Решение показательных неравенств онлайн с подробным решением: Калькулятор онлайн — Решение показательных неравенств

alexxlab / / Разное

6.3: Экспоненциальные уравнения и неравенства

  1. Последнее обновление
  2. Сохранить как PDF
  • Идентификатор страницы
    80789
    • Carl Stitz & Jeff Zeager
    • Общественный колледж Лейкленда и Общественный колледж округа Лорейн 9{x}\right) & = & \ln(129) & \mbox{Возьмем натуральный логарифм обеих сторон.} \\ x \ln(2) & = & \ln(129) & \mbox{степенное правило} \\[4pt] x & = &\dfrac{\ln(129)}{\ln(2)} & \\ \end{массив}\nonumber\]

      «Взять натуральный логарифм» обеих сторон сродни возведению обеих сторон в квадрат: поскольку \(f(x) = \ln(x)\) является функцией , пока две величины равны, их натуральные логарифмы равны равный. 2 Также обратите внимание, что мы рассматриваем \(\ln(2)\) как любое другое ненулевое действительное число и делим его на

      3 , чтобы изолировать переменную \(x\). Ниже мы суммируем два распространенных способа решения показательных уравнений, мотивированных нашими примерами.

      Этапы решения уравнения с экспоненциальными функциями

      1. Изолировать экспоненциальную функцию.
        1. Если удобно, выразите обе части общим основанием и приравняйте степени.
        2. В противном случае возьмите натуральный логарифм обеих частей уравнения и используйте степенное правило. 9{2x}\справа)\). Правило мощности дает \((x+2)\ln(3) = 2x\ln(7)\). Хотя это уравнение кажется очень сложным, имейте в виду, что \(\ln(3)\) и \(\ln(7)\) — это просто константы. Уравнение \((x+2) \ln(3) = 2x \ln(7)\) на самом деле является линейным уравнением, и поэтому мы собираем все члены с \(x\) на одной стороне, а константы с другой. Затем мы делим обе части на коэффициент \(х\), который мы получаем путем факторизации.

          \[\begin{array}{rclr} (x+2) \ln(3) & = & 2x \ln(7) & \\ x \ln(3) + 2 \ln(3) & = & 2x \ln(7) & \\ 2 \ln(3) & = & 2x \ln(7) — x \ln(3) & \\ 2 \ln(3) & = & x (2 \ln(7) — \ln(3)) & \mbox{Коэффициент. }\\ x & = & \frac{2 \ln(3)}{2\ln(7) — \ln(3)} & \\[4pt] \конец{массив}\номер\] 9{\log_{3}(2)} & \mbox{Изменение базы}\\ 2000 & \stackrel{?}{=} & 1000 \cdot 2 & \mbox{Обратное свойство}\\ 2000 & \stackrel{\ галочка}{=} & 2000 & \\ \end{массив}\номер\]

          Другие решения можно проверить, используя комбинацию логарифмических и обратных свойств. Одни выпадают довольно быстро, а другие более вовлекаются. Оставляем их читателю.

          Поскольку экспоненциальные функции непрерывны в своих областях определения, применима теорема о промежуточном значении 3.1. Как и в случае с алгебраическими функциями в разделе 5.3, это позволяет нам решать неравенства с помощью диаграмм со знаками, как показано ниже. 9{2x} — 4 = 0\). Чтобы решить последнее, мы изолируем экспоненту и берем журналы, чтобы получить \(2x = \ln(4)\), или \(x = \frac{\ln(4)}{2} = \ln(2)\ ). (Можете ли вы объяснить последнее равенство, используя свойства журналов?) Как и в предыдущем примере, нам нужно быть осторожными при выборе тестовых значений.

          {\ln\left(\frac{1}{4}\right )}- 4\ln\left(\frac{1}{2}\right) & \\ & = & \frac{1}{4} \ln\left(\frac{1}{2}\right) — 4 \ln\left(\frac{1}{2}\right) = -\frac{15}{4} \ln\left(\frac{1}{2}\right) & \end{array} \номер\] 9{-0.1t} = \frac{1}{3}\), так что \(t = -10\ln\left(\frac{1}{3}\right)\), которое после быстрого применения Правило степени оставляет нам \(t = 10\ln(3)\). Если мы хотим избежать использования калькулятора для выбора тестовых значений, заметим, что, поскольку \(1 < 3\), \(0 = \ln(1) < \ln(3)\), так что \(10\ln( 3) >
          0\). Поэтому мы выбираем \(t = 0\) в качестве тестового значения в \([0, 10 \ln(3))\). Поскольку \(3 < 4\), \(10 \ln(3) < 10 \ln(4)\), то последнее является нашим выбором тестового значения для интервала \((10 \ln(3), \infty)\). Наша диаграмма знаков находится ниже, а рядом с ней наш график \(y=T(t)\) из примера 6.1.2 с горизонтальной линией \(y = 100\). 9{x}\) растет относительно любого многочлена?

        6.3.2. Ответы

        1. \(x = \frac{3}{4}\)
        2. \(х = 4\)
        3. \(х=2\)
        4. \(х = -\фракция {1}{4}\)
        5. \(х = -\фракция {7}{3}\)
        6. \(х = -1, \, 0, \, 1\)
        7. \(х = \фракция{16}{15}\)
        8. \(х=-\фракция{2}{11}\)
        9. \(х = \frac{\ln(5)}{2\ln(3)}\)
        10. \(х = -\frac{\ln(2)}{\ln(5)}\)
        11. Нет решения.
        12. \(x = \frac{\ln(29) + \ln(3)}{\ln(3)}\)
        13. \(x = \frac{\ln(3)}{12\ln(1,005)}\)
        14. \(k = \frac{\ln\left(\frac{1}{2}\right)}{-5730} = \frac{\ln(2)}{5730}\)
        15. \(t=\frac{\ln(2)}{0,1} = 10\ln(2)\)
        16. \(x=\frac{1}{2}\ln\left(\frac{1}{2}\right) = -\frac{1}{2}\ln(2)\)
        17. \(t = \frac{\ln\left(\frac{1}{18}\right)}{-0,1} =10 \ln(18)\)
        18. \(x=-10\ln\left(\frac{5}{3}\right) = 10\ln\left(\frac{3}{5}\right)\)
        19. \(х=\ln(2)\)
        20. \(t=\frac{1}{3}\ln(2)\)
        21. \(t = \frac{\ln\left(\frac{1}{29}\right)}{-0,8} = \frac{5}{4}\ln(29)\)
        22. \(x = \frac{\ln\left(\frac{2}{5}\right)}{\ln\left(\frac{4}{5}\right)} = \frac{\ln( 2)-\ln(5)}{\ln(4) — \ln(5)}\)
        23. \(х = \ln(2)\)
        24. \(x = -\frac{1}{8} \ln\left(\frac{1}{4} \right) = \frac{1}{4}\ln(2)\)
        25. \(x = \frac{\ln(3)}{\ln(3) — \ln(2)}\)
        26. \(x = \frac{\ln(3) + 5\ln\left(\frac{1}{2}\right)}{\ln(3) — \ln\left(\frac{1}{) 2}\right)} = \frac{\ln(3)-5\ln(2)}{\ln(3)+\ln(2)}\)
        27. \(x = \frac{4 \ln(3) — 3 \ln(7)}{7 \ln(7) + 2 \ln(3)}\)
        28. \(х=\ln(5)\)
        29. \(х=\ln(3)\)
        30. \(x=\frac{\ln(3)}{\ln(2)}\)
        31. \(х=\ln(3)\)
        32. \(х=\лн(3)\), \(\лн(5)\)
        33. \(x=\frac{\ln(5)}{\ln(3)}\)
        34. \((\ln(53), \infty)\)
        35. \(\left[\frac{\ln(3)}{12\ln(1. 005)}, \infty\right)\)
        36. \((-\infty, -1) \чашка (0, 1)\)
        37. \(\left(-\infty, \frac{\ln\left(\frac{2}{5}\right)}{\ln\left(\frac{4}{5}\right)} \right ] = \left(-\infty, \frac{\ln(2)-\ln(5)}{\ln(4)-\ln(5)} \right]\)
        38. \(\left(-\infty, \frac{\ln\left(\frac{2}{377}\right)}{-0,8} \right] = \left(-\infty, \frac{5} {4}\ln\left(\frac{377}{2}\right) \right]\)
        39. \(\left[\ln\left(\frac{1}{18}\right)}{-0.1}, \infty\right) = [10\ln(18), \infty)\)
        40. \(х \приблизительно -0,76666, \, х = 2, \, х = 4\)
        41. \(х \приблизительно 0,01866, \, х \приблизительно 1,7115\)
        42. \(х = 0\)
        43. \((-\infty, 1]\)
        44. \(\приблизительно (-\infty, 2.7095)\)
          45. 9{-1}\) имеют домен \((-\infty, \infty)\) и диапазон \((-\infty, \infty)\).

        Артикул

        1 Можно использовать натуральные бревна или обычные бревна. Мы выбираем натуральные бревна. (Из исчисления вы узнаете, что это самые «математические» логарифмы. )

        2 Это также часть оператора «если» \(\log _{b}(u)=\log _{b}(w)\) тогда и только тогда, когда \(u = w\) в теореме 6.4.

        3 Не поддавайтесь искушению делить обе части на «ln» вместо ln(2). Точно так же, как не имеет смысла делить обе части на символ квадратного корня \(‘\sqrt ‘\) при решении \(x \sqrt{2}=5\), нет смысла делить на ‘ln’ .

        4 Это потому, что основание \(\ln (x)\) равно \(e>1\). Если бы основание \(b\) находилось в интервале \(0

        5 Можно, конечно, воспользоваться калькулятором, но разве это будет весело?

        6 В этот момент можно использовать калькулятор. Как обычно, мы действуем без извинений аналитическим методом.

        7 Примечание: \(\ln (2) \примерно 0,693\).

        8 Критики могут указать, что, поскольку нам все равно нужно было использовать калькулятор для интерпретации нашего ответа, почему бы не использовать его раньше для упрощения вычислений? Справедливый вопрос, на который мы несправедливо отвечаем: это наша книга

        Эта страница под названием 6.

        No related posts.

    Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *