Уравнение дискриминант: Дискриминант квадратного уравнения. Формулы дискриминанта

Содержание

Квадратное уравнение. Дискриминант. Теорема Виета.

теория по математике 🎲 уравнения

Определение

Уравнение вида ax²+bx+c=0, где a,b,c – любые числа, причем a≠0, называют квадратным уравнением. Числа a,b,c принято называть коэффициентами, при этом a – первый коэффициент, b – второй коэффициент, c – свободный член.

Квадратное уравнение может иметь не более двух корней. Решить такое уравнение – это значит найти все его корни или доказать, что их нет.

Дискриминант

Количество корней квадратного уравнения зависит от такого элемента, как дискриминант (обозначают его буквой D).

Нахождение корней квадратного уравнения

Дискриминант – это такой математический инструмент, который позволяет нам определять количество корней. Он выражается определенной формулой:

D=b²–4ac

Если D>0, то уравнение имеет два различных корня. Их находят по формуле:

Если D<0, то уравнение не имеет корней.
Если D=0, то уравнение имеет два равных корня, их записывают и находят как один:

Рассмотрим решение квадратных уравнений на примерах.

Пример №1. Решить уравнение х²–2х–3=0. Определяем коэффициенты: а=1, b=–2, c=–3. Находим дискриминант: D=b²–4ac=(–2)²–41(–3)=4+12=16. Видим, что дискриминант положительный, значит, уравнение имеет два различных корня, находим их:

Пример №2. Решить уравнение 5х²+2х+1=0. Определяем коэффициенты: а=5, b=2, c=1. D=b²–4ac=2²–4=4–20=–16, D<0, уравнение не имеет корней.

Пример №3. Решить уравнение х²–6х+9=0. Определяем коэффициенты: а=1, b=–6, c=9.

D=b²–4ac=(–6)²–4=36–36=0, D=0, 1 корень

Теорема Виета

Приведенные квадратные уравнения

Среди квадратных уравнений встречаются такие, у которых первый коэффициент равен 1 (обратим внимание на пример 1 и 3), такие уравнения называются приведенными.

Приведенные квадратные уравнения можно решать не только с помощью дискриминанта, но и с помощью теоремы Виета.

Теорема Виета

Сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком; произведение корней равно третьему коэффициенту.

х₁+х₂= –b

х₁•х₂= с

Корни с помощью данной теоремы находятся устно способом подбора. Рассмотрим это на примерах.

Пример №4. Решить уравнение х²–10х+21=0. Выпишем коэффициенты: а=1, b=–10, c=21. Применим теорему Виета:

х₁+х₂=–(–10)=10

х₁х₂=21

Начинаем с произведения корней, которое является положительным числом, значит оба корня либо отрицательные, либо положительные. Предполагаем, что это могут быть либо 3 и 7, либо противоположные им числа. Теперь смотрим на сумму, она является положительным числом, поэтому нам подходит пара чисел 3 и 7.

Проверяем: 3+7=10, 37=21. Значит, корнями данного уравнения являются числа 3 и 7.

Пример №5. Решить уравнение: х²+5х+4=0. Выпишем коэффициенты: а=1, b=5, c=4. По теореме Виета:

х₁+х₂=–5

х₁х₂=4

Видим, что произведение корней равно 4, значит оба корня либо отрицательные, либо положительные. Видим, что сумма отрицательная, значит, будем брать два отрицательных числа, нам подходят –1 и –4. Проверим:

–1+(–4)=–5

(–1)(–4)=4

Ответ: –1 и –4

Задание OM2002 Решить уравнение: х2−2х+√5−х=√5−х+24

Данное уравнение является квадратным. Но в его условии присутствует квадратный корень, что усложняет нам задачу для нахождения его корней, в том плане, что необходимо увидеть, какие же ограничения на переменную х здесь будут.

Записываем обязательно в начале решения, что подкоренное выражение может быть только равным нулю или положительным числом (правило извлечения квадратного корня): ограничение на х: 5−х≥0

Решаем полученное неравенство: −х≥−5, отсюда х≤5. Следовательно, для ответа мы будем выбирать значения, которые меньше или равны 5.

Решаем наше квадратное уравнение, перенося все слагаемые из правой части в левую, изменяя при этом знаки на противоположные и приводя подобные слагаемые (выражения с квадратным корнем взаимоуничтожаются):

х2−2х+√5−х − √5−х− 24=0

Получим приведенное квадратное уравнение, корни которого можно найти подбором по теореме Виета:

х2−2х− 24=0

Итак, корнями уравнения х2−2х− 24=0 будут числа -4 и 6.

Теперь выбираем корень, обращая внимание на наше ограничение на х, т.е. корень должен быть меньше или равен 5. Таким образом, запишем, что 6 – это посторонний корень, так как 6 не≤5, а число минус 4 записываем в ответ нашего уравнения, так как −4≤5 .

Ответ: -4

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить

Алла Василевская | Просмотров: 9.1k | Оценить:

Дискриминант.

2–4*a*c.
Корни (решения) квадратного уравнения зависят от знака дискриминанта (D) :
D>0 – уравнение имеет 2 различных действительных корня;
D=0 — уравнение имеет 1 корень (2 совпадающих корня):
D<0 – не имеет действительных корней (в школьной теории). В ВУЗах изучают комплексные числа и уже на множестве комплексных чисел уравнение с отрицательным дискриминантом имеет два комплексных корня.
Формула для вычисления дискриминанта достаточно проста, поэтому множество сайтов предлагают онлайн калькулятор дискриминанта. Мы с такого рода скриптами еще не разобрались, поэтому кто знает, как это реализовать просим писать на почту Этот адрес электронной почты защищён от спам-ботов. У вас должен быть включен JavaScript для просмотра..

Общая формула для нахождения корней квадратного уравнения:

Корни уравнения находим по формуле
Если коэффициент при переменной в квадрате парный то целесообразно исчислять не дискриминант, а четвертую его часть
В таких случаях корни уравнения находят по формуле

Вторая способ нахождения корней — это Теорема Виета.

Формулируется теорема не только для квадратных уравнений, но и для многочленов. Это Вы можете почитать в Википедии или других электронных ресурсах. Однако для упрощения рассмотрим ту ее часть, которая касается приведенных квадратных уравнений, то есть уравнений вида (a=1)
Суть формул Виета заключается в том, что сумма корней уравнения равна коэффициенту при переменной, взятому с противоположным знаком. Произведение корней уравнения равно свободном члену. Формулами теорема Виета имеет запись.
Вывод формулы Виета достаточно прост. Распишем квадратное уравнение через простые множители
Как видите все гениальное одновременно является простым. Эффективно использовать формулу Виета когда разница корней по модулю или разница модулей корней равна 1, 2. Например, следующие уравнения по теореме Виета имеют корни

До 4 уравнения анализ должен выглядеть следующим образом. Произведение корней уравнения равно 6, следовательно корнями могут быть значения (1, 6) и (2, 3) или пары с противоположным знаком. Сумма корней равна 7 (коэффициент при переменной с противоположным знаком). Отсюда делаем вывод что решения квадратного уравнения равны x=2; x=3.
Проще подбирать корни уравнения среди делителей свободного члена, корректируя их знак с целью выполнения формул Виета. В начале это кажется трудно сделать, но с практикой на ряде квадратных уравнений такая методика окажется эффективнее вычисления дискриминанта и нахождения корней квадратного уравнения классическим способом.
Как видите школьная теория изучения дискриминанта и способов нахождения решений уравнения лишена практического смысла — «Зачем школьникам квадратное уравнение?», «Какой физический смысл дискриминанта?».

Давайте попробуем разобраться,

что описывает дискриминант?

В курсе алгебры изучают функции, схемы исследования функции и построения графика функций. Из всех функций важное место занимает парабола, уравнение которой можно записать в виде
Так вот физический смысл квадратного уравнения — это нули параболы, то есть точки пересечения графика функции с осью абсцисс Ox
Свойства парабол которые описаны ниже попрошу Вас запомнить. Придет время сдавать экзамены, тесты, или вступительные экзамены и Вы будете благодарны за справочный материал. Знак при переменной в квадрате соответствует тому, будут ли ветки параболы на графике идти вверх (a>0),

или парабола ветвями вниз (a<0).

Вершина параболы лежит посередине между корнями

Физический смысл дискриминанта:

Если дискриминант больше нуля (D>0) парабола имеет две точки пересечения с осью Ox.
Если дискриминант равен нулю (D=0) то парабола в вершине касается оси абсцисс.
И последний случай, когда дискриминант меньше нуля (D<0) – график параболы принадлежит плоскости над осью абсцисс (ветки параболы вверх), или график полностью под осью абсцисс (ветки параболы опущены вниз).

