Решение системы онлайн методом крамера: Онлайн калькулятор. Решение систем линейных уравнений. Метод Крамера

Содержание

Правило крамера решение систем уравнений. Линейные уравнения

Методы Крамера и Гаусса – одни из самых популярных методов решения СЛАУ . К тому же, в ряде случаев целесообразно использовать именно конкретные методы. Сессия близка, и сейчас самое время повторить или освоить их с нуля. Сегодня разбираемся с решением методом Крамера. Ведь решение системы линейных уравнений методом Крамера — весьма полезный навык.

Системы линейных алгебраических уравнений

Система линейных алгебраических уравнений – система уравнений вида:

Набор значений x , при котором уравнения системы обращаются в тождества, называется решением системы, a и b – вещественные коэффициенты. Простенькую систему, состоящую из двух уравнений с двумя неизвестными, можно решить в уме либо выразив одну переменную через другую. Но переменных (иксов) в СЛАУ может быть гораздо больше двух, и здесь простыми школьными манипуляциями не обойтись. Что же делать? Например, решать СЛАУ методом Крамера!

Итак, пусть система состоит из n уравнений с n неизвестными.

Такую систему можно переписать в матричном виде

Здесь A – основная матрица системы, X и B , соответственно, матрицы-столбцы неизвестных переменных и свободных членов.

Решение СЛАУ методом Крамера

Если определитель главной матрицы не равен нулю (матрица невырожденная), систему можно решать по методу Крамера.

Согласно методу Крамера, решение находится по формулам:

Здесь дельта – определитель главной матрицы, а дельта x n-ное – определитель, полученный из определителя главной матрицы путем заменой n-ного столбца на столбец свободных членов.

Чтобы Вы быстрее уловили суть, приведем ниже пример подробного решения СЛАУ методом Крамера:

Даже если у Вас не получится с первого раза, не расстраивайтесь! Немного практики, и Вы начнете щелкать СЛАУ как орешки. Более того, сейчас совершенно необязательно корпеть над тетрадью, решая громоздкие выкладки и исписывая стержень. Можно легко решить СЛАУ методом Крамера в режиме онлайн, лишь подставив в готовую форму коэффициенты. Испробовать онлайн калькулятор решения методом Крамера можно, к примеру, на этом сайте .

А если система оказалась упорной и не сдается, Вы всегда можете обратиться за помощью к нашим авторам, например, чтобы . Будь в системе хоть 100 неизвестных, мы обязательно решим ее верно и точно в срок!

В первой части мы рассмотрели немного теоретического материала, метод подстановки, а также метод почленного сложения уравнений системы. Всем, кто зашел на сайт через эту страницу рекомендую ознакомиться с первой частью. Возможно, некоторым посетителям покажется материал слишком простым, но по ходу решения систем линейных уравнений я сделал ряд очень важных замечаний и выводов, касающихся решения математических задач в целом.

А сейчас мы разберём правило Крамера, а также решение системы линейных уравнений с помощью обратной матрицы (матричный метод). Все материалы изложены просто, подробно и понятно, практически все читатели смогут научиться решать системы вышеуказанными способами.

Сначала мы подробно рассмотрим правило Крамера для системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными. Зачем? – Ведь простейшую систему можно решить школьным методом, методом почленного сложения!

Дело в том, что пусть иногда, но встречается такое задание – решить систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными по формулам Крамера. Во-вторых, более простой пример поможет понять, как использовать правило Крамера для более сложного случая – системы трех уравнений с тремя неизвестными.

Кроме того, существуют системы линейных уравнений с двумя переменными, которые целесообразно решать именно по правилу Крамера!

Рассмотрим систему уравнений

На первом шаге вычислим определитель , его называют главным определителем системы .

метод Гаусса .

Если , то система имеет единственное решение, и для нахождения корней мы должны вычислить еще два определителя:
и

На практике вышеуказанные определители также могут обозначаться латинской буквой .

Корни уравнения находим по формулам:
,

Пример 7

Решить систему линейных уравнений

Решение : Мы видим, что коэффициенты уравнения достаточно велики, в правой части присутствуют десятичные дроби с запятой. Запятая – довольно редкий гость в практических заданиях по математике, эту систему я взял из эконометрической задачи.

Как решить такую систему? Можно попытаться выразить одну переменную через другую, но в этом случае наверняка получатся страшные навороченные дроби, с которыми крайне неудобно работать, да и оформление решения будет выглядеть просто ужасно. Можно умножить второе уравнение на 6 и провести почленное вычитание, но и здесь возникнут те же самые дроби.

Что делать? В подобных случаях и приходят на помощь формулы Крамера.

;

Ответ : ,

Оба корня обладают бесконечными хвостами, и найдены приближенно, что вполне приемлемо (и даже обыденно) для задач эконометрики.

Комментарии здесь не нужны, поскольку задание решается по готовым формулам, однако, есть один нюанс. Когда используете данный метод,

обязательным фрагментом оформления задания является следующий фрагмент: «, значит, система имеет единственное решение» . В противном случае рецензент может Вас наказать за неуважение к теореме Крамера.

Совсем не лишней будет проверка, которую удобно провести на калькуляторе: подставляем приближенные значения в левую часть каждого уравнения системы. В результате с небольшой погрешностью должны получиться числа, которые находятся в правых частях.

Пример 8

Ответ представить в обыкновенных неправильных дробях. Сделать проверку.

Это пример для самостоятельного решения (пример чистового оформления и ответ в конце урока).

Переходим к рассмотрению правила Крамера для системы трех уравнений с тремя неизвестными:

Находим главный определитель системы:

Если , то система имеет бесконечно много решений или несовместна (не имеет решений).

В этом случае правило Крамера не поможет, нужно использовать метод Гаусса .

Если , то система имеет единственное решение и для нахождения корней мы должны вычислить еще три определителя:
, ,

И, наконец, ответ рассчитывается по формулам:

Как видите, случай «три на три» принципиально ничем не отличается от случая «два на два», столбец свободных членов последовательно «прогуливается» слева направо по столбцам главного определителя.

Пример 9

Решить систему по формулам Крамера.

Решение : Решим систему по формулам Крамера.

, значит, система имеет единственное решение.

Ответ : .

Собственно, здесь опять комментировать особо нечего, ввиду того, что решение проходит по готовым формулам. Но есть пара замечаний.

Бывает так, что в результате вычислений получаются «плохие» несократимые дроби, например: .
Я рекомендую следующий алгоритм «лечения». Если под рукой нет компьютера, поступаем так:

1) Возможно, допущена ошибка в вычислениях. Как только Вы столкнулись с «плохой» дробью, сразу необходимо проверить, правильно ли переписано условие . Если условие переписано без ошибок, то нужно пересчитать определители, используя разложение по другой строке (столбцу).

2) Если в результате проверки ошибок не выявлено, то вероятнее всего, допущена опечатка в условии задания. В этом случае спокойно и ВНИМАТЕЛЬНО прорешиваем задание до конца, а затем обязательно делаем проверку и оформляем ее на чистовике после решения. Конечно, проверка дробного ответа – занятие неприятное, но зато будет обезоруживающий аргумент для преподавателя, который ну очень любит ставить минус за всякую бяку вроде . Как управляться с дробями, подробно расписано в ответе для Примера 8.

Если под рукой есть компьютер, то для проверки используйте автоматизированную программу, которую можно бесплатно скачать в самом начале урока. Кстати, выгоднее всего сразу воспользоваться программой (еще до начала решения), Вы сразу будете видеть промежуточный шаг, на котором допустили ошибку! Этот же калькулятор автоматически рассчитывает решение системы матричным методом.

Замечание второе. Время от времени встречаются системы в уравнениях которых отсутствуют некоторые переменные, например:

Здесь в первом уравнении отсутствует переменная , во втором – переменная . В таких случаях очень важно правильно и ВНИМАТЕЛЬНО записать главный определитель:
– на месте отсутствующих переменных ставятся нули.
Кстати определители с нулями рационально раскрывать по той строке (столбцу), в которой находится ноль, так как вычислений получается заметно меньше.

Пример 10

Решить систему по формулам Крамера.

Это пример для самостоятельного решения (образец чистового оформления и ответ в конце урока).

Для случая системы 4 уравнений с 4 неизвестными формулы Крамера записываются по аналогичным принципам. Живой пример можно посмотреть на уроке Свойства определителя. Понижение порядка определителя – пять определителей 4-го порядка вполне решабельны. Хотя задача уже весьма напоминает ботинок профессора на груди у студента-счастливчика.

Решение системы с помощью обратной матрицы

Метод обратной матрицы – это, по существу, частный случай матричного уравнения (см. Пример №3 указанного урока).

Для изучения данного параграфа необходимо уметь раскрывать определители, находить обратную матрицу и выполнять матричное умножение. Соответствующие ссылки будут даны по ходу объяснений.

Пример 11

Решить систему с матричным методом

Решение : Запишем систему в матричной форме:
, где

Пожалуйста, посмотрите на систему уравнений и на матрицы. По какому принципу записываем элементы в матрицы, думаю, всем понятно. Единственный комментарий: если бы в уравнениях отсутствовали некоторые переменные, то на соответствующих местах в матрице нужно было бы поставить нули.

Обратную матрицу найдем по формуле:
, где – транспонированная матрица алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы .

Сначала разбираемся с определителем:

Здесь определитель раскрыт по первой строке.

Внимание! Если , то обратной матрицы не существует, и решить систему матричным методом невозможно. В этом случае система решается методом исключения неизвестных (методом Гаусса) .

Теперь нужно вычислить 9 миноров и записать их в матрицу миноров

Справка: Полезно знать смысл двойных подстрочных индексов в линейной алгебре. Первая цифра – это номер строки, в которой находится данный элемент. Вторая цифра – это номер столбца, в котором находится данный элемент:

То есть, двойной подстрочный индекс указывает, что элемент находится в первой строке, третьем столбце, а, например, элемент находится в 3 строке, 2 столбце

С количеством уравнений одинаковым с количеством неизвестных с главным определителем матрицы, который не равен нулю, коэффициентов системы (для подобных уравнений решение есть и оно только одно).

Теорема Крамера.

Когда определитель матрицы квадратной системы ненулевой, значит, система совместна и у нее есть одно решение и его можно найти по формулам Крамера :

где Δ — определитель матрицы системы ,

Δ i — определитель матрицы системы, в котором вместо i -го столбца находится столбец правых частей.

Когда определитель системы нулевой, значит, система может стать совместной или несовместной.

Этот способ обычно применяют для небольших систем с объемными вычислениями и если когда необходимо определить 1-ну из неизвестных. Сложность метода в том, что нужно вычислять много определителей.

Описание метода Крамера.

Есть система уравнений:

Систему 3-х уравнений можно решить методом Крамера, который рассмотрен выше для системы 2-х уравнений.

Составляем определитель из коэффициентов у неизвестных:

Это будет определитель системы . Когда D≠0 , значит, система совместна. Теперь составим 3 дополнительных определителя:

Решаем систему по формулам Крамера :

Примеры решения систем уравнений методом Крамера.

Пример 1 .

Дана система:

Решим ее методом Крамера.

Сначала нужно вычислить определитель матрицы системы:

Т.к. Δ≠0, значит, из теоремы Крамера система совместна и у нее есть одно решение. Вычисляем дополнительные определители. Определитель Δ 1 получаем из определителя Δ, заменяя его первый столбец столбцом свободных коэффициентов. Получаем:

Таким же путем получаем определитель Δ 2 из определителя матрицы системы заменяя второй столбец столбцом свободных коэффициентов:

Метод Крамера основан на использовании определителей в решении систем линейных уравнений. Это значительно ускоряет процесс решения.

Метод Крамера может быть использован в решении системы стольких линейных уравнений, сколько в каждом уравнении неизвестных. Если определитель системы не равен нулю, то метод Крамера может быть использован в решении, если же равен нулю, то не может. Кроме того, метод Крамера может быть использован в решении систем линейных уравнений, имеющих единственное решение.

Определение . Определитель, составленный из коэффициентов при неизвестных, называется определителем системы и обозначается (дельта).

Определители

получаются путём замены коэффициентов при соответствующих неизвестных свободными членами:

;

Теорема Крамера . Если определитель системы отличен от нуля, то система линейных уравнений имеет одно единственное решение, причём неизвестное равно отношению определителей. В знаменателе – определитель системы, а в числителе – определитель, полученный из определителя системы путём замены коэффициентов при этом неизвестном свободными членами. Эта теорема имеет место для системы линейных уравнений любого порядка.

Пример 1. Решить систему линейных уравнений:

Согласно теореме Крамера имеем:

Итак, решение системы (2):

онлайн-калькулятором , решающим методом Крамера.

Три случая при решении систем линейных уравнений

Как явствует из теоремы Крамера , при решении системы линейных уравнений могут встретиться три случая:

Первый случай: система линейных уравнений имеет единственное решение

(система совместна и определённа)

Второй случай: система линейных уравнений имеет бесчисленное множество решений

(система совместна и неопределённа)

** ,

т. е. коэффициенты при неизвестных и свободные члены пропорциональны.

Третий случай: система линейных уравнений решений не имеет

(система несовместна)

Итак, система m линейных уравнений с n переменными называется несовместной , если у неё нет ни одного решения, и совместной , если она имеет хотя бы одно решение. Совместная система уравнений, имеющая только одно решение, называется определённой , а более одного – неопределённой .

Примеры решения систем линейных уравнений методом Крамера

Пусть дана система

На основании теоремы Крамера

………….
,

где
—

определитель системы. Остальные определители получим, заменяя столбец с коэффициентами соответствующей переменной (неизвестного) свободными членами:

Пример 2.

Следовательно, система является определённой. Для нахождения её решения вычисляем определители

По формулам Крамера находим:

Итак, (1; 0; -1) – единственное решение системы.

Для проверки решений систем уравнений 3 Х 3 и 4 Х 4 можно воспользоваться онлайн-калькулятором , решающим методом Крамера.

Если в системе линейных уравнений в одном или нескольких уравнениях отсутствуют какие-либо переменные, то в определителе соответствующие им элементы равны нулю! Таков следующий пример.

Пример 3. Решить систему линейных уравнений методом Крамера:

Решение. Находим определитель системы:

Посмотрите внимательно на систему уравнений и на определитель системы и повторите ответ на вопрос, в каких случаях один или несколько элементов определителя равны нулю. Итак, определитель не равен нулю, следовательно, система является определённой. Для нахождения её решения вычисляем определители при неизвестных

По формулам Крамера находим:

Итак, решение системы — (2; -1; 1).

К началу страницы

Продолжаем решать системы методом Крамера вместе

Как уже говорилось, если определитель системы равен нулю, а определители при неизвестных не равны нулю, система несовместна, то есть решений не имеет. Проиллюстрируем следующим примером.

Пример 6. Решить систему линейных уравнений методом Крамера:

Решение. Находим определитель системы:

Определитель системы равен нулю, следовательно, система линейных уравнений либо несовместна и определённа, либо несовместна, то есть не имеет решений. Для уточнения вычисляем определители при неизвестных

Определители при неизвестных не равны нулю, следовательно, система несовместна, то есть не имеет решений.

В задачах на системы линейных уравнений встречаются и такие, где кроме букв, обозначающих переменные, есть ещё и другие буквы. Эти буквы обозначают некоторое число, чаще всего действительное. На практике к таким уравнениям и системам уравнений приводят задачи на поиск общих свойств каких-либо явлений и предметов. То есть, изобрели вы какой-либо новый материал или устройство, а для описания его свойств, общих независимо от величины или количества экземпляра, нужно решить систему линейных уравнений, где вместо некоторых коэффициентов при переменных — буквы. За примерами далеко ходить не надо.

Следующий пример — на аналогичную задачу, только увеличивается количество уравнений, переменных, и букв, обозначающих некоторое действительное число.

Пример 8. Решить систему линейных уравнений методом Крамера:

Решение. Находим определитель системы:

Находим определители при неизвестных

Пусть система линейных уравнений содержит столько уравнений, каково количество независимых переменных, т.е. имеет вид

Такие системы линейных уравнений называются квадратными. Определитель, составленный из коэффициентов при независимых переменных системы (1. 5), называется главным определителем системы. Мы будем обозначать его греческой буквой D. Таким образом,

. (1.6)

Если в главном определителе произвольный (j -ый) столбец, заменить столбцом свободных членов системы (1.5), то можно получить еще n вспомогательных определителей:

(j = 1, 2, …, n ). (1.7)

Правило Крамера решения квадратных систем линейных уравнений заключается в следующем. Если главный определитель D системы (1.5) отличен от нуля, то система имеет и притом единственное решение, которое можно найти по формулам:

(1.8)

Пример 1.5. Методом Крамера решить систему уравнений

Вычислим главный определитель системы:

Так как D¹0, то система имеет единственное решение, которое можно найти по формулам (1.8):

Таким образом,

Действия над матрицами

1. Умножение матрицы на число. Операция умножения матрицы на число определяется следующим образом.

2. Для того чтобы умножить матрицу на число, нужно все ее элементы умножить на это число. То есть

. (1.9)

Пример 1.6. .

Сложение матриц.

Данная операция вводится только для матриц одного и того же порядка.

Для того чтобы сложить две матрицы, необходимо к элементам одной матрицы прибавить соответствующие элементы другой матрицы:

(1.10)
Операция сложения матриц обладает свойствами ассоциативности и коммутативности.

Пример 1.7. .

Умножение матриц.

Если число столбцов матрицы А совпадает с числом строк матрицы В , то для таких матриц вводится операция умножения:

Таким образом, при умножении матрицы А размерности m ´n на матрицу В размерности n ´k мы получаем матрицу С размерности m ´k . При этом элементы матрицы С вычисляются по следующим формулам:

Задача 1.8. Найти, если это возможно, произведение матриц AB и BA :

Решение. 1) Для того чтобы найти произведение AB , необходимо строки матрицы A умножить на столбцы матрицы B :

2) Произведение BA не существует, т. к. количество столбцов матрицы B не совпадает с количеством строк матрицы A .

Обратная матрица. Решение систем линейных уравнений матричным способом

Матрица A — 1 называется обратной к квадратной матрице А , если выполнено равенство:

где через I обозначается единичная матрица того же порядка, что и матрица А :

Для того чтобы квадратная матрица имела обратную необходимо и достаточно, чтобы ее определитель был отличен от нуля. Обратную матрицу находят по формуле:

, (1.13)

где A ij — алгебраические дополнения к элементам a ij матрицы А (заметим, что алгебраические дополнения к строкам матрицы А располагаются в обратной матрице в виде соответствующих столбцов).

Пример 1.9. Найти обратную матрицу A — 1 к матрице

Обратную матрицу найдем по формуле (1.13), которая для случая n = 3 имеет вид:

Найдем det A = | A | = 1 × 3 × 8 + 2 × 5 × 3 + 2 × 4 × 3 — 3 × 3 × 3 — 1 × 5 × 4 — 2 × 2 × 8 = 24 + 30 + 24 — 27 — 20 — 32 = — 1. Так как определитель исходной матрицы отличен от нуля, то обратная матрица существует.

1) Найдем алгебраические дополнения A ij :

Для удобства нахождения обратной матрицы, алгебраические дополнения к строкам исходной матрицы мы расположили в соответствующие столбцы.

Из полученных алгебраических дополнений составим новую матрицу и разделим ее на определитель det A . Таким образом, мы получим обратную матрицу:

Квадратные системы линейных уравнений с отличным от нуля главным определителем можно решать с помощью обратной матрицы. Для этого систему (1.5) записывают в матричном виде:

где

Умножая обе части равенства (1.14) слева на A — 1 , мы получим решение системы:

, откуда

Таким образом, для того чтобы найти решение квадратной системы, нужно найти обратную матрицу к основной матрице системы и умножить ее справа на матрицу-столбец свободных членов.

Задача 1.10. Решить систему линейных уравнений

с помощью обратной матрицы.

Решение. Запишем систему в матричном виде: ,

где — основная матрица системы, — столбец неизвестных и — столбец свободных членов. Так как главный определитель системы , то основная матрица системы А имеет обратную матрицу А -1 . Для нахождения обратной матрицы А -1 , вычислим алгебраические дополнения ко всем элементам матрицы А :

Из полученных чисел составим матрицу (причем алгебраические дополнения к строкам матрицы А запишем в соответствующие столбцы) и разделим ее на определитель D. Таким образом, мы нашли обратную матрицу:

Решение системы находим по формуле (1.15):

Таким образом,

Решение систем линейных уравнений методом обыкновенных жордановых исключений

Пусть дана произвольная (не обязательно квадратная) система линейных уравнений:

(1.16)

Требуется найти решение системы, т. е. такой набор переменных , который удовлетворяет всем равенствам системы (1.16). В общем случае система (1.16) может иметь не только одно решение, но и бесчисленное множество решений. Она может так же вообще не иметь решений.

При решении подобных задач используется хорошо известный из школьного курса метод исключения неизвестных, который еще называется методом обыкновенных жордановых исключений. Суть данного метода заключается в том, что в одном из уравнений системы (1.16) одна из переменных выражается через другие переменные. Затем эта переменная подставляется в другие уравнения системы. В результате получается система, содержащая на одно уравнение и на одну переменную меньше, чем исходная система. Уравнение, из которого выражалась переменная, запоминается.

Этот процесс повторяется до тех пор, пока в системе не останется одно последнее уравнение. В процессе исключения неизвестных некоторые уравнения могут превратиться в верные тождества, например . Такие уравнения из системы исключаются, так как они выполняются при любых значениях переменных и, следовательно, не оказывают влияния на решение системы. Если в процессе исключения неизвестных хотя бы одно уравнение становится равенством, которое не может выполняться ни при каких значениях переменных (например ), то мы делаем вывод, что система не имеет решения.

Если в ходе решения противоречивых уравнений не возникло, то из последнего уравнения находится одна из оставшихся в нем переменных. Если в последнем уравнении осталась только одна переменная, то она выражается числом. Если в последнем уравнении остаются еще и другие переменные, то они считаются параметрами, и выраженная через них переменная будет функцией этих параметров. Затем совершается так называемый «обратный ход». Найденную переменную подставляют в последнее запомненное уравнение и находят вторую переменную. Затем две найденные переменные подставляют в предпоследнее запомненное уравнение и находят третью переменную, и так далее, вплоть до первого запомненного уравнения.

В результате мы получаем решение системы. Данное решение будет являться единственным, если найденные переменные будут числами. Если же первая найденная переменная, а затем и все остальные будут зависеть от параметров, то система будет иметь бесчисленное множество решений (каждому набору параметров соответствует новое решение). Формулы, позволяющие найти решение системы в зависимости от того или иного набора параметров, называются общим решением системы.

Пример 1.11.

После запоминания первого уравнения и приведения подобных членов во втором и третьем уравнении мы приходим к системе:

Выразим y из второго уравнения и подставим его в первое уравнение:

Запомним второе уравнение, а из первого найдем z :

Совершая обратный ход, последовательно найдем y и z . Для этого сначала подставим в последнее запомненное уравнение , откуда найдем y :

Затем подставим и в первое запомненное уравнение , откуда найдем x :

Задача 1.12. Решить систему линейных уравнений методом исключения неизвестных:

. (1.17)

Решение. Выразим из первого уравнения переменную x и подставим ее во второе и третье уравнения:

Запомним первое уравнение

В данной системе первое и второе уравнения противоречат друг другу. Действительно, выражая y , получим, что 14 = 17. Данное равенство не выполняется, ни при каких значениях переменных x , y , и z . Следовательно, система (1.17) несовместна, т.е. не имеет решения.

Читателям предлагаем самостоятельно проверить, что главный определитель исходной системы (1.17) равен нулю.

Рассмотрим систему, отличающуюся от системы (1.17) всего лишь одним свободным членом.

Задача 1.13. Решить систему линейных уравнений методом исключения неизвестных:

. (1.18)

Решение. Как и прежде, выразим из первого уравнения переменную x и подставим ее во второе и третье уравнения:

Запомним первое уравнение и приведем подобные члены во втором и третьем уравнении. Мы приходим к системе:

Выражая y из первого уравнения и подставляя его во второе уравнение , мы получим тождество 14 = 14, которое не влияет на решение системы, и, следовательно, его можно из системы исключить.

В последнем запомненном равенстве переменную z будем считать параметром. Полагаем . Тогда

Подставим y и z в первое запомненное равенство и найдем x :

Таким образом, система (1.18) имеет бесчисленное множество решений, причем любое решение можно найти по формулам (1.19), выбирая произвольное значение параметра t :

(1.19)
Так решениями системы, например, являются следующие наборы переменных (1; 2; 0), (2; 26; 14) и т. д. Формулы (1.19) выражают общее (любое) решение системы (1.18).

В том случае, когда исходная система (1.16) имеет достаточно большое количество уравнений и неизвестных, указанный метод обыкновенных жордановых исключений представляется громоздким. Однако это не так. Достаточно вывести алгоритм пересчета коэффициентов системы при одном шаге в общем виде и оформить решение задачи в виде специальных жордановых таблиц.

Пусть дана система линейных форм (уравнений):

, (1.20)
где x j — независимые (искомые) переменные, a ij — постоянные коэффициенты
(i = 1, 2,…, m ; j = 1, 2,…, n ). Правые части системы y i (i = 1, 2,…, m ) могут быть как переменными (зависимыми), так и константами. Требуется найти решений данной системы методом исключения неизвестных.

Рассмотрим следующую операцию, называемую в дальнейшем «одним шагом обыкновенных жордановых исключений». Из произвольного (r -го) равенства выразим произвольную переменную (x s ) и подставим во все остальные равенства. Разумеется, это возможно только в том случае, когда a rs ¹ 0. Коэффициент a rs называется разрешающим (иногда направляющим или главным) элементом.

Мы получим следующую систему:

. (1.21)

Из s -го равенства системы (1.21) мы впоследствии найдем переменную x s (после того, как будут найдены остальные переменные). S -я строка запоминается и в дальнейшем из системы исключается. Оставшаяся система будет содержать на одно уравнение и на одну независимую переменную меньше, чем исходная система.

Вычислим коэффициенты полученной системы (1.21) через коэффициенты исходной системы (1.20). Начнем с r -го уравнения, которое после выражения переменной x s через остальные переменные будет выглядеть следующим образом:

Таким образом, новые коэффициенты r -го уравнения вычисляются по следующим формулам:

(1.23)
Вычислим теперь новые коэффициенты b ij (i ¹ r ) произвольного уравнения. Для этого подставим выраженную в (1.22) переменную x s в i -е уравнение системы (1.20):

После приведения подобных членов, получим:

(1.24)
Из равенства (1.24) получим формулы, по которым вычисляются остальные коэффициенты системы (1. 21) (за исключением r -го уравнения):

(1.25)
Преобразование систем линейных уравнений методом обыкновенных жордановых исключений оформляется в виде таблиц (матриц). Эти таблицы получили название «жордановых».

Так, задаче (1.20) ставится в соответствие следующая жорданова таблица:

Таблица 1.1

	x 1	x 2	…	x j	…	x s	…	x n
y 1 =	a 11	a 12		a 1j		a 1s		a 1n
…………………………………………………………………..
y i =	a i 1	a i 2		a ij		a is		a in
…………………………………………………………………..
y r =	a r 1	a r 2		a rj		a rs		a rn
………………………………………………………………….
y n =	a m 1	a m 2		a mj		a ms		a mn

Жорданова таблица 1.1 содержит левый заглавный столбец, в который записывают правые части системы (1.20) и верхнюю заглавную строку, в которую записывают независимые переменные.

Остальные элементы таблицы образуют основную матрицу коэффициентов системы (1.20). Если умножить матрицу А на матрицу , состоящую из элементов верхней заглавной строки, то получится матрица , состоящая из элементов левого заглавного столбца. То есть, по существу, жорданова таблица это матричная форма записи системы линейных уравнений: . Системе (1.21) при этом соответствует следующая жорданова таблица:

Таблица 1.2

	x 1	x 2	…	x j	…	y r	…	x n
y 1 =	b 11	b 12		b 1 j		b 1 s		b 1 n
…………………………………………………………………. .
y i =	b i 1	b i 2		b ij		b is		b in
…………………………………………………………………..
x s =	b r 1	b r 2		b rj		b rs		b rn
………………………………………………………………….
y n =	b m 1	b m 2		b mj		b ms		b mn

Разрешающий элемент a rs мы будем выделять жирным шрифтом. Напомним, что для осуществления одного шага жордановых исключений разрешающий элемент должен быть отличен от нуля. Строку таблицы, содержащую разрешающий элемент, называют разрешающей строкой. Столбец, содержащий разрешающий элемент, называют разрешающим столбцом. При переходе от данной таблицы к следующей таблице одна переменная (x s ) из верней заглавной строки таблицы перемещается в левый заглавный столбец и, наоборот, один из свободных членов системы (y r ) из левого заглавного столбца таблицы перемещается в верхнюю заглавную строку.

Опишем алгоритм пересчета коэффициентов при переходе от жордановой таблицы (1.1) к таблице (1.2), вытекающий из формул (1.23) и (1.25).

1. Разрешающий элемент заменяется обратным числом:

2. Остальные элементы разрешающей строки делятся на разрешающий элемент и изменяют знак на противоположный:

3. Остальные элементы разрешающего столбца делятся на разрешающий элемент:

4. Элементы, не попавшие в разрешающую строку и разрешающий столбец, пересчитываются по формулам:

Последняя формула легко запоминается, если заметить, что элементы, составляющие дробь , находятся на пересечении i -ой и r -ой строк и j -го и s -го столбцов (разрешающей строки, разрешающего столбца и той строки и столбца, на пересечении которых находится пересчитываемый элемент). Точнее, при запоминании формулы можно использовать следующую диаграмму:

-21-26-13-37

Совершая первый шаг жордановых исключений, в качестве разрешающего элемента можно выбрать любой элемент таблицы 1.3, расположенный в столбцах x 1 ,…, x 5 (все указанные элементы не равны нулю). Не следует только выбирать разрешающий элемент в последнем столбце, т.к. требуется находить независимые переменные x 1 ,…, x 5 . Выбираем, например, коэффициент 1 при переменной x 3 в третьей строке таблицы 1.3 (разрешающий элемент показан жирным шрифтом). При переходе к таблице 1.4 переменная x 3 из верхней заглавной строки меняется местами с константой 0 левого заглавного столбца (третья строка). При этом переменная x 3 выражается через остальные переменные.

Строку x 3 (табл.1.4) можно, предварительно запомнив, исключить из таблицы 1.4. Из таблицы 1.4 исключается так же третий столбец с нулем в верхней заглавной строке. Дело в том, что независимо от коэффициентов данного столбца b i 3 все соответствующие ему слагаемые каждого уравнения 0·b i 3 системы будут равны нулю. Поэтому указанные коэффициенты можно не вычислять. Исключив одну переменную x 3 и запомнив одно из уравнений, мы приходим к системе, соответствующей таблице 1.4 (с вычеркнутой строкой x 3). Выбирая в таблице 1.4 в качестве разрешающего элемента b 14 = -5, переходим к таблице 1.5. В таблице 1.5 запоминаем первую строку и исключаем ее из таблицы вместе с четвертым столбцом (с нулем наверху).

Таблица 1.5 Таблица 1.6

Из последней таблицы 1.7 находим: x 1 = — 3 + 2x 5 .

Последовательно подставляя уже найденные переменные в запомненные строки, находим остальные переменные:

Таким образом, система имеет бесчисленное множество решений. Переменной x 5 , можно придавать произвольные значения. Данная переменная выступает в роли параметра x 5 = t. Мы доказали совместность системы и нашли ее общее решение:

x 1 = — 3 + 2t

x 2 = — 1 — 3t

x 3 = — 2 + 4t . (1.27)
x 4 = 4 + 5t

x 5 = t

Придавая параметру t различные значения, мы получим бесчисленное множество решений исходной системы. Так, например, решением системы является следующий набор переменных (- 3; — 1; — 2; 4; 0).

Метод крамера для произвольных систем линейных уравнений. Метод крамера решения систем линейных уравнений

2. Решение систем уравнений матричным методом (при помощи обратной матрицы).
3. Метод Гаусса решения систем уравнений.

Метод Крамера.

Метод Крамера применяется для решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ ).

Формулы на примере системы из двух уравнений с двумя переменными.
Дано: Решить методом Крамера систему

Относительно переменных х и у .
Решение:
Найдем определитель матрицы, составленный из коэффициентов системы Вычисление определителей. :

Применим формулы Крамера и найдем значения переменных:
и .
Пример 1:
Решить систему уравнений:

относительно переменных х и у .
Решение:

Заменим в этом определителе первый столбец столбцом коэффициентов из правой части системы и найдем его значение:

Сделаем аналогичное действие, заменив в первом определителе второй столбец:

Применим формулы Крамера и найдем значения переменных:
и .
Ответ:
Замечание: Этим методом можно решать системы и большей размерности.

Замечание: Если получается, что , а делить на ноль нельзя, то говорят, что система не имеет единственного решения. В этом случае система имеет или бесконечно много решений или не имеет решений вообще.

Пример 2 (бесконечное количество решений):

Решить систему уравнений:

относительно переменных х и у .
Решение:
Найдем определитель матрицы, составленный из коэффициентов системы:

Решение систем методом подстановки.

Первое из уравнений системы — равенство, верное при любых значениях переменных (потому что 4 всегда равно 4). Значит, остается только одно уравнение. Это уравнение связи между переменными .
Получили, решением системы являются любые пары значений переменных, связанных между собой равенством .
Общее решение запишется так:
Частные решения можно определять выбирая произвольное значение у и вычисляя х по этому равенству связи.

и т.д.
Таких решений бесконечно много.
Ответ: общее решение
Частные решения:

Пример 3 (решений нет, система несовместна):

Решить систему уравнений:

Решение:
Найдем определитель матрицы, составленный из коэффициентов системы:

Применять формулы Крамера нельзя. Решим эту систему методом подстановки

Второе уравнение системы — равенство, неверное ни при каких значениях переменных (конечно же, так как -15 не равно 2). Если одно из уравнений системы не верно ни при каких значениях переменных, то и вся системы не имеет решений.
Ответ: решений нет

Рассмотрим систему уравнений

На первом шаге вычислим определитель , его называют главным определителем системы .

метод Гаусса .

На практике вышеуказанные определители также могут обозначаться латинской буквой .

Корни уравнения находим по формулам:
,

Пример 7

Решить систему линейных уравнений

Что делать? В подобных случаях и приходят на помощь формулы Крамера.

;

Ответ : ,

Комментарии здесь не нужны, поскольку задание решается по готовым формулам, однако, есть один нюанс. Когда используете данный метод, обязательным фрагментом оформления задания является следующий фрагмент: «, значит, система имеет единственное решение» . В противном случае рецензент может Вас наказать за неуважение к теореме Крамера.

Пример 8

Ответ представить в обыкновенных неправильных дробях. Сделать проверку.

Это пример для самостоятельного решения (пример чистового оформления и ответ в конце урока).

Переходим к рассмотрению правила Крамера для системы трех уравнений с тремя неизвестными:

Находим главный определитель системы:

Если , то система имеет бесконечно много решений или несовместна (не имеет решений). В этом случае правило Крамера не поможет, нужно использовать метод Гаусса .

И, наконец, ответ рассчитывается по формулам:

Пример 9

Решить систему по формулам Крамера.

Решение : Решим систему по формулам Крамера.

, значит, система имеет единственное решение.

Ответ : .

Пример 10

Решить систему по формулам Крамера.

Это пример для самостоятельного решения (образец чистового оформления и ответ в конце урока).

Решение системы с помощью обратной матрицы

Пример 11

Решить систему с матричным методом

Решение : Запишем систему в матричной форме:
, где

Сначала разбираемся с определителем:

Здесь определитель раскрыт по первой строке.

Теперь нужно вычислить 9 миноров и записать их в матрицу миноров

Определители

получаются путём замены коэффициентов при соответствующих неизвестных свободными членами:

;

Пример 1. Решить систему линейных уравнений:

Согласно теореме Крамера имеем:

Итак, решение системы (2):

онлайн-калькулятором , решающим методом Крамера.

Три случая при решении систем линейных уравнений

Как явствует из теоремы Крамера , при решении системы линейных уравнений могут встретиться три случая:

Первый случай: система линейных уравнений имеет единственное решение

(система совместна и определённа)

Второй случай: система линейных уравнений имеет бесчисленное множество решений

(система совместна и неопределённа)

** ,

т.е. коэффициенты при неизвестных и свободные члены пропорциональны.

Третий случай: система линейных уравнений решений не имеет

(система несовместна)

Примеры решения систем линейных уравнений методом Крамера

Пусть дана система

На основании теоремы Крамера

………….
,

где
—

Пример 2.

Следовательно, система является определённой. Для нахождения её решения вычисляем определители

По формулам Крамера находим:

Итак, (1; 0; -1) – единственное решение системы.

Пример 3. Решить систему линейных уравнений методом Крамера:

Решение. Находим определитель системы:

По формулам Крамера находим:

Итак, решение системы — (2; -1; 1).

К началу страницы

Продолжаем решать системы методом Крамера вместе

Пример 6. Решить систему линейных уравнений методом Крамера:

Решение. Находим определитель системы:

Определители при неизвестных не равны нулю, следовательно, система несовместна, то есть не имеет решений.

Пример 8. Решить систему линейных уравнений методом Крамера:

Решение. Находим определитель системы:

Находим определители при неизвестных

Метод Крамера или так называемое правило Крамера – это способ поиска неизвестных величин из систем уравнений. Его можно использовать только если число искомых значений эквивалентно количеству алгебраических уравнений в системе, то есть образуемая из системы основная матрица должна быть квадратной и не содержать нулевых строчек, а также если её детерминант не должен являться нулевым.

Теорема 1

Теорема Крамера Если главный определитель $D$ основной матрицы, составленной на основе коэффициентов уравнений, не равен нулю, то система уравнений совместна, причём решение у неё существует единственное. Решение такой системы вычисляется через так называемые формулы Крамера для решения систем линейных уравнений: $x_i = \frac{D_i}{D}$

В чем заключается метод Крамера

Суть метода Крамера в следующем:

Чтобы найти решение системы методом Крамера, первым делом вычисляем главный определитель матрицы $D$. Когда вычисленный детерминант основной матрицы при подсчёте методом Крамера оказался равен нулю, то система не имеет ни одного решения или имеет нескончаемое количество решений. В этом случае для нахождения общего или какого-либо базисного ответа для системы рекомендуется применить метод Гаусса.
Затем нужно заменить крайний столбец главной матрицы на столбец свободных членов и высчитать определитель $D_1$.
Повторить то же самое для всех столбцов, получив определители от $D_1$ до $D_n$, где $n$ — номер крайнего справа столбца.
После того как найдены все детерминанты $D_1$…$D_n$, можно высчитать неизвестные переменные по формуле $x_i = \frac{D_i}{D}$.

Приёмы для вычисления определителя матрицы

Для вычисления определителя матрицы с размерностью больше чем 2 на 2, можно использовать несколько способов:

Правило треугольников, или правило Саррюса, напоминающее это же правило. Суть метода треугольников в том, что при вычислении определителя произведения всех чисел, соединённых на рисунке красной линией справа, записываются со знаком плюс, а все числа, соединённые аналогичным образом на рисунке слева – со знаком минус. B то, и другое правило подходит для матриц размером 3 х 3. В случае же правила Саррюса сначала переписывается сама матрица, а рядом с ней рядом переписываются ещё раз её первый и второй столбец. Через матрицу и эти дополнительные столбцы проводятся диагонали, члены матрицы, лежащие на главной диагонали или на параллельной ей записываются со знаком плюс, а элементы, лежащие на побочной диагонали или параллельно ей — со знаком минус.

Рисунок 1. Правило треугольников для вычисления определителя для метода Крамера

С помощью метода, известного как метод Гаусса, также иногда этот метод называют понижением порядка определителя. В этом случае матрица преобразуется и приводится к треугольному виду, а затем перемножаются все числа, стоящие на главной диагонали. Следует помнить, что при таком поиске определителя нельзя домножать или делить строчки или столбцы на числа без вынесения их как множителя или делителя. В случае поиска определителя возможно только вычитать и складывать строки и столбы между собой, предварительно помножив вычитаемую строку на ненулевой множитель. Также при каждой перестановке строчек или столбцов матрицы местами следует помнить о необходимости смены конечного знака у матрицы.
При решении методом Крамера СЛАУ с 4 неизвестными, лучше всего будет применять именно метод Гаусса для поиска и нахождения определителей или опредлять детерминант через поиск миноров.

Решение систем уравнений методом Крамера

Применим метод Крамера для системы из 2 уравнений и двумя искомыми величинами:

$\begin{cases} a_1x_1 + a_2x_2 = b_1 \\ a_3x_1 + a_4x_2 = b_2 \\ \end{cases}$

Отобразим её в расширенной форме для удобства:

$A = \begin{array}{cc|c} a_1 & a_2 & b_1 \\ a_3 & a_4 & b_1 \\ \end{array}$

Найдём определитель основной матрицы, также называемый главным определителем системы:

$D = \begin{array}{|cc|} a_1 & a_2 \\ a_3 & a_4 \\ \end{array} = a_1 \cdot a_4 – a_3 \cdot a_2$

Если главный определитель не равен нулю, то для решения слау методом Крамера необходимо высчитать ещё парочку определителей от двух матриц с заменёнными столбцами основной матрицы на строчку свободных членов:

$D_1 = \begin{array}{|cc|} b_1 & a_2 \\ b_2 & a_4 \\ \end{array} = b_1 \cdot a_4 – b_2 \cdot a_4$

$D_2 = \begin{array}{|cc|} a_1 & b_1 \\ a_3 & b_2 \\ \end{array} = a_1 \cdot b_2 – a_3 \cdot b_1$

Теперь найдём неизвестные $x_1$ и $x_2$:

$x_1 = \frac {D_1}{D}$

$x_2 = \frac {D_2}{D}$

Пример 1

Метод Крамера для решения СЛАУ с основной матрицей 3 порядка (3 x 3) и тремя искомыми.

Решите систему уравнений:

$\begin{cases} 3x_1 – 2x_2 + 4x_3 = 21 \\ 3x_1 +4x_2 + 2x_3 = 9\\ 2x_1 – x_2 — x_3 = 10 \\ \end{cases}$

Сосчитаем главный детерминант матрицы пользуясь вышеизложенным под пунктом номер 1 правилом:

$D = \begin{array}{|ccc|} 3 & -2 & 4 \\3 & 4 & -2 \\ 2 & -1 & 1 \\ \end{array} = 3 \cdot 4 \cdot (-1) + 2 \cdot (-2) \cdot 2 + 4 \cdot 3 \cdot (-1) – 4 \cdot 4 \cdot 2 – 3 \cdot (-2) \cdot (-1) — (-1) \cdot 2 \cdot 3 = — 12 – 8 -12 -32 – 6 + 6 = — 64$

А теперь три других детерминанта:

$D_1 = \begin{array}{|ccc|} 21 & 2 & 4 \\ 9 & 4 & 2 \\ 10 & 1 & 1 \\ \end{array} = 21 \cdot 4 \cdot 1 + (-2) \cdot 2 \cdot 10 + 9 \cdot (-1) \cdot 4 – 4 \cdot 4 \cdot 10 – 9 \cdot (-2) \cdot (-1) — (-1) \cdot 2 \cdot 21 = — 84 – 40 – 36 – 160 – 18 + 42 = — 296$

$D_2 = \begin{array}{|ccc|} 3 & 21 & 4 \\3 & 9 & 2 \\ 2 & 10 & 1 \\ \end{array} = 3 \cdot 9 \cdot (- 1) + 3 \cdot 10 \cdot 4 + 21 \cdot 2 \cdot 2 – 4 \cdot 9 \cdot 2 – 21 \cdot 3 \cdot (-1) – 2 \cdot 10 \cdot 3 = — 27 + 120 + 84 – 72 + 63 – 60 = 108$

$D_3 = \begin{array}{|ccc|} 3 & -2 & 21 \\ 3 & 4 & 9 \\ 2 & 1 & 10 \\ \end{array} = 3 \cdot 4 \cdot 10 + 3 \cdot (-1) \cdot 21 + (-2) \cdot 9 \cdot 2 – 21 \cdot 4 \cdot 2 — (-2) \cdot 3 \cdot 10 — (-1) \cdot 9 \cdot 3 = 120 – 63 – 36 – 168 + 60 + 27 = — 60$

Найдём искомые величины:

$x_1 = \frac{D_1} {D} = \frac{- 296}{-64} = 4 \frac{5}{8}$

$x_2 = \frac{D_1} {D} = \frac{108} {-64} = — 1 \frac {11} {16}$

$x_3 = \frac{D_1} {D} = \frac{-60} {-64} = \frac {15} {16}$

Метод Крамера для решения систем линейных уравнений

Заглавная страница
Избранные статьи
Случайная статья
Познавательные статьи
Новые добавления
Обратная связь

КАТЕГОРИИ:

Археология
Биология
Генетика
География
Информатика
История
Логика
Маркетинг
Математика
Менеджмент
Механика
Педагогика
Религия
Социология
Технологии
Физика
Философия
Финансы
Химия
Экология

ТОП 10 на сайте

Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации

Техника нижней прямой подачи мяча.

Франко-прусская война (причины и последствия)

Организация работы процедурного кабинета

Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний

Коммуникативные барьеры и пути их преодоления

Обработка изделий медицинского назначения многократного применения

Образцы текста публицистического стиля

Четыре типа изменения баланса

Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву

Мы поможем в написании ваших работ!

ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?

Влияние общества на человека

Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации

Практические работы по географии для 6 класса

Организация работы процедурного кабинета

Изменения в неживой природе осенью

Уборка процедурного кабинета

Сольфеджио. Все правила по сольфеджио

Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления

⇐ ПредыдущаяСтр 2 из 7Следующая ⇒

Теорема Крамера. Система n линейных уравнений с n неизвестными, определитель которой отличен от нуля, всегда имеет решение и притом единственное. Это решение может быть найдено по формулам

, где — определитель системы

, , …,

Пример. Решить систему уравнений методом Крамера:

D = = 5(4 – 9) + (2 – 12) – (3 – 8) = -25 – 10 + 5 = -30;

D₁ = = (28 – 48) – (42 – 32) = -20 – 10 = -30.

D₂ = = 5(28 – 48) – (16 – 56) = -100 + 40 = -60.

D₃ = = 5( 32 – 42) + (16 – 56) = -50 – 40 = -90.

x₁ = = 1; x₂ = = 2; x₃ = = 3.

Практическое занятие №4

Наименование занятия: Решение систем линейных уравнений методом Гаусса

Цель занятия:Научиться решать системы линейных уравнений методом Гаусса

Подготовка к занятию:Повторить теоретический материал по теме «Системы линейных уравнений»

Литература:

Григорьев В. П., Дубинский Ю.А. «Элементы высшей математики», 2008г.
Дадаян А.А. «Математика», 2004г.

Задание на занятие:

Решить системы линейных уравнений методом Гаусса

Порядок проведения занятия:

Получить допуск к работе
Выполнить задания
Ответить на контрольные вопросы.

Содержание отчета:

Наименование, цель занятия, задание;
Выполненное задание;
Ответы на контрольные вопросы.

Контрольные вопросы для зачета:

Какие преобразования систем линейных уравнений являются эквивалентными?
Опишите алгоритм решения системы линейных уравнений методом Гаусса.

ПРИЛОЖЕНИЕ

Рассмотрим произвольную систему линейных уравнений. Система m уравнений с n неизвестными в общем виде записывается следующим образом:

где a_ij – коэффициенты, а b_i – постоянные. Решением системы являются n чисел, которые при подстановке в систему превращают каждое ее уравнение в тождество.

Для этой системы линейных уравнений вида матрица

А = называется матрицей системы, а матрица

А^*= называется расширенной матрицей системы

Метод Гаусса

Суть метода заключается в том, что систему уравнений с помощью элементарных преобразований приводят к эквивалентной ей системе с треугольной матрицей (системы называются эквивалентными, если множества их решений совпадают). Эти действия называются прямым ходом. Затем из полученной треугольной системы переменные находят с помощью последовательных подстановок (обратный ход).

Элементарными преобразованиями системявляются:

1) Умножение или деление коэффициентов и свободных членов на одно и то же число

2) Сложение и вычитание уравнений

3) Перестановка уравнений системы местами.

4) Исключение из системы уравнений, в которых все коэффициенты при неизвестных и свободные члены равны нулю

Пример. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса

Составим расширенную матрицу системы.

А* = .

Выполним над этой матрицей следующие преобразования:

1) поменяем местами 1 и 2 строки;

2) прибавим к элементам 2 строки 1-ю строку, умноженную на -2;

3) прибавим к элементам 3 строки 1-ю строку, умноженную на -7;

4) прибавим к элементам 3 строки 2-ю строку, умноженную на -3;

А* =

Получили систему с треугольной матрицей. Таким образом, исходная система может быть представлена в виде:

, откуда получаем: x₃ = 2; x₂ = 5; x₁ = 1.

Практическое занятие №5

Наименование занятия: Операции над векторами

Цель занятия:Научиться выполнять действия с векторами

Подготовка к занятию:Повторить теоретический материал по теме «Векторы. Операции над векторами»

Литература:

Григорьев В. П., Дубинский Ю.А. «Элементы высшей математики», 2008г.
Дадаян А.А. «Математика», 2004г.

Задание на занятие:

Даны векторы и . Построить векторы , .
Найти координаты векторов , , , если А(2; 3), В(-1; -3), С(-7; 5).
Даны векторы = (-2; 4) и = (3; 1). Найти: , , , .
Найти длину вектора , если А(5; 2), В(8; -2).
Дан треугольник с вершинами А(7; 7), В(4; 3), С(3; 4). Найти его периметр.
Отрезок АВ задан точками А(2; 3), В(10; 11). Найти координаты точки С, если известно, что .
Найти длину медианы АМ треугольника с вершинами А(7; -4), В(-1; 8), С(-12; -1).
Найти скалярное произведение векторов = (5; 7) и = (4; 3).
Найти угол между векторами = (4; 0) и = (2; -2).
Найти углы треугольника с вершинами А(6; 7), В(3; 3), С(1; -5).

Порядок проведения занятия:

Получить допуск к работе
Выполнить задания
Ответить на контрольные вопросы.

Содержание отчета:

Наименование, цель занятия, задание;
Выполненное задание;
Ответы на контрольные вопросы.

Контрольные вопросы для зачета:

Что называется вектором? Длиной вектора?
Как сложить два вектора?
Как найти разность двух векторов?
Как умножить вектор на число?
Как найти координаты вектора, заданного двумя точками?
Как найти длину вектора, заданного двумя точками?
Как найти длину вектора, заданного своими координатами?
Как вычисляется скалярное произведение векторов, заданных своими координатами?
Как найти угол между векторами?

ПРИЛОЖЕНИЕ

Векторомназывается направленный отрезок (упорядоченная пара точек). К векторам относится также и нулевойвектор – это вектор, начало и конец которого совпадают.

Длиной (модулем) вектора называется расстояние между началом и концом вектора.

Действия над векторами

1. Суммой двух векторов называется вектор , удовлетворяющий условию: если начало вектора перенести в точку, являющуюся концом вектора , начало вектора совпадет с началом вектора , а конец – с концом вектора (правило треугольника).

2. Произведением вектора на число a называется вектор , удовлетворяющий следующим условиям:

1) ;

2) вектор коллинеарен вектору ;

3) вектор соноправлен с вектором ( ), если a > 0 и противоположно направлен ( ¯ ), если a < 0.

Координаты вектора

Пусть точки А(х₁, y₁) и B(x₂, y₂), заданы в прямоугольной декартовой системе координат. Чтобы найти координаты вектора нужно из координат его конца вычесть координаты начала т. е. = (x₂– x₁, y₂ – y₁).

⇐ Предыдущая1234567Следующая ⇒

Читайте также:

Как правильно слушать собеседника

Типичные ошибки при выполнении бросков в баскетболе

Принятие христианства на Руси и его значение

Средства массовой информации США

Последнее изменение этой страницы: 2016-08-15; просмотров: 486; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы!

infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь — 161.97.168.212 (0.01 с.)

Программа вычисления определителя матрицы методом крамера. Метод крамера решения систем линейных уравнений. Обратный ход метода Гаусса

Метод Крамера.

Метод Крамера применяется для решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ ).

Формулы на примере системы из двух уравнений с двумя переменными.
Дано: Решить методом Крамера систему

Применим формулы Крамера и найдем значения переменных:
и .
Пример 1:
Решить систему уравнений:

относительно переменных х и у .
Решение:

Пример 2 (бесконечное количество решений):

Решить систему уравнений:

Пример 3 (решений нет, система несовместна):

Решить систему уравнений:

Определители

получаются путём замены коэффициентов при соответствующих неизвестных свободными членами:

;

Пример 1. Решить систему линейных уравнений:

Согласно теореме Крамера имеем:

Итак, решение системы (2):

онлайн-калькулятором , решающим методом Крамера.

Три случая при решении систем линейных уравнений

Как явствует из теоремы Крамера , при решении системы линейных уравнений могут встретиться три случая:

Первый случай: система линейных уравнений имеет единственное решение

(система совместна и определённа)

Второй случай: система линейных уравнений имеет бесчисленное множество решений

(система совместна и неопределённа)

** ,

т.е. коэффициенты при неизвестных и свободные члены пропорциональны.

Третий случай: система линейных уравнений решений не имеет

(система несовместна)

Примеры решения систем линейных уравнений методом Крамера

Пусть дана система

На основании теоремы Крамера

………….
,

где
—

Пример 2.

Следовательно, система является определённой. Для нахождения её решения вычисляем определители

По формулам Крамера находим:

Итак, (1; 0; -1) – единственное решение системы.

Пример 3. Решить систему линейных уравнений методом Крамера:

Решение. Находим определитель системы:

По формулам Крамера находим:

Итак, решение системы — (2; -1; 1).

К началу страницы

Продолжаем решать системы методом Крамера вместе

Пример 6. Решить систему линейных уравнений методом Крамера:

Решение. Находим определитель системы:

Определители при неизвестных не равны нулю, следовательно, система несовместна, то есть не имеет решений.

Пример 8. Решить систему линейных уравнений методом Крамера:

Решение. Находим определитель системы:

Находим определители при неизвестных

Такие системы линейных уравнений называются квадратными. Определитель, составленный из коэффициентов при независимых переменных системы (1.5), называется главным определителем системы. Мы будем обозначать его греческой буквой D. Таким образом,

(j = 1, 2, …, n ). (1.7)

Пример 1.5. Методом Крамера решить систему уравнений

Вычислим главный определитель системы:

Так как D¹0, то система имеет единственное решение, которое можно найти по формулам (1.8):

Таким образом,

Действия над матрицами

1. Умножение матрицы на число. Операция умножения матрицы на число определяется следующим образом.

2. Для того чтобы умножить матрицу на число, нужно все ее элементы умножить на это число. То есть

Пример 1.6. .

Сложение матриц.

Данная операция вводится только для матриц одного и того же порядка.

(1.10)
Операция сложения матриц обладает свойствами ассоциативности и коммутативности.

Пример 1.7. .

Умножение матриц.

Задача 1. 8. Найти, если это возможно, произведение матриц AB и BA :

Решение. 1) Для того чтобы найти произведение AB , необходимо строки матрицы A умножить на столбцы матрицы B :

Обратная матрица. Решение систем линейных уравнений матричным способом

Матрица A — 1 называется обратной к квадратной матрице А , если выполнено равенство:

где через I обозначается единичная матрица того же порядка, что и матрица А :

Пример 1.9. Найти обратную матрицу A — 1 к матрице

Обратную матрицу найдем по формуле (1.13), которая для случая n = 3 имеет вид:

1) Найдем алгебраические дополнения A ij :

Умножая обе части равенства (1.14) слева на A — 1 , мы получим решение системы:

Задача 1.10. Решить систему линейных уравнений

с помощью обратной матрицы.

Решение. Запишем систему в матричном виде: ,

Решение системы находим по формуле (1.15):

Таким образом,

Решение систем линейных уравнений методом обыкновенных жордановых исключений

Пусть дана произвольная (не обязательно квадратная) система линейных уравнений:

Требуется найти решение системы, т.е. такой набор переменных , который удовлетворяет всем равенствам системы (1. 16). В общем случае система (1.16) может иметь не только одно решение, но и бесчисленное множество решений. Она может так же вообще не иметь решений.

Пример 1.11.

Выразим y из второго уравнения и подставим его в первое уравнение:

Запомним второе уравнение, а из первого найдем z :

Затем подставим и в первое запомненное уравнение , откуда найдем x :

Задача 1.12. Решить систему линейных уравнений методом исключения неизвестных:

Решение. Выразим из первого уравнения переменную x и подставим ее во второе и третье уравнения:

В данной системе первое и второе уравнения противоречат друг другу. Действительно, выражая y из первого уравнения и подставляя его во второе уравнение , получим, что 14 = 17. Данное равенство не выполняется, ни при каких значениях переменных x , y , и z . Следовательно, система (1.17) несовместна, т.е. не имеет решения.

Читателям предлагаем самостоятельно проверить, что главный определитель исходной системы (1.17) равен нулю.

Рассмотрим систему, отличающуюся от системы (1.17) всего лишь одним свободным членом.

Задача 1.13. Решить систему линейных уравнений методом исключения неизвестных:

Запомним первое уравнение и приведем подобные члены во втором и третьем уравнении. Мы приходим к системе:

В последнем запомненном равенстве переменную z будем считать параметром. Полагаем . Тогда

Подставим y и z в первое запомненное равенство и найдем x :

Пусть дана система линейных форм (уравнений):

Мы получим следующую систему:

Вычислим коэффициенты полученной системы (1. 21) через коэффициенты исходной системы (1.20). Начнем с r -го уравнения, которое после выражения переменной x s через остальные переменные будет выглядеть следующим образом:

Таким образом, новые коэффициенты r -го уравнения вычисляются по следующим формулам:

После приведения подобных членов, получим:

(1.24)
Из равенства (1.24) получим формулы, по которым вычисляются остальные коэффициенты системы (1.21) (за исключением r -го уравнения):

Так, задаче (1.20) ставится в соответствие следующая жорданова таблица:

Таблица 1. 1

	x 1	x 2	…	x j	…	x s	…	x n
y 1 =	a 11	a 12		a 1j		a 1s		a 1n
…………………………………………………………………..
y i =	a i 1	a i 2		a ij		a is		a in
…………………………………………………………………..
y r =	a r 1	a r 2		a rj		a rs		a rn
………………………………………………………………….
y n =	a m 1	a m 2		a mj		a ms		a mn

Жорданова таблица 1. 1 содержит левый заглавный столбец, в который записывают правые части системы (1.20) и верхнюю заглавную строку, в которую записывают независимые переменные.

Таблица 1.2

	x 1	x 2	…	x j	…	y r	…	x n
y 1 =	b 11	b 12		b 1 j		b 1 s		b 1 n
…………………………………………………………………. .
y i =	b i 1	b i 2		b ij		b is		b in
…………………………………………………………………..
x s =	b r 1	b r 2		b rj		b rs		b rn
………………………………………………………………….
y n =	b m 1	b m 2		b mj		b ms		b mn

1. Разрешающий элемент заменяется обратным числом:

2. Остальные элементы разрешающей строки делятся на разрешающий элемент и изменяют знак на противоположный:

3. Остальные элементы разрешающего столбца делятся на разрешающий элемент:

4. Элементы, не попавшие в разрешающую строку и разрешающий столбец, пересчитываются по формулам:

-21-26-13-37

Таблица 1.5 Таблица 1.6

Из последней таблицы 1.7 находим: x 1 = — 3 + 2x 5 .

Последовательно подставляя уже найденные переменные в запомненные строки, находим остальные переменные:

x 1 = — 3 + 2t

x 2 = — 1 — 3t

x 3 = — 2 + 4t . (1.27)
x 4 = 4 + 5t

x 5 = t

Системы линейных алгебраических уравнений

Система линейных алгебраических уравнений – система уравнений вида:

Итак, пусть система состоит из n уравнений с n неизвестными.

Такую систему можно переписать в матричном виде

Решение СЛАУ методом Крамера

Согласно методу Крамера, решение находится по формулам:

В этом и заключается вся суть метода Крамера. Подставляя найденные по вышеприведенным формулам значения x в искомую систему, убеждаемся в правильности (или наоборот) нашего решения. Чтобы Вы быстрее уловили суть, приведем ниже пример подробного решения СЛАУ методом Крамера:

А если система оказалась упорной и не сдается, Вы всегда можете обратиться за помощью к нашим авторам, например, чтобы купить конспект . Будь в системе хоть 100 неизвестных, мы обязательно решим ее верно и точно в срок!

Рассмотрим систему уравнений

На первом шаге вычислим определитель , его называют главным определителем системы .

метод Гаусса .

На практике вышеуказанные определители также могут обозначаться латинской буквой .

Корни уравнения находим по формулам:
,

Пример 7

Решить систему линейных уравнений

Что делать? В подобных случаях и приходят на помощь формулы Крамера.

;

Ответ : ,

Пример 8

Ответ представить в обыкновенных неправильных дробях. Сделать проверку.

Это пример для самостоятельного решения (пример чистового оформления и ответ в конце урока).

Переходим к рассмотрению правила Крамера для системы трех уравнений с тремя неизвестными:

Находим главный определитель системы:

И, наконец, ответ рассчитывается по формулам:

Пример 9

Решить систему по формулам Крамера.

Решение : Решим систему по формулам Крамера.

, значит, система имеет единственное решение.

Ответ : .

Пример 10

Решить систему по формулам Крамера.

Это пример для самостоятельного решения (образец чистового оформления и ответ в конце урока).

Решение системы с помощью обратной матрицы

Пример 11

Решить систему с матричным методом

Решение : Запишем систему в матричной форме:
, где

Сначала разбираемся с определителем:

Здесь определитель раскрыт по первой строке.

Теперь нужно вычислить 9 миноров и записать их в матрицу миноров

Как решать примеры методом Крамера.

Примеры решения систем линейных алгебраических уравнений методом Крамера

Метод Крамера основан на использовании определителей при решении систем линейных уравнений. Это значительно ускоряет процесс решения.

Метод Крамера можно использовать для решения системы линейных уравнений, количество которых равно количеству неизвестных в каждом уравнении. Если определитель системы не равен нулю, то при решении можно использовать метод Крамера; если он равен нулю, то не может. Кроме того, метод Крамера можно использовать для решения систем линейных уравнений, имеющих единственное решение.

Определители

получаются заменой коэффициентов при соответствующих неизвестных свободными членами:

;

Теорема Крамера . Если определитель системы отличен от нуля, то система линейных уравнений имеет единственное решение, а неизвестное равно отношению определителей. В знаменателе стоит определитель системы, а в числителе – определитель, полученный из определителя системы заменой коэффициентов с неизвестными свободными членами. Эта теорема верна для системы линейных уравнений любого порядка.

Пример 1 Решить систему линейных уравнений:

Согласно теореме Крамера имеем:

Итак, решение системы (2):

7 90 онлайн калькулятор .

Три случая при решении систем линейных уравнений

Как следует из Теоремы Крамера , при решении системы линейных уравнений могут иметь место три случая:

Первый случай: система линейных уравнений имеет единственное решение

(система непротиворечивая и определенная)

Второй случай: система линейных уравнений имеет бесчисленное множество решений

(система непротиворечивая и неопределенная)

** ,

т.е. коэффициенты при неизвестных и свободных членах пропорциональны.

Третий случай: система линейных уравнений не имеет решений

(система несовместная)

Итак, система m линейных уравнений с n переменных называется несовместимой , если не имеет решений, и совместной , если имеет хотя бы одно решение. уравнения совместной системы, имеющие только одно решение, называются определенными , а более одного неопределенными .

Примеры решения систем линейных уравнений методом Крамера

Пусть система

На основе теоремы Крамера

………….
,

где
—

системный идентификатор. Остальные определители получаются заменой столбца коэффициентов соответствующей переменной (неизвестной) со свободными членами:

Пример 2

Следовательно, система определена. Чтобы найти ее решение, вычисляем определители

По формулам Крамера находим:

Итак, (1; 0; -1) — единственное решение системы.

Для проверки решений систем уравнений 3 X 3 и 4 X 4 можно воспользоваться онлайн-калькулятором, методом решения Крамера.

Если в системе линейных уравнений в одном или нескольких уравнениях нет переменных, то в определителе соответствующие им элементы равны нулю! Это следующий пример.

Пример 3 Решить систему линейных уравнений методом Крамера:

Решение. Находим определитель системы:

Посмотрите внимательно на систему уравнений и определитель системы и повторите ответ на вопрос, в каких случаях один или несколько элементов определителя равны нулю. Итак, определитель не равен нулю, следовательно, система определена. Чтобы найти ее решение, вычисляем определители для неизвестных

По формулам Крамера находим:

Итак, решение системы (2;-1;1).

Начало страницы

Продолжаем решать системы методом Крамера вместе

Как уже было сказано, если определитель системы равен нулю, а определители при неизвестных не равны нулю, то система несовместна, то есть не имеет решений. Проиллюстрируем на следующем примере.

Пример 6 Решить систему линейных уравнений методом Крамера:

Решение. Находим определитель системы:

Определитель системы равен нулю, следовательно, система линейных уравнений либо несовместна и определена, либо несовместна, то есть не имеет решений. Для уточнения вычислим определители для неизвестных

Определители для неизвестных не равны нулю, следовательно, система несовместна, то есть не имеет решений.

В задачах на системы линейных уравнений есть и такие, где кроме букв, обозначающих переменные, есть еще и другие буквы. Эти буквы обозначают некоторое число, чаще всего действительное число. На практике такие уравнения и системы уравнений приводят к задачам поиска общих свойств каких-либо явлений или объектов. То есть вы изобрели какой-либо новый материал или устройство, и для описания его свойств, общих вне зависимости от размера или количества экземпляров, необходимо решить систему линейных уравнений, где вместо каких-то коэффициентов при переменных стоит являются письма. За примерами далеко ходить не надо.

Следующий пример для аналогичной задачи, только увеличивается количество уравнений, переменных и букв, обозначающих некоторое действительное число.

Пример 8 Решить систему линейных уравнений методом Крамера:

Решение. Находим определитель системы:

Нахождение определителей неизвестных

Метод Крамера или так называемое правило Крамера — это способ поиска неизвестных величин из систем уравнений. Его можно использовать только в том случае, если количество искомых значений эквивалентно количеству алгебраических уравнений в системе, то есть основная матрица, образованная из системы, должна быть квадратной и не содержать нулевых строк, а также если ее определитель должен не быть нулем.

Теорема 1

Теорема Крамера Если главный определитель $D$ основной матрицы, составленной на основе коэффициентов уравнений, не равен нулю, то система уравнений совместна, и она имеет уникальное решение. Решение такой системы вычисляется с помощью так называемых формул Крамера для решения систем линейных уравнений: $x_i = \frac(D_i)(D)$

Что такое метод Крамера

Суть метода Крамера заключается в следующим образом:

Для решения системы методом Крамера прежде всего вычислим главный определитель матрицы $D$. Когда вычисленный определитель основной матрицы при вычислении методом Крамера оказался равным нулю, то система не имеет единственного решения или имеет бесконечное число решений. В этом случае для нахождения общего или какого-то базового ответа для системы рекомендуется использовать метод Гаусса.
Затем необходимо заменить последний столбец основной матрицы на столбец свободных членов и вычислить определитель $D_1$.
Повторите то же самое для всех столбцов, получив определители от $D_1$ до $D_n$, где $n$ — номер самого правого столбца.
После того, как все определители $D_1$…$D_n$ найдены, можно вычислить неизвестные переменные по формуле $x_i = \frac(D_i)(D)$.

Методы вычисления определителя матрицы

Для вычисления определителя матрицы размерностью более 2 на 2 можно использовать несколько методов:

Правило треугольников, или правило Сарруса, напоминающее то же правило. Суть метода треугольника заключается в том, что при вычислении определителя произведения всех чисел, соединенных на рисунке красной чертой справа, они записываются со знаком плюс, а все числа, соединенные аналогичным образом на рисунке на слева со знаком минус. Оба правила подходят для матриц 3×3. В случае правила Сарруса сначала переписывается сама матрица, а рядом с ней снова переписываются ее первый и второй столбцы. Через матрицу проводят диагонали и эти дополнительные столбцы, элементы матрицы, лежащие на главной диагонали или параллельно ей, записывают со знаком плюс, а элементы, лежащие на побочной диагонали или параллельно ей, записывают со знаком минус.

Рис. 1. Правило треугольников для вычисления определителя по методу Крамера

При использовании метода, известного как метод Гаусса, этот метод также иногда называют редукцией определителя. В этом случае матрица преобразуется и приводится к треугольной, а затем перемножаются все числа на главной диагонали. Следует помнить, что при таком поиске определителя нельзя умножать или делить строки или столбцы на числа, не вынося их в качестве множителя или делителя. В случае поиска определителя возможно только вычитание и сложение строк и столбцов друг к другу, предварительно умножив вычитаемую строку на ненулевой коэффициент. Также при каждой перестановке строк или столбцов матрицы следует помнить о необходимости смены конечного знака матрицы.
При решении СЛАУ Крамера с 4 неизвестными лучше всего использовать метод Гаусса для поиска и нахождения определителей или определить определитель через поиск миноров.

Решение систем уравнений методом Крамера

Применим метод Крамера к системе из 2-х уравнений и двух искомых величин:

$\begin(cases) a_1x_1 + a_2x_2 = b_1 \\ a_3x_1 + a_4x_2 = b_2 \\ \ end(cases)$

Для удобства отобразим в развернутом виде:

$A = \begin(array)(cc|c) a_1 & a_2 & b_1 \\ a_3 & a_4 & b_1 \\ \end(array)$

Найти определитель основной матрицы, также называемый главным определителем системы:

$D = \begin(array)(|cc|) a_1 & a_2 \\ a_3 & a_4 \\ \end(array) = a_1 \cdot a_4 – a_3 \cdot a_2$

Если основной определитель не равен нулю, то для решения слау методом Крамера необходимо вычислить еще пару определителей из двух матриц с заменой столбцов основной матрицы строкой свободных членов:

$D_1 = \begin(массив)(|cc|) b_1 & a_2 \\ b_2 & a_4 \\ \end(массив) = b_1 \cdot a_4 – b_2 \cdot a_4$

$D_2 = \begin(массив )(|cc|) a_1 & b_1 \\ a_3 & b_2 \\ \end(array) = a_1 \cdot b_2 – a_3 \cdot b_1$

Теперь найдем неизвестные $x_1$ и $x_2$:

$ x_1 = \frac (D_1)(D)$

$x_2 = \frac (D_2)(D)$

Пример 1

Метод Крамера для решения СЛАУ с основной матрицей 3-го порядка (3 x 3) и тремя желаемые.

Решите систему уравнений:

$\begin(cases) 3x_1 — 2x_2 + 4x_3 = 21 \\ 3x_1 +4x_2 + 2x_3 = 9\\ 2x_1 — x_2 — x_3 = 10 \\ \end(cases)$

Вычисляем главный определитель матрицы по приведенному выше правилу под номером 1:

$D = \begin(array)(|ccc|) 3 & -2 & 4 \\3 & 4 & -2 \\ 2 & -1 & 1 \\ \end(массив) = 3 \cdot 4 \cdot (-1) + 2 \cdot (-2) \cdot 2 + 4 \cdot 3 \cdot (-1) — 4 \cdot 4 \ cdot 2 — 3 \cdot (-2) \cdot (-1) — (- 1) \cdot 2 \cdot 3 = — 12 — 8 -12 -32 — 6 + 6 = — $64

А теперь еще три определителя:

$D_1 = \begin(array)(|ccc|) 21 & 2 & 4 \\ 9 & 4 & 2 \\ 10 & 1 & 1 \\ \end(array) = 21 \cdot 4 \cdot 1 + (- 2) \cdot 2 \cdot 10 + 9 \cdot (-1) \cdot 4 — 4 \cdot 4 \cdot 10 — 9 \cdot (-2) \cdot (-1 ) — (-1) \cdot 2 \ cdot 21 = — 84 — 40 — 36 — 160 — 18 + 42 = — $296

$D_2 = \begin(array)(|ccc|) 3 & 21 & 4 \\ 3 & 9 & 2 \\ 2 & 10 & 1 \\ \end(массив) = 3 \cdot 9 \cdot (- 1) + 3 \cdot 10 \cdot 4 + 21 \cdot 2 \cdot 2 — 4 \cdot 9\cdot 2 — 21 \cdot 3 \cdot (-1) — 2 \cdot 10 \cdot 3 = — 27 + 120 + 84 – 72 + 63 – 60 = $108

$D_3 = \begin(массив)(|ccc |) 3 & -2 & 21 \\ 3 & 4 & 9 \\ 2 & 1 & 10 \\ \end(массив) = 3 \cdot 4 \cdot 10 + 3 \cdot (-1) \cdot 21 + ( -2) \cdot 9 \cdot 2 — 21 \cdot 4 \cdot 2 — (-2) \cdot 3 \cdot 10 — (-1) \cdot 9 \cdot 3 = 120 — 63 — 36 — 168 + 60 + 27 = — $ 60

Найдем искомые значения:

$x_1 = \frac(D_1) (D) = \frac(- 296)(-64) = 4 \frac(5)(8)$

$x_2 = \frac(D_1) (D) = \frac(108) (-64) = — 1 \frac (11) (16)$

$x_3 = \frac(D_1) (D) = \ frac(-60) (-64) = \frac (15) (16)$

Пусть система линейных уравнений содержит столько уравнений, сколько независимых переменных, т. е. имеет вид

Такие системы линейных уравнений называется квадратичным. Определитель, составленный из коэффициентов при независимых переменных системы (1.5), называется главным определителем системы. Обозначим его греческой буквой Д. Таким образом,

. (1.6)

Если в главном определителе произвольный ( j -й) столбец заменить его столбцом свободных членов системы (1.5), то можно получить еще n вспомогательных определителей:

( j = 1, 2, …, n ). (1.7)

Правило Крамера решения квадратных систем линейных уравнений выглядит следующим образом. Если главный определитель D системы (1.5) отличен от нуля, то система имеет единственное решение, которое находится по формулам:

(1.8)

Пример 1.5. Решите систему уравнений методом Крамера

Вычислим главный определитель системы:

Поскольку D¹0, система имеет единственное решение, которое можно найти по формулам (1. 8):

Таким образом, матрица по числу. Операция умножения матрицы на число определяется следующим образом.

2. Чтобы умножить матрицу на число, нужно умножить все ее элементы на это число. То есть

. (1.9)

Пример 1.6. .

Добавление матрицы.

Эта операция вводится только для матриц одного порядка.

Для сложения двух матриц необходимо сложить соответствующие элементы другой матрицы с элементами одной матрицы:

(1.10)
Операция сложения матриц обладает свойствами ассоциативности и коммутативности.

Пример 1.7. .

Умножение матриц.

Если количество столбцов матрицы А совпадает с количеством строк матрицы В , то для таких матриц вводится операция умножения: m ´ n в матрицу AT размеры n ´ k получаем матрицу С размерами м ´ k . В этом случае элементы матрицы С вычисляются по следующим формулам:

Задача 1. 8. Найдите, если возможно, произведение матриц AB и BA :

Решение. 1) Чтобы найти произведение AB , необходимо строки матрицы A умножить на столбцы матрицы B :

2) Работа BA не существует, так как количество столбцов матрицы B не соответствует количеству строк матрицы A .

Обратная матрица. Решение системы линейных уравнений матричным способом

Матрица А- 1 называется обратной квадратной матрицей А , если выполняется равенство:

где через I обозначена единичная матрица того же порядка, что и матрица НО :

Чтобы квадратная матрица имела обратную, необходимо и достаточно, чтобы ее определитель был отличен от нуля. Обратная матрица находится по формуле:

, (1.13)

где А ij — алгебраические дополнения к элементам aij матрицы А (обратите внимание, что алгебраические дополнения к строкам матрицы А располагаются в соответствующей обратной матрице в виде столбцы).

Пример 1.9. Найти обратную матрицу A- 1 к матрице

Находим обратную матрицу по формуле (1.13), которая для случая n = 3 имеет вид:

Найдем det A = | А | = 1 х 3 х 8 + 2 х 5 х 3 + 2 х 4 х 3 — 3 х 3 х 3 — 1 х 5 х 4 — 2 х 2 х 8 = 24 + 30 + 24 — 27 — 20 — 32 = — 1. Так как определитель исходной матрицы отличен от нуля, то обратная матрица существует.

1) Найти алгебраические дополнения A ij :

Для удобства нахождения обратной матрицы мы разместили алгебраические дополнения к строкам исходной матрицы в соответствующих столбцах.

Из полученных алгебраических дополнений составить новую матрицу и разделить ее на определитель det A . Таким образом, мы получим обратную матрицу:

Квадратные системы линейных уравнений с ненулевым главным определителем можно решать с помощью обратной матрицы. Для этого система (1.5) записывается в матричном виде:

где

Умножая обе части равенства (1. 14) слева на А- 1 , получаем решение системы:

, где

Таким образом, чтобы найти решение квадратной системы, нужно найти обратную матрицу к основной матрице системы и умножить ее справа на матрицу-столбец свободных членов.

Задача 1.10. Решите систему линейных уравнений

с помощью обратной матрицы.

Решение. Запишем систему в матричной форме: ,

где – основная матрица системы, – столбец неизвестных, – столбец свободных членов. Так как главный определитель системы , то и главная матрица системы А имеет обратную матрицу А -одна. Чтобы найти обратную матрицу А -1 , вычислим алгебраические дополнения ко всем элементам матрицы А :

Из полученных чисел составим матрицу (причем алгебраические дополнения к строкам матрицы А запишем в соответствующие столбцы) и разделим на определитель D. Таким образом, мы нашли обратную матрицу:

Решение системы находится по формуле (1. 15):

Итак,

Решение систем линейных уравнений с помощью обыкновенных жордановых исключений

Пусть задана произвольная (не обязательно квадратная) система линейных уравнений:

(1.16)

Требуется найти решение системы, т. е. такой набор переменных, который удовлетворяет всем равенствам системы (1.16). В общем случае система (1.16) может иметь не только одно решение, но и бесконечное число решений. Она также может вообще не иметь решений.

При решении подобных задач в известном школьном курсе используется метод исключения неизвестных, который также называют методом обычного жорданового исключения. Суть этого метода заключается в том, что в одном из уравнений системы (1.16) одна из переменных выражается через другие переменные. Затем эта переменная подставляется в другие уравнения системы. В результате получается система, содержащая на одно уравнение и на одну переменную меньше, чем исходная система. Уравнение, из которого была выражена переменная, запоминается.

Этот процесс повторяется до тех пор, пока в системе не останется одно последнее уравнение. Например, в процессе исключения неизвестных некоторые уравнения могут превратиться в истинные тождества. Такие уравнения исключаются из системы, так как они справедливы при любых значениях переменных и, следовательно, не влияют на решение системы. Если в процессе исключения неизвестных хотя бы одно уравнение становится равенством, которое не может выполняться ни при каких значениях переменных (например, ), то делаем вывод, что система не имеет решения.

Если в ходе решения несовместных уравнений не возникло, то одна из оставшихся в ней переменных находится из последнего уравнения. Если в последнем уравнении остается только одна переменная, то она выражается числом. Если в последнем уравнении останутся другие переменные, то они считаются параметрами, и выраженная через них переменная будет функцией этих параметров. Затем так называемый обратный ход». Найденная переменная подставляется в последнее запоминаемое уравнение и находится вторая переменная. Затем две найденные переменные подставляются в предпоследнее запоминаемое уравнение и находится третья переменная, и так далее, вверх к первому запомненному уравнению.

В результате получаем решение системы. Это решение будет уникальным, если найденные переменные являются числами. Если первая найденная переменная, а затем и все остальные зависят от параметров, то система будет иметь бесконечное число решений (каждому набору параметров соответствует новое решение). Формулы, позволяющие найти решение системы в зависимости от определенного набора параметров, называются общим решением системы.

Пример 1.11.

Запомнив первое уравнение и подставив аналогичные члены во втором и третьем уравнениях, придем к системе:

Выразим y и подставим во второе уравнение первое уравнение:

Вспоминаем второе уравнение и из первого находим z :

Делая обратный ход, последовательно находим y и z . Для этого сначала подставляем в последнее запомненное уравнение, из которого находим y :

Затем подставляем и в первое запомненное уравнение откуда находим x :

Задача 1.12. Решите систему линейных уравнений, исключив неизвестные:

. (1.17)

Решение. Выразим из первого уравнения переменную x и подставим во второе и третье уравнения:

Запомните первое уравнение

В этой системе первое и второе уравнения противоречат друг другу. Действительно, выражая y , получаем, что 14 = 17. Это равенство не выполняется при любых значениях переменных х , y и z . Следовательно, система (1.17) несовместна, т. е. не имеет решения.

Читателям предлагается самостоятельно проверить равенство нулю главного определителя исходной системы (1.17).

Рассмотрим систему, отличающуюся от системы (1.17) только одним свободным членом.

Задача 1. 13. Решите систему линейных уравнений, исключив неизвестные:

. (1.18)

Решение. Как и прежде, выразим из первого уравнения переменную x и подставим во второе и третье уравнения:

Вспомните первое уравнение, и мы представим аналогичные члены во втором и третьем уравнениях. Приходим к системе:

выразив y из первого уравнения и подставив его во второе уравнение, получим тождество 14 = 14, которое не влияет на решение системы, а, следовательно, его можно исключить из системы.

В последнем запомненном равенстве в качестве параметра будет рассматриваться переменная z . Мы верим. Затем

Подставляем y и z в первое запомненное равенство и находим x :

Таким образом, система (1.18) имеет бесконечное множество решений, и любое решение можно найти по формулам (1.19) при выборе произвольного значения параметра t :

(1.19)
Таким образом, решения системы, например, являются следующие наборы переменных (1; 2; 0), (2; 26; 14) и т. д. Формулы (1.19) выражают общее (любое) решение системы (1.18).

В случае, когда исходная система (1.16) имеет достаточно большое количество уравнений и неизвестных, указанный метод обычных жордановых исключений кажется громоздким. Однако это не так. Достаточно вывести алгоритм пересчета коэффициентов системы за один шаг в общем виде и формализовать решение задачи в виде специальных таблиц Жордана.

Пусть задана система линейных форм (уравнений):

, (1.20)
где xj — независимые (искомые) переменные, aij — постоянные коэффициенты
( i = 1,2022 1,2022 …, m ; j = 1, 2,…, n ). Правые части системы y i ( i = 1, 2,…, m ) могут быть как переменными (зависимыми), так и константами. Требуется найти решения этой системы путем исключения неизвестных.

Рассмотрим следующую операцию, именуемую в дальнейшем «один шаг обычных жордановых исключений». Из произвольного ( r -го) равенства выразим произвольную переменную ( x s ) и подставим во все остальные равенства. Конечно, это возможно только в том случае, если а rs ¹ 0. Коэффициент а rs называется разрешающим (иногда ведущим или основным) элементом.

Получим следующую систему:

. (1.21)

Из s -го равенства системы (1.21) впоследствии найдем переменную x s (после того, как будут найдены остальные переменные). S Строка th запоминается и впоследствии исключается из системы. Оставшаяся система будет содержать одно уравнение и на одну независимую переменную меньше, чем исходная система.

Вычислим коэффициенты полученной системы (1.21) через коэффициенты исходной системы (1.20). Начнем с р -е уравнение, которое после выражения переменной х s через остальные переменные будет иметь вид:

Таким образом, новые коэффициенты r -го уравнения вычисляются по следующим формулам:

(1.23)
Теперь вычислим новые коэффициенты b ij ( i ¹ r ) произвольного уравнения. Для этого подставим переменную, выраженную в (1.22), x s в i -е уравнение системы (1.20):

После приведения подобных членов получаем:

(1.24)
Из равенства (1.24) получаем формулы, по которым вычисляются остальные коэффициенты системы (1.21) (за исключением r -го уравнения):

(1.25)
Преобразование систем линейных уравнений методом обычных жордановых исключений представлено в виде таблиц (матриц). Эти таблицы называются «таблицами Иордании».

Таким образом, задаче (1.20) соответствует следующая таблица Жордана:

Таблица 1.1

	х 1	х 2	…	хдж	…	х с	…	х
г 1 =	и 11	и 12		а 1 й		а 1 с		а 1 п
…………………………………………………………………. .
у я =	и 1	и 2		ай		а есть		а в
…………………………………………………………………..
г р =	1	2		и рдж		и		а р-н
………………………………………………………………….
д н =	1	а м 2		и мдж		и мс		утра

Таблица Жордана 1.1 содержит левый головной столбец, в котором записаны правые части системы (1.20), и верхнюю головную строку, в которой записаны независимые переменные.

Остальные элементы таблицы образуют основную матрицу коэффициентов системы (1. 20). Если умножить матрицу А на матрицу, состоящую из элементов верхней заголовочной строки, то получим матрицу, состоящую из элементов левого заголовочного столбца. То есть, по сути, таблица Жордана представляет собой матричную форму записи системы линейных уравнений: . В этом случае системе (1.21) соответствует следующая таблица Жордана:

Таблица 1.2

	х 1	х 2	…	хдж	…	г р	…	х
г 1 =	б 11	б 12		б 1 к		б 1 с		б 1 н
…………………………………………………………………..
у я =	б и 1	б и 2		б идж		б это		б в
…………………………………………………………………. .
х с =	бр 1	бр 2		б рдж		брс		б р-н
………………………………………………………………….
д н =	б м 1	б м 2		бмж		б мс		бмн

Разрешающий элемент a rs мы выделим жирным шрифтом. Напомним, что для реализации одного шага жордановых исключений разрешающий элемент должен быть ненулевым. Строка таблицы, содержащая разрешающий элемент, называется разрешающей строкой. Столбец, содержащий элемент включения, называется столбцом включения. При переходе от данной таблицы к следующей таблице одна переменная ( x s ) из верхней строки заголовка таблицы перемещается в левый столбец заголовка и, наоборот, один из свободных членов системы ( y r ) перемещается из левого столбца заголовка таблицы в верхнюю строку заголовка.

Опишем алгоритм пересчета коэффициентов при переходе от таблицы Жордана (1.1) к таблице (1.2), который следует из формул (1.23) и (1.25).

1. Разрешающий элемент заменяется обратным номером:

2. Остальные элементы разрешающей строки делятся на разрешающий элемент и меняют знак на противоположный:

3. Остальные элементы разрешающего столбца равны разделен на активирующий элемент:

4. Элементы, не входящие в разрешающую строку и разрешающий столбец, пересчитываются по формулам:

Последнюю формулу легко запомнить, если заметить, что элементы, составляющие дробь, находятся на пересечении i -ой и -й -й строк и -й -й и -й -й столбцов (разрешающая строка, разрешающий столбец и строка и столбец, на пересечении которых находится пересчитываемый элемент). Точнее, при запоминании формулы можно пользоваться следующей схемой:

-21 -26 -13 -37

Выполняя первый шаг жордановых исключений, любой элемент таблицы 1. 3, расположенный в столбцах x 1 ,…, x 5 (все указанные элементы не равны нулю). Вы должны не только выбрать разрешающий элемент в последнем столбце, т.к. нужно найти независимые переменные x 1 ,…, x 5 . Выбираем, например, коэффициент 1 с переменной x 3 в третьей строке таблицы 1.3 (активирующий элемент выделен жирным шрифтом). При переходе к таблице 1.4 переменная x 3 из верхней строки заголовка заменяется константой 0 из левого столбца заголовка (третья строка). При этом переменная х 3 выражается через остальные переменные.

string x 3 (таблица 1.4) можно, предварительно запомнив, исключить из таблицы 1.4. Таблица 1.4 также исключает третий столбец с нулем в верхней строке заголовка. Дело в том, что вне зависимости от коэффициентов этого столбца b i 3 все соответствующие ему члены каждого уравнения 0 b i 3 системы будут равны нулю. Следовательно, эти коэффициенты не могут быть рассчитаны. Исключив одну переменную х 3 и вспомнив одно из уравнений, мы придем к системе, соответствующей табл. 1.4 (с перечеркнутой линией х 3). Выбрав в таблице 1.4 в качестве разрешающего элемента b 14 = -5, перейти к таблице 1.5. В таблице 1.5 запоминаем первую строку и исключаем ее из таблицы вместе с четвертым столбцом (с нулем вверху).

Таблица 1.5 Таблица 1.6

Из последней таблицы 1.7 находим: х 1 = — 3 + 2 х 5 .

Последовательно подставляя уже найденные переменные в запомненные строки, находим оставшиеся переменные:

Таким образом, система имеет бесконечное число решений. переменная x 5 , вы можете присвоить произвольные значения. Эта переменная действует как параметр x 5 = t. Мы доказали совместимость системы и нашли общее решение:

x 1 = — 3 + 2 t

x 2 = — 1 — 3 t

x 1 = — 9 0,0 2 (1.27)
х 4 = 4 + 5 t

х 5 = t

Придавая параметру t различные значения, мы получаем исходную систему решений бесконечного числа значений. Так, например, решением системы является следующий набор переменных (- 3; — 1; — 2; 4; 0).

В первой части мы рассмотрели теоретический материал, метод подстановки и метод почленного сложения уравнений системы. Всем, кто зашел на сайт через эту страницу, рекомендую прочитать первую часть. Возможно, некоторым посетителям материал покажется слишком простым, но в ходе решения систем линейных уравнений я сделал ряд очень важных замечаний и выводов, касающихся решения математических задач в целом.

А теперь разберем правило Крамера, а также решение системы линейных уравнений с помощью обратной матрицы (матричный метод). Все материалы представлены просто, подробно и понятно, практически все читатели смогут научиться решать системы вышеуказанными методами.

Сначала мы подробно рассмотрим правило Крамера для системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными. Зачем? — Ведь простейшую систему можно решить школьным методом, сложением членов!

Дело в том, что пусть иногда, но есть такая задача — решить систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными по формулам Крамера. Во-вторых, более простой пример поможет вам понять, как применить правило Крамера к более сложному случаю – системам из трех уравнений с тремя неизвестными.

Кроме того, существуют системы линейных уравнений с двумя переменными, которые желательно решать точно по правилу Крамера!

Рассмотрим систему уравнений

На первом шаге вычисляем определитель , он называется главный определитель системы .

Метод Гаусса.

Если , то система имеет единственное решение, и для нахождения корней необходимо вычислить еще два определителя:
и

На практике указанные выше определители можно также обозначать латинской буквой.

Корни уравнения находятся по формулам:
,

Пример 7

Решить систему линейных уравнений

Решение справа есть десятичные дроби с запятой. Запятая — довольно редкий гость в практических задачах по математике, эту систему я взял из эконометрической задачи.

Как решить такую систему? Можно попытаться выразить одну переменную через другую, но в этом случае наверняка получатся ужасные навороченные дроби, с которыми крайне неудобно работать, а оформление решения будет выглядеть просто ужасно. Вы можете умножить второе уравнение на 6 и вычесть член за членом, но здесь появятся те же самые дроби.

Что делать? В таких случаях на помощь приходят формулы Крамера.

;

Ответ : ,

Оба корня имеют бесконечные хвосты и находятся приближенно, что вполне приемлемо (и даже обычно) для задач эконометрики.

Комментарии здесь не нужны, так как задача решается по готовым формулам, однако есть один нюанс. При использовании этого метода обязательно . Фрагментом задания является следующий фрагмент: «значит система имеет единственное решение» . В противном случае рецензент может наказать вас за неуважение к теореме Крамера.

Не лишней будет проверка, которую удобно проводить на калькуляторе: подставляем приблизительные значения в левую часть каждого уравнения системы. В результате с небольшой погрешностью должны получиться числа, находящиеся в правой части.

Пример 8

Выразите ответ в виде обыкновенных неправильных дробей. Сделайте чек.

Это пример для самостоятельного решения(пример окончания и ответ в конце урока).

Перейдем к рассмотрению правила Крамера для системы трех уравнений с тремя неизвестными:

Найдем главный определитель системы:

Если , то система имеет бесконечно много решений или несовместна (не имеет решения). В этом случае правило Крамера не поможет, нужно использовать метод Гаусса.

Если , то система имеет единственное решение и для нахождения корней надо вычислить еще три определителя:
, ,

И, наконец, ответ вычисляется по формулам:

Как видите, случай «три на три» принципиально ничем не отличается от случая «два на два», столбец свободных членов последовательно «ходит» слева направо по столбцам главного определителя.

Пример 9

Решите систему, используя формулы Крамера.

Решение : Решим систему по формулам Крамера.

, значит, система имеет единственное решение.

Ответ : .

Собственно, тут опять комментировать особо нечего, ввиду того, что решение принимается по готовым формулам. Но есть пара замечаний.

Бывает, что в результате вычислений получаются «плохие» несократимые дроби, например: .
Рекомендую следующий алгоритм «лечения». Если под рукой нет компьютера, делаем так:

1) Возможна ошибка в расчетах. Как только вы столкнулись с «плохим» кадром, нужно сразу проверить, правильно ли переписано условие . Если условие переписано без ошибок, то нужно пересчитать определители с помощью разложения в другой строке (столбце).

2) Если в результате проверки ошибок не обнаружено, то, скорее всего, в условии задания допущена опечатка. В этом случае спокойно и ВНИМАТЕЛЬНО решите задачу до конца, а затем обязательно проверить и оформить на чистом экземпляре после принятия решения. Конечно, проверка дробного ответа — занятие неприятное, но это будет обезоруживающим аргументом для преподавателя, который ну очень любит ставить минус за всякую гадость вроде. Как обращаться с дробями, подробно описано в ответе к Примеру 8.

Если у вас есть компьютер под рукой, то используйте для его проверки автоматизированную программу, которую можно скачать бесплатно в самом начале урока. Кстати, пользоваться программой выгоднее всего сразу (еще до запуска решения), вы сразу увидите промежуточный шаг, на котором допустили ошибку! Этот же калькулятор автоматически вычисляет решение системного матричного метода.

Второе замечание. Время от времени встречаются системы, в уравнениях которых отсутствуют некоторые переменные, например:

Здесь в первом уравнении нет переменной, во втором нет переменной. В таких случаях очень важно правильно и ВНИМАТЕЛЬНО записать основной определитель:
– вместо пропущенных переменных ставятся нули.
Кстати, определители с нулями рационально открывать в той строке (столбце), в которой стоит ноль, так как вычислений заметно меньше.

Пример 10

Решите систему, используя формулы Крамера.

Это пример для самостоятельного решения (завершающий образец и ответ в конце урока).

Для случая системы 4 уравнений с 4 неизвестными формулы Крамера записываются по аналогичным принципам. Вы можете увидеть живой пример в уроке Свойства определителя. Понижение порядка определителя — пять определителей 4-го порядка вполне разрешимы. Хотя задание уже очень напоминает профессорский ботинок на груди счастливчика-студента.

Решение системы с помощью обратной матрицы

Метод обратной матрицы является по существу частным случаем матричного уравнения (см. Пример №3 указанного занятия).

Для изучения этого раздела необходимо уметь разлагать определители, находить обратную матрицу и производить умножение матриц. Соответствующие ссылки будут даны по мере продвижения объяснения.

Пример 11

Решить систему матричным методом

Решение : Запишем систему в матричной форме:
, где

Посмотрите пожалуйста на систему уравнений и матрицы. По какому принципу мы записываем элементы в матрицы, думаю всем понятно. Единственное замечание: если бы в уравнениях отсутствовали какие-то переменные, то в матрице на соответствующие места пришлось бы ставить нули.

Находим обратную матрицу по формуле:
, где — транспонированная матрица алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы .

Сначала разберемся с определителем:

Здесь определитель расширяется первой строкой.

Внимание! Если , то обратной матрицы не существует и решить систему матричным методом невозможно. В этом случае система решается методом исключения неизвестных (метод Гаусса).

Теперь нужно вычислить 9 миноров и записать их в матрицу миноров

Ссылка: Полезно знать значение двойных нижних индексов в линейной алгебре. Первая цифра — это номер строки, в которой находится элемент. Вторая цифра – это номер столбца, в котором находится элемент:

То есть двойной нижний индекс указывает на то, что элемент находится в первой строке, третьем столбце, тогда как, например, элемент находится в 3-й строке, 2-м столбце

Рассмотрим систему из 3-х уравнений с тремя неизвестными

Используя определителей третьего порядка, решение такой системы можно записать в том же виде, что и для системы двух уравнений, т. е.

(2.4)

, если 0. Здесь

Это Правило Крамера решение системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными .

Пример 2.3. Решить систему линейных уравнений по правилу Крамера:

Решение . Нахождение определителя главной матрицы системы

Поскольку 0, то для нахождения решения системы можно применить правило Крамера, но предварительно вычислить еще три определителя:

Проверка:

Следовательно, решение найдено верно. 

Правила Крамера, полученные для линейных систем 2-го и 3-го порядка, предполагают, что одни и те же правила могут быть сформулированы для линейных систем любого порядка. Действительно имеет место

Теорема Крамера. Квадратная система линейных уравнений с ненулевым определителем основной матрицы системы (0) имеет одно и только одно решение, и это решение вычисляется по формулам

(2. 5)

, где  – определитель главной матрицы ,  и – определитель матрицы , производный от основного, замена i -й столбец свободные элементы столбец .

Обратите внимание, что если =0, то правило Крамера неприменимо. Это означает, что система либо вообще не имеет решений, либо имеет бесконечно много решений.

Сформулировав теорему Крамера, естественно возникает вопрос о вычислении определителей высших порядков.

2.4. определители n-го порядка

Дополнительный минор M ij элемент a ij называется определителем, полученным из данного вычеркиванием i -я строка и j -я колонка. Алгебраическое сложение A ij элемент a ij называется минором этого элемента, взятого со знаком (–1) i + j , то есть A ij = (–1) i + к М к .

Например, найдем миноры и алгебраические дополнения элементов a 23 и a 31 определитель

Получаем



Используя понятие алгебраического дополнения, мы можем сформулировать теорему разложения определителя n -го столбца порядка 9.

Теорема 2.1. Определитель матрицы А равен сумме произведений всех элементов некоторой строки (или столбца) и их алгебраических дополнений:

(2.6)

Эта теорема лежит в основе одного из основных методов вычисления определителей, т. н. метод сокращения заказа . В результате разложения определителя n -го порядка в любой строке или столбце получим n определителей ( n –1)-го порядка. Чтобы таких определителей было меньше, целесообразно выбирать строку или столбец, в которых больше всего нулей. На практике формулу разложения определителя обычно записывают так:

т.е. алгебраические дополнения записываются явно в терминах миноров.

Примеры 2.4. Вычислите определители, разложив их сначала в любой строке или столбце. Обычно в таких случаях выбирают столбец или строку, в которой больше всего нулей. Выбранная строка или столбец будут отмечены стрелкой.



2.5. Основные свойства определителей

Разложив определитель по любой строке или столбцу, получим n определителей ( n –1)-го порядка. Тогда каждый из этих определителей ( n –1)-го порядка также можно разложить в сумму определителей ( n – 2-й заказ. Продолжая этот процесс, можно добраться до определителей 1-го порядка, т.е. до элементов матрицы, определитель которой вычисляется. Итак, для вычисления определителей 2-го порядка придется вычислить сумму двух слагаемых, для определителей 3-го порядка — сумму 6 слагаемых, для определителей 4-го порядка — 24 слагаемых. Количество членов будет резко возрастать по мере увеличения порядка определителя. Это означает, что вычисление определителей очень высоких порядков становится довольно трудоемкой задачей, не под силу даже компьютеру. Однако определители можно вычислить и другим способом, используя свойства определителей.

Собственность 1 . Определитель не изменится, если в нем поменять местами строки и столбцы, т.е. при транспонировании матрицы :

Это свойство указывает на равенство строк и столбцов определителя. Другими словами, любое утверждение о столбцах определителя верно для его строк, и наоборот.

Собственность 2 . Определитель меняет знак при перестановке двух строк (столбцов).

Последствие . Если определитель имеет две одинаковые строки (столбцы), то он равен нулю.

Собственность 3 . Общий делитель всех элементов любой строки (столбца) можно вынести за знак определителя .

Например,

Последствие . Если все элементы некоторой строки (столбца) определителя равны нулю, то и сам определитель равен нулю .

Собственность 4 . Определитель не изменится, если элементы одной строки (столбца) прибавить к элементам другой строки (столбца), умноженным на некоторое число .

Например,

Свойство 5 . Определитель произведения матриц равен произведению определителей матриц:

Использование правила Крамера для решения системы трех уравнений с тремя переменными | Колледж Алгебра |

Вычисление определителя матрицы 3 × 3

Найти определитель матрицы 2×2 несложно, но найти определитель матрицы 3×3 сложнее. Один из методов состоит в том, чтобы дополнить матрицу 3×3 повторением первых двух столбцов, получив матрицу 3×5. Затем вычисляем сумму произведений записей вниз по по каждой из трех диагоналей (слева вверху справа внизу) и вычесть произведения записей вверх по по каждой из трех диагоналей (слева внизу справа вверху). Это легче понять с визуальным и пример.

Найдите определитель матрицы 3×3.

A=[a1b1c1a2b2c2a3b3c3]A=\left[\begin{array}{ccc}{a}_{1}& {b}_{1}& {c}_{1}\\ {a}_{ 2}& {b}_{2}& {c}_{2}\\ {a}_{3}& {b}_{3}& {c}_{3}\end{массив}\right ]А=⎣

⎡a1a2a3b1b2b3c1c2c3⎦

⎤

Дополните
AAA
первыми двумя столбцами.
det(A)=∣a1b1c1a2b2c2a3b3c3∣a1a2a3b1b2b3∣\mathrm{det}\left(A\right)=|\begin{array}{ccc}{a}_{1}& {b}_{1}& { c}_{1}\\ {a}_{2}& {b}_{2}& {c}_{2}\\ {a}_{3}& {b}_{3}& { c}_{3}\end{массив}|\begin{массив}{c}{a}_{1}\\ {a}_{2}\\ {a}_{3}\end{массив} \begin{массив}{c}{b}_{1}\\ {b}_{2}\\ {b}_{3}\end{массив}|det(A)=∣a1a2a3 b1b2b3c1c2c3∣a1a2a3b1b2b3∣
С левого верхнего угла в правый нижний: умножьте числа по первой диагонали. Прибавьте результат к произведению записей по второй диагонали. Добавьте этот результат к произведению записей вниз по третьей диагонали.
Из нижнего левого угла в верхний правый: вычтите произведение записей вверх по первой диагонали. Из этого результата вычтите произведение вхождений вверх по второй диагонали. Из этого результата вычтите произведение вхождений вверх по третьей диагонали.

Рисунок 2

Алгебра выглядит следующим образом:

∣A∣=a1b2c3+b1c2a3+c1a2b3−a3b2c1−b3c2a1−c3a2b1|A|={a}_{1}{b}_{2}{c }_{3}+{b}_{1}{c}_{2}{a}_{3}+{c}_{1}{a}_{2}{b}_{3}- {a}_{3}{b}_{2}{c}_{1}-{b}_{3}{c}_{2}{a}_{1}-{c}_{3 }{a}_{2}{b}_{1}∣A∣=a1b2c3+b1c2a3+c1a2b3−a3b2c1−b3c2 a1−c3a2b1

Пример 3. Нахождение определителя матрицы 3 × 3

Найдите определитель матрицы 3 × 3 по данным

A=[0213−11401]A=\left[\begin{array}{ccc}0& 2& 1\\ 3& -1& 1\\ 4& 0& 1\end{array }\right]A=⎣

⎡0342−10111⎦

⎤

Решение

Дополните матрицу первыми двумя столбцами, а затем следуйте формуле. Таким образом,

∣A∣=∣0213−11401∣0342−10∣=0(−1)(1)+2(1)(4)+1(3)(0)−4(−1)(1 )−0(1)(0)−1(3)(2)=0+8+0+4−0−6=6\begin{массив}{l}|A|=|\begin{массив}{ ccc}0& 2& 1\\ 3& -1& 1\\ 4& 0& 1\end{массив}|\begin{массив}{c}0\\ 3\\ 4\end{массив}\begin{массив}{c} 2\\ -1\\ 0\end{массив}|\qquad \\ =0\влево(-1\вправо)\влево(1\вправо)+2\влево(1\вправо)\влево(4\вправо) )+1\влево(3\вправо)\влево(0\вправо)-4\влево(-1\вправо)\влево(1\вправо)-0\влево(1\вправо)\влево(0\вправо) -1\влево(3\вправо)\влево(2\вправо)\qquad \\ =0+8+0+4 — 0-6\qquad \\ =6\qquad \end{массив}∣A∣=∣ 0342−10111∣0342−10∣=0(−1)(1)+2(1)(4)+1(3)(0)−4(−1)(1) −0(1)(0)−1(3)(2)=0+8+0+4−0−6=6

Попробуйте 2

Найдите определитель матрицы 3 × 3.

det(A)=∣1−371111−23∣\mathrm{det}\left(A\right)=|\begin{array}{ccc}1& -3& 7\\ 1& 1& 1\\ 1& -2& 3\end{array}|det(A)=∣111−31−2713∣

Решение

Вопросы и ответы

Можно ли использовать тот же метод для нахождения определителя большей матрицы?

Нет, этот метод работает только для

2 × 22\text{ }\times \text{ }22 × 2

и
3 × 3\text{3}\text{ }\times \text{ }33 × 3
матрицы. Для больших матриц лучше всего использовать графическую утилиту или компьютерное программное обеспечение.
Использование правила Крамера для решения системы трех уравнений с тремя переменными
Теперь, когда мы можем найти определитель матрицы 3 × 3, мы можем применить правило Крамера для решения системы трех уравнений с тремя переменными . Правило Крамера является простым и следует шаблону, согласующемуся с правилом Крамера для матриц 2 × 2. Однако по мере увеличения порядка матрицы до 3 × 3 требуется гораздо больше вычислений.
Когда мы вычисляем, что определитель равен нулю, правило Крамера не указывает, имеет ли система решение или бесконечное число решений. Чтобы выяснить это, мы должны выполнить исключение в системе.
Рассмотрим систему уравнений 3 × 3.
Рисунок 3
x=DxD,y=DyD,z=DzD,D≠0x=\frac{{D}_{x}}{D},y=\frac{{D}_{y }}{D},z=\frac{{D}_{z}}{D},D\ne 0x=DDx,y=DDy,z=DDz,D=0
где
Рисунок 4
Если мы записываем определитель
Dx{D}_{x}Dx
, мы заменяем столбец
xxx
постоянным столбцом. Если мы записываем определитель
Dy{D}_{y}Dy
, мы заменяем столбец
yyy
постоянным столбцом. Если мы записываем определитель
Dz{D}_{z}Dz
, мы заменяем столбец
zzz
постоянным столбцом. Всегда проверяйте ответ.
Пример 4. Решение системы 3 × 3 с использованием правила Крамера
Найдите решение данной системы 3 × 3, используя правило Крамера.
x+y-z=63x-2y+z=-5x+3y-2z=14\begin{array}{c}x+y-z=6\\ 3x — 2y+z=-5\\ x+3y — 2z=14\end{массив}x+y−z=63x−2y+z=−5x+3y−2z=14
Решение
Используйте правило Крамера.
D=∣11−13−2113−2∣,Dx=∣61−1−5−21143−2∣,Dy=∣16−13−51114−2∣,Dz=∣1163−2−51314∣D =|\begin{массив}{ccc}1& 1& -1\\ 3& -2& 1\\ 1& 3& -2\end{массив}|,{D}_{x}=|\begin{массив}{ccc} 6& 1& -1\\ -5& -2& 1\\ 14& 3& -2\end{массив}|,{D}_{y}=|\begin{массив}{ccc}1& 6& -1\\ 3& -5& 1\\ 1& 14& -2\end{массив}|,{D}_{z}=|\begin{массив}{ccc}1& 1& 6\\ 3& -2& -5\\ 1& 3& 14\end{массив }|D=∣1311−23−11−2∣,Dx=∣6−5141−23−11−2∣,Dy=∣1316−514−11− 2∣,Dz=∣1311−236−514∣
Тогда
x=DxD=−3−3=1y=DyD=−9−3=3z=DzD=6−3=−2\begin{array}{l}x=\frac{{D}_{ x}}{D}=\frac{-3}{-3}=1\qquad \\ y=\frac{{D}_{y}}{D}=\frac{-9}{-3} =3\qquad \\ z=\frac{{D}_{z}}{D}=\frac{6}{-3}=-2\qquad \end{array}x=DDx=−3 −3=1y=DDy=−3−9=3z=DDz=−36=−2
Решение:
(1,3,−2)\left(1,3,-2\right)(1,3,−2)
.
Попробуйте 3
Используйте правило Крамера, чтобы решить матрицу 3 × 3.
x−3y+7z=13x+y+z=1x−2y+3z=4\begin{array}{r}\qquad x — 3y+7z=13\\ \qquad x+y+z=1\ \ \qquad x — 2y+3z=4\end{массив}x−3y+7z=13x+y+z=1x−2y+3z=4
Решение
Пример 5. Использование правила Крамера для решения несогласованной системы
Решить систему уравнений по правилу Крамера.
3x−2y=4 (1)6x−4y=0 (2)\begin{array}{l}3x — 2y=4\text{ }\left(1\right)\\ 6x — 4y=0\ text{ }\left(2\right)\end{array}3x−2y=4 (1)6x−4y=0 (2)
Решение
Начнем с нахождения определителей
D,Dx и DyD,{D}_{x},\text{и {D}_{y}D,Dx, и Dy
.
D=∣3−26−4∣=3(−4)−6(−2)=0D=|\begin{массив}{cc}3& -2\\ 6& -4\end{массив}|= 3\влево(-4\вправо)-6\влево(-2\вправо)=0D=∣36−2−4∣=3(−4)−6(−2)=0
Мы знаем, что определитель, равный нулю, означает, что либо система не имеет решений, либо имеет бесконечное число решений. Чтобы увидеть, какой из них, мы используем процесс исключения. Наша цель — исключить одну из переменных.
Умножить уравнение (1) на
−2-2−2
.
Добавьте результат к уравнению
(2)\влево(2\вправо)(2)
.
−6x+4y=−86x−4y=0————–0=8\begin{matrix} \qquad-6x+4y=-8 \\ \qquad6x-4y=0 \\ \qquad\text{ —————} \\ \qquad 0=8\end{matrix}−6x+4y=−86x−4y=0————–0=8
Получаем уравнение
0=−80=-80=−8
, что неверно. Следовательно, система не имеет решений. График системы показывает две параллельные линии.
Рис. 5
Пример 6. Использование правила Крамера для решения зависимой системы
Решите систему с бесконечным числом решений.
x−2y+3z=0(1)3x+y−2z=0(2)2x−4y+6z=0(3)\begin{массив}{rr}\qquad x — 2y+3z=0& \ qquad \left(1\right)\\ \qquad 3x+y — 2z=0& \qquad \left(2\right)\\ \qquad 2x — 4y+6z=0& \qquad \left(3\right)\end {массив}x−2y+3z=03x+y−2z=02x−4y+6z=0(1)(2)(3)
Решение
Сначала найдем определитель. Настройте матрицу, дополненную первыми двумя столбцами.
∣1−2331−22−46 ∣1−2312−4∣|\begin{array}{rrr}\qquad 1& \qquad -2& \qquad 3\\ \qquad 3& \qquad 1& \qquad -2\\ \qquad 2& \qquad -4& \qquad 6\end{массив}\text{ }|\text{ }\begin{массив}{rr}\qquad 1& \qquad -2\\ \qquad 3& \qquad 1\\ \ qquad 2& \qquad -4\end{массив}|∣132−21−43−26 ∣ 132−21−4∣
Тогда
1(1)(6)+(−2)(−2)(2)+3(3)(−4)−2(1)(3)−(−4)(−2)( 1)−6(3)(−2)=01\влево(1\вправо)\влево(6\вправо)+\влево(-2\вправо)\влево(-2\вправо)\влево(2\вправо) )+3\влево(3\вправо)\влево(-4\вправо)-2\влево(1\вправо)\влево(3\вправо)-\влево(-4\вправо)\влево(-2\вправо) )\влево(1\вправо)-6\влево(3\вправо)\влево(-2\вправо)=01(1)(6)+(-2)(-2)(2)+3(3) (−4)−2(1)(3)−(−4)(−2)(1)−6(3)(−2)=0
Так как определитель равен нулю, то решений либо нет, либо их бесконечное множество. Мы должны выполнить исключение, чтобы узнать.
Умножьте уравнение (1) на
−2-2−2
и добавьте результат к уравнению (3):
−2x+4y−6x=02x−4y+6z=00=0\frac{\begin{ array}{r}\qquad -2x+4y — 6x=0\\ \qquad 2x — 4y+6z=0\end{массив}}{0=0}0=0-2x+4y-6x=02x-4y +6z=0
Получение ответа
0=00=00=0
, утверждение, которое всегда верно, означает, что система имеет бесконечное число решений. Изобразив систему, мы видим, что две плоскости одинаковы и обе пересекают третью плоскость по прямой.
Рис. 6 Автор: : Колледж OpenStax. Предоставлено : OpenStax. Расположен по адресу : https://cnx.org/contents/[email protected]:1/Preface. Лицензия : CC BY: Attribution
Правило Крамера
Горячая математика
Правило Крамера использует детерминанты для решать системы линейных уравнений . Рассмотрим систему двух линейных уравнений с двумя переменными:
а Икс + б у знак равно с г Икс + е у знак равно ф
Используя метод линейной комбинации, можно убедиться, что
Икс знак равно с е − б ф а е − б г а также у знак равно а ф − с г а е − б г если а е − б г ≠ 0
Обратите внимание, что знаменатели равны определитель коэффициентов.
Д знак равно | а б г е |
Числители равны определителям Д Икс а также Д у куда
Д Икс знак равно | с б ф е | а также Д у знак равно | а с г ф |
Д Икс формируется заменой столбца коэффициентов Икс в Д со столбцом констант и Д у формируется заменой столбца коэффициентов у в Д со столбцом констант.
По замене,
Икс знак равно | с б ф е | | а б д е | знак равно Д Икс Д а также у знак равно | а с д ф | | а б д е | знак равно Д у Д .
Пример:
С помощью определителей решите систему уравнений: { Икс − 5 у знак равно 2 2 Икс + у знак равно 4
Икс знак равно Д Икс Д знак равно | 2 − 5 4 1 | | 1 − 5 2 1 | знак равно 2 + 20 1 + 10 знак равно 22 11 знак равно 2 у знак равно Д у Д знак равно | 1 2 2 4 | | 1 − 5 2 1 | знак равно 4 − 4 1 + 10 знак равно 0 11 знак равно 0
Следовательно, решение ( 2 , 0 ) .
Детерминанты также можно использовать для решения системы линейных уравнений с тремя переменными:
а 1 Икс + б 1 у + с 1 г знак равно г 1 а 2 Икс + б 2 у + с 2 г знак равно г 2 а 3 Икс + б 3 у + с 3 г знак равно г 3
Затем,
Д знак равно | а 1 б 1 с 1 а 2 б 2 с 2 а 3 б 3 с 3 | ≠ 0 Д Икс знак равно | д 1 б 1 с 1 д 2 б 2 с 2 д 3 б 3 с 3 | Д у знак равно | а 1 д 1 с 1 а 2 д 2 с 2 а 3 д 3 с 3 | Д г знак равно | а 1 б 1 д 1 а 2 б 2 д 2 а 3 б 3 д 3 |
А также,
Икс знак равно Д Икс Д , у знак равно Д у Д , г знак равно Д г Д .
Этот метод можно обобщить для системы н линейные уравнения в н переменные.
Он был назван в честь швейцарского математика Габриэля Крамера.
Бесплатный онлайн-калькулятор правила Крамера

Expression
Equation
Inequality
Contact us
Simplify
Factor
Expand
GCF
LCM
Solve
Graph
System
Solve
Graph
Система
Математический решатель на вашем сайте
Наших пользователей:
Программа Algebrator мне очень помогла. Я думал, что пошаговое решение уравнений было наиболее полезным. Это было легко использовать и легко понять. Я определенно рекомендую это всем. Спасибо, Энни Хайнс
P.W., Иллинойс
Спасибо создателям программы. Контекстно-зависимая помощь по любой теме алгебры помогла мне прояснить основы математики. Очень очень полезный инструмент..
Джон Касвелл, Мичиган
Благодарю вас! Ваше программное обеспечение (Algebrator) очень помогло мне с домашним заданием по алгебре.
Мигель Сан-Мигель-Гонсалес, Ларедо, инт. Университет
Ищете поддержку с вашим курсом алгебры, тогда Algebrator — это ваше решение. Это программное обеспечение объясняет все шаги к проблемам, которые вы вводите.
Лиэнн Кук, Нью-Йорк
Студенты, борющиеся со всевозможными задачами по алгебре, узнают, что наше программное обеспечение может спасти им жизнь. Вот поисковые фразы, которые сегодняшние поисковики использовали, чтобы найти наш сайт. Сможете ли вы найти среди них свою?

Поисковые фразы, использованные 03.

No related posts.
Навигация по записям
Предыдущая статьяDx x 3 интеграл: Mathway | Популярные задачи
Следующая статьяДеление дробей онлайн в столбик: Онлайн калькулятор. Деление столбиком
Добавить комментарий Отменить ответ
Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *
Комментарий *
Имя *
Email *
Сайт

Найти:
Рубрики
Геометрия
Математика
Физика
Химия
Школьная жизнь
Разное
© 2015 - 2019 Муниципальное казённое общеобразовательное учреждение «Таловская средняя школа»
Карта сайта