Приклади множення матриць: Знаходження добутку матриць

1.3. Множення матриць. Обернена матриця

Означення. Добутком матриці А на матрицю В називається матриця , у якій елемент дорівнює сумі добутків елементів і-го рядка матриці А на відповідні елементи k-го стовпця матриці В.

Якщо де і де , то добуток де

(1.7)

Для існування добутку необхідно, щоб розміри множників були узгоджені: число стовпців першого множника А повинно дорівнювати числу рядків другого множника В.

Приклади. 1. Знайти добуток матриці на матрицю .

.

Зазначимо, що тут добуток не існує через неузгодженість розмірів.

2. Знайти добутки і , якщо , .

.

.

Бачимо, що в даному випадку .

Властивості множення матриць.

1. В загальному випадку , як це видно із наведених прикладів. Якщо ж , то матриці А і В називають переставними (комутативними).

2. (λАВ=А·(λВ)=λ(А·В) – асоціативність відносно множення на число.

3. і – дистрибутивність відносно додавання.

4. асоціативність множення матриць.

5. – одинична матриця відіграє роль одиниці при множенні на будь-яку матрицю А.

6. для будь-якої матриці А.

7. .

8. Для квадратних матриць .

Означення. Матриця називається оберненою до матриці А, якщо , де Е – одинична матриця.

Означення. Квадратна матриця А називається невиродженою, якщо , і виродженою, якщо .

Теорема. Для того, щоб дана матриця А мала обернену, необхідно і достатньо, щоб вона була невиродженою.

Необхідність. Нехай для матриці А існує обернена . Тоді , а значить за властивістю 8:

,

отже і , при чому , і матриця А є невиродженою.

Достатність. Доводиться безпосередньо побудовою оберненої матриці.

Процес побудови проілюструємо на прикладі квадратної матриці А третього порядку, але алгоритм залишається в силі для матриці будь-якого порядку.

Алгоритм побудови оберненої матриці.

Нехай .

Для побудови оберненої матриці потрібно:

1. Знайти визначник . Якщо він не дорівнює нулю, то матриця А невироджена і має обернену.

2. В матриці А замінити кожний елемент його алгебраїчним доповненням . Одержимо матрицю

.

3. Транспонувати матрицю :

.

4. Кожний елемент отриманої матриці розділити на визначник даної матриці А, внаслідок чого й одержимо обернену матрицю :

. (1.8)

Доведемо, що це справді так. Множимо за формулою (1.7):

тому що

(формула (1.6)). Аналогічно перевіряється рівність .

Приклад. Знайти матрицю, обернену до матриці

.

  1. Знаходимо .

  2. Обчислюємо алгебраїчні доповнення:

3. Транспонуємо матрицю з алгебраїчних доповнень:

.

4. Знаходимо обернену матрицю:

.

Зробимо перевірку:

.

Нехай задано систему лінійних алгебраїчних рівнянь (СЛАР) з невідомими:

(1.9)

Означення. Система (1.9) називається сумісною, якщо вона має хоча б один розв’язок, і несумісною, якщо вона не має розв’язків.

Сумісність системи означає, що існує принаймні один набір чисел , який при підстановці в рівняння системи перетворює їх у вірні рівності.

Запишемо коефіцієнти при невідомих з кожного рівняння системи у відповідний рядок матриці:

. (1.10)

Цю матрицю називають основною матрицею системи (1.9). Розглянемо матричний запис і матричний спосіб розв’язання системи лінійних алгебраїчних рівнянь.

Нехай задано систему лінійних рівнянь з невідомими. Така система називається квадратною. В цьому випадку матриця системи є квадратною. Потрібні міркування проведемо на прикладі системи трьох рівнянь з трьома невідомими, але всі висновки залишаються вірними для будь-якого . Отже розглянемо систему

(1.11)

Запровадимо позначення:

; ; . (1.12)

Тоді, використовуючи правило множення матриць (1.7), систему (1.11) можна записати в еквівалентній матричній формі:

(1.13)

де А –матриця системи, В – задана матриця -стовпець, Х – невідома матриця -стовпець. Розв’язком рівняння (1.13) є такий вектор-стовпець Х, який обертає рівняння (1.13) у вірну рівність.

Якщо , то існує обернена до А матриця . Помножимо рівняння (1.13) почленно зліва на і скористаємося властивостями множення матриць:

.

Отже розв’язок рівняння (1.13) дається формулою

. (1.14)

Ця формула особливо зручна, коли потрібно розв’язувати системи з однією і тією ж матрицею А і різними стовпцями правих частин B.

Таким чином, якщо матриця квадратної СЛАР невироджена, система має єдиний розв’язок.

Приклад. Розв’язати систему

Тут

Матрицю, обернену до матриці А, було обчислено в попередньому пункті:

.

Тоді за формулою (1.14)

.

Відповідь: х=2,5; у=1,5;

Множення матриць — що це таке, визначення та поняття — 2021

Зміст

  • Множення матриць
  • Властивості
  • Схема комутативних властивостей
  • Процес
  • Теоретичний приклад
  • Вправа

Множення матриць складається з лінійного об’єднання двох або більше матриць шляхом додавання їх елементів залежно від їх розташування в матриці початку, дотримуючись порядку факторів.

Іншими словами, множення двох матриць полягає у об’єднанні матриць в одній матриці шляхом множення та додавання елементів рядків і стовпців вихідних матриць, беручи до уваги порядок факторів.

Рекомендовані статті: операції з матрицями, квадратна матриця.

Множення матриць

Дано дві матриці Z Y Y з n рядків і m стовпців:

Властивості

  • Розмірність матриці результатів — це поєднання розмірності матриць. Іншими словами, розмірністю матриці результатів будуть стовпці першої матриці та рядки другої матриці.

У цьому випадку ми це знайдемо Zп (рядки Z) дорівнює Yм(стовпці Y), щоб мати можливість їх множити. Отже, якщо вони рівні, матриця результату буде такою:

Приклади

  • Помножимо матриці два на два.

Ми множимо матриці два на два, щоб зберегти розміри вихідних матриць та полегшити процес.

  • Множення матриць не є комутативним.

Схема комутативних властивостей

Комутативна властивість являє собою добре відому фразу: порядок факторів не змінює результат.

Ми знаходимо цю властивість у звичайному додаванні та множенні, тобто коли додаємо та множимо будь-який об’єкт, який не є матрицею.

З огляду на наведену вище схему, комутативна властивість говорить нам, що якщо спочатку помножити синє сонце, а потім жовте сонце, ми отримаємо той самий результат (зелене сонце), як ніби помножимо спочатку жовте, а потім синє сонце.

Отже, якщо множення матриць не поважає комутативну властивість, це означає, що порядок факторів Так впливає на результат. Іншими словами, ми не отримаємо зеленого сонця, якщо змінимо порядок жовтого та синього сонечок.

Процес

Ми можемо помножити попередні матриці, якщо кількість рядків у матриці Z дорівнює кількості стовпців у матриці Y. А саме Zп = Yм.

Після того, як буде визначено, що ми можемо множити матриці, ми множимо елементи кожного рядка на кожен стовпець і додаємо їх таким чином, щоб залишилося лише одне число в точці, де попередні сині овали збігаються.

Спочатку ми знаходимо, де збігаються сині овали, а потім робимо суму множення елементів.

  • Для першого елемента матриці результатів ми бачимо, що овали збігаються там, де знаходиться елемент z11.
  • Для останнього елемента матриці результатів ми бачимо, що овали збігаються в елементі інм.

Теоретичний приклад

Дано дві квадратні матриці D Y І,

Помножте попередні матриці.

Почнемо з множення першого рядка матриці D з першим стовпцем матриці І. Потім ми робимо те саме, але зберігаємо рядок або стовпець кожної матриці залежно від того, чи хочемо ми помножити деякі елементи чи інші. Повторюємо процедуру, поки не заповнимо всі прогалини.

Вправа

Доведіть, що комутативна властивість не виконується у добутку матриць.

Объединение матриц в R — GeeksforGeeks

Объединение матриц включает в себя объединение двух или более меньших матриц по строкам или столбцам для формирования большей матрицы. По сути, это операция манипулирования данными, в которой задействованные матрицы должны быть совместимых размеров для выполнения операции. Матрицы можно комбинировать как по горизонтали, так и по вертикали.

В R существует два способа объединения матриц:  

  • Комбинация по столбцам
  • Комбинация по строкам
Комбинация по столбцам

Привязка столбцов, Функция cbind() в R используется для объединения двух кадров данных или матриц (n может быть или не быть равным p) вместе по их столбцам . Используемые матрицы должны иметь одинаковое количество строк.

Example:   

Python3

 

B = matrix(c( 1 , 2 ), nrow = 1 , ncol = 2 )

 

C = matrix(c( 3 , 4 , 5 ), nrow = 1 , ncol = 3 )

 

print (B)

print (c)

Печать (CBIND (B, C))

Выход:

 [ 1] [2]
[1,] 1 2
     [1] [2] [3]
[1,] 3 4 5
     [1] [2] [3] [4] [5]
[1,] 1 2 3 4 5 

В приведенном выше коде столбцы [3 4 5] матрицы C добавляются по порядку к столбцам [1 2] матрицы B.

Эти изменения не вносятся ни в один из существующие матрицы.

Свойства:

  • Количество столбцов результирующей матрицы равно сумме столбцов двух матриц.
  • Некоммутативный: Столбцы объединяются в том порядке, в котором параметры указаны в функции. Следовательно, cbind(a, b) != cbind(b, a)
  • Ассоциативный: cbind(cbind(a, b), c) = cbind(a, cbind(b, c)) 
Строка- Wise Combination

Привязка строк, Функция rbind() в R используется для объединения двух кадров данных или матриц (m может быть или не быть равным n) вместе по их строкам. Используемые матрицы должны иметь одинаковое количество столбцов.

Example:  

Python3

 

B = matrix(c( 1 , 2 , 3 ), nrow = 1 , ncol = 3 )

 

C

= matrix(c( 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 ), nrow = 2 , ncol = 3 )

print (B)

print (C)

 

print (rbind(B, C))

Output:  

 [1] [2] [3]
[1,] 1 2 3
     [1] [2] [3]
[1,] 4 6 8
[2,] 5 7 9
     [1] [2] [3]
[1,] 1 2 3
[2,] 4 6 8
[3,] 5 7 9 

Строки [4 6 8] и [5 7 9] добавляются к строке матрицы B[1 2 3] по порядку. Никаких изменений в исходные матрицы не вносится.

Свойства:   

  • Количество строк результирующей матрицы равно сумме строк двух матриц.
  • Некоммутативный: Строки объединяются в том порядке, в котором параметры указаны в функции. Следовательно, rbind(a, b) != rbind(b, a)
  • Ассоциативный: rbind(rbind(a, b), c) = rbind(a, rbind(b, c)) 

Время Сложность: O(m+n)
Пространственная сложность: O(m+n), где m — общее количество элементов первой матрицы и n второй матрицы.
 


Умножение матриц в R — оператор %*%

Матрицы — это полезный инструмент, когда у вас есть данные, разбросанные по связанным категориям. Такие данные часто встречаются в статистике, что делает их важной частью науки о данных. Есть несколько операций, которые вы можете выполнять с матрицами в R, и они включают в себя способы перемножения матриц.

Матрицы в R

Обработка матриц — важная часть науки о данных, и R — отличный инструмент для их обработки. Одним из практических примеров может быть случай, когда у вас есть три модели автомобилей с двигателями трех размеров одного и того же типа. Есть две матрицы, которые вы можете легко создать для этого. Одним из них будет размер бензобака, который каждая модель имеет для каждого размера двигателя. Другим будет расход бензина, который каждая модель автомобиля получает с двигателем каждого размера. R упрощает настройку каждой матрицы, а затем выполнение операций над ними.

Как создать матрицу.

Создать матрицу в R довольно просто, она использует функцию Matrix, которая имеет формат matrix(vector, ncol=columes, nrow=rows2), берет вектор и преобразует его в заданное количество строк и столбцов. Теперь количество строк, умноженное на количество столбцов, должно равняться общему количеству элементов в векторе. Например.

 # умножение матриц в R - настройка
> матрица (с (1,5,3,8), ncol=2, nrow=2)
      [1] [2]
 [1,] 1 3
 [2,] 5 8 

Теперь столбцы или строки могут быть опущены, и они будут вычисляться с помощью R, однако заданное значение должно быть кратно общему количеству элементов.

Операторы умножения

Умножение матриц с помощью оператора умножения в R — это одна из множества матричных операций и матричной алгебры, которые вы можете выполнять в R. В R есть два оператора умножения для матриц. Первый обозначается *, что соответствует простому знаку умножения. Эта операция выполняет простое поэлементное умножение до матриц.

 # умножение матрицы в R - поэлементно
> a = матрица (c (1,3,5,7), ncol=2, nrow=2)
 > а
      [1] [2]
 [1,] 1 5
 [2,] 3 7
 > b = матрица (c (2,4,6,8), ncol=2, nrow=2)
 > б
      [1] [2]
 [1,] 2 6
 [2,] 4 8
 >
 > а*б
      [1] [2]
 [1,] 2 30
 [2,] 12 56 

Второй оператор обозначается %*% и выполняет матричное умножение между двумя матрицами.

 # умножение матриц в R - алгебраическое
> а %*% б
      [1] [2]
 [1,] 22 46
 [2,] 34 74
> б %*% а
      [1] [2]
 [1,] 20 52
 [2,] 28 76
 

Обратите внимание, что порядок матриц влияет на результаты умножения матриц. Исходная матрица и вторая матрица идентифицируются оператором умножения матриц и объединяются для получения результата матрицы произведения. Если вы поменяете порядок исходной матрицы и второй матрицы, результирующая матрица будет немного отличаться от матричного произведения первой операции.

Приложения

Хорошим примером поэлементного матричного умножения является уравнение, использованное выше для трех моделей автомобилей с двигателями трех типоразмеров одного типа. Поэлементное умножение берет каждый вектор-столбец и вектор-строку и умножает их вместе, чтобы получить произведение матричного вектора. Одним из них будет размер бензобака, который каждая модель имеет для каждого объема двигателя в галлонах. Каждый столбец относится к модели, а каждая строка относится к двигателю.

 # умножение матриц в R - пример
> gt = матрица (c (15,20,25,15,20,25,15,20,25), ncol=3, nrow=3)
 > гт
      [1] [2] [3]
 [1,] 15 15 15
 [2,] 20 20 20
 [3,] 25 25 25 

Другим показателем будет пробег каждой модели автомобиля с двигателем каждого размера. Точно так же каждый столбец относится к модели, а каждая строка относится к двигателю.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *