Как работать со степенями по алгебре: Свойства степеней, действия со степенями

Степень, свойства и действия со степенями, сложение, умножение, деление отрицательных степеней, степень с натуральным показателем, правила и формулы

Математика

12.11.21

10 мин.

Одной из главных характеристик в алгебре, да и во всей математике является степень. Конечно, в 21 веке все расчеты можно проводить на онлайн-калькуляторе, но лучше для развития мозгов научиться делать это самому.

Оглавление:

• Онлайн-калькулятор возведения в степень
• Что такое степень числа
• Таблица степеней от 1 до 10
• Свойства степеней
• Степень с отрицательным показателем
• Степень с натуральным показателем
• Дробная степень
• Степень с иррациональным показателем
• Заключение

В данной статье рассмотрим самые важные вопросы, касающиеся этого определения. А именно, поймем что это вообще такое и каковы основные его функции, какие имеются свойства в математике.

Рассмотрим на примерах то, как выглядит расчет, каковы основные формулы. Разберем основные виды величины и то, чем они отличаются от других функций.

Поймем, как решать с помощью этой величины различные задачи. Покажем на примерах, как возводить в нулевую степень, иррациональную, отрицательную и др.

Онлайн-калькулятор возведения в степень

Что такое степень числа

Что же подразумевают под выражением «возвести число в степень»?

Степенью n числа а является произведение множителей величиной а n-раз подряд.

Математически это выглядит следующим образом:

aⁿ = a * a * a * …a_n.

Причем, левая часть уравнения будет читаться, как a в степ. n.

Например:

• 2³ = 2 в третьей степ. = 2 * 2 * 2 = 8;
• 4² = 4 в степ. два = 4 * 4 = 16;
• 5⁴ = 5 в степ. четыре = 5 * 5 * 5 * 5 = 625;
• 10⁵ = 10 в 5 степ.
  = 10 * 10 * 10 * 10 * 10 = 100000;
• 10⁴ = 10 в 4 степ. = 10 * 10 * 10 * 10 = 10000.

Ниже будет представлена таблица квадратов и кубов от 1 до 10.

Таблица степеней от 1 до 10

Ниже будут приведены результаты возведения натуральных чисел в положительные степени – «от 1 до 100».

Ч-ло	2-ая ст-нь	3-я ст-нь
1	1	1
2	4	8
3	9	27
4	16	64
5	25	125
6	36	216
7	49	343
8	64	512
9	81	279
10	100	1000

Свойства степеней

Что же характерно для такой математической функции? Рассмотрим базовые свойства.

Учеными установлено следующие признаки, характерные для всех степеней:

• aⁿ * a^m = (a)^(n+m);
• aⁿ : a^m = (a)^(n-m);
• (a^b ) ^m=(a)^(b*m).

Проверим на примерах:

2³ * 2² = 8 * 4 = 32. С другой стороны 2

5 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 =32.

Аналогично: 2³ : 2² = 8 / 4 =2. Иначе 2^3-2 = 2¹ =2.

(2³)² = 8² = 64. А если по-другому? 2⁶ = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 = 32 * 2 = 64.

Как видим, правила работают.

А как же быть со сложением и вычитанием? Всё просто. Выполняется сначала возведение в степень, а уж потом сложение и вычитание.

Посмотрим на примерах:

• 3³ + 2⁴ = 27 + 16 = 43;
• 5² – 3² = 25 – 9 = 16. Обратите внимание: правило не будет выполняться, если сначала произвести вычитание: (5 — 3)² = 2² = 4.

А вот в этом случае надо вычислять сначала сложение, поскольку присутствуют действия в скобках: (5 + 3)³

= 8³ = 512.

Как производить вычисления в более сложных случаях? Порядок тот же:

• при наличии скобок – начинать нужно с них;
• затем возведение в степень;
• потом выполнять действия умножения, деления;
• после сложение, вычитание.

Есть специфические свойства, характерные не для всех степеней:

1. Корень n-ой степени из числа a в степени m запишется в виде: a^m/n.
2. При возведении дроби в степень: этой процедуре подвержены как числитель, так и ее знаменатель.
3. При возведении произведения разных чисел в степень, выражение будет соответствовать произведению этих чисел в заданной степени. То есть: (a * b)ⁿ = aⁿ * bⁿ.
4. При возведении числа в отрицательную степ., нужно разделить 1 на число в той же ст-ни, но со знаком «+».
5. Если знаменатель дроби находится в отрицательной степени, то это выражение будет равно произведению числителя на знаменатель в положительной степени.
6. Любое число в степени 0 = 1, а в степ. 1 = самому себе.

Эти правила важны в отдельных случаях, их рассмотрим подробней ниже.

Степень с отрицательным показателем

Что делать при минусовой степени, т. е. когда показатель отрицательный?

Исходя из свойств 4 и 5 (смотри пункт выше), получается:

A^(-n) = 1 / Aⁿ, 5^(-2) = 1 / 5² = 1 / 25.

И наоборот:

1 / A^(-n) = Aⁿ, 1 / 2^(-3) = 2³ = 8.

А если дробь?

(A / B)^(-n) = (B / A)ⁿ, (3 / 5)^(-2) = (5 / 3)² = 25 / 9.

Степень с натуральным показателем

Под ней понимают степень с показателями, равными целым числам.

Что нужно запомнить:

A⁰ = 1, 1⁰ = 1; 2⁰ = 1; 3.15⁰ = 1; (-4)⁰ = 1…и т. д.

A¹ = A, 1¹ = 1; 2¹ = 2; 3¹ = 3…и т. д.

Кроме того, если (-a)²ⁿ⁺², n=0, 1, 2…то результат будет со знаком «+». Если отрицательное число возводится в нечетную степень, то наоборот.

Общие свойства, да и все специфические признаки, описанные выше, также характерны для них.

Дробная степень

Этот вид можно записать схемой: A^m/n. Читается как: корень n-ой степени из числа A в степени m.

С дробным показателем можно делать, что угодно: сокращать, раскладывать на части, возводить в другую степень и т. д.

Степень с иррациональным показателем

Пусть α – иррациональное число, а А ˃ 0.

Чтобы понять суть степени с таким показателем, рассмотрим разные возможные случаи:

• А = 1. Результат будет равен 1. Поскольку существует аксиома – 1 во всех степенях равна единице;
• А˃1.

А^r1 ˂ А^α ˂ А^r2, r₁ ˂ r₂ – рациональные числа;

• 0˂А˂1.

В этом случае наоборот: А^r2 ˂ А^α ˂ А^r1 при тех же условиях, что и во втором пункте.

Например, показатель степени число π. Оно рациональное.

r₁ – в этом случае равно 3;

r₂ – будет равно 4.

Тогда, при А = 1, 1^π = 1.

А = 2, то 2³ ˂ 2^π ˂ 2⁴, 8 ˂ 2^π ˂ 16.

А = 1/2, то (½)

4 ˂ (½)^π ˂ (½)³, 1/16 ˂ (½)^π ˂ 1/8.

Для таких степеней характерны все математические операции и специфические свойства, описанные выше.

Заключение

Подведём итоги — для чего же нужны эти величины, в чем преимущество таких функций? Конечно, в первую очередь они упрощают жизнь математиков и программистов при решении примеров, поскольку позволяют минимизировать расчеты, сократить алгоритмы, систематизировать данные и многое другое.

Где еще могут пригодиться эти знания? В любой рабочей специальности: медицине, фармакологии, стоматологии, строительстве, технике, инженерии, конструировании и т. д.

Урок алгебры. 7 класс. Тема «Умножение и деление степеней» | Методическая разработка по алгебре (7 класс) по теме:

Умножение и деление степеней

Класс: 7

Урок:  получения новых знаний по УМК  Ю.Н.Макарычева. «Алгебра-7» в рамках уроков по ФГОС нового поколения.

Цель: вывести  свойства  степени с натуральным показателем для упрощения выражений,  вычисления рациональным способом значений выражений.

Задачи урока.
—  способствовать актуализации и получению  ЗУН по выведению правил свойств степеней. 
— развивать навык устного счета, мобильность и творческую самостоятельность учащихся, развивать мыслительные действия: анализ, сравнение, обобщение, классификация, развитие внимания, зрительной памяти, логического и образного мышления, активности учащихся на уроке, развитие интереса учащихся к изучению математики через инновационные технологии
—  привитие интереса к предмету, воспитание у учащихся чувства товарищества, культуры общения, чувства взаимовыручки.  

Формирования универсальных учебных действий (УУД).

Личностные УУД: помнить, что каждый ребенок – индивидуален, помочь раскрыть и развить в каждом ученике его сильные и позитивные личные качества и умения, учитывать  индивидуально-психологические особенности каждого ученика.

Познавательные УУД: учить  мыслить системно, помочь ученикам овладеть наиболее продуктивными методами учебно-познавательной деятельности, учить их учиться,  учить ребенка применять свои знания, развивать творческое мышление через познавательные и творческие задачи. Использовать схемы, задания с самопроверкой, взаимопроверкой, чтобы обеспечить усвоение темы.

Коммуникативные УУД: учите ребенка высказывать свои мысли через   различные виды  дискуссий и групповой работы для освоения материала, организуя  групповую работу, работу  в парах, изучать  и учитывать  жизненный опыт учеников, их интересы, особенности развития.

Регулятивные УУД: учить ребенка контролировать свою речь при выражении своей точки зрения по теме  урока, учить  контролировать свою работу на уроке, адекватно оценивать выполненную  работу, выполнять свои действия по заданному образцу и правилу, учить видеть и  исправлять ошибки.

Оборудование: карточки со словами «знать», «уметь», карточки для лабораторной работы,  сигнальные карточки, смайлики.

Ход урока:

1. Мотивация к учебной деятельности.

— Нам необходимо размяться и определить тему урока.

              1. Вычислить удобным способом, объяснив:

125·72·8;     72 + 67 + 28;        33·17 + 83·33;       ·;      289 : 289.

         2. Отгадайте ребус.

(степень)

             

— А могут ли степени обладать свойствами? Назовите тему урока.

(Свойства степеней)

— Поставьте задачи урока.   (карточки «знать» и «уметь»)

— Какие знания нам понадобятся?

2. Актуализация знаний и выявление затруднений.

1. — Что мы знаем о степени с натуральным показателем?

Фронтально —  определение, элементы, первая степень числа, степень отрицательного числа в зависимости от чётности и нечётности показателя, степень положительного числа, степень нуля.

2.  — Представьте 64 в виде степени с основанием -2, 2, -8.

— Куб какого числа равен 64? (4)

— Как ещё можно представить 64 в виде степени? (8²)

3. Формирование новых знаний.

1. Лабораторная работа в группах по карточкам.

— Рассмотрите примеры, что особенного у  степеней?  (одинаковые основания)

— Что необходимо сделать со степенями с одинаковым основанием? (умножить, разделить)

— Попробуйте представить умножение в виде одной степени.

Отчёты групп по 1 и 2  заданию.

Сверить со свойствами в учебнике, записать в тетрадь.

Проговаривание хором.

2. · а : · а =

 1) использование свойства деления числа на само себя , что равно 1;

 2) использование свойства деления степеней с одинаковым основанием, что равно аº.

Вывод: аº = 1.

IV. Первичное закрепление  с проговариванием во внешней речи.

1. №403(устно) – с проговариванием

    №414(устно) – с проговариванием

2. №405 – в парах с проговариванием

     Проверка фронтально. Сигнальные карточки.

3. №416 – в парах с проговариванием

    Проверка по эталону на доске.   (25; 1000; 0,125; 1; 2,73; -)

4.  Эстафета.  Заполни пропуски – по одному у доски

b ∙ b2 ∙ b3 = b*+2+3 = b*

(- 7)3 ∙ (- 7)6 = (- 7)*

b ∙ b2 ∙ b3 = b1+2+3 = b*

(- 7)* ∙ (- 7)6 ∙ (-7)9 = (- 7)3+*+9 = (- 7)18

a10 : a9 = a10 *9 = a

0,214 : 0,28  = 0,2* 

(53)* = 53 • * = 512

3* : 32 = 3*-2 = 35

a*  : a*   = a

0,217 : 0,2*= 0,26 

V. Рефлексия.

— С чем работали на уроке?

— Какие свойства степеней с натуральным показателем узнали?

Проговорите свойства.

Смайлики – как поняли тему?

VI. Домашнее задание.

        П.19,  № 415, №418, №420.

Карточки для групп

1)  2² · 2³ =

     а · а =

При  _____________ степеней с одинаковым ____________, основание остаётся _________________, а показатели _________________.

2)  5 > 3

   3 : 3³ =  

   а : а =

При  _____________ степеней с одинаковым ____________, основание остаётся _________________, а показатели _________________.

Ребус

Список профессий, использующих алгебру | Work

Автор David Weedmark Обновлено 29 июня 2018 г.

Вполне возможно получить работу и работать всю жизнь, не используя уроки алгебры, которые вы выучили в старшей школе. Однако по мере того, как общество продолжает использовать технологии, а наша зависимость от данных продолжает расти, шансы на жизнь без алгебры становятся все меньше. Если, с другой стороны, вы любите алгебру, новости, безусловно, хорошие. В дополнение к очевидным профессиям, таким как стать учителем математики, есть тысячи доступных вакансий, которые используют алгебру каждый день.

Очевидная работа по алгебре

Есть несколько профессий, о которых даже непрофессионал может догадаться, что они связаны с алгеброй, особенно те, которые полностью связаны с математикой и естественными науками или требуют их преподавания. Если вам нравится активно работать с алгеброй на доске, обсуждать алгебру, читать об алгебре и мечтать о том, чтобы есть, пить и спать, пока вы погружены в алгебру, любая из этих работ отлично подойдет вам. Не все эти должности требуют одинакового уровня образования. Учителям средней школы обычно требуется степень бакалавра в своей области, а также степень преподавателя. Тем, кто работает на уровне колледжа, требуется как минимум степень магистра, но чаще докторская степень.

• учителя математики и естественных наук средней школы
  
• преподаватели математики и естественных наук колледжей
  
• математики
• криптологи
  
• астрономы
13 13 10011 химики 900 3
• статистики
  

Белые воротнички

Помимо учителей , профессора и ученые, есть много других рабочих мест белых воротничков, которые требуют алгебры на регулярной основе. Несмотря на то, что задания основаны на алгебре, и вам необходимо твердое понимание математики, большинство уравнений решаются с помощью компьютеров.

• актуарии
  
• авиадиспетчеры
• архитекторы
  
• компьютерные инженеры и аналитики
  
• экономисты
• специалисты по исследованию рынка и диетологи
• 3 900 900 013
• инженеры
• лесники и ученые-экологи
  
• геологи
  
• ювелиры
• метеорологи
  
• гробовщики
• океанографы
• офтальмологические лаборанты
• закупщики
  
• социологи

Рабочие рабочие места

рабочие места синих воротничков, которые требуют алгебры. Как и в случае с белыми воротничками, вам, вероятно, не всегда придется решать уравнения без компьютера. Однако в некоторых случаях, например, когда плотник покупает древесину или плиточник определяет требования к полу, возможность решать уравнения на бумаге будет несомненным бонусом. К таким работам относятся:

• котловщики
  
• радиотехники
  
• плотники
  
• бетонщики, плиточники и терраццо рабочие
  
• мотористы
  электрики
  1
• 2
• 0013
• монтажники и ремонтники лифтов
  
• отопление, кондиционирование воздуха и охлаждение техники
  
• инспекторы, тестировщики и оценщики
  
• ландшафтные архитекторы
  
• машинисты и программисты инструментов
  
• слесари
  
• операторы электростанций
• листовые металлурги
  
• станочники
  
• операторы водоочистных сооружений
  
2 станочники, резчики, сварщики 013

Преимущества Карьера, основанная на математике

В нашем все более технологичном обществе иметь прочную основу в математике никогда не будет плохо. В 2016 году Бюро статистики труда США прогнозировало 28-процентный рост числа рабочих мест, связанных с математикой, в течение следующего десятилетия, что намного выше среднего. Самый большой вклад в этот рост вносит растущая зависимость от больших данных, для анализа которых требуется алгебра. Работа, основанная на математике, также оплачивается значительно выше среднего. В 2017 году средняя годовая заработная плата для всех рабочих мест в США составляла 37,69 доллара США.0, в то время как работа, связанная с математикой, имела среднюю зарплату в размере 84 060 долларов.

Ссылки

• BLS: Основные предметы и ваша карьера
• BLS: Математика на работе
• BLS: Математические профессии

Ресурсы

• Мы используем математику 90 03 Bio

  Публикуемый автор и профессиональный оратор, Дэвид Видмарк был менеджером по найму и рекрутером в нескольких компаниях и консультирует малые предприятия по вопросам технологий. Он основал три успешных предприятия и написал сотни статей о карьере и тенденциях малого бизнеса для газет, журналов и Интернета. публикации, включая About.com, Re/Max и American Express.

  Вакансии для математических специальностей

  Вакансии для математических специальностей являются одними из самых взаимных. Заинтригован? Давайте объясним.

  Как специалист по математике, вы любите числа, верно? Что ж, как выясняется, когда дело доходит до вашей зарплаты, эти цифры отвечают вам взаимностью: специальности, связанные с математикой, постоянно попадают в списки PayScale.com лучших степеней для оплаты начального и среднего уровня карьеры.

  С этим типом степени у вас также есть выбор карьеры, которая может привести к величию. Используя данные Бюро трудовой статистики, Monster собрал 10 фантастических вакансий для математических специальностей.

  Бухгалтер

  Что бы вы сделали: Бухгалтеры используют свою любовь к обработке чисел для подготовки и проверки финансовых отчетов, чтобы убедиться, что они точны, а налоги уплачены правильно и вовремя.
  Что вам понадобится: Дополнение степени бакалавра бухгалтерского учета сертификатом в определенной области может улучшить ваши перспективы трудоустройства. Ознакомьтесь с этим образцом резюме для бухгалтера.
  Что бы вы заработали: 70 500 долларов в год

  Найдите работу бухгалтера на Monster.

  Актуарий

  Что вы будете делать: Актуарии оценивают риски и управляют ими, помогая предприятиям анализировать свои расходы. Актуарии также оценивают вероятность возможных действий и событий, а также связанные с этим затраты, если указанные события действительно произойдут. Цель состоит в том, чтобы максимизировать потенциальную прибыль и свести к минимуму вероятность потери денег. Страхование является ключевой отраслью для актуариев.
  Что вам нужно: Требуется степень бакалавра в области математики, статистики или актуарных наук. Вам также необходимо сдать ряд экзаменов, предлагаемых Обществом актуариев по несчастным случаям или Обществом актуариев. Чтобы сдать экзамены, требуется от шести до 10 лет, но вы можете начать свою карьеру после сдачи первых двух экзаменов. Многие работодатели часто предлагают учебные материалы, подготовительные курсы и часы обучения на рабочем месте, а также покрывают плату за экзамены в качестве вознаграждения работникам.
  Что бы вы заработали: 102 880 долларов в год

  Найдите вакансии актуария на Monster.

  Бухгалтер

  Что вы будете делать: Используя электронные таблицы и программное обеспечение для бухгалтерского учета, бухгалтеры регистрируют финансовые транзакции, обновляют отчеты и проверяют финансовые записи на точность.
  Что вам нужно: Степень бакалавра математики или бухгалтерского учета должна быть достаточной, чтобы получить работу бухгалтера. Ознакомьтесь с этим образцом резюме для бухгалтера.
  Что бы вы заработали: 40 240 долларов в год

  Найдите вакансии бухгалтера на Monster.

  Аналитик компьютерных систем

  Что бы вы сделали: Люди могут не думать о технологической отрасли как об источнике рабочих мест для математических специальностей, но вам виднее. Аналитики компьютерных систем помогают организациям сделать так, чтобы их компьютерные системы лучше соответствовали потребностям клиентов и пользователей. Аналитики много сотрудничают с людьми, на которых непосредственно влияет то, как работает система, и они подчеркивают как ИТ-сторону, так и почему бизнес-сторону.
  Что вам понадобится: Часто бывает достаточно степени бакалавра, если ваша курсовая работа включает некоторые занятия по информатике.
  Что бы вы заработали: 88 740 долларов в год

  Найдите вакансии аналитика компьютерных систем на Monster.

  Администратор баз данных

  Что вы будете делать: Администраторы баз данных отвечают за компьютерные системы, которые хранят, организуют и защищают данные для организаций в частном и государственном секторах. Они работают с пользователями для внесения изменений и могут также создавать новые базы данных, если это необходимо.
  Что вам нужно: Степень бакалавра часто является минимумом. Учитывая ИТ-ориентированный характер работы, вам, вероятно, потребуется сертификация для работы с определенными типами программного обеспечения или систем. Узнайте больше о том, как стать администратором базы данных, и ознакомьтесь с этим образцом резюме для администратора базы данных.
  Что бы вы заработали: 90 070 долларов в год

  Найдите вакансии администратора базы данных на Monster.

  Финансовый аналитик

  Что бы вы сделали: Финансовые аналитики оценивают эффективность акций, облигаций и других видов инвестиций, чтобы предоставить рекомендации предприятиям и частным лицам, принимающим инвестиционные решения.
  Что вам нужно: Базовым уровнем является степень бакалавра в области финансов или смежной области, но для продвижения по карьерной лестнице вам может потребоваться получить степень магистра. Ознакомьтесь с этим образцом резюме для финансового аналитика.
  Что бы вы заработали: 85 660 долларов в год

  Найдите вакансии финансового аналитика на Monster.

  Логист

  Чем вы будете заниматься: Логисты анализируют и координируют цепочку поставок организации (систему, которая перемещает продукт от поставщика к потребителю). В этой роли вы будете управлять всем жизненным циклом продукта, включая то, как продукт приобретается, распределяется, распределяется и доставляется.
  Что вам нужно: Степень бакалавра в области логистики или смежной области должна быть достаточной для работы в логистике.
  Что бы вы заработали: 74 600 долларов в год

  Найдите работу логиста на Monster.

  Математик

  Что бы вы сделали: Среди наиболее логичных профессий для математических специальностей математики проводят обширные исследования, чтобы понять математические принципы, а также стремятся применить их на практике в реальных ситуациях. Эти роли могут быть в академических кругах, в правительстве или в частном секторе.
  Что вам нужно: Вы могли бы войти в дверь со степенью бакалавра, но часто эта роль предполагает получение как минимум степени магистра.
  Что бы вы заработали: 88 190 долларов в год

  Найдите вакансий математика на Monster.

  Аналитик по исследованию операций

  Чем вы будете заниматься: В этой роли вы будете использовать свои передовые математические и аналитические навыки, чтобы помогать организациям исследовать проблемы, выявлять и решать проблемы и, в конечном счете, принимать более эффективные решения.
  Что вам потребуется: Степень бакалавра станет вашим преимуществом, но некоторые работодатели предпочитают нанимать соискателей с учеными степенями.
  Что бы вы заработали: 83 390 долларов в год

  Найдите работу аналитика операций на Monster.

  Статистик

  Что вы будете делать: Статистики используют числа, чтобы определять тенденции, делать прогнозы и решать проблемы. Они делают это, собирая и анализируя данные, которые можно использовать в государственном секторе (подумайте: анализ моделей движения для городского планирования или разработка опроса для определения уровня безработицы) и в корпоративном мире, от инженерии до здравоохранения.
  Что вам понадобится: Иногда достаточно степени бакалавра в области статистики, но для большинства вакансий требуется степень магистра. Для более продвинутых исследовательских работ требуется докторская степень.
  Что бы вы заработали: 88 190 долларов в год

  Найдите вакансий статистика на Monster.

  Рассчитывайте на блестящую карьеру

  Ужасные каламбуры в сторону, вы знаете, что карьера STEM лидирует в рабочей силе, а это значит, что вы будете востребованы.

  No related posts.