Решение системы по формулам крамера онлайн: Онлайн калькулятор. Решение систем линейных уравнений. Метод Крамера

Содержание

Решить систему линейных уравнений методом Крамера

Существует несколько способов решения СЛАУ. Решить систему линейных уравнений методом Крамера можно при условии, если определитель матрицы квадратной системы отличен от нуля. Чтобы получить ответ, вам необходимо только ввести данные. Программа, заложенная в калькуляторе, произведет последовательные вычисления и выдаст ответ. Вам будет доступен не только результат, но и выполненные для решения действия.

Используя сервис, разработанный специалистами компании Zaochnik, вы сможете решить свои учебные задания быстро, бесплатно и без ошибок.

Метод Крамера в калькуляторе помогает студентам самостоятельно разобрать алгоритм вычислений и впоследствии применять на практике. Учащиеся получают автоматизированное решение и сверяют с собственными действиями. Во время подготовки заданий легче найти ошибку в собственных расчетах. Также Zaochnik – это экстренная помощь на зачетах и экзаменах.

Рассмотрим несколько примеров решений СЛАУ с помощью онлайн-калькулятора

Онлайн-калькулятор позволяет находить решение СЛАУ, когда свободные члены, переменные и коэффициенты при них являются вещественными числами. Другими словами, калькулятор работает с целыми числами и дробями, а вот решение систем с комплексными коэффициентами ему не по зубам. Максимальное количество неизвестных в системе– 6.

Пример 1.

Возьмем простую систему уравнений с двумя неизвестными:

x1+2×2=113×1-x2=12

Для того, чтобы решить ее методом Крамера с помощью онлайн-калькулятора:

  1. Укажем количество неизвестных в системе:
  2. Впишите коэффициенты при переменных в соответствующие поля:
  3. Нажмите «Рассчитать»
    Калькулятор сам произведет все вычисления, а вы сможете не только получить ответ, но и ознакомиться подробным решением:


Пример 2.

Рассмотрим более сложную систему с большим количеством неизвестных:
2×1+10×2-3×3=38-3×1-24×2+5×3=-86×1+x2-5×3=27

По аналогии с первым примером, укажем количество неизвестных, введем в поля соответствующие коэффициенты, и нажмем «Рассчитать»:

Калькулятор выдаст ответ с ходом решения и промежуточными выкладками:






Заметьте, если вы вдруг введете неверные коэффициенты или запишите такую систему, которая не имеет решения, калькулятор выдаст соответствующее сообщение:

    Теоретические статьи из справочника, которые помогут вам лучше разобраться в теме:

    • Решение квадратных уравнений: формула корней, примеры
    • Уравнение и его корни: определения, примеры
    • Теорема Виета, формулы Виета
    • Нахождение неизвестного слагаемого, множителя: правила, примеры, решения
    • Квадратные неравенства, примеры, решения
    • Решение квадратных неравенств методом интервалов

    Ответ:

    Решение

    Ответ:

    • list» :key=»`error-${eIdx}`» v-html=»e»/>

    Похожие калькуляторы:

    • Решение квадратных уравнений
    • Решение систем линейных уравнений методом Гаусса
    • Решение систем линейных уравнений матричным методом
    • Решение систем линейных уравнений методом подстановки
    • Решение биквадратных уравнений

    Чтобы решить систему уравнений методом Крамера онлайн:

    • Установите необходимое число неизвестных величин.
    • В появившиеся поля введите имеющиеся данные.
    • Отправьте задачу на вычисление кнопкой «Рассчитать».
    • Формула, заложенная в сервисе, включает нахождение определителя матрицы системы. Если результат не равен 0, рассчитываются вспомогательные определители.

    Если способ решения все равно остался непонятен, обращайтесь к нам за индивидуальной поддержкой. Мы найдем для вас преподавателя из своего штата, который объяснит, как найти ответ к заданиям. У нас работают специалисты по всем предметам. Вы получите грамотную своевременную консультацию по необходимой теме недорого.

    Понравился калькулятор? Поделись с друзьями!

    Решение системы линейных уравнений методом Крамера

    Похожие презентации:

    Решение СЛАУ методом Крамера

    Решение систем линейных алгебраических уравнений по правилу Крамера, матричным методом, методом Гаусса

    Матрицы. Метод Гаусса. Формулы Крамера

    Решение систем линейных уравнений методом Крамера, методом Гаусса и матричным методом (вопросы)

    Системы линейных уравнений и методы их решения. (Тема 2)

    Системы линейных уравнений

    Метод решения системы трёх линейных уравнений с тремя неизвестными

    Методы решения системы трёх линейных уравнений с тремя неизвестными

    Системы линейных алгебраических уравнений. Метод обратной матрицы. Формулы Крамера

    Методы решения системы трёх линейных уравнений с тремя неизвестными

    Решение системы линейных уравнений методом Крамера
    Цель работы:
    -изучить решение систем линейных уравнений с помощью методом Крамера ;
    -научиться решать системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными и трех
    линейных уравнений с тремя неизвестными, используя метод Крамера.

    Системы линейных уравнений
    Уравнение называется линейным, если оно содержит переменные
    только в первой степени и не содержит произведений переменных.
    Система m линейных уравнений с n переменными:
    Числа
    называются коэффициентами при переменных, а
    свободными членами.
    Совокупность чисел
    называется решением системы линейных уравнений, если при
    подстановке их вместо переменных во все уравнения они обращаются в
    верные равенства.
    В школьном курсе рассматриваются способ подстановки и
    способ сложения.
    В курсе высшей математике решают методом Крамера ,методом
    Гаусса и с помощью обратной матрицы.
    Рассмотрим решение систем линейных уравнений методом Крамера
    Сведения из истории
    Крамер является одним из
    создателей линейной алгебры.
    Одной из самых известных его
    работ является «Введение в
    анализ алгебраических
    кривых», опубликованный на
    французском языке в 1750
    году. В ней Крамер строит
    систему линейных уравнений и
    решает её с помощью
    алгоритма, названного позже
    его именем – метод Крамера.
    Габриэль Крамер родился 31 июля 1704 года в Женеве
    (Швейцария) в семье врача. Уже в детстве он опережал своих
    сверстников в интеллектуальном развитии и демонстрировал
    завидные способности в области математики.
    В 18 лет он успешно защитил диссертацию. Через 2 года
    Крамер выставил свою кандидатуру на должность
    преподавателя в Женевском университете. Юноша так
    понравился магистрату, что специально для него и ещё
    одного одного кандидата на место преподавателя была
    учреждена отдельная кафедра математики, где Крамер и
    работал в последующие годы.
    Учёный много путешествовал по Европе, перенимая опыт у
    знаменитых математиков своего времени – Иоганна Бернулли и
    Эйлера в Базеле, Галлея и де Муавра в Лондоне, Мопертюи и
    Клеро в Париже и других. Со многими из них он продолжал
    переписываться всю жизнь.
    В 1729 году Крамер возобновляет преподавательскую работу в
    Женевском университете. В это время он участвует в конкурсе
    Парижской Академии и занимает второе место.
    Талантливый учёный написал множество статей на самые
    разные темы: геометрия, история, математика, философия. В
    1730 году он опубликовал труд по небесной механике.
    В 1740-е гг. Иоганн Бернулли поручает Крамеру подготовить
    к печати сборник своих работ. В 1742 году Крамер публикует
    сборник в 4-х томах. В 1744 году он выпускает посмертный
    сборник работ Якоба Бернулли (брата Иоганна Бернулли), а
    также двухтомник переписки Лейбница с Иоганном
    Бернулли.
    Эти работы вызвали большой интерес со стороны
    учёных всего мира.
    Габриэль Крамер скончался 4 января 1752 года во Франции
    Решение системы линейных уравнений методом Крамера
    Теорема Крамера. Если определитель системы отличен
    от нуля, то система линейных уравнений имеет одно
    единственное решение, причём неизвестное равно
    отношению определителей. В знаменателе –
    определитель системы, а в числителе – определитель,
    полученный из определителя системы путём замены
    коэффициентов при этом неизвестном свободными
    членами. Эта теорема имеет место для системы
    линейных уравнений любого порядка.
    Дана система
    Формулы Крамера
    ………….
    Заменяя столбец с коэффициентами соответствующей
    переменной свободными членами:
    Решение системы двух линейных уравнений с двумя
    неизвестными методом Крамера
    1)
    Ответ: (1;-1)
    2) Фирма состоит из двух отделений, суммарная величина прибыли которых в
    минувшем году составила 12 млн усл. ед. На этот год запланировано увеличение
    прибыли первого отделения на 70%, второго – на 40%. В результате суммарная
    прибыль должна вырасти в 1,5 раза. Какова величина прибыли каждого из
    отделений: a) в минувшем году; б) в этом году?
    Решение. Пусть x и y – прибыли первого и второго отделений в минувшем году.
    Тогда условие задачи можно записать в виде системы:
    Решив систему, получим x = 4, y = 8.
    Ответ: а) прибыль в минувшем году первого отделения — 4 млн усл. ед., второго
    — 8 усл.ед.
    б) прибыль в этом году первого отделения 1,7. 4 = 6,8 млн усл. ед.,
    второго 1,4. 8 = 11,2 млн усл. ед.
    При решении системы уравнений могут встретиться три случая:
    1) система линейных уравнений имеет единственное решение
    (система совместна и определённа)
    Условия:
    2) система линейных уравнений имеет бесчисленное множество
    решений
    (система совместна и неопределённа)
    Условия:
    т.е. коэффициенты при неизвестных и свободные члены пропорциональны
    3) система линейных уравнений решений не имеет
    (система несовместна)
    Условия:
    Система называется несовместной, если у неё нет ни одного
    решения, и совместной, если она имеет хотя бы одно решение.
    Совместная система уравнений, имеющая только одно решение,
    называется определённой, а более одного – неопределённой.
    Решение системы трех линейных уравнений с
    тремя двумя неизвестными методом Крамера
    Решение. Находим определители системы:
    Ответ: (1; 0; -1) .
    Решите системы:

    English     Русский Правила

    Метод Крамера. Примеры решения систем линейных алгебраических уравнений методом Крамера.

    Высшая математика » Системы линейных алгебраических уравнений » Метод Крамера

    Метод Крамера предназначен для решения тех систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), у которых определитель матрицы системы отличен от нуля. Естественно, при этом подразумевается, что матрица системы квадратна (понятие определителя существует только для квадратных матриц). Решение системы уравнений методом Крамера проходит за три шага простого алгоритма:

    1. Составить определитель матрицы системы (его называют также определителем системы), и убедиться, что он не равен нулю, т. е. $\Delta\neq 0$.
    2. Для каждой переменной $x_i$($i=\overline{1,n}$) необходимо составить определитель $\Delta_{x_i}$, полученный из определителя $\Delta$ заменой i-го столбца столбцом свободных членов заданной СЛАУ.
    3. Найти значения неизвестных по формуле $x_i=\frac{\Delta_{x_{i}}}{\Delta}$ ($i=\overline{1,n}$).

    Перед переходом к чтению примеров рекомендую ознакомиться с правилами вычисления определителей второго и третьего порядка, изложенными здесь.

    Пример №1

    Решить СЛАУ $\left\{\begin{aligned} & 3x_1+2x_2=-11;\\ & -x_1+5x_2=15. \end{aligned}\right.$ методом Крамера.

    Решение

    Матрица системы такова: $ A=\left( \begin{array} {cc} 3 & 2\\ -1 & 5 \end{array} \right)$. Определитель этой матрицы:

    $$\Delta=\left| \begin{array} {cc} 3 & 2\\ -1 & 5 \end{array}\right|=3\cdot 5-2\cdot(-1)=17.$$

    Как вычисляется определитель второго порядка можете глянуть здесь.

    Так как определитель системы не равен нулю, то продолжаем решение методом Крамера. Вычислим значения двух определителей: $\Delta_{x_1}$ и $\Delta_{x_2}$. Определитель $\Delta_{x_1}$ получаем из определителя $\Delta=\left| \begin{array} {cc} 3 & 2\\ -1 & 5 \end{array}\right|$ заменой первого столбца (именно этот столбец содержит коэффициенты при $x_1$) столбцом свободных членов $\left(\begin{array} {c} -11\\ 15\end{array}\right)$:

    $$ \Delta_{x_1}=\left|\begin{array}{cc}-11&2\\15&5\end{array}\right|=-55-30=-85. $$

    Аналогично, заменяя второй столбец в $\Delta=\left|\begin{array}{cc}3&2\\-1&5\end{array}\right|$ столбцом свободных членов, получим:

    $$ \Delta_{x_2}=\left|\begin{array} {cc} 3 & -11\\ -1 & 15\end{array}\right|=45-11=34. $$

    Теперь можно найти значения неизвестных $x_1$ и $x_2$.

    $$x_1=\frac{\Delta_{x_1}}{\Delta}=\frac{-85}{17}=-5;\;x_2=\frac{\Delta_{x_2}}{\Delta}=\frac{34}{17}=2.$$

    В принципе, можно ещё проверить, правильно ли решена система методом Крамера. Подставим в заданную СЛАУ $x_1=-5$, $x_2=2$:

    $$\left\{\begin{aligned} & 3x_1+2x_2=3\cdot(-5)+2\cdot{2}=-11;\\ & -x_1+5x_2=-(-5)+5\cdot{2}=15. \end{aligned}\right.$$

    Проверка пройдена, решение системы уравнений методом Крамера найдено верно. Осталось лишь записать ответ.

    Ответ: $x_1=-5$, $x_2=2$.

    Пример №2

    Решить СЛАУ $ \left\{\begin{aligned} & 2x_1+x_2-x_3=3;\\ & 3x_1+2x_2+2x_3=-7;\\ & x_1+x_3=-2. \end{aligned} \right.$, используя метод Крамера.

    Решение

    Определитель системы:

    $$\Delta=\left| \begin{array} {ccc} 2 & 1 & -1\\ 3 & 2 & 2 \\ 1 & 0 & 1 \end{array}\right|=4+2+2-3=5. $$

    Как вычисляется определитель третьего порядка можете глянуть здесь.

    Заменяя первый столбец в $\Delta$ столбцом свободных членов, получим $\Delta_{x_1}$:

    $$ \Delta_{x_1}=\left| \begin{array} {ccc} 3 & 1 & -1\\ -7 & 2 & 2 \\ -2 & 0 & 1 \end{array}\right|=6-4-4+7=5. $$

    Заменяя второй столбец в $\Delta$ столбцом свободных членов, получим $\Delta_{x_2}$:

    $$ \Delta_{x_2}=\left| \begin{array} {ccc} 2 & 3 & -1\\ 3 & -7 & 2 \\ 1 & -2 & 1 \end{array}\right|=-14+6+6-7-9+8=-10. $$

    Заменяя третий столбец в $\Delta$ столбцом свободных членов, получим $\Delta_{x_3}$:

    $$ \Delta_{x_3}=\left| \begin{array} {ccc} 2 & 1 & 3\\ 3 & 2 & -7 \\ 1 & 0 & -2 \end{array}\right|=-8-7-6+6=-15. $$

    Учитывая все вышеизложенное, имеем:

    $$ x_1=\frac{\Delta_{x_1}}{\Delta}=\frac{5}{5}=1;\; x_2=\frac{\Delta_{x_2}}{\Delta}=\frac{-10}{5}=-2; \; x_3=\frac{\Delta_{x_3}}{\Delta}=\frac{-15}{5}=-3. $$

    Метод Крамера завершён. Можно проверить, верно ли решена система уравнений методом Крамера, подставив значения $x_1=1$, $x_2=-2$ и $x_3=-3$ в заданную СЛАУ:

    $$\left\{\begin{aligned} & 2x_1+x_2-x_3=2\cdot{1}+(-2)-(-3)=3;\\ & 3x_1+2x_2+2x_3=3\cdot{1}+2\cdot(-2)+2\cdot(-3)=-7;\\ & x_1+x_3=1+(-3)=-2. \end{aligned} \right.$$

    Проверка пройдена, решение системы уравнений методом Крамера найдено верно.

    Ответ: $x_1=1$, $x_2=-2$, $x_3=-3$.

    Пример №3

    Решить СЛАУ $\left\{\begin{aligned} & 2x_1+3x_2-x_3=15;\\ & -9x_1-2x_2+5x_3=-7. \end{aligned}\right. $ используя метод Крамера.

    Решение

    Матрица системы $ \left( \begin{array} {ccc} 2 & 3 & -1\\ -9 & -2 & 5 \end{array} \right) $ не является квадратной. Однако это вовсе не означает, что решение системы уравнений методом Крамера невозможно. Преобразуем заданную СЛАУ, перенеся переменную $x_3$ в правые части уравнений:

    $$ \left \{ \begin{aligned} & 2x_1+3x_2=x_3+15;\\ & -9x_1-2x_2=-5x_3-7. \end{aligned} \right. $$

    Теперь матрица системы $ \left( \begin{array} {cc} 2 & 3 \\ -9 & -2 \end{array} \right) $ стала квадратной, и определитель её $\Delta=\left| \begin{array} {cc} 2 & 3\\ -9 & -2 \end{array}\right|=-4+27=23$ не равен нулю. Применим метод Крамера аналогично предыдущим примерам:

    $$ \begin{aligned} & \Delta_{x_1} =\left| \begin{array} {cc} x_3+15 & 3\\ -5x_3-7 & -2 \end{array}\right| =-2x_3-30-\left(-15x_3-21\right) =13x_3-9;\\ \\ & \Delta_{x_2} =\left| \begin{array} {cc} 2 & x_3+15\\ -9 & -5x_3-7 \end{array}\right| =-10x_3-14-\left(-9x_3-135\right) =-x_3+121. \end{aligned} $$ $$ x_1=\frac{\Delta_{x_1}}{\Delta}=\frac{13x_3-9}{23};\; x_2=\frac{\Delta_{x_2}}{\Delta}=\frac{-x_3+121}{23}. $$

    Ответ можно записать в таком виде: $\left\{\begin{aligned} & x_1=\frac{13x_3-9}{23};\\ & x_2=\frac{-x_3+121}{23};\\ & x_3\in R. \end{aligned}\right.$ Переменные $x_1$, $x_2$ – базисные (в иной терминологии – основные), а переменная $x_3$ – свободная (в иной терминологии – неосновная). Проверка, при необходимости, проводится так же, как и в предыдущих примерах.

    Примечание

    В подобных примерах возможна ситуация, когда после переноса переменной (или переменных) в правые части уравнений, определитель системы равняется нулю. В этом случае можно перенести в правую часть иную переменную (или переменные). Например, рассмотрим СЛАУ $\left\{\begin{aligned} & 2x_1-5x_2+10x_3=14;\\ & -4x_1+10x_2-7x_3=5. \end{aligned}\right.$. Если перенести в правые части уравнений $x_3$, получим: $ \left\{\begin{aligned} &2x_1-5x_2=-10x_3+14;\\ &-4x_1+10x_2=7x_3+5. \end{aligned}\right.$. Определитель данной системы $\Delta=\left| \begin{array} {cc} 2 & -5\\ -4 & 10 \end{array}\right|=20-20=0$. Однако если перенести в правые части уравнений переменную $x_2$, то получим систему $ \left\{\begin{aligned} &2x_1+10x_3=5x_2+14;\\ &-4x_1-7x_3=-10x_2+5. \end{aligned}\right.$, определитель которой $\Delta=\left| \begin{array} {cc} 2 & 10\\ -4 & -7 \end{array}\right|=-14+40=26$ не равен нулю. Дальнейшее решение аналогично рассмотренному в примере №3.

    Пример №4

    Решить СЛАУ

    $$\left\{\begin{aligned} &x_1-5x_2-x_3-2x_4+3x_5=0;\\ &2x_1-6x_2+x_3-4x_4-2x_5=0; \\ &-x_1+4x_2+5x_3-3x_4=0. \end{aligned}\right.$$

    методом Крамера.

    Решение

    Матрица системы $\left(\begin{array} {ccccc} 1 & -5 & -1 & -2 & 3 \\ 2 & -6 & 1 & -4 & -2 \\ -1 & 4 & 5 & -3 & 0 \end{array}\right)$ не является квадратной. Преобразуем заданную СЛАУ, перенеся переменные $x_4$, $x_5$ в правые части уравнений, и применим метод Крамера:

    $$ \left\{\begin{aligned} & x_1-5x_2-x_3=2x_4-3x_5;\\ & 2x_1-6x_2+x_3=4x_4+2x_5; \\ & -x_1+4x_2+5x_3=3x_4. \end{aligned}\right.$$ $$ \begin{aligned} & \Delta =\left| \begin{array} {ccc} 1 & -5 & -1\\ 2 & -6 & 1\\-1 & 4 & 5 \end{array}\right| =19;\\ \\ & \Delta_{x_1} =\left| \begin{array} {ccc} 2x_4-3x_5 & -5 & -1\\ 4x_4+2x_5 & -6 & 1\\3x_4 & 4 & 5 \end{array}\right| =-17x_4+144x_5;\\ \\ & \Delta_{x_2} =\left| \begin{array} {ccc} 1 & 2x_4-3x_5 & -1\\ 2 & 4x_4+2x_5 & 1\\-1 & 3x_4 & 5 \end{array}\right| =-15x_4+41x_5;\\ \\ & \Delta_{x_3} =\left| \begin{array} {ccc} 1 & -5 & 2x_4-3x_5\\ 2 & -6 & 4x_4+2x_5\\-1 & 4 & 3x_4 \end{array}\right| =20x_4-4x_5. \end{aligned} $$

    Ответ таков: $\left\{\begin{aligned} & x_1=\frac{-17x_4+144x_5}{19};\\ & x_2=\frac{-15x_4+41x_5}{19};\\ & x_3=\frac{20x_4-4x_5}{19}; \\ & x_4\in R; \; x_5\in R. \end{aligned}\right.$ Переменные $x_1$, $x_2$, $x_3$ – базисные, переменные $x_4$, $x_5$ – свободные.

    Естественно, что применение метода Крамера в случаях вроде того, что рассмотрен в примере №4, не всегда оправдано с точки зрения временных затрат. Мы ведь не можем гарантировать, что после переноса каких-либо переменных в правые части уравнений, определитель системы не будет равен нулю. А перебирать различные варианты – слишком долгий процесс. Гораздо удобнее в таком случае применить метод Гаусса. Я привёл пример №4 лишь с одной целью – показать, что метод Крамера применим вне зависимости от содержимого правых частей уравнений заданной СЛАУ (числа, переменные, функции – не имеет значения). Главное, чтобы определитель матрицы системы был отличен от нуля.

    Вернуться к списку тем

    Задать вопрос на форуме

    Записаться на занятия

    Онлайн-занятия по высшей математике

    Решение системы по формулам Крамера

    Заглавная страница
    Избранные статьи
    Случайная статья
    Познавательные статьи
    Новые добавления
    Обратная связь

    КАТЕГОРИИ:

    Археология
    Биология
    Генетика
    География
    Информатика
    История
    Логика
    Маркетинг
    Математика
    Менеджмент
    Механика
    Педагогика
    Религия
    Социология
    Технологии
    Физика
    Философия
    Финансы
    Химия
    Экология

    ТОП 10 на сайте

    Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации

    Техника нижней прямой подачи мяча.

    Франко-прусская война (причины и последствия)

    Организация работы процедурного кабинета

    Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний

    Коммуникативные барьеры и пути их преодоления

    Обработка изделий медицинского назначения многократного применения

    Образцы текста публицистического стиля

    Четыре типа изменения баланса

    Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву



    Мы поможем в написании ваших работ!

    ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?

    Влияние общества на человека

    Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации

    Практические работы по географии для 6 класса

    Организация работы процедурного кабинета

    Изменения в неживой природе осенью

    Уборка процедурного кабинета

    Сольфеджио. Все правила по сольфеджио

    Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления

    ⇐ ПредыдущаяСтр 2 из 18Следующая ⇒

    Для того чтобы освоить данный параграф Вы должны уметь раскрывать определители «два на два» и «три на три». Если с определителями плохо, пожалуйста, изучите урок Как вычислить определитель?

    Сначала мы подробно рассмотрим правило Крамера для системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными. Зачем? – Ведь простейшую систему можно решить школьным методом, методом почленного сложения!

    Дело в том, что пусть иногда, но встречается такое задание – решить систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными по формулам Крамера. Во-вторых, более простой пример поможет понять, как использовать правило Крамера для более сложного случая – системы трех уравнений с тремя неизвестными.

    Кроме того, существуют системы линейных уравнений с двумя переменными, которые целесообразно решать именно по правилу Крамера!

    Рассмотрим систему уравнений

    На первом шаге вычислим определитель , его называют главным определителем системы.

    Если , то система имеет бесконечно много решений или несовместна (не имеет решений). В этом случае правило Крамера не поможет, нужно использовать метод Гаусса.

    Если , то система имеет единственное решение, и для нахождения корней мы должны вычислить еще два определителя:
    и


    На практике вышеуказанные определители также могут обозначаться латинской буквой .

    Корни уравнения находим по формулам:
    ,

    Пример 7

    Решить систему линейных уравнений

    Решение: Мы видим, что коэффициенты уравнения достаточно велики, в правой части присутствуют десятичные дроби с запятой. Запятая – довольно редкий гость в практических заданиях по математике, эту систему я взял из эконометрической задачи.

    Как решить такую систему? Можно попытаться выразить одну переменную через другую, но в этом случае наверняка получатся страшные навороченные дроби, с которыми крайне неудобно работать, да и оформление решения будет выглядеть просто ужасно. Можно умножить второе уравнение на 6 и провести почленное вычитание, но и здесь возникнут те же самые дроби.

    Что делать? В подобных случаях и приходят на помощь формулы Крамера.

    , значит, система имеет единственное решение.

    ;

    ;

    Ответ: ,

    Оба корня обладают бесконечными хвостами, и найдены приближенно, что вполне приемлемо (и даже обыденно) для задач эконометрики.

    Комментарии здесь не нужны, поскольку задание решается по готовым формулам, однако, есть один нюанс. Когда используете данный метод, обязательнымфрагментом оформления задания является следующий фрагмент: « , значит, система имеет единственное решение». В противном случае рецензент может Вас наказать за неуважение к теореме Крамера.

