Решение метод ньютона онлайн – Решение уравнений методом Ньютона онлайн

Решение уравнений методом Ньютона онлайн

Вы ввели следующие уравнение
Введенное выражение
Решение заданного уравнения имеет следующее значение

Решение произвольных уравнений

Теперь сервис позволяет считать численные вещественные корни уравнений, которые возникают при решении подобных задач

Этот сервис  позволяет ученикам/студентам сосредоточится на понимании задачи, а не умножении, делении, сокращении и упрощении полученной формулы, что конечно же важно, но не настолько что бы в угоду математическим формулам, ученики/студенты теряли смысл решения задачи.

Синтаксис

Jabber:  root <выражение>

WEB:  <выражение>

Выражением может быть любая формула выраженная языком PHP

Система решает уравнения только с одной переменной  и эта переменная обозначается как x (в английской раскладке)

Примеры

Длина детской площадки прямоугольной формы на 5 м больше её ширины. Длину площадки увеличили на 2 м, а ширину - на 5 м, при этом её площадь увеличилась на 280 м2. Найдите площадь новой детской площадки.

Решение выражается уравнением   

Пишем root (x+5)*(x+5+2)-x*(x+5)-280

Получаем ответ 35 - это ширина, а соответственно 40 это длина


Решение уравнения x*x-11=0

пишите root x*x-11 и получите 3.3166247903554

Функции PHP

  • acos — Арккосинус
  • acosh — Гиперболический арккосинус
  • asin — Арксинус
  • asinh — Гиперболический арксинус
  • atan — Арктангенс
  • atanh — Гиперболический арктангенс
  • cos — Косинус

  • cosh — Гиперболический косинус
  • exp — Вычисляет число e в степени
  • log10 — Десятичный логарифм
  • log — Натуральный логарифм
  • pi — Возвращает число Пи
  • pow — Возведение в степень
  • sin — Синус
  • sinh — Гиперболический синус
  • sqrt — Квадратный корень
  • tan — Тангенс
  • tanh — Гиперболический тангенс

 

 

  • Свойства определителя матрицы (Property determinant) >>

abakbot.ru

Решить систему нелинейных уравнений онлайн

Применение уравнений широко распространено в нашей жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Уравнения человек использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. Нелинейное уравнение представляет собой алгебраическое и трансцендентное уравнение, содержащее одно неизвестное.

Система нелинейных уравнений имеет следующий вид:

\[\left\{\begin{matrix} f (x,y) = 0\\ g(x,y)=0 \end{matrix}\right.\]

Для решения линейных уравнений используют следующие методы:

* разложение на множители;

* исключение переменных;

* алгебраическое сложение;

* замена переменных;

* системы однородных уравнений;

* метод введения новых переменных;

* графический метод.

Выбор метода напрямую зависит от задания.

Так же читайте нашу статью "Решить систему рациональных уравнений онлайн"

Допустим, нам дано уравнение следующего вида:

\[\left\{\begin{matrix} x + y - 8 =0\\ x^2 + y^2 -82 = 0 \end{matrix}\right.\]

Решение нелинейной системы уравнений стоит начать с выражения у через х в первом уравнении. После необходимо подставить полученное выражение во 2 уравнение:

\[\left\{\begin{matrix} y =8-x\\ x^2-y^2-82 =0 \end{matrix}\right.\]

\[\left\{\begin{matrix} y=8-x\\ x^2+(8-x)^2-82=0 \end{matrix}\right.\]

\[\left\{\begin{matrix} y = 8 -x\\ x^2 -8x - 9=0 \end{matrix}\right.\]

Далее необходимо решить следующее уравнение из системы:

\[x_2 - 8x - 9 = 0 \]

Для этого необходимо найти его корни:

\[x_1 = - 1 , x_2 = 9\]

Основываясь на этих данных, получаем:

\[y+1 = 8 - x_1 = 9 , y_2 = 8 - x_2 = - 1\]

В конечном результате решение системы выглядит следующим образом:

\[\left\{\begin{matrix} x_1 = -1\\ y_1 = 9 \end{matrix}\right.\]

\[\left\{\begin{matrix} x_2 =9\\ y_2 = - 1 \end{matrix}\right.\]

Запишем ответ в таком формате: \[(- 1; 9) , (9; - 1)\]

Где можно решить систему нелинейных уравнений онлайн?

Решить уравнение вы можете на нашем сайте https://pocketteacher.ru. Бесплатный онлайн решатель позволит решить уравнение онлайн любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать - это просто вdести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как решить уравнение на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в нашей групе Вконтакте http://vk.com/pocketteacher. Вступайте в нашу группу, мы всегда рады помочь вам.

www.pocketteacher.ru

Решение уравнений методом Ньютона онлайн

Вы ввели следующие уравнение
Введенное выражение
Решение заданного уравнения имеет следующее значение

Решение произвольных уравнений

Теперь сервис позволяет считать численные вещественные корни уравнений, которые возникают при решении подобных задач

Этот сервис  позволяет ученикам/студентам сосредоточится на понимании задачи, а не умножении, делении, сокращении и упрощении полученной формулы, что конечно же важно, но не настолько что бы в угоду математическим формулам, ученики/студенты теряли смысл решения задачи.

Синтаксис

Jabber:  root <выражение>

WEB:  <выражение>

Выражением может быть любая формула выраженная языком PHP

Система решает уравнения только с одной переменной  и эта переменная обозначается как x (в английской раскладке)

Примеры

Длина детской площадки прямоугольной формы на 5 м больше её ширины. Длину площадки увеличили на 2 м, а ширину - на 5 м, при этом её площадь увеличилась на 280 м2. Найдите площадь новой детской площадки.

Решение выражается уравнением   

Пишем root (x+5)*(x+5+2)-x*(x+5)-280

Получаем ответ 35 - это ширина, а соответственно 40 это длина


Решение уравнения x*x-11=0

пишите root x*x-11 и получите 3.3166247903554

Функции PHP

  • acos — Арккосинус
  • acosh — Гиперболический арккосинус
  • asin — Арксинус
  • asinh — Гиперболический арксинус
  • atan — Арктангенс
  • atanh — Гиперболический арктангенс
  • cos — Косинус

  • cosh — Гиперболический косинус
  • exp — Вычисляет число e в степени
  • log10 — Десятичный логарифм
  • log — Натуральный логарифм
  • pi — Возвращает число Пи
  • pow — Возведение в степень
  • sin — Синус
  • sinh — Гиперболический синус
  • sqrt — Квадратный корень
  • tan — Тангенс
  • tanh — Гиперболический тангенс

 

 

abakbot.ru

Идея метода заключается в линеаризации уравнений системы (5.1), что позволяет свести исходную задачу решения СНУ к многократному решению системы линейных уравнений.

Рассмотрим, как были получены расчетные зависимости метода.

Пусть известно приближение xi(k) решения системы нелинейных уравнений xi*. Введем в рассмотрение поправку Dxi как разницу между решением и его приближением:

,

Подставим полученное выражение для xi* в исходную систему.

Неизвестными в этой системе нелинейных уравнений являются поправки Dxi. Для определения Dxi нужно решить эту систему. Но решить эту задачу так же сложно, как и исходную. Однако эту систему можно

Линеаризовать, и, решив ее, получить Приближенные значения поправок Dxi для данного приближения, т. е. Dxi(k). Эти поправки не позволяют сразу получить точное решение , но дают возможность приблизиться к решению, – получить новое приближение решения

, (5.14)

Для линеаризации системы следует разложить функцию fi в ряды Тейлора в окрестности xi(k), ограничиваясь первыми дифференциалами.

Полученная система имеет вид:

, (5.15)

Все коэффициенты этого уравнения можно вычислить, используя последнее приближение решения xi(k). Для решения системы линейных уравнений (5.15) при n=2,3 можно использовать формулы Крамера, при большей размерности системы n – метод исключения Гаусса.

Значения поправок используются для оценки достигнутой точности решения. Если максимальная по абсолютной величине поправка меньше заданной точности e, расчет завершается. Таким образом, условие окончания расчета:

δ =

Можно использовать и среднее значение модулей поправок:

В матричной форме систему (5.15 ) можно записать как:

(5.16)

Где:

, - матрица Якоби (производных),

- вектор поправок

- вектор-функция

W(X(k)) – матрица Якоби, вычисленная для очередного приближения.

F(X(k)) – вектор-функция, вычисленная для очередного приближения.

Выразим вектор поправок ∆X(k) из (5.16):

Где W-1 – матрица, обратная матрице Якоби.

Окончательно формула последовательных приближений метода Ньютона решения СНУ в матричной форме имеет вид:

(5.17)

Достаточные условия сходимости для общего случая имеют очень сложный вид, и на практике проверяются редко. Нужно отметить, что метод сходится очень быстро (за 3 – 5 итераций), если det|W| ¹ 0 и начальное приближение X(0) выбрано близким к решению (отличаются не более чем на 10%).

Алгоритм решения СНУ методом Ньютона состоит в следующем:

1. Задается размерность системы n, требуемая точность ε, начальное приближенное решение X = (xi)n.

2. Вычисляются элементы матрицы Якоби W = (¶¦i ¤ ¶xj)n, n.

3. Вычисляется обратная матрица W-1.

4. Вычисляется вектор функция F=(fi)n, , .

5. Вычисляются вектор поправок

6. Уточняется решение

7. Оценивается достигнутая точность δ= или

8. Проверяется условие завершения итерационного процесса

δ≤ε

Если оно не соблюдается, алгоритм исполняется снова с пункта 2.

Для уменьшения количества арифметических действий Рафсон предложил не вычислять обратную матрицу W-1, а вычислять поправки как решение СЛУ (5.15)

Схема алгоритма метода Ньютона - Рафсона представлена на рис.5.2. При разработке схемы учтена необходимость защиты итерационного цикла от зацикливания: введен счетчик итераций k и ограничение на число итераций kmax (на практике не более 100).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис 5.5. Схема алгоритма решения СНУ методом Ньютона – Рафсона.

Достоинством методов Ньютона является быстрая сходимость, недостатками - сложность расчетов (вычисление производных, многократное решение системы линейных уравнений), сильная зависимость от начального приближения.

Пример 5.3. Требуется методом Ньютона-Рафсона уточнить одно из решений системы

x12+x22=1

Ln x1+2x2= –1

Заданная точность ε=0,001. Решения отделены ранее (пример 5.1)

Запишем уравнения в стандартном виде:

Начальное приближение Х(0)=(0,9;-0,4).

Первая итерация.

Элементы матрицы Якоби W=(wi, j)2,2

W1,1=

W1,2=

W2,1=

W2,2=

Значение функций

F1(0,9;-0,4) = 0,92 + 0,42 – 1 = 0,81+ 0,16 – 1 = -0,03

F2(0,9;-0,4) = ln(0,9) + 2*(-0,4) + 1 = -0,1054 + 0,2 + 1 = 0,0946

Для вычисления поправок нужно решить систему

1,8×∆x1 - 0,8×Dx2= -(-0,03)

1,1111×∆x1 + 2×∆x2= –0,0946

По формулам Крамера

DetW≠0 – система обусловлена.

Первое приближение решения

Х1 = х1 + ∆х1 = 0,9+(-0,0035) = 0,8965

Х2 = х2 + ∆х2 = -0,4 + (-0,0454) = -0,4454

Оценка достигнутой точности

Нужно продолжить итерационный процесс т. к. δ>ε.

После второй итерации требуемая точность достигается, х1=0,8995 х2=-0,4449, d » 0,001.

< Предыдущая   Следующая >

matica.org.ua

Моделирование в электроэнергетике - Численные методы решения нелинейных уравнений. Метод Ньютона для решения уравнений с одной переменной

Численные методы решения нелинейных уравнений. Метод Ньютона для решения уравнений с одной переменной

Метод Ньютона (также известный как метод касательных) — это итерационный численный метод нахождения корня (нуля) заданной функции. Метод был впервые предложен английским физиком, математиком и астрономом Исааком Ньютоном (1643-1727), под именем которого и обрёл свою известность.

Метод был описан Исааком Ньютоном в рукописи De analysi per aequationes numero terminorum infinitas(лат.Об анализе уравнениями бесконечных рядов), адресованной в 1669 году Барроу, и в работе De metodisfluxionum et serierum infinitarum (лат.Метод флюксий и бесконечные ряды) или Geometria analytica(лат.Аналитическая геометрия) в собраниях трудов Ньютона, которая была написана в 1671 году. Однако описание метода существенно отличалось от его нынешнего изложения: Ньютон применял свой метод исключительно к полиномам. Он вычислял не последовательные приближения xn, а последовательность полиномов и в результате получал приближённое решение x.

Впервые метод был опубликован в трактате Алгебра Джона Валлиса в 1685 году, по просьбе которого он был кратко описан самим Ньютоном. В 1690 году Джозеф Рафсон опубликовал упрощённое описание в работеAnalysis aequationum universalis (лат. Общий анализ уравнений). Рафсон рассматривал метод Ньютона как чисто алгебраический и ограничил его применение полиномами, однако при этом он описал метод на основе последовательных приближений x

n вместо более трудной для понимания последовательности полиномов, использованной Ньютоном.

Наконец, в 1740 году метод Ньютона был описан Томасом Симпсоном как итеративный метод первого порядка решения нелинейных уравнений с использованием производной в том виде, в котором он излагается здесь. В той же публикации Симпсон обобщил метод на случай системы из двух уравнений и отметил, что метод Ньютона также может быть применён для решения задач оптимизации путём нахождения нуля производной или градиента.

В соответствии с данным методом задача поиска корня функции сводится к задаче поиска точки пересечения с осью абсцисс касательной, построенной к графику функции .

Рис.1. График изменение функции

Проведенная в любой точке касательная линия к графику функции определяется производной данной функции в рассматриваемой точке, которая в свою очередь определяется тангенсом угла α (). Точка пересечения касательной с осью абсцисс определяется исходя из следующего соотношения в прямоугольном треугольнике: тангенс угла  в прямоугольном треугольнике определяется отношением противолежащего катета к прилежащему катету треугольнику. Таким образом, на каждом шаге строится касательная к графику функции в точке очередного приближения .Точка пересечения касательной с осью Ox будет являться следующей точкой приближения  .  В соответствии с рассматриваемым методом расчет приближенного значения корня на i-итерации производится по формуле: 

Наклон прямой подстраивается на каждом шаге наилучшим образом, однако следует обратить внимание на то, что алгоритм не учитывает кривизну графика и следовательно в процессе расчета остается неизвестно в какую сторону может отклониться график.

Условием окончания итерационного процесса является выполнение следующего условия:

,

где  ˗ допустимая погрешность определения корня.

Метод обладает квадратичной сходимостью. Квадратичная скорость сходимость означает, что число верных знаков в приближённом значении удваивается с каждой итерацией.

Математическое обоснование

Пусть дана вещественная функция , которая  определена и непрерывна на рассматриваемом участке. Необходимо найти вещественный корень  рассматриваемой функции.

Вывод уравнения основано на методе простых итераций, в соответствии с которым уравнение  приводят к эквивалентному уравнению  при любой функции . Введем понятие сжимающего отображения, которое определяется соотношением .

Для наилучшей сходимости метода в точке очередного приближения должно выполняться условие . Данное требование означает, что корень функции  должен соответствовать экстремуму функции .

Производная сжимающего отображения определяется в следующем виде:

Выразим из данного выражение переменную при условии принятого ранее утверждения о том, что при  необходимо обеспечить условие . В результате получим выражение для определения переменной :

С учетом этого сжимающая функция прием следующий вид:

Таким образом, алгоритм нахождения численного решения уравнения  сводится к итерационной процедуре вычисления:

Алгоритм нахождения корня нелинейного уравнения по методу Ньютона для уравнения с одной переменной

1. Задать начальную точку приближенного значения корня функции , а также погрешность расчета (малое положительное число  ) и начальный шаг итерации ().

2. Выполнить расчет приближенного значения корня функции в соответствии с формулой:

3. Проверяем приближенное значение корня на предмет заданной точности, в случае: 

- если разность двух последовательных приближений станет меньше заданной точности , то итерационный процесс заканчивается.

- если разность двух последовательных приближений не достигает необходимой точности , то необходимо продолжить итерационный процесс  и перейти к п.2 рассматриваемого алгоритма.

Пример решения уравнений

по методу Ньютона для уравнения с одной переменной

В качестве примера, рассмотрим решение нелинейного уравнения   методом Ньютона для уравнения с одной переменной. Корень необходимо найти с точностью   в качестве первого приближения .

Вариант решения нелинейного уравнения в программном комплексе MathCADпредставлен на рисунке 3.

Результаты расчетов, а именно динамика изменения приближенного значения корня, а также погрешности расчета от шага итерации представлены в графической форме (см. рис.2).

Рис.2. Результаты расчета по методу Ньютона для уравнения с одной переменной

Для обеспечения заданной точности  при поиске приближенного значения корня уравнения в диапазоне  необходимо выполнить 4 итерации. На последнем шаге итерации приближенное значение корня нелинейного уравнения будет определяться значением: .

Рис.3. Листинг программы в MathCad

Модификации метода Ньютона для уравнения с одной переменной

Существует несколько модификаций метода Ньютона, которые направлены на упрощение вычислительного процесса.

Упрощенный метод Ньютона

В соответствии с методом Ньютона требуется вычислять производную функции f(x) на каждом шаге итерации, что ведет к увеличению вычислительных затрат. Для уменьшения затрат, связанных с вычислением производной на каждом шаге расчета, можно произвести замену производной f’(xn) в точке xn в формуле на производную f’(x0) в точке x0. В соответствии с данным методом расчета приближенное значение корня определяется по следующей формуле:

Таким образом, на каждом шаге расчета строятся прямые, которые параллельны касательной к кривой y=f(x) в точке B0 (см. рис.4). Преимуществом данного метода является то, что производная функции вычисляется один раз.

 
Рис.4. Модифицированный метод Ньютона

Разностный метод Ньютона

В соответствии с методом Ньютона требуется вычислять производную функции f(x) на каждом шаге итерации, что не всегда удобно, а иногда практически невозможно. Данный способ позволяет производную функции  заменить разностным отношением (приближенным значением):

В результате приближенное значение корня функции f(x) будет определяться выражением разностного метода Ньютона:

 

Двух шаговый метод Ньютона

В соответствии с методом Ньютона требуется вычислять производную функции f(x) на каждом шаге итерации, что не всегда удобно, а иногда практически невозможно. Данный способ позволяет производную функции  заменить разностным отношением (приближенным значением):

В результате приближенное значение корня функции f(x) будет определяться следующим выражением:

где

 

Рис.5. Двух шаговый метод Ньютона

Метод секущих является двух шаговым, то есть новое приближение определяется двумя предыдущими итерациями  и . В методе необходимо задавать два начальных приближения  и . Скорость сходимости метода будет линейной.

Для того, чтобы добавить Ваш комментарий к статье, пожалуйста, зарегистрируйтесь на сайте.

simenergy.ru

3.2.2. Метод Ньютона (касательных) | Решение задач по математике и другим

Постановка задачи.

Дано нелинейное уравнение (3.1) f(x)=0. Корень отделен x* Î [a;b]. Требуется уточнить корень с точностью ε.

Метод основан на стратегии постепенного уточнения корня. Формулу уточнения можно получить из геометрической иллюстрации идеи метода.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 3.12. Геометрическая иллюстрация метода Ньютона.

На отрезке существования корня выбирается начальное приближение x0. К кривой f(x) в точке А с координатами (x0, f(x0)) проводится касательная. Абсцисса x1 точки пересечения этой касательной с осью ОХ является новым приближением корня.

Из рисунка следует, что x1 = x0 − CB

Из ∆ABC: CD=. Но .

Следовательно,

Аналогично, для i-го приближения можно записать формулу итерационного процесса метода Ньютона:

, где x0 Î [a;b]. (3.13)

Условие окончания расчета: , (3.14)

Где −корректирующее приращение или поправка.

Условие сходимости итерационного процесса:

(3.15)

Если на отрезке существования корня знаки и не изменяются, то начальное приближение, обеспечивающее сходимость, нужно выбрать из условия

, x0Î[a;b]. (3.16)

Т. е. в точке начального приближения знаки функций и ее второй производной должны совпадать.

Рис. 3.13. Геометрическая иллюстрация выбора начального приближения: график f(x) вогнутый, , тогда x0=b, т. к. f(b)>0.

Если же выбрать x0=a, то итерационный процесс будет сходиться медленнее или даже расходиться (см. касательную для x0=a).

Рис. 3.14. Геометрическая иллюстрация выбора начального приближения: график f(x) выпуклый, f ’’(x)<0 , тогда x0 =a, т. к. f(a)<0.

Метод Ньютона в отличие от ранее рассмотренных методов используют свойства функции в виде значения производной, что значительно ускоряет итерационный процесс. При этом, чем больше значение модуля производной в окрестности корня (чем круче график функции), тем быстрее сходимость.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис 3.15. Схема алгоритма метода Ньютона:

Достоинства метода: высокая скорость сходимости; обобщается на системы уравнений.

Недостатки: сложный, т. к. требуется вычисление производных; сильная зависимость сходимости от вида функции и выбора начального приближения.

Пример 3.3.

Методом Ньютона уточнить корни уравнения x3 = 1− 2x с точностью ε=0,001. Корень отделён ранее (пример 3.1), x* Î [0,1].

Сначала нужно выбрать начальное приближение.

F(x) = x3+ 2 x−1

F ’(x) = 3 x2 +2

F ’’(x) = 6 x

Производные имеют постоянный знак на отрезке (0,1], поэтому для выбора начального приближения достаточно использовать условие (3.16).

Знак второй производной на отрезке положительный, следовательно

X0 = b = 1, т. к. f(b) = f(1) = 13+2·1−1 = 2 > 0

Вычислим несколько приближений:

X1 =

X2 =

X3 =0,464935−0,011468=0,453467

X3 =0,453463−0,0000695=0,453398

Решение получено за 4 итерации, так как поправка стала меньше заданной точности: 0,0000695 < ε.

 

< Предыдущая   Следующая >

matica.org.ua

Решение высшей математики онлайн


‹-- Назад

Рассмотрение предыдущего метода позволяет предположить, что итерации станут приближаться к корню ещё быстрее, если мы будем выбирать касательную вместо секущей не только на первом, а на каждом шаге. Ясно, что тогда формула итераций будет иметь вид


(сравните с формулой метода одной касательной). Этот метод называется методом касательных, или методом Ньютона. Действительно, последовательные приближения метода Ньютона сходятся гораздо быстрее, чем в общем методе итераций (скорость сходимости приближений в котором, напомним, та же, что у геометрической прогрессии со знаменателем при ).

Поскольку для метода Ньютона

то В точке получаем , так как . Тем самым, в этом методе график пересекает прямую в точности по горизонтали, что приводит к очень быстрой сходимости итераций к . Именно, имеет место оценка
где  -- некоторая постоянная (не зависящая от ). Если начальное приближение взято достаточно близко от корня , то можно взять .

Заметим, что по сравнению с общей оценкой метода итераций

постоянная заменяется в оценке метода Ньютона (9.2) на стремящуюся к 0 величину ; отсюда и высокая скорость сходимости.

Доказательство оценки (9.2) можно найти в учебниках, специально посвящённых численным методам, например, [Амосов А. А., Дубинский Ю. А., Копченова Н. В. Вычислительные методы для инженеров. -- М.: Высш. шк., 1994], [Бахвалов Н. С., Жидков Н. П., Кобельков Г. М. Численные методы. -- М.: Наука, 1987], [Ортега Дж., Пул У. Введение в численные методы решения дифференциальных уравнений. -- М.: Наука, 1986].

Скорость сходимости итераций, которая задаётся формулой (9.2), называется квадратичной. Квадратичная скорость сходимости означает, примерно говоря, что число верных знаков в приближённом значении удваивается с каждой итерацией. Действительно, если , и , то . Это и означает, что число верных знаков при переходе к следующему приближению возросло с до , то есть удвоилось.

Геометрический смысл метода Ньютона состоит в том, что на каждом шаге мы строим касательную к графику в точке очередного последовательного приближения , а за следующее приближение берём точку пересечения этой касательной с осью . Тем самым наклон прямой подстраивается на каждом шаге наилучшим образом (ведь кривизну графика, связанную с второй производной, мы не учитываем, и поэтому неизвестно, в какую сторону от касательной отклонится график).

Рис.9.13.Последовательные приближения метода Ньютона

Заметим, что по-другому идею метода Ньютона мы можем описать так: на каждом шаге вместо исходного уравнения мы решаем приближённое, линеаризованное в точке уравнение

в котором левая часть -- это многочлен Тейлора первого порядка для функции в точке , то есть линейная функция Решением линеаризованного уравнения служит следующее приближение , в то время как решением исходного точного уравнения служит искомый корень .

Идея замены точной (но сложной) задачи последовательностью более простых линеаризованных задач весьма продуктивна в приближённых методах; например, такая идея даёт эффективный способ решения многомерных задач с ограничениями (метод Франка - Вулфа в нелинейном программировании, см., например, [Киселёв В.Ю., Экономико-математические методы и модели. -- Иваново: изд. ИГЭУ, 1998]).

Математика, вышка, высшая математика, математика онлайн, вышка онлайн, онлайн математика, онлайн решение математики, ход решения, процес решения, решение, задачи, задачи по математике, математические задачи, решение математики онлайн, решение математики online, online решение математики, решение высшей математики, решение высшей математики онлайн, матрицы, решение матриц онлайн, векторная алгебра онлайн, решение векторов онлайн, система линейных уравнений, метод Крамера, метод Гаусса, метод обратной матрицы, уравнения, системы уравнений, производные, пределы, интегралы, функция, неопределенный интеграл, определенный интеграл, решение интегралов, вычисление интегралов, решение производных, интегралы онлайн, производные онлайн, пределы онлайн, предел функции, предел последовательности, высшие производные, производная неявной функции

mathserfer.narod.ru

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *