Решение неоднородных дифференциальных уравнений: Неоднородное дифференциальное уравнение 4 порядка. Характеристическое уравнение

Неоднородное дифференциальное уравнение 4 порядка. Характеристическое уравнение

Из приведенной статьи Вы получите подробную инструкция для вычисления неоднородного дифференциального уравнения третьего, четвертого порядка. Алгоритм нахождения общего решения заключается в составлении характеристического уравнения для однородного ДУ а потом нахождении частного решения неоднородного ДУ. В книгах все подробно расписано, мы же больше ориентируемся на практические занятия, поэтому переходим к анализу готовых ответов.

Пример 1. (9.17) Решить дифференциальное уравнение

Решение: Имеем неоднородное дифференциальное уравнение четвертого порядка. Вы должны знать что решение в таких уравнениях нужно представить в виде суммы интеграла однородного уравнения и частного решения неоднородного .
Сначала всегда начинаем анализ с однородного дифференциального уравнения

Представим решение в вид экспоненты в степени y=e^k*x.
Далее подставляем y в уравнение и, пренебрегая множителем exp(k*x) (он всегда больше нуля), выписываем характеристическое уравнение

Решив его получим следующие значения k₁=0, k₂=k₃=k₄=1.
Поскольку корни характеристического уравнения действительны числа, причем три из них одинаковые, то решение однородного уравнения представим в виде

Неоднородная часть заданного уравнения x-3 имеет вид полинома P(x)e^x, причем коэффициент в показательной функции является корнем характеристического уравнения (k=0, откуда e^0*x=1), поэтому частичный решение неоднородного уравнения ищем в виде

Найдем коэффициенты A и B: для этого подставим функцию в исходное дифференциальное уравнение и приравняем множители при одинаковых степенях переменной x

Третья и четвертая производные равны нулю

Подставляя в уравнение и группируя подобные выражения, получим

откуда составляем систему линейных уравнений

и находим сталые A=-1/2 и B=0.
Таким образом частичное решение неоднородного уравнения выражается формулой

Общее решение дифференциального уравнения равно сумме найденных функций

здесь С₁-С₄ — произвольные константы, которые можно уточнить если уравнение имеет условие Коши.

 

Пример 2. (9.23) Найти интеграл дифференциального уравнения

Решение: Решение неоднородного дифференциального уравнения третьего порядка по приведенной выше схеме подаем через сумму

Сначала рассмотрим однородное дифференциальное уравнение

Опуская промежуточные действия, которые описаны в 1 задании, записываем характеристическое уравнение и находим его корни

Так как корни характеристического уравнения различные, то решение записываем через сумму экспонент в соответственных степенях

Согласно правой части уравнения (x-1) частичное решение ищем в виде

Для определения коэффициентов A, B вычислим производные первого — третьего порядка

и подставим в исходное дифференциальное уравнение

Приравняв множители при одинаковых степенях переменной составляем систему линейных уравнений

из которой находим постоянные

Теперь можем записать частичное решение дифференциального уравнения

Общее решение дифференциального уравнения находим по формуле

В нем присутствуют три константы, которые могут принимать произвольное значение. Доопределить их может только условие Коши, однако в задании оно не задано.

Пример 3.(9.12) Решить дифференциальное уравнение

Решение: Решение неоднородного дифференциального уравнения четвертого порядка ищем через сумму двух.
1. Для однородного дифференциального уравнения

характеристическое уравнение после подстановки функции y=exp(k*x) будет иметь вид

Корни искать в большинстве случаев легко, например данное имеет решением ноль кратности 2, остальные два корня находим по теореме Виета с квадратного уравнения
k²-4k+4=0
В результате получим k₁=k₂=0 и k₃=k₄=-2. Поскольку корни характеристического уравнения действительны числа, причем каждые 2 из них одинаковые (кратные), то решение однородного дифференциального уравнения записываем в виде

Неоднородная часть заданного уравнения x-x² имеет вид полинома второго порядка P₂(x), поэтому частичный решение ищем в виде

Найдем коэффициенты A, B и D : для этого функцию подставляем в исходное дифференциальное уравнение и приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях x:


В результате придем к системе из 3 линейных уравнений

Мудрить здесь не приходится — имеем готовую схему Гаусса, поэтому последовательно с первого уравнения находим A, с второго — B, третьего — D

Подставляем найденные значения в формулу частного решения уравнения

Общее решение дифференциального уравнения 4 порядка находим суммированием функций

Сталые С₁, С₂, С₃, С₄ – принимают произвольные значения. Если задание содержит задачу Коши то их определяем с начального условия.
На этом знакомство с методикой вычисления дифференциальных уравнений через характеристическое уравнение завершено. Совершенствуйте умение дифференцировать и интегрировать и со временем подобные Ду для Вас также будут легкими.
А для этого нужно много работать самостоятельно, поэтому в качестве домашнего задания попробуйте найти решение следующих дифференциальных уравнений.

• Назад
• Вперёд

85.(1). Нахождение частного решения неоднородного дифференциального уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами.

Структура общего решения

Линейное неоднородное уравнение данного типа имеет вид:

где p, q − постоянные числа (которые могут быть как действительными, так и комплексными). Для каждого такого уравнения можно записать соответствующее однородное уравнение:

Теорема: Общее решение неоднородного уравнения является суммой общего решения y₀(x) соответствуюшего однородного уравнения и частного решения y₁(x) неоднородного уравнения:

Ниже мы рассмотрим два способа решения неоднородных дифференциальных уравнений.

Метод вариации постоянных

Если общее решение y₀ ассоциированного однородного уравнения известно, то общее решение неоднородного уравнения можно найти, используя 

метод вариации постоянных.  Пусть общее решение однородного дифференциального уравнения второго порядка имеет вид:

Вместо постоянных C₁ и C₂ будем рассматривать вспомогательные функции C₁(x) и C₂(x). Будем искать эти функции такими, чтобы решение

удовлетворяло неоднородному уравнению с правой частью f(x).  Неизвестные функции C₁(x) и C₂(x) определяются из системы двух уравнений:

Метод неопределенных коэффициентов

Правая часть f(x) неоднородного дифференциального уравнения часто представляет собой многочлен, экспоненциальную или тригонометрическую функцию, или некоторую комбинацию указанных функций.

В этом случае решение удобнее искать с помощью метода неопределенных коэффициентов.  Подчеркнем, что данный метод работает лишь для ограниченного класса функций в правой части, таких как

2.   где P_n(x) и Q_m(x) − многочлены степени n и m, соответственно.

В обоих случаях выбор частного решения должен соответствовать структуре правой части неоднородного дифференциального уравнения.  В случае 1, если число α в экспоненциальной функции совпадает с корнем характеристического уравнения, то частное решение будет содержать дополнительный множитель x^s, где s − кратность корня 

α в характеристическом уравнении.  В случае 2, если число α + βi совпадает с корнем характеристического уравнения, то выражение для частного решения будет содержать дополнительный множитель x.   Неизвестные коэффициенты можно определить подстановкой найденного выражения для частного решения в исходное неоднородное дифференциальное уравнение.

Принцип суперпозиции

Если правая часть неоднородного уравнения представляет собой сумму нескольких функций вида

то частное решение дифференциального уравнения также будет являться суммой частных решений, построенных отдельно для каждого слагаемого в правой части. 

Неоднородные дифференциальные уравнения

Неоднородные дифференциальные уравнения

Примером линейного неоднородного дифференциального уравнения первого порядка является Ненулевое значение константы c делает это уравнение неоднородным и добавляет шаг в процесс решения. Путь к общему решению включает в себя нахождение решения однородного уравнения (т. е. отбрасывание константы c ), а затем найти частное решение неоднородного уравнения (т. е. найти любое решение, в котором в уравнении осталась константа c ). Решение однородного уравнения Подстановкой можно убедиться, что установка функции равной постоянному значению -c/b будет удовлетворять неоднородному уравнению. Природа дифференциальных уравнений такова, что сумма решений также является решением, так что к общему решению можно приблизиться, взяв сумму двух приведенных выше решений. Последнее требование для применения решения физической задачи состоит в том, чтобы решение соответствовало физическим граничным условиям задачи. Наиболее распространенная ситуация в физических задачах состоит в том, что граничными условиями являются значения функции f(x) и ее производных при x=0. Граничные условия часто называют «начальными условиями». Для уравнения первого порядка нам нужно указать одно граничное условие. Например: Замена при x=0 дает: Пример зарядки конденсатора

Index

HyperPhysics****HyperMath******Дифференциальные уравнения R Nave

Вернуться

Применение неоднородных дифференциальных уравнений Неоднородное дифференциальное уравнение первого порядка имеет решение вида: . Для процесса зарядки конденсатора от нулевого заряда батареей уравнение имеет вид . Используя граничное условие Q=0 при t=0 и идентифицируя условия, соответствующие общему решению, решения для заряда конденсатора и тока: . В этом примере константа B в общем решении имела нулевое значение, но если бы заряд конденсатора изначально не был равен нулю, общее решение по-прежнему давало бы точное описание изменения заряда во времени. Разряд конденсатора является примером применения однородного дифференциального уравнения.

Индекс

Гиперфизика****Гиперматематика*****Дифференциальные уравнения R Ступица

Вернуться

Применение однородных дифференциальных уравнений Однородное дифференциальное уравнение первого порядка имеет решение вида: . Для процесса разрядки конденсатора С, который изначально заряжен до напряжения батареи В б , уравнение Используя граничное условие и идентифицируя условия, соответствующие общему решению, решения для заряда конденсатора и тока: . Поскольку напряжение на конденсаторе при разряде строго определяется зарядом на конденсаторе, то и оно происходит по той же схеме. .

Index

HyperPhysics****HyperMath******Дифференциальные уравнения R Nave

Назад

исчисление — Общее решение неоднородного дифференциального уравнения

Задавать вопрос

спросил 7 лет, 1 месяц назад

Изменено 7 лет, 1 месяц назад

Просмотрено 547 раз

$\begingroup$

Я работаю со следующим неоднородным дифференциальным уравнением: $$x»+x=3\cos (\omega t)$$

Общее решение для этого $x(t)=x_h(t)+x_p(t)$

Первый шаг – найти $ x_h(t):$

Итак, характеристическое уравнение: $$\лямбда^2+0 \лямбда+1=0$$ и его корни $$\lambda =\frac{\sqrt{-4}}{2}=\frac{i\sqrt{4}}{2}=\pm i$$ Итак, $$x_h(t)=c_1 \cos(t)+c_2 \sin(t)$$ 92-1}$$

• исчисление
• обыкновенные дифференциальные уравнения

$\endgroup$

6

$\begingroup$

Однородный раствор $$ x_h(t) = c_1\cos t + c_2\sin t $$

Возможны два случая:

Если $\omega \ne 1$, то частным решением является $$ x_p(t) = A\cos(\omega t) + B\sin(\omega t) $$

, где $A$ и $B$ — константы (не $3$, вы не знаете, что они еще есть).