Метод Жордана — Гаусса | это… Что такое Метод Жордана — Гаусса?
Толкование
- Метод Жордана — Гаусса
Метод Гаусса — Жордана используется для решения квадратных систем линейных алгебраических уравнений, нахождения обратной матрицы, нахождения координат вектора в заданном базисе, отыскания ранга матрицы. Метод является модификацией метода Гаусса. Назван в честь К. Ф. Гаусса и немецкого геодезиста и математика Вильгельма Йордана[1].
Содержание
- 1 Алгоритм
- 2 Пример
- 3 Ссылки
- 4 Примечания
Алгоритм
- Выбирается первая колонка слева, в которой есть хоть одно отличное от нуля значение.
- Если самое верхнее число в этой колонке есть нуль, то меняется вся первая строка матрицы с другой строкой матрицы, где в этой колонке нет нуля.
- Все элементы первой строки делятся на верхний элемент выбранной колонки.
- Из оставшихся строк вычитается первая строка, умноженная на первый элемент соответствующей строки, с целью получить первым элементом каждой строки (кроме первой) нуль.
- Далее проводим такую же процедуру с матрицей, получающейся из исходной матрицы после вычёркивания первой строки и первого столбца.
- После повторения этой процедуры n − 1 раз получаем верхнюю треугольную матрицу
- Вычитаем из предпоследней строки последнюю строку, умноженную на соответствующий коэффициент, с тем, чтобы в предпоследней строке осталась только 1 на главной диагонали.
- Повторяем предыдущий шаг для последующих строк. В итоге получаем единичную матрицу и решение на месте свободного вектора (с ним необходимо проводить все те же преобразования).
- Чтобы получить обратную матрицу, нужно применить все операции в том же порядке к единичной матрице.
Пример
Решим следующую систему уравнений:
Запишем её в виде матрицы 3×4, где последний столбец является свободным членом:
Проведём следующие действия:
- К строке 2 добавим: −4 × Строку 1.
- К строке 3 добавим: −9 × Строку 1.
Получим:
- К строке 3 добавим: −3 × Строку 2.
- Строку 2 делим на −2
- К строке 1 добавим: −1 × Строку 3.
- К строке 2 добавим: −3/2 × Строку 3.
- К строке 1 добавим: −1 × Строку 2.
В правом столбце получаем решение:
- .
Ссылки
- Lipschutz, Seymour, and Lipson, Mark. «Schaum’s Outlines: Linear Algebra». Tata McGraw-hill edition. Delhi 2001. pp. 69-80.
- Algorithm for Gauss-Jordan elimination in Matlab
- Algorithm for Gauss-Jordan elimination in Python
Примечания
- ↑ Транскрипция фамилии как «Жордан» является ошибочной, но она общепринята и встречается в большинстве русскоязычных источников.
Wikimedia Foundation. 2010.
Поможем решить контрольную работу
- Метод Главных Компонент
- Метод Зипфа
Полезное
Численные методы решения систем линейных уравнений, страница 4
Математика \ Вычислительная математика
Рассмотрим метод Гаусса с частичным выбором ведущего
элемента с точки зрения операций над матрицами.
Теорема
Произвольная невырожденная матрица перестановкой строк (столбцов) может быть приведена к матрице с главными минорами, отличными от нуля (, где P – матрица перестановок).
Матрица Р получается из единичной матрицы перестановкой строк (столбцов).
Сложность метода Гаусса с частичным выбором ведущего элемента
Число арифметических действий, необходимых для его реализации: , где n – число уравнений. Оценим сложность по памяти: требуется память для хранения n2 элементов матрицы, вектора b (n элементов) и вектора x (n элементов), в результате, .
Метод Гаусса с частичным выбором ведущего элемента является устойчивым, если все ведущие элементы по модулю больше единицы.
Следует отметить, что метод Гаусса с частичным выбором ведущего элемента – это основной алгоритм вычислительной математики линейной алгебры.
Метод Гаусса с полным выбором ведущего элемента отличается
от метода Гаусса с частичным выбором ведущего элемента тем, что на каждом шаге
прямого хода ведущий элемент ищется в непреобразованной части матрицы.
3.4. Вычисление определителя матрицы
Мы знаем, что в методе Гаусса с частичным выбором ведущего элемента , где P – матрица перестановок, т.е. матрица, полученная из единичной матрицы перестановкой строк, следовательно, , где – число перестановок строк.
Получим: .
Окончательная формула для вычисления определителя матрицы А:
, где – число
перестановок строк в методе Гаусса с частичным выбором ведущего элемента; – ведущие элементы матрицы, полученные
методом Гаусса с частичным выбором ведущего элемента.
Таким образом, при решении системы линейных уравнений методом Гаусса с частичным выбором ведущего элемента мы одновременно с решением получаем значение определителя матрицы. Если же при использовании метода Гаусса с частичным выбором ведущего элемента мы получаем, что ведущий элемент равен нулю, то detA = 0.
3.5. Нахождение обратной матрицы
Для нахождения обратной матрицы также используется метод Гаусса с частичным выбором ведущего элемента.
Напомним, что если , то существует такая, что , где E – единичная матрица.
– это и есть система линейных уравнений для нахождения элементов . содержит n2 элементов, все они неизвестные.
– это система линейных уравнений
размерности n2 , но
одновременно можно рассматривать как n систем линейных уравнений с одинаковой матрицей А, вектором правой части является столбец единичной матрицы, а
вектором решения – столбец матрицы , т.
е.
, , где – столбец единичной матрицы ,; – столбец матрицы .
Решая эти системы линейных уравнений методом Гаусса с частичным выбором ведущего элемента, получаем столбцы , образующие матрицу . Следует отметить, что хотя мы решаем n систем линейных уравнений, но матрица у всех систем линейных уравнений одинакова, следовательно, ведущие элементы матрицы мы находим один раз.
Если же detA = 0, то при использовании метода Гаусса с частичным выбором ведущего элемента этот факт обнаружится, так как ведущий элемент будет равен нулю. Таким образом, используя метод Гаусса с частичным выбором ведущего элемента, мы либо находим обратную матрицу , либо приходим к выводу, что detA = 0.
3.6. Метод Гаусса-Жордана
Метод Гаусса-Жордана – это модификация метода Гаусса.
После выполнения прямого хода в методе Гаусса-Жордана матрица преобразуется к
диагональной, а не к верхней треугольной.
Обратный ход в методе Гаусса-Жордана
– это решение системы линейных уравнений с диагональной матрицей.
Рассмотрим пример использования метода Гаусса-Жордана.
Пример
Скачать файл
ИСКЛЮЧЕНИЕ ГАУССА: РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ: ПРИМЕРЫ И РЕШЕННЫЕ ЗАДАЧИ: ВЫСШАЯ ШКОЛА
Содержание этой страницы:
Введение
система уравнений (линейная) представляет собой группу (линейных) уравнений с различные неизвестные факторы. Вообще говоря, неизвестные факторы появляются в различных уравнениях.
Уравнение с различными неизвестными множителями связывает их друг с другом.
Решение системы состоит в нахождении значения неизвестных факторов способом, который проверяет все уравнений, составляющих систему.
Если существует единственное решение (по одному значению для каждого неизвестного фактора), мы будем говорить, что система Согласованная независимая система (СНГ) .
Если существуют различные решения (система имеет бесконечно много решений), мы говорим, что система является Согласованная зависимая система (CDS). .
Если решения нет, а это произойдет, если их два или несколько уравнений, которые не могут быть проверены одновременно, мы говорим, что это несогласованная система (IS) . Например, следующая система уравнений
$$ \begin{cases} \begin{array}{lcl} y & = & 0 \\ 2x + y & = & 0 \\ 2x + y & = & 2 \end{array} \end{cases}$ $
несовместимо, потому что мы получаем решение x = 0 из второго уравнения и из третьего x = 1 .
В этом разделе мы собираемся решать системы, используя метод исключения Гаусса , который состоит в простом выполнении элементарных операций в строке или столбце расширенной матрицы для
получить его эшелон формы или его уменьшенный эшелон
форма (Гаусс-Джордан).
Метод разрешения
Мы применяем Gauss-Jordan Метод исключения : мы получаем уменьшенный эшелон строки из
Получив матрицу, мы применяем теорему Руше-Капелли для определения тип системы и получить решение (решения), такие как:
Пусть A·X = B будет системой m линейных уравнений с n неизвестно множители, m и n натуральные числа (не нуль):
AX = B соответствует тогда и только тогда, когда
$$ ранг(A)=ранг(A|B) $$
AX = B является непротиворечивым независимым тогда и только тогда, когда
$$ ранг(A)=n=ранг(A|B) $$
Примечание: Элементарные операции в строках или столбцах позволяют получить системы эквивалентные исходной, но с видом, упрощающим получение решений (если они есть).
Также есть более быстрые
инструменты для отработки решений в СНГ, вроде правила Крамера.
Система 1
Показать решение
Система 2
Показать решение
Система 3
Показать решение
Система 4
Показать решение
Система 5
Показать решение
Система 6
Показать решение
Система 7
Показать решение
Система 8
Показать решение
Система 9
Показать решение
Система 10
Показать решение
Matesfacil.
com
J. Llopis имеет лицензию
творческий
Commons Attribution-NonCommercial 4.0 Международная лицензия.
РЕШЕНИЕ: Используя метод исключения Гаусса-Жордана, решите следующую линейную систему. Вы можете использовать калькулятор или Excel Minverse, Mmult, чтобы получить ответ
РЕШЕНИЕ: Используя метод исключения Гаусса-Жордана, решите следующую линейную систему. Вы можете использовать калькулятор или Excel Minverse, Mmult, чтобы получить ответ — 10 х + 14 у + 3 з = 74 +Алгебра -> Системы координат и линейные уравнения -> РЕШЕНИЕ: Используя метод исключения Гаусса-Жордана, решите следующую линейную систему. Вы можете использовать калькулятор или Excel Minverse, Mmult, чтобы получить ответ — 10 х + 14 у + 3 з = 74 + Войти
|
