Решение сложных функций производных: Производная сложной функции, примеры решений

Производная сложной функции

• Понятие производной сложной функции
• Таблица производных некоторых сложных функций
• Найти производную сложной функции самостоятельно, а затем посмотреть решение

Пусть y – сложная функция x, т.е. y = f(u), u = g(x), или

              

Если g(x) и f(u) – дифференцируемые функции своих аргументов соответственно в точках x и u = g(x), то сложная функция также дифференцируема в точке x и находится по формуле

           

Типичная ошибка при решении задач на производные — машинальное перенесение правил дифференцирования простых функций на сложные функции. Будем учиться избегать этой ошибки.

Посмотрите на формулу 9 в таблице производных.

Исходная функция является функцией от функции, причём аргумент x является аргументом лишь второй функции, а вторая функция является аргументом первой функции, или, согласно более строгому определению — промежуточным аргументом по независимой переменной x.

А теперь посмотрите на картинку ниже, которая иллюстрирует решение задач на сложные производные по аналогии с простым примером из кулинарии — приготовлении запечёных яблок, фаршированных ягодами.

Итак, «яблоко» — это функция, аргументом которой является промежуточный аргумент, а промежуточный аргумент по независимой переменной x, в свою очередь, является «фаршем» (ягодами). Представим себе, что решая задачи на производные сложной функции, сначала помещаем яблоко с фаршем в особую (физико-математическую) духовку и устанавливаем режим 1. При таком режиме духовка воздействует только на «яблоко», поскольку нужно, допустим, больше пропечь яблоко, а фарш из ягод оставить более сочным, то есть обрабатывать в другом режиме.

Итак, в при режиме 1 обрабатывается яблоко, а фарш остаётся незатронутым, или, ближе к нашим задачам, находим производную функции лишь от промежуточного аргумента, то есть, «яблока». Затем в духовке устанавливается режим 2, который воздействует только на фарш, иначе говоря, записываем производную функции, являющейся промежуточным аргументом по независимой переменной x. И, в конце концов, записываем произведение производной «яблока» и производной «фарша». Можно подавать!

Пример 1.Найти производную функции

Сначала определим, где здесь «яблоко», то есть функция по промежуточному аргументу u, а где «фарш», то есть промежуточный аргумент u по независимой переменной x. Определяем: возведение в степень — это функция по промежуточному аргументу, то есть «яблоко», а выражение в скобках (разность двух тригонометрических функций) — это промежуточный аргумент, то есть «фарш».

Тогда

Далее по правилам дифференцирования (производная суммы или разности) и таблице производных (производные синуса и косинуса) находим:

Требуемая в условии задачи производная (готовое «фаршированое яблоко»):

Нахождение производной сложной логарифмической функции имеет свои особенности, поэтому у нас есть и урок «Производная логарифмической функции».

А проверить решение задачи на производную можно на калькуляторе производных онлайн.

Пример 2.Найти производную функции

Неправильное решение: вычислять натуральный логарифм каждого слагаемого в скобках и искать сумму производных:

Правильное решение: опять определяем, где «яблоко», а где «фарш». Здесь натуральный логарифм от выражения в скобках — это «яблоко», то есть функция по промежуточному аргументу u, а выражение в скобках — «фарш», то есть промежуточный аргумент u по независимой переменной x.

Тогда (применяя формулу 14 из таблицы производных)

Во многих реальных задачах выражение с логарифмом бывает несколько сложнее, поэтому и есть урок «Производная логарифмической функции».

Пример 3.Найти производную функции

Неправильное решение:

Правильное решение. В очередной раз определяем, где «яблоко», а где «фарш». Здесь косинус от выражения в скобках (формула 7 в таблице производных)- это «яблоко», оно готовится в режиме 1, воздействующем только на него, а выражение в скобках (производная степени —

номер 3 в таблице производных) — это «фарш», он готовится при режиме 2, воздействующей только на него. И как всегда соединяем две производные знаком произведения. Результат:

Производная сложной логарифмической функции — частое задание на контрольных работах, поэтому настоятельно рекомендуем посетить урок «Производная логарифмической функции».

А проверить решение задачи на производную можно на калькуляторе производных онлайн.

Первые примеры были на сложные функции, в которых промежуточный аргумент по независимой переменной был простой функцией. Но в практических заданиях нередко требуется найти производную сложной функции, где промежуточный аргумент или сам является сложной функцией или содержит такую функцию.

Что делать в таких случаях? Находить производные таких функций по таблицам и правилам дифференцирования. Когда найдена производная промежуточного аргумента, она просто подставляется в нужное место формулы. Ниже – два примера, как это делается.

Кроме того, полезно знать следующее. Если сложная функция может быть представлена в виде цепочки из трёх функций

,

то её производную следует находить как произведение производных каждой из этих функций:

.

Для решения многих ваших домашних заданий может потребоваться открыть в новых окнах пособия Действия со степенями и корнями и Действия с дробями.

Нет времени вникать в решение? Можно заказать работу!

К началу страницы

Пройти тест по теме Производная, дифференциал и их применение

Пример 4.Найти производную функции

Применяем правило дифференцирования сложной функции, не забывая, что в полученном произведении производных промежуточный аргумент по независимой переменной x не меняется:

Готовим второй сомножитель произведения и применяем правило дифференцирования суммы:

Второе слагаемое — корень, поэтому

Таким образом получили, что промежуточный аргумент, являющийся суммой, в качестве одного из слагаемых содержит сложную функцию: возведение в степень — сложная функция, а то, что возводится в степень — промежуточный аргумент по независимой переменной x.

Поэтому вновь применим правило дифференцирования сложной функции:

Степень первого сомножителя преобразуем в корень, а дифференцируя второй сомножитель, не забываем, что производная константы равна нулю:

Теперь можем найти производную промежуточного аргумента, нужного для вычисления требуемой в условии задачи производной сложной функции y:

Тогда

Пример 5.Найти производную функции

Сначала воспользуемся правилом дифференцирования суммы:

Получили сумму производных двух сложных функций. Находим первую из них:

Здесь возведение синуса в степень — сложная функция, а сам синус — промежуточный аргумент по независимой переменной x. Поэтому воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции, попутно вынося множитель за скобки:

Теперь находим второе слагаемое из образующих производную функции y:

Здесь возведение косинуса в степень — сложная функция f[g(x)]

, а сам косинус — промежуточный аргумент по независимой переменной x. Снова воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции:

Результат — требуемая производная:

Проверить решение задачи на производную можно на калькуляторе производных онлайн.

Для сложных функций на основании правила дифференцирования сложной функции формула производной простой функции принимает другой вид.

1. Производная сложной степенной функции, где u – дифференцируемая функция аргумента x
2. Производная корня от выражения
3. Производная показательной функции
4. Частный случай показательной функции
5. Производная логарифмической функции с произвольным положительным основанием а
6. Производная сложной логарифмической функции, где u – дифференцируемая функция аргумента x
7. Производная синуса
8. Производная косинуса
9. Производная тангенса
10. Производная котангенса
11. Производная арксинуса
12. Производная арккосинуса
13. Производная арктангенса
14. Производная арккотангенса

Пример 6.Найти производную функции

Правильное решение и ответ.

Пример 7. Найти производную функции

.

Правильное решение и ответ.

Пример 8. Найти производную функции

.

Правильное решение и ответ.

Назад

Листать

Вперёд>>>

Нет времени вникать в решение? Можно заказать работу!

К началу страницы

Пройти тест по теме Производная, дифференциал и их применение

Поделиться с друзьями

Весь блок «Производная»

• Что такое производная
• Найти производную: алгоритм и примеры решений
• Производные произведения и частного функций
• Производная суммы дробей со степенями и корнями
• Производные простых тригонометрических функций
• Производная сложной функции
• Производная логарифмической функции
• Дифференциал функции
• Дифференциал сложной функции, инвариантность формы дифференциала
• Уравнение касательной и уравнение нормали к графику функции
• Правило Лопиталя
• Частные производные

Производная сложной функции — примеры решений

Формула производной сложной функции

Если функцию можно представить как сложную:
,
то ее производная определяется по формуле производной сложной функции:
.
Ее можно записать в нескольких вариантах, например:
.
Или так:
.
где .
Здесь нижние индексы или , под знаком производной, обозначают переменные, по которой выполняется дифференцирование. Для функций в этом нет необходимости, поскольку по умолчанию дифференцирование выполняется по аргументу. Для переменной y нижний индекс необходим, поскольку ее можно выразить как через x, так и через u:
.

Обычно, в таблицах производных аргумент функции обозначают буквой x. Однако x – это формальный параметр. Обозначение x можно заменить любой буквой или символом. Поэтому, при дифференцировании функции, зависящей от переменной , мы просто меняем, в таблице производных, x на u.

Примеры

Все примеры

Далее рассмотрены примеры решений производной сложной функции.
Простые примеры.
   
Более сложные примеры
 

Простые примеры

Пример 1

Все примеры

Найти производную сложной функции
.

Решение

Запишем заданную функцию в эквивалентном виде:
.
В таблице производных находим:
;
.

По формуле производной сложной функции имеем:
.
Здесь .

Ответ

.

Пример 2

Все примеры

Найти производную
.

Решение

Выносим постоянную 5 за знак производной и из таблицы производных находим:
.

Применяем формулу производной сложной функции:
.
Здесь .

Ответ

.

Пример 3

Все примеры

Найдите производную
.

Решение

Выносим постоянную –1 за знак производной и из таблицы производных находим:
;
Из таблицы производных находим:
.

Применяем формулу производной сложной функции:
.
Здесь .

Ответ

.

Более сложные примеры

Все примеры

В более сложных примерах мы применяем правило дифференцирования сложной функции несколько раз. При этом мы вычисляем производную с конца. То есть разбиваем функцию на составные части и находим производные самых простых частей, используя таблицу производных. Также мы применяем правила дифференцирования суммы, произведения и дроби. Затем делаем подстановки и применяем формулу производной сложной функции.

Пример 4

Все примеры

Найдите производную
.

Решение

Выделим самую простую часть формулы и найдем ее производную. .

Применяем правило дифференцирования сложной функции.

.
Здесь мы использовали обозначение
.

Находим производную следующей части исходной функции, применяя полученные результаты. Применяем правило дифференцирования суммы:
.

Еще раз применяем правило дифференцирования сложной функции.

.
Здесь .

Ответ

.

Пример 5

Все примеры

Найдите производную функции
.

Решение

Выделим самую простую часть формулы и из таблицы производных найдем ее производную. {\ prime} (z_ {0}), \end{уравнение} где под «$\приблизительно$» я подразумеваю заостренные концы векторов близко друг к другу. Итак, что же все это значит? 9{\prime}(z_{0})$ как вектор, растянуть его (то есть умножить его величину на $\lvert z_{1}-z_{0}\rvert$), повернуть его (то есть добавить аргументы), и, наконец, вы добавляете вектор $f(z_{0}).$

Итак, что такое комплексная производная? Это сложный коэффициент масштабирования, точно так же, как действительная производная является реальным коэффициентом масштабирования. Единственное отличие состоит в том, что комплексные коэффициенты масштабирования вводят оборотов. Его следует рассматривать не как представление «градиента» как такового, а скорее как набор инструкций для аппроксимации функции вблизи точки, в которой она дифференцируема. 9{2} = 0,21 + 2,2 i,$$ а тем временем $$-2i + 2(1+i)z_{1} = 0,2 + 2,2 i.$$ Я думаю, если мы согласимся с тем, что $1.1+i$ близко к $1+i,$, то мы также должны согласиться с тем, что $0.