Неполные квадратные уравнения

Если в квадратном уравнении коэффициент при свободном члене или переменной равны нулю то такие уравнения называют неполными. Корни уравнений находим по упрощенной формуле
График функций всегда симметричен относительно начала координат. Стоит отметить, что уравнение имеет действительные корни только тогда, когда в уравнении чередуются знаки при коэффициентах «+, -» или «-, +».
Неполное квадратное уравнение вида
одним из корней всегда имеет точку x=0.
В таком контексте решения квадратных уравнений становится нужным, а при построении графиков парабол, еще и визуально интересным времяпрепровождением, особенно если речь идет о школьном занятии по анализу графика функций, или изучении темы парабол. Поэтому в 8, 9 классе рекомендуем эти две темы в алгебре сочетать.
Если материал помог Вам в обучении, просьба поделиться с друзьями ссылкой на статью!

Подготовка школьников к ЕГЭ и ОГЭ (Справочник по математике — Алгебра

Справочник по математике

Алгебра

Квадратный трехчлен и квадратные уравнения

Решение неполных квадратных уравнений

Выделение полного квадрата

Дискриминант

Разложение квадратного трехчлена на множители

Формула для корней квадратного уравнения

Прямая и обратная теоремы Виета

Квадратным трёхчленом относительно переменной x называют многочлен

ax² + bx + c ,

(1)

где a, b и c – произвольные вещественные числа, причем

Квадратным уравнением относительно переменной x называют уравнение

ax² + bx + c = 0,

(2)

где a, b и c – произвольные вещественные числа, причем

Полным квадратным уравнением относительно переменной x называют уравнение

ax² + bx + c = 0,

где a, b и c – произвольные вещественные числа, отличные от нуля.

Неполными квадратными уравнениями называют квадратные уравнения следующих типов:

Решение неполных квадратных уравнений

Покажем, как решаются неполные квадратные уравнения на примерах.

Пример 1. Решить уравнение

5x² = 0 .

Решение.

Ответ: 0 .

Пример 2. Решить уравнение

2x² + 3x= 0 .

(3)

Решение. Вынося в левой части уравнения (3) переменную x за скобки, перепишем уравнение в виде

x (2x+ 3) = 0 .

(4)

Поскольку произведение двух сомножителей равно нулю тогда и только тогда, когда, или первый сомножитель равен нулю, или второй сомножитель равен нулю, то из уравнения (4) получаем:

Ответ: .

Пример 3. Решить уравнение

2x² – 5 = 0 .

Решение.

Ответ: .

Пример 4. Решить уравнение

3x² + 11 = 0 .

(5)

Решение. Поскольку левая часть уравнения (5) положительна при всех значениях переменной x, а правая часть равна 0, то уравнение решений не имеет.

Ответ: .

Выделение полного квадрата

Выделением полного квадрата называют представление квадратного трёхчлена (1) в виде:

(6)

Для того, чтобы получить формулу (6), совершим следующие преобразования:

Формула (6) получена.

Дискриминант

Дискриминантом квадратного трёхчлена (1) называют число, которое обозначается буквой D и вычисляется по формуле:

D = b² – 4ac.

(7)

Дискриминант квадратного трёхчлена играет важную роль, и от того, какой знак он имеет, зависят различные свойства квадратного трёхчлена.

Используя дискриминант, формулу (6) можно переписать в виде

(8)

Разложение квадратного трёхчлена на множители

Утверждение. В случае, когда , квадратный трёхчлен (1) разлагается на линейные множители. В случае, когда D < 0, квадратный трехчлен нельзя разложить на линейные множители.

Доказательство. В случае, когда D = 0, формула (8) и является разложением квадратного трехчлена на линейные множители:

(9)

В случае, когда D > 0, выражение, стоящее в квадратных скобках в формуле (8), можно разложить на множители, воспользовавшись формулой сокращенного умножения «Разность квадратов»:

Таким образом, в случае, когда D > 0, разложение квадратного трехчлена (1) на линейные множители имеет вид

(10)

В случае, когда D < 0, выражение, стоящее в квадратных скобках в формуле (8), является суммой квадратов и квадратный трёхчлен на множители не раскладывается.

Замечание. В случае, когда D < 0, квадратный трехчлен всё-таки можно разложить на линейные множители, но только в области комплексных чисел, однако этот материал выходит за рамки школьного курса.

Формула для корней квадратного уравнения

Из формул (9) и (10) вытекает формула для корней квадратного уравнения .

Действительно, в случае, когда D = 0, из формулы (9) получаем:

Следовательно, в случае, когда D = 0, уравнение (1) обладает единственным корнем, который вычисляется по формуле

(11)

В случае, когда D > 0, из формулы (10) получаем:

Таким образом, в случае, когда D > 0, уравнение (1) имеет два различных корня, которые вычисляются по формулам

	(12)
	(13)

Замечание 1. Формулы (12) и (13) часто объединяют в одну формулу и записывают так:

(14)

Замечание 2. В случае, когда D = 0, обе формулы (12) и (13) превращаются в формулу (11). Поэтому часто говорят, что в случае, когда D = 0, квадратное уравнение (1) имеет два совпавших корня, вычисляемых по формуле (11), а саму формулу (11) переписывают в виде:

(15)

Замечание 3. В соответствии с материалом, изложенным в разделе «Кратные корни многочленов», корень (11) является корнем уравнения (1) кратности 2.

В случае, когда D = 0, разложение квадратного трехчлена на линейные множители (9) можно переписать по-другому, воспользовавшись формулой (15):

ax² + bx + c =
= a (x – x₁)².

(16)

В случае, когда D > 0, разложение квадратного трехчлена на линейные множители (10) с помощью формул (12) и (13) переписывается так:

ax² + bx + c =
= a (x – x₁) (x – x₂) .

(17)

Замечание 4. В случае, когда D = 0, корни x₁ и x₂ совпадают, и формула (17) принимает вид (16).

Прямая и обратная теоремы Виета

Раскрывая скобки и приводя подобные члены в правой части формулы (17), получаем равенство

ax² + bx + c =
= a (x – x₁) (x – x₂) =
= a [x² – (x₁ + x

2) x + x₁x₂] =
= ax² – a(x₁ + x₂) x + ax₁x₂ .

Отсюда, поскольку формула (17) является тождеством, вытекает, что коэффициенты многочлена

ax² + bx + c

равны соответствующим коэффициентам многочлена

ax² – a (x₁ + x₂) x + a x₁x₂ .

Таким образом, справедливы равенства

следствием которых являются формулы

(18)

Формулы (18) и составляют содержание теоремы Виета (прямой теоремы Виета).

Словами прямая теорема Виета формулируется так: — «Если числа x₁ и x₂ являются корнями квадратного уравнения (1), то они удовлетворяют равенствам (18)».

Обратная теорема Виета формулируется так: — «Если числа x₁ и x₂ являются решениями системы уравнений (18), то они являются корнями квадратного уравнения (1)».

Для желающих ознакомиться с примерами решений различных задач по теме «Квадратные уравнения» мы рекомендуем наше учебное пособие «Квадратный трехчлен».

Графики парабол и решение с их помощью квадратных неравенств представлены в разделе «Парабола на координатной плоскости.

2
D1>0, значит, уравнение имеет 2 корня
x1,2= k +/ квадратный корень из D1)/a
x1= (-(-12) +9)/3=21/3=7
x2= (-(-12) -9)/3=3/3=1

Оценили на сколько легче решение?;)
Спасибо за внимание, желаю Вам успехов в учебе =)

В нашем случае в уравнениях D и D1 были >0 и мы получили по 2 корня. Если бы было D=0 и D1=0, то мы получили бы по одному корню, а если бы было D
Через корень дискриминанта (D1) можно решать только те уравнения, в которых член b четный(!)

Надеюсь, изучив данную статью, вы научитесь находить корни полного квадратного уравнения.

С помощью дискриминанта решаются только полные квадратные уравнения, для решения неполных квадратных уравнений используют другие методы, которые вы найдете в статье «Решение неполных квадратных уравнений».

Какие же квадратные уравнения называются полными? Это уравнения вида ах 2 + b x + c = 0 , где коэффициенты a, b и с не равны нулю. Итак, чтобы решить полное квадратное уравнение, надо вычислить дискриминант D.

D = b 2 – 4ас.

В зависимости от того какое значение имеет дискриминант, мы и запишем ответ.

Если дискриминант отрицательное число (D

Если же дискриминант равен нулю, то х = (-b)/2a. Когда дискриминант положительное число (D > 0),

тогда х 1 = (-b — √D)/2a , и х 2 = (-b + √D)/2a .

Например. Решить уравнение х 2 – 4х + 4= 0.

D = 4 2 – 4 · 4 = 0

x = (- (-4))/2 = 2

Ответ: 2.

Решить уравнение 2х 2 + х + 3 = 0.

D = 1 2 – 4 · 2 · 3 = – 23

Ответ: корней нет .

Решить уравнение 2х 2 + 5х – 7 = 0 .

D = 5 2 – 4 · 2 · (–7) = 81

х 1 = (-5 — √81)/(2·2)= (-5 — 9)/4= – 3,5

х 2 = (-5 + √81)/(2·2) = (-5 + 9)/4=1

Ответ: – 3,5 ; 1 .

Итак представим решение полных квадратных уравнений схемой на рисунке1.

По этим формулам можно решать любое полное квадратное уравнение. Нужно только внимательно следить за тем, чтобы уравнение было записано многочленом стандартного вида

ах 2 + bx + c, иначе можно допустить ошибку. Например, в записи уравнения х + 3 + 2х 2 = 0, ошибочно можно решить, что

а = 1, b = 3 и с = 2. Тогда

D = 3 2 – 4 · 1 · 2 = 1 и тогда уравнение имеет два корня. А это неверно. (Смотри решение примера 2 выше).

Поэтому, если уравнение записано не многочленом стандартного вида, вначале полное квадратное уравнение надо записать многочленом стандартного вида (на первом месте должен стоять одночлен с наибольшим показателем степени, то есть ах 2 , затем с меньшим – bx , а затем свободный член

с.

При решении приведенного квадратного уравнения и квадратного уравнения с четным коэффициентом при втором слагаемом можно использовать и другие формулы. Давайте познакомимся и с этими формулами. Если в полном квадратном уравнении при втором слагаемом коэффициент будет четным (b = 2k), то можно решать уравнение по формулам приведенным на схеме рисунка 2.

Полное квадратное уравнение называется приведенным, если коэффициент при х 2 равен единице и уравнение примет вид х 2 + px + q = 0 . Такое уравнение может быть дано для решения, либо получается делением всех коэффициентов уравнение на коэффициент а , стоящий при х 2 .

На рисунке 3 приведена схема решения приведенных квадратных
уравнений. Рассмотрим на примере применение рассмотренных в данной статье формул.

Пример. Решить уравнение

3х 2 + 6х – 6 = 0.

Давайте решим это уравнение применяя формулы приведенные на схеме рисунка 1.

D = 6 2 – 4 · 3 · (– 6) = 36 + 72 = 108

√D = √108 = √(36 · 3) = 6√3

х 1 = (-6 — 6√3)/(2 · 3) = (6 (-1- √(3)))/6 = –1 – √3

х 2 = (-6 + 6√3)/(2 · 3) = (6 (-1+ √(3)))/6 = –1 + √3

Ответ: –1 – √3; –1 + √3

Можно заметить, что коэффициент при х в этом уравнении четное число, то есть b = 6 или b = 2k , откуда k = 3. Тогда попробуем решить уравнение по формулам, приведенным на схеме рисунка D 1 = 3 2 – 3 · (– 6) = 9 + 18 = 27

√(D 1) = √27 = √(9 · 3) = 3√3

х 1 = (-3 — 3√3)/3 = (3 (-1 — √(3)))/3 = – 1 – √3

х 2 = (-3 + 3√3)/3 = (3 (-1 + √(3)))/3 = – 1 + √3

Ответ: –1 – √3; –1 + √3 . Заметив, что все коэффициенты в этом квадратном уравнении делятся на 3 и выполнив деление, получим приведенное квадратное уравнение x 2 + 2х – 2 = 0 Решим это уравнение, используя формулы для приведенного квадратного
уравнения рисунок 3.

D 2 = 2 2 – 4 · (– 2) = 4 + 8 = 12

√(D 2) = √12 = √(4 · 3) = 2√3

х 1 = (-2 — 2√3)/2 = (2 (-1 — √(3)))/2 = – 1 – √3

х 2 = (-2 + 2√3)/2 = (2 (-1+ √(3)))/2 = – 1 + √3

Ответ: –1 – √3; –1 + √3.

Как видим, при решении этого уравнения по различным формулам мы получили один и тот же ответ. Поэтому хорошо усвоив формулы приведенные на схеме рисунка 1 , вы всегда сможете решить любое полное квадратное уравнение.

сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Прежде чем мы узнаем, как найти дискриминант квадратного уравнения вида ax2+bx+c=0 и как найти корни данного уравнения, нам необходимо вспомнить определение квадратного уравнения. Уравнение, которое имеет вид ax 2 + bx + c = 0 (где a,b и c — любые числа, также надо помнить, что a ≠ 0) является квадратным. Все квадратные уравнения мы разделим на три разряда:

те, у которых нет корней;
имеется один корень в уравнении;
есть два корня.

Для того чтобы определить количество корней в уравнении нам необходим дискриминант.

Нам дано: ax 2 + bx + c = 0.

Формула дискриминанта: D = b 2 — 4ac .

Как найти корни дискриминанта

По знаку дискриминанта определяется количество корней:

D = 0, у уравнения один корень;
D > 0, у уравнения два корня.

Корни у квадратного уравнения находятся по следующей формуле:

X1= -b + √D/2а; X2= -b + √D/2a.

Если D = 0, то Вы можете смело использовать любую из представленных формул. У Вас получится одинаковый ответ в любом случае. А если получается так, что D > 0, то тогда Вам не придется ничего считать, так как корней уравнение не имеет.

Надо сказать, что находить дискриминант — это не так уж сложно, если знать формулы и внимательно осуществлять подсчеты. Иногда возникают ошибки при подстановке отрицательных чисел в формулу (нужно помнить, что минус на минус дает плюс). Будьте внимательны, и все получится!

Как решать квадратное уравнение

Алгоритм решения квадратного уравнения

Шаг 1: Записываем уравнение в стандартном виде

В общем виде квадратное уравнение можно записать так:

Здесь — любое ненулевое число, — любые числа, a — то число, которое необходимо найти. Такой вид уравнения называют стандартным. Например, — квадратное уравнение в стандартном виде, причем , и . Число называют старшим коэффициентом, число — свободным коэффициентом. А все выражение вида называют квадратным трехчленом.

Типичная ошибка: считать, что , то есть забыть про знак «-«.

Cтоит заметить, что все коэффициенты уравнения можно уменьшить в раза. Уравнение примет вид . Числа , и , естественно, изменились (уменьшились!). Зато корни уравнения остались прежними. Поэтому всегда стоит проверять, а нельзя ли таким образом упростить уравнение, чтобы легче было далее находить корни.

Итак, первым делом необходимо привести квадратное уравнение к стандартному виду. Для этого можно раскрывать скобки, приводить подобные слагаемые, переносить слагаемые из одной части уравнения в другую (при этом слагаемые меняют знак). Например, . Раскрываем скобки: . Приводим подобные слагаемые: . Переносим все слагаемые из правой части в левую: (повторю: такие слагаемые меняют свой знак). И опять приводим подобные слагаемые: . Получим квадратное уравнение в стандартном виде. Причем , и .

Типичная ошибка: забыть поменять знак слагаемого при переносе.

Типичная ошибка: перепутать слагаемые местами и неправильно определить коэффициенты. Например, . И кажется, что , и . На самом деле, , и .

Интересный случай: предположим, что получилось уравнение . Чему равно ? На этот вопрос не каждый может ответить уверенно. Ответ: .

Интересный случай: дано уравнение . Мы смело раскрываем скобки и переносим и из правой части в левую. Но после приведения подобных слагаемых получается уравнение . Нет ! Ни о каком стандартном виде квадратного уравнения здесь не может быть и речи просто потому, что это не квадратное уравнение, а совсем другая история под названием «Линейное уравнение».

Замечание: опытные в квадратных уравнениях математики советуют всегда делать коэффициент положительным. Для этого левую и правую части уравнения всегда можно домножить на . Например, заменим на . По-простому говоря, каждое слагаемое меняет знак. Да, это другое уравнение и коэффициенты другие. Но корни у него такие же, как и у исходного уравнения. Поэтому далее спокойно можно работать с новым. Зачем делать положительным? Например, затем, чтобы было меньше арифметических ошибок, когда будем находить дискриминант. Что такое дискриминант, узнаем в следующем шаге.

Шаг 2: Находим дискриминант.

У нас есть квадратное уравнение в виде . Вычисляем число , которое называется дискриминантом квадратного уравнения. Например, для уравнения дискриминант равен .

Типичная ошибка: часто вместо пишут , то есть забывают скобки, но это уже , а не .

Типичная ошибка: неправильно определяют коэффициенты , и

Типичная ошибка: в слагаемом неправильно определяют окончательный знак. Например, в все-таки в итоге получается , а не .

Редкая ошибка: дискриминант пишут с большой буквы, видимо, из уважения или считая, что это фамилия.

Шаг 3: Находим корни уравнения

У нас есть дискриминант . Далее все зависит от его знака.

Если , то корней у уравнения нет. Ответ: корней нет. Вот так внезапно решение закончилось. Например, в уравнении дискриминант равен . Поэтому корней нет. Кстати, что это значит? Это значит, что какое бы число вы не выбрали, подстановка его в выражение вместо никогда не даст . Проверим число , например: . Не ноль. То есть — не корень. Аналогично с любым другим числом: ноль никогда не получится.

Если , то . Числа и — это как раз те коэффициенты из стандартной записи уравнения. Например, в уравнении дискриминант . Тогда . Ответ: .

Типичная ошибка: неправильно подставляют в формулу . Ошибаются со знаком. Ведь если , например, то .

Если . То в ответе будет два корня, которые можно найти по формулам и . Например, в уравнении дискриминант . Тогда и . Так как , то и . Ответ: .

Замечание: часто для сокращения пишут две формулы в одной: .

Замечание: иногда дискриминант может оказаться «некрасивым», например, . Такое может быть, и терять самообладание не стоит. Совет один: перепроверить решение и, если ошибка не найдена, со спокойной совестью решать дальше. Чаще всего задачи придумывают так, чтобы дискриминант были полным квадратом (кстати, полезно выучить таблицу квадратов чисел от 1 до 20). Но иногда попадаются ответы вида .

Типичная ошибка: неправильно находят . Например, считают, что . На самом деле, . Отрицательным выражение быть не может (по определению арифметического квадратного корня).

Вот и весь алгоритм. Конечно, есть еще много деталей. Например, есть неполные квадратные уравнения, когда лучше решать способами без дискриминанта. Есть еще уравнения, сводящиеся к квадратным. Есть еще поиск комплексных корней квадратного уравнения (для ЕГЭ это излишне). Кстати, проверить свое решение квадратного уравнения всегда можно здесь. Далее стоит изучить теорему Виета, понять, а как возникает формула для дискриминанта, как быть с уравнением третьей степени.

Полный пример решения квадратного уравнения.

Условие

Решить уравнение

Решение

Согласно алгоритму, раскрываем скобки: .
На всякий случай, расписал все подробно. Но вообще такие действия надо научиться делать почти устно. Более того, лучше заметить, что к первому слагаемому применима формула сокращенного умножения, точнее, разность квадратов. Такие формулы позволяют значительно экономить время и силы (потренироваться можно здесь).
Но продолжим решение: . Приводим подобные слагаемые и переносим в левую часть уравнения: .
Изменим знак : .
Находим дискриминант. Так как , и , то . Дискриминант , поэтому у уравнения два корня: и .
Осталось заметить, что корни можно упростить, ведь .
Получаем окончательный ответ, который запишем одной формулой: .
Как видите, малейшая неточность в арифметических вычислениях — и весь труд в итоге напрасен.
Поэтому стоит потренироваться выполнять арифметические вычисления устно и без ошибок.

Ответ:

Задачи для самостоятельного решения

Номера 41, 42, 43, 51, 52, 53 (ответы находятся после условий)

все статьи по математике

дискриминантных формул — что такое дискриминантные формулы? Примеры

Формулы дискриминанта используются для нахождения дискриминанта полиномиального уравнения. В частности, дискриминант квадратного уравнения используется для определения количества и характера корней. Дискриминант полинома – это функция, состоящая из коэффициентов полинома. Давайте изучим формулы дискриминанта вместе с несколькими решенными примерами.

Что такое дискриминантные формулы?

Дискриминантные формулы дают нам общее представление о природе корней. Дискриминант квадратного уравнения получается из квадратной формулы. Дискриминант обозначается D или Δ. Дискриминантные формулы для квадратного уравнения и кубического уравнения:

Дискриминантная формула квадратного уравнения

Дискриминантная формула квадратного уравнения ax ² + bx + c = 0 есть, Δ (или) D = b ² — 4ач. Мы знаем, что квадратное уравнение имеет максимум 2 корня, так как его степень равна 2. Мы знаем, что квадратная формула используется для нахождения корней квадратного уравнения на оси 9.0013 2 + bx + c = 0. Согласно квадратичной формуле, корни можно найти, используя x = [-b ± √ (b ² — 4ac) ] / [2a]. Здесь b ² — 4ac — это дискриминант D, который находится внутри квадратного корня. Таким образом, квадратичная формула становится x = [-b ± √D] / [2a]. Здесь D может быть либо > 0, = 0, (или) < 0. Определим характер корней в каждом из этих случаев.

Если D > 0, то квадратная формула принимает вид x = [-b ± √(положительное число)] / [2a], и, следовательно, в этом случае квадратное уравнение имеет два различных действительных корня.
Если D = 0, квадратная формула принимает вид x = [-b] / [2a], и, следовательно, в этом случае квадратное уравнение имеет только один действительный корень.
Если D < 0, то квадратная формула принимает вид x = [-b ± √(отрицательное число)] / [2a], и, следовательно, в этом случае квадратное уравнение имеет два различных комплексных корня (это связано с тем, что квадратный корень из отрицательного число приводит к мнимому числу. Например, √(-4) = 2i).

Дискриминантная формула кубического уравнения

Дискриминантная формула кубического уравнения ax ³ + bx ² + cx + d = 0 is, Δ (или) D = b ² c ² − 4ac ^{3 1} г − 27а ² г ² + 18abcd. Мы знаем, что кубическое уравнение имеет максимум 3 корня, поскольку его степень равна 3. Здесь

. Если D > 0, все три корня действительны и различны.
Если D = 0, то действительны все три корня, из которых хотя бы два равны между собой.
Если D < 0, то два его корня — комплексные числа, а третий корень — вещественный.

Есть вопросы по основным математическим понятиям?

Станьте чемпионом по решению проблем, используя логику, а не правила. Узнайте, что стоит за математикой, с нашими сертифицированными экспертами

Закажите бесплатный пробный урок

Мы можем увидеть применение формул дискриминанта в следующем разделе.

Примеры использования дискриминантных формул

Пример 1: Определить дискриминант квадратного уравнения 5x ² + 3x + 2 = 0. Также определить природу его корней.

Решение:

Данное квадратное уравнение имеет вид 5x ² + 3x + 2 = 0.

Сравнивая это с ax ² + bx + c = 0, получаем и c = 2.

Используя дискриминантную формулу,

D = b ² — 4ac

= 3 ² — 4(5)(2)

= 9 — 40

= -31

Ответ: Дискриминант равен -31. Это отрицательное число, поэтому данное квадратное уравнение имеет два комплексных корня.

Пример 2: Определить дискриминант квадратного уравнения 2x ² + 8x + 8 = 0. Также определить характер его корней.

Решение:

Данное квадратное уравнение равно 2x ² + 8x + 8 = 0.

Сравнивая это с ax ² + bx + c = 0, мы получаем a = 2, b = 8 и c = 8.

Используя дискриминантную формулу,

D = b ² — 4ac

= 8 ² — 4( 2)(8)

= 64 — 64

= 0

Ответ: Дискриминант равен 0 и, следовательно, данное квадратное уравнение имеет два комплексных корня.

Пример 3: Определить природу корней кубического уравнения x ³ — 4x ² + 6x — 4 = 0.

Решение:

Данным кубическим уравнением является x ³ — 4x ² + 6x — 4 = 0.

Сравнивая это с , b = -4, c = 6 и d = -4.

Использование дискриминантной формулы,

D = B ² C ²-4AC ³-4B ³ D-27A ² D ² + 18ABCD

= (4) ² + 18ABCD

= (4). (6) ² − 4(1)(6) ³ − 4(-4) ³ (-4) − 27(1) ² (-4) ² + 18(1)(-4)(6)(-4)

= -16

Ответ: Поскольку дискриминант является отрицательным числом, данное кубическое уравнение имеет два комплексных корня и один действительный корень.

Часто задаваемые вопросы о формулах дискриминанта

Что такое формулы дискриминанта?

Дискриминант полиномиального уравнения – это функция, выраженная через его коэффициенты. Дискриминант уравнения используется для определения характера его корней. Дискриминантные формулы следующие:

Дискриминантная формула квадратного уравнения ax ² + bx + c = 0 is, Δ (или) D = b ² — 4ac.
Дискриминантная формула уравнения куба − 27a ² d ² + 18abcd.

Как вывести дискриминантную формулу квадратного уравнения?

Выведем дискриминантную формулу квадратного уравнения ax ² + bx + c = 0. По квадратичной формуле решения этого уравнения находятся с использованием x = [-b ± √ (b ² — 4ac) ] / [2a]. Здесь b ² — 4ac находится внутри квадратного корня, и, следовательно, мы можем определить природу корней, используя свойства квадратного корня (например, квадратный корень из положительного числа является действительным числом, квадратный корень из a отрицательное число является мнимым числом, а квадратный корень из 0 равен 0). Таким образом, дискриминант квадратного уравнения равен b ² — 4ач.

Каковы применения формулы дискриминанта?

Формула дискриминанта используется для определения природы корней квадратного уравнения. Дискриминант квадратного уравнения ax ² + bx + c = 0 равен D = b ² — 4ac.

Если D > 0, то уравнение имеет два действительных различных корня.
Если D = 0, то уравнение имеет только один действительный корень.
Если D < 0, то уравнение имеет два различных комплексных корня.

Что такое дискриминантная формула кубического уравнения?

Дискриминантная формула кубического уравнения ax ³ + bx ² + cx + d = 0 обозначается Δ (или) D и находится по формуле Δ (или) D = b ² c ² − 4ac ³ − 4b ³ d − 27a ² d ² + 18abcd.

Формула, правила, дискриминант квадратного уравнения

Дискриминант широко используется в случае квадратных уравнений и используется для определения природы корней. Хотя найти дискриминант для любого многочлена не так просто, существуют формулы для нахождения дискриминанта квадратных и кубических уравнений, которые облегчают нашу работу.

Давайте узнаем больше о дискриминанте и его формулах, а также поймем связь между дискриминантом и природой корней.

1.	Что такое дискриминант в математике?
2.	Дискриминантная формула
3.	Как найти дискриминант?
4.	Дискриминант и природа корней
5.	Часто задаваемые вопросы о дискриминанте

Что такое дискриминант в математике?

Дискриминант полинома в математике является функцией коэффициентов полинома. Полезно определить тип решений полиномиального уравнения, не находя их. т. е. он различает решения уравнения (как равные и неравные; действительные и недействительные), отсюда и название «дискриминант». Обычно его обозначают Δ или D. Значением дискриминанта может быть любое действительное число (т. е. положительное, отрицательное или 0).

Дискриминантная формула

Дискриминант (Δ или D) любого полинома выражается через его коэффициенты. Вот дискриминантные формулы для кубического уравнения и квадратного уравнения.

Давайте посмотрим, как использовать эти формулы для нахождения дискриминанта.

Как найти дискриминант?

Чтобы найти дискриминант кубического уравнения или квадратного уравнения, мы просто должны сравнить данное уравнение с его стандартной формой и сначала определить коэффициенты. Затем подставляем коэффициенты в соответствующую формулу, чтобы найти дискриминант. 9{2}-4 а в}}{2 а}\). Здесь выражение, которое находится внутри квадратного корня квадратной формулы, называется дискриминантом квадратного уравнения . Квадратичная формула с точки зрения дискриминанта: x = \(\dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2 a}\).

Пример: Найти дискриминант квадратного уравнения 2x ² — 3x + 8 = 0.

Сравнивая уравнение с ax ² + bx + c = 0, получаем a = 2, b = — 3 и c = 8. Таким образом, дискриминант равен 9.0379 Δ ИЛИ D = b ² — 4ac = (-3) ² — 4(2)(8) = 9 — 64 = -55 .

Дискриминант кубического уравнения

Дискриминант кубического уравнения ax ³ + bx ² + cx + d = 0 выражается через a, b, c и d. т.е.,

Δ или D = B ² C ² — 4AC ³ — 4B ³ D — 27A ² D ² + 18ABCD

Пример: Найти дискриминант кубического уравнения x ³ — 3x + 2 = 0.

Сравнивая уравнение с ax ³ + bx ² + cx + d = 0, мы имеем a = 1, b = 0, c = -3 и d = 2. Таким образом, его дискриминант равен

Δ или D = b ² c ² − 4ac ³ − 4b ³ d − 27a ² d 918ab014 2 ^{^{^{2 ^{= (0) ² (-3) ² — 4(1)(-3) ³ — 4(0) ³ (2) — 27(1) ² (2) ² + 18(1)(0)(-3)(2)
= 0 + 108 — 0 — 108 + 0
= 0}}}}

Дискриминант и природа корней

Корни квадратного уравнения ax ² + bx + c = 0 — это значения x, которые удовлетворяют уравнению. Их можно найти по квадратичной формуле: x = \(\dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2 a}\). Хотя мы не можем найти корни, просто используя дискриминант, мы можем определить природу корней следующим образом.

Если дискриминант положительный

Если D > 0, квадратное уравнение имеет два разных действительных корня. Это связано с тем, что при D > 0 корни задаются как x = \(\dfrac{-b \pm \sqrt{\text {Положительное число}}}{2 a}\) и квадратный корень из положительного число всегда приводит к действительному числу. Таким образом, когда дискриминант квадратного уравнения больше 0, оно имеет два корня, которые являются различными и действительными числами.

Если дискриминант отрицателен

Если D < 0, квадратное уравнение имеет два разных комплексных корня. Это связано с тем, что при D < 0 корни задаются как x = \(\dfrac{-b \pm \sqrt{\text {Отрицательное число}}}{2 a}\) и квадратный корень из отрицательного число всегда приводит к мнимому числу. Например, \(\sqrt{-4}\) = 2i. Таким образом, когда дискриминант квадратного уравнения меньше 0, оно имеет два корня, которые являются различными и комплексными числами (недействительными).

Если дискриминант равен нулю

Если D = 0, квадратное уравнение имеет два равных действительных корня . Другими словами, когда D = 0, квадратное уравнение имеет только один действительный корень. Это связано с тем, что при D = 0 корни задаются как x = \(\dfrac{-b \pm \sqrt{\text {0}}}{2 a}\), а квадратный корень из 0 равен 0 , Тогда уравнение превращается в x = -b/2a, который является только одним числом. Таким образом, когда дискриминант квадратного уравнения равен нулю, оно имеет только один действительный корень.

Корень есть не что иное, как координата x точки пересечения x квадратичной функции. График квадратичной функции в каждом из этих 3 случаев может быть следующим.

Важные замечания по дискриминанту:

Связанные темы:

Решение квадратных уравнений
Дискриминантный калькулятор
Факторинг Квадратика
Квадратные выражения
Квадратичная функция

Часто задаваемые вопросы о дискриминанте

Что такое дискриминант?

Дискриминант в математике определяется для многочленов и является функцией коэффициентов многочленов. Он говорит о природе корней или, другими словами, различает корни. Например, дискриминант квадратного уравнения используется для нахождения:

Сколько у него корней?
Являются ли корни реальными или ненастоящими?

Что такое дискриминантная формула?

Существуют разные формулы дискриминанта для разных полиномов:

Как вычислить дискриминант квадратного уравнения?

Чтобы вычислить дискриминант квадратного уравнения:

Определите a, b и c, сравнив данное уравнение с ax ² + bx + c = 0,
Подставляем значения в дискриминантную формулу D = b ² − 4ac.

Что делать, если дискриминант = 0?

Если дискриминант квадратного уравнения ax ² + bx + c = 0 равен 0 (т. е. если b ² — 4ac = 0), то квадратная формула принимает вид x = -b/2a и, следовательно, квадратичная уравнение имеет только один действительный корень.

Что говорит нам положительный дискриминант?

Если дискриминант квадратного уравнения ax ² + bx + c = 0 положителен (т. е. если b ² — 4ac > 0), тогда квадратная формула становится x = (-b ± √(положительное число)) / 2a, и, следовательно, квадратное уравнение имеет только два действительных и различных корня.

Что говорит нам отрицательный дискриминант?

Если дискриминант квадратного уравнения ax ² + bx + c = 0 отрицателен (т. е. если b ² — 4ac < 0), то квадратная формула принимает вид x = (-b ± √(отрицательное число) )) / 2a и, следовательно, квадратное уравнение имеет только два комплексных и различных корня.

Какова формула дискриминанта кубического уравнения?

Кубическое уравнение имеет форму ax ³ + bx ² + cx + d = 0, а его дискриминант выражается через коэффициенты, которые задаются формулой D = b ² c ² − 4ac ³ − 4b ³ d − 27a ² d ² + 18abcd.

Дискриминант | Алгебра среднего уровня

Результат обучения

Определите дискриминант и используйте его для классификации решений квадратных уравнений 9{2}-4ac<0[/latex], то число под радикалом будет отрицательным. Поскольку вы не можете найти квадратный корень из отрицательного числа, используя действительные числа, реальных решений нет. Однако вы можете использовать мнимые числа. Тогда у вас будет два сложных решения: одно путем добавления мнимого квадратного корня, а другое путем его вычитания.

В таблице ниже представлена связь между значением дискриминанта и решениями квадратного уравнения.

9{2}-10x+15=0[/латекс]

Показать решение

В последнем примере мы нарисуем корреляцию между количеством и типом решений квадратного уравнения и графиком соответствующей ему функции.

Пример

Используйте следующие графики квадратичных функций, чтобы определить, сколько и какого типа решений будет иметь соответствующее квадратное уравнение [latex]f(x)=0[/latex]. Определите, будет ли дискриминант больше, меньше или равен нулю для каждого из них. 9{2}}-4ac[/латекс]. Он определяет количество и тип решений, которые имеет квадратное уравнение. Если дискриминант положительный, существует [латекс]2[/латекс] действительных решений. Если это [latex]0[/latex], существует [latex]1[/latex] действительно повторяющееся решение. Если дискриминант отрицательный, существуют комплексные решения [latex]2[/latex] (но не действительные решения).

Дискриминант также может рассказать нам о поведении графика квадратичной функции.

Дискриминант — квадратичные функции

Цели

Учащиеся смогут найти дискриминант, используя формулу дискриминанта.
Учащиеся смогут определить, сколько решений имеет уравнение.

Все о дискриминанте

Что такое дискриминант?

Дискриминант — это число, которое можно вычислить из любого квадратного уравнения. Когда квадратное уравнение находится в стандартной форме, где a ≠ 0: 92 срок.

Формула для дискриминанта :

Что говорит нам дискриминант?

Помните ли вы, что решение(я) квадратного уравнения находятся там, где график пересекает ось x. Эти точки также известны как нулей , корней , решений и пересечений по оси x . Дискриминант предоставляет важную информацию о количестве решений любого квадратного уравнения до решения, чтобы найти решения.

Количество решений квадратного уравнения:

b² − 4ac > 0, дискриминант больше нуля, положительный дискриминант: два действительных решения

b² − 4ac = 0, дискриминант равен нулю. Одно действительное решение

b² − 4ac < 0, дискриминант меньше нуля, отрицательный дискриминант: нет действительных решений

Обратите внимание, как дискриминант и количество решений влияют на график квадратичной функции справа.

Причина, по которой количество решений зависит от дискриминанта, будет более ясна в следующем уроке, Квадратичная формула. Короче говоря, дискриминант является частью квадратичной формулы. Математически использование квадратного корня как части формулы приводит к различному количеству решений в зависимости от знака подкоренного числа (числа под квадратным корнем).

Квадратный корень из положительного числа дает два решения (+/-), что дает два решения. (т.е. sqrt(25) = +5 и -5)
Квадратный корень из нуля равен нулю, что дает только одно решение.
Квадратный корень из отрицательного числа не определен как действительное число, что приводит к отсутствию реальных решений. (т.е. sqrt(-25) не определено)

Применение формулы дискриминанта

Даже не вычисляя, что такое корни, мы можем узнать количество действительных решений, просто изучив дискриминант квадратичной функции. Найдем количество действительных решений следующей функции с помощью дискриминанта: 92-4 (3) (-5)

Наконец, упростите, используя правильный порядок операций, PEMDAS.

16+60=76

Дискриминант равен 76, что положительно. Это означает, что существует два реальных решения.

Посмотрите скринкаст справа для того же примера.

Другие примеры

Пример 1: 92 — 4(9)(1)
Наконец, упростим.
36- 36=0

Дискриминант равен нулю, что означает, что существует одно действительное решение этой квадратичной функции.

Мы можем проверить ответ, построив график с помощью калькулятора или GeoGebra (см. график справа).

Как видите, есть только один х-перехват или одно реальное решение.

92 — 4(1)(1)
Наконец, упростим.
1 — 4 = -3
Дискриминант отрицательный, то есть действительных решений нет.

Мы можем проверить ответ, построив график с помощью калькулятора или GeoGebra (см. график справа).

Вы получили ту же функцию, что и ниже? Касается ли функция оси X? Существует ли какое-либо решение этого уравнения?

Независимая практика

Попробуйте пройти следующую викторину, чтобы попрактиковаться в своих навыках.

Quizlet Практика

Теперь, когда вы попрактиковались, попробуйте пройти тест Quizlet, чтобы проверить свое мастерство.

Тест-викторина

Двигаясь вперед

После того, как вы наберете 80 % в тесте Quizlet, ссылка на который приведена выше, перейдите к следующему уроку – Квадратичная формула.

Дополнительные ресурсы

Хотите еще немного попрактиковаться в поиске дискриминанта? Ознакомьтесь со следующими ресурсами:

Учебные программы SAS: Войдите в систему и найдите QL #891: Понимание дискриминанта квадратного уравнения
Академия Хана: Дискриминант и типы решений квадратного уравнения

Вопросы?

Если у вас есть какие-либо вопросы относительно этой онлайн-инструкции или о том, как ее использовать, вернитесь на главную страницу или обратитесь к своему инструктору. Если у вас есть какие-либо вопросы относительно содержания курса, свяжитесь с вашим преподавателем, используя ссылку «Контакты» справа.

Контакт

Фотография заголовка, использованная в рамках Creative Commons от: Pallavpareek
Khanacademy. «Дискриминант квадратных уравнений». Видеоклип онлайн. Ютуб. Youtube, 12 марта 2010 г. Интернет. 17 июня 2013 г.
Махалодотком. «Квадратичная формула: как использовать дискриминант для определения корней». Видеоклип онлайн. Ютуб. Youtube, 3 февраля 2011 г. Интернет. 17 июня 2013 г.

Что означает дискриминант в математике? (3 ключевых идеи) – JDM Educational

Дискриминант используется во всей математике, от решения квадратных уравнений в элементарной алгебре до дифференциальных уравнений второго порядка. Однако все же необходимо знать, что означает дискриминант и что он может нам сказать.

Итак, что означает дискриминант в математике? Дискриминантом является выражение b ² – 4ac, находящееся под радикалом в квадратичной формуле. Дискриминант классифицирует решения квадратного уравнения: 2 действительных, 1 действительное повторяющееся или 2 комплексно-сопряженных. Он также сообщает нам, пересекает ли соответствующая парабола ось x и как это происходит.

Конечно, мы также можем посмотреть на график параболы и вычислить знак дискриминанта, основываясь на том, где он пересекает ось x.

В этой статье мы поговорим о том, что означает дискриминант в математике, в контексте решения квадратных уравнений. Мы также рассмотрим несколько примеров, чтобы прояснить концепцию.

Начнем.

Что означает дискриминант в математике?

В математике дискриминант означает выражение b ² — 4ас. Иногда мы используем букву D для обозначения дискриминанта, поэтому D = b ² – 4ac.

Помните, что дискриминант — это выражение под радикалом в числителе квадратной формулы.

Дискриминант – это выражение под радикалом в числителе квадратной формулы.

Что говорит дискриминант?

Дискриминант важен в алгебре, потому что он говорит нам о природе решений квадратного уравнения. Это различие осуществляется знаком дискриминанта:

Когда у квадратного уравнения нет решения…

Пожалуйста, включите JavaScript

Когда у квадратного уравнения нет решения?

D > 0: в этом случае дискриминант положительный, что происходит, когда b ² > 4ac. Это означает, что существует два различных действительных решения квадратного уравнения.
D = 0: в этом случае дискриминант равен нулю, что происходит, когда b ² = 4ac. Это означает, что существует одно повторяющееся действительное решение (двойной корень) квадратного уравнения.
D < 0: в этом случае дискриминант отрицателен, что происходит, когда b ² < 4ac. Это означает, что существует два комплексно-сопряженных решения квадратного уравнения.

Помните, что для каждого квадратного уравнения можно нарисовать график соответствующей параболы (все точки на плоскости xy, которые удовлетворяют уравнению).

Дискриминант дает нам некоторую информацию о параболе и о том, как она выглядит. В частности, дискриминант говорит нам, пересекает ли парабола ось X и сколько раз она это делает.

Имейте в виду, что точки, в которых парабола пересекает ось x, являются значениями x, которые удовлетворяют квадратному уравнению, когда оно установлено равным нулю. Эти значения называются решениями или корнями уравнения.

Дискриминант квадратного числа говорит нам о характере решений. Это также дает нам представление о том, как выглядит график.

Как найти дискриминант?

Чтобы найти дискриминант квадратного уравнения, возьмите выражение под радикалом в квадратной формуле.

Чтобы вычислить дискриминант для набора квадратичных коэффициентов a, b и c, все, что вам нужно сделать, это подставить эти значения в дискриминант.

Пример: как найти дискриминант

Давайте рассмотрим квадратное уравнение 2x ² – 5x + 7 = 0.

Поскольку оно имеет форму ax ² + bx + c = 0, мы имеем a = 2, b = -5 и c = 7.

Из квадратичной формулы мы знаем, что выражение для дискриминанта D = b ²-4AC, SO:

D = B ²-4AC
D = (-5) ²-4 (2) (7)
D = 25-56
D = 25-56

D = -31

В этом случае наш дискриминант D = -31. Поскольку D < 0 (отрицательный дискриминант), мы знаем, что:

Мы получим два комплексно-сопряженных решения квадратного уравнения (действительных решений нет).
График соответствующей параболы не будет пересекать ось абсцисс (парабола полностью лежит над осью абсцисс, так как а > 0).

Эта парабола представляет собой график квадратичного уравнения y = 2x ² – 5x + 7. Обратите внимание, что она не пересекает ось x, поскольку дискриминант отрицательный.

Как узнать, положительный ли дискриминант?

Вот несколько способов узнать, что дискриминант положителен, исходя из знаков a, b и c:

Если a и c имеют противоположные знаки, то ac отрицательно, что означает, что 4ac отрицательно, а -4ac положительный. Поскольку b ² всегда положительно или равно нулю, то дискриминант b ² – 4ac в этом случае всегда будет положительным.
Если c равно нулю, а b отлично от нуля, то b ² положительно, а 4ac равно нулю, поэтому b ² – 4ac положительно.
Если a и c имеют одинаковый знак, мы должны иметь b ² > 4ac, чтобы дискриминант был положительным.

> 4AC 9029> 4AC

99994> 4AC

Сценарий	а	б	в
9 Признаки а, в0379 are opposite	Pos	Any	Neg
Signs of a, c are opposite	Neg	Any	Pos
c = 0 and b nonzero	Any	Not Zero	0
Признаки A, C одинаковые	POS	B ²> 4AC	POS	POS
POS	. 0296	b ² >4ac	Neg

В этой таблице показано, когда дискриминант
будет положительным, исходя из знаков a, b и c.

Пример 1. Положительный дискриминант (противоположные знаки для a и c)

Рассмотрим квадратное уравнение 2x ² + 3x – 4 = 0.

Поскольку оно имеет форму ax ² + bx + c = 0, мы имеют a = 2, b = 3 и c = -4.

Обратите внимание, что a и c имеют противоположные знаки, так как a положительно (a = 2), а c отрицательно (c = -4).

Это означает, что -4ac будет положительным (здесь -4ac = -4(2)(-4) = 32).

Итак, b ² – 4ac будет положительным (здесь b ² – 4ac = 3 ² + 32 = 41).

Итак, дискриминант D = 41 положителен.

Эта парабола представляет собой график квадратичного уравнения y = 2x ² + 3x – 4. Обратите внимание, что она дважды пересекает ось x, поскольку дискриминант положителен.

Пример 2. Положительный дискриминант (когда c равно нулю)

Рассмотрим квадратное уравнение 3x ² – 5x = 0.

Поскольку оно имеет форму ax ² + bx + c = 0, мы имеем a = 3, b = -5 и c = 0.

Обратите внимание, что c равно нулю.

Это означает, что -4ac также будет равно нулю (4ac = 4(3)(0) = 0).

Итак, b ² – 4ac = b ² будет положительным независимо от знака b (здесь b ² – 4ac = b ² = (-5) ² = 25) .

Итак, дискриминант D = 25 положителен.

Пример 3: Положительный дискриминант (один и тот же знак для a и c, где b

² > 4ac)

Рассмотрим квадратное уравнение 4x ² – 15x + 12 = 0.

Поскольку оно имеет вид ax ² + bx + c = 0, то a = 4, b = — 15, а c = 12.

Обратите внимание, что a и c имеют одинаковый знак, так как a положительно (a = 4) и c положительно (c = 12).

Это означает, что -4ac будет отрицательным (здесь -4ac = -4(4)(12) = -192).

Однако b ² достаточно велико, чтобы b ² – 4ac все еще было положительным (здесь b ² – 4ac = (-15) ² – 192 = 225 – 192 = 33).

Итак, дискриминант D = 33 положителен.

Как узнать, равен ли дискриминант нулю?

Дискриминант может быть равен нулю только тогда, когда b ² = 4ac. Это может произойти несколькими способами, но один из них — когда и b, и c равны нулю (a никогда не может быть нулевым).

Пример 1. Нулевой дискриминант (когда b и c равны нулю)

Рассмотрим квадратное уравнение 3x ² = 0,

Поскольку оно имеет вид ax ² + bx + c = 0, мы имеем a = 3, b = 0 и c = 0.

Обратите внимание, что b и c равны нулю.

Это означает, что и b2, и 4ac будут отрицательными, то есть b ² – 4ac = 0.

Итак, дискриминант D равен нулю.

Пример 2. Нулевой дискриминант (когда b и c отличны от нуля)

Рассмотрим квадратное уравнение x ² – 6x + 9 = 0.

Поскольку оно имеет форму ax ² + bx + c = 0, у нас есть a = 1, b = -6 и c = 9.

Обратите внимание, что b и c не равны нулю (b = -6, c = 9).

Здесь b ² – 4ac = (-6) ² – 4(1)(9) = 36 – 36 = 0.

Итак, дискриминант D равен нулю.

Эта парабола представляет собой график квадратичного уравнения y = x ² – 6x + 9. Обратите внимание, что она пересекает ось x один раз, поскольку дискриминант равен нулю.

Как узнать, отрицателен ли дискриминант?

Вот несколько способов узнать, что дискриминант отрицательный, на основе знаков a, b и c:

Если a и c имеют одинаковый знак, то ac положительно, что означает, что 4ac положительно, а -4ac отрицательно. Если b равно нулю, то b ² равно нулю, и в этом случае дискриминант b ² – 4ac будет отрицательным.
Если a и c имеют одинаковый знак, но b не равно нулю, то мы должны иметь b ² < 4ac, чтобы иметь отрицательный дискриминант.

Сценарий	а	б	c
Signs of a, c are the same b = 0	Pos	0	Pos
Signs of a, c are the same b = 0	NEG	0	NEG
Признаки A, C — это то же самое B NONERO	POS	B ² <4AC	поза	B ² <4AC	поза	B ² <4AC	поза	B ² <4AC	. б ненулевой	Neg	b ² <4ac	Neg

В этой таблице показано, когда дискриминант
будет отрицательным, исходя из знаков a, b и c.

Если c равно нулю, то дискриминант не может быть отрицательным, так как b ² – 4ac сводится к b ² , что всегда положительно или равно нулю (поскольку b — действительное число).

Это имеет смысл, поскольку значение c = 0 дало бы нам:

ax ² + bx + c = 0
ax ² + bx + 0 = 0
x(ax + b) = 0

Отсюда следует, что x = 0 или ax + b = 0 являются действительными решениями, что оставляет нам решения: x = 0 и x = -b/a.

Пример 1: Отрицательный дискриминант (один и тот же знак для a и c, где b равно нулю)

Рассмотрим квадратное уравнение 3x ² + 7 = 0,

Поскольку оно имеет вид ax ² + bx + c = 0, мы имеем a = 3, b = 0 и c = 7.

Обратите внимание, что a и c имеют одинаковый знак, так как a положительно (a = 3), а c положительно (c = 7).

У нас также есть b = 0.

Это означает, что -4ac будет отрицательным (здесь -4ac = -4(3)(7) = -84).

Также b ² = 0.

Значит, b ² – 4ac будет отрицательным (здесь b ² – 4ac = 0 ² – 84 = -84).

Итак, дискриминант D = -84 отрицательный.

Пример 2: Отрицательный дискриминант (один и тот же знак для a и c, где b не равен нулю)

Рассмотрим квадратное уравнение 5x ² + 10x + 8 = 0.

Поскольку оно имеет форму ax ² + bx + c = 0, мы имеем a = 5, b = 10 и c = 8.

Обратите внимание, что a и c имеют одинаковый знак, так как a положительно (a = 5) и c положительно (c = 8).

У нас также есть b не равное нулю (b = 10).

Это означает, что -4ac будет отрицательным (здесь -4ac = -4(5)(8) = -160).

Итак, b ² – 4ac будет отрицательным (здесь b ² – 4ac = 10 ² – 160 = 100 – 160 = -60).

Итак, дискриминант D = -60 отрицательный.

Эта парабола представляет собой график квадратичного уравнения y = 5x ² + 10x + 8. Обратите внимание, что она не пересекает ось x, поскольку дискриминант отрицательный.

Заключение

Теперь вы знаете, что означает дискриминант в контексте алгебры в математике. Вы также знаете, когда он может быть положительным, нулевым или отрицательным, и что каждый из этих случаев говорит вам.

Надеюсь, эта статья оказалась вам полезной. Если это так, пожалуйста, поделитесь ею с теми, кто может использовать эту информацию.

Не забудьте подписаться на мой канал YouTube и получать обновления о новых математических видео!

Подпишитесь на наш канал на YouTube!

~Джонатон

Квадратичная формула и дискриминант: примеры

До сих пор мы использовали такие методы, как построение графиков, разложение на множители и применение свойства квадратного корня для нахождения точных решений некоторых квадратных уравнений. Мы также научились решать квадратные уравнения, дополняя квадрат.

Хотя некоторые из этих методов кажутся лучшим вариантом для решения любого типа квадратного уравнения, он может оказаться довольно сложным, если в данном квадратном уравнении участвуют дроби или десятичные дроби. Однако не бойтесь! Оказывается, есть решение для решения любая форма квадратного уравнения, выраженная в соответствии с приведенным выше определением. Это известно как квадратичная формула.

Квадратная формула — важный инструмент, используемый для определения решений любого заданного квадратного уравнения. Мы можем применить эту концепцию при решении квадратных уравнений, которые нельзя разложить на множители с помощью стандартных методов факторизации.

Обратите внимание, что мы действительно можем использовать Квадратную Формулу для нахождения решений любой формы квадратных уравнений, даже тех, которые можно разложить на множители.

Квадратная формула

Прежде чем мы углубимся в эту тему, давайте сначала вспомним стандартную форму квадратного уравнения.

Стандартная форма квадратного уравнения где

Имея это в виду, давайте теперь введем квадратную формулу.

Для квадратного уравнения вида, где решения даются квадратичной формулой ,

Обратите внимание, что квадратичная формула имеет « ±» знак. Это означает, что формула дает два решения, а именно

Учитывая, что квадратная формула сообщает нам корни данного квадратного уравнения, мы можем легко найти эти точки и построить график более точно.

Вывод квадратичной формулы

Квадратичная формула выводится путем завершения квадрата. В этом разделе шаг за шагом объясняется его вывод, как показано ниже.

Учитывая общую форму квадратного уравнения:

Шаг 1: Разделите выражение на

Шаг 2: С каждой стороны

Шаг 3: СТАВЕТ 40003

96999

679
6799999999
67996969696999 9 Фактор левой части и упрощение правой части

Шаг 5: Квадратный корень с каждой стороны
Не забудьте знак ‘±’!
Шаг 6: Вычтите с каждой стороны

Шаг 7: Упростить выражение
Примечание: . Этот метод завершения квадрата объясняется в деталях. Завершение квадратов . Это обсуждение содержит хорошо проработанные примеры, которые показывают, как этот вывод применяется к заданному квадратному уравнению. Проверьте это, если вы хотите изучить это более подробно!
Дискриминант
В следующих разделах мы рассмотрим свойства корней заданных квадратных уравнений. Мы познакомимся с новым понятием, называемым дискриминантом. Дискриминант играет решающую роль в понимании природы корней квадратного уравнения.
Прежде чем мы рассмотрим идею дискриминанта, нам нужно ознакомиться с несколькими важными терминами, которые помогут нам понять это обсуждение. Начнем с определения рационального и иррационального корня.
Рациональный корень — это решение, которое можно выразить как частное двух целых чисел.
Они представлены в виде где p и q — целые числа, где p — константа многочлена, а q — старший коэффициент.
Иррациональный корень — это решение, которое нельзя выразить как частное двух целых чисел. Они часто представлены бесконечно неповторяющимися десятичными знаками или сурдами.
Далее мы определим, что значит быть полным квадратом. Эта концепция имеет решающее значение, когда мы начинаем использовать квадратную формулу, поскольку она определяет, являются ли корни нашего данного квадратного уравнения рациональными или иррациональными, как мы скоро увидим!
Полный квадрат — это целое число, являющееся квадратом целого числа, то есть произведение некоторого целого числа на себя. Это принимает вид, где p — целое число. По сути, .
Примеры включают 9 (3 ² ), 16 (4 ² ), 25 (5 ² ) и т. д. дискриминант и его связь со свойствами корней.
Дискриминант и свойства корней
Чтобы найти количество корней в заданном квадратном уравнении, воспользуемся дискриминантом . Мы также можем определить тип корней выражения.
Дискриминант квадратного многочлена используется для определения количества и типа решений квадратного уравнения. Он описывается формулой
Обратите внимание, что это компонент внутри квадратного корня в квадратичной формуле.
Условие дискриминанта имеет три случая.
Случай 1: D > 0
Когда определитель больше нуля, или, другими словами, b ² – 4ac > 0 , мы получаем два действительных различных корня. Это может быть дополнительно классифицировано следующим образом.
Если b ² – 4ac – полный квадрат, то у нас есть два действительных рациональных корня;
Если b ² – 4ac не является полным квадратом, то у нас есть два действительных иррациональных корня.
График для этого случая показан ниже.
Дискриминантный случай, когда D > 0, StudySmarter Originals
Случай 2: D = 0
Когда определитель равен нулю, или, другими словами, настоящий корень. Это также известно как повторяющийся корень. График для этого случая показан ниже.
Дискриминантный случай, когда D = 0, StudySmarter Originals
Случай 3: D
< 0
Когда определитель меньше нуля или, другими словами, b ² – 4ac < 0 получаем два комплексно-сопряженных корня. Это означает, что наше решение имеет вид a + bi , где a — действительная часть, а b — мнимая часть. График для этого случая показан ниже.
Дискриминантный случай, когда D < 0, StudySmarter Originals
Напомним, что мнимая единица равна
Использование квадратичной формулы и дискриминанта для поиска корней
В этом разделе мы рассмотрим некоторые рабочие примеры, демонстрирующие применение квадратичной Формула и дискриминант для поиска решений заданного квадратного уравнения.
Два действительных рациональных корня
Решите следующее квадратное уравнение.
Вычислите дискриминант и определите количество и тип корней, которые содержит это выражение. Затем используйте квадратную формулу для оценки ее решений.
Решение
Шаг 1 : Найдите a, b и c
Шаг 2 : Вычислите дискриминант
Шаг 3 : Найдите решения
Используя квадратичную формулу, мы получаем
Обратите внимание, что составляющая внутри квадратного корня равна D, или, другими словами,
Здесь — идеальный квадрат, поэтому мы получаем пара рациональных корней
Таким образом, решения .
Ниже приведен график для этого квадратного уравнения. Зеленые точки представляют решения выражения.
Пример 1, StudySmarter Originals
Два действительных иррациональных корня
Решите следующее квадратное уравнение.
Вычислите дискриминант и определите количество и тип корней, которые содержит это выражение. Затем используйте квадратную формулу, чтобы оценить их решения.
Решение
Шаг 1 : Найдите a, b и c
Шаг 2 : Вычислите дискриминант
Шаг 3 : Найдите решения
Используя квадратичную формулу, мы получаем
Здесь не полный квадрат, поэтому мы получаем пару иррациональных корней
Таким образом, решения .
Ниже приведен график для этого квадратного уравнения. Зеленые точки представляют решения выражения.
Пример 2, StudySmarter Originals
Обратите внимание, что вы можете сохранить корни в точной форме и что десятичные разряды являются приблизительным ответом.
Один вещественный повторяющийся корень
Решите следующее квадратное уравнение.
Вычислите дискриминант и определите количество и тип корней, которые содержит это выражение. Затем используйте квадратную формулу, чтобы оценить их решения.
Решение
Шаг 1 : Определить a, b и c
Шаг 2: Вычислить дискриминант
Шаг 3 : Найдите решения
Используя квадратную формулу, мы получаем
Заметив, что
Таким образом, решение .
Ниже приведен график для этого квадратного уравнения. Зеленые точки представляют решения выражения.
Пример 3, StudySmarter Originals
Два комплексных корня
Решите следующее квадратное уравнение.
Вычислите дискриминант и определите количество и тип корней, которые содержит это выражение. Затем используйте квадратную формулу, чтобы оценить их решения.
Решение
Шаг 1 : Идентифицируйте a, b и c
Шаг 2 : Вычислите дискриминант
3 Так как есть два комплексных корня < D,
3 .
Шаг 3 : Найдите решения
Используя квадратичную формулу, мы получаем
Заметив, что
Упрощая это, мы получаем
.
Ниже приведен график для этого квадратного уравнения. Зеленые точки представляют решения выражения.
Пример 4, StudySmarter Originals
Обратите внимание, что на этом графике нет помеченных решений. Это связано с тем, что решения являются мнимыми и не могут быть отображены на стандартной декартовой плоскости. Декартова плоскость представлена действительными числами, а не мнимыми числами! В этом случае мы можем по существу «предполагать» форму графика на основе коэффициента x ², а точка пересечения с осью y задана исходным квадратным уравнением.
Дискриминант кубического уравнения
В этом разделе мы рассмотрим дискриминант кубического уравнения и определим типы корней выражения, учитывая значение его дискриминанта.
Для кубического уравнения (общего) вида
,
где a ≠ 0, дискриминант описывается формулой
.
Формула для вычисления дискриминанта кубических уравнений может быть довольно длинной. Вопросы, где может быть применена эта формула, часто редко встречаются в этой программе. Тем не менее, может быть полезно знать, как это делается для ясности.
Как и в квадратичном случае, дискриминант для кубических уравнений имеет три условия.
Случай 1: D > 0
Когда дискриминант больше нуля, мы получаем три (различных) действительных корня.
Допустим, у нас есть кубическое уравнение.
Здесь дискриминант равен .
Следовательно, у нас есть три различных действительных корня. Факторизация этого выражения дает
Таким образом, корни равны .
График показан ниже.
Пример 5, StudySmarter Originals
Случай 2: D = 0
Случай 2(a): (четкий тройной корень).
Допустим, у нас есть кубическое уравнение.
Здесь дискриминант равен .
Далее, .
Следовательно, у нас есть три повторяющихся действительных корня. Факторизация этого выражения дает
Таким образом, корни равны .
График показан ниже.
Пример 6, StudySmarter Originals
Случай 2(b): Если дискриминант равен нулю, а (отдельный) корень.
Допустим, у нас есть кубическое уравнение.
Здесь дискриминант равен .
Далее, .
Следовательно, у нас есть два повторяющихся действительных корня и один действительный корень. Факторизация этого выражения дает
Таким образом, корни равны .
График показан ниже.
Пример 7, StudySmarter Originals
Случай 3: D
< 0
Когда дискриминант меньше нуля, мы получаем один (различный) действительный корень и пару комплексно-сопряженных корней.
Допустим, у нас есть кубическое уравнение.
Здесь дискриминант.
Следовательно, у нас есть один действительный корень и два комплексно-сопряженных корня. Факторизация этого выражения дает
Таким образом, корни равны .
График показан ниже.
Пример 8, StudySmarter Originals
Квадратичная формула и дискриминант – основные выводы
Квадратичная формула используется для определения решений заданного квадратного уравнения.
No related posts.