Решение примеры матриц: 1.1.5. Примеры решения задач по теме «Операции над матрицами»

Матрицы и детерминанты — задачи с решениями

Задача 1

Каков размер матрицы $A$?
$A=\left( \begin{array}{ccccc} 2 & -2 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & 3 \\ 1 & -1 & 3 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \end{array} \right)$

5

$5 \times 4$

$4 \times 5$

20

Задача 2

$A=\left( \begin{array}{ccccc} 2 & -2 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & 3 \\ 1 & -1 & 3 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1% \end{array}% \right) $

Чему равен элемент $A_{2,4}$?

Задача 3

$A=\left( \begin{array}{ccccc} 2 & -2 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & 3 \\ 1 & -1 & 3 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1% \end{array}% \right) $

Чему равен элемент $A_{3,2}$?

Задача 4

Запишите данную систему уравнений в виде расширенной матрицы.

$\left\{ \begin{array}{c} 3x-2y=3 \\ 5x+y=0 \end{array} \right\} $

$\left( \begin{array}{ccc} 3 & -2 \\ 5 & 1 \end{array} \right)$

$\left( \begin{matrix} 3 & 5 \\ -2 & 1 \\ 3 & 0 \end{matrix} \right)$

$\left( \begin{array}{ccc} 3 & -2 & 3 \\ 5 & 1 & 0 \end{array} \right)$

$\left( \begin{array}{ccc} 3 & -2 & 3 \\ 5 & 1 & 3 \end{array} \right)$

Задача 5

Чему равна сумма матриц?
$\left( \begin{array}{cc} 2 & -1 \\ 1 & 3 \end{array} \right) +\left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 2 & -1 \end{array} \right) =$

$\left( \begin{array}{cc} 3 & 1 \\ 2 & 2 \end{array} \right)$

$\left( \begin{array}{cc} 3 & -1 \\ 3 & 2 \end{array} \right)$

$\left( \begin{array}{cc} 3 & -1 \\ 3 & 4 \end{array} \right)$

$\left( \begin{array}{cc} 3 & 3 \\ 2 & -1 \end{array} \right)$

Задача 6

Найдите матрицу $A$, чтобы выполнялось следующее равенство.

$A+\left( \begin{array}{cc} 2 & 3 \\ -4 & 1 \end{array} \right) =\left( \begin{array}{cc} 5 & -1 \\ 1 & 5 \end{array} \right) $

$A=\left( \begin{array}{cc} 5 & 4 \\ 3 & -4 \end{array} \right)$

$A=\left( \begin{array}{cc} 3 & -4 \\ 5 & 4 \end{array} \right)$

$A=\left( \begin{array}{cc} -3 & 4 \\ -5 & -2 \end{array} \right)$

$A=\left( \begin{array}{cc} 7 & 2 \\ -3 & 4 \end{array} \right)$

Задача 7

Каков результат умножения?
$5 \times \left( \begin{array}{c} -2 \\ 3 \\ -4 \end{array} \right) =$

$\left( \begin{array}{ccc} -20 & 15 & -10 \end{array} \right)$

$\left( \begin{array}{c} 10 \\ 15 \\ 20 \end{array} \right)$

$\left( \begin{array}{c} -20 \\ 15 \\ -10 \end{array} \right)$

$\left( \begin{array}{c} -10 \\ 15 \\ -20 \end{array} \right)$

Задача 8

Найдите матрицу $X$.

$\frac{3}{2}X+\left( \begin{array}{cc} -1 & 3 \\ 2 & -2 \end{array} \right) =\left( \begin{array}{cc} 3 & -4 \\ 5 & 4 \end{array} \right) $

$X=\left( \begin{array}{cc} 2 & 4 \\ \frac{8}{3} & -\frac{14}{3} \end{array} \right)$

$X=\left( \begin{array}{cc} 6 & -\frac{21}{2} \\ \frac{9}{2} & 9 \end{array} \right)$

$X=\left( \begin{array}{cc} \frac{8}{3} & -\frac{14}{3} \\ 2 & 4 \end{array} \right)$

$X=\left( \begin{array}{cc} 3 & -\frac{3}{2} \\ \frac{21}{2} & 3 \end{array} \right)$

Задача 9

Если $A=B\times C$, найдите матрицу $A$.

$B=\left( \begin{array}{ccc} 1 & -3 & -2 \\ 2 & 0 & 1 \end{array} \right)$ $C=\left( \begin{array}{cc} 2 & 1 \\ -2 & -1 \\ 3 & 0 \end{array} \right)$

$\left( \begin{array}{cc} 4 & 1 \\ 0 & 3 \\ 3 & 0 \end{array} \right)$

$\left( \begin{array}{ccc} 2 & 6 & -6 \\ 2 & 0 & 0 \end{array} \right)$

$\left( \begin{array}{cc} 7 & 2 \\ 2 & 4 \end{array} \right)$

$\left( \begin{array}{cc} 2 & 4 \\ 7 & 2 \end{array} \right)$

Задача 10

Найдите определитель матрицы.
$A=\left( \begin{array}{cc} 2 & -3 \\ 4 & 5 \end{array} \right) $

Задача 11

Найдите определитель матрицы.
$A=\left( \begin{array}{cc} 3 & 4 \\ 0 & 0 \end{array} \right) $

Задача 12

Найдите обратную матрицу матрицы $A=\left( \begin{array}{cc} 2 & -3 \\ 4 & 5 \end{array} \right) $

$\left(\begin{matrix}110 & 66\\-88 & 44\end{matrix} \right)$

$\left(\begin{matrix}5 & 3\\ -4 & 2\end{matrix} \right)$

$\frac{1}{22}$

$\left(\begin{matrix}\frac{5}{22} & \frac{3}{22}\\\frac{-2}{11} & \frac{1}{11}\end{matrix} \right)$

Задача 13

Найдите обратную матрицу матрицы $A=\left( \begin{array}{cc} 0 & \frac{-3}{4} \\ \frac{7}{3} & 0 \end{array} \right)$

$A^{-1}=\left(\begin{array}{cc} 0 & \frac{3}{7} \\ -\frac{4}{3} & 0 \end{array}\right)$

$A^{-1}=\left(\begin{array}{cc} \frac{3}{7} & 0 \\ 0 & -\frac{4}{3} \end{array}\right)$

$A^{-1}=\left(\begin{array}{cc} 0 & \frac{3}{4} \\ -\frac{7}{3} & 0 \end{array}\right)$

Обратная матрица матрицы A не существует. {-1}=\left(\begin{array}{cc} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{array}\right)$

Обратная матрица матрицы A не существует.

Задача 15

$A=\left( \begin{array}{cc} 7 & -4 \\ 4 & -3 \end{array} \right)$ $B=\left( \begin{array}{cc} \frac{3}{5} & -\frac{4}{5} \\ \frac{4}{5} & -\frac{7}{5} \end{array} \right) $
Является ли $B$ мультипликативной инверсией $A$(можем ли мы сказать, что $A \cdot B = B \cdot A$)?

Задача 16

$A=\left( \begin{array}{cc} 2 & -3 \\ 1 & -2 \end{array} \right)$ $B=\left( \begin{array}{cc} -2 & 1 \\ -3 & 2% \end{array} \right)$
Можем ли мы сказать, что $A \cdot B = B \cdot A$?

Задача 17

Какое значение должен принимать $x$, чтобы $B$ была бы обратной $A$?
$A=\left( \begin{array}{cc} 1 & 3 \\ -1 & 2 \end{array}% \right) \qquad B=\left( \begin{array}{cc} \frac{2}{5} & x \\ \frac{1}{5} & \frac{1}{5} \end{array} \right)$

Задача 18

Какое значение должен принимать $x$, чтобы у матрицы $A$ не было бы обратной матрицы?

$A=\left( \begin{array}{cc} 2 & 3 \\ x & -2 \end{array} \right)$

$\frac{4}{3}$

$-\frac{3}{4}$

$-\frac{4}{3}$

$\frac{3}{4}$

Задача 19

Какое значение должен принимать $x$, чтобы у матрицы $A$ не было бы обратной матрицы?

$A=\left( \begin{array}{cc} 1 & 2+x \\ x & -1 \end{array} \right)$

Прислать задачу

Правильный:

Неверный:

Неразрешенные задачи:

Матрицы и действия над ними.

Решение задач и контрольных работ по высшей математике онлайн

Что такое матрица

Таблица чисел  вида

состоящая из  строк и  столбцов называется матрицей. Числа  называются ее элементами.

Под решением матрицы обычно понимают проведение таких операций как нахождение обратной матрицы, нахождение определителя, умножение матрицы на число и другое. Кроме того действия могут проводиться сразу над несколькими матрицами. То есть матрицы могут между собой складываться, перемножаться. Все эти так называемые решения матриц проводятся по определенным схемам или алгоритмам. Обратите внимание что действия над матрицами выполняются по определенным правилам и дело тут не в сложности этих правил, а в старательности и внимательности при вычислениях.

Определитель матрицы и его вычисление

Рассмотрим квадратную матрицу:

порядка . Из элементов этой матрицы составим всевозможные произведения так, чтобы они содержали по одному и только по одному элементу из каждой строки и каждого столбца. В каждом из этих произведений сомножители (которых будет ) расположим таким образом, чтобы первые индексы образовали перестановку . В результате полученные произведения будут иметь вид:

где  – некоторая перестановка чисел 1,2,3…n. Очевидно, что число всевозможных произведений составленных из элементов матрицы по приведенному выше правилу будет равно числу всевозможных перестановок из множества вторых индексов сомножителей произведений, то есть из чисел , или то же самое, числу перестановок из чисел , а таких перестановок будет . Каждая перестановка будет иметь некоторое число инверсий, образованных вторыми индексами сомножителей произведений. Условимся перед произведением ставить плюс если число инверсий четное (то есть перестановка вторых индексов четная), и минус, если число инверсий нечетное (то есть перестановка вторых индексов нечетная).

Просуммировав все произведения вида (*) составленные из матрицы и взятые с указанными знаками, получим число, называемое определителем.

Для определителя, как и для матрицы, используются такие понятия, как строка, столбец, главная и побочная диагонали и т. п. Квадратная матрица, определитель которой отличен от нуля, называется невырожденной, а матрица с определителем, равным нулю,— вырожденной.

Рассмотрим частные случаи определителей:

Определитель 2-го порядка:

 Определитель третьего порядка:

Для его вычисления удобно пользоваться следующей схемой:

Для определителей порядка выше третьего неудобно запоминать какую-либо символическую схему, так как, например, определитель уже четвертого порядка есть алгебраическая сумма 24 слагаемых, каждое из которых является произведением четырех сомножителей.

Минором какого-либо элемента определителя называется определитель, полученный из данного вычерчиванием той строки и того столбца, которым принадлежит этот элемент.

Алгебраическим дополнением элемента определителя называется его минор, взятый со знаком .

В общем случае определителем  порядка, соответствующим квадратной матрице  порядка можно назвать число, равное сумме парных произведении элементов какой-либо строки (столбца) на их алгебраические дополнения.

Квадратная матрица называется невырожденной, если ее определитель отличен от нуля.

Обратная матрица

Пусть  – квадратная невырожденная матрица n-го порядка. Обратной матрицей  для матрицы  называется матрица, для которой справедливо равенство:

где  – единичная матрица

Обратная матрица  определена только для квадратных невырожденных матриц и вычисляется по формуле:

где  – определитель матрицы , а матрица  (союзная матрица) получается из матрицы  заменой всех ее элементов соответствующими им алгебраическими дополнениями.

Транспонирование матрицы

Замена каждой строки матрицы  ее столбцов называется транспонированием. Транспонированная по отношению к матрице  матрица обозначается .

Если задана матрица

то ее транспонированная матрица имеет вид:

Сумма матриц и произведение матрицы на число

Суммой матриц  и   называется матрица , элементы которой вычисляются по формуле:

Для суммы матриц используют обозначение

Произведением матрицы  на число  называется матрица , элементы которой вычисляются по формуле:

Для произведения матрицы на число используют обозначение .

Произведение матриц

Произведением матрицы  на матрицу  называется матрица , элементы которой вычисляются по формуле:

Из определения умножения матриц следует, что элемент  в матрице  является суммой произведений соответствующих элементов i-й строки матрицы  и j-го столбца матрицы . На рисунке схематично показано получение элемент  в произведении матриц

 

Для произведения матриц используют обозначение

 

Произведение матриц определено только в том случае, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы. Произведение матриц содержит столько строк, сколько имеет первая матрица, и столько столбцов, сколько имеет вторая матрица.

 

7 быстрых шагов по созданию матрицы решений с примерами [2023] • Асана

Решения, решения, решения. Принятие правильных решений может помочь вам направить команду в правильном направлении и достичь поставленных целей, но как узнать, какое решение является правильным? Столкнувшись с двумя, казалось бы, равными возможностями, подбрасываете ли вы монетку? Бросить кости? Попросить помощи у Magic 8-Ball?

Принятие решений — важнейшая часть хорошего бизнес-планирования, но бывает сложно понять, какой вариант является правильным. Ключ в том, чтобы принять быстрое решение без поспешности и принять правильное решение без потери скорости.

Если это звучит как неразрешимая головоломка, не волнуйтесь — это не так. С помощью матрицы решений вы можете быстро рассмотреть все за и против каждого варианта, взвесить различные переменные и быстро и легко принять правильное решение.

Что такое матрица решений?

Матрица решений — это инструмент для оценки и выбора наилучшего варианта из различных вариантов. Этот инструмент особенно полезен, если вы выбираете между несколькими вариантами и есть несколько факторов, которые необходимо учитывать, чтобы принять окончательное решение.

Возможно, вы слышали, что матрица решений называется другим термином, хотя все они говорят об одном и том же. Некоторые другие названия матрицы решений включают:

Создание шаблона матрицы Эйзенхауэра

Когда использовать матрицу решений

Вам не всегда нужно использовать матрицу решений. Этот процесс мощный и относительно простой, но он наиболее эффективен, когда вы выбираете между несколькими сопоставимыми вариантами. Если критерии оценки не совпадают между вашими вариантами, то матрица решений, скорее всего, не лучший инструмент для принятия решений. Например, матрица решений не поможет вам решить, в каком направлении должна двигаться ваша команда в следующем году, потому что вещи, между которыми вы решаете, несопоставимы.

Используйте матрицу решений, если вы:

• Сравнение нескольких похожих вариантов

• Сведение различных вариантов в одно окончательное решение

• Взвешивание множества важных факторов 9000 3

• В надежде приблизиться к решению с логической точки зрения, а не с эмоциональной или интуитивной.

Если матрица решений не подходит для вашей текущей ситуации, узнайте о других подходах к принятию решений ниже.

Прочтите: Матрица приоритетов: как определить, что важно, и сделать больше

Как создать матрицу решений за 7 шагов

Матрица решений может помочь вам оценить лучший вариант между различными вариантами, основываясь на нескольких важных факторах и их относительной важности. . Существует семь шагов для создания матрицы решений:

1. Определите ваши альтернативы

Матрицы решений — это полезный инструмент для выбора наилучшего варианта из набора похожих вариантов. Прежде чем вы сможете построить свою матрицу, определите варианты, между которыми вы выбираете.

Допустим, ваша команда этим летом запускает новую рекламную кампанию. Вам нужно выбрать поставщика для создания визуальных эффектов и видео для дизайна. Прямо сейчас вы определили три дизайнерских агентства, хотя у каждого из них есть свои плюсы и минусы.

2. Определение важных соображений

Вторым шагом в построении матрицы решений является определение важных соображений, которые влияют на ваше решение. Этот набор критериев помогает определить наилучшее решение и избежать субъективизма.

Продолжая наш пример, ваша команда решила, что важными критериями при выборе дизайнерского агентства являются: стоимость, опыт, общение и прошлые отзывы клиентов.

3.

Создайте свою матрицу решений

Матрица решений представляет собой сетку, в которой вы можете сравнивать важные соображения между различными вариантами.

Естественно, мы строим свои матрицы решений в Asana. Asana — это инструмент управления работой, который может помочь вам организовать и выполнить работу в вашей организации и обеспечить ясность, необходимую командам для более быстрого достижения своих целей.

Прочтите: Введение в управление работой

Например, вот как выглядит ваш скелет матрицы решений в Asana, если вы выбираете между тремя агентствами и учитываете стоимость, опыт, общение и отзывы клиентов:

4. Заполните ваше решение матрица

Теперь оцените каждое соображение по заданной шкале. Если между вариантами нет большой разницы, используйте шкалу от 1 до 3, где три — лучший вариант. Чтобы получить больше вариантов, используйте шкалу от 1 до 5, где пять — лучший вариант.

Именно здесь начинают проявляться преимущества матрицы решений. Например, допустим, вы выбираете между тремя агентствами и у вас есть четыре важных критерия, но вы не составляете матрицу решений. Вот как выглядит каждое агентство: 

• Агентство 1 действительно рентабельно, но у него нет большого опыта. Их общение и отзывы клиентов кажутся средними.

• Агентство 2 не очень рентабельно, но и не самое дорогое агентство. У них большой опыт и отличные отзывы клиентов, но до сих пор им не хватало общения.

• Агентство 3 самое дорогое, но и самое опытное. Их общение до сих пор было средним, а отзывы клиентов довольно хорошими.

Все эти три описания относительно похожи — трудно решить, какое из них лучше, основываясь на коротком абзаце, особенно потому, что у каждого агентства есть свои плюсы и минусы. В качестве альтернативы, вот как три агентства и их четыре соображения выглядят в матрице решений при ранжировании от 1 до 5, где пять являются лучшими:

5. Добавить вес

Иногда некоторые соображения важнее других. В таком случае используйте взвешенную матрицу решений, чтобы определить наилучший для вас вариант.

Продолжая наш пример, представьте, что вы абсолютно не можете превысить свой бюджет, поэтому стоимость является решающим фактором в процессе принятия решений. Отзывы клиентов также важны, так как они дают вам базовое представление о том, насколько эффективным было каждое агентство в прошлом.

Чтобы увеличить вес матрицы решений, присвойте каждому соображению номер (от 1 до 3 или от 1 до 5, в зависимости от того, сколько вариантов у вас есть). Позже в процессе принятия решения вы будете умножать весовой коэффициент на каждое соображение.

Вот как это выглядит в нашем примере: 

6. Умножьте взвешенную оценку

После того, как вы применили шкалу оценок и присвоили вес каждому соображению, умножьте вес на каждое соображение. Это гарантирует, что более важным соображениям будет придан больший вес, что в конечном итоге поможет вам выбрать лучшее агентство.

Продолжая наш пример, вот как это выглядит, когда вы применяете взвешенные баллы к каждому соображению для каждого агентства:

7. Подсчитайте общий балл

Теперь, когда вы умножили взвешенный балл, сложите все соображения для каждого агентства. На этом этапе у вас должен быть четкий, основанный на цифрах ответ на вопрос, какое решение является лучшим.

Например, вот как выглядит готовая матрица решений: 

Как видите, агентство 2 имеет самый высокий балл, поэтому вам следует обратиться именно к этому агентству. Несмотря на то, что агентство 1 было дешевле, средняя стоимость агентства 2 в сочетании с их многолетним опытом и великолепными отзывами клиентов делает их лучшим вариантом для вашей команды. Осталось только связаться с агентством и продвигать бренд-кампанию.

Пример матрицы решений

Матрицы решений можно использовать для различных бизнес-решений, если вы взвешиваете наилучший вариант из различных вариантов. Эти решения не всегда должны быть критически важными для бизнеса. Вы также можете использовать эту модель для быстрого принятия простого решения.

Например, создайте матрицу решений, чтобы решить, какой стул вы собираетесь купить для работы из дома. Вам нравятся четыре разных стула, и вы обращаете внимание на удобство, стоимость и отзывы.

Варианты принятия решений

Если метод матрицы решений не совсем подходит для вашего выбора, попробуйте: 

Матрица Эйзенхауэра

Матрица Эйзенхауэра представляет собой сетку 2×2, помогающую расставить приоритеты задач по срочности и важности. Эта матрица полезна, если вы совмещаете множество непохожих задач и вам нужно решить, над какими задачами или инициативами работать в первую очередь.

• В верхнем левом углу перечислите срочные и важные дела: Эти задачи имеют наивысший приоритет. Сделайте их сейчас или как можно скорее.

• В правом верхнем углу перечислите менее срочную, но важную работу: Чтобы обеспечить выполнение этих задач, запланируйте их в своем календаре или зафиксируйте дату выполнения в инструменте управления проектами.

• В левом нижнем углу перечислите срочную и неважную работу: Эти задачи необходимо выполнить, но, возможно, для этой работы найдется человек получше. По возможности делегируйте эту работу.

• В правом нижнем углу перечислите менее срочные и не важные работы: Отложите выполнение этих задач или не выполняйте их. Уточнение ваших приоритетов и информирование членов команды о том, что вы не можете работать над чем-то прямо сейчас, — один из способов уменьшить выгорание.

Создание шаблона матрицы Эйзенхауэра.

Карта анализа заинтересованных сторон и диаграмма RACI. Для этого решения создайте карту анализа заинтересованных сторон. Эта карта помогает классифицировать заинтересованные стороны на основе их относительного влияния и заинтересованности.

На карте анализа заинтересованных сторон есть четыре категории:

• Высокое влияние и высокий интерес: Вовлекайте эти заинтересованные стороны в процесс планирования проекта и принятия решений.

• Высокое влияние и низкий интерес: Сообщите этим заинтересованным сторонам о проекте и следите за их интересом на случай, если они захотят принять более активное участие.

• Низкое влияние и высокий интерес: Информируйте эти заинтересованные стороны о проекте. Добавьте их в обновления статуса вашего проекта, чтобы они могли оставаться в курсе событий.

• Низкое влияние и низкий интерес: Общайтесь с этими заинтересованными сторонами на обычных контрольно-пропускных пунктах, но не слишком беспокойтесь об их информировании.

Прочтите: Что такое анализ заинтересованных сторон проекта и почему он важен?

После того, как вы определились со своими ключевыми заинтересованными сторонами, вы также можете создать диаграмму RACI. RACI — это аббревиатура от Responsible, Accountable, Consulted, and Informed. Диаграммы RACI могут помочь вам решить, кто является главным лицом, принимающим решения по каждой задаче или инициативе.

Прочтите: ваш путеводитель по таблицам RACI с примерами

Коллективный мозговой штурм

Иногда лучший способ принять решение — провести старый добрый командный мозговой штурм. Проведите сеанс мозгового штурма на доске или поделитесь идеями в инструменте управления проектами.

В Asana нам нравится использовать доски Канбан для динамических мозговых штурмов. Для начала ведущий мозгового штурма создает доску, на которой члены команды могут добавлять идеи, мысли или отзывы. Затем, когда все добавили свои идеи, каждый член команды просматривает отдельные предложения и «лайкает» их. Затем команда вместе обсуждает задачи, получившие наибольшее количество лайков, чтобы решить, к чему двигаться дальше.

Попрощайтесь с подбрасыванием монетки для принятия решений

Принятие быстрых решений является важной частью хорошего планирования проекта и управления им. Независимо от того, используете ли вы матрицу решений для принятия сложных или простых решений, эти инструменты помогут вам учесть различные факторы и принять наилучшее решение для вашей команды.

Создание шаблона матрицы Эйзенхауэра

Матрицы с примерами и вопросами с решениями

Приведены примеры и вопросы по матрицам вместе с их решениями.

Содержание страницы

• Определение матрицы
• Запись матрицы (или элемент)
• Квадратная матрица
• Единичная матрица
• Диагональная матрица
• Треугольная матрица
• Транспонирование матрицы
• Симметричная матрица
• Вопросы по матрицам: часть А
• Вопросы по матрицам: часть B
• Ответы на вопросы в части A
• Ответы на вопросы в части B
• Рекомендации

Определение матрицы

Ниже приведены примеры матриц (множественное число от матрицы ).

Матрица m n (читается «m на n») представляет собой расположение чисел (или алгебраических выражений) в m строк и n столбцов . Каждое число в данной матрице называется элементом или записью .
Нулевая матрица имеет все элементы, равные нулю.

Пример 1
Следующая матрица имеет 3 строки и 6 столбцов.

Порядок (или размеры, или размер) матрицы указывает количество строк и количество столбцов матрицы. В этом примере порядок матрицы равен 3 6 (читается «3 на 6»).

Запись матрицы (или элемент)

\( \) \( \) \( \) \( \)

Элемент (или элемент) в строке i и столбце j матрицы A (заглавная буква A) обозначается символом \((A)_{ij} \) или \( a_{ij} \ ) (строчная буква а).

Пример 2

В матрице A, показанной ниже, \(a_{11} = 5 \), \(a_{12} = 2 \) и т. д. … или \( (A)_{11} = 5 \), \( (А)_{12} = 2 \) и т.д… \[ \textbf{А} = \begin{bматрица} 5 и 2 и 7 и -3 \\ -9 и -2 и -7 и 11\\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} а_{11} и а_{12} и а_{13} и а_{14} \\ а_{21} и а_{22} и а_{23} и а_{24} \\ \end{bmatrix} \]

Квадратная матрица

Квадратная матрица имеет количество строк, равное количеству столбцов.

Пример 3

Для каждой приведенной ниже матрицы определите порядок и укажите, является ли она квадратной матрицей.
\[ а) \begin{bmatrix} -1 и 1 и 0 и 3 \\ 4 и -3 и -7 и -9\\ \end{bmatrix} \;\;\;\; б) \begin{bmatrix} -6 & 2 & 0 \\ 3&-3&4\ -5 и -11 и 9 \end{bmatrix} \;\;\;\; \\ в) \begin{bmatrix} 1 и -2 и 5 и -2 \end{bmatrix} \;\;\;\; г) \begin{bmatrix} -2 и 0 \\ 0 и -3 \end{bmatrix} \;\;\;\; д) \begin{bmatrix} 3 \end{bmatrix} \]
Решения
а) порядок: 2 4. Количество строк и столбцов не равно, следовательно, матрица не квадратная.
б) порядок: 3 3. Количество строк и столбцов равно, поэтому эта матрица является квадратной матрицей.
c) порядок: 1 4. Количество строк и столбцов не равно, следовательно, матрица не квадратная. Матрица с одной строкой называется матрицей-строкой (или вектором-строкой).
d) порядок: 2 2. Количество строк и столбцов равно, следовательно, это квадратная матрица.
д) порядок: 1 1. Количество строк и столбцов равно, поэтому эта матрица является квадратной матрицей.

Идентификационная матрица

Единичная матрица I _n представляет собой nn-квадратную матрицу, в которой все ее элементы по диагонали равны 1, а все остальные элементы равны нулю.
Пример 4
Ниже приведены все матрицы идентичности. \[I_1= \begin{bmatrix} 1\\ \end{bmatrix} \четверка, \четверка I_2= \begin{bmatrix} 1 и 0\\ 0 и 1 \end{bmatrix} \quad , \quad I_3= \begin{bmatrix} 1 и 0 и 0\\ 0 и 1 и 0 \\ 0 и 0 и 1 \end{bmatrix} \]

Диагональная матрица

Диагональная матрица — это квадратная матрица, все элементы которой (элементы) равны нулю, за исключением элементов главной диагонали сверху слева направо снизу. \[A = \begin{bmatrix} 6 и 0 и 0 \\ 0 и -2 и 0 \\ 0 и 0 и 2 \end{bmatrix} \]

Треугольная матрица

Верхняя треугольная матрица — это квадратная матрица, у которой все элементы ниже главной диагонали равны нулю. Матрица U, показанная ниже, является примером верхней треугольной матрицы. Нижняя треугольная матрица — это квадратная матрица, все элементы которой выше главной диагонали равны нулю. Показанная ниже матрица L является примером нижней треугольной матрицы. 9Т\).
Пример 6
Симметричные матрицы \[ \begin{bmatrix} 4&-2&1\ -2&5&7\ 1 и 7 и 8 \end{bmatrix} \]

Вопросы по матрицам: Часть A

Учитывая матрицы: \[ А = \begin{bmatrix} -1 и 23 и 10\ 0&-2&-11\ \end{bmatrix} ,\четверка B = \begin{bmatrix} -6&2&10\ 3&-3&4\ -5&-11&9\ 1 и -1 и 9 \end{bmatrix} ,\четверка С = \begin{bmatrix} -3 и 2 и 9 и -5 и 7 \end{bmatrix} \\ D = \begin{bmatrix} -2 и 6\ -5 и 2\\ \end{bmatrix} ,\четверка Е = \begin{bmatrix} 3 \end{bmatrix} ,\четверка F = \begin{bmatrix} 3\\ 5\\ -11\ 7 \end{bmatrix} ,\четверка G = \begin{bmatrix} -6&-4&23\ -4 и -3 и 4 \\ 23 и 4 и 9Т\).