Линейные неоднородные системы дифференциальных уравнений
Неоднородную систему дифуравнений обычно представляют в следующем виде:
В отличие от однородной системы, здесь в каждом уравнении добавляется некая функция, которая зависит от t. Функции f(t) и g(t) могут быть как const, exp, так и sin, cos и т.д.
Пример.
Необходимо найти частное решение системы линейных дифуравнений
при начальных условиях x(0) = 6, y(0) = 5.
Итак, у нас есть линейная неоднородная система дифуравнений, где в качестве f(t) и g(t) выступают константы. Будем использовать метод исключения.
Выразим из первого уравнения системы:
Опять применим маркер * для выделения.
Обе части уравнения дифференцируем по t:
Производная const = 0, поэтому 3 исчезла.
Подставляем и во второе уравнение системы:
Избавимся от дробей, для чего обе части уравнения умножим на 5:
Проведем упрощения:
Итак, мы получили линейное неоднородное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами.
Этим и отличается наше решение от решения однородной системы уравнений.
Но иногда, отметим, в неоднородной системе может получиться и однородное уравнение.
Находим общее решение однородного уравнения
Для этого необходимо составить и решить характеристическое уравнение:
– мы нашли сопряженные комплексные корни, поэтому:
.
Теперь займемся поиском частного решения неоднородного уравнения вида .
Находим первую и вторую производную:
Подставляем в левую часть неоднородного уравнения:
Получаем:
Это частное решение можно с легкостью подобрать устно и можно просто записать: «Очевидно, что частное решение неоднородного уравнения: ».
В итоге:
Найдем функцию y(t).
Для этого найдем производную от найденной функции x(t):
Подставляем и в уравнение (*):
Получаем общее решение системы:
Теперь найдем частное решение, соответствующее начальным условиям x(0) = 6, y(0) = 5:
Получаем:
Ответ: частное решение:
Метод характеристического уравнения (метод Эйлера)
Этот метод используется крайне редко, но мы все-же рассмотрим его на примере.
Пример.
Дается линейная однородная система дифуравнений
Требуется отыскать общее решение системы уравнений методом Эйлера.
Составим определитель второго порядка:
Далее надо составить характеристическое уравнение, для чего из каждого числа, расположенного на главной диагонали, вычтем некий параметр k:
Раскроем определитель:
Получили квадратное уравнение. Найдем его корни:
В случае, когда характеристическое уравнение имеет 2 различных действительных корня, общее решение системы дифференциальных уравнений будет иметь вид:
Коэффициенты в показателях экспонент мы уже нашли, займемся поиском коэффициентов
Подставим корень в характеристическое уравнение:
Составим систему двух линейных уравнений из чисел определителя:
Из которой получаем:
Подберем наименьшее значение , при котором будет целым. Очевидней всего будет =5, тогда =7/5*5 = 7.
Подставим корень в характеристическое уравнение:
Составим систему двух линейных уравнений из чисел определителя:
Из которой получаем:
Подберем наименьшее значение , при котором будет целым.
Очевидней всего будет .
Коэффициенты найдены, подставляем их в систему
Ответ: общее решение:
Chanel Allure (http://духи.рф/catalog/men/Chanel/Allure)
Есть много имен — женские имена русские (http://духи.рф/catalog/men/Chanel/Allure) поражают своей красотой и разнообразием.
Решение неоднородных дифференциальных уравнений. Задача Коши
Неоднородные дифференциальные уравнения вычисляют немного больше времени чем однородные, кроме однородного решения необходимо установить частичное решение неоднородного ДУ. На практике это отражается в решении двух разных по схеме вычислений ДУ. Если еще есть условие Коши напоследок всех поисков решения дифференциального уравнения необходимо определить значение постоянных, входящие в функцию. Все это достаточно просто реализуется, поэтому переходим к анализу готовых ответов.
Пример 1. Найти решение задачи Коши для дифференциального уравнения
Решение: Имеем неоднородное дифференциальное уравнение первого порядка. Как поступать с такими уравнениями подробно рассмотрены на предыдущих уроках.
Найдем сначала решение однородного ДУ. Интегрируем для этого уравнения (левую часть), предварительно разделив переменные:
Далее считаем, что стала С(х) является функцией от переменной x
Все это делается для того, чтобы подобрать постоянную таким образом, чтобы удовлетворить неоднородную функцию — правая часть ДУ.
Найдем производную y’ с учетом выше сказанного
Подставляем функцию и ее производную в исходное дифференциальное уравнение
Видим, что двое слагаемых при суммировании дадут ноль и в результате получим зависимость для производной от постоянной
Из последнего уравнения методом интегрирования находим явный вид постоянной С(x)
После этого можем записать общее решение уравнения
Но это еще не финал вычислений, нам нужно найти частичный решение (задача Коши).
Для этого удовлетворяем начальное условие на функцию и вычисляем постоянную
Итак, задача Коши решена и найдено частичное решение дифференциального уравнения в виде
На этом одно из уравнений вычислено. Схема нахождения функции не слишком запутана с одной стороны, с другой ее легко реализовать (постоянную принимаем за функцию). Рассмотрим еще несколько готовых примеров, а дальше учитесь вычислять самостоятельно.
Пример 2. Решить задачу Коши для уравнения
Решение:Имеем неоднородное дифференциальное уравнение первого порядка + условие Коши. Запишем и проинтегрируем соответствующее однородное уравнение, предварительно разделив переменные
Решение однородного уравнения найти в данном случае довольно легко. Изучите для практики внесения сталой в интегралах под логарифм — это значительно упростит дальнейшие преобразования с решением. Далее рассмотрим константу C как функцию от переменной x
Производная y’ по формуле примет выражение
Подставим функцию y и ее производную y’ в исходное дифференциальное уравнение и выразим производную постоянной
Интегрированием находим недостающую зависимость C(x)
Заменив постоянную полученным только что значением, получим общее решение дифференциального уравнения
Решим задачу Коши.
С начального условия имеем
Определив сталую получим y=x2 — частичное решение дифференциального уравнения.
Пример 3. Найти решение дифференциального уравнения и задачи Коши
Решение:Начнем с анализа левой части дифференциального уравнения. Интегрируем однородное дифференциальное уравнение, предварительно отделив в нем переменные
Для последнего перехода использовали свойство экспоненты — второе слагаемое записали как логарифм от экспоненты ln(exp(1/x)).
Теперь предположим, что константа C(x) — это функция от переменной x:
тогда ее производная равна
Подставляем постоянную и ее производную в исходное дифференциальное уравнение
которое после сокращения слагаемых превратится в зависимость
Из последнего уравнения функцию C(x) находим интегрированием
Итак, мы нашли общее решение дифференциального уравнения
Найдем частичное решение уравнения (задача Коши).
Удовлетворим начальное условие на функцию и вычислим постоянную
Отсюда имеем y=x2 — частичное решение уравнения. На вид простая запись, хотя на ее вычисления потрачено немало времени.
Частичное решения двух последних примеров совпадают, такое редко бывает на практике. Теперь Вы знаете, как решить неоднородное уравнение и выполнить условие Коши.
Если на экзамене или контрольной работе Вам нужна помощь — обращайтесь. Мы помогли не одной тысячи студентов, сможем помочь и Вам.
- Назад
- Вперёд
Дифференциальное уравнение второго порядка. Решатель, типы, примеры, методы в уравнении. Он включает в себя такие термины, как y», d
2 y/dx 2 , y»(x) и т. д., которые указывают производную функции второго порядка. Обычно мы записываем дифференциальное уравнение второго порядка в виде y» + p(x)y’ + q(x)y = f(x), где p(x), q(x) и f(x) — функции х. Мы можем решить это дифференциальное уравнение, используя вспомогательное уравнение и различные методы, такие как метод неопределенных коэффициентов и варьирование параметров.
Дифференциальное уравнение y» + p(x)y’ + q(x)y = 0 называется дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами, если функции p(x) и q(x) являются постоянными и оно называется дифференциальным уравнением второго порядка с переменными коэффициентами, если p(x) и q(x) непостоянны. В этой статье мы подробно разберем такие дифференциальные уравнения и их различные типы. Мы также изучим различные методы решения дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами, используя различные методы с помощью решенных примеров и нахождения вспомогательного уравнения.
| 1. | Что такое дифференциальное уравнение второго порядка? |
| 2. | Определение дифференциального уравнения второго порядка |
| 3. | Решение дифференциального уравнения второго порядка |
| 4. | Часто задаваемые вопросы о дифференциальном уравнении второго порядка |
Что такое дифференциальное уравнение второго порядка?
Дифференциальное уравнение — это уравнение, состоящее из функции и ее производной.
Дифференциальное уравнение, состоящее из функции и ее производной второго порядка, называется дифференциальным уравнением второго порядка. Математически это записывается как y» + p(x)y’ + q(x)y = f(x), что является неоднородным дифференциальным уравнением второго порядка, если f(x) не равно нулевой функции а p(x), q(x) — функции от x. Его также можно записать как F(x, y, y’, y») = 0. Далее, давайте изучим определения различных типов дифференциальных уравнений второго порядка.
Определение дифференциального уравнения второго порядка
Дифференциальное уравнение второго порядка определяется как дифференциальное уравнение, которое включает функцию и ее производную второго порядка, и никакая другая производная функции более высокого порядка не может фигурировать в уравнении. Он может быть разных типов в зависимости от мощности производной и задействованных функций. Эти дифференциальные уравнения можно решить с помощью вспомогательного уравнения. Давайте рассмотрим некоторые специальные типы дифференциальных уравнений второго порядка, приведенные ниже:
Линейное дифференциальное уравнение второго порядка
Линейное дифференциальное уравнение второго порядка записывается как y» + p(x)y’ + q(x)y = f(x), где степень второй производной y» равен единице, делающей уравнение линейным.
Некоторые из его примеров: y» + 6x = 5, y» + xy’ + y = 0 и т. д.
Однородное дифференциальное уравнение второго порядка
Дифференциальное уравнение второго порядка y» + p(x)y’ + q(x)y = f(x) называется однородным дифференциальным уравнением второго порядка, если f(x) является нулевой функцией и, следовательно, математически имеет вид y» + p(x)y’ + q (x)y = 0. Некоторые из его примеров: y» + y’ — 6y = 0, y» — 9y’ + 20y = 0 и т. д.
Неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка
О дифференциальном уравнении вида y» + p(x)y’ + q(x)y = f(x) говорят, что быть неоднородным дифференциальным уравнением второго порядка, если f(x) не является нулевой функцией. Некоторые из его примеров: y» + y’ — 6y = x, y» — 9y’ + 20y = sin x и т. д.
Дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами
Дифференциальное уравнение y» + p( x)y’ + q(x)y = f(x) называется дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами, если функции p(x) и q(x) являются константами.
Некоторые из его примеров: y» + y’ — 6y = x, y» — 9y’ + 20y = sin x и т. д.
Дифференциальное уравнение второго порядка с переменными коэффициентами
Дифференциальное уравнение y» + p(x)y’ + q(x)y = f(x) называется уравнением второго порядка дифференциальное уравнение с переменными коэффициентами, если функции p(x) и q(x) не являются постоянными функциями, а являются функциями от x. Некоторые из его примеров: y» + xy’ — y sinx = x, y» — 9x
Решение дифференциального уравнения второго порядка
Теперь, когда мы поняли смысл дифференциальных уравнений второго порядка и их различных форм, мы приступим к изучению того, как их решать. Здесь мы сосредоточимся на том, чтобы научиться решать дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами с использованием метода неопределенных коэффициентов. Во-первых, давайте разберемся, как решать однородные дифференциальные уравнения второго порядка.
Решение однородного дифференциального уравнения второго порядка
Однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами имеет вид y» + py’ + qy = 0, где p, q — константы. Чтобы решить эту проблему, мы предполагаем общее решение y = e rx данного дифференциального уравнения, где r — любая константа, и выполните указанные шаги:
- Шаг 1: Дифференцируйте предполагаемое решение y = e rx и найдите y’ = re rx , y’ ‘ = r 2 e rx , где r — произвольная константа.
- Шаг 2: Подставим производные в данное дифференциальное уравнение y» + py’ + qy = 0. Имеем r 2 e rx + pre rx + qe rx = 0 ⇒ e rx (r 2 + rp + q) = 0 ⇒ r 2 + rp + q = 0, что называется вспомогательным уравнением или уравнением характеристики.
- Шаг 3: Решить вспомогательное уравнение r 2 + rp + q = 0 и найти его корни r 1 и r 2 .
- Если r 1 и r 2 — действительные и различные корни, то общее решение имеет вид y = Ae r 1 x + Be r 2 x 06
6 - Если r 1 и r
- Если r 1 = r 2 = r, то общее решение y = Ae rx + Bxe rx
- Если r 1 = a + bi и r 2 = a — bi комплексные корни, то общее решение будет y = e ax (A sin bx + B cos bx)
Рассмотрим несколько примеров каждого типа, чтобы понять, как найти решение однородного дифференциального уравнения второго порядка.
Пример 1: Решите дифференциальное уравнение 2-го порядка y» — 6y’ + 5y = 0
Решение: Примите y = e rx и найдите его первую и вторую производную: y’ = re rx , y» = r 2 e rx
Далее подставляем значения y, y’ и y» в y» — 6y’ + 5y = 0. Имеем
r 2 e rx
— 6re rx + 5e rx = 0⇒ e rx (r 2 — 6r + 5) = 0
⇒ r 2 — 6r + 5 = 0 → характеристическое уравнение
⇒ (r — 5) (r — 1) = 0
⇒ r = 1, 5
Поскольку корни характеристического уравнения различны и действительны, следовательно общее решение данного дифференциального уравнения: y = Ae x + Be 5x
y = e rx и найти его первую и вторую производные: y’ = re rx , y» = r 2 e rx
Затем подставьте значения y, y’ и y» в y» — 8y’ + 16y = 0.
Имеем,
R 2 E RX — 8RE RX + 16E RX = 0
⇒ E RX (R 2 — 8R + 16) = 0
⇒ R 2 — 8R + 16 16) = 0
⇒ R 2
⇒ (r — 4) (r — 4) = 0
⇒ r = 4, 4
Так как корни характеристического уравнения тождественны и вещественны, то общее решение данного дифференциала уравнение y = Ae 4x + Bxe 4x
Пример 3: Решить дифференциальное уравнение второго порядка 9y» + 12y’ + 29y = 0 производная: y’ = re rx , y» = r 2 e rx
Затем подставьте значения y, y’ и y» в 9y» + 12y’ + 29y = 0 Имеем,
9r 2 e rx + 12re rx + 29e rx = 0
⇒ E RX (9R 2 + 12R + 29) = 0
⇒ 9R 2 + 12R + 29 = 0 → Характерное уравнение
⇒ R = [-12 ± √ (12 2 6 — 4 × 9 × 29)]/(2 × 9)
⇒ r = (-2/3) ± (5/3)i
Так как корни характеристического уравнения являются комплексно-сопряженными, то общее решение уравнения данное дифференциальное уравнение второго порядка имеет вид y = e (-2/3)x [A sin (5/3) x + B cos (5/3) x].
Решение неоднородного дифференциального уравнения второго порядка
Чтобы найти решение неоднородного дифференциального уравнения второго порядка y» + py’ + qy = f(x), общее решение имеет вид y = y c + y p , где y c — дополнительное решение однородного дифференциального уравнения второго порядка y» + py’ + qy = 0, а y p — частное решение неоднородного дифференциального уравнения y» + py’ + qy = f( Икс). Поскольку y c является решением однородного дифференциального уравнения, мы можем определить его значение, используя методы, которые мы обсуждали в предыдущем разделе. Теперь, чтобы найти частное решение y p , мы можем угадать решение в зависимости от значения f(x). В приведенной ниже таблице показано возможное частное решение y
| ф(х) | г р |
|---|---|
| быть топор | Ае топор |
| ax n + (младшие степени x) | C n x n + C n-1 x n-1 + . .. + C 0 |
| P cos ax или Q sin ax | А cos ось + B sin ось |
В случае, если f(x) имеет вид, отличный от приведенного в таблице выше, то для решения неоднородного дифференциального уравнения второго порядка можно использовать метод вариации параметров. Кроме того, если f(x) представляет собой комбинацию суммы функций, приведенных в таблице, то мы можем определить частное решение для каждой функции в отдельности, а затем взять их сумму, чтобы найти окончательное частное решение данного уравнения. Рассмотрим теперь несколько примеров дифференциальных уравнений второго порядка и решим их методом неопределенных коэффициентов:
Пример 1: Найдите полное решение дифференциального уравнения второго порядка y» — 6y’ + 5y = e -3x .
Решение: Чтобы найти полное решение, сначала найдем общее решение однородного дифференциального уравнения y» — 6y’ + 5y = 0.
Мы решили это уравнение в предыдущем разделе в решенных примерах (Пример 1) и, следовательно, дополнительное решение y c = Ae x + Be 5x
Далее мы найдем частное решение y p .
Так как f(x) = e -3x имеет форму be x , предположим, что y p = Ae -3x . Теперь, дифференцируя y p , мы имеем
y p ‘ = -3Ae -3x и y p » = 9Ae -3x . Подставив эти значения в данное дифференциальное уравнение второго порядка, получим0005 -3x
⇒ 9ae -3x -6 (-3ae -3x ) + 5ae -3x = E -3x
⇒ -3x (9 + 18 + 5) = = = e -3x
⇒ 32 A e -3x = e -3x
⇒ A = 1/32
Следовательно, частное решение y 0 p 1) e
Ответ: Следовательно, полное решение данного неоднородного дифференциального уравнения 2-го порядка y» — 6y’ + 5y = e -3x is y = Ae x + Be 5x + (1/32) e -3x
Пример 2: Решите дифференциальное уравнение второго порядка y» — 6y’ + 5y = cos 2x + e -3x
Решение: Поскольку мы решили однородное дифференциальное уравнение y» — 6y’ + 5y = 0 в предыдущем разделе (пример 1), мы имеем дополнительное решение y c = Ae x + Be 5x
Далее найдем частное решение данного дифференциального уравнения отдельно для cos 2x и e -3x , то есть определить частное решение y» — 6y’ + 5y = cos 2x и y» — 6y’ + 5y = e -3x по отдельности.
Из приведенного выше примера 1 мы имеем частное решение дифференциального уравнения y» — 6y’ + 5y = e -3x , соответствующее e -3x , как (1/32) e -3x . Теперь найдем частное решение уравнения y» — 6y’ + 5y = cos 2x с помощью таблицы. Предположим, что частное решение имеет вид Y p = A cos 2x + B sin 2x. Дифференцируя это, мы имеем Y p ‘ = -2A sin 2x + 2B cos 2x и Y p » = -4A cos 2x — 4B sin 2x. Подставив эти значения в дифференциальное уравнение y» — 6y’ + 5y = cos 2x, получим
-4A cos 2x — 4B sin 2x — 6(-2A sin 2x + 2B cos 2x) + 5(A cos 2x + B sin 2x) = cos 2x
⇒ -4A cos 2x — 4B sin 2x + 12A sin 2x — 12B cos 2x + 5A cos 2x + 5B sin 2x = cos 2x
⇒ (A — 12B) cos 2x + (B + 12A) sin 2x = cos 2x
⇒ A — 12B = 1 и B + 12A = 0
⇒ A = 1/145 и B = -12/145
⇒ Y p = (1/145) cos 2x — (12/145) sin 2x
Теперь, взяв сумму обоих частных решений, окончательное частное решение данного дифференциального уравнения второго порядка y» — 6y’ + 5y = cos 2x + e -3x is y p = (1/32) e -3x + (1/145) cos 2x — (12/145) sin 2x.
Ответ: Следовательно, полное решение дифференциального уравнения y» — 6y’ + 5y = cos 2x + e -3x равно y = y c + y p = Ae x + Be 5x + (1/32) e -3x + (1/145) cos 2x — (12/145) sin 2x
Важные замечания по дифференциальному уравнению второго порядка
- Если y 1 и y 2 — два линейно независимых решения однородного дифференциального уравнения второго порядка y» + py’ + qy = 0, то частное решение соответствующего неоднородного дифференциального уравнения второго порядка уравнение y» + py’ + qy = f(x) можно определить по формуле y p = -y 1 ∫[y 2 f(x)/W(y 1 , y 2 )] dx + y 2 ∫[y 9×012 1 f(y 9×012 1 ) W (Y 1 , Y 2 )] DX, где W (Y 1 , Y 2 ) = Y 1 Y 2 ‘ — Y 2 Y 1 вронский. Такой метод нахождения решения называется методом вариации параметров.
- Метод нахождения решения дифференциальных уравнений второго порядка с переменными коэффициентами сложен и основан на угадывании решения.
Такой метод нахождения решения называется методом вариации параметров.☛ Похожие темы:
- Правила дифференциации
- Формула дифференциации и интеграции
- Формула правила продукта
Часто задаваемые вопросы о дифференциальном уравнении второго порядка
Что такое дифференциальное уравнение второго порядка в исчислении?
Дифференциальное уравнение второго порядка определяется как дифференциальное уравнение, которое включает функцию и ее производную второго порядка, и никакая другая производная функции более высокого порядка не может фигурировать в уравнении. Он включает такие термины, как y», d 2 y/dx 2 , y»(x) и т. д. Оно может быть разных типов, например, линейное дифференциальное уравнение второго порядка, однородное и неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка и дифференциальное уравнение второго порядка.
с переменными и постоянными коэффициентами.
Как решить дифференциальное уравнение второго порядка?
Дифференциальные уравнения второго порядка могут быть решены с использованием различных методов, таких как метод неопределенных коэффициентов и метод вариации параметров. Решение неоднородного дифференциала второго порядка представляет собой сумму дополнительного и частного решения и задается как y = y с + у р .
Что такое дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами?
Дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами — это дифференциальное уравнение вида y» + py’ + qy = f(x), где p, q — постоянные коэффициенты.
Что такое однородные и неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка?
Дифференциальное уравнение второго порядка вида y» + py’ + qy = f(x) является однородным, если f(x) является нулевой функцией, и неоднородным, если f(x) не является нулевой функцией и некоторая ненулевая функция от x.
Почему дифференциальное уравнение второго порядка имеет два решения?
Дифференциальное уравнение второго порядка может иметь бесконечно много решений, так как произвольные константы могут принимать любые значения. Мы находим два линейно независимых решения дифференциального уравнения второго порядка, так как их комбинация дает все возможные решения уравнения, и найти только одно решение недостаточно.
Как найти частное решение дифференциального уравнения второго порядка?
Частное решение дифференциального уравнения второго порядка можно определить с помощью приведенной ниже таблицы:
| ф(х) | г р |
|---|---|
| быть топор | Ае топор |
| ax n + (младшие степени x) | C n x n + C n-1 x n-1 + … + C 0 |
| P cos ax или Q sin ax | А cos ось + B sin ось |
Частное решение также можно найти по формуле y 2 ∫[y 1 f(x)/W(y 1 , y 2 )] dx, где y 1 и y 2 — два линейно независимых решения второго порядка однородного уравнения дифференциальное уравнение y» + py’ + qy = 0
Как определить, является ли дифференциальное уравнение второго порядка линейным?
Чтобы определить, является ли дифференциальное уравнение второго порядка линейным, мы можем проверить степень второй производной в уравнении.
Линейное дифференциальное уравнение второго порядка записывается как y» + p(x)y’ + q(x)y = f(x), где степень второй производной y» равна единице, что делает уравнение линейным .
В чем разница между дифференциальным уравнением первого порядка и дифференциальным уравнением второго порядка?
Дифференциальное уравнение первого порядка состоит из первой производной функции, и никакая другая производная более высокого порядка не может фигурировать в уравнении. Это записывается как y’ + p(x)y = f(x). С другой стороны, дифференциальное уравнение второго порядка — это дифференциальное уравнение, которое состоит из производной функции порядка 2, и никакая другая производная функции более высокого порядка не появляется в уравнении. Записывается как y» + p(x)y’ + q(x)y = f(x). 92-4ас))/(2а)`
Резюме
Дифференциальное уравнение:
ау » + по ‘ + су = 0
Связанное вспомогательное уравнение:
ам 2 + бм + с = 0
| Природа корней | Состояние | Общее решение |
|---|---|---|
1. |