Решение систем с помощью обратной матрицы онлайн: Онлайн калькулятор. Решение систем линейных уравнений. Матричный метод. Метод обратной матрицы.

Найти решение системы линейных уравнений третьего, четвертого порядка матричным методом

Для решения системы линейных алгебраических уравнений ее записывают в матричной форме

где -матрица, составленная из коэффициентов при неизвестных; — столбец неизвестных; — столбец свободных членов. После того, если для матрицы существует обратная матрица ( ) то система линейных уравнений имеет единственное решение и он находится за формулой

Поскольку перемножить матрицу на вектор столбец не складывает особенных трудностей, то большая проблема при вычислениях — найти обратную матрицу

В нахождении решения за приведенной формулой и заключается суть матричного метода.

Рассмотрим несколько примеров из сборника задач Дубовика В.П., Юрика І.І. «Высшая математика»

————————————

Задача.

Решить систему линейных алгебраических уравнений.

1) (1. 183)

2) (4. 182)

Решение.

1) Запишем систему трех линейных уравнений в матричной форме

Найдем обратную матрицу. Напомним, что

где — определитель матрицы , а — транспонированная матрица алгебраических дополнений элементов определителя матрицы.

Вычислим определитель матрицы

Матрица алгебраических дополнений состоит из элементов , которые вычисляются через миноры по правилу

Миноры — это определители на порядок меньшие от определителя , которые образуются вычеркиванием в нем -й строки и — го столбца. На первый взгляд звучит слишком запутано, но при вычислениях все станет понятно и просто.

Найдем алгебраические дополнения к определителю

Запишем найденную матрицу алгебраических дополнений

и протранспонируем ее

Находим обратную матрицу

С помощью обратной матрицы находим решение системы линейных уравнений

На етом решения примера завешено. Как видите никаких сложных вычислений в етом задании мы не делали.

2) Запишем систему линейных уравнений четвертого порядка в матричной форме

Поскольку все коэффициенты ненулевые то вычислять ее будет трудно. Выполним над системой линейных уравнений элементарные превращения чтобы превратить в нуль некоторые из коэффициентов.

От второй строки отнимем первую и последнюю строки

От третьей строки отнимем сумму первой и четвертой строки начальной системы

От четвертой строки отнимем первый

Из последней строки уже можем сказать что но будем придерживаться правил чтобы научиться решать большие системы уравнений.

Поскольку матрица стала разреженной то вычисление определителя и матрицы алгебраических дополнений упростятся. Найдем определитель матрицы, разложив его за четвертой строкой

Найдем матрицу алгебраических дополнений, раскладывая искомые детерминанты за строками и столбцами которые содержат больше всего нулей. Для самопроверки выпишу Вам вычисление только первой строки. Остальные попробуйте вычислить самостоятельно

После нахождения всех значений получим следующую матрицу дополнений

Поскольку определитель равен единице то обратная матрица с транспонированной матрицей дополнений совпадают

Подставим в матричную запись и найдем решение

При вычислениях систем линейных алгебраических уравнений третьего, четвертого порядка матричным методом придется находить большое количество алгебраических дополнений , которые собой являют определители второго и третьего порядка соответственно. Именно ошибки при их вычислении чаще всего становятся причиной неверного решения. Для избежания таких ситуаций нужно хорошо знать правила нахождения определителей второго, третьего порядка, а также правила чередования знаков возле миноров.

Изучайте их и получайте лишь верные решения !

———————————————-

Посмотреть материалы:

• Матричный метод решения системы линейных уравнений
• Метод Гаусса
• Метод Крамера
• Решение методом Крамера СЛАУ 3-4-го порядка
• Решение методом Гаусса СЛАУ 3-5-ого порядка

Решение систем линейных алгебраических уравнений матричным методом (с помощью обратной матрицы).

Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: Археология Биология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Техника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ? Влияние общества на человека Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления

⇐ ПредыдущаяСтр 8 из 10Следующая ⇒ Пусть система линейных алгебраических уравнений задана в матричной форме , где матрицаAимеет размерностьnнаnи ее определитель отличен от нуля. Так как , то матрицаА– обратима, то есть, существует обратная матрица . Если умножить обе части равенства на слева, то получим формулу для нахождения матрицы-столбца неизвестных переменных . Так мы получили решение системы линейных алгебраических уравнений матричным методом. Пример. Решите систему линейных уравнений матричным методом. Решение. Перепишем систему уравнений в матричной форме: Так как то СЛАУ можно решать матричным методом. С помощью обратной матрицы решение этой системы может быть найдено как . Построим обратную матрицу с помощью матрицы из алгебраических дополнений элементов матрицы А(при необходимости смотрите статьюметоды нахождения обратной матрицы): Осталось вычислить — матрицу неизвестных переменных, умножив обратную матрицу на матрицу-столбец свободных членов (при необходимости смотрите статьюоперации над матрицами): Ответ: или в другой записи x1 = 4, x2 = 0, x3 = -1. Основная проблема при нахождении решения систем линейных алгебраических уравнений матричным методом заключается в трудоемкости нахождения обратной матрицы, особенно для квадратных матриц порядка выше третьего. Более подробное описание теории и дополнительные примеры смотрите в статье матричный метод решения систем линейных уравнений. Билет 16 Билет 17 Множество решенийсистемы линейных однородных уравнений с n переменными есть линейное подпространство арифметического пространства Аn . Размерностьпространства решений системы линейных однородных уравнений равна n – r, где n – число неизвестных, r – ранг матрицы системы Базиспространства решений системы линейных однородных уравнений называется её фундаментальной системой решений. Если а – частное решение линейной неоднородной системы уравнений и а1, а2, …, аn–r – фундаментальная система решенийсоответствующей однородной системы уравнений, то общее решение данной неоднородной системы имеет вид d = а + С1а1 + С2а2 + … + Сn–r аn–r , где С1, С2, … , Сn–r – любые элементы поля Р. (Иными словами, общее решение системы линейных неоднородных уравнений равно сумме частного решения этой системы и общего решения соответствующей однородной системы.) 10. Матрица перехода от одного базиса лп к другому и ее свойства. Преобразование координат вектора при переходе к другому базису. Пусть в линейном пространстве заданы два базиса:e = (e1, e2, …, en)(назовём его старым базисом) и = (e1‘, e2‘, …, en‘)(назовём его новым базисом). Разложим векторы базиса e‘по базисуe: Матрицу Т= называютматрицей переходаот базисаeкбазису . Равенства в матричном виде удобно записывать так: =е·Т. Свойства: ,Матрица перехода невырожденная(квадратная, определитель не 0). Преобразование координат: Пусть в линейном пространстве заданы базисы e=(e1,e2,…,en) и =(e1′,e2′, …,en’) с матрицей перехода Т от базиса е к базису e’, т. е. верно =еТ (2). Вектор а имеет в базисах е и координаты[a]e= , [a]e’= , a=e*[a]e=(e1,e2,…en) иa=e’[a]e’=(e1’,e2’,….en’) . Тогда с одной стороны, а=е*[a]e, а с другой стороны а= e’[a]e’=(еТ)[a]e’ Из этих равенств получаем: а=e[a]e=е(Т[a]e’). Отсюда в силу единственности разложения вектора по базису е вытекает равенство [a]e = Т[a]e’ (3), или =Т (4). Соотношения (3) и (4) называют формулами преобразования координат при изменении базиса линейного пространства. Билет 18 ⇐ Предыдущая12345678910Следующая ⇒ Читайте также:  Как правильно слушать собеседника Типичные ошибки при выполнении бросков в баскетболе Принятие христианства на Руси и его значение Средства массовой информации США 

Последнее изменение этой страницы: 2021-01-08; просмотров: 66; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia. su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь — 161.97.168.212 (0.007 с.)

Как решить систему уравнений, используя обратную матрицу

Если у вас есть коэффициент, привязанный к переменной на одной стороне матричного уравнения, вы можете умножить на обратный коэффициент, чтобы убрать этот коэффициент и оставить только переменная. Например, если 3

x = 12, как бы вы решили уравнение? Вы должны разделить обе части на 3, что равносильно умножению на 1/3, чтобы получить x = 4. То же самое и с матрицами.

В форме переменной обратная функция записывается как f ^–1 ( x ), где f ^–1 – обратная функция f. Аналогичным образом вы называете обратную матрицу; обратная матрица A равна A ^–1 . Если A, B и C являются матрицами в матричном уравнении AB = C, и вы хотите решить для B, как вы это делаете? Просто умножьте на обратную матрицу А (если обратная существует), которую вы пишете так:

A ^–1 [AB] = A ^–1 C

Таким образом, упрощенная версия B = A ^–1 C.

Теперь, когда вы упростили основное уравнение, вам нужно вычислить обратную матрицу, чтобы вычислить ответ на задачу.

Прежде всего необходимо установить, что только квадратные матрицы имеют обратные — другими словами, количество строк должно быть равно количеству столбцов. И даже тогда не каждая квадратная матрица имеет обратную. Если определитель матрицы не равен 0, то матрица имеет обратную.

Как найти обратную матрицу

Когда матрица имеет обратную, у вас есть несколько способов найти ее, в зависимости от того, насколько велика матрица. Если матрица представляет собой матрицу 2×2, то вы можете использовать простую формулу, чтобы найти обратную. Однако для чего-то большего, чем 2 x 2, вы должны использовать графический калькулятор или компьютерную программу (многие веб-сайты могут найти для вас обратную матрицу).

Если вы не пользуетесь графическим калькулятором, вы можете дополнить исходную обратимую матрицу единичной матрицей и использовать элементарные операции со строками, чтобы получить единичную матрицу там, где когда-то была исходная матрица.

Эти вычисления оставляют обратную матрицу, где у вас была идентичность изначально. Однако этот процесс сложнее.

С учетом сказанного, вот как найти обратную матрицу 2-x-2:

Если матрица A является матрицей 2-x-2

, ее обратная сторона выглядит следующим образом:

Просто следуйте этому формату с любым Матрица 2×2, которую вас просят найти.

Как решать уравнения

Вооружившись системой уравнений и знанием того, как использовать обратные матрицы, вы можете выполнить ряд простых шагов, чтобы прийти к решению системы, опять же используя проверенную старую матрицу. Например, вы можете решить следующую систему, используя обратные матрицы:

Эти шаги показывают вам путь:

1. Запишите систему в виде матричного уравнения.

   Если записать матричное уравнение, получится

   .

2. Создайте обратную матрицу коэффициентов из матричного уравнения.

   Вы можете использовать эту обратную формулу:

   В этом случае a = 4, b = 3, c = –10 и d = –2. Следовательно, ad – bc = 22. Следовательно, обратная матрица равна

   .

3. Умножьте обратную матрицу коэффициентов в начале с обеих сторон уравнения.

   Теперь у вас есть следующее уравнение:

4. Отменить матрицу слева и перемножить матрицы справа.

   Обратная матрица, умноженная на матрицу, уравновешивается. У вас осталось

5. Умножьте скаляр, чтобы решить систему.

   Вы закончите со значениями x и y :

Обратите внимание, что умножение скаляра обычно проще после умножения двух матриц.

Об этой статье

Эта статья взята из книги:

• Предварительное исчисление для чайников,

Об авторе книги:

Мэри Джейн Стерлинг изучала алгебру, деловое исчисление, геометрию и конечную математику в Университете Брэдли в г. Пеория, Иллинойс, более 30 лет. Она является автором нескольких книг серии для чайников, в том числе .0002 Рабочая тетрадь по алгебре для чайников, Алгебра II для чайников, и Рабочая тетрадь по алгебре II для чайников.

Эту статью можно найти в категории:

• Предварительное вычисление,

Метод обратной матрицы — Бесплатная помощь по математике

« Правило Крамерса

Решение системы линейных уравнений: (урок 5 из 5)

Предположим, вам дано уравнение с одной переменной, например, $4x = 10$. затем вы найдете значение $x$, которое решает это уравнение, умножив уравнение, обратное 4: $\color{blue}{\frac14} \cdot 4x = \color{blue}{\frac14} \cdot 10$, поэтому решение будет $x = 2,5$.

Иногда мы можем делать что-то очень похожее на решение систем линейных уравнения; в этом случае мы будем использовать обратную матрицу коэффициентов.