Теорема муавра лапласа интегральная – 6. Интегральная теорема Муавра — Лапласа

6. Интегральная теорема Муавра - Лапласа

Если вероятность наступления событияв каждом испытании постоянна и удовлетворяет двойному неравенству, а число независимых испытанийдостаточно велико, то вероятностьможет быть вычислена по следующей приближённой формуле

(14) ,

где пределы интеграла определяются равенствами

Формула (14) тем точнее, чем больше число испытаний в данном эксперименте.

На основании равенство (13) формулу (14) можно переписать в виде

(15) .

Далее, введём понятие нормированной функции Лапласа:

(16) (Н.Ф.Л)

Отметим простейшие свойства функции :

Последнее свойство связано со свойствами функции Гаусса .

Функция нечётна. Действительно, после замены переменных

=;

Для проверки второго свойства достаточно сделать чертёж. Аналитически она связано с так называемым несобственным интегралом Пуассона.

Отсюда прямо следует, что для всех чисел можно полагать что,следовательно, все значения этой функции расположены в отрезке [-0,5; 0,5], при этом наименьшим являетсязатем функция медленно растёт и обращается в нуль, т.е.а затем возрастает доСледовательно, на всей числовой прямой является строго возрастающей функцией, т.е. если то

Следует отметить, что выводы свойства 2 для функции обосновывается на основании несобственного интеграла Пуассона.

Замечание.При решении задач, требующих применения интегральной теоремы Муавра-Лапласа пользуются специальными таблицами. В таблице даны значения для положительных аргументов и для; для значений

следует воспользоваться той же таблицей с учётом равенства

Далее, для того, чтобы воспользоваться таблицей функции , преобразуем равенство (15), так:

И на основании свойства 2 (нечётности ), с учётом чётности подынтегральной функции получим

=.

Таким образом, вероятность того, что событие появится внезависимых испытаниях не менеераз и не болеераз, вычисляется формулой:

(17) ;

Пример 12.Вероятность поражения мишени при одном выстреле равна 0,75. Найти вероятность того, что при 300 выстрелах мишень будет поражена не менее 150 и не более 250 раз.

Решение:Здесь,,,,. Вычисляем

,,

,.

Подставляя в интегральную формулу Лапласа, получим

.

На практике наряду с равенством (16) часто используют и другую формулу называемую «интегралом вероятности» или функцией Лапласа (см. более подробно в гл.2., п.9.,Т.9.).

(И.В. или Ф.Л.)

Для этой функции справедливы равенства:

(18) .

Следовательно, она связана с табулированной функцией и поэтому имеется также ё таблица приближённых значений (см. в конце книги, приложение).

Пример 13. Вероятность того, что деталь не прошла проверку ОТК, равна 0,2. Найти вероятность того, что среди 400 случайно отобранных деталей непроверенных деталей окажется от 70 до 100 деталей.

Решение. По условию задачи ,,.,. Воспользуемся интегральной теоремой Муавра-Лапласа:

,

Вычислим нижний и верхний пределы интегрирования:

Следовательно, с учётом табличных значений функции ;

получим искомую вероятность

.

Теперь у нас есть возможность в качестве приложения рассмотренных предельных теорем доказать известную теорему «закон больших чисел в форме Бернулли»

.

  1. Закон больших чисел (ЗБЧ в форме Бернулли)

Первым исторически самым простым законом больших чисел является теорема

Я. Бернулли. Теорема Бернулли выражает наиболее простую форму проявлния закона больших чисел. Она обосновывает теоретическую возможность приближенного вычисления вероятности события с помощью его относительной частоты, т.е. обосновывает свойство устойчивости относительной частоты.

Пусть проводится независимых испытаний, в каждом из которых вероятность наступления событияравна,а относительная частота в каждой серии испытания равна

Рассмотрим задачу:в условиях испытания по схеме Бернулли и при достаточно большом числе независимых испытанийнайти вероятность отклонение относительной частоты от постоянной вероятностипоявления события

по абсолютной величине не превышает заданного числа Другими словами, найти вероятность:

при достаточно большом числе независимых испытаний.

Теорема (ЗБЧ Я. Бернулли 1713 г.) При вышеприведённых условиях при любом , как бы ни было мало, имеет место предельное равенство

(19) .

Доказательство. Проведём доказательство этого важного утверждения на основании интегральной теоремы Муавра – Лапласа. По определению относительная частота равна

А вероятность наступления событиев одном испытании. Сначала установим следующее равенство при любоми достаточно большом

:

(20) .

Действительно, в соответствии условием легко заметить, что имеет место двойное неравенство. Обозначим

(21) .

Тогда, будем иметь неравенства

.

Следовательно, для искомой вероятности . Теперь, для случаеввоспользуемся равенством

;

и с учётом нечётности получим

== 2.

Равенство (20) получено.

Из формулы (20) непосредственно следует, что при (с учётомгде), получим предельное равенство (20).

Пример 14. Вероятность того, что деталь нестандартна, равна

. Найти вероятность того, что среди случайно отобранных 400 деталей относительная частота появления нестандартных деталей отклонится отпо абсолютной величине не более чем на 0,03.

Решение. Согласно условиям задачи, требуется найти

По формуле (3) имеем

=2.

С учётом табличного значения функции получим

.

Смысл полученного результата таков: если взять достаточно большое число проб

деталей, то в каждой пробе примерно происходит отклонение относительной «частоты» на

95, 44 % и величина этих проб от вероятности

, по модулю не превышающей 0,03.

Рассмотрим другой пример, где требуется найти число .

Пример 15. Вероятность того, что деталь нестандартна, равна. Сколько деталей надо отобрать, чтобы с вероятностью 0,9999 можно было бы утверждать, что относительная частота нестандартных деталей (среди отобранных), отклоняется отпо модулю не более, чем на 0,03. Найти это количество

Решение. Здесь, по условию.

Требуется определить . По формуле (13) имеем

.

Поскольку,

.

По таблице находим, что данное значение соответствует для аргумента. Отсюда,. Смысл этого результата таков: относительная частота будет заключена

между числами . Таким образом, число нестандартных деталей в 99,99 % проб будет заключено между числами 101,72 (7 % от числа 1444) и 187,72 (13 % от числа 1444).

Если взять лишь одну пробу 1444 деталей, то с большой уверенностью можно ожидать, что число нестандартных деталей будет не менее101и не более 188, в тоже время маловероятно, что их окажется меньше 101 или больше 188.

Следует заметить, что теорема Бернулли также устанавливает: при неограниченном увеличении числа испытаний частота случайного событиясходится по вероятности к истинной вероятности этого же события, т.е. справедлива оценка снизу

(22) ;,

при условии, что вероятность события от испытания к испытанию остается неизменным и равным при этом .

Неравенство (22) является прямым следствием известного неравенства Чебышева (см. далее тему «Предельные теоремы теории вероятностей» «Теорема Чебышева»). Мы позже ещё раз вернёмся к этому ЗБЧ. Оно удобно для получения оценок вероятностей снизу и двухстороннею оценку для необходимого числа наступления события, так чтобы вероятность от модуля разности относительной частоты и истинной вероятности, заданному ограничению рассматриваемого события удовлетворяло.

Пример 16.Монету подбрасывают 1000 раз. Оценить снизу вероятность отклонения частоты появления «герба» от вероятности его появления меньше чем на 0,1.

Решение. По условию здесь

На основании неравенство (4) получим

Следовательно, неравенство равносильно двойному неравенству

Поэтому можно заключить, что вероятность числа попаданий «герба» в интервал (400; 600) больше чем

Пример 17. В урне 1000 белых и 2000 чёрных шаров. Извлекли (с возвращением) 300 шаров. Оценить снизу вероятность того, число извлечённых шаров m (при этом они должны быть белыми) удовлетворяет двойному неравенству 80<m <120.

Решение. Двойное неравенство для величины m перепишем в виде:

Таким образом, требуется оценить вероятность выполнении неравенства

Следовательно,

.

71

studfiles.net

Лекция 7. Предельные теоремы в схеме Бернулли. Локальная и интегральная теоремы Муавра-Лапласа

Пусть случайная величина распределена по биномиальному закону. Эта случайная величина представляет собой число успеховв серии изиспытаний, в каждом из которых может появиться успех с вероятностьюили неуспех с вероятностью.Вероятность того, что в серии изиспытаний появитсяуспехов равна

, (1)

при этом ,.

При больших значениях ивычисление вероятности по формуле (1) представляет значительные трудности. Например, если,,, то

и вычислить такую вероятность достаточно сложно.

,Однако при выполнении определенных условий функция биномиального распределения имеет вид функции нормального распределения или функции Пуассона.

Пусть достаточно велико, ане мало, так что (). Введем обозначение

. (2)

Если при величина, но при этом остается ограниченной величина, т.е., то вероятность того, что в серии изиспытаний будетуспехов равна

, (3)

где .

При достаточно больших эту вероятность можно выразить через функцию

Гаусса :

(3)

где , а аргумент.

Доказательство.

Для случайной величины, распределенной по биномиальному закону, вероятность появления успехов в серии изиспытаний равна

Учитывая, что

, ,, получим

(4)

При получении этого выражения была использована формула Стирлинга , справедливая при достаточно больших значениях.

В формуле (4)

при этом (5)

при этом (6)

при . (7)

Введем . Тогда(8)

С учетом равенств (5) и (6) получим

(9)

При выводе этой формулы было учтено, что и ., что следует из (5) и (6).

Из (9) следует, что , а значит. Подставляя это выражение в (8) и учитывая (5) и (6), получим

(10)

, где .

Из теоремы Муавра-Лапласа следует, что при больших значениях и не малых значенияхфункция биномиального распределения имеет вид функции нормированного нормального распределения си.

, (11)

где

Интегральная теорема Муавра-Лапласа

Если при величина, но при этом остается ограниченной величина, т.е., то вероятность того, что в серии изиспытаний число успехов находится в промежуткеопределяется с помощью функции Лапласа

, (12)

где - функция Лапласа.

Доказательство

(12)

Учитывая, что

и вводя обозначения и,

преобразуем (12) к виду

(13)

Следовательно, при больших значениях и не малых значенияхфункция биномиального распределения имеет вид функции нормированного нормального распределения си.

Если числа ирасположены симметрично относительно математического ожидания, т.е.и, то формула (13) примет вид

. (14)

Вероятность наступления события не менее, чем заданное число раз

Пример.

Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0.7. Определить вероятность того, что при 100 выстрелах не менее 75 попадут в цель.

Решение. Здесь ,,,,.

.

Необходимые значения функции Лапласа найдены из таблиц..

Пример

Монету бросают 700 раз. Найти вероятность того, что герб выпадет ровно 350 раз.

Решение.

Рассмотрим случайную величину – количество выпадений герба при 700 бросках. Она распределена биномиально с. Значение, следовательно, можно применить локальную формулу Муавра – Лапласа.

Пример 2.

Монету бросают 700 раз. Найти вероятность того, что количество выпадений герба будет заключено в промежутке от 330 до 370.

Решение.

Рассмотрим случайную величину – количество выпадений герба при 700 бросках. Она распределена биномиально с. Значение, следовательно, можно применить интегральную формулу Муавра – Лапласа.

Пример.

Вероятность того, что изделие относится к первому сорту, равна 0.7 . Партия содержит 10000 изделий. Определить вероятность того, что число изделий первого сорта в этой партии будет заключаться между 6900 и 7100.

Решение. Здесь ,,,,.

Пример.

Вероятность того, что изделие относится к первому сорту равна 0.9 . Партия содержит 1600 изделий. Определить с вероятностью 0.8, в каких границах будет заключаться число изделий первого сорта в этой партии, если эти границы должны быть симметричными относительно математического ожидания.

Решение. Здесь ,,,,.

По формуле (14) . Отсюда.

По таблице значений функции Лагранжа найдем , что значению соответствует значение аргумента. Следовательно,и. Для определения границ, между которыми заключено число изделий первого сорта, имеем неравенство. Отсюда.

studfiles.net

Теоремы Муавра-Лапласа / Теория вероятности [Калинин В.М., Тихомиров С.Р.] / 3dstroyproekt.ru

Локальная теорема Муавра-Лапласа { 1730 г. Муавр и Лаплас }

Если вероятность $p$ появлений события $A$ постоянна и $p\ne 0$ и $p\ne 1$, то вероятность $P_n ( k )$ - того, что событие $A$ появится $k$ раз в $n$ испытаниях, равна приближенно { чем больше $n$, тем точнее } значению функции $y=\frac { 1 } { \sqrt { n\cdot p\cdot q } } \cdot \frac { 1 } { \sqrt { 2\pi } } \cdot e^ { - { x^2 } / 2 } =\frac { 1 } { \sqrt { n\cdot p\cdot q } } \cdot \varphi ( x )$

при $x=\frac { k-n\cdot p } { \sqrt { n\cdot p\cdot q } } $. Имеются таблицы, где помещены значения функции $\varphi ( x )=\frac { 1 } { \sqrt { 2\cdot \pi } } \cdot e^ { - { x^2 } / 2 } $

итак \begin{equation} \label { eq2 } P_n ( k )\approx \frac { 1 } { \sqrt { n\cdot p\cdot q } } \cdot \varphi ( x )\,,\,где\,x=\frac { k-n\cdot p } { \sqrt { n\cdot p\cdot q } } \qquad (2) \end{equation}

функция $\varphi ( x )=\varphi ( { -x } )$ -четная.

Пример. Найти вероятность того, что событие $A$наступит ровно 80 раз при 400 испытаниях, если вероятность появления этого события в каждом испытании $p=0,2$.

Решение. Если $p=0,2$ тогда $q=1-p=1-0,2=0,8$.

$P_ { 400 } ( { 80 } )\approx \frac { 1 } { \sqrt { n\cdot p\cdot q } } \varphi ( x )\,,\,где\,x=\frac { k-n\cdot p } { \sqrt { n\cdot p\cdot q } } $

$ \begin{array} { l } x=\frac { k-n\cdot p } { \sqrt { n\cdot p\cdot q } } =\frac { 80-400\cdot 0,2 } { \sqrt { 400\cdot 0,2\cdot 0,8 } } =\frac { 80-80 } { \sqrt { 400\cdot 0,16 } } =0 \\ \varphi ( 0 )=0,3989\,,\,P_ { 400 } ( { 80 } )\approx \frac { 0,3989 } { 20\cdot 0,4 } =\frac { 0,3989 } { 8 } =0,0498 \\ \end{array} $

Интегральная теорема Муавра-Лапласа

Вероятность P наступления события $A$ в каждом испытании постоянна и $p\ne 0$ и $p\ne 1$, тогда вероятность $P_n ( { k_1 ,k_2 } )$ того, что событие $A$ наступит от $k_ { 1 } $ до $k_ { 2 } $ раз в $n$ испытаниях, равна $ P_n ( { k_1 ,k_2 } )\approx \frac { 1 } { \sqrt { 2\cdot \pi } } \int\limits_ { x_1 } ^ { x_2 } { e^ { - { z^2 } / 2 } dz } =\Phi ( { x_2 } )-\Phi ( { x_1 } )$

где $x_1 =\frac { k_1 -n\cdot p } { \sqrt { n\cdot p\cdot q } } , x_2 =\frac { k_2 -n\cdot p } { \sqrt { n\cdot p\cdot q } } $ ,где

$\Phi ( x )=\frac { 1 } { \sqrt { 2\cdot \pi } } \int { e^ { - { z^2 } / 2 } dz } $ -находят по таблицам

$\Phi ( { -x } )=-\Phi ( x )$-нечетная

Нечетная функция. Значения в таблице даны для $x=5$, для $x>5,\Phi ( x )=0,5$

Пример. Известно, что при контроле бракуется 10% изделий. На контроль отобрано 625 изделий. Какова вероятность того, что среди отобранных не менее 550 и не более 575 стандартных изделий?

