Решение матриц методом матричным онлайн: Онлайн калькулятор. Решение систем линейных уравнений. Матричный метод. Метод обратной матрицы.

5.2. Матричный метод решения систем линейных уравнений

Пусть дана система линейных уравнений снеизвестными:

где

Будем предполагать, что основная матрица невырожденная. Тогда, по теореме 3.1, существует обратная матрицаПомножив матричное уравнениена матрицуслева, воспользовавшись определением 3.2, а также утверждением 8) теоремы 1.1, получим формулу, на которой основан матричный метод решения систем линейных уравнений:

Замечание. Отметим, что матричный метод решения систем линейных уравнений в отличие от метода Гаусса имеет ограниченное применение: этим методом могут быть решены только такие системы линейных уравнений, у которых, во-первых, число неизвестных равно числу уравнений, а во-вторых, основная матрица невырожденная.

Пример. Решить систему линейных уравнений матричным методом.

Задана система трёх линейных уравнений с тремя неизвестными где

Основная матрица системы уравнений невырожденная, поскольку её определитель отличен от нуля:

Обратную матрицу составим одним из методов, описанных в пункте 3.

По формуле матричного метода решения систем линейных уравнений получим

5.3. Метод Крамера

Данный метод так же, как и матричный, применим только для систем линейных уравнений, у которых число неизвестных совпадает с числом уравнений. Метод Крамера основан на одноимённой теореме:

Теорема 5.2. Система линейных уравнений снеизвестными

основная матрица которой невырожденная, имеет единственное решение, которое может быть получено по формулам

где определитель матрицы, полученной из основной матрицысистемы уравнений заменой еёго столбца столбцом свободных членов.

Пример. Найдём решение системы линейных уравнений, рассмотренной в предыдущем примере, методом Крамера. Основная матрица системы уравнений невырожденная, поскольку Вычислим определители

По формулам, представленным в теореме 5.2, вычислим значения неизвестных:

6. Исследование систем линейных уравнений.

Базисное решение

Исследовать систему линейных уравнений – означает определить, какой является эта система – совместной или несовместной, и в случае её совместности выяснить, определённая эта система или неопределённая.

Условие совместности системы линейных уравнений даёт следующая теорема

Теорема 6.1 (Кронекера–Капелли).

Система линейных уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг основной матрицы системы равен рангу её расширенной матрицы:

Для совместной системы линейных уравнений вопрос о её определённости или неопределённости решается с применением следующих теорем.

Теорема 6.2. Если ранг основной матрицы совместной системы равен числу неизвестных, то система является определённой

Теорема 6.3. Если ранг основной матрицы совместной системы меньше числа неизвестных, то система является неопределённой.

Таким образом, из сформулированных теорем вытекает способ исследования систем линейных алгебраических уравнений. Пусть n – количество неизвестных, Тогда:

1. при система несовместна;

2. при система совместна, причём, если, система определённая; если же, система неопределённая.

Определение 6.1. Базисным решением неопределённой системы линейных уравнений называют такое её решение, в котором все свободные неизвестные равны нулю.

Пример. Исследовать систему линейных уравнений. В случае неопределённости системы найти её базисное решение.

Вычислим ранги основной и расширенной матрицданной системы уравнений, для чего приведём расширенную (а вместе с тем и основную) матрицу системы к ступенчатому виду:

Вторую строку матрицы сложим с её первой строкой, умноженной на третью строку – с первой строкой, умноженной наа четвёртую строку – с первой, умноженной наполучим матрицу

К третьей строке этой матрицы прибавим вторую строку, умноженную на а к четвёртой строке – первую, умноженную наВ результате получим матрицу

удаляя из которой третью и четвёртую строки получим ступенчатую матрицу

Таким образом, Следовательно, данная система линейных уравнений совместна, а поскольку величина ранга меньше числа неизвестных, система является неопределённой.Полученной в результате элементарных преобразований ступенчатой матрице соответствует система уравнений

Неизвестные иявляются главными, а неизвестныеисвободными. Придавая свободным неизвестным нулевые значения, получим базисное решение данной системы линейных уравнений:

Lenovo Tab M8 3rd Gen (TB-8506F) Grey (8″ Helio P22T 3G

Акция Новинка

2679лей 2399лей 221 лей/мес.

12 мес. / 0 лей аванс

*Внимание цена действительна при оформлении заказа онлайн

Гарантия: 24 мес.

Купить

Купить в кредит

Оплата 5-ью частями без процента

IutePay 0%

В наличии

Срок доставки до Выберите ваш город . .. дней

• ATEHNO Бельцы, Штефан чел Маре 76а
• ATEHNO Кишинев, Петрикань 5

Самовывоз
из магазина

Закажи на сайте заберите сегодня

Доставка
по адресу

Доставляем в любую точку Молдовы

Nova
Poshta

Без комиссии за наложенный платеж

---

Описание Отзывы

Характеристики

Свойство	Значение
Диагональ Экрана	8. 0
Разрешение экрана	1280 x 800
Количество ядер	8
Процессор	MediaTek Helio P22T 8-Core 2.3GHz
Объем оперативной памяти (ГБ)	3
Количество мегапикселей основной камеры	5
Фронтальная камера, Мп	2 Мп
Аккумуляторная батарея	5000 мАч
Операционная система	Android
Оснащение	GPS, MIcroSD
Предустановленная ОС	Android 11
Встроенная память	32 Гб
Тип матрицы	IPS
Цвет	Iron Grey
Беспроводные возможности	Bluetooth, Wi-Fi

Описание

Планшет Lenovo Tab M8 (3rd Gen) представляет собой универсальное устройство для использования разнообразных стриминговых сервисов. Оно обладает IPS-дисплеем стандарта HD c узкими рамками, а также сертификатом TÜV, благодаря которому снижается зрительная нагрузка во время длительного просмотра контента.

 

Планшет Lenovo Tab M8 (3rd Gen) предназначен для совместного использования в кругу семьи, и для каждого найдется индивидуальное пространство с персональными настройками и приложениями. Планшет подойдет и самым маленьким пользователям благодаря приложению Google Kids Space, предлагающему качественный контент, который помогает детям познавать мир, творить и развиваться. Здесь представлены более 10 000 тщательно отобранных приложений и игр, сотни бесплатных книг и тысячи видеороликов с YouTube Kids.

 

 

Этот планшет в легком и компактном алюминиевом корпусе подарит вам до 15 часов развлечений на одном заряде — в любом удобном для вас месте. Оперативно решайте любые задачи благодаря новейшему восьмиядерному процессору и 3 ГБ оперативной памяти.

 

 

 

 

 

 

*Сопровождающие товар фотографии и описание может отличаться от оригинала. Производитель может изменять дизайн, технические характеристики и комплектацию изделия без уведомления об этом продавца. Уточняйте важные для Вас параметры при заказе.

Отзывы

Похожие товары

Акция

3029лей 2249лей

В корзину

8″ Alcatel Tablet 3T8 4G LTE, 8″, IPS 1280×800, 2Gb, 32Gb, 802.

11n, Bluetooth 4.2, micro SD Reader up to 128Gb, 5MP Front Camera, 5MP Rear Camera, Android, 4080mAh

Акция

3169лей 2489лей

В корзину

Lenovo Tab M8 3rd Gen (TB-8506X) Grey (8″ Helio P22T 3Gb 32Gb) LTE 8″ HD (1280×800) 350nits, MediaTek Helio P22T 8-Core 2.3GHz, 3Gb, 32Gb, 802.11ac + Bluetooth, 4G LTE Single Nano-SIM, GPS, micro SD Reader up to 128Gb, 2MP Front Camera, 5MP Rear Camera, Android 11, 5000mAh, 305g, Iron Grey

Акция

Акция

3369лей 3209лей

В корзину

Samsung T220 Galaxy Tab A7 Lite WI-FI Gray, 8.

7″ TFT 800×1340, Rom 32Gb, Ram 3Gb, Helio P22T (12 nm), Octa-core (4×2.3 GHz Cortex-A53 4×1.8 GHz Cortex-A53), PowerVR GE8320, microSD, CAMERA 8 MP, Front 2MP, BATTERY Li-Po 5100 mAh, non-removable, Fast charging 15W, Android 11 One UI 3.1

Акция

3389лей 3209лей

В корзину

Samsung T220 Galaxy Tab A7 Lite WI-FI Silver, 8.7″ TFT 800×1340, Rom 32Gb, Ram 3Gb, Mediatek MT8768T Helio P22T (12 nm), Octa-core (4×2.3 GHz Cortex-A53 4×1.8 GHz Cortex-A53), PowerVR GE8320, microSD, CAMERA 8 MP, Front 2MP, BATTERY Li-Po 5100 mAh, non-removable, Fast charging 15W, Android 11 One UI 3.1

Акция

Программа Python для умножения двух матриц

В этом примере мы научимся умножать матрицы двумя разными способами: вложенным циклом и вложенным списком.

Чтобы понять этот пример, вы должны знать следующие темы программирования на Python:

В Python мы можем реализовать матрицу как вложенный список (список внутри списка).

Каждый элемент можно рассматривать как строку матрицы.

Например, X = [[1, 2], [4, 5], [3, 6]] будет представлять собой матрицу 3x2 .

Первую строку можно выбрать как X[0] . И элемент в первой строке, первом столбце можно выбрать как X[0][0] .

Умножение двух матриц X и Y определено, только если количество столбцов в X равно количеству строк Y .

Если X является матрицей n x m , а Y является матрицей m x l , то XY определен и имеет размерность n x l (но YX не определен). Вот несколько способов реализовать матричное умножение в Python.

Исходный код: Умножение матриц с использованием вложенного цикла

 # Программа для умножения двух матриц с использованием вложенных циклов
#матрица 3х3
Х = [[12,7,3],
    [4 ,5,6],
    [7 ,8,9]]
#матрица 3х4
Y = [[5,8,1,2],
    [6,7,3,0],
    [4,5,9,1]]
# результат 3x4
результат = [[0,0,0,0],
         [0,0,0,0],
         [0,0,0,0]]
# перебираем строки X
для i в диапазоне (len (X)):
   # перебираем столбцы Y
   для j в диапазоне (len (Y [0])):
       # перебираем строки Y
       для k в диапазоне (len (Y)):
           результат[i][j] += X[i][k] * Y[k][j]
для r в результате:
   печать (г)
 

Выход

  [114, 160, 60, 27]
[74, 97, 73, 14]
[119, 157, 112, 23] 
 

В этой программе мы использовали вложенные циклы for для перебора каждой строки и каждого столбца. Сумму произведений суммируем в результате.

Этот метод прост, но требует больших вычислительных ресурсов, поскольку мы увеличиваем порядок матрицы.

Для больших операций с матрицами мы рекомендуем оптимизированные программные пакеты, такие как NumPy, которые в несколько (порядка 1000) раз быстрее, чем приведенный выше код.

Исходный код: Умножение матриц с использованием понимания вложенных списков

 # Программа для умножения двух матриц с использованием понимания списков
#матрица 3х3
Х = [[12,7,3],
    [4 ,5,6],
    [7 ,8,9]]
#матрица 3х4
Y = [[5,8,1,2],
    [6,7,3,0],
    [4,5,9,1]]
# результат 3x4
результат = [[сумма(a*b для a,b в zip(X_row,Y_col)) для Y_col в zip(*Y)] для X_row в X]
для r в результате:
   печать (г)
 

Вывод этой программы такой же, как и выше. Чтобы понять приведенный выше код, мы должны сначала узнать о встроенной функции 9.0011 zip() и список аргументов распаковки с помощью оператора *.

Мы использовали вложенный список для перебора каждого элемента в матрице. Сначала код кажется сложным и нечитаемым. Но как только вы освоите понимание списков, вы, вероятно, уже не вернетесь к вложенным циклам.

Как решить систему уравнений, используя обратную матрицу?

В математике матрица представляет собой массив чисел, расположенных в виде прямоугольника и разделенных на строки и столбцы. Обычно их изображают, заключая все целые числа в квадратные скобки.

Определитель

Определитель матрицы — это скалярное значение, полученное для данной квадратной матрицы. Определитель рассматривается в линейной алгебре и вычисляется с использованием элементов квадратной матрицы. Определитель — это скалярное значение или число, вычисленное с использованием квадратной матрицы. Квадратная матрица может быть 2 × 2, 3 × 3, 4 × 4 или любой другой формы, в которой число столбцов и строк равно, например, n × n. Если S — множество квадратных матриц, R — множество целых чисел (действительных или комплексных) и f: S → R определяется равенством f (A) = k, где A ∈ S и k ∈ R, то f (A ) называется определителем А. Определитель изображается двумя вертикальными линиями, т. е. |A|.

Определитель матрицы 2×2 –     

Определитель матрицы 3×3 –  

Миноры и кофакторы 

Матрица, созданная после удаления строки и столбца матрицы, в которой находится этот конкретный элемент, определяется как минор матрицы.

Минор элемента a ₁₂ равен M ₁₂ – 

Кофактор элемента в матрице A получается путем умножения минора элемента _{M ij на (-1) ^i+j . C ij — это символ кофактора элемента. Если минор матрицы M ij , то кофактор элемента будет: C ij = (-1) ^i+j M ij . Матрица кофакторов — это матрица, созданная кофакторами компонентов матрицы.}

Матрица кофакторов:

Сопряженная матрица

Пусть A=[aij] — n-мерная квадратная матрица. Матрица, сопряженная с A, представляет собой транспонированную матрицу кофакторов A. Обозначается буквой adj A. Сопряженные матрицы иногда называют сопряженными матрицами. Сопряженная квадратная матрица A = [aij]n x n определяется как транспонированная матрица [Aij]n x n, где Aij — сомножитель элемента aij.

 

Сопряженное с A = Транспонирование   = 

Обратная матрица

Квадратная матрица A обратима тогда и только тогда, когда A является невырожденной матрицей. Обратную матрицу можно получить, разделив сопряженную матрицу на определитель матрицы. Обратную матрицу можно вычислить, выполнив следующие шаги:

• Шаг 1: Определите минор предоставленной матрицы.
• Шаг 2: Преобразуйте полученную матрицу в матрицу кофакторов.
• Шаг 3: Наконец, вспомогательное и
• Шаг 4: Умножьте его на обратный определитель.

Пусть A=

Сопряженная матрица A=Транспонирование =

Обратная матрица A = A ^{-1} =

Применение матриц и определителей

Теперь давайте посмотрим, как определители и матрицы может использоваться для решения систем линейных уравнений с двумя или тремя переменными и для оценки непротиворечивости системы.

• Непротиворечивая система : Система уравнений считается непротиворечивой, если она имеет (одно или несколько) решений.
• Несовместимая система : Если решение системы уравнений не существует, говорят, что система несовместима.

Представление линейных систем с помощью матричных уравнений

Для представления системы уравнений можно использовать расширенную матрицу. Каждая строка в расширенной матрице представляет одно из уравнений системы, а каждый столбец представляет собой переменную или постоянные члены. Мы видим, что расширенные матрицы — это кратчайший путь для формулирования систем уравнений таким образом.

Пример: Запишите следующую систему уравнений в виде расширенной матрицы. Пусть запишем следующую матрицу в расширенной форме. Если переменный член не указан в матрице, считается, что коэффициент этого члена равен «0».

(1)x + (-2)y + (0)z = 5

(4)x + (-3)y + (-1)z = 3

(0)x + (5)y + (-7) г = 9

Следующая расширенная матрица:  

Решение линейных систем с помощью матричных уравнений

Решение линейных уравнений с использованием матрицы выполняется матричным методом. В этой статье мы рассмотрим решение линейных уравнений на матричных примерах.

Решение уравнений с обратными матрицами

Предположим, уравнение имеет вид:   

Матричный метод используется для нахождения решения системы уравнений. В уравнениях все переменные должны быть записаны в правильном порядке. На соответствующих сторонах напишите переменные, их коэффициенты и константы.

Метод определения обратного используется для решения системы линейных уравнений и требует двух дополнительных матриц. Переменные представлены матрицей X. Константы представлены матрицей B. Используя матричное умножение, система уравнений с тем же количеством уравнений, что и переменная, определяется как

AX=B

Пусть A будет матрица коэффициентов, X — переменная матрица, а B — постоянная матрица для решения системы линейных уравнений с обратной матрицей. В результате мы хотели бы решить систему AX = B. Взгляните на приведенные ниже уравнения в качестве примера.

AX = B

где:  

Случай 1: Если A невырожденная матрица, она имеет обратную.

Пусть A — матрица коэффициентов, X — матрица переменных, а B — матрица констант для решения системы линейных уравнений с обратной матрицей. В результате мы хотим решить систему AX=B. Чтобы получить ответ, умножьте обе части на величину, обратную A.

Поскольку обратная матрица уникальна, это матричное уравнение предлагает единственное решение данной системы уравнений. Матричный метод — это метод решения систем уравнений.

Случай 2: Если A — сингулярная матрица, то | А| = 0. В этом случае вычислить (adj A) B.

Если (adj A) B ≠ O, (O — нулевые матрицы), то решения не существует и система уравнений называется несовместной.

Если (прил. A) B = O, то система может быть либо состоятельной, либо несовместной соответственно, поскольку система либо имеет бесконечно много решений, либо не имеет решений.

Примеры задач

Вопрос 1: Найдите следующее из заданной матрицы  

• определитель матрицы A
• кофактор матрицы A 
• сопряжение матрицы A
• in стих матрицы A

Решение:

Данная матрица

• Определитель A =

= 3(0+8)+5(-2+4)+3(-4)

= 3 × 8 + 5 × 2 + 3 × (-4)

= 24 + 10 – 12 единиц

• Кофактор матрицы A =

C ₁₁ ​ = 0 × (-1) -4 × (-2) = 0 + 8 = 8

C ₁₂ ​= -((-5) × (-1) -3 × ( -2)) = -(5 + 6) = -11

C _{13 ​} = (-5) × 4 -3 × 0 = -20

C ₂₁ = −(2 × (-1) -4 × (-1)) = -(-2 + 4) = -2

C ₂₂ ​= 3 × (-1) -3 × (-1) = -3 + 3 = 0  

C _{23 ​} = -(3 × 4 – 3 × 2) = -(12 – 6) = -6

C ₃₁ ​ = 2 × (-2) – 0 × (-1) = -4             

С ₃₂ ​= -(3 × (-2) – (-5) × (-1)) = -(-6 – 5) = 11   

C _33​ = 3 × 0 – (-5) × 2 = 10

Кофакторная матрица A =

• AdjoinT матрицы A = транспонирование кофакторной матрицы C =

• Обратная матрица A =

= 9 0003

=

Вопрос 2: Рам нанимается на работу с ежемесячной оплатой определенной суммы и ежегодным повышением на заранее определенную сумму. Найдите его начальную зарплату и ежегодную прибавку, если его зарплата составляла 300 долларов в месяц в конце первого месяца после 1 года службы и 600 долларов в месяц в конце первого месяца после 3 лет службы.

Решение:

Пусть «x» и «y» представляют месячную зарплату и годовое увеличение на определенную сумму соответственно.

По вопросу;

x + y = 300 ⇢ (i)

x + 3y = 600 ⇢ (ii)

Это можно записать как AX = B, где

Определитель A = 1 × 3 – 1 × 1 = 3 – 1 = 2

Присоединение A =

Таким образом,

 

Используя обратную матрицу,

X = A ^-1 B

Поэтому; x = 150 долларов, y = 150 долларов

Итак, месячная зарплата равна 150 долларам, а годовой прирост равен 150 долларам.

Вопрос 3: Сумма трех чисел равна 3. Если мы умножим второе число на 2 и прибавим к нему первое число, мы получим 6. Если мы умножим третье число на 4 и прибавим к нему второе число , получаем 10. Представим его алгебраически и найдем числа матричным методом.

Решение:

Пусть x, y и z представляют первое, второе и третье числа соответственно. Тогда согласно вопросу имеем

x + y + z = 3

x + 2y = 6

y + 4z = 10

Это можно записать как AX = B, где

Здесь |A |= 1(8 – 0) – 1(4 – 0) + 1(1 – 0) = 8 – 4 + 1 = 5 ≠ 0. Теперь найдем прил A.

A ₁₁ = 8 – 0 = 8, А ₁₂ = -(4 – 0) = -4, А ₁₃ = 1 – 0 = 1

A ₂₁ = -(4 – 1) = -3, A ₂₂ = 4 – 0 = 4, A ₂₃ = -(1 – 0) = -1

A ₃₁ = 0 – 2 = -2, A ₃₂ = -(0 – 1) = 1, A ₃₃ = 2 – 1 = 1

Прил. A =

Таким образом,

X = A ^-1 B

Следовательно;

Вопрос 4. Предположим, Джо, Макс и Полли пошли за покупками в торговый центр. Джо платит 45/- за 4 кг яблок, 7 кг бананов и 6 кг гуавы, Макс платит 30/- за 2 кг яблок и 5 кг гуавы, а Полли платит 35/- за 3 кг яблок, 1 кг бананов и 4 кг гуавы. Сколько стоят яблоки, бананы и гуава за килограмм?

Решение:

Пусть x, y и z обозначают количество яблок, бананов и гуавы соответственно.

В соответствии с вопросом:

4x + 7y + 6z = 45

2 x + 5 z = 30

3x + y + 4z = 35

Матрица A содержит кг яблок, бананов и гуава купил Джо, Макс и Полли. Матрица B содержит цены, которые платят все трое, а матрица X содержит переменные.

Решением данной системы уравнений будет X = A ^-1 B.

Чтобы найти обратную величину A, мы сначала найдем определитель A.

Определитель A = |A| = 4(0 х 4 – 1 х 5) – 7(2 х 4 – 5 х 3) + 6(2 х 1 – 3 х 0)

= 4(0 – 5) – 7(8 – 15) + 6(2 – 0)

= -20 – 7(-7) + 12

= -20 + 49 + 12 = 41

Прил. of A =

Стоимость яблок за кг = 8,3/-

Стоимость бананов за кг = 1,1/-

Стоимость гуавы за кг = 2,7/-

Вопрос 5: Стоимость 2 кг картофеля, 3 кг помидоров и 2 кг муки составляет 50. Стоимость 5 кг картофеля, 1 кг помидоров и 6 кг муки — 40. Стоимость 4 кг картофеля, 6 кг помидоров и 3 кг муки — 60. Найдите стоимость каждого продукта за кг с помощью обратной матрицы.

Решение:

Пусть x, y и z обозначают кг картофеля, помидоров и муки соответственно.

В соответствии с вопросом:

2x + 3y + 2z = 50

5x + 1y + 6z = 40

4x + 6y + 3z = 60

Матрица A содержит кг картофеля, помидоров и муки. Матрица B содержит уплаченные цены, а матрица X содержит переменные. Это можно записать как AX = B, где  

Решение данной системы уравнений есть X = A ^-1 B. Чтобы найти обратную величину A, мы сначала найдем определитель A.

No related posts.