Правила логарифмирования формулы. Натуральный логарифм, функция ln x
Логарифмом положительного числа b по основанию a (a>0, a не равно 1) называют такое число с, что a c = b: log a b = c ⇔ a c = b (a > 0, a ≠ 1, b > 0)       
Обратите внимание: логарифм от неположительного числа не определен. Кроме того, в основании логарифма должно быть положительное число, не равное 1. Например, если мы возведем -2 в квадрат, получим число 4, но это не означает, что логарифм по основанию -2 от 4 равен 2.
Основное логарифмическое тождествоa log a b = b (a > 0, a ≠ 1) (2)
Важно, что области определения правой и левой частей этой формулы отличаются. Левая часть определена только при b>0, a>0 и a ≠ 1. Правая часть определена при любом b, а от a вообще не зависит. Таким образом, применение основного логарифмического «тождества» при решении уравнений и неравенств может привести к изменению ОДЗ.
log
a
a = 1
(a > 0, a ≠ 1)
(3)
log
a
1 = 0
(a > 0, a ≠ 1)
(4)
Действительно, при возведении числа a в первую степень мы получим то же самое число, а при возведении в нулевую степень — единицу.
Логарифм произведения и логарифм частногоlog a (b c) = log a b + log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (5)
Log
a
b
c
=
log
a
b −
log
a
c
(a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0)
(6)
Хотелось бы предостеречь школьников от бездумного применения данных формул при решении логарифмических уравнений и неравенств. При их использовании «слева направо» происходит сужение ОДЗ, а при переходе от суммы или разности логарифмов к логарифму произведения или частного — расширение ОДЗ.
Действительно, выражение
log
a
(f (x) g (x))
определено в двух случаях: когда обе функции строго положительны либо когда f(x) и g(x) обе меньше нуля.
Преобразуя данное выражение в сумму log a f (x) + log a g (x) , мы вынуждены ограничиваться только случаем, когда f(x)>0 и g(x)>0. Налицо сужение области допустимых значений, а это категорически недопустимо, т. к. может привести к потере решений. Аналогичная проблема существует и для формулы (6).
Степень можно выносить за знак логарифмаlog a b p = p log a b (a > 0, a ≠ 1, b > 0) (7)
И вновь хотелось бы призвать к аккуратности. Рассмотрим следующий пример:
Log a (f (x) 2 = 2 log a f (x)
Левая часть равенства определена, очевидно, при всех значениях f(х), кроме нуля. Правая часть — только при f(x)>0! Вынося степень из логарифма, мы вновь сужаем ОДЗ. Обратная процедура приводит к расширению области допустимых значений. Все эти замечания относятся не только к степени 2, но и к любой четной степени.
log a b = log c b log c a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1) (8)
Тот редкий случай, когда ОДЗ не изменяется при преобразовании.
Если вы разумно выбрали основание с (положительное и не равное 1), формула перехода к новому основанию является абсолютно безопасной.
Если в качестве нового основания с выбрать число b, получим важный частный случай формулы (8):
Log a b = 1 log b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1) (9)
Несколько простых примеров с логарифмамиПример 1. Вычислите: lg2 + lg50.
Решение. lg2 + lg50 = lg100 = 2. Мы воспользовались формулой суммы логарифмов (5) и определением десятичного логарифма.
Пример 2. Вычислите: lg125/lg5.
Решение. lg125/lg5 = log 5 125 = 3. Мы использовали формулу перехода к новому основанию (8).
| a log a b = b (a > 0, a ≠ 1) |
| log a a = 1 (a > 0, a ≠ 1) |
| log a 1 = 0 (a > 0, a ≠ 1) |
| log a (b c) = log a b + log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) |
| log a b c = log a b − log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) |
| log a b p = p log a b (a > 0, a ≠ 1, b > 0) |
| log a b = log c b log c a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1) |
| log a b = 1 log b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1) |
Приведены основные свойства натурального логарифма, график, область определения, множество значений, основные формулы, производная, интеграл, разложение в степенной ряд и представление функции ln x посредством комплексных чисел.
Определение
Натуральный логарифм — это функция y = ln x , обратная к экспоненте , x = e y , и являющаяся логарифмом по основанию числа е : ln x = log e x .
Натуральный логарифм широко используется в математике, поскольку его производная имеет наиболее простой вид: (ln x)′ = 1/ x .
Исходя из определения , основанием натурального логарифма является число е :
е
≅ 2,718281828459045…
;
.
График функции y = ln x .
График натурального логарифма (функции y = ln x ) получается из графика экспоненты зеркальным отражением относительно прямой y = x .
Натуральный логарифм определен при положительных значениях переменной x . Он монотонно возрастает на своей области определения.
При x → 0 пределом натурального логарифма является минус бесконечность ( — ∞ ).
При x → + ∞
пределом натурального логарифма является плюс бесконечность ( + ∞
). При больших x
логарифм возрастает довольно медленно.
Любая степенная функция x a
с положительным показателем степени a
растет быстрее логарифма.
Свойства натурального логарифма
Область определения, множество значений, экстремумы, возрастание, убывание
Натуральный логарифм является монотонно возрастающей функцией, поэтому экстремумов не имеет. Основные свойства натурального логарифма представлены в таблице.
Значения ln x
ln 1 = 0
Основные формулы натуральных логарифмов
Формулы, вытекающие из определения обратной функции:
Основное свойство логарифмов и его следствия
Формула замены основания
Любой логарифм можно выразить через натуральные логарифмы с помощью формулы замены основания:
Доказательства этих формул представлены в разделе «Логарифм» .
Обратная функция
Обратной для натурального логарифма является экспонента .
Если , то
Если , то .
Производная ln x
Производная натурального логарифма:
.
Производная натурального логарифма от модуля x
:
.
Производная n-го порядка:
.
Вывод формул > > >
Интеграл
Интеграл вычисляется интегрированием по частям :
.
Итак,
Выражения через комплексные числа
Рассмотрим функцию комплексной переменной z
:
Выразим комплексную переменную z через модуль r и аргумент φ :
.
Используя свойства логарифма, имеем:
.
Или
.
Аргумент φ определен не однозначно. Если положить
, где n — целое,
то будет одним и тем же числом при различных n .
Поэтому натуральный логарифм, как функция от комплексного переменного, является не однозначной функцией.
Разложение в степенной ряд
При имеет место разложение:
Использованная литература:
И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев, Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов, «Лань», 2009.
Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию.
Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.
Сбор и использование персональной информации
Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.
От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.
Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.
Какую персональную информацию мы собираем:
- Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.
Как мы используем вашу персональную информацию:
- Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
- Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
- Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
- Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.
Раскрытие информации третьим лицам
Исключения:
- В случае если необходимо — в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ — раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
- В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.
Защита персональной информации
Мы предпринимаем меры предосторожности — включая административные, технические и физические — для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.
Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании
Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.
(от греческого λόγος — «слово», «отношение» и ἀριθμός — «число») числа b по основанию a (log α b ) называется такое число c , и b = a c , то есть записи log α b =c и b=a c эквивалентны.
Логарифм имеет смысл, если a > 0, а ≠ 1, b > 0.
Говоря другими словами логарифм числа b по основанию а формулируется как показатель степени , в которую надо возвести число a , чтобы получить число b (логарифм существует только у положительных чисел).
Из данной формулировки вытекает, что вычисление x= log α b , равнозначно решению уравнения a x =b.
Например:
log 2 8 = 3 потому, что 8=2 3 .
Выделим, что указанная формулировка логарифма дает возможность сразу определить значение логарифма
Вычисление логарифма именуют логарифмированием . Логарифмирование — это математическая операция взятия логарифма.
При логарифмировании, произведения сомножителей трансформируется в суммы членов.
Потенцирование — это математическая операция обратная логарифмированию. При потенцировании заданное основание возводится в степень выражения, над которым выполняется потенцирование. При этом суммы членов трансформируются в произведение сомножителей.
Достаточно часто используются вещественные логарифмы с основаниями 2 (двоичный), е число Эйлера e ≈ 2,718 (натуральный логарифм) и 10 (десятичный).
На данном этапе целесообразно рассмотреть образцы логарифмов log 7 2, ln√ 5, lg0.0001.
А записи lg(-3), log -3 3.2, log -1 -4.3 не имеют смысла, так как в первой из них под знаком логарифма помещено отрицательное число , во второй — отрицательное число в основании, а в третьей — и отрицательное число под знаком логарифма и единица в основании.
Условия определения логарифма.
Стоит отдельно рассмотреть условия a > 0, a ≠ 1, b > 0.при которых дается определение логарифма .
Рассмотрим, почему взяты эти ограничения. В это нам поможет равенство вида x = log α b , называемое основным логарифмическим тождеством , которое напрямую следует из данного выше определения логарифма.
Возьмем условие a≠1 . Поскольку единица в любой степени равна единице, то равенство x=log α b может существовать лишь при b=1 , но при этом log 1 1 будет любым действительным числом . Для исключения этой неоднозначности и берется a≠1 .
Докажем необходимость условия a>0 . При a=0 по формулировке логарифма может существовать только при b=0 . И соответственно тогда log 0 0 может быть любым отличным от нуля действительным числом, так как нуль в любой отличной от нуля степени есть нуль. Исключить эту неоднозначность дает условие a≠0 . А при a нам бы пришлось отвергнуть разбор рациональных и иррациональных значений логарифма, поскольку степень с рациональным и иррациональным показателем определена лишь для неотрицательных оснований.
Именно по этой причине и оговорено условие a>0 .
И последнее условие b>0 вытекает из неравенства a>0 , поскольку x=log α b , а значение степени с положительным основанием a всегда положительно.
Особенности логарифмов.
Логарифмы характеризуются отличительными особенностями , которые обусловили их повсеместное употребление для значительного облегчения кропотливых расчетов. При переходе «в мир логарифмов» умножение трансформируется на значительно более легкое сложение, деление — на вычитание, а возведение в степень и извлечение корня трансформируются соответствующе в умножение и деление на показатель степени.
Формулировку логарифмов и таблицу их значений (для тригонометрических функций) впервые издал в 1614 году шотландский математик Джон Непер. Логарифмические таблицы, увеличенные и детализированные прочими учеными, широко использовались при выполнении научных и инженерных вычислений, и оставались актуальными пока не стали применяться электронные калькуляторы и компьютеры.
Как известно, при перемножении выражений со степенями их показатели всегда складываются (a b *a c = a b+c). Этот математический закон был выведен Архимедом, а позже, в VIII веке, математик Вирасен создал таблицу целых показателей. Именно они послужили для дальнейшего открытия логарифмов. Примеры использования этой функции можно встретить практически везде, где требуется упростить громоздкое умножение на простое сложение. Если вы потратите минут 10 на прочтение этой статьи, мы вам объясним, что такое логарифмы и как с ними работать. Простым и доступным языком.
Определение в математике
Логарифмом называется выражение следующего вида: log a b=c, то есть логарифмом любого неотрицательного числа (то есть любого положительного) «b» по его основанию «a» считается степень «c», в которую необходимо возвести основание «a», чтобы в итоге получить значение «b». Разберем логарифм на примерах, допустим, есть выражение log 2 8. Как найти ответ? Очень просто, нужно найти такую степень, чтобы из 2 в искомой степени получить 8.
Проделав в уме некоторые расчеты, получаем число 3! И верно, ведь 2 в степени 3 дает в ответе число 8.
Разновидности логарифмов
Для многих учеников и студентов эта тема кажется сложной и непонятной, однако на самом деле логарифмы не так страшны, главное — понять общий их смысл и запомнить их свойста и некоторые правила. Существует три отдельных вида логарифмических выражений:
- Натуральный логарифм ln a, где основанием является число Эйлера (e = 2,7).
- Десятичный a, где основанием служит число 10.
- Логарифм любого числа b по основанию a>1.
Каждый из них решается стандартным способом, включающим в себя упрощение, сокращение и последующее приведение к одному логарифму с помощью логарифмических теорем. Для получения верных значений логарифмов следует запомнить их свойства и очередность действий при их решениях.
Правила и некоторые ограничения
В математике существует несколько правил-ограничений, которые принимаются как аксиома, то есть не подлежат обсуждению и являются истиной.
Например, нельзя числа делить на ноль, а еще невозможно извлечь корень четной степени из отрицательных чисел. Логарифмы также имеют свои правила, следуя которым можно с легкостью научиться работать даже с длинными и емкими логарифмическими выражениями:
- основание «a» всегда должно быть больше нуля, и при этом не быть равным 1, иначе выражение потеряет свой смысл, ведь «1» и «0» в любой степени всегда равны своим значениям;
- если а > 0, то и а b >0, получается, что и «с» должно быть больше нуля.
Как решать логарифмы?
К примеру, дано задание найти ответ уравнения 10 х = 100. Это очень легко, нужно подобрать такую степень, возведя в которую число десять, мы получим 100. Это, конечно же, 10 2 =100.
А теперь давайте представим данное выражение в виде логарифмического. Получим log 10 100 = 2. При решении логарифмов все действия практически сходятся к тому, чтобы найти ту степень, в которую необходимо ввести основание логарифма, чтобы получить заданное число.
Для безошибочного определения значенияя неизвестной степени необходимо научиться работать с таблицей степеней. Выглядит она следующим образом:
Как видите, некоторые показатели степени можно угадать интуитивно, если имеется технический склад ума и знание таблицы умножения. Однако для больших значений потребуется таблица степеней. Ею могут пользоваться даже те, кто совсем ничего не смыслит в сложных математических темах. В левом столбце указаны числа (основание a), верхний ряд чисел — это значение степени c, в которую возводится число a. На пересечении в ячейках определены значения чисел, являющиеся ответом (a c =b). Возьмем, к примеру, самую первую ячейку с числом 10 и возведем ее в квадрат, получим значение 100, которое указано на пересечении двух наших ячеек. Все так просто и легко, что поймет даже самый настоящий гуманитарий!
Уравнения и неравенства
Получается, что при определенных условиях показатель степени — это и есть логарифм. Следовательно, любые математические численные выражения можно записать в виде логарифмического равенства.
Например, 3 4 =81 можно записать в виде логарифма числа 81 по основанию 3, равному четырем (log 3 81 = 4). Для отрицательных степеней правила такие же: 2 -5 = 1/32 запишем в виде логарифма, получим log 2 (1/32) = -5. Одной из самых увлекательных разделов математики является тема «логарифмы». Примеры и решения уравнений мы рассмотрим чуть ниже, сразу же после изучения их свойств. А сейчас давайте разберем, как выглядят неравенства и как их отличить от уравнений.
Дано выражение следующего вида: log 2 (x-1) > 3 — оно является логарифмическим неравенством, так как неизвестное значение «х» находится под знаком логарифма. А также в выражении сравниваются две величины: логарифм искомого числа по основанию два больше, чем число три.
Самое главное отличие между логарифмическими уравнениями и неравенствами заключается в том, что уравнения с логарифмами (пример — логарифм 2 x = √9) подразумевают в ответе одно или несколько определенных числовых значений, тогда как при решении неравенства определяются как область допустимых значений, так и точки разрыва этой функции.
Как следствие, в ответе получается не простое множество отдельных чисел как в ответе уравнения, а а непрерывный ряд или набор чисел.
Основные теоремы о логарифмах
При решении примитивных заданий по нахождению значений логарифма, его свойства можно и не знать. Однако когда речь заходит о логарифмических уравнениях или неравенствах, в первую очередь, необходимо четко понимать и применять на практике все основные свойства логарифмов. С примерами уравнений мы познакомимся позже, давайте сначала разберем каждое свойство более подробно.
- Основное тождество выглядит так: а logaB =B. Оно применяется только при условии, когда а больше 0, не равно единице и B больше нуля.
- Логарифм произведения можно представить в следующей формуле: log d (s 1 *s 2) = log d s 1 + log d s 2. При этом обязательным условием является: d, s 1 и s 2 > 0; а≠1. Можно привести доказательство для этой формулы логарифмов, с примерами и решением. Пусть log a s 1 = f 1 и log a s 2 = f 2 , тогда a f1 = s 1 , a f2 = s 2. Получаем, что s 1 *s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (свойства степеней), а далее по определению: log a (s 1 *s 2)= f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2, что и требовалось доказать.
- Логарифм частного выглядит так: log a (s 1/ s 2) = log a s 1 — log a s 2.
- Теорема в виде формулы приобретает следующий вид: log a q b n = n/q log a b.
Получаем, что s 1 *s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (свойства степеней), а далее по определению: log a (s 1 *s 2)= f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2, что и требовалось доказать.Называется эта формула «свойством степени логарифма». Она напоминает собой свойства обычных степеней, и неудивительно, ведь вся математика держится на закономерных постулатах. Давайте посмотрим на доказательство.
Пусть log a b = t, получается a t =b. Если возвести обе части в степень m: a tn = b n ;
но так как a tn = (a q) nt/q = b n , следовательно log a q b n = (n*t)/t, тогда log a q b n = n/q log a b. Теорема доказана.
Примеры задач и неравенств
Самые распространенные типы задач на тему логарифмов — примеры уравнений и неравенств. Они встречаются практически во всех задачниках, а также входят в обязательную часть экзаменов по математике.
Для поступления в университет или сдачи вступительных испытаний по математике необходимо знать, как правильно решать подобные задания.
К сожалению, единого плана или схемы по решению и определению неизвестного значения логарифма не существует, однако к каждому математическому неравенству или логарифмическому уравнению можно применить определенные правила. Прежде всего следует выяснить, можно ли упростить выражение или привести к общему виду. Упрощать длинные логарифмические выражения можно, если правильно использовать их свойства. Давайте скорее с ними познакомимся.
При решении же логарифмических уравнений, следует определить, какой перед нами вид логарифма: пример выражения может содержать натуральный логарифм или же десятичный.
Вот примеры ln100, ln1026. Их решение сводится к тому, что нужно определить ту степень, в которой основание 10 будет равно 100 и 1026 соответственно. Для решений же натуральных логарифмов нужно применить логарифмические тождества или же их свойства.
Давайте на примерах рассмотрим решение логарифмических задач разного типа.
Как использовать формулы логарифмов: с примерами и решениями
Итак, рассмотрим примеры использования основных теорем о логарифмах.
- Свойство логарифма произведения можно применять в заданиях, где необходимо разложить большое значение числа b на более простые сомножители. Например, log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4*128) = log 2 512. Ответ равен 9.
- log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1,5 — как видите, применяя четвертое свойство степени логарифма, удалось решить на первый взгляд сложное и нерешаемое выражение. Необходимо всего лишь разложить основание на множители и затем вынести значения степени из знака логарифма.
Задания из ЕГЭ
Логарифмы часто встречаются на вступительных экзаменах, особенно много логарифмических задач в ЕГЭ (государственный экзамен для всех выпускников школ). Обычно эти задания присутствуют не только в части А (самая легкая тестовая часть экзамена), но и в части С (самые сложные и объемные задания).
Экзамен подразумевает точное и идеальное знание темы «Натуральные логарифмы».
Примеры и решения задач взяты из официальных вариантов ЕГЭ. Давайте посмотрим, как решаются такие задания.
Дано log 2 (2x-1) = 4. Решение:
перепишем выражение, немного его упростив log 2 (2x-1) = 2 2 , по определению логарифма получим, что 2x-1 = 2 4 , следовательно 2x = 17; x = 8,5.
- Все логарифмы лучше всего приводить к одному основанию, чтобы решение не было громоздким и запутанным.
- Все выражение, стоящие под знаком логарифма, указываются как положительные, поэтому при вынесении множителем показателя степени выражения, который стоит под знаком логарифма и в качестве его основания, остающееся под логарифмом выражение должно быть положительно.
Натуральный логарифм и число е
Используй поиск, чтобы найти научные материалы и собрать список литературы
База статей справочника включает в себя статьи написанные экспертами Автор24, статьи из научных журналов и примеры студенческих работ из различных вузов страны
Содержание статьи
1.
k$
Замечание 1
Последней формулой описывается второй замечательный предел.
Число е также носит название числа Эйлера, а иногда и числа Непера.
Замечание 2
Чтобы запомнить первые знаки числа $е$ зачастую пользуются следующим выражением: «$2$, $7$, дважды Лев Толстой». Конечно же, для того, чтобы можно было его использовать, необходимо помнить, что Лев Толстой родился в $1828$ г. Именно эти числа дважды повторяются в значении числа $е$ после целой части $2$ и десятичной $7$.
Рассмотрение понятия числа $е$ при изучении натурального логарифма мы начали именно потому, что оно стоит в основании логарифма $\log_{e}a$, который принято называть натуральным и записывать в виде $\ln a$.
Натуральный логарифм
Часто при расчетах используют логарифмы, в основании которых стоит число $е$.
Определение 4
Логарифм с основанием $е$ называют натуральным.
2}-2 \ln 27=-6$.
Сообщество экспертов Автор24
Автор этой статьи Дата последнего обновления статьи: 21.07.2022
Выполнение любых типов работ по математике
Решение задач по комбинаторике на заказ Решение задачи Коши онлайн Математика для заочников Контрольная работа на тему числовые неравенства и их свойства Контрольная работа на тему умножение и деление рациональных чисел Контрольная работа на тему действия с рациональными числами Дипломная работа на тему числа Курсовая работа на тему дифференциальные уравнения Контрольная работа на тему приближенные вычисления Решение задач с инвариантами
Подбор готовых материалов по теме
Дипломные работы Курсовые работы Выпускные квалификационные работы Рефераты Сочинения Доклады Эссе Отчеты по практике Решения задач Контрольные работы
Natural Log — Алгебра II
Все ресурсы по Алгебре II
10 диагностических тестов 630 практических тестов Вопрос дня Карточки Learn by Concept
← Предыдущая 1 2 3 Следующая →
Алгебра II Помощь » Математические отношения и основные графики » Логарифмы » Понимание логарифмов » Натуральный бревно
Решите для .
Возможные ответы:
Правильный ответ:
Объяснение:
Первое, что мы замечаем в этой задаче, это показатель степени. Это должно быть немедленным напоминанием: используйте журналы!
Вопрос, какую базу выбрать для лога? Мы должны использовать натуральный логарифм (логарифмическая база e), потому что в правой части уравнения уже есть e в качестве основания показателя степени. Как вы увидите, таким образом все лучше уравновешивается.
Возьмите натуральный логарифм обеих сторон:
Перепишите правую часть уравнения, используя правило произведения для логов:
Теперь перепишите все уравнение, уменьшив эти показатели степени.
то же самое, что и , что равно 1.
Теперь мы просто разделим на обе стороны, чтобы изолировать.
Сообщить об ошибке
Переписать как одно логарифмическое выражение:
Возможные ответы:
Правильный ответ:
Объяснение:
Использование свойств Logarithms
и,
Мы упрощаем следующее:
Отчет о ошибке
Какое из следующих выражений равна выражению?
Возможные ответы:
Ни один из других ответов не является правильным.
Правильный ответ:
Объяснение:
методом обратной формы, мы учитываем полином следующим образом:
Следовательно, мы можем использовать свойство
Следующий:
Отчет о ошибке
Solve Solve . Округлить до тысячных.
Возможные ответы:
Правильный ответ:
Объяснение:
Первоначальное уравнение:
Вычтите с обеих сторон:
Divde обеих сторон на:
Возьмите натуральный логарифм с обеих сторон:
Divde Обе обеими болями и употреблением. калькулятор для получения:
Сообщить об ошибке
Каковы домен и диапазон функции?
Возможные ответы:
Домен = все неотрицательные числа
Диапазон = все положительные числа
Домен = все положительные действительные числа действительные числа
Домен = все положительные числа
Диапазон = все положительные числа
Домен = все положительные числа
Диапазон = все неотрицательные числа
Правильный ответ:
Домен = все положительные действительные числа
Диапазон = все действительные числа
Объяснение:
Помните, что это по-прежнему логарифм положительного числа, .
Невозможно возвести в ЛЮБУЮ степень и получить отрицательное число. Потому что четное, например, равно простому, которое представляет собой отношение двух положительных чисел и, следовательно, положительное.
Более того, также невозможно получить 0, возведя в любую степень. Подумайте: «В какой степени я могу возвести в степень e и получить 0?»
Таким образом, домен строго положительный. Он исключает отрицательные числа и 0.
А как насчет диапазона? До каких возможных значений мы можем возводить в степень?
Итак, мы только что увидели, что в нем есть определение для отрицательных чисел. (этот факт верен для ВСЕХ чисел, а не только ).
И мы, очевидно, можем возвести его в положительную степень. Таким образом, диапазон — это все действительные числа. Он включает в себя отрицательные числа, 0 и положительные числа.
Сообщить об ошибке
Найдите:
.
При необходимости округлить до десятых.
Возможные ответы:
Нет решения
Правильный ответ:
4
55
5
Объяснение: Дайте обеим сторонам одинаковую базу, используя e :
.
Поскольку e и l компенсируют друг друга, .
Найдите x и округлите до десятых:
Сообщить об ошибке
Найти x:
Возможные ответы:
Правильный ответ:
Объяснение:
Чтобы найти x, имейте в виду, что натуральный логарифм и экспонента компенсируют друг друга (свойство любого логарифма по основанию, которое берется из того же основания с присоединенным показателем степени). Когда они сокращаются, у нас остаются только показатели степени:
Отчет о ошибке
Определить значение:
Возможные ответы:
Правильный ответ:
Объяснение:
Основа натурального бревна . Это означает, что термин упростится до значения, равного силе . Некоторые примеры:
Это означает, что
Умножьте это количество на три.
Ответ:
Сообщить об ошибке
Объяснение:
Чтобы упростить это выражение, используйте следующее правило естественного журнала.
Естественный журнал имеет базу по умолчанию . Это означает, что:
Ответ:
Сообщить об ошибке
Упростить:
Возможные ответы:
Правильный ответ:
Объяснение:
В соответствии со свойствами логарифма коэффициент перед натуральным логарифмом можно переписать как показатель степени, увеличенный на величину внутри логарифма.
Обратите внимание, что основание натурального бревна . Это означает, что поднятие логарифма по основанию устранит как логарифм, так и естественный логарифм.
Условия становятся:
Упростить питание.
Ответ:
Сообщить об ошибке
← Предыдущая 1 2 3 Следующая →
Уведомление об авторских правах
630 практических тестов
Вопрос дня
Карточки
Learn by Concept
Пояснение к уроку: уравнения натуральных логарифмов
В этом объяснении мы узнаем, как использовать натуральные логарифмы для решения экспоненциальных и логарифмических уравнений.
Напомним, что логарифм — это просто степень, в которую нужно возвести число, чтобы получить определенное значение. Например, логарифмическая
журнал уравнения 𝑏=𝑐 — это еще один способ записи показательного уравнения 𝑎=𝑏. Мы
ссылайтесь на 𝑎 как на основание, 𝑐 как на степень, в которую 𝑎 возводится (показатель степени),
и 𝑏 как ответ, когда мы возводим 𝑎 в степень 𝑐. Чтобы проиллюстрировать это
принципе, логарифмическое уравнение log1000=3 — это еще один способ записи экспоненциального уравнения
10=1000.
Мы уже должны быть знакомы со свойствами логарифмов (часто называемых «журналами»), включая законы
логарифмы, которые помогают нам упростить выражения, содержащие журналы. Мы повторяем эти законы здесь, так как они окажутся чрезвычайно полезными.
при решении показательных и логарифмических уравнений.
Законы: Логарифмы
Для действительных чисел 𝑥>0, 𝑦>0, 𝑎>0 и 𝑘,
с 𝑎≠1 выполняются следующие законы логарифмов:
УмножениеlawlogloglogDivisionlawlogloglogPowerlawloglog∶𝑥+𝑦=(𝑥𝑦)∶𝑥−𝑦=𝑥𝑦∶𝑥=𝑘𝑥
Нам также необходимо знать следующие особые случаи:
0 помните, что обратная функция делает противоположное функции; для функции 𝑓(𝑥),
мы используем обозначение 𝑓(𝑥) для представления его обратного. Мы знаем, что обратная экспонента
функция 𝑓(𝑥)=𝑎 задается логарифмической функцией 𝑓(𝑥)=𝑥log. Поэтому преимущество логарифма в том, что он «отменяет» возведение в степень, что позволяет
нам решать показательные уравнения.
В конкретном случае, когда основание равно 𝑒, у нас есть естественная экспоненциальная функция 𝑓(𝑥)=𝑒,
с обратным выражением 𝑓(𝑥)=𝑥log. Мы ссылаемся на log𝑥 как на естественную логарифмическую функцию и обычно записываем ее в обозначении
п𝑥.
Для любой функции с обратной, график обратной функции является отражением исходной функции в прямой
𝑦=𝑥. Следовательно, график 𝑦=𝑥ln является отражением графика
𝑦=𝑒 в строке 𝑦=𝑥, как показано ниже.
График 𝑦=𝑥ln также обладает следующими специфическими свойствами:
- Он пересекает ось 𝑥 в точке (1,0), что говорит нам о том, что ln1=0.
- Ось 𝑦 представляет собой асимптоту, которая показывает, что 𝑦=𝑥ln определено только для положительных значений
из 𝑥 и не существует для 𝑥≤0.
- Так как 𝑥→∞, то и ln𝑥→∞, хотя ln𝑥
растет очень медленно.
(Обратите внимание, что для разных значений 𝑎 графики 𝑦=𝑎 и 𝑦=𝑥log будут выглядеть очень похоже на этот, но с более крутыми или более пологими кривыми, в зависимости от значения
𝑎. )
Поскольку мы знаем, что применение обратной функции «отменяет» действие исходной функции, то запись
𝑓(𝑥)=𝑒 и 𝑓(𝑥)=𝑥ln имеем
𝑓(𝑓(𝑥))=𝑓(𝑒)=(𝑒)=𝑥,𝑓𝑓(𝑥)=𝑓(𝑥)=𝑒=𝑥. используйте два ключевых факта: ln(𝑒)=𝑥 и 𝑒=𝑥ln повсюду.
этот объяснитель.
Создав необходимые понятия, теперь мы можем заняться некоторыми уравнениями. Например, предположим, что нас попросили решить
показательное уравнение 𝑒=9, дающее наш ответ с точностью до трех знаков после запятой.
Чтобы найти 𝑥, нам нужен способ извлечения 2𝑥 из его положения как степени (или показателя степени)
из 𝑒. Теперь мы уже знаем, что можем решить экспоненциальные уравнения, такие как 2 = 8, взяв
логарифм по основанию 2 обеих сторон. Мы получили бы loglog2=8, что упрощается до
𝑥=3. Следовательно, поскольку натуральный логарифм является операцией, обратной возведению 𝑒 в
степень, здесь наш первый шаг — взять натуральные логарифмы (часто называемые «логарифмированием») обеих частей уравнения. Затем упрощаем результат.
Взять бревна и затем разделить обе стороны на 2 дает
lnlnlnln𝑒=92𝑥=9𝑥=129.
С помощью нашего калькулятора получаем 𝑥=1,098612…. Наконец, округляя до трех знаков после запятой, получаем
ответ 𝑥=1,099.
Обратите внимание, что если бы нас попросили дать ответ в точной форме , мы бы оставили значение 𝑥 как
точное логарифмическое выражение 129ln. Важно обратить внимание на формулировку
вопросы, чтобы убедиться, что мы всегда даем наш ответ в требуемой форме.
Давайте теперь попробуем несколько примеров, чтобы попрактиковаться в этих навыках.
Пример 1. Решение натуральных показательных уравнений с использованием натуральных логарифмов
Найдите с точностью до тысячной значение 𝑥 такое, что 𝑒=19.
Ответ
Напомним, что натуральная логарифмическая функция 𝑦=𝑥log, обычно записываемая как 𝑦=𝑥ln,
является обратной естественной показательной функцией 𝑦=𝑒. Мы можем использовать тот факт, что
ln(𝑒)=𝑥 вместе с законами логарифмов, чтобы помочь нам решить естественные экспоненциальные уравнения.
Здесь мы имеем натуральное показательное уравнение 𝑒=19. Так как натуральный логарифм является обратным
операции возведения 𝑒 в степень, наш первый шаг — взять натуральные логарифмы (часто называемые «взятием
журналы») обеих частей уравнения:
lnlnln𝑒=194𝑥−3=19.
Найдем 𝑥, прибавив 3 к обеим частям и затем разделив обе части на 4, что дает
4𝑥=19+3𝑥=14(19+3).lnln
С помощью нашего калькулятора получаем 𝑥=1,486109…. Нас попросили округлить наш ответ до ближайшей тысячной. Помните, что цифра тысячных — это третья цифра после запятой, которая в данном случае равна 6. Цифра, следующая за
это (цифра десятитысячных) равна 1, поэтому ответ округляется до 𝑥=1,486 до ближайшей тысячной.
Нас могут попросить решить более сложные натуральные экспоненциальные уравнения. Например, предположим, что у нас есть такое уравнение, как
𝑒+3𝑒−10=0.
С такими вопросами хитрость заключается в том, чтобы понять, что 𝑒 — это то же самое, что (𝑒). Это означает, что левая часть данного уравнения на самом деле является квадратичной функцией 𝑒. Следовательно, для решения
уравнение, мы начинаем с замены 𝑧=𝑒, чтобы получить
𝑧+3𝑧−10=0.
Поскольку теперь это квадратное уравнение относительно 𝑧, мы факторизуем уравнение и решим для 𝑧. Затем,
мы можем работать в обратном направлении от того факта, что 𝑧=𝑒, чтобы найти соответствующее значение (или значения)
𝑥.
Чтобы разложить 𝑧+3𝑧−10, нам нужно идентифицировать пары множителей, которые умножаются, чтобы дать −10 и
затем выберите пару, которая в сумме дает 3. Легко проверить, что искомые числа равны −2 и 5,
поэтому мы можем разложить 𝑧+3𝑧−10, чтобы получить (𝑧−2)(𝑧+5). Таким образом, наш
уравнение становится
(𝑧−2)(𝑧+5)=0,
так что 𝑧=2 или 𝑧=−5. То есть 𝑒=2 или 𝑒=−5.
Теперь вспомните, что 𝑒>0 для всех действительных значений 𝑥, что можно проверить, обратившись к
вернемся к нашей диаграмме, показывающей взаимосвязь между 𝑦=𝑒 и 𝑦=𝑥ln. Следовательно,
уравнение 𝑒=−5 не имеет решения, поэтому нам осталось решить 𝑒=2. Это сейчас в
форму простого натурального экспоненциального уравнения того типа, которое мы решили ранее. Взятие бревен с обеих сторон дает точное
раствор 𝑥=2лн.
Давайте проверим наше понимание на похожем примере.
Пример 2. Решение натуральных показательных уравнений с использованием натуральных логарифмов
Если 𝑒−2𝑒−3=0, где 𝑥 — действительное число, найти все возможные значения
𝑒.
Ответ
Напомним, что натуральная логарифмическая функция 𝑦=𝑥log, обычно записываемая как 𝑦=𝑥ln,
является обратной естественной показательной функцией 𝑦=𝑒. Мы можем использовать тот факт, что
ln(𝑒)=𝑥, вместе с законами логарифмов, чтобы помочь нам решить натуральный экспоненциальный
уравнения.
В этом вопросе у нас есть естественное показательное уравнение 𝑒−2𝑒−3=0, и нам нужно
найти все возможные значения 𝑒. Обратите внимание, что левая часть является квадратичной функцией 𝑒,
поэтому мы начинаем с замены 𝑧=𝑒, чтобы получить
𝑧−2𝑧−3=0.
Поскольку теперь это квадратное уравнение относительно 𝑧, мы факторизуем уравнение и решим для 𝑧.
Чтобы разложить 𝑧−2𝑧−3, нам нужно идентифицировать пары множителей, которые умножаются, чтобы дать −3 и
затем выберите пару, которая добавляет -2. Легко проверить, что искомые числа равны −3.
и 1, поэтому мы можем разложить 𝑧−2𝑧−3, чтобы получить (𝑧−3)(𝑧+1). Таким образом,
наше уравнение становится
(𝑧−3)(𝑧+1)=0,
так что 𝑧=3 или 𝑧=−1. То есть 𝑒=3 или 𝑒=−1.
Теперь вспомним, что 𝑒>0 для всех действительных значений 𝑥. Следовательно, мы не можем иметь
𝑒=−1, поэтому у нас осталось единственное решение 𝑒=3.
Далее, предположим, что нас попросили решить уравнение натурального логарифма ln(3𝑥−1)=2, что дает
наш ответ в точной форме.
На этот раз, чтобы найти 𝑥, нам нужен способ извлечения 3𝑥−1 из его положения в пределах
натуральный логарифм. Поскольку возведение 𝑒 в степень является операцией, обратной натуральному логарифму, наша
Первый шаг — возвести 𝑒 в степень обеих частей уравнения. Затем упростим результат, добавив
1 в обе стороны с последующим делением на 3:
𝑒=𝑒3𝑥−1=𝑒3𝑥=𝑒+1𝑥=13𝑒+1.ln()
В следующем примере используется уравнение натурального логарифма.
Пример 3. Решение уравнений с натуральными логарифмами
Решите lnln9=74 относительно 𝑥, давая ответ с точностью до сотых.
Ответ
Напомним, что натуральная показательная функция 𝑦=𝑒 является обратной натуральной логарифмической функцией
𝑦=𝑥log, который обычно записывается как 𝑦=𝑥ln. Мы можем использовать тот факт, что
𝑒=𝑥ln вместе с законами логарифмов, чтобы помочь нам решить уравнения натуральных логарифмов.
Чтобы решить уравнение натурального логарифма lnln9=74 относительно 𝑥, нам сначала нужно
средство извлечения 7𝑥−9 из его положения как степени 9 в пределах натурального логарифма в левой части
сторону уравнения. Если применить степенной закон логарифмов loglog𝑧=𝑘𝑧
с 𝑎=𝑒, 𝑧=9 и 𝑘=7𝑥−9 получаем, что lnln9=(7𝑥−9)9. Следовательно, наше уравнение принимает вид
(7𝑥−9)9=74.lnln
Затем мы делим обе части на ln9, чтобы получить
7𝑥−9=749.lnln
Наконец, мы добавляем 9в обе стороны с последующим делением на 7:
7𝑥=749+9𝑥=17749+9.lnlnlnln
С помощью нашего калькулятора получаем 𝑥=1,565552…. Нас попросили округлить ответ до сотых. Помните, что сотая цифра — это вторая цифра после запятой, которая в данном случае равна 6. Цифра, следующая за
это (тысячная цифра) равно 5, поэтому ответ округляется до 𝑥=1,57 до ближайшей сотой.
Иногда встречаются экспоненциальные уравнения, включающие в себя комбинацию экспоненциальных выражений. В подобных случаях мы могли бы
необходимо применить несколько различных операций, прежде чем мы получим желаемое решение. Вот пример такого типа.
Пример 4. Решение уравнений с использованием натуральных логарифмов
Решите уравнение 2𝑒=7, задав ответ в виде 𝑎+𝑏𝑐+𝑑lnln.
Ответ
Напомним, что натуральная логарифмическая функция 𝑦=𝑥log, обычно записываемая как 𝑦=𝑥ln, является обратной натуральной показательной функцией 𝑦=𝑒. Мы можем использовать тот факт, что
ln(𝑒)=𝑥 вместе с законами логарифмов, чтобы помочь нам решить экспоненциальные уравнения.
В этом вопросе у нас есть показательное уравнение 2𝑒=7, где левая часть — произведение
показательной функции 2 и естественной показательной функции 𝑒. Мы знаем это
натуральный логарифм — это обратная операция возведения 𝑒 в степень. Несмотря на то, что только один из
левосторонние экспоненциальные функции имеют основание 𝑒, разумным первым шагом по-прежнему является логарифмирование обеих сторон
уравнение. Таким образом, мы получаем
lnln2𝑒=7.
Далее, поскольку выражение в левой части теперь представляет собой логарифм произведения двух экспоненциальных функций, мы можем применить
закон умножения логарифмов logloglog𝑤+𝑧=(𝑤𝑧) в обратном порядке,
с 𝑎=𝑒, 𝑤=2 и 𝑧=𝑒. Это позволяет нам отделить
две экспоненциальные функции, а затем упростите вторую следующим образом:
lnlnlnlnln(2)+𝑒=7(2)+3𝑥−1=7.
Обратите внимание, что тогда мы можем упростить первый член в левой части, применив степенной закон логарифмирования
loglog𝑧=𝑘𝑧 с 𝑎=𝑒, 𝑧=2 и
𝑘=𝑥. Таким образом, наше уравнение становится
𝑥2+3𝑥−1=7.lnln
Чтобы решить это уравнение для 𝑥, сначала мы добавляем 1 к обеим частям, чтобы собрать члены, включающие 𝑥
с одной стороны и числа с другой стороны:
𝑥2+3𝑥=7+1.lnln
Затем мы факторизуем левую часть, чтобы получить
𝑥(2+3)=7+1.lnln
Наконец, мы делим на ln2+3, что дает
𝑥=7+12+3=1+73+2.lnlnlnln
Поскольку теперь у нас есть 𝑥 в форме 𝑎+𝑏𝑐+𝑑lnln, это наш ответ.
Наш последний пример включает естественное экспоненциальное уравнение, взятое из реального контекста.
Пример 5: Решение задач из реальной жизни с использованием натуральных логарифмов
Количество людей, инфицированных корью во время вспышки в стране, можно смоделировать с помощью экспоненциального уравнения
𝑁(𝑡)=150𝑒, где 𝑁(𝑡) — количество людей
заразились через 𝑡 дней.
- Сколько людей было инфицировано в начале вспышки?
- Сколько людей заразится через 30 дней,
округлить до ближайшего человека?
- Сколько дней нужно на число
инфицированных удвоится?
Ответ
Напомним, что натуральная логарифмическая функция 𝑦=𝑥log, обычно записываемая как 𝑦=𝑥ln, является обратной натуральной показательной функцией 𝑦=𝑒. Мы можем использовать тот факт, что
ln(𝑒)=𝑥, вместе с законами логарифмов, чтобы помочь нам решить натуральный экспоненциальный
уравнения.
Здесь нам дано натуральное показательное уравнение 𝑁(𝑡)=150𝑒, которое дает число
человек заразились корью через 𝑡 дней после
начало вспышки в конкретной стране.
Часть 1
Чтобы рассчитать количество людей, инфицированных в начале вспышки, подставим 𝑡=0 в уравнение,
который дает
𝑁(0)=150𝑒=150𝑒=150.×
Часть 2
Рассчитать количество инфицированных через 30 дней после начала
вспышки подставляем 𝑡=30 в уравнение, что дает
𝑁(30)=150𝑒=150𝑒=907,447…. ×
Поскольку наш ответ представляет количество людей, мы должны округлить его до ближайшего целого числа. Так как первая цифра после запятой
точка равна 4, мы округляем до ближайшего целого числа, что дает ответ 907.
Часть 3
Чтобы определить, за сколько дней количество инфицированных удвоится, заметьте, что это эквивалентно определению
значение 𝑡, для которого 𝑁(𝑡) равно удвоенному числу зараженных в начале (т. е.
𝑁(𝑡)=2×150=300). Следовательно, мы должны решить естественное показательное уравнение
300=150𝑒.
Сначала мы разделим обе части на 150, чтобы получить
2=𝑒.
Далее, поскольку возведение натурального логарифма является операцией, обратной возведению 𝑒 в степень, мы берем логарифмы
обе части уравнения, что дает
lnlnln2=𝑒2=0,06𝑡.
Тогда, разделив на 0,06, получим
lnln20.06=𝑡𝑡=20.06.
С помощью нашего калькулятора получаем 𝑡=11,552…. Поскольку наш ответ представляет собой ряд
дней, это должно быть целое число. Поскольку 11.552…>11, это говорит нам о том, что требуется более 11 дней для
число инфицированных удвоится. Следовательно, округляем до ближайшего целого числа, поэтому искомое количество
days is 12.
Давайте закончим повторением некоторых ключевых понятий из этого объяснения.
Ключевые моменты
- Натуральная логарифмическая функция 𝑦=𝑥log, которая обычно записывается как 𝑦=𝑥ln. Это обратная естественная экспоненциальная функция 𝑦=𝑒.
- Мы можем использовать тот факт, что ln(𝑒)=𝑥 и 𝑒=𝑥ln,
совместно с законами логарифмов решать показательные и логарифмические уравнения.
Исчисление I. Экспоненциальные и логарифмические уравнения
Показать мобильное уведомление Показать все примечания Скрыть все примечания
Мобильное уведомление
Похоже, вы используете устройство с «узкой» шириной экрана ( т. е. вы, вероятно, используете мобильный телефон). Из-за характера математики на этом сайте лучше всего просматривать в ландшафтном режиме. Если ваше устройство не находится в ландшафтном режиме, многие уравнения будут отображаться сбоку вашего устройства (должна быть возможность прокрутки, чтобы увидеть их), а некоторые пункты меню будут обрезаны из-за узкой ширины экрана.
Раздел 1-9: Экспоненциальные и логарифмические уравнения 9{1 — 3z}}} \right) & = \ln \left( {\frac{1}{5}} \right)\\ 1 — 3z & = \ln \left({\frac{1}{5} }} \right)\end{align*}\]
Все, что нам нужно сделать сейчас, это решить это уравнение относительно \(z\).
\[\ begin{align*} 1 — 3z & = \ln \left( {\frac{1}{5}} \right)\\ — 3z & = — 1 + \ln \left({\frac{1 {5}} \right)\\ z & = — \frac{1}{3}\left( { — 1 + \ln \left( {\frac{1}{5}} \right)} \right ) = 0,8698126372\конец{выравнивание*}\]
9{5x — 4}} & = {\ frac {9} {4}} \ end {align *} \]
Обратите внимание: хотя мы сказали, что на самом деле не имеет значения, какую экспоненту мы делим, делая это так, как мы сделали здесь, мы избежим отрицательного коэффициента при \(x\). {{{\log}_b}x}} = x\]
Пример 6 Решите \(\displaystyle 3 + 2\ln \left( {\frac{x}{7} + 3} \right) = — 4\).
Показать решение
Первым шагом в этой задаче является получение логарифма одной стороны уравнения с коэффициентом 1.
\[\ begin{align*} 2\ln \left( {\frac{x}{7} + 3} \right) & = — 7\\ \ln \left({\frac{x}{7} + 3} \right) & = — \frac{7}{2}\end{align*}\]
9{ — \frac{7}{2}}}} \right) = — 20.78861832\end{align*}\]
В этот момент у нас может возникнуть соблазн сказать, что мы закончили и двигаться дальше. Однако нам нужно быть осторожными. Вспомним из предыдущего раздела, что мы не можем подставить отрицательное число в логарифм. Это само по себе не означает, что наш ответ не сработает, поскольку он отрицательный. Что нам нужно сделать, так это подставить его в логарифм и убедиться, что \(\frac{x}{7} + 3\) не будет отрицательным. r}} \right) = r{\log _b}(х)
\]
92}}} = 0,8807970780\конец{выравнивание*}\]
Работа над решением здесь была немного запутанной, но это работа, которую вам нужно будет выполнять время от времени, поэтому убедитесь, что вы можете это сделать!
Наконец, нам просто нужно убедиться, что решение \(x = 0,8807970780\) не дает отрицательных чисел в обоих исходных логарифмах. Это не так, так что это фактически наше решение этой проблемы.
Давайте рассмотрим другой пример.
Пример 8. Решите \(\log x + \log \left( {x — 3} \right) = 1\).
Показать решение
Как и в последнем примере, сначала объедините логарифмы в один логарифм.
\[\begin{align*}\log x + \log \left( {x — 3} \right) & = 1\\ \log \left( {x\left( {x — 3} \right)} \ справа) & = 1\end{align*}\]
Теперь возведите в степень, используя на этот раз 10 вместо и , потому что у нас есть общие журналы в уравнении с обеих сторон. 2} — 3x — 10 & = 0\\ \left( {x — 5} \right)\left( {x + 2} \right) & = 0\end{align*}\]
Итак, потенциальные решения равны \(x = 5\) и \(x = — 2\). Обратите внимание, однако, что если мы подставим \(x = — 2\) в любой из двух исходных логарифмов, мы получим отрицательные числа, так что это не может быть решением. Однако мы можем использовать \(x = 5\).
Следовательно, решением этого уравнения является \(x = 5\).
При решении уравнений с логарифмами важно проверить ваши возможные решения, чтобы убедиться, что они не генерируют логарифмы с отрицательными числами или нулями. Также важно убедиться, что вы делаете проверки в оригинальное уравнение . Если вы проверите их во втором логарифме выше (после того, как мы объединили два журнала), оба решения будут работать! Это потому, что, объединив два логарифма, мы фактически изменили задачу. На самом деле, именно это изменение вводит дополнительное решение, которое мы не могли использовать!
Также будьте осторожны при решении уравнений, содержащих логарифмы, чтобы не зацикливаться на идее, что вы получите два возможных решения, и только одно из них будет работать.
Дайте обеим сторонам одинаковую базу, используя e :
.
Поскольку e и l компенсируют друг друга, .
Найдите x и округлите до десятых:
Сообщить об ошибке
Найти x:
Возможные ответы:
Правильный ответ:
Объяснение:
Чтобы найти x, имейте в виду, что натуральный логарифм и экспонента компенсируют друг друга (свойство любого логарифма по основанию, которое берется из того же основания с присоединенным показателем степени). Когда они сокращаются, у нас остаются только показатели степени:
Отчет о ошибке
Определить значение:
Возможные ответы:
Правильный ответ:
Объяснение:
Основа натурального бревна .
Это означает, что термин упростится до значения, равного силе . Некоторые примеры:
Это означает, что
Умножьте это количество на три.
Ответ:
Сообщить об ошибке Объяснение:
Чтобы упростить это выражение, используйте следующее правило естественного журнала.
Естественный журнал имеет базу по умолчанию . Это означает, что:
Ответ:
Сообщить об ошибке
Упростить:
Возможные ответы:
Правильный ответ:
Объяснение:
В соответствии со свойствами логарифма коэффициент перед натуральным логарифмом можно переписать как показатель степени, увеличенный на величину внутри логарифма.
Обратите внимание, что основание натурального бревна . Это означает, что поднятие логарифма по основанию устранит как логарифм, так и естественный логарифм.
Условия становятся:
Упростить питание.
Ответ:
Сообщить об ошибке
← Предыдущая 1 2 3 Следующая →
Уведомление об авторских правах 630 практических тестов Вопрос дня Карточки Learn by Concept
Пояснение к уроку: уравнения натуральных логарифмов
В этом объяснении мы узнаем, как использовать натуральные логарифмы для решения экспоненциальных и логарифмических уравнений.
Напомним, что логарифм — это просто степень, в которую нужно возвести число, чтобы получить определенное значение. Например, логарифмическая
журнал уравнения 𝑏=𝑐 — это еще один способ записи показательного уравнения 𝑎=𝑏. Мы
ссылайтесь на 𝑎 как на основание, 𝑐 как на степень, в которую 𝑎 возводится (показатель степени),
и 𝑏 как ответ, когда мы возводим 𝑎 в степень 𝑐. Чтобы проиллюстрировать это
принципе, логарифмическое уравнение log1000=3 — это еще один способ записи экспоненциального уравнения
10=1000.
Мы уже должны быть знакомы со свойствами логарифмов (часто называемых «журналами»), включая законы логарифмы, которые помогают нам упростить выражения, содержащие журналы. Мы повторяем эти законы здесь, так как они окажутся чрезвычайно полезными. при решении показательных и логарифмических уравнений.
Законы: Логарифмы
Для действительных чисел 𝑥>0, 𝑦>0, 𝑎>0 и 𝑘, с 𝑎≠1 выполняются следующие законы логарифмов: УмножениеlawlogloglogDivisionlawlogloglogPowerlawloglog∶𝑥+𝑦=(𝑥𝑦)∶𝑥−𝑦=𝑥𝑦∶𝑥=𝑘𝑥
Нам также необходимо знать следующие особые случаи:
0 помните, что обратная функция делает противоположное функции; для функции 𝑓(𝑥),
мы используем обозначение 𝑓(𝑥) для представления его обратного. Мы знаем, что обратная экспонента
функция 𝑓(𝑥)=𝑎 задается логарифмической функцией 𝑓(𝑥)=𝑥log. Поэтому преимущество логарифма в том, что он «отменяет» возведение в степень, что позволяет
нам решать показательные уравнения.
В конкретном случае, когда основание равно 𝑒, у нас есть естественная экспоненциальная функция 𝑓(𝑥)=𝑒, с обратным выражением 𝑓(𝑥)=𝑥log. Мы ссылаемся на log𝑥 как на естественную логарифмическую функцию и обычно записываем ее в обозначении п𝑥.
Для любой функции с обратной, график обратной функции является отражением исходной функции в прямой 𝑦=𝑥. Следовательно, график 𝑦=𝑥ln является отражением графика 𝑦=𝑒 в строке 𝑦=𝑥, как показано ниже.
График 𝑦=𝑥ln также обладает следующими специфическими свойствами:
- Он пересекает ось 𝑥 в точке (1,0), что говорит нам о том, что ln1=0.
- Ось 𝑦 представляет собой асимптоту, которая показывает, что 𝑦=𝑥ln определено только для положительных значений из 𝑥 и не существует для 𝑥≤0.
- Так как 𝑥→∞, то и ln𝑥→∞, хотя ln𝑥 растет очень медленно.
(Обратите внимание, что для разных значений 𝑎 графики 𝑦=𝑎 и 𝑦=𝑥log будут выглядеть очень похоже на этот, но с более крутыми или более пологими кривыми, в зависимости от значения
𝑎.
)
Поскольку мы знаем, что применение обратной функции «отменяет» действие исходной функции, то запись 𝑓(𝑥)=𝑒 и 𝑓(𝑥)=𝑥ln имеем 𝑓(𝑓(𝑥))=𝑓(𝑒)=(𝑒)=𝑥,𝑓𝑓(𝑥)=𝑓(𝑥)=𝑒=𝑥. используйте два ключевых факта: ln(𝑒)=𝑥 и 𝑒=𝑥ln повсюду. этот объяснитель.
Создав необходимые понятия, теперь мы можем заняться некоторыми уравнениями. Например, предположим, что нас попросили решить показательное уравнение 𝑒=9, дающее наш ответ с точностью до трех знаков после запятой.
Чтобы найти 𝑥, нам нужен способ извлечения 2𝑥 из его положения как степени (или показателя степени)
из 𝑒. Теперь мы уже знаем, что можем решить экспоненциальные уравнения, такие как 2 = 8, взяв
логарифм по основанию 2 обеих сторон. Мы получили бы loglog2=8, что упрощается до
𝑥=3. Следовательно, поскольку натуральный логарифм является операцией, обратной возведению 𝑒 в
степень, здесь наш первый шаг — взять натуральные логарифмы (часто называемые «логарифмированием») обеих частей уравнения.
Затем упрощаем результат.
Взять бревна и затем разделить обе стороны на 2 дает lnlnlnln𝑒=92𝑥=9𝑥=129.
С помощью нашего калькулятора получаем 𝑥=1,098612…. Наконец, округляя до трех знаков после запятой, получаем ответ 𝑥=1,099.
Обратите внимание, что если бы нас попросили дать ответ в точной форме , мы бы оставили значение 𝑥 как точное логарифмическое выражение 129ln. Важно обратить внимание на формулировку вопросы, чтобы убедиться, что мы всегда даем наш ответ в требуемой форме.
Давайте теперь попробуем несколько примеров, чтобы попрактиковаться в этих навыках.
Пример 1. Решение натуральных показательных уравнений с использованием натуральных логарифмов
Найдите с точностью до тысячной значение 𝑥 такое, что 𝑒=19.
Ответ
Напомним, что натуральная логарифмическая функция 𝑦=𝑥log, обычно записываемая как 𝑦=𝑥ln,
является обратной естественной показательной функцией 𝑦=𝑒.
Мы можем использовать тот факт, что
ln(𝑒)=𝑥 вместе с законами логарифмов, чтобы помочь нам решить естественные экспоненциальные уравнения.
Здесь мы имеем натуральное показательное уравнение 𝑒=19. Так как натуральный логарифм является обратным операции возведения 𝑒 в степень, наш первый шаг — взять натуральные логарифмы (часто называемые «взятием журналы») обеих частей уравнения: lnlnln𝑒=194𝑥−3=19.
Найдем 𝑥, прибавив 3 к обеим частям и затем разделив обе части на 4, что дает 4𝑥=19+3𝑥=14(19+3).lnln
С помощью нашего калькулятора получаем 𝑥=1,486109…. Нас попросили округлить наш ответ до ближайшей тысячной. Помните, что цифра тысячных — это третья цифра после запятой, которая в данном случае равна 6. Цифра, следующая за это (цифра десятитысячных) равна 1, поэтому ответ округляется до 𝑥=1,486 до ближайшей тысячной.
Нас могут попросить решить более сложные натуральные экспоненциальные уравнения. Например, предположим, что у нас есть такое уравнение, как
𝑒+3𝑒−10=0.
С такими вопросами хитрость заключается в том, чтобы понять, что 𝑒 — это то же самое, что (𝑒). Это означает, что левая часть данного уравнения на самом деле является квадратичной функцией 𝑒. Следовательно, для решения уравнение, мы начинаем с замены 𝑧=𝑒, чтобы получить 𝑧+3𝑧−10=0.
Поскольку теперь это квадратное уравнение относительно 𝑧, мы факторизуем уравнение и решим для 𝑧. Затем, мы можем работать в обратном направлении от того факта, что 𝑧=𝑒, чтобы найти соответствующее значение (или значения) 𝑥.
Чтобы разложить 𝑧+3𝑧−10, нам нужно идентифицировать пары множителей, которые умножаются, чтобы дать −10 и затем выберите пару, которая в сумме дает 3. Легко проверить, что искомые числа равны −2 и 5, поэтому мы можем разложить 𝑧+3𝑧−10, чтобы получить (𝑧−2)(𝑧+5). Таким образом, наш уравнение становится (𝑧−2)(𝑧+5)=0, так что 𝑧=2 или 𝑧=−5. То есть 𝑒=2 или 𝑒=−5.
Теперь вспомните, что 𝑒>0 для всех действительных значений 𝑥, что можно проверить, обратившись к
вернемся к нашей диаграмме, показывающей взаимосвязь между 𝑦=𝑒 и 𝑦=𝑥ln.
Следовательно,
уравнение 𝑒=−5 не имеет решения, поэтому нам осталось решить 𝑒=2. Это сейчас в
форму простого натурального экспоненциального уравнения того типа, которое мы решили ранее. Взятие бревен с обеих сторон дает точное
раствор 𝑥=2лн.
Давайте проверим наше понимание на похожем примере.
Пример 2. Решение натуральных показательных уравнений с использованием натуральных логарифмов
Если 𝑒−2𝑒−3=0, где 𝑥 — действительное число, найти все возможные значения 𝑒.
Ответ
Напомним, что натуральная логарифмическая функция 𝑦=𝑥log, обычно записываемая как 𝑦=𝑥ln, является обратной естественной показательной функцией 𝑦=𝑒. Мы можем использовать тот факт, что ln(𝑒)=𝑥, вместе с законами логарифмов, чтобы помочь нам решить натуральный экспоненциальный уравнения.
В этом вопросе у нас есть естественное показательное уравнение 𝑒−2𝑒−3=0, и нам нужно
найти все возможные значения 𝑒.
Обратите внимание, что левая часть является квадратичной функцией 𝑒,
поэтому мы начинаем с замены 𝑧=𝑒, чтобы получить
𝑧−2𝑧−3=0.
Поскольку теперь это квадратное уравнение относительно 𝑧, мы факторизуем уравнение и решим для 𝑧.
Чтобы разложить 𝑧−2𝑧−3, нам нужно идентифицировать пары множителей, которые умножаются, чтобы дать −3 и затем выберите пару, которая добавляет -2. Легко проверить, что искомые числа равны −3. и 1, поэтому мы можем разложить 𝑧−2𝑧−3, чтобы получить (𝑧−3)(𝑧+1). Таким образом, наше уравнение становится (𝑧−3)(𝑧+1)=0, так что 𝑧=3 или 𝑧=−1. То есть 𝑒=3 или 𝑒=−1.
Теперь вспомним, что 𝑒>0 для всех действительных значений 𝑥. Следовательно, мы не можем иметь 𝑒=−1, поэтому у нас осталось единственное решение 𝑒=3.
Далее, предположим, что нас попросили решить уравнение натурального логарифма ln(3𝑥−1)=2, что дает наш ответ в точной форме.
На этот раз, чтобы найти 𝑥, нам нужен способ извлечения 3𝑥−1 из его положения в пределах
натуральный логарифм.
Поскольку возведение 𝑒 в степень является операцией, обратной натуральному логарифму, наша
Первый шаг — возвести 𝑒 в степень обеих частей уравнения. Затем упростим результат, добавив
1 в обе стороны с последующим делением на 3:
𝑒=𝑒3𝑥−1=𝑒3𝑥=𝑒+1𝑥=13𝑒+1.ln()
В следующем примере используется уравнение натурального логарифма.
Пример 3. Решение уравнений с натуральными логарифмами
Решите lnln9=74 относительно 𝑥, давая ответ с точностью до сотых.
Ответ
Напомним, что натуральная показательная функция 𝑦=𝑒 является обратной натуральной логарифмической функцией 𝑦=𝑥log, который обычно записывается как 𝑦=𝑥ln. Мы можем использовать тот факт, что 𝑒=𝑥ln вместе с законами логарифмов, чтобы помочь нам решить уравнения натуральных логарифмов.
Чтобы решить уравнение натурального логарифма lnln9=74 относительно 𝑥, нам сначала нужно
средство извлечения 7𝑥−9 из его положения как степени 9 в пределах натурального логарифма в левой части
сторону уравнения.
Если применить степенной закон логарифмов loglog𝑧=𝑘𝑧
с 𝑎=𝑒, 𝑧=9 и 𝑘=7𝑥−9 получаем, что lnln9=(7𝑥−9)9. Следовательно, наше уравнение принимает вид
(7𝑥−9)9=74.lnln
Затем мы делим обе части на ln9, чтобы получить 7𝑥−9=749.lnln
Наконец, мы добавляем 9в обе стороны с последующим делением на 7: 7𝑥=749+9𝑥=17749+9.lnlnlnln
С помощью нашего калькулятора получаем 𝑥=1,565552…. Нас попросили округлить ответ до сотых. Помните, что сотая цифра — это вторая цифра после запятой, которая в данном случае равна 6. Цифра, следующая за это (тысячная цифра) равно 5, поэтому ответ округляется до 𝑥=1,57 до ближайшей сотой.
Иногда встречаются экспоненциальные уравнения, включающие в себя комбинацию экспоненциальных выражений. В подобных случаях мы могли бы необходимо применить несколько различных операций, прежде чем мы получим желаемое решение. Вот пример такого типа.
Пример 4. Решение уравнений с использованием натуральных логарифмов
Решите уравнение 2𝑒=7, задав ответ в виде 𝑎+𝑏𝑐+𝑑lnln.
Ответ
Напомним, что натуральная логарифмическая функция 𝑦=𝑥log, обычно записываемая как 𝑦=𝑥ln, является обратной натуральной показательной функцией 𝑦=𝑒. Мы можем использовать тот факт, что ln(𝑒)=𝑥 вместе с законами логарифмов, чтобы помочь нам решить экспоненциальные уравнения.
В этом вопросе у нас есть показательное уравнение 2𝑒=7, где левая часть — произведение показательной функции 2 и естественной показательной функции 𝑒. Мы знаем это натуральный логарифм — это обратная операция возведения 𝑒 в степень. Несмотря на то, что только один из левосторонние экспоненциальные функции имеют основание 𝑒, разумным первым шагом по-прежнему является логарифмирование обеих сторон уравнение. Таким образом, мы получаем lnln2𝑒=7.
Далее, поскольку выражение в левой части теперь представляет собой логарифм произведения двух экспоненциальных функций, мы можем применить
закон умножения логарифмов logloglog𝑤+𝑧=(𝑤𝑧) в обратном порядке,
с 𝑎=𝑒, 𝑤=2 и 𝑧=𝑒.
Это позволяет нам отделить
две экспоненциальные функции, а затем упростите вторую следующим образом:
lnlnlnlnln(2)+𝑒=7(2)+3𝑥−1=7.
Обратите внимание, что тогда мы можем упростить первый член в левой части, применив степенной закон логарифмирования loglog𝑧=𝑘𝑧 с 𝑎=𝑒, 𝑧=2 и 𝑘=𝑥. Таким образом, наше уравнение становится 𝑥2+3𝑥−1=7.lnln
Чтобы решить это уравнение для 𝑥, сначала мы добавляем 1 к обеим частям, чтобы собрать члены, включающие 𝑥 с одной стороны и числа с другой стороны: 𝑥2+3𝑥=7+1.lnln
Затем мы факторизуем левую часть, чтобы получить 𝑥(2+3)=7+1.lnln
Наконец, мы делим на ln2+3, что дает 𝑥=7+12+3=1+73+2.lnlnlnln
Поскольку теперь у нас есть 𝑥 в форме 𝑎+𝑏𝑐+𝑑lnln, это наш ответ.
Наш последний пример включает естественное экспоненциальное уравнение, взятое из реального контекста.
Пример 5: Решение задач из реальной жизни с использованием натуральных логарифмов
Количество людей, инфицированных корью во время вспышки в стране, можно смоделировать с помощью экспоненциального уравнения
𝑁(𝑡)=150𝑒, где 𝑁(𝑡) — количество людей
заразились через 𝑡 дней.
- Сколько людей было инфицировано в начале вспышки?
- Сколько людей заразится через 30 дней, округлить до ближайшего человека?
- Сколько дней нужно на число инфицированных удвоится?
Ответ
Напомним, что натуральная логарифмическая функция 𝑦=𝑥log, обычно записываемая как 𝑦=𝑥ln, является обратной натуральной показательной функцией 𝑦=𝑒. Мы можем использовать тот факт, что ln(𝑒)=𝑥, вместе с законами логарифмов, чтобы помочь нам решить натуральный экспоненциальный уравнения.
Здесь нам дано натуральное показательное уравнение 𝑁(𝑡)=150𝑒, которое дает число человек заразились корью через 𝑡 дней после начало вспышки в конкретной стране.
Часть 1
Чтобы рассчитать количество людей, инфицированных в начале вспышки, подставим 𝑡=0 в уравнение, который дает 𝑁(0)=150𝑒=150𝑒=150.×
Часть 2
Рассчитать количество инфицированных через 30 дней после начала
вспышки подставляем 𝑡=30 в уравнение, что дает
𝑁(30)=150𝑒=150𝑒=907,447….
×
Поскольку наш ответ представляет количество людей, мы должны округлить его до ближайшего целого числа. Так как первая цифра после запятой точка равна 4, мы округляем до ближайшего целого числа, что дает ответ 907.
Часть 3
Чтобы определить, за сколько дней количество инфицированных удвоится, заметьте, что это эквивалентно определению значение 𝑡, для которого 𝑁(𝑡) равно удвоенному числу зараженных в начале (т. е. 𝑁(𝑡)=2×150=300). Следовательно, мы должны решить естественное показательное уравнение 300=150𝑒.
Сначала мы разделим обе части на 150, чтобы получить 2=𝑒.
Далее, поскольку возведение натурального логарифма является операцией, обратной возведению 𝑒 в степень, мы берем логарифмы обе части уравнения, что дает lnlnln2=𝑒2=0,06𝑡.
Тогда, разделив на 0,06, получим lnln20.06=𝑡𝑡=20.06.
С помощью нашего калькулятора получаем 𝑡=11,552….
Поскольку наш ответ представляет собой ряд
дней, это должно быть целое число. Поскольку 11.552…>11, это говорит нам о том, что требуется более 11 дней для
число инфицированных удвоится. Следовательно, округляем до ближайшего целого числа, поэтому искомое количество
days is 12.
Давайте закончим повторением некоторых ключевых понятий из этого объяснения.
Ключевые моменты
- Натуральная логарифмическая функция 𝑦=𝑥log, которая обычно записывается как 𝑦=𝑥ln. Это обратная естественная экспоненциальная функция 𝑦=𝑒.
- Мы можем использовать тот факт, что ln(𝑒)=𝑥 и 𝑒=𝑥ln, совместно с законами логарифмов решать показательные и логарифмические уравнения.
Исчисление I. Экспоненциальные и логарифмические уравнения
Показать мобильное уведомление Показать все примечания Скрыть все примечания
Мобильное уведомление
Похоже, вы используете устройство с «узкой» шириной экрана ( т.
е. вы, вероятно, используете мобильный телефон). Из-за характера математики на этом сайте лучше всего просматривать в ландшафтном режиме. Если ваше устройство не находится в ландшафтном режиме, многие уравнения будут отображаться сбоку вашего устройства (должна быть возможность прокрутки, чтобы увидеть их), а некоторые пункты меню будут обрезаны из-за узкой ширины экрана.
Раздел 1-9: Экспоненциальные и логарифмические уравнения 9{1 — 3z}}} \right) & = \ln \left( {\frac{1}{5}} \right)\\ 1 — 3z & = \ln \left({\frac{1}{5} }} \right)\end{align*}\]
Все, что нам нужно сделать сейчас, это решить это уравнение относительно \(z\).
\[\ begin{align*} 1 — 3z & = \ln \left( {\frac{1}{5}} \right)\\ — 3z & = — 1 + \ln \left({\frac{1 {5}} \right)\\ z & = — \frac{1}{3}\left( { — 1 + \ln \left( {\frac{1}{5}} \right)} \right ) = 0,8698126372\конец{выравнивание*}\] 9{5x — 4}} & = {\ frac {9} {4}} \ end {align *} \]
Обратите внимание: хотя мы сказали, что на самом деле не имеет значения, какую экспоненту мы делим, делая это так, как мы сделали здесь, мы избежим отрицательного коэффициента при \(x\).
{{{\log}_b}x}} = x\]
Пример 6 Решите \(\displaystyle 3 + 2\ln \left( {\frac{x}{7} + 3} \right) = — 4\).
Показать решение
Первым шагом в этой задаче является получение логарифма одной стороны уравнения с коэффициентом 1.
\[\ begin{align*} 2\ln \left( {\frac{x}{7} + 3} \right) & = — 7\\ \ln \left({\frac{x}{7} + 3} \right) & = — \frac{7}{2}\end{align*}\] 9{ — \frac{7}{2}}}} \right) = — 20.78861832\end{align*}\]
В этот момент у нас может возникнуть соблазн сказать, что мы закончили и двигаться дальше. Однако нам нужно быть осторожными. Вспомним из предыдущего раздела, что мы не можем подставить отрицательное число в логарифм. Это само по себе не означает, что наш ответ не сработает, поскольку он отрицательный. Что нам нужно сделать, так это подставить его в логарифм и убедиться, что \(\frac{x}{7} + 3\) не будет отрицательным.
r}} \right) = r{\log _b}(х)
\]
92}}} = 0,8807970780\конец{выравнивание*}\]
Работа над решением здесь была немного запутанной, но это работа, которую вам нужно будет выполнять время от времени, поэтому убедитесь, что вы можете это сделать!
Наконец, нам просто нужно убедиться, что решение \(x = 0,8807970780\) не дает отрицательных чисел в обоих исходных логарифмах. Это не так, так что это фактически наше решение этой проблемы.
Давайте рассмотрим другой пример.
Пример 8. Решите \(\log x + \log \left( {x — 3} \right) = 1\).
Показать решение
Как и в последнем примере, сначала объедините логарифмы в один логарифм.
\[\begin{align*}\log x + \log \left( {x — 3} \right) & = 1\\ \log \left( {x\left( {x — 3} \right)} \ справа) & = 1\end{align*}\]
Теперь возведите в степень, используя на этот раз 10 вместо и , потому что у нас есть общие журналы в уравнении с обеих сторон.
2} — 3x — 10 & = 0\\ \left( {x — 5} \right)\left( {x + 2} \right) & = 0\end{align*}\]
Итак, потенциальные решения равны \(x = 5\) и \(x = — 2\). Обратите внимание, однако, что если мы подставим \(x = — 2\) в любой из двух исходных логарифмов, мы получим отрицательные числа, так что это не может быть решением. Однако мы можем использовать \(x = 5\).
Следовательно, решением этого уравнения является \(x = 5\).
При решении уравнений с логарифмами важно проверить ваши возможные решения, чтобы убедиться, что они не генерируют логарифмы с отрицательными числами или нулями. Также важно убедиться, что вы делаете проверки в оригинальное уравнение . Если вы проверите их во втором логарифме выше (после того, как мы объединили два журнала), оба решения будут работать! Это потому, что, объединив два логарифма, мы фактически изменили задачу. На самом деле, именно это изменение вводит дополнительное решение, которое мы не могли использовать!
Также будьте осторожны при решении уравнений, содержащих логарифмы, чтобы не зацикливаться на идее, что вы получите два возможных решения, и только одно из них будет работать.