Решение. Если брака 10%, то стандартных изделий 90%. Тогда по условию, $n=625, p=0,9, q=0,1, k_1 =550, k_2 =575$. $n\cdot p=625\cdot 0,9=562,5$. Получим $ \begin{array} { l } P_ { 625 } (550,575)\approx \Phi ( { \frac { 575-562,5 } { \sqrt { 625\cdot 0,9\cdot 0,1 } } } )- \Phi ( { \frac { 550-562,5 } { \sqrt { 626\cdot 0,9\cdot 0,1 } } } )\approx \Phi (1,67)- \Phi (-1,67)=2 \Phi (1,67)=0,9052 \\ \end{array} $

3dstroyproekt.ru

Локальная теорема Муавра - Лапласа. Задача по теории вероятностей с решением

Схема повторных независимых испытаний Бернулли позволяет вычислить вероятность того, что событие появится в  испытаниях ровно  раз. При ее выводе предполагается, что вероятность появления события в каждом испытании постоянна. Легко видеть, что пользоваться формулой Бернулли при больших значениях достаточно трудно, так как формула требует выполнения действий над громадными числами. Например, если .  Правда, можно несколько упростить вычисления, пользуясь специальными таблицами логарифмов факториалов. Однако и этот путь остается громоздким и к тому же имеет существенный недостаток: таблицы содержат приближенные значения логарифмов, поэтому в процессе вычислений накапливаются погрешности; в итоге окончательный результат может значительно отличаться от истинного.

Естественно возникает вопрос: нельзя ли вычислить интересующую нас вероятность, не прибегая к формуле Бернулли? Оказывается, можно. Локальная теорема Муавра - Лапласа и дает асимптотическую формулу, которая позволяет приближенно найти вероятность появления события ровно  раз в  испытаниях, если число испытаний достаточно велико.

Локальная теорема Муавра - Лапласа. Если вероятность  появления события  в каждом испытании постоянна и отлична от нуля и единицы, то вероятность  того, что событие  появится в  испытаниях ровно  раз, приближенно равна (тем точнее, чем больше ) значению функции

при

Таким образом, вероятность того, что событие  появится в  независимых испытаниях ровно  раз, приближенно равна:

где

100task.ru

5. Локальная теорема Муавра – Лапласа

В случаях, когда число испытаний достаточно велико, а вероятность удовлетворяет, для вычисления биномиальных вероятностей используют приближенные теоремы Муавра – Лапласа.

Локальная теорема Муавра- Лапласа. Если вероятность наступления событияв каждом испытании постоянна и удовлетворяет условиям, а число независимых испытанийдостаточно велико, то вероятностьможет бить вычислена по следующей приближённой формуле

(12) ,

дает асимптотическую формулу (оно тем точнее, чем больше ), позволяющую найти приближенное значение при достаточно больших значениях, где функция

(13) (Ф. Г.)

называется функцией Гаусса, а её график представляет кривой вероятностей.

Кратко остановимся на схеме доказательства этой теоремы. Имеют место равенства

(14) ;.

В силу ограниченности величин разностьстремится квместе си. Воспользуемся формулой Стрилинга, дляТогда с учетом формулы Бернулли после некоторых преобразований получим

.

Из равенств (14) следут, что

(15)

Следовательно, при достаточно большом получим

.

Далее воспользуемся (на основании представления логарифма в степенной ряд) асимптотическим представлением Тогда получим

(16)

.

На основании равенств (14) и с учётом , будем иметь

Применяя асимптотические равенства (15), после некоторых упрощений получим, что

Подставляя полученные выражения в формулу (16), имеем

Теорема доказана. В частности, справедливо асимптотическое равенство

Кроме того, для функции приведена таблица значений (см. приложение?).

Свойства функции :

1. функция чётная, т.е.

2. при , и дляможно считать,

3.

Функция Гаусса в дальнейшем будет встречаться и в разделе «Нормальный закон распределения». Из равенства (12) следует, что

Пример 10.Монету бросают 100 раз. Найти вероятность того, что герб выпадет 40 раз.

Решение:Применим формулу (12). Поскольку, по условию задачии, тоТогда на основании таблицы значений функцииполучим. По формуле (12) получим

.

Легко заметить, что величину с помощью формулы Бернулли очень трудно сосчитать.

Пример 11. Найти вероятность того, что событиеАнаступит ровно 80 раз в 400 испытаниях, если вероятность появится этого события в каждом испытании равна 0,2.

Решение:По условию, тогда

Согласно таблице значений, . По локальной формуле Лапласа

В приближенных формулах Лапласа по мере приближения одного из чисел pиqк нулю точность понижается, т.е. точность в общем случае улучшается с ростом. Еслитои еслитопотому, чтоp+q = 1.

Обычно для произведения берут число не менее 10., отсюда следует, чтоесли p или q близко к нулю,тем больше нужно братьn.

В задачах, где требуется вычислять вероятность того, что в nнезависимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равнаp(0<p<1), событие наступит не менее раз и не болеераз, , равна

.

И используют интегральную теорему Муавра- Лапласа (ее приведём без доказательства, можно прочитать, например, в учебнике Гнеденко []).

В основе доказательства естественно лежит локальная теорема Муавра-Лапласса.

studfiles.net

10. Предельные теоремы в схеме Бернулли. Локальная предельная теорема Муавра-Лапласа. Интегральная теорема Муавра-Лапласа.

При больших значениях n и m вычисление вероятностей Pn(m) превращается в технически сложную задачу.

Задача усложняется при расчете вероятности вида: В этих случаях пользуются приближенными асимптотическими формулами.

ТЕОРЕМА 1.(локальная предельная теорема Муавра-Лапласа):

Вероятность того, что в n-независимых испытаниях событие А наступит ровно m раз определяется по формуле: Pn(m)- (1), где,x=,

где p (0<p<1)- вероятность наступления A в отдельном испытании. q=1-p.

Замечание: равенство (1) тем точнее, чем больше n и ближе p к 0.5.

Свойства:

  1. Значение можно найти по таблицам приложения.

  2. –четная, .

  3. Монотонно убывающая при x, . (она очень быстро стремиться), причемочень быстро, будем считать что приx,

Пример: найти вер-ть того, что при 600бросаниях игрального кубика выпадет ровно 120 шестерок.

n=600, m120, p=1/6, q=5/6.

P600(120= 0.004

X==2.19

ТЕОРЕМА 2.(интегральная предельная теорема Муавра-Лапласа):

Пусть вероятность появления события A в каждом из n независимых испытаний равна p (0<p<1). Тогда вер-ть того ,что в n-независимых испытаниях событие A появится от m₁ до m₂ раз (m₁≥ m₂) выражается формулой:

Pn(m₁≤m≤m₂)= Pn(m₁;m₂)Ф(x₁)- Ф(x₂),

где Ф(x)= 1/dt

x₁=,x₂=.

Свойства функции Ф(x):

  1. Значение можно найти по таблицам приложения.

  2. Эта функция нечетная, т.е. Ф(-x)=-Ф(x).

  3. Монотонно возрастающая, при x, Ф(x), причем стремится быстро. Считают, что уже приx, Ф(x)

Пример: определить вероятность того, что число выпавших шестерок заключено в интервале от 90 до 120.

P600(90≤m≤120)Ф(2.19)- Ф(-1.1) =Ф(2.19)+ Ф(1.1)=0.85007

x₁==x=-1.10, x₂=2.19.

11. Предельные теоремы в схеме Бернулли. Теорема Пуассона. Закон больших чисел в форме Бернулли.

Закон больших чисел в форме Бернулли.

Пусть теоретическая вероятность наступления события A в каждом из n-испытаний равна p, тогда вероятность того, что относительная частота наступления события A отклонится от вероятности р по абсолютной величине меньше чем на приблизительно равна:

P(|-p|<)2Ф()

Пример: вероятность того, что деталь не стандартная равна 0.2. Сколько деталей нужно отобрать, чтобы с вероятностью 0.97 можно было утверждать, что относительная частота появления нестандартных деталей отклонится от вероятности p=0.2 по абсолютной величине не более чем на 0.01.

P=0.2, q=0.8, n-? P(|m/n-0.2|≤0.01)=0.97)2Ф()

m/n – относительная частота появления нестандартных деталей.

Ф(0.01)=0.485,n= 2.17*2.17*0.16/0.01*0.01

0.01= 2.17

В случаях, когда число испытаний n больше, а вероятность успеха в каждом испытании p пользуются теоремой Пуассона.

Теорема Пуассона.

Пусть вероятность появления события A в каждом из n-независимых испытаний равна p, причем n ,n , тогда справедлива следующая формула:

Pn(m)где λ=np.

На практике эта теорема дает хорошее приближение, когда λ≤10

Пример: вероятность выпуска бракованного сверла равна 0.015ю Найти вероятность того, что в партии из 100 изделий нет ни одного бракованного.

P=0.015, n= 100, λ=100*0.015=15

P100(0)*== 0.22313

studfiles.net

Локальная и интегральная теоремы Лапласа. Решение задач

Если количество независимых испытаний достаточно большое применения формулы Бернулли становится трудоемким. Для упрощения вычислений применяют локальную и интегральную теоремы Лапласа, которые дают близкий к формуле Бернулли результат при большом количестве испытаний и не требуют больших вычислений.

ЛОКАЛЬНАЯ ТЕОРЕМА ЛАПЛАСА

Вероятность того, что в независимых испытаниях с вероятностью появления события равной событие наступит ровно раз (безразлично в какой последовательности) определяется по приближенной формуле

где

– Функция Гаусса,

– аргумент функции Гаусса;

– вероятность противоположного события .

Формулу называют локальной формулой Лапласа.

Функция обладает следующими свойствами:

1) она является четной функцией ;

2) для значений аргумента больше четырех она сколь угодно мала

Теорему Лапласа рекомендуется применять при значениях произведения больше девяти

ИНТЕГРАЛЬНАЯ ТЕОРЕМА МУАВРА-ЛАПЛАСА

Вероятность, что в независимых испытаниях событие с вероятностью появления наступит не менее раз и не более (независимо от последовательности появления) приближенно определяется зависимостью

где – интегральная функция Лапласа;

– аргументы интегральной функции распределения;

– вероятность невыполнения события .

Функция обладает следующими свойствами:

1) она является нечетной функцией

2) для аргументов больше пяти она равна 0,5

Значение обеих функций находят из таблиц в которых функции с достаточной точностью протабульовани.

--------------------------------

Рассмотрим задачи на применение каждой из теорем.

Пример 1. Есть 100 лунок по которым случайным образом разбрасывают 30 шариков. Каждый шарик с равной вероятностью может попасть в любую лунку (в одну лунку попадает не более одного шарика). Найти вероятность того, что в выбранную лунку попадет ровно один шарик.

Решение. Проводится независимых бросков шариков с одинаковой вероятностью попадания при каждом броске

Вероятность попадания в лунку ровно одного шарика определим по локальной формулой Лапласа:

Для этого определяем составляющие

и подставим в зависимость

--------------------------------

Пример 2. Проводится 200 независимых опытов с вероятностью успеха в каждом 24%. Какова вероятность успешного проведения 50 опытов?

Решение. По условию

находим составляющие формулы Лапласа

Подставляя в формулу, находим

--------------------------------

Пример 3. Вероятность выхода из строя за смену одного станка равна 0,1. Определить вероятность выхода из строя от 2 до 13 станков при наличии 100 станков.

Решение. Записываем входные данные

Для подобных примеров применяем интегральную формулу Муавра-Лапласа и находим вероятность

--------------------------------

Решение задач по приведенным теоремам позволяет при большом количестве испытаний находить приближенное значение вероятности. Локальная теорема необходима при определении конкретного количества появления событий, интегральная теорема Муавра-Лапласа - в случаях, когда задан диапазон возможного количества появлений события. Таблицы табулирования функций, применяемых в формулах можно найти в сборниках по теории вероятностей и интернете.

yukhym.com

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *