (5 — 3) = пер 10	пер (–2) + пер (–2 − 3) = пер 10
	пер. 5 + пер. 2 = пер. 10
	пер (–2) + пер (–5) = пер 10
	2,30 = 2,30
	*Это уравнение дает два положительных логарифма, поэтому 5 является решением.	*Это уравнение дает два отрицательных логарифма, следовательно, -2 не может быть решением, поскольку существует нет отрицательных логарифмов.

Останавливаться!   Перейдите к вопросам № 9–14 по этому разделу, затем вернитесь, чтобы перейти к следующему разделу. Применение натуральных логарифмов Формула с использованием натуральных логарифмов представляет собой непрерывную формулу сложных процентов , где A — конечная сумма, P — сумма инвестиций, r — процентная ставка, т это время.

Пример № 1 : Найдите стоимость 500 долларов США через 4 года инвестирования по годовой ставке 9% с постоянным начислением сложных процентов. A = неизвестно              P = 500 долларов США r = 9% = 0,09              t = 4 года А = Пе рт   А = 500 e (0,09)(4) — Заменяет в P , r и t . А ≈ 716,66 долларов США -Вычислить и округлить до ближайшего цента. *В калькуляторе есть функция ввода е х . Эту функцию можно найти, нажав 2-ю LN. Обратите внимание, что над кнопкой LN есть e x . Нажмите 500, затем 2-ю ЛН, затем (0,09 × 4). Нажмите Enter, и появится ответ!

Пример № 2 : Сколько времени потребуется, чтобы удвоить ваши деньги, если вы вносите 500 долларов США по годовой ставке 7,2% с постоянным начислением сложных процентов? Предположим, , что вложенные деньги составляют 500 долларов США, начальную сумму. Эта удвоенная сумма составляет 1000 долларов США, и это будет окончательная сумма для определения ( A ). Пусть t = количество времени, необходимое для удвоения денег. А = Пе РТ   1000 = 500 е (0,072) т — Замена A = 1000, P = 500, r = 0,072 2 = e (0,072) т — Разделите обе стороны на 500. пер. 2 = пер. е (0,072) т -Возьмите натуральное бревно с обеих сторон. ln 2 = 0,072 т -Помните ln e x = x , ∴ln e (0,072) t = 0,072 t . = т — Разделите обе стороны на 0,072. т ≈ 9,63 -Используйте калькулятор, чтобы найти натуральный логарифм 2, затем разделите полученный ответ на 0,072.

Останавливаться!   Перейдите к вопросам № 15–30, чтобы завершить этот модуль.

Упрощение логарифмов — Математика средней школы

Упрощение логарифмов — Математика средней школы

—>

• Войти
• Биографии репетитора
• Подготовка к тесту

  СРЕДНЯЯ ШКОЛА

  • ACT Репетиторство
  • SAT Репетиторство
  • Репетиторство PSAT
  • Репетиторство ASPIRE
  • ШСАТ Репетиторство
  • Репетиторство STAAR

  ВЫСШАЯ ШКОЛА

  • MCAT Репетиторство
  • Репетиторство GRE
  • Репетиторство по LSAT
  • Репетиторство по GMAT

  К-8

  • Репетиторство AIMS
  • Репетиторство по HSPT
  • Репетиторство ISEE
  • Репетиторство по ISAT
  • Репетиторство по SSAT
  • Репетиторство STAAR

  Поиск 50+ тестов

• Академическое обучение

  репетиторство по математике

  • Алгебра
  • Исчисление
  • Элементарная математика
  • Геометрия
  • Предварительное исчисление
  • Статистика
  • Тригонометрия

  Репетиторство по естественным наукам

  • Анатомия
  • Биология
  • Химия
  • Физика
  • Физиология

  иностранные языки

  • французский
  • немецкий
  • Латинский
  • Китайский мандарин
  • Испанский

  начальное обучение

  • Чтение
  • Акустика
  • Элементарная математика

  прочие

  • Бухгалтерский учет
  • Информатика
  • Экономика
  • Английский
  • Финансы
  • История
  • Письмо
  • Лето

  Поиск по 350+ темам

• О
  • Обзор видео
  • Процесс выбора наставника
  • Онлайн-репетиторство
  • Мобильное обучение
  • Мгновенное обучение
  • Как мы работаем
  • Наша гарантия
  • Влияние репетиторства
  • Обзоры и отзывы
  • Освещение в СМИ
  • О преподавателях университета

Звоните прямо сейчас, чтобы записаться на обучение:

(888) 888-0446

Все ресурсы по математике для старших классов

8 Диагностические тесты 613 практических тестов Вопрос дня Карточки Learn by Concept

Справка по математике для старших классов » Алгебра II » Математические отношения и основные графики » Логарифмы » Упрощение логарифмов

Упрощение .

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Объяснение:

Используя свойства логов получаем:

Отчет о ошибке

Упростить следующее выражение:

Возможные ответы:

Правильный ответ:

3 Объяснение:

Вспомните правило журнала: 

В данном конкретном случае  и . Таким образом, наш ответ .

Сообщить об ошибке

Используйте свойства логарифмов для решения следующего уравнения:

Возможные ответы:

Реальных решений нет

Объяснение:

Поскольку основания журналов одинаковы, а логарифмы добавлены, аргументы можно перемножать. Затем упростим правую часть уравнения:

Логарифм можно преобразовать в экспоненциальную форму:

Фактор уравнения:

Хотя есть два решения уравнения, логарифмы не могут быть отрицательными. Поэтому единственным реальным решением является .

Сообщить об ошибке

Что из следующего представляет собой упрощенную форму ?

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Объяснение:

Правило сложения логарифмов следующее: 

.

В качестве приложения этого.

Сообщить об ошибке

Упростите выражение, используя логарифмические тождества.

Возможные ответы:

. Пояснение:

Логарифм дроби равен логарифму числителя минус логарифм знаменателя.

Если мы встретим два логарифма с одинаковым основанием, мы, вероятно, сможем их объединить. В этом случае мы можем использовать инверсию приведенного выше тождества.

Отчет о ошибке

Оценка вручную

Возможные ответы:

нельзя найти на руку

нельзя найти на руку

нель Объяснение:

Используя правила логарифмирования, можно удалить показатели степени в логарифмах и просто умножить их на оставшийся логарифм. Это выражение можно упростить следующим образом:

Сообщить об ошибке

Решить для

Возможные ответы:

Правильный ответ:

8 Объяснение:

Используйте теорему о снижении мощности:

и

Сообщить об ошибке

Какое из следующих выражений эквивалентно ?

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Объяснение:

Согласно правилу показателей логарифмов,. Как прямое применение этого.

Сообщить об ошибке

Упростите приведенное ниже выражение.

 

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Объяснение:

На основании определения показателей степени, .

Затем используем следующее правило логарифмирования: 

Таким образом, .

Сообщить об ошибке

Уведомление об авторских правах

Посмотреть репетиторов

Ярослав
Сертифицированный репетитор

Университет Хериот-Ватт, магистр наук, физика. Университет Хериот-Ватт, доктор наук, теоретико-математический факультет…

Посмотреть репетиторов

Брюс
Сертифицированный репетитор

Колорадская горная школа, инженер, химик.

Посмотреть репетиторов

Дарла
Сертифицированный репетитор

Ламарский университет, бакалавр наук, обучение по программам среднего специального образования.

No related posts.