    Совсем не лишней будет проверка, которую удобно провести на калькуляторе: подставляем приближенные значения в левую часть каждого уравнения системы. В результате с небольшой погрешностью должны получиться числа, которые находятся в правых частях.

    Пример 8

    Решить систему по формулам Крамера. Ответ представить в обыкновенных неправильных дробях. Сделать проверку.

    Это пример для самостоятельного решения (пример чистового оформления и ответ в конце урока).

    Переходим к рассмотрению правила Крамера для системы трех уравнений с тремя неизвестными:

    Находим главный определитель системы:

    Если , то система имеет бесконечно много решений или несовместна (не имеет решений). В этом случае правило Крамера не поможет, нужно использовать метод Гаусса.

    Если , то система имеет единственное решение и для нахождения корней мы должны вычислить еще три определителя:
    , ,

    И, наконец, ответ рассчитывается по формулам:

    Как видите, случай «три на три» принципиально ничем не отличается от случая «два на два», столбец свободных членов последовательно «прогуливается» слева направо по столбцам главного определителя.

    Пример 9

    Решить систему по формулам Крамера.

    Решение: Решим систему по формулам Крамера.

    , значит, система имеет единственное решение.

    Ответ: .

    Собственно, здесь опять комментировать особо нечего, ввиду того, что решение проходит по готовым формулам. Но есть пара замечаний.

    Бывает так, что в результате вычислений получаются «плохие» несократимые дроби, например: .
    Я рекомендую следующий алгоритм «лечения». Если под рукой нет компьютера, поступаем так:

    1) Возможно, допущена ошибка в вычислениях. Как только Вы столкнулись с «плохой» дробью, сразу необходимо проверить, правильно ли переписано условие. Если условие переписано без ошибок, то нужно пересчитать определители, используя разложение по другой строке (столбцу).

    2) Если в результате проверки ошибок не выявлено, то вероятнее всего, допущена опечатка в условии задания. В этом случае спокойно и ВНИМАТЕЛЬНО прорешиваем задание до конца, а затем обязательно делаем проверку и оформляем ее на чистовике после решения. Конечно, проверка дробного ответа – занятие неприятное, но зато будет обезоруживающий аргумент для преподавателя, который ну очень любит ставить минус за всякую бяку вроде . Как управляться с дробями, подробно расписано в ответе для Примера 8.

    Если под рукой есть компьютер, то для проверки используйте автоматизированную программу, которую можно бесплатно скачать в самом начале урока. Кстати, выгоднее всего сразу воспользоваться программой (еще до начала решения), Вы сразу будете видеть промежуточный шаг, на котором допустили ошибку! Этот же калькулятор автоматически рассчитывает решение системы матричным методом.

    Замечание второе. Время от времени встречаются системы в уравнениях которых отсутствуют некоторые переменные, например:

    Здесь в первом уравнении отсутствует переменная , во втором – переменная . В таких случаях очень важно правильно и ВНИМАТЕЛЬНО записать главный определитель:
    – на месте отсутствующих переменных ставятся нули.
    Кстати определители с нулями рационально раскрывать по той строке (столбцу), в которой находится ноль, так как вычислений получается заметно меньше.

    Пример 10

    Решить систему по формулам Крамера.

    Это пример для самостоятельного решения (образец чистового оформления и ответ в конце урока).

    Для случая системы 4 уравнений с 4 неизвестными формулы Крамера записываются по аналогичным принципам. Живой пример можно посмотреть на уроке Свойства определителя. Понижение порядка определителя – пять определителей 4-го порядка вполне решабельны. Хотя задача уже весьма напоминает ботинок профессора на груди у студента-счастливчика.

     

    ⇐ Предыдущая12345678910Следующая ⇒



    Читайте также:

    

    Техника нижней прямой подачи мяча

    Комплекс физических упражнений для развития мышц плечевого пояса

    Стандарт Порядок надевания противочумного костюма

    Общеразвивающие упражнения без предметов

    

    Последнее изменение этой страницы: 2016-12-14; просмотров: 346; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы!

    infopedia. su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь — 176.9.44.166 (0.011 с.)

    Метод Крамера

    Используй поиск, чтобы найти научные материалы и собрать список литературы

    База статей справочника включает в себя статьи написанные экспертами Автор24, статьи из научных журналов и примеры студенческих работ из различных вузов страны

    Содержание статьи

    1. В чем заключается метод Крамера

    2. Приёмы для вычисления определителя матрицы

    3. Решение систем уравнений методом Крамера

    Метод Крамера или так называемое правило Крамера – это способ поиска неизвестных величин из систем уравнений. Его можно использовать только если число искомых значений эквивалентно количеству алгебраических уравнений в системе, то есть образуемая из системы основная матрица должна быть квадратной и не содержать нулевых строчек, а также если её детерминант не должен являться нулевым.

    Теорема 1

    Теорема Крамера Если главный определитель $D$ основной матрицы, составленной на основе коэффициентов уравнений, не равен нулю, то система уравнений совместна, причём решение у неё существует единственное. Решение такой системы вычисляется через так называемые формулы Крамера для решения систем линейных уравнений: $x_i = \frac{D_i}{D}$

    В чем заключается метод Крамера

    Суть метода Крамера в следующем:

    1. Чтобы найти решение системы методом Крамера, первым делом вычисляем главный определитель матрицы $D$. Когда вычисленный детерминант основной матрицы при подсчёте методом Крамера оказался равен нулю, то система не имеет ни одного решения или имеет нескончаемое количество решений. В этом случае для нахождения общего или какого-либо базисного ответа для системы рекомендуется применить метод Гаусса.
    2. Затем нужно заменить крайний столбец главной матрицы на столбец свободных членов и высчитать определитель $D_1$.
    3. Повторить то же самое для всех столбцов, получив определители от $D_1$ до $D_n$, где $n$ — номер крайнего справа столбца.
    4. После того как найдены все детерминанты $D_1$…$D_n$, можно высчитать неизвестные переменные по формуле $x_i = \frac{D_i}{D}$.

    Приёмы для вычисления определителя матрицы

    Для вычисления определителя матрицы с размерностью больше чем 2 на 2, можно использовать несколько способов:

    • Правило треугольников, или правило Саррюса, напоминающее это же правило. Суть метода треугольников в том, что при вычислении определителя произведения всех чисел, соединённых на рисунке красной линией справа, записываются со знаком плюс, а все числа, соединённые аналогичным образом на рисунке слева – со знаком минус. B то, и другое правило подходит для матриц размером 3 х 3. В случае же правила Саррюса сначала переписывается сама матрица, а рядом с ней рядом переписываются ещё раз её первый и второй столбец. Через матрицу и эти дополнительные столбцы проводятся диагонали, члены матрицы, лежащие на главной диагонали или на параллельной ей записываются со знаком плюс, а элементы, лежащие на побочной диагонали или параллельно ей — со знаком минус.

    Рисунок 1. Правило треугольников для вычисления определителя для метода Крамера

    • С помощью метода, известного как метод Гаусса, также иногда этот метод называют понижением порядка определителя. В этом случае матрица преобразуется и приводится к треугольному виду, а затем перемножаются все числа, стоящие на главной диагонали. Следует помнить, что при таком поиске определителя нельзя домножать или делить строчки или столбцы на числа без вынесения их как множителя или делителя. В случае поиска определителя возможно только вычитать и складывать строки и столбы между собой, предварительно помножив вычитаемую строку на ненулевой множитель. Также при каждой перестановке строчек или столбцов матрицы местами следует помнить о необходимости смены конечного знака у матрицы.
    • При решении методом Крамера СЛАУ с 4 неизвестными, лучше всего будет применять именно метод Гаусса для поиска и нахождения определителей или опредлять детерминант через поиск миноров.

    Решение систем уравнений методом Крамера

    Применим метод Крамера для системы из 2 уравнений и двумя искомыми величинами:

    $\begin{cases} a_1x_1 + a_2x_2 = b_1 \\ a_3x_1 + a_4x_2 = b_2 \\ \end{cases}$

    Отобразим её в расширенной форме для удобства:

    $A = \begin{array}{cc|c} a_1 & a_2 & b_1 \\ a_3 & a_4 & b_1 \\ \end{array}$

    Найдём определитель основной матрицы, также называемый главным определителем системы:

    $D = \begin{array}{|cc|} a_1 & a_2 \\ a_3 & a_4 \\ \end{array} = a_1 \cdot a_4 – a_3 \cdot a_2$

    Если главный определитель не равен нулю, то для решения слау методом Крамера необходимо высчитать ещё парочку определителей от двух матриц с заменёнными столбцами основной матрицы на строчку свободных членов:

    $D_1 = \begin{array}{|cc|} b_1 & a_2 \\ b_2 & a_4 \\ \end{array} = b_1 \cdot a_4 – b_2 \cdot a_4$

    $D_2 = \begin{array}{|cc|} a_1 & b_1 \\ a_3 & b_2 \\ \end{array} = a_1 \cdot b_2 – a_3 \cdot b_1$

    Теперь найдём неизвестные $x_1$ и $x_2$:

    $x_1 = \frac {D_1}{D}$

    $x_2 = \frac {D_2}{D}$

    Пример 1

    Метод Крамера для решения СЛАУ с основной матрицей 3 порядка (3 x 3) и тремя искомыми.

    Решите систему уравнений:

    $\begin{cases} 3x_1 – 2x_2 + 4x_3 = 21 \\ 3x_1 +4x_2 + 2x_3 = 9\\ 2x_1 – x_2 — x_3 = 10 \\ \end{cases}$

    Сосчитаем главный детерминант матрицы пользуясь вышеизложенным под пунктом номер 1 правилом:

    $D = \begin{array}{|ccc|} 3 & -2 & 4 \\3 & 4 & -2 \\ 2 & -1 & 1 \\ \end{array} = 3 \cdot 4 \cdot (-1) + 2 \cdot (-2) \cdot 2 + 4 \cdot 3 \cdot (-1) – 4 \cdot 4 \cdot 2 – 3 \cdot (-2) \cdot (-1) — (-1) \cdot 2 \cdot 3 = — 12 – 8 -12 -32 – 6 + 6 = — 64$

    А теперь три других детерминанта:

    $D_1 = \begin{array}{|ccc|} 21 & 2 & 4 \\ 9 & 4 & 2 \\ 10 & 1 & 1 \\ \end{array} = 21 \cdot 4 \cdot 1 + (-2) \cdot 2 \cdot 10 + 9 \cdot (-1) \cdot 4 – 4 \cdot 4 \cdot 10 – 9 \cdot (-2) \cdot (-1) — (-1) \cdot 2 \cdot 21 = — 84 – 40 – 36 – 160 – 18 + 42 = — 296$

    $D_2 = \begin{array}{|ccc|} 3 & 21 & 4 \\3 & 9 & 2 \\ 2 & 10 & 1 \\ \end{array} = 3 \cdot 9 \cdot (- 1) + 3 \cdot 10 \cdot 4 + 21 \cdot 2 \cdot 2 – 4 \cdot 9 \cdot 2 – 21 \cdot 3 \cdot (-1) – 2 \cdot 10 \cdot 3 = — 27 + 120 + 84 – 72 + 63 – 60 = 108$

    $D_3 = \begin{array}{|ccc|} 3 & -2 & 21 \\ 3 & 4 & 9 \\ 2 & 1 & 10 \\ \end{array} = 3 \cdot 4 \cdot 10 + 3 \cdot (-1) \cdot 21 + (-2) \cdot 9 \cdot 2 – 21 \cdot 4 \cdot 2 — (-2) \cdot 3 \cdot 10 — (-1) \cdot 9 \cdot 3 = 120 – 63 – 36 – 168 + 60 + 27 = — 60$

    Найдём искомые величины:

    $x_1 = \frac{D_1} {D} = \frac{- 296}{-64} = 4 \frac{5}{8}$

    $x_2 = \frac{D_1} {D} = \frac{108} {-64} = — 1 \frac {11} {16}$

    $x_3 = \frac{D_1} {D} = \frac{-60} {-64} = \frac {15} {16}$

    Сообщество экспертов Автор24

    Автор этой статьи Дата последнего обновления статьи: 16. 12.2021

    Выполнение любых типов работ по математике

    Решение задач по комбинаторике на заказ Решение задачи Коши онлайн Математика для заочников Контрольная работа на тему числовые неравенства и их свойства Контрольная работа на тему умножение и деление рациональных чисел Контрольная работа на тему действия с рациональными числами Дипломная работа на тему числа Курсовая работа на тему дифференциальные уравнения Контрольная работа на тему приближенные вычисления Решение задач с инвариантами

    Подбор готовых материалов по теме

    Дипломные работы Курсовые работы Выпускные квалификационные работы Рефераты Сочинения Доклады Эссе Отчеты по практике Решения задач Контрольные работы

    Решение матрицы методом крамера для чайников.

    Правило Крамера

    Пусть система линейных уравнений содержит столько уравнений, каково количество независимых переменных, т.е. имеет вид

    Такие системы линейных уравнений называются квадратными. Определитель, составленный из коэффициентов при независимых переменных системы (1.5), называется главным определителем системы. Мы будем обозначать его греческой буквой D. Таким образом,

    Если в главном определителе произвольный (j -ый) столбец, заменить столбцом свободных членов системы (1.5), то можно получить еще n вспомогательных определителей:

    (j = 1, 2, …, n ). (1.7)

    Правило Крамера решения квадратных систем линейных уравнений заключается в следующем. Если главный определитель D системы (1.5) отличен от нуля, то система имеет и притом единственное решение, которое можно найти по формулам:

    Пример 1.5. Методом Крамера решить систему уравнений

    Вычислим главный определитель системы:

    Так как D¹0, то система имеет единственное решение, которое можно найти по формулам (1. 8):

    Таким образом,

    Действия над матрицами

    1. Умножение матрицы на число. Операция умножения матрицы на число определяется следующим образом.

    2. Для того чтобы умножить матрицу на число, нужно все ее элементы умножить на это число. То есть

    Пример 1.6. .

    Сложение матриц.

    Данная операция вводится только для матриц одного и того же порядка.

    Для того чтобы сложить две матрицы, необходимо к элементам одной матрицы прибавить соответствующие элементы другой матрицы:

    (1.10)
    Операция сложения матриц обладает свойствами ассоциативности и коммутативности.

    Пример 1.7. .

    Умножение матриц.

    Если число столбцов матрицы А совпадает с числом строк матрицы В , то для таких матриц вводится операция умножения:

    Таким образом, при умножении матрицы А размерности m ´n на матрицу В размерности n ´k мы получаем матрицу С размерности m ´k . При этом элементы матрицы С вычисляются по следующим формулам:

    Задача 1.8. Найти, если это возможно, произведение матриц AB и BA :

    Решение. 1) Для того чтобы найти произведение AB , необходимо строки матрицы A умножить на столбцы матрицы B :

    2) Произведение BA не существует, т. к. количество столбцов матрицы B не совпадает с количеством строк матрицы A .

    Обратная матрица. Решение систем линейных уравнений матричным способом

    Матрица A — 1 называется обратной к квадратной матрице А , если выполнено равенство:

    где через I обозначается единичная матрица того же порядка, что и матрица А :

    Для того чтобы квадратная матрица имела обратную необходимо и достаточно, чтобы ее определитель был отличен от нуля. Обратную матрицу находят по формуле:

    где A ij — алгебраические дополнения к элементам a ij матрицы А (заметим, что алгебраические дополнения к строкам матрицы А располагаются в обратной матрице в виде соответствующих столбцов).

    Пример 1.9. Найти обратную матрицу A — 1 к матрице

    Обратную матрицу найдем по формуле (1.13), которая для случая n = 3 имеет вид:

    Найдем det A = | A | = 1 × 3 × 8 + 2 × 5 × 3 + 2 × 4 × 3 — 3 × 3 × 3 — 1 × 5 × 4 — 2 × 2 × 8 = 24 + 30 + 24 — 27 — 20 — 32 = — 1. Так как определитель исходной матрицы отличен от нуля, то обратная матрица существует.

    1) Найдем алгебраические дополнения A ij :

    Для удобства нахождения обратной матрицы, алгебраические дополнения к строкам исходной матрицы мы расположили в соответствующие столбцы.

    Из полученных алгебраических дополнений составим новую матрицу и разделим ее на определитель det A . Таким образом, мы получим обратную матрицу:

    Квадратные системы линейных уравнений с отличным от нуля главным определителем можно решать с помощью обратной матрицы. Для этого систему (1.5) записывают в матричном виде:

    Умножая обе части равенства (1.14) слева на A — 1 , мы получим решение системы:

    Таким образом, для того чтобы найти решение квадратной системы, нужно найти обратную матрицу к основной матрице системы и умножить ее справа на матрицу-столбец свободных членов.

    Задача 1.10. Решить систему линейных уравнений

    с помощью обратной матрицы.

    Решение. Запишем систему в матричном виде: ,

    где — основная матрица системы, — столбец неизвестных и — столбец свободных членов. Так как главный определитель системы , то основная матрица системы А имеет обратную матрицу А -1 . Для нахождения обратной матрицы А -1 , вычислим алгебраические дополнения ко всем элементам матрицы А :

    Из полученных чисел составим матрицу (причем алгебраические дополнения к строкам матрицы А запишем в соответствующие столбцы) и разделим ее на определитель D. Таким образом, мы нашли обратную матрицу:

    Решение системы находим по формуле (1.15):

    Таким образом,

    Решение систем линейных уравнений методом обыкновенных жордановых исключений

    Пусть дана произвольная (не обязательно квадратная) система линейных уравнений:

    Требуется найти решение системы, т.е. такой набор переменных , который удовлетворяет всем равенствам системы (1. 16). В общем случае система (1.16) может иметь не только одно решение, но и бесчисленное множество решений. Она может так же вообще не иметь решений.

    При решении подобных задач используется хорошо известный из школьного курса метод исключения неизвестных, который еще называется методом обыкновенных жордановых исключений. Суть данного метода заключается в том, что в одном из уравнений системы (1.16) одна из переменных выражается через другие переменные. Затем эта переменная подставляется в другие уравнения системы. В результате получается система, содержащая на одно уравнение и на одну переменную меньше, чем исходная система. Уравнение, из которого выражалась переменная, запоминается.

    Этот процесс повторяется до тех пор, пока в системе не останется одно последнее уравнение. В процессе исключения неизвестных некоторые уравнения могут превратиться в верные тождества, например . Такие уравнения из системы исключаются, так как они выполняются при любых значениях переменных и, следовательно, не оказывают влияния на решение системы. Если в процессе исключения неизвестных хотя бы одно уравнение становится равенством, которое не может выполняться ни при каких значениях переменных (например ), то мы делаем вывод, что система не имеет решения.

    Если в ходе решения противоречивых уравнений не возникло, то из последнего уравнения находится одна из оставшихся в нем переменных. Если в последнем уравнении осталась только одна переменная, то она выражается числом. Если в последнем уравнении остаются еще и другие переменные, то они считаются параметрами, и выраженная через них переменная будет функцией этих параметров. Затем совершается так называемый «обратный ход». Найденную переменную подставляют в последнее запомненное уравнение и находят вторую переменную. Затем две найденные переменные подставляют в предпоследнее запомненное уравнение и находят третью переменную, и так далее, вплоть до первого запомненного уравнения.

    В результате мы получаем решение системы. Данное решение будет являться единственным, если найденные переменные будут числами. Если же первая найденная переменная, а затем и все остальные будут зависеть от параметров, то система будет иметь бесчисленное множество решений (каждому набору параметров соответствует новое решение). Формулы, позволяющие найти решение системы в зависимости от того или иного набора параметров, называются общим решением системы.

    Пример 1.11.

    x

    После запоминания первого уравнения и приведения подобных членов во втором и третьем уравнении мы приходим к системе:

    Выразим y из второго уравнения и подставим его в первое уравнение:

    Запомним второе уравнение, а из первого найдем z :

    Совершая обратный ход, последовательно найдем y и z . Для этого сначала подставим в последнее запомненное уравнение , откуда найдем y :

    Затем подставим и в первое запомненное уравнение , откуда найдем x :

    Задача 1.12. Решить систему линейных уравнений методом исключения неизвестных:

    Решение. Выразим из первого уравнения переменную x и подставим ее во второе и третье уравнения:

    В данной системе первое и второе уравнения противоречат друг другу. Действительно, выражая y из первого уравнения и подставляя его во второе уравнение , получим, что 14 = 17. Данное равенство не выполняется, ни при каких значениях переменных x , y , и z . Следовательно, система (1.17) несовместна, т.е. не имеет решения.

    Читателям предлагаем самостоятельно проверить, что главный определитель исходной системы (1.17) равен нулю.

    Рассмотрим систему, отличающуюся от системы (1.17) всего лишь одним свободным членом.

    Задача 1.13. Решить систему линейных уравнений методом исключения неизвестных:

    Решение. Как и прежде, выразим из первого уравнения переменную x и подставим ее во второе и третье уравнения:

    Запомним первое уравнение и приведем подобные члены во втором и третьем уравнении. Мы приходим к системе:

    Выражая y из первого уравнения и подставляя его во второе уравнение , мы получим тождество 14 = 14, которое не влияет на решение системы, и, следовательно, его можно из системы исключить.

    В последнем запомненном равенстве переменную z будем считать параметром. Полагаем . Тогда

    Подставим y и z в первое запомненное равенство и найдем x :

    Таким образом, система (1.18) имеет бесчисленное множество решений, причем любое решение можно найти по формулам (1.19), выбирая произвольное значение параметра t :

    (1.19)
    Так решениями системы, например, являются следующие наборы переменных (1; 2; 0), (2; 26; 14) и т. д. Формулы (1.19) выражают общее (любое) решение системы (1.18).

    В том случае, когда исходная система (1.16) имеет достаточно большое количество уравнений и неизвестных, указанный метод обыкновенных жордановых исключений представляется громоздким. Однако это не так. Достаточно вывести алгоритм пересчета коэффициентов системы при одном шаге в общем виде и оформить решение задачи в виде специальных жордановых таблиц.

    Пусть дана система линейных форм (уравнений):

    , (1.20)
    где x j — независимые (искомые) переменные, a ij — постоянные коэффициенты
    (i = 1, 2,…, m ; j = 1, 2,…, n ). Правые части системы y i (i = 1, 2,…, m ) могут быть как переменными (зависимыми), так и константами. Требуется найти решений данной системы методом исключения неизвестных.

    Рассмотрим следующую операцию, называемую в дальнейшем «одним шагом обыкновенных жордановых исключений». Из произвольного (r -го) равенства выразим произвольную переменную (x s ) и подставим во все остальные равенства. Разумеется, это возможно только в том случае, когда a rs ¹ 0. Коэффициент a rs называется разрешающим (иногда направляющим или главным) элементом.

    Мы получим следующую систему:

    Из s -го равенства системы (1.21) мы впоследствии найдем переменную x s (после того, как будут найдены остальные переменные). S -я строка запоминается и в дальнейшем из системы исключается. Оставшаяся система будет содержать на одно уравнение и на одну независимую переменную меньше, чем исходная система.

    Вычислим коэффициенты полученной системы (1. 21) через коэффициенты исходной системы (1.20). Начнем с r -го уравнения, которое после выражения переменной x s через остальные переменные будет выглядеть следующим образом:

    Таким образом, новые коэффициенты r -го уравнения вычисляются по следующим формулам:

    (1.23)
    Вычислим теперь новые коэффициенты b ij (i ¹ r ) произвольного уравнения. Для этого подставим выраженную в (1.22) переменную x s в i -е уравнение системы (1.20):

    После приведения подобных членов, получим:

    (1.24)
    Из равенства (1.24) получим формулы, по которым вычисляются остальные коэффициенты системы (1.21) (за исключением r -го уравнения):

    (1.25)
    Преобразование систем линейных уравнений методом обыкновенных жордановых исключений оформляется в виде таблиц (матриц). Эти таблицы получили название «жордановых».

    Так, задаче (1.20) ставится в соответствие следующая жорданова таблица:

    Таблица 1. 1

    x 1x 2x j x s x n
    y 1 =a 11a 12a 1j a 1s a 1n
    …………………………………………………………………..
    y i =a i 1a i 2a ij a is a in
    …………………………………………………………………..
    y r =a r 1a r 2a rj a rsa rn
    ………………………………………………………………….
    y n =a m 1a m 2a mj a ms a mn

    Жорданова таблица 1. 1 содержит левый заглавный столбец, в который записывают правые части системы (1.20) и верхнюю заглавную строку, в которую записывают независимые переменные.

    Остальные элементы таблицы образуют основную матрицу коэффициентов системы (1.20). Если умножить матрицу А на матрицу , состоящую из элементов верхней заглавной строки, то получится матрица , состоящая из элементов левого заглавного столбца. То есть, по существу, жорданова таблица это матричная форма записи системы линейных уравнений: . Системе (1.21) при этом соответствует следующая жорданова таблица:

    Таблица 1.2

    x 1x 2x j y r x n
    y 1 =b 11b 12b 1 j b 1 s b 1 n
    …………………………………………………………………. .
    y i = b i 1b i 2b ij b is b in
    …………………………………………………………………..
    x s = b r 1b r 2b rj b rs b rn
    ………………………………………………………………….
    y n = b m 1b m 2b mj b ms b mn

    Разрешающий элемент a rs мы будем выделять жирным шрифтом. Напомним, что для осуществления одного шага жордановых исключений разрешающий элемент должен быть отличен от нуля. Строку таблицы, содержащую разрешающий элемент, называют разрешающей строкой. Столбец, содержащий разрешающий элемент, называют разрешающим столбцом. При переходе от данной таблицы к следующей таблице одна переменная (x s ) из верней заглавной строки таблицы перемещается в левый заглавный столбец и, наоборот, один из свободных членов системы (y r ) из левого заглавного столбца таблицы перемещается в верхнюю заглавную строку.

    Опишем алгоритм пересчета коэффициентов при переходе от жордановой таблицы (1.1) к таблице (1.2), вытекающий из формул (1.23) и (1.25).

    1. Разрешающий элемент заменяется обратным числом:

    2. Остальные элементы разрешающей строки делятся на разрешающий элемент и изменяют знак на противоположный:

    3. Остальные элементы разрешающего столбца делятся на разрешающий элемент:

    4. Элементы, не попавшие в разрешающую строку и разрешающий столбец, пересчитываются по формулам:

    Последняя формула легко запоминается, если заметить, что элементы, составляющие дробь , находятся на пересечении i -ой и r -ой строк и j -го и s -го столбцов (разрешающей строки, разрешающего столбца и той строки и столбца, на пересечении которых находится пересчитываемый элемент). Точнее, при запоминании формулы можно использовать следующую диаграмму:

    -21-26-13-37

    Совершая первый шаг жордановых исключений, в качестве разрешающего элемента можно выбрать любой элемент таблицы 1.3, расположенный в столбцах x 1 ,…, x 5 (все указанные элементы не равны нулю). Не следует только выбирать разрешающий элемент в последнем столбце, т.к. требуется находить независимые переменные x 1 ,…, x 5 . Выбираем, например, коэффициент 1 при переменной x 3 в третьей строке таблицы 1.3 (разрешающий элемент показан жирным шрифтом). При переходе к таблице 1.4 переменная x 3 из верхней заглавной строки меняется местами с константой 0 левого заглавного столбца (третья строка). При этом переменная x 3 выражается через остальные переменные.

    Строку x 3 (табл.1.4) можно, предварительно запомнив, исключить из таблицы 1.4. Из таблицы 1.4 исключается так же третий столбец с нулем в верхней заглавной строке. Дело в том, что независимо от коэффициентов данного столбца b i 3 все соответствующие ему слагаемые каждого уравнения 0·b i 3 системы будут равны нулю. Поэтому указанные коэффициенты можно не вычислять. Исключив одну переменную x 3 и запомнив одно из уравнений, мы приходим к системе, соответствующей таблице 1.4 (с вычеркнутой строкой x 3). Выбирая в таблице 1.4 в качестве разрешающего элемента b 14 = -5, переходим к таблице 1.5. В таблице 1.5 запоминаем первую строку и исключаем ее из таблицы вместе с четвертым столбцом (с нулем наверху).

    Таблица 1.5 Таблица 1.6

    Из последней таблицы 1.7 находим: x 1 = — 3 + 2x 5 .

    Последовательно подставляя уже найденные переменные в запомненные строки, находим остальные переменные:

    Таким образом, система имеет бесчисленное множество решений. Переменной x 5 , можно придавать произвольные значения. Данная переменная выступает в роли параметра x 5 = t. Мы доказали совместность системы и нашли ее общее решение:

    x 1 = — 3 + 2t

    x 2 = — 1 — 3t

    x 3 = — 2 + 4t . (1.27)
    x 4 = 4 + 5t

    x 5 = t

    Придавая параметру t различные значения, мы получим бесчисленное множество решений исходной системы. Так, например, решением системы является следующий набор переменных (- 3; — 1; — 2; 4; 0).

    Метод Крамера основан на использовании определителей в решении систем линейных уравнений. Это значительно ускоряет процесс решения.

    Метод Крамера может быть использован в решении системы стольких линейных уравнений, сколько в каждом уравнении неизвестных. Если определитель системы не равен нулю, то метод Крамера может быть использован в решении, если же равен нулю, то не может. Кроме того, метод Крамера может быть использован в решении систем линейных уравнений, имеющих единственное решение.

    Определение . Определитель, составленный из коэффициентов при неизвестных, называется определителем системы и обозначается (дельта).

    Определители

    получаются путём замены коэффициентов при соответствующих неизвестных свободными членами:

    ;

    .

    Теорема Крамера . Если определитель системы отличен от нуля, то система линейных уравнений имеет одно единственное решение, причём неизвестное равно отношению определителей. В знаменателе – определитель системы, а в числителе – определитель, полученный из определителя системы путём замены коэффициентов при этом неизвестном свободными членами. Эта теорема имеет место для системы линейных уравнений любого порядка.

    Пример 1. Решить систему линейных уравнений:

    Согласно теореме Крамера имеем:

    Итак, решение системы (2):

    онлайн-калькулятором , решающим методом Крамера.

    Три случая при решении систем линейных уравнений

    Как явствует из теоремы Крамера , при решении системы линейных уравнений могут встретиться три случая:

    Первый случай: система линейных уравнений имеет единственное решение

    (система совместна и определённа)

    Второй случай: система линейных уравнений имеет бесчисленное множество решений

    (система совместна и неопределённа)

    ** ,

    т. е. коэффициенты при неизвестных и свободные члены пропорциональны.

    Третий случай: система линейных уравнений решений не имеет

    (система несовместна)

    Итак, система m линейных уравнений с n переменными называется несовместной , если у неё нет ни одного решения, и совместной , если она имеет хотя бы одно решение. Совместная система уравнений, имеющая только одно решение, называется определённой , а более одного – неопределённой .

    Примеры решения систем линейных уравнений методом Крамера

    Пусть дана система

    .

    На основании теоремы Крамера

    ………….
    ,

    где

    определитель системы. Остальные определители получим, заменяя столбец с коэффициентами соответствующей переменной (неизвестного) свободными членами:

    Пример 2.

    .

    Следовательно, система является определённой. Для нахождения её решения вычисляем определители

    По формулам Крамера находим:

    Итак, (1; 0; -1) – единственное решение системы.

    Для проверки решений систем уравнений 3 Х 3 и 4 Х 4 можно воспользоваться онлайн-калькулятором , решающим методом Крамера.

    Если в системе линейных уравнений в одном или нескольких уравнениях отсутствуют какие-либо переменные, то в определителе соответствующие им элементы равны нулю! Таков следующий пример.

    Пример 3. Решить систему линейных уравнений методом Крамера:

    .

    Решение. Находим определитель системы:

    Посмотрите внимательно на систему уравнений и на определитель системы и повторите ответ на вопрос, в каких случаях один или несколько элементов определителя равны нулю. Итак, определитель не равен нулю, следовательно, система является определённой. Для нахождения её решения вычисляем определители при неизвестных

    По формулам Крамера находим:

    Итак, решение системы — (2; -1; 1).

    Для проверки решений систем уравнений 3 Х 3 и 4 Х 4 можно воспользоваться онлайн-калькулятором , решающим методом Крамера.

    К началу страницы

    Продолжаем решать системы методом Крамера вместе

    Как уже говорилось, если определитель системы равен нулю, а определители при неизвестных не равны нулю, система несовместна, то есть решений не имеет. Проиллюстрируем следующим примером.

    Пример 6. Решить систему линейных уравнений методом Крамера:

    Решение. Находим определитель системы:

    Определитель системы равен нулю, следовательно, система линейных уравнений либо несовместна и определённа, либо несовместна, то есть не имеет решений. Для уточнения вычисляем определители при неизвестных

    Определители при неизвестных не равны нулю, следовательно, система несовместна, то есть не имеет решений.

    Для проверки решений систем уравнений 3 Х 3 и 4 Х 4 можно воспользоваться онлайн-калькулятором , решающим методом Крамера.

    В задачах на системы линейных уравнений встречаются и такие, где кроме букв, обозначающих переменные, есть ещё и другие буквы. Эти буквы обозначают некоторое число, чаще всего действительное. На практике к таким уравнениям и системам уравнений приводят задачи на поиск общих свойств каких-либо явлений и предметов. То есть, изобрели вы какой-либо новый материал или устройство, а для описания его свойств, общих независимо от величины или количества экземпляра, нужно решить систему линейных уравнений, где вместо некоторых коэффициентов при переменных — буквы. За примерами далеко ходить не надо.

    Следующий пример — на аналогичную задачу, только увеличивается количество уравнений, переменных, и букв, обозначающих некоторое действительное число.

    Пример 8. Решить систему линейных уравнений методом Крамера:

    Решение. Находим определитель системы:

    Находим определители при неизвестных

    В первой части мы рассмотрели немного теоретического материала, метод подстановки, а также метод почленного сложения уравнений системы. Всем, кто зашел на сайт через эту страницу рекомендую ознакомиться с первой частью. Возможно, некоторым посетителям покажется материал слишком простым, но по ходу решения систем линейных уравнений я сделал ряд очень важных замечаний и выводов, касающихся решения математических задач в целом.

    А сейчас мы разберём правило Крамера, а также решение системы линейных уравнений с помощью обратной матрицы (матричный метод). Все материалы изложены просто, подробно и понятно, практически все читатели смогут научиться решать системы вышеуказанными способами.

    Сначала мы подробно рассмотрим правило Крамера для системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными. Зачем? – Ведь простейшую систему можно решить школьным методом, методом почленного сложения!

    Дело в том, что пусть иногда, но встречается такое задание – решить систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными по формулам Крамера. Во-вторых, более простой пример поможет понять, как использовать правило Крамера для более сложного случая – системы трех уравнений с тремя неизвестными.

    Кроме того, существуют системы линейных уравнений с двумя переменными, которые целесообразно решать именно по правилу Крамера!

    Рассмотрим систему уравнений

    На первом шаге вычислим определитель , его называют главным определителем системы .

    метод Гаусса .

    Если , то система имеет единственное решение, и для нахождения корней мы должны вычислить еще два определителя:
    и

    На практике вышеуказанные определители также могут обозначаться латинской буквой .

    Корни уравнения находим по формулам:
    ,

    Пример 7

    Решить систему линейных уравнений

    Решение : Мы видим, что коэффициенты уравнения достаточно велики, в правой части присутствуют десятичные дроби с запятой. Запятая – довольно редкий гость в практических заданиях по математике, эту систему я взял из эконометрической задачи.

    Как решить такую систему? Можно попытаться выразить одну переменную через другую, но в этом случае наверняка получатся страшные навороченные дроби, с которыми крайне неудобно работать, да и оформление решения будет выглядеть просто ужасно. Можно умножить второе уравнение на 6 и провести почленное вычитание, но и здесь возникнут те же самые дроби.

    Что делать? В подобных случаях и приходят на помощь формулы Крамера.

    ;

    ;

    Ответ : ,

    Оба корня обладают бесконечными хвостами, и найдены приближенно, что вполне приемлемо (и даже обыденно) для задач эконометрики.

    Комментарии здесь не нужны, поскольку задание решается по готовым формулам, однако, есть один нюанс. Когда используете данный метод, обязательным фрагментом оформления задания является следующий фрагмент: «, значит, система имеет единственное решение» . В противном случае рецензент может Вас наказать за неуважение к теореме Крамера.

    Совсем не лишней будет проверка, которую удобно провести на калькуляторе: подставляем приближенные значения в левую часть каждого уравнения системы. В результате с небольшой погрешностью должны получиться числа, которые находятся в правых частях.

    Пример 8

    Ответ представить в обыкновенных неправильных дробях. Сделать проверку.

    Это пример для самостоятельного решения (пример чистового оформления и ответ в конце урока).

    Переходим к рассмотрению правила Крамера для системы трех уравнений с тремя неизвестными:

    Находим главный определитель системы:

    Если , то система имеет бесконечно много решений или несовместна (не имеет решений). В этом случае правило Крамера не поможет, нужно использовать метод Гаусса .

    Если , то система имеет единственное решение и для нахождения корней мы должны вычислить еще три определителя:
    , ,

    И, наконец, ответ рассчитывается по формулам:

    Как видите, случай «три на три» принципиально ничем не отличается от случая «два на два», столбец свободных членов последовательно «прогуливается» слева направо по столбцам главного определителя.

    Пример 9

    Решить систему по формулам Крамера.

    Решение : Решим систему по формулам Крамера.

    , значит, система имеет единственное решение.

    Ответ : .

    Собственно, здесь опять комментировать особо нечего, ввиду того, что решение проходит по готовым формулам. Но есть пара замечаний.

    Бывает так, что в результате вычислений получаются «плохие» несократимые дроби, например: .
    Я рекомендую следующий алгоритм «лечения». Если под рукой нет компьютера, поступаем так:

    1) Возможно, допущена ошибка в вычислениях. Как только Вы столкнулись с «плохой» дробью, сразу необходимо проверить, правильно ли переписано условие . Если условие переписано без ошибок, то нужно пересчитать определители, используя разложение по другой строке (столбцу).

    2) Если в результате проверки ошибок не выявлено, то вероятнее всего, допущена опечатка в условии задания. В этом случае спокойно и ВНИМАТЕЛЬНО прорешиваем задание до конца, а затем обязательно делаем проверку и оформляем ее на чистовике после решения. Конечно, проверка дробного ответа – занятие неприятное, но зато будет обезоруживающий аргумент для преподавателя, который ну очень любит ставить минус за всякую бяку вроде . Как управляться с дробями, подробно расписано в ответе для Примера 8.

    Если под рукой есть компьютер, то для проверки используйте автоматизированную программу, которую можно бесплатно скачать в самом начале урока. Кстати, выгоднее всего сразу воспользоваться программой (еще до начала решения), Вы сразу будете видеть промежуточный шаг, на котором допустили ошибку! Этот же калькулятор автоматически рассчитывает решение системы матричным методом.

    Замечание второе. Время от времени встречаются системы в уравнениях которых отсутствуют некоторые переменные, например:

    Здесь в первом уравнении отсутствует переменная , во втором – переменная . В таких случаях очень важно правильно и ВНИМАТЕЛЬНО записать главный определитель:
    – на месте отсутствующих переменных ставятся нули.
    Кстати определители с нулями рационально раскрывать по той строке (столбцу), в которой находится ноль, так как вычислений получается заметно меньше.

    Пример 10

    Решить систему по формулам Крамера.

    Это пример для самостоятельного решения (образец чистового оформления и ответ в конце урока).

    Для случая системы 4 уравнений с 4 неизвестными формулы Крамера записываются по аналогичным принципам. Живой пример можно посмотреть на уроке Свойства определителя. Понижение порядка определителя – пять определителей 4-го порядка вполне решабельны. Хотя задача уже весьма напоминает ботинок профессора на груди у студента-счастливчика.

    Решение системы с помощью обратной матрицы

    Метод обратной матрицы – это, по существу, частный случай матричного уравнения (см. Пример №3 указанного урока).

    Для изучения данного параграфа необходимо уметь раскрывать определители, находить обратную матрицу и выполнять матричное умножение. Соответствующие ссылки будут даны по ходу объяснений.

    Пример 11

    Решить систему с матричным методом

    Решение : Запишем систему в матричной форме:
    , где

    Пожалуйста, посмотрите на систему уравнений и на матрицы. По какому принципу записываем элементы в матрицы, думаю, всем понятно. Единственный комментарий: если бы в уравнениях отсутствовали некоторые переменные, то на соответствующих местах в матрице нужно было бы поставить нули.

    Обратную матрицу найдем по формуле:
    , где – транспонированная матрица алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы .

    Сначала разбираемся с определителем:

    Здесь определитель раскрыт по первой строке.

    Внимание! Если , то обратной матрицы не существует, и решить систему матричным методом невозможно. В этом случае система решается методом исключения неизвестных (методом Гаусса) .

    Теперь нужно вычислить 9 миноров и записать их в матрицу миноров

    Справка: Полезно знать смысл двойных подстрочных индексов в линейной алгебре. Первая цифра – это номер строки, в которой находится данный элемент. Вторая цифра – это номер столбца, в котором находится данный элемент:

    То есть, двойной подстрочный индекс указывает, что элемент находится в первой строке, третьем столбце, а, например, элемент находится в 3 строке, 2 столбце

    Методы Крамера и Гаусса – одни из самых популярных методов решения СЛАУ . К тому же, в ряде случаев целесообразно использовать именно конкретные методы. Сессия близка, и сейчас самое время повторить или освоить их с нуля. Сегодня разбираемся с решением методом Крамера. Ведь решение системы линейных уравнений методом Крамера — весьма полезный навык.

    Системы линейных алгебраических уравнений

    Система линейных алгебраических уравнений – система уравнений вида:

    Набор значений x , при котором уравнения системы обращаются в тождества, называется решением системы, a и b – вещественные коэффициенты. Простенькую систему, состоящую из двух уравнений с двумя неизвестными, можно решить в уме либо выразив одну переменную через другую. Но переменных (иксов) в СЛАУ может быть гораздо больше двух, и здесь простыми школьными манипуляциями не обойтись. Что же делать? Например, решать СЛАУ методом Крамера!

    Итак, пусть система состоит из n уравнений с n неизвестными.

    Такую систему можно переписать в матричном виде

    Здесь A – основная матрица системы, X и B , соответственно, матрицы-столбцы неизвестных переменных и свободных членов.

    Решение СЛАУ методом Крамера

    Если определитель главной матрицы не равен нулю (матрица невырожденная), систему можно решать по методу Крамера.

    Согласно методу Крамера, решение находится по формулам:

    Здесь дельта – определитель главной матрицы, а дельта x n-ное – определитель, полученный из определителя главной матрицы путем заменой n-ного столбца на столбец свободных членов.

    В этом и заключается вся суть метода Крамера. Подставляя найденные по вышеприведенным формулам значения x в искомую систему, убеждаемся в правильности (или наоборот) нашего решения. Чтобы Вы быстрее уловили суть, приведем ниже пример подробного решения СЛАУ методом Крамера:

    Даже если у Вас не получится с первого раза, не расстраивайтесь! Немного практики, и Вы начнете щелкать СЛАУ как орешки. Более того, сейчас совершенно необязательно корпеть над тетрадью, решая громоздкие выкладки и исписывая стержень. Можно легко решить СЛАУ методом Крамера в режиме онлайн, лишь подставив в готовую форму коэффициенты. Испробовать онлайн калькулятор решения методом Крамера можно, к примеру, на этом сайте .


    А если система оказалась упорной и не сдается, Вы всегда можете обратиться за помощью к нашим авторам, например, чтобы купить конспект . Будь в системе хоть 100 неизвестных, мы обязательно решим ее верно и точно в срок!

    В нашем калькуляторе вы бесплатно найдете решение системы линейных уравнений методом Крамера онлайн с подробным решением и даже с комплексными числами . Каждый определитель, использованный в расчетах, можно просмотреть отдельно, а также проверить точный вид системы уравнений, если вдруг определитель основной матрицы оказался равен нулю.

    Подробнее о том, как пользоваться нашим онлайн калькулятором, вы можете прочитать в инструкции .

    О методе

    При решении системы линейных уравнений методом Крамера выполняются следующие шаги.

    1. Записываем расширенную матрицу.
    2. Находим определитель основной (квадратной) матрицы.
    3. Для нахождения i-ого корня подставляем столбец свободных членов в основную матрицу на i-ое место и находим ее определитель. Далее находим отношение полученного определителя к основному, это и есть очередное решение. Проделываем данную операцию для каждой переменной.
    4. В случае, если основной определитель матрицы равен нулю, то система уравнений либо несовместна, либо имеет бесконечное множество решений. К сожалению метод Крамера не позволяет более точно ответить на этот вопрос. Тут вам поможет

    Решающие системы с правилом Крамера

    Цели обучения

    В этом разделе вы будете:

    • Оценивать  2 × 2  определителей.
    • Используйте правило Крамера, чтобы решить систему уравнений с двумя переменными.
    • Оценить  3 × 3  определителей.
    • Используйте правило Крамера, чтобы решить систему из трех уравнений с тремя переменными.
    • Знать свойства определителей.

    Мы научились решать системы уравнений с двумя переменными и тремя переменными, а также несколькими методами: подстановкой, сложением, методом исключения Гаусса, использованием обратной матрицы и построением графика. Некоторые из этих методов легче применять, чем другие, и они более подходят в определенных ситуациях. В этом разделе мы изучим еще две стратегии решения систем уравнений.

    Вычисление определителя матрицы 2×2

    Определитель — это действительное число, которое может быть очень полезным в математике, поскольку оно имеет множество применений, например, для вычисления площади, объема и других величин. Здесь мы будем использовать определители, чтобы выяснить, является ли матрица обратимой, используя элементы квадратной матрицы, чтобы определить, существует ли решение системы уравнений. Однако, возможно, одним из наиболее интересных приложений является их использование в криптографии. Защищенные сигналы или сообщения иногда отправляются закодированными в матрице. Данные могут быть расшифрованы только с помощью обратимой матрицы и определителя. Для наших целей мы сосредоточимся на определителе как признаке обратимости матрицы. Вычисление определителя матрицы включает в себя следование определенным шаблонам, описанным в этом разделе.

    Найдите определитель матрицы 2 × 2

    Определитель матрицы [latex]\,2\text{ }×\text{ }2\,[/latex], заданной

    [latex]A=\ left[\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right][/latex]

    определяется как

    Обратите внимание на изменение обозначения. Есть несколько способов указать определитель, включая [латекс]\,\mathrm{det}\left(A\right)\,[/latex] и замену скобок в матрице прямыми линиями,[латекс]\,| А|.[/латекс]

    Нахождение определителя матрицы 2 × 2

    Нахождение определителя заданной матрицы.

    [latex]A=\left[\begin{array}{cc}5& 2\\ -6& 3\end{array}\right][/latex]

    Показать решение

    Использование правила Крамера для решения системы двух уравнений с двумя переменными

    Теперь мы представим последний метод решения систем уравнений, использующий определители. Этот метод, известный как правило Крамера, восходит к середине 18 века и назван в честь его новатора, швейцарского математика Габриэля Крамера (1704-1752), который представил его в 1750 году во Введении к анализу линий алгебры. Правило Крамера — жизнеспособный и эффективный метод поиска решений систем с произвольным числом неизвестных при условии, что у нас есть такое же количество уравнений, как и неизвестных.

    Правило Крамера даст нам единственное решение системы уравнений, если она существует. Однако, если система не имеет решения или имеет бесконечное число решений, на это будет указывать нулевой определитель. Чтобы выяснить, является ли система противоречивой или зависимой, придется использовать другой метод, такой как исключение.

    Чтобы понять правило Крамера, давайте внимательно посмотрим, как мы решаем системы линейных уравнений, используя основные операции со строками. Рассмотрим систему двух уравнений с двумя переменными.

    [латекс]\begin{array}{c}{a}_{1}x+{b}_{1}y={c}_{1}\,\,\,\,\left(1\ справа)\\ {a}_{2}x+{b}_{2}y={c}_{2}\,\,\,\,\left(2\right)\end{массив}[/ латекс]

    Мы исключаем одну переменную, используя операции со строками, и находим другую. Скажем, что мы хотим решить для[латекс]\,х. \,[/латекс]Если уравнение (2) умножить на коэффициент, противоположный [латекс]\,у\,[/латекс]в уравнении (1 ), уравнение (1) умножается на коэффициент [латекс]\,у\,[/латекс] в уравнении (2), и мы добавляем два уравнения, переменная [латекс]\,у\,[/латекс ] будет устранено.

    [латекс]\begin{array}{l}\underset{\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_}{\begin{array}{llll}\hfill & \hfill & \hfill & \hfill \ \ \,\,\,\,{b}_{2}{a}_{1}x+{b}_{2}{b}_{1}y={b}_{2}{c} _{1}\hfill & \hfill & \hfill & \text{Умножить }{R}_{1}\text{ на }{b}_{2}\hfill \\ -{b}_{1}{ a}_{2}x-{b}_{1}{b}_{2}y=-{b}_{1}{c}_{2}\hfill & \hfill & \hfill & \text {Умножить }{R}_{2}\text{ на}-{b}_{1}\hfill \end{array}}\hfill \\ \,\,\,\begin{array}{ll} { b}_{2}{a}_{1}x-{b}_{1}{a}_{2}x={b}_{2}{c}_{1}-{b}_ {1}{c}_{2}\hfill & \hfill \end{массив}\hfill \end{массив}[/latex]

    Теперь найдите [латекс]\,x.[/латекс]

    [латекс]\begin{array}{l}\,\,\,{b}_{2}{a}_{1} x-{b}_{1}{a}_{2}x={b}_{2}{c}_{1}-{b}_{1}{c}_{2}\hfill \ \ \,\,\,x\left({b}_{2}{a}_{1}-{b}_{1}{a}_{2}\right)={b}_{2 }{c}_{1}-{b}_{1}{c}_{2}\hfill \\ \text{ }x=\frac{{b}_{2}{c}_{1} -{b}_{1}{c}_{2}}{{b}_{2}{a}_{1}-{b}_{1}{a}_{2}}=\frac {\left[\begin{array}{cc}{c}_{1}& {b}_{1}\\ {c}_{2}& {b}_{2}\end{массив}\ right]}{\left[\begin{array}{cc}{a}_{1}& {b}_{1}\\ {a}_{2}& {b}_{2}\end{ массив}\справа]}\hfill \конец{массив}[/латекс]

    Аналогично, чтобы найти [латекс]\,у,[/латекс], мы исключим [латекс]\,х. [/латекс]

    [латекс]\begin{array}{l}\underset{\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_}{\begin{array}{llll}\hfill & \hfill & \hfill & \hfill \\ \,\,\,\,{a}_{2}{a }_{1}x+{a}_{2}{b}_{1}y={a}_{2}{c}_{1}\hfill & \hfill & \hfill & \text{Multiply} {R}_{1}\text{ by }{a}_{2}\hfill \\ -{a}_{1}{a}_{2}x-{a}_{1}{b} _{2}y=-{a}_{1}{c}_{2}\hfill & \hfill & \hfill & \text{Умножить }{R}_{2}\text{ на}-{a }_{1}\hfill \end{массив}}\hfill \\ \,\,\,\,\,\,\begin{массив}{ll}{a}_{2}{b}_{1 }y-{a}_{1}{b}_{2}y={a}_{2}{c}_{1}-{a}_{1}{c}_{2}\hfill & \hfill \end{массив}\hfill \end{массив}[/latex]

    Решение для [латекс]\,y\,[/latex] дает

    [латекс]\begin{array}{l}{a}_{2}{b}_{1}y-{a}_ {1}{b}_{2}y={a}_{2}{c}_{1}-{a}_{1}{c}_{2}\hfill \\ y\left({ a}_{2}{b}_{1}-{a}_{1}{b}_{2}\right)={a}_{2}{c}_{1}-{a} _{1}{c}_{2}\hfill \\ \text{ }y=\frac{{a}_{2}{c}_{1}-{a}_{1}{c}_ {2}}{{a}_{2}{b}_{1}-{a}_{1}{b}_{2}}=\frac{{a}_{1}{c}_ {2}-{a}_{2}{c}_{1}}{{a}_{1}{b}_{2}-{a}_{2}{b}_{1}} =\frac{|\begin{array}{cc}{a}_{1}& {c}_{1}\\ {a}_{2}& {c}_{2}\end{array} |}{|\begin{array}{cc}{a}_{1}& {b}_{1}\\ {a}_{2}& {b}_{2}\end{array}| }\hfill \end{массив}[/latex]

    Обратите внимание, что знаменатель для [латекс]\,х\,[/латекс]и [латекс]\,у\,[/латекс] является определителем матрицы коэффициентов.

    Мы можем использовать эти формулы для решения для [латекс]\,х\,[/латекс]и[латекс]\,у,\,[/латекс], но правило Крамера также вводит новые обозначения:

    • [латекс] \,\,D:[/latex]определитель матрицы коэффициентов
    • [латекс]{D}_{x}:[/latex]определитель числителя в решении [latex]x[/latex]

      [латекс]x=\frac{{D}_{x}}{D}[/латекс]

    • [латекс]{D}_{у}:[/латекс]определитель числителя в решении [латекс]\,у[/латекс]

      [латекс]y=\frac{{D}_{y}}{D}[/латекс]

    Ключом к правилу Крамера является замена интересующего столбца переменных столбцом констант и вычисление определителей. Затем мы можем выразить [латекс]\,х\,[/латекс]и[латекс]\,у\,[/латекс] как частное двух определителей.

    Правило Крамера для систем 2×2

    Правило Крамера — это метод, использующий детерминанты для решения систем уравнений, в которых число уравнений равно количеству переменных.

    Рассмотрим систему двух линейных уравнений с двумя переменными.

    [латекс]\begin{array}{c}{a}_{1}x+{b}_{1}y={c}_{1}\\ {a}_{2}x+{b} _{2}y={c}_{2}\end{array}[/latex]

    Решение с использованием правила Крамера задается как

    [latex]x=\frac{{D}_{x}} {D}=\frac{|\begin{array}{cc}{c}_{1}& {b}_{1}\\ {c}_{2}& {b}_{2}\end {массив}|}{|\begin{массив}{cc}{a}_{1}& {b}_{1}\\ {a}_{2}& {b}_{2}\end{ массив}|},\,\,D\ne 0;\,\,\text{​}\text{​}\,y=\frac{{D}_{y}}{D}=\frac{ |\begin{array}{cc}{a}_{1}& {c}_{1}\\ {a}_{2}& {c}_{2}\end{array}|}{| \begin{массив}{cc}{a}_{1}& {b}_{1}\\ {a}_{2}& {b}_{2}\end{массив}|},\, \,D\ne 0.[/латекс]

    Если мы вычисляем [латекс]\,х,\,[/латекс], то [латекс]\,х\,[/латекс]столбец заменяется столбцом констант. Если мы вычисляем [латекс]\,у,\,[/латекс], то столбец [латекс]\,у\,[/латекс] заменяется столбцом констант.

    Использование правила Крамера для решения системы 2 × 2

    Решите следующую систему[latex]\,2\text{ }×\text{ }2\,[/latex] с помощью правила Крамера.

    [латекс]\begin{array}{c}12x+3y=15\\ \text{ }2x-3y=13\end{array}[/latex]

    Показать решение

    Попробуйте

    Используйте правило Крамера, чтобы решить систему уравнений 2 × 2.

    [латекс]\begin{array}{l}\text{ }x+2y=-11\hfill \\ -2x+y=-13\hfill \end{array}[/latex]

    Показать решение

    Вычисление определителя матрицы 3 × 3

    Найти определитель матрицы 2 × 2 несложно, но определить определитель матрицы 3 × 3 сложнее. Один из методов состоит в том, чтобы дополнить матрицу 3×3 повторением первых двух столбцов, получив матрицу 3×5. Затем вычисляем сумму произведений записей вниз по по каждой из трех диагоналей (слева вверху справа внизу) и вычесть произведения записей вверх по по каждой из трех диагоналей (слева внизу справа вверху). Это легче понять с визуальным и пример.

    Найдите определитель матрицы 3×3.

    [латекс]A=\left[\begin{array}{ccc}{a}_{1}& {b}_{1}& {c}_{1}\\ {a}_{2} & {b}_{2}& {c}_{2}\\ {a}_{3}& {b}_{3}& {c}_{3}\end{массив}\right][ /latex]

    1. Дополнить [latex]\,A\,[/latex] первыми двумя столбцами.

      [латекс]\mathrm{det}\left(A\right)=|\begin{array}{ccc}{a}_{1}& {b}_{1}& {c}_{1}\ \ {a}_{2}& {b}_{2}& {c}_{2}\\ {a}_{3}& {b}_{3}& {c}_{3}\ конец {массив}\,\,\,|\,\,\,\begin{массив}{c}{a}_{1}\\ {a}_{2}\\ {a}_{3} \end{массив}\,\,\,\,\begin{массив}{c}{b}_{1}\\ {b}_{2}\\ {b}_{3}\end{массив }|[/латекс]

    2. От верхнего левого угла к нижнему правому: умножьте числа по первой диагонали. Прибавьте результат к произведению записей по второй диагонали. Добавьте этот результат к произведению записей вниз по третьей диагонали.
    3. Из нижнего левого угла в верхний правый: вычтите произведение записей вверх по первой диагонали. Из этого результата вычтите произведение вхождений вверх по второй диагонали. Из этого результата вычтите произведение вхождений вверх по третьей диагонали.

    Алгебра выглядит следующим образом:

    [латекс]|A|={a}_{1}{b}_{2}{c}_{3}+{b}_{1}{c }_{2}{a}_{3}+{c}_{1}{a}_{2}{b}_{3}-{a}_{3}{b}_{2}{ c}_{1}-{b}_{3}{c}_{2}{a}_{1}-{c}_{3}{a}_{2}{b}_{1} [/latex]

    Нахождение определителя матрицы 3 × 3

    Найдите определитель матрицы 3 × 3 по данным

    [latex]A=\left[\begin{array}{ccc}0& 2& 1\\ 3& -1& 1\\ 4& 0& 1\end{array}\ right][/latex]

    Показать решение

    Попробуйте

    Найдите определитель матрицы 3 × 3.

    [латекс]\mathrm{det}\left(A\right)=|\begin{array}{ccc}1& -3& 7\\ 1& 1& 1\\ 1& -2& 3\end{массив}|[/ латекс]

    Показать решение

    Можно ли использовать тот же метод, чтобы найти определитель большей матрицы?

    Нет, этот метод работает только для [латекс]\,2\текст{ }×\текст{ }2\,[/латекс]и [латекс]\,\текст{3}\текст{ }×\ текст{ }3\,[/latex]матрицы. Для больших матриц лучше всего использовать графическую утилиту или компьютерное программное обеспечение.

    Использование правила Крамера для решения системы трех уравнений с тремя переменными

    Теперь, когда мы можем найти определитель матрицы 3 × 3, мы можем применить правило Крамера для решения системы трех уравнений с тремя переменными. Правило Крамера является простым и следует шаблону, согласующемуся с правилом Крамера для матриц 2 × 2. Однако по мере увеличения порядка матрицы до 3 × 3 требуется гораздо больше вычислений.

    Когда мы вычисляем, что определитель равен нулю, правило Крамера не указывает, имеет ли система решение или бесконечное число решений. Чтобы выяснить это, мы должны выполнить исключение в системе.

    Рассмотрим систему уравнений 3 × 3.

    [латекс]x=\frac{{D}_{x}}{D},y=\frac{{D}_{y}}{D},z=\frac{{D}_ {z}}{D},D\ne 0[/latex]

    где

    Если мы пишем определитель[latex]\,{D}_{x},[/latex]заменяем [ латекс]\,х\,[/латекс]столбец с постоянным столбцом. Если мы записываем детерминант[латекс]{D}_{у},[/латекс] мы заменяем столбец [латекс]\,у\,[/латекс] столбцом констант. Если мы записываем определитель [латекс]\,{D}_{z},[/латекс], мы заменяем столбец [латекс]\,z\,[/латекс] столбцом констант. Всегда проверяйте ответ.

    Решение системы 3 × 3 с помощью правила Крамера

    Найдите решение данной системы 3 × 3 с помощью правила Крамера.

    [латекс]\begin{array}{c}x+y-z=6\\ 3x-2y+z=-5\\ x+3y-2z=14\end{array}[/latex]

    Показать решение

    Попробуйте

    Используйте правило Крамера, чтобы решить матрицу 3 × 3.

    [латекс]\begin{array}{r}\hfill x-3y+7z=13\\ \hfill x+y+z=1\,\,\,\\ \hfill x-2y+3z=4 \,\,\,\end{массив}[/latex]

    Показать решение

    Использование правила Крамера для решения несогласованной системы

    Решите систему уравнений с помощью правила Крамера.

    [латекс]\begin{array}{l}3x-2y=4\text{ }\left(1\right)\\ 6x-4y=0\text{ }\left(2\right)\end{ array}[/latex]

    Показать решение

    Использование правила Крамера для решения зависимой системы

    Решите систему с бесконечным числом решений.

    [латекс]\begin{array}{rr}\hfill x-2y+3z=0& \hfill \left(1\right)\\ \hfill 3x+y-2z=0& \hfill \left(2\right) )\\ \hfill 2x-4y+6z=0& \hfill \left(3\right)\end{массив}[/latex]

    Показать решение

    Понимание свойств определителей

    Есть много свойств определителей. Здесь перечислены некоторые свойства, которые могут быть полезны при вычислении определителя матрицы.

    Свойства определителей

    1. Если матрица имеет верхнетреугольную форму, определитель равен произведению элементов по главной диагонали.
    2. При перестановке двух строк определитель меняет знак.
    3. Если две строки или два столбца идентичны, определитель равен нулю. 9{-1}\,[/latex]является обратной величиной определителя матрицы[latex]\,A.[/latex]
    4. Если какая-либо строка или столбец умножается на константу, определитель умножается на тот же коэффициент.

    Иллюстрация свойств определителей

    Проиллюстрируйте каждое из свойств определителей.

    Показать решение

    Использование правила Крамера и свойств определителя для решения системы

    Найдите решение данной системы 3 × 3.

    [латекс]\begin{array}{ll}2x+4y+4z=2\hfill & \left(1\right)\hfill \\ 3x+7y+7z=-5\hfill & \left(2\ справа)\hfill \\ \text{ }x+2y+2z=4\hfill & \left(3\right)\hfill \end{массив}[/latex]

    Показать решение

    Доступ к этим онлайн-ресурсам для получения дополнительных инструкций и практики с правилом Крамера.

    • Решение системы двух уравнений с помощью правила Крамера
    • Решение системы из трех уравнений с использованием правила Крамера

    Основные понятия

    • Определитель для [латекс]\,\left[\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{массив}\right]\,[/latex] равен [латекс] \,ad-bc.\,[/latex] См. (рисунок).
    • Правило Крамера заменяет столбец переменной столбцом константы. Решения: [латекс]\,x=\frac{{D}_{x}}{D},y=\frac{{D}_{y}}{D}. \,[/latex] См. (рис. ).
    • Чтобы найти определитель матрицы 3×3, увеличьте первые два столбца. Сложите три диагональных элемента (слева вверху справа внизу) и вычтите три элемента по диагонали (слева внизу справа вверху). См. (Рисунок).
    • Чтобы решить систему из трех уравнений с тремя переменными с помощью правила Крамера, замените столбец переменных столбцом констант для каждого требуемого решения: [латекс]\,x=\frac{{D}_{x}}{D}, y=\frac{{D}_{y}}{D},z=\frac{{D}_{z}}{D}.\,[/latex] См. (рисунок).
    • Правило Крамера также полезно для нахождения решения системы уравнений без решения или с бесконечным числом решений. См. (Рисунок) и (Рисунок).
    • Некоторые свойства определителей полезны при решении задач. Например:
      • Если матрица имеет форму верхнего треугольника, определитель равен произведению элементов по главной диагонали.
      • При перестановке двух строк определитель меняет знак.
      • Если две строки или два столбца идентичны, определитель равен нулю. 9{-1}\,[/latex]является обратной величиной определителя матрицы[latex]\,A.[/latex]
      • Если какая-либо строка или столбец умножается на константу, определитель умножается на тот же коэффициент. См. (Рисунок) и (Рисунок).

    Раздел Упражнения

    Вербальные

    Объясните, почему мы всегда можем вычислить определитель квадратной матрицы.

    Показать решение

    Изучая правило Крамера, объясните, почему нет единственного решения системы, когда определитель вашей матрицы равен 0. Для простоты используйте матрицу [латекс]\,2\,×\,2\,[/латекс].

    Объясните, что в терминах обратной матрицы означает наличие нулевого определителя.

    Показать решение

    Определитель матрицы [латекс]\,2\,×\,2\,[/латекс]матрицы[латекс]\,А\,[/латекс] равен 3. Если поменять местами строки и умножить первую строку на 6 и второй ряд на 2, объясните, как найти определитель и дайте ответ.

    Алгебраический

    Для следующих упражнений найдите определитель.

    [латекс]|\begin{массив}{cc}1& 2\\ 3&4\end{массив}|[/латекс]

    Показать решение

    [латекс]|\begin{массив}{rr}\hfill -1& \hfill 2\\ \hfill 3& \hfill -4\end{массив}|[/latex]

    [латекс]|\begin{массив }{rr}\hfill 2& \hfill -5\\ \hfill -1& \hfill 6\end{array}|[/latex]

    Показать решение

    [латекс]|\begin{массив}{cc}-8& 4\\ -1& 5\end{массив}|[/latex]

    [латекс]|\begin{массив}{rr}\hfill 1& \ hfill 0\\ \hfill 3& \hfill -4\end{array}|[/latex]

    Показать решение

    [латекс]|\begin{массив}{rr}\hfill 10& \hfill 20\\ \hfill 0& \hfill -10\end{массив}|[/latex]

    [латекс]|\begin{array}{cc}10& 0,2\\ 5& 0,1\end{массив}|[/latex]

    Показать решение

    [латекс]|\begin{массив}{rr}\hfill 6& \hfill -3\\ \hfill 8& \hfill 4\end{массив}|[/latex]

    [латекс]|\begin{массив} {rr}\hfill -2& \hfill -3\\ \hfill 3. 1& \hfill 4,000\end{массив}|[/latex]

    Показать решение

    [латекс]|\begin{массив}{rr}\hfill -1.1& \hfill 0.6\\ \hfill 7.2& \hfill -0.5\end{массив}|[/латекс]

    [латекс]|\begin {array}{rrr}\hfill -1& \hfill 0& \hfill 0\\ \hfill 0& \hfill 1& \hfill 0\\ \hfill 0& \hfill 0& \hfill -3\end{array}|[/latex]

    Показать решение

    [латекс]|\begin{array}{rrr}\hfill -1& \hfill 4& \hfill 0\\ \hfill 0& \hfill 2& \hfill 3\\ \hfill 0& \hfill 0& \hfill -3\end{ array}|[/latex]

    [latex]|\begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ 0& 1& 0\\ 1& 0& 0\end{array}|[/latex]

    Показать решение

    [латекс]|\begin{array}{rrr}\hfill 2& \hfill -3& \hfill 1\\ \hfill 3& \hfill -4& \hfill 1\\ \hfill -5& \hfill 6& \hfill 1\end {массив}|[/латекс]

    [латекс]|\begin{array}{rrr}\hfill -2& \hfill 1& \hfill 4\\ \hfill -4& \hfill 2& \hfill -8\\ \hfill 2& \hfill -8& \hfill -3 \end{array}|[/latex]

    Показать решение

    [латекс]|\begin{array}{rrr}\hfill 6& \hfill -1& \hfill 2\\ \hfill -4& \hfill -3& \hfill 5\\ \hfill 1& \hfill 9& \hfill -1\ end{array}|[/latex]

    [latex]|\begin{array}{rrr}\hfill 5& \hfill 1& \hfill -1\\ \hfill 2& \hfill 3& \hfill 1\\ \hfill 3& \ hfill -6& \hfill -3\end{массив}|[/latex]

    Показать решение

    [латекс]|\begin{array}{rrr}\hfill 1. 1& \hfill 2& \hfill -1\\ \hfill -4& \hfill 0& \hfill 0\\ \hfill 4.1& \hfill -0.4& \hfill 2.5\end{массив}|[/latex]

    [латекс]|\begin{массив}{rrr}\hfill 2& \hfill -1.6& \hfill 3.1\\ \hfill 1.1& \hfill 3& \hfill -8\ \ \hfill -9.3& \hfill 0& \hfill 2\end{array}|[/latex]

    Показать решение

    [латекс]|\begin{array}{ccc}-\frac{1}{2}& \frac{1}{3}& \frac{1}{4}\\ \frac{1}{5 }& -\frac{1}{6}& \frac{1}{7}\\ 0& 0& \frac{1}{8}\end{массив}|[/latex]

    Для следующих упражнений решите систему линейных уравнений, используя правило Крамера.

    [латекс]\begin{array}{l}2x-3y=-1\\ 4x+5y=9\end{массив}[/latex]

    Показать решение

    [латекс]\begin{array}{r}5x-4y=2\\ -4x+7y=6\end{массив}[/latex]

    [латекс]\begin{массив}{l}\text { }6x-3y=2\,\,\,\,\,\hfill \\ -8x+9y=-1\hfill \end{массив}[/latex]

    Показать решение

    [латекс]\begin{массив}{l}2x+6y=12\\ 5x-2y=13\end{массив}[/latex]

    [латекс]\begin{массив}{l}4x+3y =23\,\,\hfill \\ \text{ }2x-y=-1\hfill \end{массив}[/latex]

    Показать решение

    [латекс]\begin{массив}{l}10x-6y=2\,\,\,\,\hfill \\ -5x+8y=-1\hfill \end{массив}[/latex]

    [latex]\begin{array}{l}4x-3y=-3\\ 2x+6y=-4\end{array}[/latex]

    Показать решение

    [латекс]\begin{array}{r}4x-5y=7\\ -3x+9y=0\end{массив}[/latex]

    [латекс]\begin{массив}{l}4x+ 10y=180\,\,\,\,\hfill \\ -3x-5y=-105\hfill \end{массив}[/latex]

    Показать решение

    [латекс]\begin{array}{l}\text{ }8x-2y=-3\hfill \\ -4x+6y=4\,\,\,\,\hfill \end{array}[/ латекс]

    Для следующих упражнений решите систему линейных уравнений, используя правило Крамера.

    [латекс]\begin{array}{l}\text{ }x+2y-4z=-1\hfill \\ \text{ }7x+3y+5z=26\,\,\hfill \\ -2x -6y+7z=-6\hfill \end{array}[/latex]

    Показать решение

    [латекс]\begin{array}{l}-5x+2y-4z=-47\hfill \\ \text{ }4x-3y-z=-94\hfill \\ \text{ }3x-3y+ 2z=94\,\,\,\,\hfill \end{array}[/latex]

    [latex]\begin{array}{l}\text{ }4x+5y-z=-7\hfill \ \ -2x-9y+2z=8\,\,\,\,\hfill \\ \text{ }5y+7z=21\,\hfill \end{массив}[/latex]

    Показать решение

    [латекс]\begin{array}{r}4x-3y+4z=10\\ 5x-2z=-2\\ 3x+2y-5z=-9\end{массив}[/latex]

    [ латекс]\begin{array}{l}4x-2y+3z=6\,\,\,\hfill \\ \text{ }-6x+y=-2\hfill \\ 2x+7y+8z=24\ hfill \end{array}[/latex]

    Показать решение

    [латекс]\begin{array}{r}\hfill 5x+2y-z=1\,\,\,\,\,\\ \hfill -7x-8y+3z=1.5\\ \hfill 6x- 12y+z=7\,\,\,\,\end{массив}[/latex]

    [латекс]\begin{массив}{l}\text{ }13x-17y+16z=73\,\, \,\,\hfill \\ -11x+15y+17z=61\,\,\,\,\hfill \\ \text{ }46x+10y-30z=-18\hfill \end{массив}[/latex ]

    Показать решение

    [латекс]\begin{array}{l}\begin{array}{l}\hfill \\ -4x-3y-8z=-7\hfill \end{array}\hfill \\ \text{ }2x -9y+5z=0. 5\hfill \\ \text{ }5x-6y-5z=-2\hfill \end{массив}[/latex]

    [латекс]\begin{массив}{l}\text{ } 4x-6y+8z=10\,\,\hfill \\ -2x+3y-4z=-5\hfill \\ \text{ }x+y+z=1\,\,\,\,\,\ hfill \end{array}[/latex]

    Показать решение

    [латекс]\begin{массив}{r}\hfill 4x-6y+8z=10\,\,\,\,\,\\ \hfill -2x+3y-4z=-5\,\,\ ,\\ \hfill 12x+18y-24z=-30\end{массив}[/latex]

    Технология

    В следующих упражнениях используйте функцию определителя в графической утилите.

    [латекс]|\begin{array}{rrrr}\hfill 1& \hfill 0& \hfill 8& \hfill 9\\ \hfill 0& \hfill 2& \hfill 1& \hfill 0\\ \hfill 1& \hfill 0& \hfill 3& \hfill 0\\ \hfill 0& \hfill 2& \hfill 4& \hfill 3\end{array}|[/latex]

    Показать решение

    [латекс]|\begin{array}{rrrr}\hfill 1& \hfill 0& \hfill 2& \hfill 1\\ \hfill 0& \hfill -9& \hfill 1& \hfill 3\\ \hfill 3& \hfill 0& \hfill -2& \hfill -1\\ \hfill 0& \hfill 1& \hfill 1& \hfill -2\end{массив}|[/latex]

    [латекс]|\begin{array}{rrrr}\hfill \frac{1}{2}& \hfill 1& \hfill 7& \hfill 4\\ \hfill 0& \hfill \frac{1}{2}& \hfill 100& \hfill 5\\ \hfill 0& \hfill 0& \hfill 2& \hfill 2,000\\ \hfill 0& \hfill 0& \hfill 0& \hfill 2\end{array}|[/latex]

    Показать решение

    [латекс]|\begin{array}{rrrr}\hfill 1& \hfill 0& \hfill 0& \hfill 0\\ \hfill 2& \hfill 3& \hfill 0& \hfill 0\\ \hfill 4& \hfill 5& \hfill 6& \hfill 0\\ \hfill 7& \hfill 8& \hfill 9& \hfill 0\end{array}|[/latex]

    Реальные приложения

    Для следующих упражнений создайте систему линейных уравнений для описания поведения. Затем вычислить определитель. Будет ли уникальное решение? Если да, то найти единственное решение.

    Два числа в сумме дают 56. Одно число на 20 меньше другого.

    Показать решение

    Два числа в сумме дают 104. Если вы дважды сложите первое число и два раза второе число, получится 208

    Три числа в сумме дают 106. Первое число на 3 меньше второго числа. Третье число на 4 больше первого числа.

    Показать решение

    Три числа в сумме дают 216. Сумма первых двух чисел равна 112. Третье число на 8 меньше первых двух вместе взятых.

    Для следующих упражнений создайте систему линейных уравнений для описания поведения. Затем решите систему для всех решений, используя правило Крамера.

    Вы инвестируете 10 000 долларов на два счета, на которые начисляются 8% и 5% годовых. В конце года на ваших объединенных счетах было 10 710 долларов. Сколько было вложено в каждый счет?

    Показать решение

    Вы инвестируете 80 000 долларов США в два счета, 22 000 долларов США в один счет и 58 000 долларов США в другой счет. В конце года, при условии простых процентов, вы заработали 2470 долларов в виде процентов. Второй счет получает на полпроцента меньше, чем удвоенный процент по первому счету. Каковы процентные ставки для ваших счетов?

    Кинотеатру необходимо знать, сколько билетов для взрослых и детей было продано из 1200 билетов. Если детский билет стоит $5,95, билеты для взрослых стоят 11,15 долларов США, а общая сумма выручки составила 12 756 долларов США, сколько было продано детских билетов и билетов для взрослых?

    Показать решение

    Концертный зал продает одиночные билеты по 40 долларов США каждый и билеты для пар по 65 долларов США. Если общий доход составил 18 090 долларов США и был продан 321 билет, то сколько было продано одиночных билетов и сколько билетов для пар?

    Вы решили покрасить кухню в зеленый цвет. Вы создаете цвет краски, смешивая желтую и синюю краски. Вы не можете вспомнить, сколько галлонов каждого цвета вошло в вашу смесь, но вы знаете, что всего было 10 галлонов. Кроме того, вы сохранили квитанцию ​​и знаете, что общая потраченная сумма составила 29 долларов США..50. Если каждый галлон желтого цвета стоит 2,59 доллара, а каждый галлон синего стоит 3,19 доллара, сколько галлонов каждого цвета входит в вашу зеленую смесь?

    Показать решение

    Вы продали два вида шарфов на фермерском рынке и хотели бы знать, какой из них более популярен. Всего было продано 56 шарфов, желтый шарф стоил 10 долларов, фиолетовый — 11 долларов. Если ваш общий доход составил 583 доллара, сколько желтых шарфов и сколько фиолетовых шарфов было продано?

    В вашем саду выращиваются помидоры двух видов: зеленые и красные. Красный весит 10 унций, а зеленый весит 4 унции. У вас есть 30 помидоров общим весом 13 фунтов 14 унций. Сколько у вас помидоров каждого вида?

    Показать решение

    На рынке три самых популярных овоща составляют 53% продаж овощей. Продажи кукурузы на 4% выше, чем у брокколи, продажи которой на 5% выше, чем у лука. Какую долю рынка занимает каждый овощ?

    На том же рынке три самых популярных фрукта составляют 37% от общего количества продаваемых фруктов. Клубники продают вдвое больше, чем апельсинов, а киви продают на один процент больше, чем апельсинов. Для каждого фрукта найдите процент от общего количества проданных фруктов.

    Показать решение

    Три группы выступили на концертной площадке. Первая группа взимала 15 долларов за билет, вторая группа взимала 45 долларов за билет, а последняя группа взимала 22 доллара за билет. Было продано 510 билетов на общую сумму 12 700 долларов. Если у первой группы было на 40 зрителей больше, чем у второй группы, сколько билетов было продано на каждую группу?

    Кинотеатр продал билеты на три фильма. Билеты на первый фильм стоили 5 долларов, билеты на второй фильм — 11 долларов, а на третий фильм — 12 долларов. На первый фильм было продано 100 билетов. Общее количество проданных билетов составило 642, а общий доход составил 6 774 доллара. Сколько билетов на каждый фильм было продано?

    Показать решение

    Мужчины в возрасте 20–29, 30–39 и 40–49 лет составляли 78% заключенных в тюрьме в прошлом году. В этом году те же возрастные группы составили 82,08% населения. Возрастная группа 20–29 лет увеличилась на 20%, возрастная группа 30–39 лет увеличилась на 2%, а возрастная группа 40–49 лет сократилась до [латекс]\,\frac{3}{4}\,[/latex] своего прежнего населения. Первоначально в возрастной группе 30–39 лет заключенных было на 2% больше, чем в возрастной группе 20–29 лет. Определите процент заключенных для каждой возрастной группы в прошлом году.

    В женской тюрьме по дороге общее число заключенных в возрасте от 20 до 49 лет составляло 5525 человек. В этом году возрастная группа 20-29 лет увеличилась на 10%, возрастная группа 30-39 лет уменьшилась на 20%, а возрастная группа 40-49 лет удвоилась. Сейчас там 6040 заключенных. Первоначально в возрастной группе 30–39 лет было на 500 человек больше, чем в возрастной группе 20–29 лет. Определите количество заключенных для каждой возрастной группы в прошлом году.

    Показать решение

    Для следующих упражнений используйте этот сценарий: Компания, заботящаяся о своем здоровье, решает приготовить пищевую смесь из миндаля, сушеной клюквы и орехов кешью в шоколаде. Информация о пищевой ценности этих продуктов показана на (Рисунок).

    Жир (г) Белок (г) Углеводы (г)
    Миндаль (10) 6 2 3
    Клюква (10) 0,02 0 8
    Кешью (10) 7 3,5 5,5

    Для специальной смеси «с низким содержанием углеводов» имеется 1000 штук смеси. Общее количество углеводов 425 г, общее количество жиров 570,2 г. Если орехов кешью на 200 штук больше, чем клюквы, сколько штук каждого предмета будет в смеси?

    Для смеси «походной» в составе смеси 1000 шт. , содержащих 390,8 г жира и 165 г белка. Если миндаля столько же, сколько орехов кешью, то сколько каждого элемента содержится в смеси?

    Показать решение

    Для смеси «Энергия-бустер» в упаковке 1000 штук, содержащих 145 г белка и 625 г углеводов. Если количество миндаля и кешью в сумме равно количеству клюквы, сколько каждого элемента содержится в смеси?

    Повторные упражнения

    Системы линейных уравнений: две переменные

    В следующих упражнениях определите, является ли упорядоченная пара решением системы уравнений.

    [латекс]\begin{массив}{l}3x-y=4\\ x+4y=-3\,\end{массив}[/латекс]и[латекс]\,\слева(-1,1 \right)[/latex]

    Показать решение

    [латекс]\begin{array}{l}6x-2y=24\\ -3x+3y=18\,\end{array}[/latex]и[латекс]\,\left(9,15\ right)[/latex]

    В следующих упражнениях используйте замену для решения системы уравнений.

    [латекс]\begin{array}{l}10x+5y=-5\hfill \\ \,\,\,3x-2y=-12\hfill \end{array}[/latex]

    Показать решение

    [латекс]\begin{array}{l}\frac{4}{7}x+\frac{1}{5}y=\frac{43}{70}\\ \frac{5}{6} x-\frac{1}{3}y=-\frac{2}{3}\end{массив}[/latex]

    [латекс]\begin{массив}{l}5x+6y=14\\ 4x+8y=8\end{массив}[/latex]

    Показать решение

    В следующих упражнениях используйте сложение для решения системы уравнений.

    [латекс]\begin{массив}{l}3x+2y=-7\\ 2x+4y=6\end{массив}[/latex]

    [латекс]\begin{array}{r}3x+4y=2\\ 9x+12y=3\end{массив}[/latex]

    Показать решение

    [латекс]\begin{array}{l}8x+4y=2\\ 6x-5y=0,7\end{array}[/latex]

    Для следующих упражнений напишите систему уравнений для решения каждой задачи . Решите систему уравнений.

    Завод имеет себестоимость производства[латекс]\,C\left(x\right)=150x+15\text{,}000\,[/latex]и функцию дохода[латекс]\,R\left (x\right)=200x.\,[/latex]Какова точка безубыточности?

    Показать решение

    Исполнитель взимает [латекс]\,С\влево(х\вправо)=50x+10\текст{,}000,\,[/латекс], где [латекс]\,х\,[/латекс] общее количество участников выставки. Заведение берет 75 долларов за билет. После того, как много людей купят билеты, место станет безубыточным, и какова общая стоимость билетов, проданных в этот момент?

    Показать решение

    Системы линейных уравнений: три переменные

    В следующих упражнениях решите систему трех уравнений, используя подстановку или сложение.

    [латекс]\begin{array}{l}\text{ }0,5x-0,5y=10\hfill \\ \text{ }-0,2y+0,2x=4\hfill \\ \text{ }0,1x +0.1z=2\hfill \end{array}[/latex]

    Показать решение

    [латекс]\begin{array}{r}\hfill 5x+3y-z=5\,\,\,\\ \hfill 3x-2y+4z=13\\ \hfill 4x+3y+5z=22 \end{массив}[/latex]

    [латекс]\begin{массив}{r}x+y+z=1\\ 2x+2y+2z=1\\ 3x+3y=2\end{массив} [/latex]

    Показать решение

    [латекс]\begin{array}{l}\text{ }2x-3y+z=-1\hfill \\ \text{ }x+y+z=-4\hfill \\ \text{ }4x +2y-3z=33\hfill\end{массив}[/latex]

    [латекс]\begin{array}{l}\,\,3x+2y-z=-10\hfill \\ \,\,\,\,x-y+2z=7\hfill \\ -x +3y+z=-2\hfill \end{array}[/latex]

    Показать решение

    [латекс]\begin{array}{r}\hfill 3x+4z=-11\\ \hfill x-2y=5\,\,\,\,\,\,\,\\ \hfill 4y- z=-10\end{массив}[/latex]

    [латекс]\begin{array}{r}2x-3y+z=0\\ 2x+4y-3z=0\\ 6x-2y-z= 0\end{массив}[/latex]

    Показать решение

    [латекс]\begin{array}{r}6x-4y-2z=2\\ 3x+2y-5z=4\\ 6y-7z=5\end{массив}[/latex]

    Для следующих упражнений, напишите систему уравнений для решения каждой задачи. Решите систему уравнений.

    Три нечетных числа в сумме дают 61. Меньшее число на одну треть больше, а среднее число на 16 меньше большего. Какие три числа?

    Показать решение

    Билеты на спектакль в местном театре распроданы. Они продают все 500 билетов на общую сумму 8 070 долларов. Билеты стоили 15 долларов для студентов, 12 долларов для детей и 18 долларов для взрослых. Если группа продала в три раза больше билетов для взрослых, чем билетов для детей, сколько билетов каждого типа было продано?

    Системы нелинейных уравнений и неравенств: две переменные 9{2}}[/latex]

    Матрицы и операции с матрицами

    В следующих упражнениях выполните запрошенные операции с заданными матрицами.

    [латекс]A=\left[\begin{array}{rr}\hfill 4& \hfill -2\\ \hfill 1& \hfill 3\end{array}\right],B=\left[\begin{ array}{rrr}\hfill 6& \hfill 7& \hfill -3\\ \hfill 11& \hfill -2& \hfill 4\end{array}\right],C=\left[\begin{array}{r}\ hfill \begin{массив}{cc}6& 7\\ 11& -2\end{массив}\\ \hfill \begin{массив}{cc}14& 0\end{массив}\end{массив}\right],D =\left[\begin{массив}{rrr}\hfill 1& \hfill -4& \hfill 9\\ \hfill 10& \hfill 5& \hfill -7\\ \hfill 2& \hfill 8& \hfill 5\end{массив}\right],E=\left[\begin{array}{rrr}\hfill 7& \hfill -14& \hfill 3\\ \hfill 2& \hfill -1& \hfill 3\\ \hfill 0& \hfill 1& \hfill 9\end{массив}\right][/latex]

    [латекс]-4A[/латекс ]

    Показать решение

    [латекс]10D-6E[/латекс]

    [латекс]B+C[/латекс]

    Показать решение

    [латекс]AB[/латекс]

    [латекс]BA[/латекс]

    Показать решение 9{3}[/latex]

    Решение систем с исключением Гаусса

    Для следующих упражнений напишите систему линейных уравнений из расширенной матрицы. Укажите, будет ли единственное решение.

    [латекс]\left[\begin{array}{rrr}\hfill 1& \hfill 0& \hfill -3\\ \hfill 0& \hfill 1& \hfill 2\\ \hfill 0& \hfill 0& \hfill 0\end {array}\text{ }|\text{ }\begin{array}{r}\hfill 7\\ \hfill -5\\ \hfill 0\end{array}\right][/latex]

    Показать решение

    [латекс]\left[\begin{array}{rrr}\hfill 1& \hfill 0& \hfill 5\\ \hfill 0& \hfill 1& \hfill -2\\ \hfill 0& \hfill 0& \hfill 0\end {array}\text{ }|\text{ }\begin{array}{r}\hfill -9\\ \hfill 4\\ \hfill 3\end{array}\right][/latex]

    Для Следуя упражнениям, напишите расширенную матрицу из системы линейных уравнений.

    [латекс]\begin{array}{l}\\ \begin{array}{r}\hfill -2x+2y+z=7\\ \hfill 2x-8y+5z=0\\ \hfill 19x- 10y+22z=3\конец{массив}\конец{массив}[/латекс]

    Показать решение

    [латекс]\begin{array}{l}\,\,\,\,\,4x+2y-3z=14\hfill \\ -12x+3y+z=100\hfill \\ \,\, \,\,\,9x-6y+2z=31\hfill \end{массив}[/latex]

    [латекс]\begin{массив}{r}\hfill x+3z=12\,\\ \hfill -x+4y=0\,\,\,\,\\ \hfill y+2z=-7\end{массив}[/latex]

    Показать решение

    Для следующих упражнений решите систему линейных уравнений методом исключения Гаусса.

    [латекс]\begin{array}{r}3x-4y=-7\\ -6x+8y=14\end{массив}[/latex]

    [латекс]\begin{array}{r}3x -4y=1\\ -6x+8y=6\end{массив}[/латекс]

    Показать решение

    [латекс]\begin{array}{l}\begin{array}{l}\\ -1.1x-2.3y=6.2\end{массив}\hfill \\ -5.2x-4.1y=4.3\hfill \end{массив}[/latex]

    [латекс]\begin{массив}{r}\hfill 2x+3y+2z=1\,\,\,\,\,\\ \hfill -4x-6y- 4z=-2\\ \hfill 10x+15y+10z=0\,\,\,\,\,\end{массив}[/latex]

    Показать решение

    [латекс]\begin{массив}{r}\hfill -x+2y-4z=8\,\,\,\,\\ \hfill 3y+8z=-4\\ \hfill -7x+y+ 2z=1\,\,\,\,\end{array}[/latex]

    Решение систем с инверсиями

    Для следующих упражнений найдите обратную матрицу.

    [латекс]\left[\begin{array}{rr}\hfill -0.2& \hfill 1.4\\ \hfill 1.2& \hfill -0.4\end{массив}\right][/latex]

    Показать решение

    [латекс]\left[\begin{array}{rr}\hfill \frac{1}{2}& \hfill -\frac{1}{2}\\ \hfill -\frac{1}{4 }& \hfill \frac{3}{4}\end{массив}\right][/latex]

    [латекс]\left[\begin{array}{ccc}12& 9& -6\\ -1& 3& 2 \\ -4& -3& 2\end{массив}\right][/latex]

    Показать решение

    [latex]\left[\begin{array}{ccc}2& 1& 3\\ 1& 2& 3\\ 3& 2& 1\end{array}\right][/latex]

    Для следующих упражнений найдите решения путем вычисления обратной матрицы.

    [латекс]\begin{array}{l}\,\,\,\,0,3x-0,1y=-10\hfill \\ -0,1x+0,3y=14\hfill \end{array}[/ латекс]

    Показать решение

    [латекс]\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\,0,4x-0,2y=-0,6\hfill \\ -0,1x+0,05y=0,3\ hfill \end{массив}[/latex]

    [латекс]\begin{array}{r}4x+3y-3z=-4.3\\ 5x-4y-z=-6.1\\ x+z=-0.7\end{массив}[/latex]

    Показать решение

    [латекс]\begin{array}{r}\hfill \begin{array}{l}\\ -2x-3y+2z=3\end{array}\\ \hfill -x+2y+4z=- 5\\ \hfill -2y+5z=-3\end{array}[/latex]

    Для следующих упражнений напишите систему уравнений для решения каждой задачи. Решите систему уравнений.

    Учеников попросили принести в класс свои любимые фрукты. 90% фруктов состояли из бананов, яблок и апельсинов. Если апельсины были вдвое менее популярны, чем бананы, а яблоки были на 5% популярнее бананов, каков процент каждого фрукта в отдельности?

    Показать решение

    Женское общество устроило распродажу выпечки, чтобы собрать деньги, и продавало пирожные и печенье с шоколадной крошкой. Они оценили пирожные в 2 доллара, а печенье с шоколадной крошкой — в 1 доллар. Они собрали 250 долларов и продали 175 предметов. Сколько пирожных и сколько печенья было продано?

    Решение систем с помощью правила Крамера

    Для следующих упражнений найдите определитель.

    [латекс]|\begin{массив}{cc}100& 0\\ 0& 0\end{массив}|[/латекс]

    Показать решение

    [латекс]|\begin{массив}{cc}0.2& -0.6\\ 0.7& -1.1\end{массив}|[/latex]

    [латекс]|\begin{массив}{ccc}-1& 4& 3\\ 0& 2& 3\\ 0& 0& -3\end{массив}|[/latex]

    Показать решение

    [латекс]|\begin{array}{ccc}\sqrt{2}& 0& 0\\ 0& \sqrt{2}& 0\\ 0& 0& \sqrt{2}\end{array}|[/latex ]

    В следующих упражнениях используйте правило Крамера для решения линейных систем уравнений.

    [латекс]\begin{массив}{r}\hfill 4x-2y=23\,\,\,\,\\ \hfill -5x-10y=-35\end{массив}[/latex]

    Показать решение

    [латекс]\begin{array}{l}0. 2x-0.1y=0\\ -0.3x+0.3y=2.5\end{массив}[/latex]

    [латекс]\begin{массив}{ r}\hfill -0.5x+0.1y=0.3\,\,\,\\ \hfill -0.25x+0.05y=0.15\end{массив}[/latex]

    Показать решение

    [латекс]\begin{array}{l}x+6y+3z=4\\ 2x+y+2z=3\\ 3x-2y+z=0\end{массив}[/latex]

    [ латекс]\begin{массив}{r}\hfill 4x-3y+5z=-\frac{5}{2}\\ \hfill 7x-9y-3z=\frac{3}{2}\,\,\ ,\,\\ \hfill x-5y-5z=\frac{5}{2}\,\,\,\,\end{массив}[/latex]

    Показать решение

    [латекс]\begin{array}{r}\frac{3}{10}x-\frac{1}{5}y-\frac{3}{10}z=-\frac{1}{ 50}\\ \frac{1}{10}x-\frac{1}{10}y-\frac{1}{2}z=-\frac{9}{50}\\ \frac{2} {5}x-\frac{1}{2}y-\frac{3}{5}z=-\frac{1}{5}\end{array}[/latex]

    Практический тест

    Есть следующая упорядоченная пара является решением системы уравнений?

    [латекс]\begin{array}{l}\\ \begin{array}{l}-5x-y=12\,\hfill \\ x+4y=9\hfill \end{array}\end{ массив}[/латекс]с[латекс]\,\влево(-3,3\вправо)[/латекс]

    Показать решение

    Для следующих упражнений решите системы линейных и нелинейных уравнений с помощью замены или исключения. Укажите, если решения не существует.

    [латекс]\begin{array}{r}\frac{1}{2}x-\frac{1}{3}y=4\\ \frac{3}{2}x-y=0\end{ array}[/latex]

    [latex]\begin{array}{r}\hfill \begin{array}{l}\\ -\frac{1}{2}x-4y=4\end{array} \\ \hfill 2x+16y=2\end{массив}[/latex]

    Показать решение

    [латекс]\begin{массив}{r}\hfill 5x-y=1\,\,\,\,\\ \hfill -10x+2y=-2\end{массив}[/latex] 9{2}}[/latex]

    В следующих упражнениях выполните заданные матричные операции.

    [латекс]5\влево[\begin{array}{cc}4& 9\\ -2& 3\end{массив}\right]+\frac{1}{2}\left[\begin{array}{ cc}-6& 12\\ 4& -8\end{массив}\right][/latex]

    Показать решение

    [латекс]\left[\begin{array}{rrr}\hfill 1& \hfill 4& \hfill -7\\ \hfill -2& \hfill 9& \hfill 5\\ \hfill 12& \hfill 0& \hfill -4 \end{массив}\right]\text{ }\left[\begin{array}{cc}3& -4\\ 1& 3\\ 5& 10\end{массив}\right][/latex] 9{-1}[/latex]

    Показать решение

    [латекс]\mathrm{det}|\begin{array}{cc}0& 0\\ 400& 4\text{,}000\end{массив}|[/latex]

    [латекс]\mathrm{det }|\begin{array}{rrr}\hfill \frac{1}{2}& \hfill -\frac{1}{2}& \hfill 0\\ \hfill -\frac{1}{2}& \hfill 0& \hfill \frac{1}{2}\\ \hfill 0& \hfill \frac{1}{2}& \hfill 0\end{array}|[/latex]

    Показать решение

    If[latex]\,\mathrm{det}\left(A\right)=-6,\,[/latex] какой будет определитель, если поменять местами строки 1 и 3, умножив вторую строку на 12, и взял обратное?

    Перепишите систему линейных уравнений в виде расширенной матрицы.

    [латекс]\begin{array}{l}14x-2y+13z=140\hfill \\ -2x+3y-6z=-1\hfill \\ x-5y+12z=11\hfill \end{array }[/latex]

    Показать решение

    Перепишите расширенную матрицу в виде системы линейных уравнений.

    [латекс]\left[\begin{array}{rrr}\hfill 1& \hfill 0& \hfill 3\\ \hfill -2& \hfill 4& \hfill 9\\ \hfill -6& \hfill 1& \hfill 2\ end{массив}|\begin{массив}{r}\hfill 12\\ \hfill -5\\ \hfill 8\end{массив}\right][/latex]

    В следующих упражнениях используйте метод исключения Гаусса для решения систем уравнений.

    [латекс]\begin{array}{r}x-6y=4\\ 2x-12y=0\end{массив}[/latex]

    Показать решение

    [латекс]\begin{array}{r}\hfill 2x+y+z=-3\\ \hfill x-2y+3z=6\,\,\,\,\\ \hfill x-y-z=6\ ,\,\,\,\end{array}[/latex]

    В следующих упражнениях используйте обратную матрицу для решения систем уравнений.

    [латекс]\begin{массив}{r}\hfill 4x-5y=-50\\ \hfill -x+2y=80\,\,\,\,\end{массив}[/latex]

    Показать решение

    [латекс]\begin{array}{r}\hfill \frac{1}{100}x-\frac{3}{100}y+\frac{1}{20}z=-49\\ \hfill \frac{3}{100}x-\frac{7}{100}y-\frac{1}{100}z=13\,\,\,\,\\ \hfill \frac{9}{100 }x-\frac{9}{100}y-\frac{9}{100}z=99\,\,\,\,\end{array}[/latex]

    В следующих упражнениях используйте формулу Крамера. Правило решения систем уравнений.

    [латекс]\начало{массив}{l}200x-300y=2\\ 400x+715y=4\конец{массив}[/латекс]

    Показать решение

    [латекс]\begin{array}{l}0,1x+0,1y-0,1z=-1,2\\ 0,1x-0,2y+0,4z=-1,2\\ 0,5x-0,3y+0,8z=-5,9{2}+160x.\,[/latex]Какой ассортимент сотовых телефонов они должны производить каждый день, чтобы получать прибыль? Округлите до ближайшего числа, приносящего прибыль.

    Показать решение

    Небольшая ярмарка стоит 1,50 доллара для студентов, 1 доллар для детей и 2 доллара для взрослых. За один день пришло в три раза больше детей, чем взрослых. Всего было продано 800 билетов на общую сумму 1050 долларов. Сколько билетов каждого типа было продано?

    Глоссарий

    Правило Крамера
    метод решения систем уравнений, имеющих такое же количество уравнений, что и переменных, с использованием определителей
    определитель
    число, рассчитанное с использованием элементов квадратной матрицы, определяющее такую ​​информацию, как наличие решения системы уравнений

    Правило Крамера с вопросами и решениями

    \( \) \( \) \( \) \( \)

    Правило Крамера используется для решения системы n линейных уравнений с n переменными с использованием явных формул. Сначала мы начнем с доказательства правила Крамера для решения системы линейных уравнений 2 на 2. Также представлены правила для систем уравнений 3 на 3. Затем представлены примеры и вопросы с подробными решениями.
    Чтобы проверить ответы при решении систем уравнений 2 на 2 и 3 на 3, вы можете использовать эти онлайн-калькулятор и решатель систем уравнений.

    Правила Крамера для системы уравнений 2 на 2

    Чтобы найти правила (или формулы), которые можно использовать для решения любой системы линейных уравнений 2 на 2, нам нужно решить общую систему вида

    Умножаем уравнение (1) на b 2 и уравнение (2) на — b 1 .
    \( \оставил\{ \begin{массив}{lcl} a_1 b_ 2 x + b_1 b_2 y & = & c_1 b_2\\ -a_2 b_1 x — b_2 b_1 y & = & — c_2 b_1 \конец{массив} \Правильно. \)

    Сложите левые и правые части приведенных выше уравнений и упростите, чтобы получить уравнение с одной переменной.
    \( a_1 b_2 x — a_2 b_1 x = c_1 b_2 — c_2 b_1 \)

    Фактор x слева
    \( х(а_1 б_2 — а_2 б_1) = б_2 с_1 — б_1 с_2 \)

    Решите приведенное выше уравнение для x
    \( х = \dfrac{c_1 b_2 — c_2 b_1}{a_1 b_2 — a_2 b_1} \)

    Мы можем использовать аналогичные шаги, чтобы исключить x и найти y для получения.
    \( y = \dfrac{a_1 c_2 — a_2 c_1}{a_1 b_2 — a_2 b_1} \)

    Решение данной системы линейных уравнений 2 на 2 дается по правилам Крамера следующим образом
    \[ х = \dfrac{D_x}{D} , y = \dfrac{D_y}{D} \]
    Используя определитель матрицы 2 на 2, \( D \), \( D_x \) и \( D_y \) определяются как

    \( D = \begin{vmatrix}a_1&b_1\\ a_2&b_2\end{vmatrix} = a_1 b_2 — b_1 a_2\)

    \( D_x = \begin{vmatrix}\color{red}{c_1} & b_1\\ \color{red}{c_2} & b_2\end{vmatrix} = c_1 b_2 — b_1 c_2\)

    \( D_y = \begin{vmatrix}a_1 & \color{red}{c_1}\\ a_2 & \color{red}{c_2}\end{vmatrix} = a_1 c_2 — c_1 a_2\)

    • Пример 1
      Используйте правило Крамера для решения системы \[ \оставил\{ \begin{массив}{lcl} 2 х — 3 у&=&5\ -4 х + 7 у & = & -11 \конец{массив} \Правильно. \] Решение примера 1
      Вычислить определители \( D, D_x \text{и} D_y \)
      \( D = \begin{vmatrix}2 & -3\\ -4 & 7\end{vmatrix} = (2)(7) — (-3)(-4) = 2 \)

      \( D_x = \begin{vmatrix} 5 & -3\\ -11 & 7\end{vmatrix} = (5)(7) — (-3)(-11) = 2 \)

      \( D_y = \begin{vmatrix} 2 & 5\\ -4 & -11\end{vmatrix} = (2)(-11) — (5)(-4) = -2 \)

      Теперь воспользуемся правилом Крамера для вычисления неизвестных \(x\) и \(y\).
      \( х = \dfrac{D_x}{D} = \dfrac{2}{2} = 1 \)

      \( y = \dfrac{D_y}{D} = \dfrac{-2}{2} = -1 \)

      В качестве упражнения замените \(x\) и \(y\) на 1 и -1 соответственно в заданной системе и убедитесь, что найденное решение удовлетворяет системе уравнений.
      Примечание. Если определитель D равен нулю, правило Крамера нельзя использовать для решения системы линейных уравнений.

    Правила Крамера для системы уравнений 3 на 3

    Общая система линейных уравнений 3 на 3 может быть записана следующим образом: \[ \оставил\{ \begin{массив}{lcl} a_1 x + b_1 y + c_1 z = & \color{red}{d_1} & (1)\\ a_2 x + b_2 y + c_2 = & \color{red}{d_2} & (2) \\ a_3 x + b_3 y + c_3 = & \color{red}{d_3} & (2) \\ \конец{массив} \Правильно. \]

    Для системы линейных уравнений 3 на 3 правило Крамера дает решение следующим образом
    \[ x = \dfrac{D_x}{D} , y = \dfrac{D_y}{D} , z = \dfrac{D_z}{D} \]
    , где \( D, D_x, D_y \text{и} D_z \) являются определителями 3 на 3 матрицы, определенные формулой

    \( D = \begin{vmatrix}a_1&b_1&c_1\\ a_2&b_2&c_2\\a_3 & b_3 & c_3 \end{vmatrix}\)

    \( D_x = \begin{vmatrix}\color{red}{d_1} & b_1 & c_1\\ \color{red}{d_2} & b_2 & c_2 \\ \color{red}{d_3} &b_3&c_3 \end {vматрица} \), \( D_y = \begin{vmatrix}a_1&\color{red}{d_1}&c_1\\ a_2&\color{red}{d_2}&c_2\\a_3 & \color{red}{d_3} & c_3 \end{vmatrix} \) , \( D_z = \begin{vmatrix}a_1&b_1&\color{red}{d_1}\\ a_2&b_2&\color{red}{d_2}\\a_3 & b_3 & \color{red}{d_3} \end{vmatrix}\)

    • Пример 2
      Используйте правило Крамера для решения системы \[ \оставил\{ \begin{массив}{lcl} — х — 3 у — з&=&6\ 2 х — 5 у — 2 з &=& 14\ х + у & = & -1 \конец{массив} \Правильно. \] Решение примера 2
      Вычислить определители \( D, D_x ,D_y \text{и} D_z \)
      \( D = \begin{vmatrix} -1 & — 3 & -1 \\ 2 & -5 & -2\\ 1&1&0\end{vmatrix} = -1\cdot \begin{vmatrix} -5&-2\ \ 1&0\end{vmatrix}-\left(-3\right) \begin{vmatrix}2&-2\\ 1&0\end{vmatrix}-1\cdot \begin{vmatrix}2&-5\\ 1&1\end{ vматрица} = -3\)

      \( D_x = \begin{vmatrix} 6 & — 3 & -1 \\ 14 & -5 & -2\\ -1&1&0\end{vmatrix} = 6\cdot \begin{vmatrix}-5&-2\\ 1&0\end{vmatrix}-\left(-3\right)\begin{vmatrix}14&-2\\ -1&0\end{vmatrix}-1\cdot \begin{vmatrix}14&-5\\ -1&1\end {vmatrix} = -3\)

      \( D_y = \begin{vmatrix} -1 & 6 & -1 \\ 2 & 14 & -2\\ 1& -1&0\end{vmatrix} = -1\cdot \begin{vmatrix} 14&-2\ \ -1&0\end{vmatrix}-6\cdot \begin{vmatrix}2&-2\\ 1&0\end{vmatrix}-1\cdot \begin{vmatrix}2&14\\ 1&-1\end{vmatrix} = 6 \)

      \( D_z = \begin{vmatrix} -1 & — 3 & 6 \\ 2 & -5 & 14\\ 1&1&-1\end{vmatrix} = -1\cdot \begin{vmatrix}-5&14\\ 1&-1\end{vmatrix}-\left(-3\right) \begin{vmatrix}2&14\\ 1&-1\end{vmatrix}+6\cdot \begin{vmatrix}2&-5\\ 1&1\end {vматрица} = 3\)
      Используйте правило Крамера для вычисления неизвестных \(x\), \(y\) и \(z\).
      \( x = \dfrac{D_x}{D} = \dfrac{-3}{-3} = 1 \)

      \( y = \dfrac{D_y}{D} = \dfrac{6}{-3} = -2 \)

      \( z = \dfrac{D_z}{D} = \dfrac{3}{-3} = -1 \)
      В качестве упражнения замените \(x\), \(y\) и \(y\) на 1, -2 и 1 соответственно в данной системе, чтобы проверить найденное решение.

    Вопросы с решением

    • Часть 1
      Используйте правило Крамера для решения следующих систем линейных уравнений.
      а) \( \оставил\{ \begin{массив}{lcl} 5 х — \dfrac{2}{3} y & = & \dfrac{1}{3} \\ — x + \dfrac{1}{2} y & = & — \dfrac{1}{2} \конец{массив} \Правильно. \)     б) \( \оставил\{ \begin{массив}{lcl} 0,1 х — 0,3 у&=&1,1\ — 0,2 х + 1,3 у & = & — 1,5 \конец{массив} \Правильно. \)

      в) \( \оставил\{ \begin{массив}{lcl} — 3x + 5 y — z & = & \dfrac{1}{2} \\ \dfrac{1}{5} x — 5 y — \dfrac{3}{5} z & = & 0 \\ -4 x + \dfrac{4}{5} y — z & = & — 7 \конец{массив} \Правильно. \)

    • Часть 2
      Используйте правило Крамера, чтобы найти решение системы линейных уравнений относительно параметра k.
      а) \( \оставил\{ \begin{массив}{lcl} 5 х — к у & = & 6 \ — 2 х + 2 к у & = & — 3 \конец{массив} \Правильно. \)     б) \( \оставил\{ \begin{массив}{lcl} 2 х — 3 у&=&к\ х + 2 у & = & -2k \конец{массив} \Правильно. \)
    • Часть 3
      Используйте правило Крамера, чтобы найти решение системы линейных уравнений относительно параметров p и q.
      а) \( \оставил\{ \begin{массив}{lcl} — х — 3 у&=&5 п\ — 2 х — 5 у & = & — 2 у \конец{массив} \Правильно. \)

      б) Используйте свой ответ на вопрос а) для решения систем
      1) \( \оставил\{ \begin{массив}{lcl} — х — 3 у&=&10\ — 2 х — 5 у & = & — 4 \конец{массив} \Правильно. \)     2) \( \оставил\{ \begin{массив}{lcl} — х — 3 у&=&5/2\ — 2 х — 5 у & = & — 2 \конец{массив} \Правильно. \)     3) \( \оставил\{ \begin{массив}{lcl} — х — 3 у&=&50\ — 2 х — 5 у & = & 6 \конец{массив} \Правильно. \)

    • Часть 4
      Решите систему и покажите, что решение не зависит от параметра p.
      \( \оставил\{ \begin{массив}{lcl} 5 х — 6 у + 6 з &=&-14\ 9 х — р у — з & = & 22 \ -2 х — 6 у & = & -4 \конец{массив} \Правильно. \)

    Ответы на вышеуказанные вопросы

    • Часть 1
      а) Вычислить определители
      \( D = \begin{vmatrix} 5 & -2/3\\ -1 & 1/2 \end{vmatrix} = (5)(1/2)-(-2/3)(-1) = 11/6\)

      \( D_x = \begin{vmatrix} 1/3 и -2/3\\ -1/2 и 1/2 \end{vmatrix} = (1/3)(1/2)-(-2/3 )(-1/2) = -1/6\)

      \( D_y = \begin{vmatrix} 5 & 1/3\\ -1 & -1/2 \end{vmatrix} = (5)(-1/2)-(1/3)(-1) = -13/6\)

      Решение дается правилом Крамера следующим образом
      \( х = \dfrac{D_x}{D} = -\dfrac{1}{11} \)

      \( y = \dfrac{D_y}{D} = -\dfrac{13}{11} \)

      б) Определители определяются как
      \( D = \begin{vmatrix} 0,1 и -0,3\\ -0,2 и 1,3 \end{vmatrix} = (0,1)(1,3) — (-0,3)(-0,2) = 0,07\)

      \( D_x = \begin{vmatrix} 1,1 & -0,3\\ -1,5 & 1,3 \end{vmatrix} = (1,1)(1,3) — (-0,3)(-1,5) = 0,98\)

      \( D_y = \begin{vmatrix} 0,1 и 1,1\\ -0,2 & -1,5 \end{vmatrix} = (0,1)(-1,5) — (1,1)(-0,2) = 0,07\)

      Решение дается
      \( х = \dfrac{D_x}{D} = \dfrac{0,98}{0,07} = 14 \)

      \( y = \dfrac{D_y}{D} = \dfrac{0,07}{0,07} = 1\)

      в) Определители 3 на 3 \( D, D_x ,D_y \text{и} D_z \) вычисляются с использованием определителей 2 на 2 следующим образом.
      \( D = \begin{vmatrix} -3 & 5 & -1 \\ 1/5 & -5 & — 3/5\\ -4 & 4/5 & -1 \end{vmatrix} = -3\ cdot \begin{vmatrix}-5&-\frac{3}{5}\\ \frac{4}{5}&-1\end{vmatrix}-5\cdot \begin{vmatrix}\frac{1}{ 5}&-\frac{3}{5}\\ -4&-1\end{vmatrix}-1\cdot \begin{vmatrix}\frac{1}{5}&-5\\ -4&\frac{ 4}{5}\end{vmatrix} = 82/5 \)

      \( D_x = \begin{vmatrix} 1/2 & 5 & -1 \\ 0 & -5 & — 3/5\\ -7 & 4/5 & -1 \end{vmatrix} = \frac{ 1}{2} \begin{vmatrix}-5&-\frac{3}{5}\\ \frac{4}{5}&-1\end{vmatrix}-5\cdot \begin{vmatrix}0&- \frac{3}{5}\\ -7&-1\end{vmatrix}-1\cdot \begin{vmatrix}0&-5\\ -7&\frac{4}{5}\end{vmatrix} = 2937/50\)

      \( D_y = \begin{vmatrix} -3 & 1/2 & -1 \\ 1/5 & 0 & — 3/5\\ -4 & -7 & -1 \end{vmatrix} = -3 \cdot \begin{vmatrix}0&-\frac{3}{5}\\ -7&-1\end{vmatrix}-\frac{1}{2} \begin{vmatrix}\frac{1}{5} &-\frac{3}{5}\\ -4&-1\end{vmatrix}-1\cdot \begin{vmatrix}\frac{1}{5}&0\\ -4&-7\end{vmatrix} = 153/10\)

      \( D_z = \begin{vmatrix} -3 & 5 & 1/2 \\ 1/5 & -5 & 0\\ -4 & 4/5 & — 7 \end{vmatrix} = -3\cdot \begin{vmatrix}-5&0\\ \frac{4}{5}&-7\end{vmatrix}-5\cdot \begin{vmatrix}\frac{1}{5}&0\\ -4&-7\ end{vmatrix}+\frac{1}{2} \begin{vmatrix}\frac{1}{5}&-5\\ -4&\frac{4}{5}\end{vmatrix} = -2698/25\)

      Решение дается
      \( x = \dfrac{D_x}{D} = \dfrac{2937/50}{82/5} = \dfrac{2937}{820} \)

      \( y = \dfrac{D_y}{D} = \dfrac{153/10}{82/5} = \dfrac{153}{164} \)

      \( z = \dfrac{D_z}{D} = \dfrac{-2698/25}{82/5} = -\dfrac{1349}{205} \)

    • Часть 2
      а) Определители задаются формулой
      \( D = \begin{vmatrix} 5 & -k\\ -2 & 2k \end{vmatrix} = (5)(2k)-(-k)(-2) = 8k \)

      \( D_x = \begin{vmatrix} 6 & -k\\ -3 & 2k \end{vmatrix} = (6)(2k)-(-k)(-3) = 9к\)

      \( D_y = \begin{vmatrix} 5 и ​​6\\ -2 & -3\end{vmatrix} = (5)(-3)-(6)(-2) = — 3 \)

      Решение для системы
      \( x = \dfrac{D_x} {D} = \dfrac{9k}{8k} = \dfrac{9}{8} \) ,     \( y = \dfrac{D_y}{D} = \dfrac{-3}{8k} = -\dfrac{3}{8k} \)

      б) Определители определяются как
      \( D = \begin{vmatrix} 2 & — 3\\ 1 & 2 \end{vmatrix} = (2)(2) — (-3)(1) = 7 \)

      \( D_x = \begin{vmatrix} k & — 3\\ -2 k & 2 \end{vmatrix} = (k)(2) — (-3)(-2k) = -4k \)

      \( D_y = \begin{vmatrix} 2 & k\\ 1 & -2k \end{vmatrix} = (2)(-2k) — (k)(1) = -5k \)
      Решение системы
      \( x = \dfrac{D_x}{D} = \dfrac{-4k}{7} = -\dfrac{4}{7}k \) ,     \( y = \dfrac{D_y}{D} = \dfrac{-5k}{7} = -\dfrac{5}{7}k \)

    • Часть 3
      а) Используя правило Крамера, решения даются
      \( x = 6 q + 25 p \)         \( y = -2 q — 10 p \)

      б)
      1) Если в системе уравнений п. а) заменить параметры p и q на 2 и 2 соответственно, получим систему уравнений
      \( \оставил\{ \begin{массив}{lcl} — х — 3 у&=&10\ — 2 х — 5 у & = & — 4 \конец{массив} \Правильно. \)
      , который мы должны решить. Но система в а) решена для всех значений p и q. Следовательно, чтобы решить систему в б) 1), мы заменяем p и q их значениями (2 и 2) в решениях, полученных в а), что дает.
      \( x = 6 q + 25 p = 6(2) + 25(2) = 62 \)         \( y = -2 q — 10 p = -2 (2) — 10 (2) = -24 \)

      2) Для этой системы p = 1/2 и q = 1; отсюда и решение
      \( x = 6 q + 25 p = 6(1) + 25(1/2) = 37/2 \)         \( y = -2 q — 10 p = -2 (1) — 10 (1/2 ) = — 7 \)

      3) Для этой системы p = 10 и q = -3; отсюда и решение
      \( x = 6 q + 25 p = 6(-3) + 25(10) = 232 \)         \( y = -2 q — 10 p = -2(-3) — 10(10) = — 94 \)

    • Часть 4
      Детерминанты, используемые в правиле Крамера, задаются формулой

      \( D = \begin{vmatrix}5&-6&6\\ \:\:9&-p&-1\\ \:\:-2&-6&0\end{vmatrix} =5\cdot \begin{vmatrix}-p& -1\\ -6&0\end{vmatrix}-\left(-6\right) \begin{vmatrix}9&-1\\ -2&0\end{vmatrix}+6\cdot \begin{vmatrix}9&-p\\ -2&-6\end{vmatrix} = -12p-366\)

      \( D_x = \begin{vmatrix}-14&-6&6\\ \:\:22&-p&-1\\ \:\:\:-4&-6&0\end{vmatrix} = -14\cdot \begin {vmatrix}-p&-1\\ -6&0\end{vmatrix}-\left(-6\right) \begin{vmatrix}22&-1\\ -4&0\end{vmatrix}+6\cdot \begin{vmatrix }22&-p\\ -4&-6\end{vmatrix} = -24p-732\)

      \( D_y = \begin{vmatrix}5&-14&6\\ \:\:\:9&22&-1\\ \:\:\:-2&-4&0\end{vmatrix} = =5\cdot \begin{ vmatrix}22&-1\\ -4&0\end{vmatrix}-\left(-14\right) \begin{vmatrix}9&-1\\ -2&0\end{vmatrix}+6\cdot \begin{vmatrix}9&22\\ -2&-4\end{vmatrix} = 0 \)

      \( D_z = \begin{vmatrix}5&-6&-14\\ \:\:\:9&-p&22\\ \:\:\:-2&-6&-4\end{vmatrix} = =5\ cdot \begin{vmatrix}-p&22\\ -6&-4\end{vmatrix}-\left(-6\right) \begin{vmatrix}9&22\\ -2&-4\end{vmatrix}-14\cdot \ begin{vmatrix}9&-p\\ -2&-6\end{vmatrix} = 48p+1464\)

      Решения даются по правилу Крамера следующим образом

      \( x = \dfrac{D_x}{D} = \dfrac{-24p-732}{-12p-366} = 2 \)

      \( y = \dfrac{D_y}{D} = \dfrac{0}{-12p-366} = 0 \)

      \( z = \dfrac{D_z}{D} = \dfrac{48p+1464}{-12p-366} = -4 \)

    Ссылки и ссылки, относящиеся к системам уравнений и определителю

    Исключение Гаусса для решения систем — вопросы с решениями . Калькулятор решателя с исключением Гаусса для системы уравнений 3 на 3 .
    Решатель Калькулятор для решения систем уравнений 3 на 3 с использованием правил Крамерса .
    Решение систем уравнений — Учебник. Метод устранения.
    Подробнее об определителе матрицы и правиле Крамера.
    Решение систем уравнений — Учебник.
    Калькулятор систем уравнений и решатель.

    Как решать системы уравнений с помощью правила Крамера

    Помимо освежения в памяти читателей основных методов решения системы уравнений, этот урок знакомит их с более сложной стратегией, включающей матрицы и определители. Этот метод, названный в честь его автора Габриэля Крамера, широко известен как правило Крамера.

    Что такое правило Крамера?

    Предположим, у нас есть система уравнений с двумя переменными

    ax + by = e

    cx + dy = f

    Мы можем переписать эту систему в матричной записи как: утверждает, что:

    Примечание. Нам нужно заменить первый столбец определителя коэффициентов элементами постоянной матрицы, чтобы найти x, и заменить им второй столбец, чтобы найти y.

    Аналогично, для системы уравнений с тремя переменными

    Примечание. Нам нужно заменить первый, второй и третий столбцы определителя коэффициентов элементами постоянной матрицы, чтобы найти x, y и z соответственно.

    Решение системы уравнений с двумя переменными с помощью правила Крамера

    Давайте решим эту линейную систему с двумя переменными с помощью правила Крамера.

    3x + y = 1

    x – 2y = 5

    Сначала нам нужно вычислить определитель матрицы коэффициентов.

    Определитель матрицы коэффициента составляет:

    = 3 (–2) — 1 (1)

    = –6 — 1

    Δ = –7

    У нас есть ненулевой коэффициент. Давайте перейдем к нашему следующему шагу: нахождение x.

    Примечание. При Δ = 0 система либо не имеет решений, либо имеет бесконечное множество решений. Правило Крамера в этом случае неприменимо.

    При замене столбца x определителя коэффициентов постоянной матрицей имеем:

       = 1(-2) – 1(5)

       = –2 – 5

    Когда мы заменяем столбец y определителя коэффициентов постоянной матрицей, мы имеем:

       = 3(5) – 1(1)

       = 15 – 1

     NowΔy = 14 900 все готово для применения правила Крамера. По правилу имеем:

       x = Δx Δ , y = Δy Δ

    Plugging in the appropriate values, we have:

      x = –7 –7 , y = 14 –7

    ⇨ x = 1, y = –2

    Таким образом, решением нашей системы является (1, –2).

    Теперь, когда мы поняли шаги, давайте применим правило к системе уравнений с 3 переменными.

    Решение систем уравнений с тремя переменными с использованием правила Крамера

    Правило Крамера — наиболее эффективный метод решения систем из 3 и более уравнений, поскольку все остальные методы включают в себя ряд шагов. Основное преимущество заключается в том, что мы можем выбрать решение для любой одной переменной, и нам не нужно решать всю систему.

    Решим эту систему по правилу Крамера.

    x + y + 2z = 6

    2x + y + 3z = 10

    x + 2y – z = –20

    Чтобы решить эту систему с помощью правила Крамера, определитель матрицы коэффициентов должен быть ненулевым числом. Проиллюстрируем это.

      = 1(–1 – 6) – 1(–2 – 3) + 2(4 – 1)

      = 1(–7) – 1(–5) + 2(3)

      = – 7 + 5 + 6

     Δ = 4

    Δ ≠ 0; так что давайте продолжим поиск Δx, Δy и Δz.

       = 6(–1 – 6) – 1(–10 + 60) + 2(20 + 20)

       = 6(–7) – 1(50) + 2(40)

       = –42 – 50 + 80

     Δx = –12

       = 1(–10 + 60) – 6(–2 – 3) + 2(–40 – 10)

       = 1(50) – 6(–5) ) + 2(–50)

       = 50 + 30 – 100

     Δy = –20

       = 1(–20 – 20) – 1(–40 – 10) + 6(4 – 1)

       = 1(–40) – 1(–50) + 6( 3)

       = –40 + 50 + 18

     Δz = 28

    Теперь применим правило Крамера.

    x = Δx Δ , Y = ΔY Δ , Z = ΔZ Δ

    . у = –20 4 , z = 28 4

     x = –3, y = –5, z = 7

    Таким образом, решение нашей системы (–3, –5, 7).

    Пример

    Найдите z по правилу Крамера.

     –y + z = –3 – 7x

     5y – z = 26 – 2x

     y – 2z = –24 – 8x

    Преобразование уравнений в стандартной форме:

     2x + 5y – z = 26

     8x + y – 2z = –24

      = 7(–10 + 1) + 1(–4 + 8) + 1(2 – 40)

      = 7(–9) + 1(4) + 1(–38)

      = –63 + 4 – 38

     Δ = –97

    Нахождение z по правилу Крамера: Δ

    = 7 (–120 — 26) + 1 (–48 — 208) — 3 (2 — 40) –97

    = 7 (–146) + 1 (–2566. ) – 3(–38) –97

       = –1,022 – 256 + 114 –97

       = –1,164 –97

       z = 12

    Таким образом, значение переменной z равно 12.

    Мгновенная оценка определителей 3×3 с помощью калькулятора определителей!

    Заполните элементы матрицы 3×3 и быстро найдите ее определитель!

    A=

    Краткое резюме!

    • Правило Крамера эффективно при решении систем уравнений с тремя и более переменными.

    • Правило Крамера помогает нам решать любую конкретную переменную, и нам не нужно каждый раз решать всю систему.

    • Правило Крамера применимо только тогда, когда Δ≠0.

    • При Δ = 0 система либо не имеет решений, либо имеет бесконечно много решений.


    Пройди тест по решению систем уравнений с помощью правила Крамера прямо сейчас!

    Прогресс

    Перезапустить тест

    Извините, ваш ответ неверен.

    Ответ:

    Решение систем линейных уравнений с Python’s Numpy

    Библиотека Numpy может использоваться для выполнения различных математических/научных операций, таких как матричное перекрестное и точечное произведение, нахождение значений синуса и косинуса, преобразование Фурье и манипулирование фигурами и т. д. Слово Numpy является сокращением от «Числовой Python».

    В этой статье вы узнаете, как решить систему линейных уравнений с помощью библиотеки Python Numpy.

    Что такое система линейных уравнений?

    Википедия определяет систему линейных уравнений как:

    В математике система линейных уравнений (или линейная система) представляет собой набор двух или более линейных уравнений с одним и тем же набором переменных.

    Конечной целью решения системы линейных уравнений является нахождение значений неизвестных переменных. Вот пример системы линейных уравнений с двумя неизвестными переменными, x и y :

    Уравнение 1:

     4x + 3y = 20
    -5х + 9у = 26
     

    Чтобы решить приведенную выше систему линейных уравнений, нам нужно найти значения переменных x и y . Существует несколько способов решения такой системы, например, исключение переменных, правило Крамера, метод сокращения строк и матричное решение. В этой статье мы рассмотрим матричное решение.

    При матричном решении решаемая система линейных уравнений представляется в виде матрицы АХ = В . Например, мы можем представить уравнение 1 в виде матрицы следующим образом:

     A = [[ 4 3]
         [-5 9]]
    Х = [[х]
         [г]]
    В = [[20]
         [26]]
     

    Чтобы найти значения x и y переменных в уравнении 1 , нам нужно найти значения в матрице X . Для этого мы можем взять скалярное произведение обратной матрицы A и матрицы B , как показано ниже:

     X = обратная(A).B
     

    Если вы не знаете, как найти обратную матрицу, взгляните на эту ссылку, чтобы понять, как вручную найти обратную матрицу. Чтобы понять матричное скалярное произведение, ознакомьтесь с этой статьей.

    Решение системы линейных уравнений с помощью Numpy

    Из предыдущего раздела мы знаем, что для решения системы линейных уравнений нам необходимо выполнить две операции: обращение матрицы и скалярное произведение матрицы. Библиотека Numpy от Python поддерживает обе операции. Если вы еще не установили библиотеку Numpy, вы можете сделать следующие pip команда:

     $ pip install numpy
     

    Теперь посмотрим, как решить систему линейных уравнений с помощью библиотеки Numpy.

    Используя методы inv() и dot()

    Сначала мы найдем обратную матрицу A , которую мы определили в предыдущем разделе.

    Давайте сначала создадим матрицу A в Python. Для создания матрицы можно использовать метод массива модуля Numpy. Матрицу можно рассматривать как список списков, где каждый список представляет строку.

    В следующем сценарии мы создаем список с именем m_list , который дополнительно содержит два списка: [4,3] и [-5,9] . Эти списки представляют собой две строки в матрице A . Чтобы создать матрицу A с помощью Numpy, m_list передается в метод массива , как показано ниже:

     import numpy as np
    m_list = [[4, 3], [-5, 9]]
    A = np.массив (m_list)
     

    Чтобы найти обратную матрицу, матрица передается в linalg.inv() метод модуля Numpy:

     inv_A = np.linalg.inv(A)
    печать (инв_А)
     

    Следующим шагом является нахождение скалярного произведения между матрицей, обратной A , и матрицей B . Важно отметить, что матричное скалярное произведение возможно только между матрицами , если внутренние размерности матриц равны , т.е. количество столбцов левой матрицы должно совпадать с количеством строк в правой матрице.

    Чтобы найти точечный продукт с библиотекой Numpy, используется функция linalg.dot() . Следующий скрипт находит скалярное произведение между обратной матрицей A и матрицей B , которая является решением уравнения 1 .

     B = np.массив ([20, 26])
    X = np.linalg.inv(A).dot(B)
    печать (Х)
     

    Вывод:

     [2. 4.]
     

    Здесь 2 и 4 являются соответствующими значениями для неизвестных x и y в Уравнение 1 . Для проверки, если вы подставите 2 вместо неизвестного x и 4 вместо неизвестного y в уравнении 4x + 3y , вы увидите, что результат будет 20.

    Давайте теперь решим систему трех линейных уравнений, как показано ниже:

     4x + 3y + 2z = 25
    -2x + 2y + 3z = -10
    3x -5y + 2z = -4
     

    Приведенное выше уравнение можно решить с помощью библиотеки Numpy следующим образом:

    Уравнение 2:

     A = np.array([[4, 3, 2], [-2, 2, 3], [3, -5, 2]])
    B = np.массив ([25, -10, -4])
    X = np.linalg.inv(A).dot(B)
    печать (Х)
     

    В приведенном выше сценарии методы linalg.inv() и linalg.dot() объединены в цепочку. Переменная X содержит решение уравнения 2 и выводится следующим образом:

     [ 5. 3. -2.]
     

    Значения неизвестных x , y и z равны 5, 3 и -2 соответственно. Вы можете подставить эти значения в Уравнение 2 и проверьте их правильность.

    Использование методаsolve()

    В предыдущих двух примерах мы использовали методы linalg.inv() и linalg. dot() для нахождения решения системы уравнений. Однако библиотека Numpy содержит метод linalg.solve() , который можно использовать для непосредственного нахождения решения системы линейных уравнений:

     A = np.array([[4, 3, 2], [ -2, 2, 3], [3, -5, 2]])
    B = np.массив ([25, -10, -4])
    X2 = np.linalg.solve(A,B)
    печать (X2)
     

    Вывод:

     [ 5. 3. -2.]
     

    Вы видите, что вывод такой же, как и раньше.

    Пример из реальной жизни

    Давайте посмотрим, как можно использовать систему линейных уравнений для решения реальных задач.

    Предположим, продавец фруктов продал 20 манго и 10 апельсинов за один день на общую сумму 350 долларов. На следующий день он продал 17 манго и 22 апельсина за 500 долларов. Если цены на фрукты оставались неизменными в оба дня, какова была цена одного манго и одного апельсина?

    Эту задачу легко решить с помощью системы двух линейных уравнений.

    Допустим, цена одного манго x , а цена одного апельсина y . Приведенную выше задачу можно преобразовать следующим образом:

     20x + 10y = 350.
    17х + 22у = 500
     

    Здесь показано решение приведенной выше системы уравнений:

     A = np.array([[20, 10], [17, 22]])
    B = np.массив ([350, 500])
    X = np.linalg.solve(A,B)
    печать (Х)
     

    И вот результат:

     [10. 15.]
     

    Выходные данные показывают, что цена одного манго составляет 10 долларов, а цена одного апельсина — 15 долларов.

    Заключение

    В статье объясняется, как решить систему линейных уравнений с помощью библиотеки Python Numpy. Вы можете либо использовать методы linalg.inv() и linalg.dot() в цепочке для решения системы линейных уравнений, либо вы можете просто использовать метод solve() . Метод solve() является предпочтительным способом.

    Правило Крамера: Метод определителей

    Содержание | Дом

    Урок 35

    Одновременные уравнения: Раздел 2

    Назад к Разделу 1

    Правило Крамера: метод определителей

    Пример 4.    Решите эту систему одновременных уравнений:

    1)   3 x + 4 г = 19
     
    2)   2 x г = 9

    Решение . Если мы сложим уравнения как есть, ни одно из неизвестных не сократится. Теперь, если коэффициент y в уравнении 2) были равны -4, тогда y сокращались. Поэтому мы расширим нашу стратегию следующим образом:

    Сделайте одну пару коэффициентов отрицательными друг друга — на умножив
    обе части уравнения на одно и то же число. При добавлении уравнений это неизвестное будет устранено.

    Чтобы сделать коэффициенты и равными 4 и -4, мы умножим обе части уравнения 2) на 4 :

    1)   3 x + 4 г = 19 3 x + 4 г = 19
     
    2)   2 x г = 9 8 x 4 г = 36
     
      11 x     = 55
     
          х = 55
    11
     
          х = 5

    Цифра 4 над стрелкой в ​​уравнении 2) означает, что обе части этого уравнения были умножены на 4. Уравнение 1) не изменилось.

    Чтобы найти y , подставьте x = 5 в одно из исходных уравнений. В уравнении 1):

    3 · 5 + 4 у = 19
     
    4 г = 19 − 15
     
    4 у = 4
     
    г = 1

    Решение (5, 1).

    Ученик всегда должен проверять решение, заменяя x и y на (5, 1) в исходных уравнениях.

    Пример 5.   Решить одновременно:

    1)   3 x + 2 г = −2
     
    2)   2 x + 5 у = −5

    Решение . Мы должны сделать одну пару коэффициентов отрицательными друг для друга. В этом примере мы должны решить, какие из неизвестных исключить, x или y . В любом случае мы сделаем новые коэффициенты наименьшим общим кратным (НОК) исходных коэффициентов, но с противоположными знаками.

    Таким образом, если мы исключим x , то получим новые коэффициенты 6 и −6. (НОК 3 и 2 равен 6.) Хотя, если мы исключим и , сделаем их новые коэффициенты 10 и −10. (НОК 2 и 5 равен 10.)

    Давайте решим исключить x :

    1)   3 x + 2 г = −2 6 x + 4 г = −4
     
    2)   2 x + 5 у = −5 −6 x 15 г = 15
      __________________________________________________________________________
        11 г = 11
          г = −1.

    Уравнение 1) было умножено на 2. Уравнение 2) умножено на −3, потому что мы хотим сделать эти коэффициенты равными 6 и −6, чтобы при сложении и сокращались.

    решить на x , мы подставим y = −1 в исходное уравнение 1):

    3 x + 2(−1) = −2
     
    3 x − 2 = −2
     
    3 x = 0
     
    x = 0

    Решение (0, −1).

    Задача 3. Решить одновременно.

    1)   2 х + 3 г = 13
     
    2)   5 х г = 7

    Чтобы исключить и , умножьте уравнение 2) на 3:

    1)   2 x + 3 г = 13 2 x + 3 г = 13
    2)   5 x г = 7 15 x 3 г = 21
      __________________________________________________________________________
      17 х     = 34
          х = 2

    Чтобы найти и :

    Замена   x = 2 в одном из исходных уравнений.
    В уравнении 1:

    2 · 2 + 3 у = 13
     
    4 + 3 г = 13
     
    3 г = 9
     
    г = 3

    Решение (2, 3).

    Задача 4.   Решить одновременно.

    1)   х + 2 г = −1
     
    2)   2 х 3 г = 5

    Чтобы уменьшить размер x , умножьте уравнение 1) на −2:

    1)   х + 2 г = −1 −2 x 4 г = 2
     
    2)   2 x 3 у = 5 2 x 3 г = 5
      __________________________________________________________________________
        7 г = 7
     
          г = −1

    решить на х :

    Подставьте y = −1 в одно из исходных уравнений.
    В уравнении 1:

    х + 2(−1) = −1
     
    x − 2 = −1
     
    x = −1 + 2
     
    x = 1

    Решение (1, −1).

    Мы могли бы исключить и , умножив уравнение 1) на 3 и уравнение 2) на 2.

    Задача 5. Решить одновременно:

    1)   3 х 4 г = 1
     
    2)   2 х + 3 г = 12

    Чтобы отменить и :

    Умножьте уравнение 1) на 3 и уравнение 2) на 4:

    1)   3 x 4 г = 1 9 х 12 г = 3
     
    2)   2 x + 3 г = 12 8 x + 12 г = 48
      __________________________________________________________________________
      17 x     = 51
     
          х = 51
    17
     
          х = 3

    Чтобы решить для и :

    Подставьте x = 3 в одно из исходных уравнений.
    В уравнении 2 (поскольку знак и уже положительный):

    2 · 3 + 3 у = 12
     
    6 + 3 г = 12
     
    3 г = 6
     
    г = 2

    Решение (3, 2).

    Задача 6. Решить одновременно:

    1)   3 х + 2 г = −4
     
    2)   2 х + 5 у = 1

    Для отмены x :

    Умножьте уравнение 1) на 2 и уравнение 2) на −3:

    1)   3 x + 2 г = −4 6 x + 4 г = −8
     
    2)   2 x + 5 у = 1 −6 x 15 г = −3
      __________________________________________________________________________
        11 г = −11
     
          г = 1

    Чтобы решить для x :

    Подставьте y = 1 в одно из исходных уравнений.
    В уравнении 1:

    3 x + 2 · 1 = −4
     
    3 x + 2 = −4
     
    3 x = −4 − 2
     
    3 x = −6
     
    х = −2

    Решение (−2, 1).

    Мы могли бы исключить и , умножив уравнение 1) на 5 и уравнение 2) на −2.

    Задача 7. Решить одновременно:

    1)   5 х + 3 г = −11
     
    2)   2 х + 4 г = −10

    Для отмены x :

    Умножьте уравнение 1) на 2 и уравнение 2) на −5:

    1)   5 x + 3 г = −11 10 x + 6 г = −22
     
    2)   2 x + 4 г = −10 −10 x 20 г = 50
      __________________________________________________________________________
        14 г = 28
     
          г = −2

    Чтобы решить для x :

    Подставьте y = −2 в одно из исходных уравнений.
    В уравнении 1:

    5 x + 3(−2) = −11
     
    5 x − 6 = −11
     
    5 x = −11 + 6
     
    5 x = −5
     
    x = −1

    Решение (-1, -2).

    Мы могли бы исключить и , умножив уравнение 1) на 4 и уравнение 2) на −3.

    Правило Крамера: метод определителей

    Система двух уравнений с двумя неизвестными имеет следующий вид:

    и являются коэффициентами x . b — это коэффициенты y . Ниже представлена ​​матрица этих коэффициентов.

    Число   a 1 b 2 b 1 a 2  

    от = а 1 б 2 б 1 а 2

    Обозначим этот определитель через D.

    Теперь рассмотрим эту матрицу, в которой c заменяем коэффициентами x :

    Тогда определитель этой матрицы, которую мы назовем D x , равен

    .

    c 1 b 2 b 1 c 2

    И рассмотрим эту матрицу, в которой c заменяет коэффициенты y :

    Определитель этой матрицы — D y — равен

    a 1 c 2 c 1 a 2

    Правило Крамера утверждает следующее:

    Во всякой системе из двух уравнений с двумя неизвестными
    , в которой определитель D не равен 0,

    х = D x
     D
     
    г = Д у
    Д

    Пример. Используйте правило Крамера, чтобы решить эту систему уравнений (задача 7):

    5 x + 3 г = −11
     
    2 x + 4 г = −10

    Решение .

    Д = от = 5 · 4 − 3 · 2
     
      = 20 − 6
     
      = 14.
     
    D x = от = −11 · 4 − 3 ·  −10
     
      = −44 + 30
     
      = −14.
     
    Д у = от = 5 · −10 − (−11) · 2
     
      = −50 + 22
     
      = −28.

    Следовательно,

    х = D x
     D
    = −14
     14
    = −1.
     
    г = Д у
    Д
    = −28
     14
    = −2.

    Проблема. Используйте правило Крамера, чтобы решить эти одновременные уравнения.

    3 x 5 у = −31
     
    2 x + г = 1
    Д = от = 3 · 1 − (−5) · 2
     
      = 3 + 10
     
      = 13.
     
    D x = от = −31 · 1 − (−5) ·  1
     
      = −31 + 5
     
      = −26.
     
    Д у = от = 3 · 1 − (−31) · 2
     
      = 3 + 62
     
      = 65.

    Следовательно,

    x = D x
     D
    = −26
     13
    = −2.
     
    г = Д у
    Д
    = 65
    13
    = 5.

    Когда определитель D отличен от 0, мы говорим, что уравнения линейно независимы . Любая система линейно независимых уравнений имеет одно и только одно решение.

    Когда определитель D равен 0, то либо 1) единственного решения нет, можно назвать много; или 2) решения нет вообще. В случае 1) уравнения линейно зависимы . Один из них просто кратен другому. Например,

    х + у = 3

    2 x + 2 y = 6.  

    В случае 2) уравнения противоречивы .

    х + у = 3

    х + у = 4.

    Раздел 3. Три уравнения с тремя неизвестными

    Назад к Разделу 1

    Следующий урок: текстовые задачи, ведущие к уравнениям на одновременные уравнения

    Содержание | Дом


    Пожалуйста, сделайте пожертвование, чтобы TheMathPage оставался онлайн.
    Даже 1 доллар поможет.


    Copyright © 2021 Лоуренс Спектор

    Вопросы или комментарии?

    Электронная почта: [email protected]


    Правила Крамера для системы двусторонних матричных уравнений и ее частных случаев

    • Вход в панель авторов

    Что такое открытый доступ?

    Открытый доступ — это инициатива, направленная на то, чтобы сделать научные исследования бесплатными для всех. На сегодняшний день наше сообщество сделало более 100 миллионов загрузок. Он основан на принципах сотрудничества, беспрепятственного открытия и, самое главное, научного прогресса. Будучи аспирантами, нам было трудно получить доступ к нужным нам исследованиям, поэтому мы решили создать новое издательство с открытым доступом, которое уравняет правила игры для ученых со всего мира. Как? Упрощая доступ к исследованиям и ставя академические потребности исследователей выше деловых интересов издателей.

    Наши авторы и редакторы

    Мы являемся сообществом из более чем 103 000 авторов и редакторов из 3 291 учреждения в 160 странах мира, включая лауреатов Нобелевской премии и самых цитируемых исследователей мира. Публикация на IntechOpen позволяет авторам получать цитирование и находить новых соавторов, а это означает, что больше людей увидят вашу работу не только из вашей собственной области исследования, но и из других смежных областей.

    Оповещения о содержимом

    Краткое введение в этот раздел, описывающий открытый доступ, особенно с точки зрения IntechOpen

    Как это работаетУправление предпочтениями

    Контакты

    Хотите связаться? Свяжитесь с нашим головным офисом в Лондоне или командой по работе со СМИ здесь:

    Карьера:

    Наша команда постоянно растет, поэтому мы всегда ищем умных людей, которые хотят помочь нам изменить мир научных публикаций.

    Рецензируемая глава в открытом доступе

    Автор:

    Иван И. Кырчей

    Направлено: 12 октября 2017 г. Отредактировано: 16 января 2018 г. Опубликовано: 29 августаth, 2018

    DOI: 10.5772/intechopen.74105

    СКАЧАТЬ БЕСПЛАТНО

    From the Edited Volume

    Под редакцией Hassan A. Yasser 1 136 загрузок глав

    Просмотреть полные показатели

    СКАЧАТЬ БЕСПЛАТНО

    Рекламное объявление

    Abstract

    В рамках ранее введенной автором теории определителей строк-столбцов получены детерминантные представления (аналоги правила Крамера) частного решения системы двусторонних кватернионных матричных уравнений A1XB1=C1, А2ХВ2=С2. Мы также приводим правила Крамера для его частных случаев, когда первое уравнение одностороннее. А именно, мы рассматриваем две системы с первым уравнением A1X=C1 и XB1=C1 соответственно и с неизменным вторым уравнением. Также изучаются правила Крамера для частных случаев, когда два уравнения являются односторонними, а именно система уравнений A1X=C1, XB2=C2 и система уравнений A1X=C1, A2X=C2. Поскольку обращение Мура-Пенроуза является необходимым инструментом для решения матричных уравнений, мы используем его детерминантные представления, ранее полученные автором, также в терминах определителей строк-столбцов.

    Keywords

    • Moore-Penrose inverse
    • quaternion matrix
    • Cramer rule
    • system matrix equations
    • 2000 AMS subject classifications: 15A15
    • 16 W10

    1. Introduction

    The study of matrix equations and systems матричных уравнений является активной темой исследований в области теории матриц и ее приложений. Система классических двусторонних матричных уравнений

    A1XB1=C1,A2XB2=C2. Е1

    над комплексным полем, главной областью и телом кватерниона изучалось многими авторами (см., например, [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7]). Митра [1] дает необходимые и достаточные условия системы (1) над комплексным полем и выражение для ее общего решения. Наварра и др. В [6] получено новое необходимое и достаточное условие существования и новое представление (1) над комплексным полем и использованы результаты для получения простого представления. Ван [7] рассматривает систему (1) над кватернионным телом и получает условия ее разрешимости и представление общего решения.

    На протяжении всей главы мы обозначаем поле действительных чисел как р , совокупность всех м×п матрицы над алгеброй кватернионов

    H=a0+a1i+a2j+a3ki2=j2=k2=−1a0a1a2a3∈R

    на Хм × п и по чм×n , а набор матриц над ЧАС со званием r . За A∈Hn×m , символы A * обозначают сопряженную транспонированную (эрмитову сопряженную) матрицу A . Матрица A=aij∈Hn×n является эрмитовым, если А * = А .

    Обобщенные инверсии — полезные инструменты, используемые для решения матричных уравнений. Определения обратной матрицы Мура-Пенроуза были распространены на матрицы кватернионов следующим образом. Мур-Пенроуз, обратный A∈Hm×n , обозначаемый А† , является уникальной матрицей X∈Hn×m удовлетворяющий 1AXA=А , 2ХАХ=Х , 3AX*=AX , а также 4ХА*=ХА .

    Детерминантное представление обычного обратного уравнения — это матрица с кофакторами в элементах, которая предлагает прямой метод нахождения обратного и делает его применимым с помощью правила Крамера к системам линейных уравнений. То же самое желательно для обобщенных инверсий. Но не все так однозначно даже для комплексных или реальных обобщенных инверсий. Поэтому существуют различные детерминантные представления обобщенных инверсий из-за поиска их более применимых явных выражений (см., например, [8]). Из-за некоммутативности кватернионной алгебры возникают трудности уже при определении определителя кватерниона (см., например, [9]., 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16]).

    Понимание проблемы детерминантного представления обратной матрицы, а также обобщенных обратных только сейчас начинает решаться благодаря теории столбцово-строчных определителей, введенной в [17, 18]. В рамках теории столбцово-строковых определителей автором получены детерминантные представления различного рода обобщенных обратных и (обобщенных обратных) решений кватернионных матричных уравнений (см. , например, [19])., 20, 21, 22, 23, 24, 25]) и другими исследователями (см., например, [26, 27, 28, 29]).

    Основной целью главы является вывод детерминантных представлений (аналогов классического правила Крамера) общих решений системы (1) и ее более простых случаев над кватернионным телом.

    Глава организована следующим образом. В разделе 2 мы начнем с предварительного введения определителей столбца строки и детерминантного представления правила Мура-Пенроуза и Крамера матричных уравнений кватерниона, АХВ = С . В разделе 3 выводятся детерминантные представления частного решения (аналог правила Крамера) системы (1). В разделе 4 приводятся правила Крамера для частных случаев (1) с 1 и 2 односторонними уравнениями. Окончательный вывод делается в разделе 5.

    Объявление

    2. Предварительные сведения

    Для A=aij∈MnH , мы определяем n определителей строк и n определителей столбцов следующим образом. Допустим S n — симметрическая группа на множестве В=1…n .

    Определение 2.1. Определитель i-й строки числа A∈Hn×m определяется для всех i=1,…,n , поставив

    rdetiA=∑σ∈Sn−1n−raiik1aik1ik1+1…aik1+l1i…aikrikr+1…aikr+lrikr,

    σ=iik1ik1+1…ik1+l1ik2ik2+ 1…ik2+l2…ikrikr+1…ikr+lr,

    с условиями ik2

    Определение 2.2. Определитель j-го столбца числа A∈Hn×m определяется для всех j=1,…,n , поставив

    cdetjA=∑τ∈Sn−1n−rajkrjkr+lr…ajkr+1ikr…ajjk1+l1…ajk1+1jk1ajk1j,

    τ=jkr+lr…jkr+1jkr… jk2+l2…jk2+1jk2jk1+l1…jk1+1jk1j,

    с условиями, jk2

    С rdet1A=⋯=rdetnA=cdet1A=⋯=cdetnA∈R для Эрмита A∈Hn×n , то мы можем определить определитель эрмитовой матрицы А положив, detA≔rdetiA=cdetiA , для всех я=1,…,n . Определитель эрмитовой матрицы по своим свойствам аналогичен обычному определителю. Они полностью исследованы в [17, 18] по его определителям строк и столбцов. В частности, в рамках теории столбцово-строчных определителей детерминантные представления обратной матрицы над ЧАС по аналогам классической сопряженной матрицы и правила Крамера для кватернионных систем линейных уравнений. Далее мы рассматриваем детерминантные представления обратного уравнения Мура-Пенроуза.

    Мы будем использовать следующие обозначения. Позволять α≔α1…αk⊆1…m а также β≔β1…βk⊆1…n быть подмножествами порядка 1≤k≤minmn . Аβα обозначает подматрицу A∈Hn×m определяется строками с индексом α и столбцами с индексом β . Затем, Ааа обозначает главную подматрицу, определяемую строками и столбцами, проиндексированными как α . Если A∈Hn×n эрмитов, то Ааа является соответствующим главным минором det A . За 1≤k≤n , набор строго возрастающих последовательностей из k целых чисел, выбранных из 1…н обозначается Lk,n≔α:α=α1…αk1≤α1≤…≤αk≤n . Для фиксированного i∈α а также j∈β , позволять Ir,mi≔α:α∈Lr,mi∈α,Jr,nj≔β:β∈Lr,nj∈β .

    Пусть А.Дж. быть j -й столбец и ай. быть i -й строкой A . Предполагать А.Джб обозначает матрицу, полученную из A заменой ее j -го столбца на столбец b , тогда Ай.б обозначает матрицу, полученную из A заменой ее i -й строки строкой б . а.j* а также ай.∗ обозначим j -й столбец и i -ю строку A * соответственно.

    Следующая теорема дает детерминантные представления обратной функции Мура-Пенроуза над кватернионным телом ЧАС .

    Теорема 2.1. [19] Если A∈Hrm×n , тогда обратный алгоритм Мура-Пенроуза A†=aij†∈Hn×m обладает следующими детерминантными представлениями:

    aij†=∑β∈Jr,nicdetiA∗A.ia.j∗ββ∑β∈Jr,nA∗Aββ, E2

    или

    aij†=∑α∈Ir,mjrdetjAA∗j. ai.∗αα∑α∈Ir,mAA∗αα. E3

    Примечание 2.1. Обратите внимание, что для произвольной матрицы полного ранга A∈Hrm×n , вектор-столбец d.j и вектор-строка ди. с соответствующими размерами, соответственно положим

    cdetiA∗A.id.j=∑β∈Jn,nicdetiA∗A.id.jββ,detA∗A=∑β∈Jn,nA∗Aββwhenr=n,

    rdetjAA∗j.di.=∑α∈Im,mjrdetjAA∗j.di.αα,detAA∗=∑α∈Im,mAA∗αα, когда r=m.

    Кроме того, ПА=А†А , КА=АА† , ЛА=I−А†А , а также РА≔I−AA† обозначают некоторые ортогональные проекторы, индуцированные A .

    Теорема 2.2. [30] Пусть A∈Hm×n , B∈Hr×s и C∈Hm×s известно и X∈Hn×r неизвестно. Тогда матричное уравнение

    AXB=C E4

    является непротиворечивым тогда и только тогда, когда AA†CBB†=C . В этом случае ее общее решение можно представить как

    X=A†CB†+LAV+WRB, Е5

    , где V и W — произвольные матрицы над H с соответствующими размерами.

    Частичное решение, Х0=А†CB† , из (4) имеет следующие детерминантные представления.

    Теорема 2.3. [20] Пусть A∈Hr1m×n и B∈Hr2r×s . Тогда X0=xij0∈Hn×r имеет детерминантные представления,

    xij=∑β∈Jr1,nicdetiA∗A.id.jBββ∑β∈Jr1,nA∗Aββ∑α∈Ir2,rBB∗αα,

    или

    xij=∑α∈Ir2,rjrdetjBB∗j.di.Aαα∑β∈Jr1,nA∗Aββ∑α∈Ir2,rBB∗αα,

    где ∗j.c˜k.αα∈Hn×1,k=1,…,n,

    di.A=∑β∈Jr1,nicdetiA∗A.iC˜.lββ∈h2×r,l=1,…,r ,

    — вектор-столбец и вектор-строка соответственно. с˜i. и c˜.j — i-я строка и j-й столбец числа C˜=A∗CB∗ .

    Объявление

    3. Детерминантные представления частного решения системы (1)

    Лемма 3.1. [7] Пусть A1∈Hm×n , B1∈Hr×s , C1∈Hm×s , A2∈Hk×n , B2∈Hr×p и C2∈Hk×p и X∈Hn×r подлежит определению. Поставить Н=А2ЛА1 , Н=RB1B2 , T=RHA2 и F=B2LN . Тогда система (1) совместна тогда и только тогда, когда

    AiAi†CiBi†Bi=Ci,i=1,2; E6

    TA2†XB2†−A1†C1B1†F=0. E7

    В этом случае общее решение (1) может быть выражено следующим образом:

    X=A1†C1B1†+LA1H†A2LTA2†C2B2†−A1†C1B1†B2B2†+T†TA2†C2B2†−A1†C1B1†B2N†W†RB1+LA1Z−2A2LT†HZB2LA1B2†HZB2LAB2† +W−T†TWNN†×RB1, E8

    , где Z и W — произвольные матрицы над ЧАС с совместимыми размерами.

    Некоторое упрощение (8) может быть получено благодаря кватернионному аналогу следующего предложения.

    Лемма 3.2. [32] Если A∈Hn×n эрмитова и идемпотентна, то для любой матрицы 9 справедливо следующее равенство0122 B∈Hm×n ,

    АВА†=ВА†. E9

    Очевидно, что если A∈Hn×n является эрмитовым и идемпотентным, то верно и следующее уравнение:

    AB†A=AB†. E10

    С ЛА1 , РБ1 , и R H — проекторы, то с учетом (9) и (10) имеем соответственно

    LA1H†=LA1A2LA1†=A2LA1†=H†,N†RB1=RB1B2†RB1= RB1B2†=N†,T†T=RHA2†RHA2=RHA2†A2=T†A2,LT=I−T†T=I−T†A2. E11

    Используя (11) и (6), получаем следующее выражение для (8),

    X=A1†C1B1†+H†A2I−T†A2A2†C2B2†−A1†C1B1†B2B2†+T†A2A2†C2B2†−A1†C1B1†B2N†+LA1Z−H†HZB2B2† A2LTWNB2†+W−T†TWNN†RB1=A1†C1B1†+H†C2B2†+H†A2T†−IA2A1†C1B1†QB2−H†A2T†C2B2†+T†C2N†−T†A2A1†C1B1† B2N†+LA1Z−H†HZB2B2†−H†A2LTWNB2†+W−T†TWNN†RB1. E12

    Поставив Z1=W1=0 в (12) можно получить частное решение (8) †QB2−H†A2T†C2B2†−T†A2A1†C1B1†B2N†. E13

    Далее приведем детерминантные представления (13). Позволять A1=aij1∈Hr1m×n , B1=bij1∈Hr2r×s , A2=aij2∈Hr3k×n , B2=bij2∈Hr4r×p , C1=cij1∈Hm×s , а также C2=cij2∈Hk×p , и существуют A1†=aij1,†∈Hn×m , B2†=bij2,†∈Hp×r , H†=hij†∈Hn×k , N†=nij†∈Hp×r , а также T†=tij†∈Hn×k . Позволять рангH=минрангA2рангLA1=r5 , рангN=минрангB2рангRB1=r6 , а также рангT=минрангA2рангRH=r7 . Рассмотрим каждый член (13) отдельно.

    1. (i) По теореме 2.3 для первого члена xij01 , из (13) получаем E14

      или

      xij01=∑α∈Ir2,qjrdetjB1B1∗j. di.A1αα∑β∈Jr1,pA1∗A1ββ∑α∈Ir2,qB1B1∗αα, E15

      , где

      d.jB1=∑α∈Ir2,pjrdetjB1B1∗j.c˜q.1αα∈Hn×1,q=1,…,n,

      di.A1=∑β∈Jr1,nicdetiA1∗A1. ic˜.l1ββ∈h2×r,l=1,…,r,

      — вектор-столбец и вектор-строка соответственно. c˜q.1 а также c˜.l1 это q -я строка и l -й столбец C˜1=A1∗C1B1∗ .

      1. (ii) Аналогично, для второго члена (13) имеем

      ,rB2B2∗αα, E16

      или

      xij02=∑α∈Ir4,rjrdetjB2B2∗j.di.Hαα∑β∈Jr5,nH∗Hββ∑α∈Ir4,rB2B2∗αα, E17

      , где

      d.jB2=∑α∈Ir4,rjrdetjB2B2∗j.c˜q.2αα∈Hn×1,q=1,…,n,

      di.H=∑β∈Jr5,nicdetiH∗H. ic˜.l2ββ∈h2×r,l=1,…,r,

      — вектор-столбец и вектор-строка соответственно. c˜q.2 а также c˜.l2 это q -я строка и l -й столбец C˜2=H∗C2B2∗ . Обратите внимание, что H*H=A2LA1*A2LA1=LA1A2*A2LA1.

      1. (iii) Третий член (13) можно получить и по теореме 2.3. Тогда

      xij03=∑β∈Jr7,nicdetiT∗T.id.jNββ∑β∈Jr7,nT∗Tββ∑α∈Ir6,rNN∗αα, E18

      или

      xij03=∑α∈Ir6,rjrdetjNN∗j.di.Tαα∑β∈Jr7,nT∗Tββ∑α∈Ir6,rNN∗αα, E19

      где

      d.jN=∑α∈Ir6,rfrdetjNN∗j.ĉq.2αα∈Hn×1,q=1,…,n,

      di.T=∑β∈Jr7,nicdetiT∗T. iĉ.l2ββ∈h2×r,l=1,…,r,

      — вектор-столбец и вектор-строка соответственно. экв.2 это q -я строка и Э.l2 составляет л -й столбец Ĉ2=T∗C2N∗ . Следующее выражение несколько упрощает вычисления. С Т*Т=RHA2*=A2*RH*RHA2=A2*RHA2 а также RH=I−HH†=I−A2LA1A2LA1†=I−A2A2LA1† , тогда Т*Т=А2*I-А2А2ЛА1†А2 .

      1. (iv) Используя (3) для детерминантных представлений H и T в четвертом члене (13), получаем

      xij04=∑q=1n∑z=1n∑f=1r∑β∈Jr5,nicdetiH∗H.ia.q2Hββ∑β∈Jr7,nqcdetqT∗T.qa.z2Tββxzf01qfj∑β∈Jr5,nH∗Hβ ∑β∈Jr7,nT∗Tββ, E20

      где а.i2H а также а.i2T – и -й столбцы матриц H * A 2 и T * A 1 4 91 соответственно; q fj является ( fj )-м элементом QB2 с детерминантным представлением,

      qfj=∑α∈Ir4,rjrdetjB2B2∗j. b¨f.2αα∑α∈Ir4,rB2B2∗αα,

      и b¨f.2 это f -й ряд B2B2∗ . Обратите внимание, что Н*А2=ЛА1А2*А2 а также T∗A2=A2∗RHA2=A2∗I−A2A2LA1†A2 .

      1. (v) Аналогично предыдущему случаю,

      E21

      1. (vi) Рассмотрим шестой член по аналогии с четвертым. Итак,

      xij06=∑q=1n∑β∈Jr5,nicdetiH∗H.ia.q2Hββφqj∑β∈Jr5,nH∗Hββ∑β∈Jr7,nT∗Tββ∑α∈Ir4,rB2B2∗αα, E22

      , где

      φqj=∑β∈Jr7,nicdetqT∗T.qψ.jB2ββ, E23

      или

      φqj=∑α∈Ir4,rjrdetjB2B2∗j.ψq.Tαα, E24

      и

      ψ.jB2=∑α∈Ir4,rfrdetjB2B2∗j.c⌣q.2αα∈h2×n,q=1,…,n,

      ψq.T=∑β∈Jr7,nqcdetqT∗T. qc⌣.l2ββ∈Hr×1,l=1,…,r,

      — вектор-столбец и вектор-строка соответственно. c⌣q.2 а также с⌣.l2 являются q -я строка и l -й столбец С⌣2=Т∗C2B2∗ для всех я=1,…,n а также j=1,…,р .

      1. (vii) Использование (3) для детерминантных представлений и T и (2) для N в седьмом члене (13) получаем

      . ia.q2Tββxqf01∑α∈Ir6,rjrdetjNN∗j.bf.2Nαα∑β∈Jr7,nT∗Tββ∑α∈Ir6,rNN∗αα, E25

      где a.q2T а также бф.2Н являются q -й столбец T * A 2 и f -й ряд B2N*=B2B2*RB1 , соответственно.

      Таким образом, мы доказываем следующую теорему.

      Теорема 3.1. Пусть A1∈Hr1m×n , B1∈Hr2r×s , A2∈Hr3k×n , B2∈Hr4r×p , рангH=рангA2LA1=r5 , рангN=RB1B2=r6 и рангT=RHA2=r7 . Тогда для частного решения (13) X0=xij0∈Hn×r , системы (1), имеем

      xij0=∑δxij0δ, E26

      где термин xij01 имеет детерминантные представления (14) и (15), xij02 — (16) и (17), xij03 — (18) и (19), xij04 —(20), xij05 —(21), xij06 -(23) и (24), и xij07 —(25).

      Advertisement

      4. Правила Крамера для частных случаев (1)

      В этом разделе мы рассмотрим частные случаи (1), когда одно или два уравнения являются односторонними. Пусть в уравнении (1) матрица B 1 равна нулю. Тогда у нас есть система

      A1X=C1,A2XB2=C2. E27

      Следующая лемма распространяется на матрицы с элементами кватерниона.

      Лемма 4.1. [7] Пусть A1∈Hm×n , C1∈Hm×r , A2∈Hk×n , B2∈Hr×p и C2∈Hk×p и X∈Hn×r подлежит определению. Поставить Н=А2ЛА1 . Тогда следующие утверждения эквивалентны:

      1. Система (27) непротиворечива.

      2. RA1C1=0 , RHC2-A2A1†C1B2=0 , C2LB2=0 .

      3. рангA1C1=рангA1 , рангC2B2=рангB2 , рангA1C1B2A2C2=рангA1A2 .

      В этом случае общее решение (27) можно представить в виде

      Е28

      , где Z 1 и W 1 — произвольные матрицы над ЧАС с соответствующими размерами.

      Так как по (9), LA1H†=LA1A2LA1†=A2LA1†=H†, тогда мы имеем некоторое упрощение (28):

      X=A1†C1+H†C2B2†−H†A2A1†C1B2B2†+LA1LHZ1+LA1W1RB2.

      Положив Z 1 = W 1 = 0, получим следующее частное решение (27):

      X0=A1†C1+H†C2B2†−H†A2A2† . Е29

      Теорема 4.1. Пусть A1=aij1∈Hr1m×n , A2=aij2∈Hr2k×n , B2=bij2∈Hr3r×p , C1=cij1∈Hm×r и C2=cij2∈Hk×p , и существует A1†=aij1,†∈Hn×m , B2†=bij2,†∈Hp×r и H†=hij†∈Hn×k . Пусть rankH=minrankA2rankLA1=r4 . Обозначим A1∗C1≕Ĉ1=ĉij1∈Hn×r , H∗C2B2∗≕Ĉ2=ĉij2∈Hn×r , H∗A2A1∗≕Â2=âij2∈Hn×m и C1QB2≕Q̂=q̂ij∈Hm×p . Тогда частное решение (29), X0=xij0∈Hn×r , обладает следующими детерминантными представлениями,

      xij0=∑β∈Jr1,nicdetiA1∗A1.iĉ.j1ββ∑β∈Jr1,nA1∗A1ββ+dijλ∑β∈Jr4,nH∗Hββ∑α∈Ir3,rB2B2∗αα−∑l=1mgilμ∑α ∈Ir3,rjrdetjB2B2∗j.q̂l.αα∑β∈Jr4,nH∗Hββ∑α∈Ir1,mA1A1∗αα∑α∈Ir3,rB2B2∗αα

      для всех λ=1,2 и μ=1,2 . Здесь

      dij1≔∑α∈Ir3,rjrdetjB2B2∗j.vi.1αα,gil1≔∑α∈Ir1,mlrdetlA1A1∗l. ui.1αα,

      и векторы-строки vi.1=vi11…vir1 а также ui.1=ui11…uim1 такое, что

      vit1≔∑β∈Jr4,nicdetiH∗H.iĉ.t2ββ,uiz1≔∑β∈Jr4,nicdetiH∗H.iâ.z2ββ.

      В другом случае

      dij2≔∑β∈Jr4,nicdetiH∗H.iv.j2ββ,gil2≔∑β∈Jr4,nicdetiH∗H.iu.l2ββ.

      и векторы-столбцы v.j2=v1j2…vnj2 а также u.l2=u1l2…unl2 такое, что

      vqj2≔∑α∈Ir3,rjrdetjB2B2∗j.ĉq.2αα,uql2≔∑α∈Ir1,mlrdetlA1A1∗l.aq.2αα

      Доказательство. Доказательство аналогично доказательству теоремы 3.1.

      Пусть в уравнении (1) матрица A 1 равна нулю. Затем у нас есть система

      XB1=C1,A2XB2=C2. Е30

      Следующая лемма распространяется и на матрицы с элементами кватерниона.

      Лемма 4.2. [7] Пусть B1∈Hr×s , C1∈Hn×s , A2∈Hk×n , B2∈Hr×p и C2∈Hk×p и X∈Hn×r подлежит определению. Поставить Н=RB1B2 . Тогда следующие утверждения эквивалентны:

      1. Система (30) непротиворечива.

      2. RA2C2=0 , C2−A2C1B1†B2LN=0 , C2LB2=0 .

      3. рангA2C2=рангA2 , рангC1B1=рангB1 , рангC2A2C1B2B1=рангB2B1 .

      В этом случае общее решение (30) можно представить в виде

      E31

      , где Z 2 и W 2 — произвольные матрицы над ЧАС с соответствующими размерами.

      Так как по (10), Н†RB1=RB1B2†RB1=N†, то можно вывести некоторое упрощение (31),

      X=C1B1†+A2†C2N†−A2C1B1†B2N†+LA2W2RB1+Z2RNRB1.

      Положив Z 2 = W 2 = 0, получим следующее частное решение (30):

      X0=C1B1†+A2†C2N†. E32

      Следующая теорема о детерминантных представлениях (29) доказывается аналогично доказательству теоремы 3.1.

      Теорема 4.2. Пусть B1=bij1∈Hr1r×s , A2=aij2∈Hr2k×n , B2=bij2∈Hr3r×p , C1=cij1∈Hn×s и C2=cij2∈Hk×p , и существует B1†=bij1,†∈Hs×r , A2†=aij2,†∈Hn×k , N†=nij†∈Hp×r . Пусть rankN=minrankB2rankRB1=r4 . Обозначим C1B1∗≕C˜1=c˜ij1∈Hn×r , A2∗C2N∗≕C˜2=c˜ij2∈Hn×r , B1∗B2N∗≕B˜2=b˜ij2∈Hs×r и PA2C1≕P˜=p˜ij∈Hn×s . Тогда частное решение (32), X0=xij0∈Hn×r , обладает следующими детерминантными представлениями,

      ∑α∈Ir4,rNN∗αα−∑z=1s∑β∈Jr2,nicdetiA2∗A2.ip˜.zββgzjµ∑β∈Jr2,nA2∗A2ββ∑β∈Jr1,sB1∗B1ββ∑α∈Ir4,rNN∗αα

      для всех λ=1,2 и μ=1,2 . Здесь

      dij1≔∑α∈Ir3,rjrdetjNN∗j.φi.1αα,gil1≔∑α∈Ir4,rjrdetjNN∗j.ψz.αα,

      и векторы-строки φi.1…φi1 и ψi.1=ψz11…ψzr1 такие, что

      φit1=∑β∈Jr2,nicdetiA2∗A2.ic.t2ββ,ψzv1=∑β∈Jr1,nzcdetzB1∗B1.ib.v2ββ.

      В другом случае

      dij2≔∑β∈Jr2,nicdetiA2∗A2.iφ.j2ββ,gzj2≔∑β∈Jr1,nzcdetzB1∗B1.zψ.j2ββ,

      2

      2 9 векторов-столбцов0122 φ.j2=φ1j2…φnj2 и ψ.j2=ψ1j2…ψsj2 такие, что

      бу.2αα.

      Теперь предположим, что оба уравнения (1) односторонние. Пусть в уравнении (1) матрицы B 1 и A 2 равны нулю. Тогда у нас есть система

      A1X=C1,XB2=C2. E33

      Следующая лемма распространяется на матрицы с элементами кватерниона.

      Лемма 4.3. [31] Пусть A1∈Hm×n , B2∈Hr×p , C1∈Hm×r и C2∈Hn×p и X∈Hn×r подлежит определению. Тогда система (33) совместна тогда и только тогда, когда RA1C1=0 , C2LB2=0 , and A 1 C 2 = C 1 B 2 . В этих условиях общее решение (33) может быть установлено как

      Х=А1†С1+LA1C2B2†+LA1URB2, E34

      , где U — свободная матрица над ЧАС с подходящей формой.

      Из-за условий согласованности уравнение. (34) можно выразить следующим образом:

      X=C2B2†+A1†C1−A1C2B2†+LA1URB2=C2B2†+A1†C1−C1B2B2†+LA1URB2=C2B2†+A1†C1RB2+LA1URB2,

      Следовательно, частичное решение X 0 уравнения (33) равно

      X0=A1†C1+LA1C2B2†, E35

      или

      X0=C2B2†+A1†C1RB2. Е36

      Благодаря выражению (35) следующая теорема может быть доказана аналогично доказательству теоремы 3.1.

      Теорема 4.3. Пусть A1=aij1∈Hr1m×n , B2=bij2∈Hr2r×p , C1=cij1∈Hm×r и C2=cij2∈Hn×r , и существует A1†=aij1,†∈Hn×m , B2†=bij2,†∈Hp×r и LA1=I−A1†A1≕lij∈Hn×n . Обозначим A1∗C1≕Ĉ1=ĉij1∈Hn×r и LA1C2B2∗≕Ĉ2=ĉij2∈Hn×r . Тогда частное решение (35), X0=xij0∈Hn×s , имеет следующее детерминантное представление ,rB2B2∗αα, E37

      где ĉ.j1 это j -й столбец №1 а также ĉi.2 это i -й ряд №2 .

      Примечание 4.1. В соответствии с выражением (36) получаем те же представления, но с обозначениями C2B2∗≕Ĉ2=ĉij2∈Hn×r и A1∗C1RB2≕Ĉ1=ĉij2∈Hn×r .

      Пусть в уравнении (1) матрицы B 1 и B 2 равны нулю. Тогда у нас есть система

      A1X=C1,A2X=C2. E38

      Лемма 4.4. [7] Предположим, что A1∈Hm×n , C1∈Hm×r , A2∈Hk×n и C2∈Hk×r известны и X∈Hn×r неизвестно, Н=А2ЛА1 , Т=RHA2 . Тогда система (38) совместна тогда и только тогда, когда AiAi†Ci=Ci, для всех i=1,2 и TA2†C2−A1†C1=0 . В этих условиях общее решение (38) может быть установлено как

      X=A1†C1+LA1H†A2A2†C2−A1†C1+LA1LHY, E39

      , где Y — произвольная матрица над ЧАС с подходящим размером.

      Используя (10) и условия совместности, соответственно упрощаем (39), X0=A1†C1+H†C2−H†A2A1†C1+LA1LHY. Следовательно, будем рассматривать следующее частное решение (39)

      X0=A1†C1+H†C2−H†A2A1†C1. Е40

      В следующей теореме мы даем детерминантные представления (40).

      Теорема 4.4. Пусть A1=aij1∈Hr1m×n , A2=aij2∈Hr2k×n , C1=cij1∈Hm×r , C2=cij2∈Hk×r , и существует A1†=aij1,†∈Hn×m , h3†=hij†∈Hn×s . Пусть rankH=minrankA2rankLA1=r3 . Обозначим A1∗C1≕Ĉ1=ĉij1∈Hn×r , H∗C2≕Ĉ2=ĉij2∈Hn×r и H∗A2≕Â2=âij2∈Hn×n . Тогда X0=xij0∈Hn×r обладает следующим детерминантным представлением,

      xij0=∑β∈Jr1,nicdetiA1∗A1.iĉ.j1ββ∑β∈Jr1,nA1∗A1ββ+∑β∈Jr3,nicdetiH∗H.iĉ.j2ββ∑β∈Jr3,nH∗Hββ−∑l= 1n∑β∈Jr3,nicdetiH∗H.iâ.l2ββ∑β∈Jr3,nH∗Hββ⋅∑β∈Jr1,nlcdetlA1∗A1.lĉ.j1ββ∑β∈Jr1,nA1∗A1ββ, E41

      где ĉ.j1 , ĉ.j2 , а также â.j2 — это j -й столбец матриц №1 , №2 , а также Â2 , соответственно.

      Доказательство. Доказательство аналогично доказательству теоремы 3.1.

      Реклама

      5. Заключение

      В рамках ранее введенной автором теории определителей строк-столбцов получены детерминантные представления (аналоги правила Крамера) частных решений системы двусторонних кватернионных матричных уравнений A 1 XB 1 = C 1 , A 2 XB 2 = C 2 , and its special cases with 1 and 2 one- односторонние матричные уравнения. Мы используем ранее полученные автором детерминантные представления обратного уравнения Мура-Пенроуза. Заметим, что для получения детерминантных представлений для всех вышеуказанных матричных систем над комплексным полем, очевидно, необходимо заменить все определители строк и столбцов обычными определителями.

      Реклама

      Конфликт интересов

      Автор заявляет об отсутствии конфликта интересов.

      Ссылки

      1. 1. Митра СК. Пара одновременных линейных матриц A 1 XB 1 =C 1 и A 2 XB 2 =C 2 . Труды Кембриджского философского общества. 1973;74:213-216
      2. 2. Митра С.К. Пара одновременных линейных матричных уравнений и задача матричного программирования. Линейная алгебра и ее приложения. 1990;131:97-123. DOI: 10.1016/0024-3795(90)

        -O
      3. 3. Шинозаки Н., Сибуя М. Непротиворечивость пары матричных уравнений с приложением. Инженерный отчет Кейо. 1974;27:141-146
      4. 4. Ван дер Вуд Дж. Развязка и стабилизация обратной связи для линейной системы с несколькими экзогенными переменными [кандидатская диссертация]. Нидерланды: Технический университет Эйндховена; 1987
      5. 5. Озгюлер А.Б., Акар Н. Общее решение пары линейных матричных уравнений в основной области. Линейная алгебра и ее приложения. 1991;144:85-99. DOI: 10.1016/0024-3795(91)

        -3
      6. 6. Наварра А., Оделл П.Л., Янг Д.М. Представление общего общего решения матричных уравнений A 1 XB 1 =C 1 и A 2 XB 2 =C 2 с приложениями. Компьютеры и математика с приложениями. 2001;41:929-935. DOI: 10.1016/S0898-1221(00)00330-8
      7. 7. Ван К.В. Общее решение системы вещественных кватернионных матричных уравнений. Компьютеры и математика с приложениями. 2005;49:665-675. DOI: 10.1016/j.camwa.2004.12.00
      8. 8. Кирчей И. Правило Крамера для обобщенных обратных решений. В: Кырчей И, редактор. Успехи в исследованиях линейной алгебры. Нью-Йорк: Новая наука. Опубликовано; 2015. pp. 79-132
      9. 9. Аслаксен Х. Кватернионные определители. Математический интеллект. 1996;18(3):57-65. DOI: 10.1007/BF03024312
      10. 10. Коэн Н., Де Лео С. Кватернионный определитель. Электронный журнал линейной алгебры. 2000;7:100-111. DOI: 10.13001/1081-3810.1050
      11. 11. Dieudonne J. Les determinants sur un corps non-commutatif. Бюллетень Математического общества Франции. 1943;71:27-45
      12. 12. Исследование E. Zur theorie der linearen gleichungen. Acta Mathematica. 1920;42:1-61
      13. 13. Кейли А. О некоторых результатах, относящихся к кватернионам. Философский журнал. 1845; 26:141-145. Печатается в Сборнике математических статей. Кембриджский университет Нажимать. 1889;1:123-126
      14. 14. Мур Э.Х. Об определителе эрмитовой матрицы кватернионных элементов. Бюллетень Американского математического общества. 1922;28:161-162
      15. 15. Дайсон Ф.Дж. Кватернионные определители. Гельветика Физика Акта. 1972; 45:289-302. DOI: 10.5169/seals-114,385
      16. 16. Чен Л. Определение определителя и решения Крамера над полем кватернионов. Acta Mathematica Sinica. 1991;7:171-180. DOI: 10.1007/BF02633946
      17. 17. Кырчей И. Правило Крамера для кватернионных систем линейных уравнений. Фундаментальная и прикладная математика. 2007;13(4):67-94
      18. 18. Кырчей И. Теория определителей столбцов и строк в кватернионной линейной алгебре. В: Baswell AR, редактор. Достижения в области математических исследований 15. Нью-Йорк: Nova Sci. Опубликовано; 2012. С. 301-359.
      19. 19. Кырчей И. Детерминантные представления обращения Мура-Пенроуза над кватернионным телом и соответствующие правила Крамера. Линейная полилинейная алгебра. 2011;59(4):413-431. DOI: 10.1080/03081081003586860
      20. 20. Кырчей И. Явные формулы представления решений методом наименьших квадратов минимальной нормы некоторых кватернионных матричных уравнений. Линейная алгебра и ее приложения. 2013;438(1):136-152. DOI: 10.1016/j.laa.2012.07.049
      21. 21. Кырчей И. Детерминантные представления обратного Дразина над кватернионным телом с приложениями к некоторым матричным уравнениям. Прикладная математика и вычисления. 2014;238:193-207. DOI: 10.1016/j.amc.2014.03.125
      22. 22. Кырчей И. Детерминантные представления W-взвешенного обратного Дразина над кватернионным телом. Прикладная математика и вычисления. 2015; 264:453-465. DOI: 10.1016/j.amc.2015.04.125
      23. 23. Кырчей И. Явные формулы детерминантного представления W-взвешенных обратных решений Дразина некоторых матричных уравнений над кватернионным телом. Математические проблемы в технике. 2016. 13 с. DOI: 10.1155/2016/8673809; ID 8673809
      24. 24. Кырчей И. Детерминантные представления Дразина и W-взвешенных обратных Дразина над кватернионным телом с приложениями. В: Гриффин С., редактор. Кватернионы: теория и приложения. Нью-Йорк: Новая наука. Опубликовано; 2017. pp. 201-275
      25. 25. Кирчей И. Взвешенное сингулярное разложение и детерминантные представления кватернионного взвешенного обратного Мура-Пенроуза. Прикладная математика и вычисления. 2017;309:1-16. DOI: 10.1016/j.amc.2017.03.048
      26. 26. Song GJ, Wang QW, Chang HX. Правило Крамера для единственного решения ограниченных матричных уравнений над кватернионным телом. Компьютеры и математика с приложениями. 2011;61:1576-1589. DOI: 10.1016/j.camwa.2011.01.026
      27. 27. Song GJ, Dong CZ. Новые результаты по сокращенному правилу Крамера для общего решения некоторых ограниченных матричных уравнений кватерниона. Журнал прикладной математики и вычислений. 2017;53:321-341. DOI: 10.1007/s12190-015-0970-y
      28. 28. Song GJ, Wang QW. Сокращенное правило Крамера для некоторых ограниченных кватернионных линейных уравнений. Прикладная математика и вычисления. 2011;218:3110-3121. DOI: 10.1016/j.amc.2011.08.038
      29. 29. Сонг Г. Характеристика W-взвешенного обратного Дразина над кватернионным телом с приложениями. Электронный журнал линейной алгебры. 2013;26:1-14. DOI: 10.13001/1081-3810.1635
      30. 30. Ван QW. Система матричных уравнений и линейное матричное уравнение над произвольными регулярными кольцами с единицей. Линейная алгебра и ее приложения. 2004; 384:43-54. DOI: 10.1016/j.laa.2003.12.039
      31. 31. Wang QW, Wu ZC, Lin CY. Экстремальные ранги матричного выражения кватерниона, подчиняющиеся непротиворечивым системам матричных уравнений кватерниона с приложениями. Прикладная математика и вычисления. 2006;182(2):1755-1764. DOI: 10.1016/j.amc.2006.06.012
      32. 32. Мацеевский А.А., Кляйн К.А. Обход препятствий для кинематически избыточных манипуляторов в динамически меняющихся средах. Международный журнал исследований робототехники. 1985;4(3):109-117. Doi: 10.1177/027836498500400308

      Разделы

      Информация о авторе

      • 1. Введение
      • 2.PRELIMINARY
      • 3. DETERMINALAL Представления для ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ОБЩЕСТВЕННОГО ОБЩЕСТВЕННОГО ОБЩЕСТВЕННОГО ОБЩЕСТВЕННОГО ОБЩЕСТВЕННОГО ОБЩЕСТВЕННОГО ОБЩЕСТВЕННОГО ОБЩЕСТВА. (1)
      • 5. Conclusion
      • Конфликт процентов

      Ссылки

      Реклама

      .

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *