Решение матрицы методом обратной матрицы онлайн с решением: Онлайн калькулятор. Решение систем линейных уравнений. Матричный метод. Метод обратной матрицы.

Содержание

Конспект лекций по дисциплине математика.

Занятие №5  (Лисичкин В.Т., Соловейчик И.Л. Математика)

Раздел 1. Линейная алгебра

Тема 1.2. Системы линейных уравнений

Основные понятия и определения: общий вид системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) с 3-мя неизвестными. Совместные определенные, совместные неопределенные, несовместные СЛАУ. Решение СЛАУ методом обратной матрицы.

 

 

Система линейных алгебраических уравнений (сокращенно СЛАУ) из m  уравнений с n неизвестными имеет вид

(6)  

Числа  являются коэффициентами при искомых неизвестных  в уравнениях системы. Первый индекс чисел  показывает, в каком уравнении это число находится, а второй − при каком по номеру неизвестном. Числа  стоят в правых частях системы.

Набор чисел  называется решением системы (6), если при подстановке этих чисел вместо неизвестных  в каждое уравнение (6) получается верное числовое равенство.

Система может иметь решения, а может не иметь. Если система имеет решения, то она может иметь только одно решение (т.е. только один набор ), а может иметь более одного решения. В зависимости от описанной ситуации системы делятся на совместные и несовместные, определенные и неопределенные.

Совместная система – имеет хотя бы одно решение. Совместные системы могут быть  определенными и неопределенными. Определенная система – имеет единственное решение. Неопределенная – имеет более одного решения. Специфика систем линейных уравнений вида (6) такова, что если эта система имеет более одного решения, то она имеет бесконечное число решений.

По системе (6) можно формально построить следующие матрицы (которые имеют свои названия):

  – матрица коэффициентов,  –  столбец неизвестных,     – столбец правых частей,   –  расширенная матрица системы. Матрица коэффициентов А называется также

основной матрицей системы (6).

С помощью этих матриц система (6) может быть записана в компактной матричной форме:

(7)                                                    .

В этом легко убедиться, расписав поэлементно произведение матриц в (7) − получим в точности систему (6). Поэтому задача решения системы (6) эквивалентна поиску неизвестной матрицы-столбца , удовлетворяющей матричному уравнению (7).

 


Случай, когда число уравнений совпадает с числом неизвестных (

m = n )

 

В этом важном частном случае система (6) принимает вид :

(8)  

Для поиска решения снова представим эту систему в матричной форме (см. (7)):

(8а)                                              ,

где матрица коэффициентов, столбец неизвестных и правых частей имеют вид

,  ,      .

Обозначим через  Δ  определитель матрицы коэффициентов А: . Этот определитель называется главным определителем системы (8). Допустим, что матрица А не вырождена, т.е. . В этом случае, как указывалось выше, существует обратная матрица . Умножив слева (порядок при умножении матриц важен!)  обе части матричного уравнения (8а) на , последовательно получим :      . Можно показать, что полученное таким образом решение является единственным. Таким образом, справедлива следующая

Теорема. Система (8) имеет единственное решение (т.е. является определенной системой) тогда и только тогда, когда определитель матрицы коэффициентов . В этом случае решение (8) может быть получено по формуле

(8б)                                              .

Отыскание решения системы по формуле (8б) носит название 

матричного метода решения систем. Он предполагает вычисление обратной матрицы для матрицы коэффициентов.

Пример.  Решить матричным методом систему  .

Решение. Матрица коэффициентов, столбец неизвестных и правых частей для этой системы имеют вид ,  ,      . Для матрицы А такого вида ранее (в параграфе «Обратная матрица») была построена обратная к ней . Поэтому по формуле (8б) последовательно получаем

==. Отсюда получаем следующее решение системы : ,  и .

Пример. Решить матричным методом систему  .

Решение. Матрица коэффициентов, столбец неизвестных и правых частей для этой системы имеют вид ,  ,      . Построим обратную матрицу  по формуле (5а), которая была выведена для матриц именно второго порядка. В нашем случае   ,    . Тогда  по формуле (8б) получаем: ==, а потому , .

Примеры решения систем линейных алгебраических уравнений матричным методом.

Рассмотрим матричный метод на примерах..

Пример.

Решите СЛАУ  матричным методом.

Решение.

Первое уравнение системы не содержит неизвестной переменной x2, второе – x1, третье – x3. То есть, коэффициенты перед этими неизвестными переменными равны нулю. Перепишем систему уравнений как . От такого вида проще перейти к матричной форме записи СЛАУ . Убедимся в том, что эта система уравнений может быть решена с помощью обратной матрицы. Другими словами, покажем что :

Построим обратную матрицу  с помощью матрицы из алгебраических дополнений:
 
тогда,

Осталось найти решение СЛАУ:

Рекомендуем выполнить проверку.

Ответ:

.

 

G При переходе от обычного вида системы линейных алгебраических уравнений к ее матричной форме следует быть внимательным с порядком следования неизвестных переменных в уравнениях системы. К примеру, СЛАУ  НЕЛЬЗЯ записать как . Нужно сначала упорядочить все неизвестные переменные во всех уравнениях системы, а потом переходить к матричной записи:
 
или 

Также будьте внимательны с обозначением неизвестных переменных, вместо 

x1, x2, …, xn могут быть любые другие буквы. Например, СЛАУ  в матричной форме запишется как .

 

Пример.

Найдите решение системы линейных алгебраических уравнений  с помощью обратной матрицы.

 

 

 

Решение.

Упорядочив неизвестные переменные в уравнениях системы, запишем ее в матичной форме . Вычислим определитель основной матрицы:

Он отличен от нуля, поэтому решение системы уравнений может быть найдено с помощью обратной матрицы как . Найдем обратную матрицу по формуле :

Получим искомое решение:

Ответ:

x = 0, y = -2, z = 3.

 

Пример.

 

Найдите решение системы линейных алгебраических уравнений матричным методом.

 

 

 

Решение.

Определитель основной матрицы системы равен нулю
 
поэтому, мы не можем применить матричный метод.

 

Пример:

 

Решить систему линейных уравнений матричным методом

:

 

Решение:

 Обозначим: А =  — матрица коэффициентов при неизвестных,

Х =  — матрица неизвестных, В = — матрица свободных членов.

 

Прежде всего, найдем матрицу А-1, обратную матрице А.

Определитель основной матрицы системы:

.

Алгебраические дополнения всех элементов:

Отсюда

Тогда

Х = = ,

 

 и, следовательно х1=2; х2=3; х3=-2.

 

 

Пример

Решить систему линейных алгебраических уравнений.

Решение.

1) Запишем систему трех линейных уравнений в матричной форме

Найдем обратную матрицу. Напомним, что

где  — определитель матрицы  , а  — транспонированная матрица алгебраических дополнений элементов   определителя матрицы.

Вычислим определитель матрицы

 

Матрица алгебраических дополнений   состоит из элементов , которые вычисляются через миноры по правилу

Миноры  — это определители на порядок меньшие от определителя , которые образуются вычеркиванием в нем  -й строки и   — го столбца. На первый взгляд звучит слишком запутано, но при вычислениях все станет понятно и просто.

Найдем алгебраические дополнения к определителю

Запишем найденную матрицу алгебраических дополнений

и протранспонируем ее

Находим обратную матрицу

С помощью обратной матрицы находим решение системы линейных уравнений

 

 


Домашнее задание

 

1)    Л4, стр. 81-85, № 68; 70 (Лисичкин В.Т., Соловейчик И.Л.)

 

№68. Решить матричным методом систему

 

  .

 

 

№70. Решить матричным методом систему

 


Занятие №6  (Лисичкин В.Т., Соловейчик И.Л. Математика)

Раздел 1. Линейная алгебра

Тема 1.2. Системы линейных уравнений

Применение формул Крамера к решению СЛАУ.

 

Решение систем линейных уравнений методом Крамера

Метод Крамера состоит в том, что мы последовательно находим главный определитель D матрицы коэффициентов A системы (8) и n вспомогательных определителей D i (i =1, 2, …, n), которые получаются из определителя D  заменой i-го столбца столбцом правых частей.

Правило Крамера формулируется следующим образом.

1.

  Если главный определитель , то система (8) имеет единственное решение, которое может быть вычислено по следующим формулам Крамера:

x 1 = D1 / D ,  x 2 = D 2 / D, … ,   x n= D n / D  .

2.  Если главный определитель , а хотя бы один из определителей  D1 , D 2 , … , D n  не равен нулю, то система (8) не имеет решений (т.е. несовместна).

3.  Если   D = D1 = D 2 = … = D n  = 0,  то система (8) является неопределенной, причем имеет бесконечно много решений.

Пример. Решить систему    методом Крамера.

Решение. Заметим, что раньше эта система уже была решена матричным методом. Матрица коэффициентов  и столбец правых частей для этой системы имеют вид  ,    . Находим главный определитель :   .  Он не равен нулю, поэтому система имеет единственное решение, которое найдем по формулам Крамера: x=D1/D ,
y=D 2 /D, z=D 3 /D  . Определители  D1 , D 2  и D 3 получаются из главного определителя заменой соответствующего столбца на столбец правых частей: , , . Тогда по формулам Крамера : x=1 , y=0, z=1.

Пример 1. Решить методом Крамера систему  .

Решение. Эта система тоже была выше решена матричным методом. Матрица коэффициентов и столбец правых частей для этой системы имеют вид ,     . Главный определитель системы  . Определители , . По формулам Крамера x=D1/D ,
y=D 2 /D, а потому , .

Пример 2. Решить систему линейных алгебраических уравнений.

Решение.

Для этого выпишем систему линейных уравнений в виде

Найдем определитель основной части

Для вычисления вспомогательных определителей ставим столбец свободных членов на место первой строки для  и на место второй для . В результате получим

Подставим найденные значения в формулы Крамера

и найдем неизвестные

Из рассмотренного примера видим что вычисление при двух уравнениях с двумя неизвестными достаточно простые.

 

Пример 3. Найти решение системы уравнений:

D = = 5(4 – 9) + (2 – 12) – (3 – 8) = -25 – 10 + 5 = -30;

D1 =  = (28 – 48) – (42 – 32) = -20 – 10 = -30.

x1 =  = 1;

D2 =  = 5(28 – 48) – (16 – 56) = -100 + 40 = -60.

x2 =  = 2;

D3 =  = 5( 32 – 42) + (16 – 56) = -50 – 40 = -90.

x3 =  = 3.

 

Пример 4.

Решить систему уравнений методом Крамера

Решение: 

Составим и вычислим сначала главный определитель этой системы: 

Так как , то система имеет единственное решение, которое можно найти по правилу Крамера:

где  получаются из определителя  путем замены 1-го, 2-го или 3-го столбца, соответственно, на столбец свободных членов.

Таким образом:

Итак,  — единственное решение.

 

Пример 5

Решение.

Запишем систему трех алгебраических уравнений в удобном для решения виде

Найдем детерминант системы по правилу треугольников

 

Для вычисления дополнительных определителей подставляем столбец свободных членов на место первого, второго и третьего столбцов. В результате получим

Вычисляем неизвестные за формулами Крамера

  

Для данного примера нахождения решения также не слишком сложно, хотя по сравнению с системой двух уравнений вычислений заметно прибавилось.

 

Пример 6. Решить систему уравнений методом Крамера

Решение: 

Составим главный определитель этой системы: 

Используя свойства определителя, создадим в первом столбце нули. Для этого

·                                 Вторую и третью строку оставим без изменеий, 

·                                 Умножим вторую строку на -2 и добавим к первой

·                                 Умножим вторую строку на -1 и добавим к четвертой

После этих преобразований значение определителя не изменится, но он наберет следующий вид

Теперь, воспользовавшись определением определителя и разложив его по элементам четвертого столбца, получим:

 

Итак, главный определитель системы уравнений отличен от нуля. По правилу Крамера такая система имеет единственное решение. Найдем его. Для этого создадим и вычислим еще четыре определители:

  

По правилу Крамера имеем решение:

Итак,  — единственное решение.

 


Пример 7

 

Решение.

Записываем систему уравнений четвертого порядка в виде

Находим главный определитель системы. При вычислении детерминантов четвертого порядка их необходимо раскладывать за строками или столбцами у каторых больше всего нулей. Поскольку в данном случае нулей главный определитель не имеет то разложим его за первой строкой

и найдем соответствующие определители третьего порядка

 

Подставим найденные значения в определитель

По такой же схеме вычисляем вспомогательные определители, напомню лишь, что они образуются заменой столбца в главном определителе на столбец свободных членов (обозначен черным цветом).

Подставив в формулы Крамера, после вычислений будем иметь


 

Домашнее задание

 

2)    Л4, стр. 81-89, № 77; 80 (Лисичкин В.Т., Соловейчик И.Л.)

 

№77. Решить по формулам Крамера систему уравнений

 

  .

 

 

№80. Решить по формулам Крамера систему уравнений

 

 


Занятие №7  (Лисичкин В.Т., Соловейчик И.Л. Математика)

Раздел 1. Линейная алгебра

Тема 1.2. Системы линейных уравнений

Решение СЛАУ методом Гаусса.

 

Решение систем линейных уравнений методом Гаусса

         Элементарными преобразованиями строк матрицы называются следующие :

·        перестановка местами каких-либо двух строк матрицы;

·        умножение какой-либо строки матрицы на любое (не равное нулю) число;

·        прибавление к элементам какой-либо строки матрицы соответствующих элементов другой строки, предварительно умноженных на одно и то же число.

 

 

Метод Гаусса состоит в приведении системы к равносильной системе ступенчатого вида (так называемы прямой ход метода Гаусса) и решении полученной системы (обратных ход метода Гаусса).

Пример 1.   Решить методом Гаусса систему    .

Решение. Прямой ход метода Гаусса заключается в приведении этой системы с помощью ее элементарных преобразований к ступенчатому виду.

Расширенная матрица системы имеет вид  .

Приведем сначала к ступенчатой матрице, используя элементарные преобразования строк.

~~~.

Получили ступенчатую матрицу. Суть преобразований отмечена под матрицами. Например, (2) − (1) означает: из элементов второй строки вычтем элементы первой; (3) − 2∙(1) : из элементов третьей строки вычтем элементы первой, умноженные на 2. Таким образом, прямой ход метода Гаусса приводит к следующей системе ступенчатого вида:  .

. Совершим обратный ход метода Гаусса − решим эту систему. Из последнего уравнения получаем z = −2. Подставляя это значение z во второе уравнение системы, получим  y − 2 = −4, откуда y = 2.  Подставляя z = −2 и y = 2 в первое уравнение, получаем x + 6 − 4 = 5, откуда x = 3. Таким образом, решение исходной системы: x = 3, y = 2, z = −2.

Пример 2.    Решить методом Гаусса систему        .

Рассмотрим расширенную матрицу системы и приведем ее к ступенчатому виду. Иногда для наглядности последний столбец расширенной матрицы (это добавленный к основной матрице столбец правых частей системы) отделяют вертикальной чертой. Прямой ход метода Гаусса:
~~~~ .

По последней матрице запишем систему линейных уравнений и проведем обратный ход:

   Þ      Þ      Þ   .

Пример 3.   

 Решить системы линейных уравнений методом Гаусса:

Решение.

 Преобразуем расширенную матрицу системы

~~

Таким образом, получаем систему линейных уравнений

                                                                                                

Ответ: (1, 2, 3)

 

 

 

 

       Пример 4. Методом Гаусса решить систему уравнений:

 

х1 + 2х2 – х3 = 7

1 – 3х2 + х3 = 3

1 + х2 – х3 = 16.

 

Решение. Преобразуем расширенную матрицу системы

 

1       2       -1         7                1     2    -1         7                1     2    -1         7

2     -3         1         3        ~      0     -7     3       -11      ~       0     -7    3       -11     .

4       1       -1         16             0     -7     3       -12              0      0     0       -1

 

Итак, уравнение, соответствующее третьей строке последней матрицы, противоречиво – оно привелось к неверному равенству 0 = -1, следовательно, данная система несовместна, то есть не имеет решений.  

 

Пример 5.   

 

 Решить системы линейных уравнений методом Гаусса:

 

 

 

Решение.

Преобразуем расширенную матрицу системы

~~


Итак, уравнение, соответствующее третьей строке последней матрицы, противоречиво – оно привелось к неверному равенству 0 = -17, следовательно, данная система несовместна, то есть не имеет решений.

   

Пример 6.   

 Решить системы линейных уравнений методом Гаусса:

Решение.

Преобразуем расширенную матрицу системы

~~~

~~~.

Таким образом, получаем систему линейных уравнений

Ответ: (1, -1, 2, 0)

Домашнее задание

 

3)    Л3, стр. 103-108 (Пехлецкий И.Д.)

4)    Л4, стр. 89-91, № 85; 89 (Лисичкин В.Т., Соловейчик И.Л.)

 

№85. Решить методом Гаусса систему       .

 

 

№89. Решить методом Гаусса систему      

 

 

 

Калькулятор обратной матрицы с шагами, формулой и решением

Введение в калькулятор обратной матрицы

Калькулятор обратной матрицы используется для вычисления обратной матрицы. Он использует метод исключения Гаусса, чтобы преобразовать единичную матрицу в обратную матрицу. Полезно найти обратную матрицу более высокого порядка. Он умножает данную матрицу на обратную, чтобы сформировать мультипликативное тождество.

В математике понятие матрицы используется для оценки многих задач и поиска уникальных решений. К матрицам применяются некоторые математические операции, но с увеличением порядка матрицы увеличивается вероятность ошибок. Вот почему мы представляем онлайн-инструмент, который может быстро вычислять инверсии. 9{-1} \;=\; \ гидроразрыв {Прил. \; А}{А} $$

Где

|А| = модуль А.

Adj A = является сопряженным с A.

  • Метод исключения Гаусса используется для нахождения обратной матрицы более высокого порядка. Данная матрица сводится к единичной матрице, и те же операции применяются к единичной матрице. Полученная матрица будет обратной матрицей.
  • Как найти обратную матрицу?

    Вы можете легко вычислить обратную величину любого матричного уравнения с помощью этого бесплатного калькулятора обратной матрицы. Чтобы использовать этот инструмент, выполните следующие действия:

    1. На первом шаге необходимо ввести количество строк и столбцов матрицы.
    2. Теперь введите все элементы матрицы A.
    3. Или вы можете использовать опцию случайного расчета для выбора случайного примера.
    4. Нажмите кнопку расчета, чтобы начать расчет обратной матрицы.

    Вы получите обратное значение через несколько секунд после нажатия на кнопку расчета.

    Зачем использовать Калькулятор обратной матрицы с шагами?

    Использование математических инструментов для решения математических задач разумнее, чем решение вручную. Многие инструменты доступны в Интернете, которые могут вам помочь. Матричный калькулятор является одним из таких инструментов. Он дает подробное решение любой задачи, связанной с обратной матрицей.

    В математике при вычислении обратной матрицы вы должны использовать сокращенную ступенчатую форму матрицы. Метод редуцированного эшелона сложен и длителен. Вы можете застрять посередине из-за того, что процедура занимает много времени. Таким образом, было бы полезно, если бы вы использовали решатель обратной матрицы.

    Преимущества использования калькулятора обратных матриц 4×4

    Обратная матрица широко применяется в математике и других областях науки для нахождения обратных матриц 2×2, 3×3 и 4×4. Инструмент обратной матрицы может быть полезен в этих приложениях из-за его точных решений. Есть некоторые преимущества использования этого инструмента; это:

    1. Это дает результаты быстрее, чтобы сэкономить ваше время.
    2. Предоставляет кнопку случайного выбора, которая может помочь вам попрактиковаться со случайными примерами.
    3. Вы можете использовать калькулятор обратной матрицы для решения многих задач по математике и естественным наукам.
    4. Предоставляет пошаговое решение и объясняет каждый шаг. Это означает, что учащимся может быть полезно понять концепцию.
    5. Калькулятор обратной матрицы — бесплатный онлайн-инструмент; вам не нужно платить никакой платы.
    6. Этот инструмент надежен, поскольку дает точные решения.

    Хамза Харун

    Последнее обновление 05 апреля 2022 г.

    Я автор и создатель контента. Мне нравится писать контент на разные темы. Помимо писательства, я SEO-ASO-SMM специалист и любитель футбола.

    Определить, является ли матрица обратимой Калькулятор

    Инструкции: Используйте этот калькулятор обратимой матрицы, чтобы определить, является ли данная матрица обратимой, показывая все шаги. Первый, нажмите на одну из кнопок ниже, чтобы указать размер матрицы, которую вы хотите оценить обратимость.

    Затем нажмите на первую ячейку и введите значение, и перемещайтесь по матрице, нажимая «TAB» или щелкая соответствующие ячейки, чтобы определить ВСЕ значения матрицы.

    Одним из центральных элементов линейной алгебры является понятие матрицы. Матрицы — это массивы чисел, организованные в строки и столбцы.

    Операции с матрицами можно определить интуитивно, особенно когда вы суммируете или вычитаете матрицы, что в конечном итоге все, что вы делаете, это добавляете и вычитаете компонент за компонентом.

    Идея умножения матриц немного менее понятна для неспециалистов. начато, но вы должны мне поверить, есть веские причины, по которым матричное умножение определено именно так.

    Для чего вы используете обратную матрицу?

    • Когда матрица обратима, вы можете вычислить ее обратную
    • Вы можете использовать инверсию, чтобы свободно перемещать матрицу «на другую сторону уравнения»
    • Позволяет просто решить систему уравнений, найдя обратную матрицу

    Что такое обратная матрица?

    Квадратные матрицы (то есть матрицы, имеющие одинаковое количество строк и столбцов) могут быть обратимыми или нет.

    Для матрицы \(A\) обратимость означает, что существует другая матрица \(B\) такая, что произведение \(A\) и \(B\) равно единичной матрице ( специальная матрица с единицами по диагонали и нулями вне диагонали).

    Почему вас должно интересовать, обратима матрица или нет, спросите вы? Хороший вопрос. Когда матрица обратима, мы можем «передать матрицу на другую сторону», точно так же, как в простом уравнении с числами.

    В этом случае вы можете найти обратную матрицу и «передать» обратную матрицу на другую сторону уравнения 9{-1}\) — обратная матрица A, в предположении, что она существуют.

    Когда матрица обратима?

    Существует множество способов определить, является ли матрица обратимой. Вы можете применять различные «тесты», чтобы определить, матрица обратима или нет. Выбранный вами тест иногда будет зависеть от структуры матрицы.

    Один из часто используемых тестов для оценки того, является ли матрица обратимой, состоит в том, чтобы сначала вычислить определитель матрицы. Если определитель отличен от нуля, то матрица обратима. Но тогда, если это равен нулю, то матрица НЕобратима. Довольно просто, да?

    Является ли матрица обратимой 3×3? Как узнать

    Во-первых, поскольку 3×3 является квадратной матрицей, она является кандидатом на проверку ее обратимости (неквадратные матрицы отбрасываются). сразу)

    Все ли матрицы 2×2 обратимы?

    Вовсе нет. Существует множество необратимых матриц 2×2. Например, матрица

    \[ A = \begin{bmatrix} 1 и 1 \\ 2 и 2 \end{bmatrix}\]

    — это простой пример необратимой матрицы 2×2.

    Как узнать, обратима ли матрица без определителя?

    Как мы уже говорили ранее, существует множество тестов для оценки того, является ли матрица обратимой, и не все методы используют определитель

    Один из способов сделать это использовать Метод Гаусса (с использованием операции элементарных матриц) для преобразования матрицы в строчно-эшелонную форму, и как только это будет сделано, вы посмотрите на диагональ строчно-ступенчатая форма: если все диагонали отличны от нуля, то матрица обратима, и если ЛЮБОЙ элемент на диагонали ступенчатая форма равна нулю, то матрица необратима.

    Пример: обратимость матрицы

    Вопрос: Предположим, что у вас есть следующая матрица:

    \[ \begin{bmatrix}2&1&2\\1&4&1\\2&1&3\end{bmatrix}\]

    Решение: Нам нужно определить, является ли предоставленная матрица \(3 \times 3\) обратимый или нет.

    Шаг 1: Используемый метод

    Существует несколько методов определения того, является ли матрица обратимой или нет. Метод, который мы будем использовать в этом случае, метод определителя.

    Проще говоря, мы вычислим определитель, и если определитель отличен от нуля, то матрица обратима, но он равен нулю, то матрица необратима.

    Этап 2: Расчет определителя

    Используя формулу субдетерминанта, получаем:

    \[ \begin{vmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 1&\displaystyle 2\\[0.

    Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *