Теорема Виета для решения квадратных уравнений
Теорема Виета устанавливает связь между коэффициентами квадратного уравнения и его корнями, если они существуют.
ТЕОРЕМА. Если x1, x2 — корни квадратного уравнения ax2 + bx + c = 0, то сумма корней равна , а произведение корней равно :
Для приведенного квадратного уравнения x2 + px + q = 0 теорему Виета можно сформулировать совсем просто: сумма корней приведенного квадратного уравнения равна коэффициенту при x, взятому с обратным знаком, а произведение корней равно свободному члену
x1 + x2 = — p,
x1 * x2 = q.
Доказательство этой теоремы следует непосредственно из формул для корней квадратного уравнения.
Справедлива и обратная теорема. Если числа x1, x2 таковы, что
x1 + x2 = — p,
x1 * x2 = q,
то эти числа – корни квадратного уравнения
С помощью этой теоремы можно легко решать многие квадратные уравнения, не пользуясь громоздкими формулами для его корней. Кроме того, очень часто одним из корней уравнения является число x1 = 1 или x1 = -1, что легко проверяется простой подстановкой. Тогда второй корень можно быстро найти из равенства x1* x2 =
, то есть x2 =
или x2 = —
. Теорему Виета можно также использовать для проверки найденных корней квадратного уравнения. Рассмотрим применение этой теоремы на примерах.
Калькуляторы для решение примеров и задач по математике
Лучшие математические приложения для школьников и их родителей, студентов и учителей. Подробнее …
Примеры решения квадратных уравнений с помощью теоремы Виета
Пример 1.
Решить уравнение x2 + 5x + 6 = 0.
Решение.
По теореме, обратной теореме Виета
x1 + x2 = — 5,
x1 * x2 = 6.
Число 6 = 2*3 = 1*6, следовательно, легко подобрать решение этой системы x1 = -2, x2 = -3.
Ответ: -2, -3.
Пример 2. Решить уравнение x2 — 12x + 11 = 0.
Решение.
Очевидно, x1 = 1 — является корнем квадратного уравнения. Но x1* x2 = 11, значит, второй корень равен 11.
Ответ: 1, 11.
Пример 3. Решить уравнение 2013x2 — 2012x — 1 = 0.
Решение.
Очевидно, x1 = 1 — является корнем квадратного уравнения. Убеждаемся в этом прямой подстановкой в исходное уравнение. Но x1* x2 =
—
1/2013
, значит, второй корень равен
—
1/2013
.
Решение исходного уравнения по формулам нахождения корней квадратного уравнения было бы гораздо сложнее с вычислительной точки зрения.
Ответ: 1,
—
1/2013
.
Пример 4. Решить уравнение 5699x2 + 5691x — 8 = 0.
Решение.
Очевидно, x1 = -1 — является корнем квадратного уравнения. Убеждаемся в этом прямой подстановкой в исходное уравнение. Но x1* x2 =
—
8/5699
, значит, второй корень равен
8/5699
.
Ответ: -1,
8/5699
.
Устное решение квадратных уравнений и теорема Виета
Любое полное квадратное уравнение ax2 + bx + c = 0 можно привести к виду x2 + (b/a)x + (c/a) = 0, если предварительно разделить каждое слагаемое на коэффициент a перед x2.
А если ввести новые обозначения (b/a) = p и (c/a) = q, то будем иметь уравнение x2 + px + q = 0, которое в математике называется приведенным квадратным уравнением.
Корни приведенного квадратного уравнения и коэффициенты p и q связаны между собой. Это подтверждается теоремой Виета, названной так в честь французского математика Франсуа Виета, жившего в конце XVI века.
Теорема. Сумма корней приведенного квадратного уравнения x2 + px + q = 0 равна второму коэффициенту p, взятому с противоположным знаком, а произведение корней – свободному члену q.
Запишем данные соотношения в следующем виде:
Пусть 
Для доказательства подставим каждый из корней x1 и x2 в уравнение. Получаем два верных равенства:
x12 + px1 + q = 0
x22 + px2 + q = 0
Вычтем из первого равенства второе. Получим:
x12 – x22 + p(x1 – x2) = 0
Первые два слагаемых раскладываем по формуле разности квадратов:
(x1 – x2)(x1 – x2) + p(x1 – x2) = 0
По условию корни x1 и x2 различные. Поэтому мы можем сократить равенство на (x 1 – x2) ≠ 0 и выразить p.
(x1 + x2) + p = 0;
(x1 + x2) = -p.
Первое равенство доказано.
Для доказательства второго равенства подставим в первое уравнение
x12 + px1 + q = 0 вместо коэффициента p равное ему число – (x1 + x2):
x12 – (x1 + x2) x1 + q = 0
Преобразовав левую часть уравнения, получаем:
x12 – x22 – x1x2 + q = 0;
x1x2 = q, что и требовалось доказать.
Теорема Виета хороша тем, что, даже не зная корней квадратного уравнения, мы можем вычислить их сумму и произведение.
Теорема Виета помогает определять целые корни приведенного квадратного уравнения. Но у многих учащихся это вызывает затруднения из-за того, что они не знают четкого алгоритма действия, особенно если корни уравнения имеют разные знаки.
Итак, приведенное квадратное уравнение имеет вид x2 + px + q = 0, где x1 и x2 его корни. Согласно теореме Виета x1 + x2 = -p и x1 · x2 = q.
Можно сделать следующий вывод.
Если в уравнении перед последним членом стоит знак «минус», то корни x1 и x2 имеют различные знаки. Кроме того, знак меньшего корня совпадает со знаком второго коэффициента в уравнении.
Исходя из того, что при сложении чисел с разными знаками их модули вычитаются, а перед полученным результатом ставится знак большего по модулю числа, следует действовать следующим образом:
- определить такие множители числа q, чтобы их разность была равна числу p;
- поставить перед меньшим из полученных чисел знак второго коэффициента уравнения; второй корень будет иметь противоположный знак.
Рассмотрим некоторые примеры.
Пример 1.
Решить уравнение x2 – 2x – 15 = 0.
Решение.
Попробуем решить данное уравнение с помощью предложенных выше правил. Тогда можно точно сказать, что данное уравнение будет иметь два различных корня, т.к. D = b2 – 4ac= 4 – 4 · (-15) = 64 > 0.
Теперь из всех множителей числа 15 (1 и 15, 3 и 5) выбираем те, разность которых равна 2. Это будут числа 3 и 5. Перед меньшим числом ставим знак «минус», т.е. знак второго коэффициента уравнения. Таким образом, получим корни уравнения x1 = -3 и x2 = 5.
Ответ. x1 = -3 и x
Пример 2.
Решить уравнение x2 + 5x – 6 = 0.
Решение.
Проверим, имеет ли данное уравнение корни. Для этого найдем дискриминант:
D = b2 – 4ac= 25 + 24 = 49 > 0.
Уравнение имеет два различных корня.
Возможные множители числа 6 — это 2 и 3, 6 и 1. Разность равна 5 у пары 6 и 1. В этом примере коэффициент второго слагаемого имеет знак «плюс», поэтому и меньшее число будет иметь такой же знак. А вот перед вторым числом будет стоять знак «минус».
Ответ: x1 = -6 и x2 = 1.
Теорему Виета можно записать и для полного квадратного уравнения. Так, если квадратное уравнение ax2 + bx + c = 0 имеет корни x1 и x2, то для них выполняются равенства
x1 + x2 = -(b/a) и x1 · x2 = (c/a). Однако применение этой теоремы в полном квадратном уравнении довольно проблематично, т.к. при наличии корней, хотя бы один из них является дробным числом. А работать с подбором дробей достаточно трудно. Но все-таки выход есть.
Рассмотрим полное квадратное уравнение ax2 + bx + c = 0.
Умножим его левую и правую части на коэффициент a. Уравнение примет вид (ax)2 + b(ax) + ac = 0. Теперь введем новую переменную, например t = ax.
В этом случае полученное уравнение превратиться в приведенное квадратное уравнение вида t2 + bt + ac = 0, корни которого t1 и t2 (при их наличии) могут быть определены по теореме Виета.
В этом случае корни исходного квадратного уравнения будут
x1
Пример 3.
Решить уравнение 15x2 – 11x + 2 = 0.
Решение.
Составляем вспомогательное уравнение. Умножим каждое слагаемое уравнения на 15:
152x2 – 11 · 15x + 15 · 2 = 0.
Делаем замену t = 15x. Имеем:
t2 – 11t + 30 = 0.
По теореме Виета корнями данного уравнения будут t1 = 5 и t2 = 6.
Возвращаемся к замене t = 15x:
5 = 15x или 6 = 15x.
Таким образом, x1 = 5/15 и x2 = 6/15. Сокращаем и получаем окончательный ответ: x1 = 1/3 и x2 = 2/5.
Ответ. x1 = 1/3 и x2 = 2/5.
Чтобы освоить решение квадратных уравнений с помощью теоремы Виета, учащимся необходимо как можно больше тренироваться. Именно в этом и заключается секрет успеха.
© blog.tutoronline.ru, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.
2 + a(r_1r_2 + r_1r_3 + r_2r_3)x — ar_1r_2r_3 \\end{выровнено} $
$\подразумевает \boxed{r_1 + r_2 + r_3 = -\frac{b}{a}}$
$\ подразумевает \boxed{r_1r_2 + r_1r_3 + r_2r_3 = \frac{c}{a}}$
$\ подразумевает \boxed{r_1r_2r_3 = -\frac{d}{a}}$
Опять же, следует отметить, что знаки чередуются. Знак суммы корней всегда отрицательный.
Мы могли бы следовать тому же процессу, чтобы найти формулы для степеней 4, 5 и так далее и тому подобное.
Однако здесь есть закономерность. При умножении $(x — r_1)(x — r_2)(x — r_3)$ мы знаем, что наше произведение должно содержать каждую комбинацию одного члена из первой скобки, одного члена из второй скобки и одного члена из третьей скобки. . Тогда наш выбор следующий: 92$
Мы можем выбрать $1$ $x$ и два корня, что даст $((-r_1) \cdot (-r_2) + (-r_1) \cdot (-r_3) + (-r_2) \cdot (-r_3))x = (r_1r_2 + r_1r_3 + r_2r_3)x$
Мы можем не выбирать $x$ и три корня, что дает $((-r_1) \cdot (-r_2) \cdot (-r_3)) = -r_1r_2r_3$
Каждый последующий член представляет собой сумму произведений корней, взятых в разных количествах за один раз . $r_1 + r_2 + r_3$ — это сумма произведений корней, взятых по одному, так как умножение константы ни на что и есть сама константа. $r_1r_2 + r_1r_3 + r_2r_3$ — это сумма произведений корней, взятых по два за раз, — это все 3 возможные комбинации двух разных корней, умноженные вместе. $r_1r_2r_3$ — это сумма произведений корней, взятых по три за раз — есть только один способ взять сразу три элемента, и это один из способов.
94 \end{выровнено}$
Симметричные суммы
Формулы Виета дают нам выражения для суммы корней и произведения корней многочленов. Однако нам также даны выражения для сумм вида $r_1r_2 + r_1r_3 + r_2r_3$, например.
Симметричная сумма — это сумма, в которой значение не изменяется при изменении порядка переменных. Например, $f(a, b, c) = ab + ac + bc$ симметрично, потому что в любой перестановке наших переменных $a, b, c$, значение остается прежним:
$\begin{align} f(a, b, c) &= ab + ac + bc = ab + ac + bc \\ f(a, c, b) &= ac + ab + cb = ab + ac + bc \\ f(b, a, c) &= ba + bc + ac = ab + ac + bc \\ f(b, c, a) &= bc + ba + ca = ab + ac + bc \\ f (c, a, b) &= ca + cb + ab = ab + ac + bc \\ f(c, b, a) &= cb + ca + ba = ab + ac + bc \end{aligned}$
Более конкретно, при $n = 4$:
$\begin{aligned} S_1 &= a + b + c + d \\ S_2 &= ab + ac + ad + bc + bd + cd \\ S_3 &= abc + abd + acd + bcd \\ S_4 &= abcd \end{выровнено}$ 9{100} = 4 \cdot (-300) — 300 = \boxed{-1500}$
SCIRP Open Access
Издательство научных исследований
Журналы от A до Z
Журналы по темам
- Биомедицинские и медико-биологические науки.
- Бизнес и экономика
- Химия и материаловедение.
- Информатика. и общ.
- Науки о Земле и окружающей среде.
- Машиностроение
- Медицина и здравоохранение
- Физика и математика
- Социальные науки. и гуманитарные науки
Журналы по тематике
- Биомедицина и науки о жизни
- Бизнес и экономика
- Химия и материаловедение
- Информатика и связь
- Науки о Земле и окружающей среде
- Машиностроение
- Медицина и здравоохранение
- Физика и математика
- Социальные и гуманитарные науки
Публикация у нас
- Подача статьи
- Информация для авторов
- Ресурсы для экспертной оценки
- Открытые специальные выпуски
- Заявление об открытом доступе
- Часто задаваемые вопросы
Публикуйте у нас
- Представление статьи
- Информация для авторов
- Ресурсы для экспертной оценки
- Открытые специальные выпуски
- Заявление об открытом доступе
- Часто задаваемые вопросы
Подпишитесь на SCIRP
Свяжитесь с нами
клиент@scirp. org | |
| +86 18163351462 (WhatsApp) | |
| 1655362766 | |
| Публикация бумаги WeChat |
| Недавно опубликованные статьи |
| Недавно опубликованные статьи |
Подпишитесь на SCIRP
Свяжитесь с нами
клиент@scirp. |