Решение матриц по методу гаусса: Онлайн калькулятор. Решение систем линейных уравнений. Метод Гаусса

Учебное пособие по исключению Гаусса и матричным уравнениям

Учебное пособие

Матричные уравнения и расширенные матрицы

Матричные уравнения

Матричное уравнение — это именно то, на что оно похоже — это уравнение, включающее матрицы. Обычно, если нам дана матрица с именем A и вектор с именем b , то уравнение Ax = b пытается найти вектор x , который делает уравнение верным. Вот пример:

Если вы знаете, как перемножать матрицы и векторы, то, умножив вектор x на матрицу A , вы получите линейную систему для элементов b . Достаточно сказать, что решение приведенного выше матричного уравнения равносильно решению этой линейной системы:

Для методов, которые мы будем использовать в этом уроке, удобнее вообще отказаться от переменных, рассматривая их скорее как заполнители. Для этого увеличим матрицу

A вектором b вот так:

Приведенная выше расширенная форма матрицы оказывается чрезвычайно полезной для решения и классификации линейных систем. Если мы все еще хотим думать об этой матрице как о представлении линейной системы, то мы можем это сделать. Мы просто связываем столбцы с переменными нашей системы, а строки с уравнениями системы.

Напомним, вот как перевести матричное уравнение как в линейную систему, так и в расширенную матрицу.

Форма эшелона и форма эшелона с уменьшенным рядом

Форма эшелона рядов

Часто при работе с расширенными матрицами мы понимаем, что одни матрицы более интересны, чем другие. Когда матрица имеет только нули под диагональными элементами, то говорят, что она имеет форму эшелонов или эшелонирований строк формы .

Вот например

Эшелонная форма интересна тем, что позволяет нам легче решать систему, используя технику, называемую 9.

0009 обратная замена . Если предположить, что приведенная выше матрица является расширенной матрицей, то каждый из первых пяти столбцов представляет переменную, скажем, a, b, c, d, e . Это означает, что, взглянув на последний столбец, мы сразу же увидим, что 4 e = 1 , так что e = 1/4 . Теперь мы можем заменить на во предпоследней строке. Это дает нам d + 7e = 5 , так что d + 7/4 = 5 , так что d = 27/4 . Теперь мы можем заменить оба d и e в третью строку и так далее, пока не получим значения для всех пяти переменных.

Уменьшенная форма эшелона рядов

Другая форма, похожая на эшелонированную форму, это сокращенная эшелонированная форма . Для любой матрицы первая ненулевая запись в строке называется опорной точкой

. Матрица находится в форме сокращенного эшелона строк, когда каждый опорный элемент равен 1, а опорный элемент является единственным ненулевым элементом в столбце . Вот идеальный пример: 

Учитывая матрицу в форме сокращенного эшелона строк, если в каждом столбце есть точка опоры, мы можем просто прочитать решения, взглянув на последний столбец. Итак, если мы снова предположим, что первые пять столбцов соответствуют переменным a, b, c, d и e , то a = 3 , b = 1 , c = 2 , d = 5 и e = 2 .

Вскоре мы увидим технику, которая берет любую матрицу и переводит ее в сокращенную ступенчатую форму строк, тем самым решая любое уравнение или систему, которую она представляет. Вот еще один пример, показывающий, как решения соотносятся с формой редуцированного эшелона строк.

Исключение по Гауссу и операции со строками

Идея

Это действительно суть этого урока, здесь мы изучаем технику решения больших линейных систем. Исключение Гаусса – это пошаговая процедура, которая начинается с системы линейных уравнений или расширенной матрицы и преобразует ее в другую систему, которую легче решить. Обычно мы в конечном итоге можем легко определить значение одной из наших переменных, и, используя эту переменную, мы можем применить обратную подстановку для решения остальной части системы.

Когда уравнения представлены расширенной матрицей, процесс исключения Гаусса переводит матрицу в эшелонированную форму. Как мы видели, если у нас есть матрица в форме эшелона, мы можем определить решения матричного уравнения, которое она представляет.

В стороне: исключение Гаусса-Джордана

Исключение Гаусса-Джордана точно такое же, как исключение Гаусса, за исключением того, что цель состоит в том, чтобы поместить матрицу в форму сокращенного эшелона строк, а не в форму простого эшелона строк. Это требует больше работы, но позволит увидеть решения довольно просто. Теперь о технике.

Строковые операции

Исключения Гаусса и Гаусса-Жордана работают путем применения операций со строками к матрицам. Операция со строками — это способ упростить представление матрицы, сохранив при этом ее решение. Разрешены следующие операции со строками:

1. Вы можете поменять местами любые две строки
2. Вы можете умножить любую строку на ненулевое скалярное значение
3. Вы можете добавить скалярное число любой строки к другой строке.

Пример: замена строк

Пример: умножение на ненулевое скалярное значение

Пример: добавить кратное одной строки к другой

Теперь давайте применим эти правила в примере.

Пример исключения Гаусса

Начнем с простой линейной системы

х + 2у = 4

2х + у = 1

Мы можем сформировать расширенную матрицу и выполнять операции со строками, пока не получим матрицу в форме эшелона строк. Поскольку это такая маленькая система, для этого требуется всего один шаг:

.

Мы видим, что все элементы под диагональю равны нулю (в этом примере только один элемент), так что матрица имеет форму эшелона строк. Отсюда мы можем посмотреть на последнюю строку, чтобы увидеть, что -3y = -6

, что дает y = 2 . Теперь мы можем подставить это в наше первое уравнение, чтобы найти x значение:

х + 2у = 4

х + 2(2) = 4

х + 4 = 4

х = 0

Таким образом, решение системы дается как x=0, y=2 .

Пример исключения Гаусса-Жордана

Небольшой пример исключения Гаусса-Жордана используется для приведения расширенной матрицы к сокращенной эшелонированной форме строк.

Есть ли способ решить линейную систему без использования исключения Гаусса?

спросил 6 лет, 2 месяца назад

Изменено сегодня

Просмотрено 1к раз

$\begingroup$

Есть ли способ получить решения матрицы без использования метода исключения Гаусса?

Другими словами, если у нас есть матрица $A$, мы можем умножить ее на матрицу замены базиса $P$, чтобы получить $PA=B$.