Решение онлайн является ли функция четной или нечетной: Четность функции | Онлайн калькулятор

Решение высшей математики онлайн

‹— Назад

После того как мы обсудили многие аспекты поведения функции и способы их исследования, сформулируем общую схему исследования функции. Эта схема даст нам практический способ построения графика функции, отражающего основные черты её поведения.

Пусть дана функция . Для её исследования нужно:

1). Найти её область определения . Если это не слишком сложно, то полезно найти также область значений . (Однако, во многих случаях, вопрос нахождения откладывается до нахождения экстремумов функции.)

2). Выяснить общие свойства функции, которые помогут в определении её поведения: не является ли функция чётной либо нечётной (быть может, после сдвига влево или вправо по оси ), не является ли она периодической.

3). Выяснить, как ведёт себя функция при приближении аргумента к граничным точкам области определения , если такие граничные точки имеются. При этом могут обнаружиться вертикальные асимптоты. Если функция имеет такие точки разрыва, в которых она определена, то эти точки тоже проверить на наличие вертикальных асимптот функции. Поясним сказанное примером:

        Пример 7.36   Пусть Эта функция определена на всей числовой оси, однако 0 является точкой разрыва функции: при функция стремится к . Значит, вертикальная прямая служит вертикальной асимптотой функции, хотя функция и определена в точке .     

4). Если область определения вклоючает в себя лучи вида или , то можно попытаться найти наклонные асимптоты (или горизонтальные асимптоты) при или соответственно.

5). Найти точку пересечения графика с осью (если ). Для этого нужно вычислить значение . Найти также точки пересечения графика с осью , для чего найти корни уравнения (или убедиться в отсутствии корней). Уравнение часто удаётся решить лишь приближённо, но уже отделение корней¹⁹ помогает лучше уяснить строение графика. Далее, нужно определить знак функции на промежутках между корнями и точками разрыва.

6). Найти интервалы монотонности функции (то есть интервалы возрастания и убывания). Это делается с помощью исследования знака производной .

На стыках интервалов монотонности найти точки локального экстремума; вычислить значение функции в этих точках. Если функция имеет критические точки, не являющиеся точками локального экстремума, то полезно вычислить значение функции и в этих точках.

7). Найти интервалы выпуклости и вогнутости функции. Это делается с помощью исследования знака второй производной . Найти точки перегиба на стыках интервалов выпуклости и вогнутости. Вычислить значение функции в точках перегиба. Если функция имеет другие точки непрерывности (кроме точек перегиба), в которых вторая производная равна 0 либо не существует, то в этих точках также полезно вычислить значение функции.

8). В некоторых случаях бывает нужно найти характерные точки графика, которые не были упомянуты в предыдущих пунктах. Например, если функция имеет наклонную асимптоту, то можно попытаться выяснить, нет ли точек пересечения графика с этой асимптотой.

После выяснения свойств функции, упомянутых в пунктах 1 — 8, и нахождения опорных точек (точек пересечения с осями координат, точек графика, соответствующих точкам локального экстремума, точкам перегиба и проч.) мы можем достаточно точно построить график.

Обсудим теперь подробнее некоторые из этих пунктов.

1). Область определения функции. В некоторых примерах область определения задаётся в самом условии задачи, например: «Построить график функции, заданной при «. Однако часто функция задаётся некоторой формулой, выражающей как элементарную функцию, вроде:

В таком случае принято считать, что областью определения служит максимально широкое множество значений , при которых правая часть формулы имеет смысл.

Из этого соглашения по умолчанию есть одно исключение. Если функция имеет вид или содержит выражения такого рода, то принято считать, что выражение должно быть положительно, если принимает значения любого знака, или неотрицательно, если положительно. При этом игнорируется тот факт, что выражение может иметь смысл и при некоторых других (исключительных) значениях и , например, когда и принимает целое значение.

        Пример 7.37   Для функции считаем, что , хотя правая часть имеет смысл также при всех целых отрицательных .     

        Замечание 7.14   При исследовании некоторых функций подробное исследование области определения мы вынуждены будем пропустить или ограничиться общими рассуждениями, ввиду сложности точного решения вопроса.

Например, область определения функции задаётся как решение неравенства . Однако решить это неравенство «точно», то есть найти выражения через радикалы от известных чисел для точек, задающих левые и правые концы интервалов (или интервала?) области определения, по-видимому, невозможно. Можно лишь сказать, что решение будет заведомо содержать целиком луч вида при некотором ; кроме того, непосредственная проверка показывает, что точки и 0, например, принадлежат , а точка  — нет. Более точно можно описать , найдя корни уравнения приближённо, с достаточно малой погрешностью, и исследовав знак функции между этими корнями.

Способы приближённого отыскания корней алгебраических уравнений мы обсудим ниже, в главе 9.     

2). Особые свойства функции. Не любая функция обладает такими свойствами, как чётность либо нечётность. Функция заведомо не является ни чётной, ни нечётной, если её область определения несимметрична относительно точки 0 на оси . Точно так же, у любой периодической функции область определения состоит либо из всей вещественной оси, либо из объединения периодически повторяющихся систем промежутков.

Так что если, например, при рассмотрении предыдущего пункта выяснилось, что область определения не обладает свойством симметричности либо периодичности, то заниматься исследованием соответствующих особых свойств функции нет нужды.

3). Вертикальные асимптоты. Если функция  — элементарная, то на всех интервалах области определения функция непрерывна. Значит, вертикальные асимптоты могут появиться только на границах интервалов, составляющих .

Однако не на каждой из границ этих интервалов непременно возникает вертикальная асимптота: например, функция имеет область определения , и единственной точкой границы служит . Однако вертикальная прямая не является вертикальной асимптотой функции, так как .

4). Наклонные и горизонтальные асимптоты. При их поиске, как и при поиске других асимптотических линий (не обязательно прямых) полезно выделить более просто, чем , устроенную главную часть функции, то есть такую функцию , что разность  — бесконечно малая при или . Тогда график главной части и есть искомая асимптотическая линия. Если ясно, что асимптотическая линия не имеет наклонной либо горизонтальной асимптоты, то её не имеет и исходный график . Заметим, что все многочлены (при и ) не имеют асимптотических линий вида (докажите это!). Следовательно, искать в виде прямолинейные наклонные либо горизонтальные асимптоты у тех графиков, которые имеют асимптотические линии в виде графиков многочленов, в том числе у самих многочленов степени , — дело бессмысленное: этих прямолинейных асимптот всё равно нет!

        Пример 7.38   Рассмотрим функцию Эта функция имеет главную часть , так как разность , очевидно, стремится к 0 при . Поэтому парабола  — это асимптотическая линия для графика ; следовательно, прямолинейных наклонных и горизонтальных асимптот график этой функции не имеет.     

5). Нахождение точки пересечения графика с осью состоит в простом вычислении значения функции при . Нахождение же точек пересечения с осью может привести к необходимости решить сложное алгебраическое уравнение, что, быть может, удастся сделать лишь приближённо. О приближённом нахождении корней уравнений см. ниже, в гл. 9. Отыскав корни функции и точки разрыва, мы можем определить знак функции на каждом из интервалов между этими точками. Это можно сделать либо вычислив значение функции в какой-нибудь из точек интервала, либо применив метод интервалов, знакомый из школьной программы.

6). Нахождение промежутков монотонности. Для этого находят производную и решают неравенство . На промежутках, где это неравенство выполнено, функция возрастает. Там, где выполнено обратное неравенство , функция убывает. Если два ннтервала возрастания (или убывания) и примыкают друг к другу в точке и функция непрерывна в этой точке , то возрастает на интервале .

Найдя интервалы монотонности, мы можем сразу определить точки локального экстремума (пользуясь теоремой 7. 10 и не прибегая к теореме 7.11): там, где возрастание сменяется убыванием²⁰, располагаются локальные максимумы, а там, где убывание сменяется возрастанием — локальные минимумы.

7). Нахождение интервалов выпуклости и вогнутости ведётся с помощью второй производной. Найдя , мы решаем неравенство . На каждом из интервалов решения функция будет выпуклой вниз. Решая обратное неравенство , мы находим интервалы, на которых функция выпукла вверх (то есть вогнута).

Заодно определяем точки перегиба как те точки, в которых функция меняет направление выпуклости (и непрерывна).

8). Нахождение точек пересечения графика с асимптотой. Этот пункт не носит столь уж обязательного характера, однако нахождение таких точек придаёт исследованию функции и построенному её графику законченность и полноту.

Заметим, что получающиеся в процессе исследования функции точки на осях координат и на графике полезно сразу же наносить на чертёж. Это помогает по ходу дела уяснять вид графика. При этом дальнейшие исследования функции имеют характер уточнений полученного ранее.

Математика, вышка, высшая математика, математика онлайн, вышка онлайн, онлайн математика, онлайн решение математики, ход решения, процес решения, решение, задачи, задачи по математике, математические задачи, решение математики онлайн, решение математики online, online решение математики, решение высшей математики, решение высшей математики онлайн, матрицы, решение матриц онлайн, векторная алгебра онлайн, решение векторов онлайн, система линейных уравнений, метод Крамера, метод Гаусса, метод обратной матрицы, уравнения, системы уравнений, производные, пределы, интегралы, функция, неопределенный интеграл, определенный интеграл, решение интегралов, вычисление интегралов, решение производных, интегралы онлайн, производные онлайн, пределы онлайн, предел функции, предел последовательности, высшие производные, производная неявной функции

Линейная алгебра.

Ниже приведены условия и решения задач. Закачка решений в формате doc начнется автоматически через 10 секунд. 

Вариант 4

№1 Вычислить, если

Решение.

Ответ:

№2 Вычислить и, если

Решение.

Ответ: ,

№3 Вычислить

   

Решение.

а) Вычислим определитель методом треугольников

б) Вычислим определитель, получив предварительно нули в 1-ой строке.

Умножим третий столбец определителя на -3 и прибавим к первому, умножим третий столбец определителя на -7 и прибавим ко второму, умножим третий столбец определителя на -1 и прибавим к четвертому. Тогда в первой строке все элементы, кроме одного, будут нулями.

Ответ: а) 40, б) 553

 

№4 Найти ранг матрицы

Решение.

Ранг матрицы – это наивысший порядок минора, отличного от нуля.

Исходя из определения ранга матрицы, будем искать минор наивысшего порядка, отличный от нуля. Сначала преобразуем матрицу к более простому виду. Для этого первую строку матрицы умножим на — и прибавим ко второй и третьей строкам:

-разделим третью строку на -1

Поскольку вторая и третья строки пропорциональны, то одну из них можно вычеркнуть, что не изменит ранг. Получаем , так как в матрице есть минор второго порядка, отличный от нуля, а миноры более высокого порядка отсутствуют.

Ответ: ранг матрицы равен 2

 

№5 Найти матрицу, обратную данной

Решение.

Найдем обратную к матрице A матрицу A-1 по формуле

Вычислим определитель матрицы

Найдем алгебраические дополнения

Обратная матрица

Ответ:

 

№6 а) Решить системы: а) по формулам Крамера, б) матричным способом

а)    б)   

Решение.

а)

Находим главный определитель системы

Находим вспомогательные определители , полученные заменой в определителе столбца из коэффициентов при неизвестном , столбцом свободных членов системы

По формулам Крамера, имеем

б)

Рассмотрим матрицы

     

Тогда

Найдем обратную к матрице А матрицу А-1 по формуле

Вычислим определитель

Найдем алгебраические дополнения

Обратная матрица

Находим

таким образом, 

Ответ: а) , б)

 

Практическое занятие №4

№1 Доказать, что (указать )

Решение.

По определению предела числовой последовательности , .

Будем решать последнее неравенство относительно :

Таким образом, получили, что неравенство выполняется не для всех номеров , а только для тех, которые больше , следовательно, за можно взять целую часть числа , то есть .

и тогда при .

Ответ:

 

№2 Доказать(указать ), что

Решение.

Пусть произвольное положительное число. Найдем такое число (зависящее от ), чтобы для всех , удовлетворяющих неравенству , выполнялось неравенство .

Преобразуем

 .

Используя неравенство , оценим :

Следовательно, . Для выполнения неравенства достаточно потребовать, чтобы то есть чтобы .

Ответ:

№3 Вычислить предел функции

Решение.

Так как числитель и знаменатель обращается в нуль при , то 1 – корень обоих многочленов, а значит, каждый из них разлагается на множители, одним из которых будет . Получаем

 

Ответ: 0

 

№4 Вычислить предел функции

Решение.

Избавимся от иррациональности в числителе

Ответ:

 

№5 Вычислить предел функции

Решение.

Используем  первый замечательный предел ,

формулу понижения степени

формулу

Ответ:

 

№6 Вычислить предел функции

Решение.

Ответ: 2

 

№7 Вычислить предел функции

Решение.

Используем формулы

, тогда

Ответ:

 

№8 Вычислить предел функции

Решение.

Так как

Тогда

Ответ:

 

№9 Вычислить предел функции

Решение.

Так как , то

Ответ:

 

№10 Вычислить предел функции

Решение.

Так как , то

Ответ:

 

№11 Вычислить предел функции

Решение.

Так как неопределенности нет, то

Ответ:

 

Практическая работа №5

№1 Найти производные функции

а)

б)

в)

Решение.

а)

Используем формулы

б)

Используем формулы

, 

в)

Прологарифмируем данную функцию

Продифференцируем полученную функцию

Использовали формулу

Ответ: а) , б) ,

в)

 

 

№2 Исследовать средствами дифференциального исчисления функцию. Найти асимптоты и построить график

Решение.

Решение.

1. Функция определена, если

  значит область определения .

2. Найдем нули функции

Если х=0, то

график пересекает ось ОY в точке (0;0)

Если у=0,то

 

график пересекает ось Ох в точке (0;0)

3. Выясним, является ли функция четной или нечетной. Находим

Функция  является нечетной

4.               Данная функция не является периодической, так как значение функции изменится при добавлении к аргументу определенного, не равного нулю числа.
5. Находим промежутки монотонности и точки экстремума функции.

Производная

 

определена на

Для нахождения критических точек, решаем уравнение

Получили критические точки ,, .

Так как при  , то на интервалах  функция возрастает,

при , то на интервалах  функция убывает.

При x=-3 функция имеет максимум, т.к. переходе через эту точку меняет знак с «+» на «».

, значит точка   — точка максимума

При функция имеет минимум, т.к. переходе через эту точку меняет знак с «-» на «+».

, значит точка   — точка минимума

6. Определим интервалы выпуклости и вогнутости графика функции и точки перегиба.

Находим вторую производную

 

Она определена для . 

  , при

Так как при , то функция выпукла на интервалах ;

при , то функция вогнута на .

Точка x = 0 – точка перегиба, так как при переходе через эту точку  производная меняет знак.

7.               Определим вертикальные, горизонтальные и наклонные асимптоты графика функции.

Функция является непрерывной во всех точках области определения. В точках   , функция имеет разрыв.

Значит в точках   , функция имеет разрыв 2-го рода

А прямые — вертикальные  асимптоты.

Найдём наклонные асимптоты , где

 Следовательно, y = x- уравнение наклонной асимптоты

График функции

 

Предварительное исчисление алгебры

— Может ли быть функция, которая одновременно является четной и нечетной?

спросил 10 лет, 7 месяцев назад

Изменено 1 год, 7 месяцев назад

Просмотрено 71к раз

$\begingroup$

Я проснулся сегодня утром и думал об этом вопросе. Просто любопытно, существует ли такая функция.

• алгебраическое предварительное исчисление
• функции
• четно-нечетные функции

$\endgroup$

2

$\begingroup$

Другие упоминали, что $f(x)=0$ является примером. На самом деле, мы можем доказать, что это только примеров функции из $\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ (т. е. функции, которая принимает действительные значения и выводит действительные значения), которая одновременно и даже. Предположим, что $f(x)$ — это любая функция, одновременно нечетная и четная. Тогда $f(-x) = -f(x)$ по нечетности и $f(-x)=f(x)$ по четности. Таким образом, $-f(x) = f(x)$, поэтому $f(x)=0.$

$\endgroup$

3

$\begingroup$

Если $K$ — поле характеристики 2, каждая функция $K\to K$ одновременно четна и нечетна.

$\endgroup$

11

$\begingroup$

Да. Постоянная функция $f(x) = 0$ удовлетворяет обоим условиям.

Четный: $$ е (-х) = 0 = е (х) $$

Нечетный: $$ f(-x) = 0 = -f(x) $$

Более того, это единственная реальная функция, удовлетворяющая обоим условиям:

$$ f(-x) = f(x) = -f(x) \стрелка вправо 2f(x) = 0 \стрелка вправо f(x) = 0 $$

$\endgroup$

$\begingroup$

Подсказка $\rm\ f\:$ четно и нечетно $\rm\iff f(x) = f(-x) = -f(x)\:\Rightarrow\: 2\,f(x ) = 0.\:$ Это верно, если $\rm\:f = 0,\:$, но могут иметь и другие решения, например $\rm\:f = n\:$ в $\rm\:\mathbb Z/2n =\:$ целых чисел по модулю $\rm 2n,$ где $\rm\: -n \equiv n.$

$\endgroup$

2

$\begingroup$

Предположим, $f$ нечетное и четное. Пусть $x \in D$ (D является определением множества $f$), тогда у вас есть: $ f(x)=f(-x)=-f(x)$. Какой вывод вы можете сделать о $f$ ?

$\endgroup$

$\begingroup$

Как уже упоминалось, действительная функция $f(x)$, которая отображает каждое действительное число в ноль (т.е. $f(x) = 0 \space \forall x \in \mathbb{R}$), одновременно четное и нечетное, потому что $$f(x) — f(-x) = 0 \space \space , f(x)+f(-x) = 0\space \forall x \in \mathbb{R} .$$ Также это единственная функция, определенная над $\mathbb{R}$ обладать этим имуществом.

$\endgroup$

$\begingroup$

Пусть $R$ — логическое кольцо, а $X$ — произвольное множество. Тогда каждая функция $f:R\rightarrow X$ одновременно четна и нечетна.

$\endgroup$

3

$\begingroup$

Я размещаю это как дополнение к замечательным ответам, уже представленным для этого вопроса.

Для $f(x)=0$ мы имеем:

$f(x)= 0 =-f(-x)$ Следовательно, нечетное

$f(x)= 0 =f(-x)$ Следовательно, четное

$ f(x) = \sin(x) + \sin(\pi + x)$

Здесь функция одновременно четная и нечетная (другой пример или представление того же самого) . Это связано с тем, что значение равно нулю во всем домене. Таким образом, можно сделать вывод, что все функции, имеющие $Range=\{0\}$, должны быть и четными, и нечетными одновременно, несмотря на то, что их обозначения имеют 9{2}-1$

$f(x) = 0$ для всех значений в домене. Таким образом, он одновременно четный и нечетный, потому что при определении четно-нечетных функций необходимо учитывать область , которой функция ограничена по определению.

$\endgroup$

$\begingroup$

Мы могли бы также думать о четных и нечетных функциях, как показано ниже, чтобы получить $f(x) = 0$, это функция, которая одновременно является и нечетной, и четной, и подходит для некоторых других функций:

Нечетные функции имеют графики, симметричные относительно начала координат.

Четные функции имеют графики, симметричные относительно оси $y$.

Итак, график $f(x) = 0$ удовлетворяет обоим условиям, поэтому он и нечетен, и четен. Кроме того, мы можем определить некоторые кусочные функции, удовлетворяющие этому условию, используя их графики. Например, пусть $f(x)$ не определена на интервалах $(-1,-2)$ и $(1,2)$; и всякий раз, когда он определен, $f(x) = 0$. Тогда $f(x)$ снова и четно, и нечетно. А пока мы определяем кусочную функцию, удаляя интервалы, симметричные относительно оси $y$, а остальные функции $= 0$ даже при том, что они не непрерывны.

$\endgroup$

Выбор нечетных или четных строк из таблицы

Выбор нечетных или четных строк из таблицы

8 июля 2022 г. by Robert Gravelle г никогда не придется делать, то есть до тех пор, пока вы не сделаете. Быстрый поиск в Google подтверждает, что это делается достаточно часто, но, поскольку немногие специалисты по базам данных знают, как это сделать, они неизменно обращаются к онлайн-сообществам баз данных в поисках ответов. Как читатель этого блога, вы можете избавить себя от необходимости рыскать по форумам баз данных в поисках решения, поскольку сегодня мы установим рекорд прямо здесь.

Прежде чем мы сможем говорить о «четных или нечетных строках», мы должны упорядочить строки по столбцу, данные которого мы хотим разбить. В идеале его данные должны быть числовыми, уникальными и отсортированы по возрастанию. Следовательно, столбцы с автоинкрементом, такие как столбцы первичного ключа, являются идеальными кандидатами. В противном случае вам может потребоваться написать подзапрос с предложением ORDER BY, а затем выбрать из него.

В качестве примера, давайте откроем таблицу заказов образца базы данных classicmodels в конструкторе таблиц Navicat Premium 16. Мы видим, что его PK (столбец orderNumber) не увеличивается автоматически, о чем свидетельствует снятый флажок «Auto Increment»:

Однако при открытии таблицы в представлении таблицы видно, что значения orderNumber четко отсортированы в порядке возрастания:

Следовательно, мы можем написать запрос непосредственно к таблице.

Самый простой способ найти записи с нечетными или четными значениями — проверить остаток при делении значения столбца на 2. Остаток 0 указывает на четное число, а нечетное число указывает на нечетное число. Однако, как и во многих других задачах базы данных, способ определения остатка зависит от типа базы данных, с которой вы работаете.

В PostgreSQL, MySQL и Oracle мы можем использовать функцию MOD() для проверки остатка:

Вот общий синтаксис запроса для поиска строк, в которых указанный столбец имеет четные значения:

ВЫБИРАТЬ *
ОТ имя_таблицы
ГДЕ мод (имя_столбца, 2) = 0;
 

Этот синтаксис найдет строки, в которых наш целевой столбец имеет нечетные значения:

ВЫБИРАТЬ *
ОТ имя_таблицы
ГДЕ мод (имя_столбца, 2) 0;
 

SQL Server не имеет функции MOD. Вместо этого он предоставляет оператор модуля %.

Вот общий синтаксис запроса для поиска строк, в которых указанный столбец имеет четные значения:

ВЫБИРАТЬ *
ОТ имя_таблицы
где имя_столбца % 2 = 0;
 

Этот синтаксис найдет строки, в которых наш целевой столбец имеет нечетные значения:

ВЫБИРАТЬ *
ОТ имя_таблицы
где имя_столбца % 2 0;
 

Давайте попробуем каждое из приведенных выше утверждений сравнить с таблицей заказов образца базы данных classicmodels, сначала в SQL, а затем в SQL Server.