Решение показательных неравенств
Здравствуйте! Дорогие мои ученики, в этой статье мы научимся с вами решать показательные неравенства.
Каким бы сложным не показалось вам показательное неравенство, после некоторых преобразований (о них мы поговорим чуть позже) все неравенства сводятся к решению простейших показательных неравенств:
ах > b, ax< b и ax≥ b, ax≤ b.
Давайте попробуем разобраться как же решаются такие неравенства.
Мы рассмотрим решение строгих неравенств. Отличие при решении нестрогих неравенств заключается только в том, что полученные соответствующие корни включаются в ответ.
Пусть надо решить неравенство вида аf(x) > b, где a>1 и b>0.
Посмотрите на схему решения таких неравенств (рисунок 1):
Сейчас рассмотрим конкретный пример.
Решить неравенство: 5х – 1 > 125.
Так как 5 > 1 и 125 > 0, то
х – 1 > log5125, то есть
х – 1 > 3,
х > 4.
Ответ: (4; +∞).
А каким же будет решение этого же неравенства аf(x) >b, если 0<a<1 и b>0?
Итак, схема на рисунке 2
Пример: Решить неравенство (1/2)2x — 2 ≥ 4
Применяя правило (рисунок 2), получаем
2х – 2 ≤ log1/24,
2х – 2 ≤ –2,
2х ≤ 0,
х ≤ 0.
Ответ: (–∞; 0].
Снова рассмотрим это же неравенство аf(x) > b, если a>0 и b<0
.Итак, схема на рисунке 3:
Пример решения неравенства (1/3)х + 2 > –9.
Как мы замечаем, какое бы число мы не подставили вместо х, (1/3)х + 2 всегда больше нуля.
Ответ: (–∞; +∞).
А как же решаются неравенства вида аf(x) < b, где a>1 и b>0?
Схема на рисунке 4:
И следующий пример: 33 – х ≥ 8.
Поскольку 3 > 1 и 8 > 0, то
3 – х > log38, то есть
–х > log38 – 3,
х < 3 – log38.
Ответ: (0; 3–log38) .
Как же измениться решение неравенства аf(x) < b
Схема на рисунке 5:
И следующий пример: Решить неравенство 0,62х – 3< 0,36.
Cледуя схеме на рисунке 5, получаем
2х – 3 > log0,60,36 ,
2х – 3 > 2,
2х > 5,
х > 2,5
Ответ: (2,5; +∞).
Рассмотрим последнюю схему решения неравенства вида аf(x) < b, при a>0 и b<0, представленную на рисунке 6:
Например, решим неравенство:
Замечаем, что какое бы число мы не подставили вместо х, левая часть неравенства всегда больше нуля, а у нас это выражение меньше -8, т.е. и нуля, значит решений нет.
Ответ: решений нет.
Зная как решаются простейшие показательные неравенства, можно приступить и к решению показательных неравенств.
Пример 1.
Найти наибольшее целое значение х, удовлетворяющее неравеству
Так как 6х больше нуля (ни при каком х знаменатель в ноль не обращается), умножим обе части неравенства на 6х, получим:
440 – 2· 62х > 8, тогда
– 2· 62х > 8 – 440,
– 2· 62х > – 332,
62х < 216,
2х < 3,
x < 1,5.
Наибольшее целое число из помежутка (–∞; 1,5) это число 1.
Ответ: 1.
Пример 2.
Решить неравенство 22x – 3·2x + 2 ≤ 0
Обозначим 2х через у, получим неравенство у2 – 3у + 2 ≤ 0, решим это квадратное неравенство.
у2 – 3у +2 = 0,
у1 = 1 и у2 = 2.
Ветви параболы направлены вверх, изобразим график:
Тогда решением неравенства будет неравенство 1 < у < 2, вернемся к нашей переменной х и получим неравенство 1< 2х < 2, решая которое и найдем ответ 0 < x < 1.
Ответ: (0; 1).
Пример 3. Решите неравенство 5x+1 – 3x+2 < 2·5x – 2·3x–1
Соберем выражения с одинаковыми основаниями в одной части неравенства
5x+1 – 2·5x < 3x+2 – 2·3x–1
Вынесем в левой части неравенства за скобки 5x, а в правой части неравенства 3х и получим неравенство
5х (5 – 2) < 3х (9 – 2/3),
3·5х < (25/3)·3 х
Разделим обе части неравенства на выражение 3·3х , знак неравенства не изменится, так как 3·3х положительное число, получим неравенство:
и тогда
х < 2 (так как 5/3 > 1).
Ответ: (–∞; 2).
Если у вас возникнут вопросы по решению показательных неравенств или вы захотите попрактиковаться в решении подобных примеров, записывайтесь ко мне на уроки. Репетитор Валентина Галиневская.
© blog.tutoronline.ru, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.
Показательные неравенства
| 12+ Свидетельство СМИ ЭЛ № ФС 77 — 70917 Лицензия на образовательную деятельность №0001058 | Пользовательское соглашение Контактная и правовая информация |
Педагогическое сообщество | Бесплатные всероссийские конкурсы | Бесплатные сертификаты | Нужна помощь? Инструкции для новых участников | Бесплатная онлайн-школа для 1-4 классов |
Всё для аттестацииПубликация в сборникеВебинарыЛэпбукиПрофтестыЗаказ рецензийНовости
Библиотека
▪Методические разработки
▪Уроки
Материал опубликовала
5
#11 класс #Математика #ФГОС #1957 #Методические разработки #Урок #Учитель-предметник #Школьное образование
Нажмите, чтобы скачать публикацию
в формате MS WORD (*.
DOC)
Размер файла: 548 Кбайт
Учитель математики МБОУ «Гимназия №1 им. Р.Фахреддина» г.Альметьевск РТ Закирова М.А.
11б класс. Тема: Показательные неравенства
Тип урока: Урок формирования новых знаний
Цели урока:
— познакомить обучающихся с показательными неравенствами, формирование знаний об основных методах решения показательных неравенств.
– развитие умений сравнивать, выявлять закономерность, обобщать, развитие логики, памяти.
– воспитание ответственного отношения к учебному труду, внимательности.
Оборудование: проектор, презентация «Показательные неравенства», карточки
1. Организационный этап. На уроке будут рассмотрены показательные неравенства, решение которых требует хорошего знания теоретического материала. Данные неравенства ежегодно присутствуют в вариантах ЕГЭ по математике.
2.Проверка домашнего задания.
№12.18; 12.23; 12.25
3. Актуализация знаний. А)Теоретический опрос: слайд 1
1) функцию какого вида называют показательной;
2) какова область определения показательной функции;
3) каково множество значений показательной функции;
4) что можно сказать о монотонности показательной функции в зависимости от основания а;
5) уравнение какого вида называется показательным;
Б) Среди заданных функций укажите те, которые являются показательными: слайд 2
В) Какие из заданных функций являются возрастающими, какие убывающими?
г).Решите уравнения: слайд 4
Ответ: а) 3; б) 2; в)2; г)6.
4.Изучение новой темы
Определение: Показательными неравенствами называются неравенства вида , где а>0 и а≠1. Слайд 5
Используя свойство монотонности показательной функции делаем вывод, что неравенство при равносильно неравенству а при равносильно неравенству
Простейшие показательные неравенства имеют вид (слайды 9,10,11)
решений не имеет, а неравенство выполняется при всех значениях аргумента, поскольку
Способы решения показательных уравнений и неравенств: слайд 8
Уравнивание оснований
Введение новой переменной (замена переменной)
Вынесение общего множителя за скобку
Деление на показательную функцию
Графический способ
Рассмотрим 1 способ – способ уравнивания оснований
1.
слайд 12
2) Рассмотрим решение ещё нескольких показательных неравенств:( слайды 14,15)
а)
б)
в)
3.) А теперь рассмотрим решение двойных неравенств: слайд 16
Ответ: (- 4; -1).
Рассмотрим 2 способ — метод замены переменной.
А теперь рассмотрим решение показательных неравенств методом введения новой переменной или замены переменной: слайды 17,18
Пример 1: Сведение к квадратному неравенству.
Примеры некоторых заданий профильного уровня ЕГЭ- 2015 из сайта «Алексарин Ларин», которые решаются методом замены переменной.
(разобрать образцы 17 задания ЕГЭ-2015 профильного уровня)
Пример 2: Сведение к рациональному неравенству, которое решаем применяя метод интервалов для непрерывных функций.
Ответ:
4.Закрепление изученной темы:
Решить устно №13.1; №13.2
Решить письменно №13.3; №13.5; 13.8
5.Самостоятельная работа по карточкам (слайд 22)
6. Домашнее задание. Прочитать п 13; решить № 13.4; 13.6; 13.8
7.Итоги урока.
Опубликовано в группе «Математика -царица наук»
Чтобы написать комментарий необходимо авторизоваться.
у.
Точки на графике этого уравнения находятся путем выбора значений для y и вычисления соответствующих значений для x.
Пример 5. Оцените каждое из следующих значений:
(a) log_ (2) 3≈1,6
(b) log_2 (5,6) ≈2,5
10.3 Свойства логарифмов
Из законов экспонентов в разделе 9.1, основные свойства логаритов ниже легко являются легко. полученный. Для положительных действительных чисел x, y. и b!=1, и действительное число p: 9c
При представлении действительного числа A десятичным расширением мы вынуждены прекратить запись цифр после того, как будет записано только конечное число. То есть мы можем использовать только конечное десятичное приближение для A. Говорят, что незаписанные цифры округляются, а количество записанных цифр, считая от первой ненулевой цифры слева до последней цифры справа, которая является частью десятичного разложения числа А называются значащими цифрами в данном конечном десятичном приближении для А.
Например, значащие цифры в 594
Обратите внимание, что в последних двух приближениях, если четвертая значащая цифра равна 5, за которой следуют только нули, то мы округляем в большую сторону, если предыдущая цифра нечетная, и оставляем ее такой же, если она четная.
Из (1) следует, что если мы знаем логарифмы чисел от 1 до 10, то мы легко можем найти логарифм любого числа. Общепринятой практикой является использование «=» вместо «≈» в численных вычислениях. В оставшейся части этой главы мы будем придерживаться этого соглашения. 9-4)
=log_(10)(7,65)+(-4)log_(10)10
=-4+log_(10)(7,65)
Логарифмы по основанию 10 всех чисел от 1 до 10 (до двух знаков после запятой) приведены в таблице Б на с. 293. Мы используем эту таблицу, чтобы найти log_(10)(3,88) и log_(10)(7,65) в примере 2. Чтобы найти log_(10)(3,88)
ищем в первом столбце, пока не найдем 38, и затем находим число в той строке, которая находится в столбце под номером 8. Мы находим 5888.
Поскольку log_10(1) = 0, тогда как log_10(10) = 0, а log_10(3,88) — некоторое действительное число между ними, мы есть 9c
затем
log_10(x)=c+log_10(n_1*n_2n_3)
Целое число c называется характеристикой x, а число log_10(n_1*n_2n_3), которое мы можем найти в таблице B, называется мантисса х. Таким образом, логарифм числа x является суммой характеристики x и мантиссы. х. С другой стороны, если у является логарифмом числа х, то х называется антилогарифмом числа у.
Пример 3. Найдите антилогарифм каждого из следующих: (a) 3,9745 (b) -2+(0,719-2
(c) Все записи в таблице B являются положительными числами от 0 до 1. Поэтому, чтобы использовать таблицу, мы всегда должны выражать логарифм числа как целое число плюс число от 0 до 1. Для -2,6946 мы находим целое число n такое, что n-2,6946 — положительное число от 0 до 1. Очевидно, что n = 3 — это целое число, которое нам нужно. Таким образом,
-2,6946 = -3+3-2.6946
= -3+0,3054
Мы имеем
log_10 (x) =-2,6946
= -3+0,3054
= -3+log_10 (2,02) = -3+0,3054
= -3+ 9-5)
=-4+log_10(3,45)+6+log_10(9,75)-[-5log_10(1,28)
Из таблицы Б.
)
= -4+(0,5378) +6+ (0,9890)+5- (0,1072)
= 7+(1,4196)
= 8+0,4196
Из таблицы B, антилог 0,4196 находится между 2,62,
Из таблицы B, антилог 0,4196 находится между 2,62,
Из таблицы B, антилог 0,4196-2,62,
Из таблицы B, антилог 0,4196-2,62,
Из таблицы B, антилог 0,4196 составляет между 2,62,
Из таблицы B, антилог 0,4196-между 2,62,
из таблицы B. Антилог 0,4196-между 2,62. логарифм которого равен 0,4183, и 2,63, логарифм которого равен 0,4200. В этом разделе мы будем следовать правилу, согласно которому, если логарифм находится на полпути или больше между двумя элементами таблицы, мы возьмем большее число для антилогарифма; в противном случае мы возьмем меньший. Следовательно, 9-2
10.5 Линейная интерполяция
В последнем разделе, когда мантисса числа A находилась между двумя записями в таблице, мы аппроксимировали A антилогарифмом ближайшей записи. Используя метод, называемый линейной интерполяцией, мы можем приблизить A еще к одному десятичному знаку.
Рассмотрим задачу нахождения действительного числа A такого, что
log_10A=0,4197
Из таблицы B имеем
log_10(2.62)
0,4183 <0,4197 <0,4200
, следовательно,
По этой причине метод называется линейной интерполяцией. См. рис. 6. Мы можем вывести приведенное выше уравнение (1), которому удовлетворяет X’, геометрическим образом из рис. 6.
Наших пользователей: Ваша программа до сих пор была отличной. Давно мне не нужно было разбираться в алгебре, и когда пришло время помочь сыну, я не смог этого сделать. Теперь, с вашим программным обеспечением по алгебре, мы оба учимся вместе. Это именно то, что мне нужно. Большое спасибо!! Спасибо за быстрый ответ. Вот это обслуживание клиентов! Студенты, борющиеся со всевозможными задачами по алгебре, узнают, что наше программное обеспечение может спасти им жизнь. Вот поисковые фразы, которые сегодняшние поисковики использовали, чтобы найти наш сайт. Сможете ли вы найти среди них свою? Поисковые фразы, использованные 28 ноября 2011 г.:
|
Я купил это программное обеспечение для моих 13 лет. старая дочь, у которой проблемы с математикой. У нас есть репетитор, который приходит на дом, и благодаря вашему программному обеспечению и ему она получила свою первую пятерку в очень сложном тесте по главе. Как вы, возможно, знаете, иногда, когда вы видите другой подход к проблеме, или иногда просто кто-то другой показывает вам разные способы понимания проблемы, этого достаточно. Ваше программное обеспечение, кажется, дает этот подход к решению проблем таким образом, чтобы его было легко понять. Еще раз спасибо всей семье Терли. 