Решение тригонометрических уравнений и неравенств: Математика. Тригонометрические уравнения и неравенства: Тригонометрические уравнения и неравенства

Пример 1: Найдите $ x$ в $sin x = \frac {\ sqrt {2}} {2} $

$ arc sin⁡ (\ frac {\ sqrt {2}} {2}) = x $, $ x = \ frac {\ pi} {4} $, это одно решение, которое мы получили. И записать его как целый набор решений:

$ B = (\frac{\pi}{4} + 2k\pi, k \in \mathbb{Z})$ U $(\frac{3 \pi}{4} + 2k\pi, k \ в \mathbb{Z})$

3. Тригонометрические уравнения $ tan x = a$, $ a \epsilon R$

Множество решений B будет $ B = (x + k\pi, k \in \mathbb{Z})$

Пример 1. : решить $ tan x = 1 \rightarrow x = \frac{\pi}{4} \rightarrow B = (\frac{\pi}{4} + k \pi, k \in \mathbb{Z})$

4. Тригонометрические уравнения $ cot x = a$, $ a \in \mathbb{R}$

Множество решений B будет $ B = ( x + k\pi , k \in \mathbb{Z} )$

У каждого тригонометрического уравнения есть один метод, который лучше всего подходит для нахождения решения. Чтобы знать, какой метод использовать, вам нужно узнать о каждом методе, а затем решить, какой из них вы будете использовать для конкретного уравнения.

Метод решения тригонометрических уравнений с использованием подстановки

Когда аргумент любой тригонометрической функции больше, чем просто неизвестное, мы можем подставить это выражение целиком. Когда мы находим значения для нашей замены, мы возвращаемся к исходной замене и находим наш главный угол.

Сначала кое-что простое:

$ sin(2x) = 1$. Здесь мы пытаемся в основном не найти угол, значение синуса которого равно 1, а найти x.
Замена должна помочь нам, упростив эту задачу до чего-то, что мы знаем, как решить, например, $ sin t = 1$. Это означает, что мы будем использовать замену $ t = 2x$.

Теперь у нас есть совершенно новое уравнение:

$ Sin t = 1 \rightarrow t = Arcsin(1)$. Это табличное значение, отсюда $ t = \frac{\pi}{2}$. Если вы не уверены в своих знаниях решения табличных значений, вы можете проверить это на своих калькуляторах. Чтобы добраться до дуги синуса, вы должны нажать SHIFT, а затем sin и ввести значение. Значение должно быть равно полученному углу. Если вы хотите перевести его в радианы, вам придется разделить на π. Когда вы вычислите $ arcsin(1)$, вы получите 1,5707, а когда вы разделите это на $ \pi$, вы получите $\frac{\pi}{2}$, просто убедитесь, что ваш калькулятор настроен на радианы. Если вам проще сначала считать в градусах, то можно, но потом проще считать в радианах (мы научились переводить градусы в радианы и наоборот в отрезки и углы).

Решения для уравнений $sin t = 1$ будем обозначать знаком $B_t$, а для $sin(2x) = 1$ знаком $B_x$.

Опять же, решение не только в этом одном угле, но и в наборе.

$ B_t = ( \frac{\pi}{2} + 2k\pi, k \in \mathbb{Z}) \bigcup (\pi – \frac{\pi}{2} + 2k\pi, k \in \mathbb{Z})$$ = ( \frac{\pi}{2}+ 2k\pi, k \in \mathbb{Z})$ $\bigcup$ $(\frac{\pi}{2 } + 2k\pi, k \in \mathbb{Z})$

Эти два множества совпадают, поэтому мы можем написать только $ B_t = ( \frac{\pi}{2} + 2k\pi, k \in \mathbb{Z} )$.

Мы еще не закончили. Не забывайте, что вы ищете. Нам нужно найти x и окончательный набор решений.

$ 2 B_x = B_t$, теперь каждое слагаемое в $B_t$ нужно разделить на 2.

$ B_x = ( \frac{\pi}{4} + \frac{k\pi}{2}, k \in \mathbb{Z})$, что является нашим окончательным решением.

Преобразование тригонометрических уравнений в полиномиальные

Форма $P(f(x))$, где P — полином, а $f(x)$ — тригонометрическая функция.
Задачи такого рода решаются с помощью подстановки и превращения нашего уравнения в известный нам многочлен. Будьте осторожны, такие замены можно использовать только в том случае, если в вашем уравнении используется только один тип тригонометрической функции: синус, косинус, тангенс или котангенс. 92 – 3t + 1 = 0$ и мы получили уравнение, которое умеем решать.

Мы получили два решения для t и теперь вернемся к подстановке:

Для $ x_1 = 1$:

$ t = sin(x) \rightarrow sin(x) = 1$

$ B_1 = (\frac{\pi}{2} + 2k\pi, k \in \mathbb{Z} )$.

А для $ x_2 = \frac{1}{2}$

$ t = sin(x) -> sin(x) = \frac{1}{2}$

$ B_2 = (\frac{ \pi}{6}+ 2k\pi) U (\frac{5 \pi}{6}+ 2k\pi)$

Окончательное решение $ B_1 U B_2$:

$( \frac{\pi}{2} + 2k\pi, k \in \mathbb{Z}) \bigcup (\frac{\pi}{6} + 2k\pi) U (\frac{5 \pi}{6}+ 2k\pi)$.

Преобразование тригонометрических уравнений к sin(x) + b cos(x) = c (универсальная замена)

До сих пор в каждом уравнении была только одна тригонометрическая функция, и это было просто, мы использовали простую замену и получали наше решение. Теперь мы не можем использовать эту замену, потому что x связан с другими функциями.

Мы знаем, что синус и косинус могут быть связаны одной функцией — тангенсом tan $ x = \frac{sin x}{cos x}$, и мы можем использовать это, чтобы получить только одну функцию для нашей подстановки. 2 = 0 \rightarrow t = \frac{1 {3}$

И вернемся к нашей подстановке:

$ B = (0,105\pi +2k\pi : k \in \mathbb{Z})$

Мы получим два значения для t, подставим их оба в подстановку и объединим решения.

Метод решения систем тригонометрических уравнений

Система тригонометрических уравнений – это любая система уравнений, в которой хотя бы одно из них является тригонометрическим.

Решение этих уравнений обычно основано на тригонометрических тождествах или простой настройке.

Пример: решить систему $ sin(x)sin(y) = 1$, $cos(y)cos(x) = 0$

Если мы сложим эти два уравнения, то получим $ sin⁡(x)sin( y) + cos(y)cos(x) = 1$

И это выглядит знакомо. Здесь мы можем использовать нашу формулу сложения $ sin⁡x siny + уютный уютный = cos (x – y)$

Что приводит нас к $ cos(x – y) = 1 \rightarrow x – y = arc cos1 \rightarrow x – y = 0 + 2k\pi$

Если вычесть эти два уравнения, мы получим $ sinx  \cdot sin(y) – cos(y) \cdot cos(y) = 1$, но это не какое-либо тригонометрическое тождество. Мы знаем, что $ cos⁡(x + y) = cos(x)cos(y) – sin(x)sin(y)$, чтобы получить это, мы умножим это уравнение на – 1 и получим $ cos⁡ (x + y) = -1 \rightarrow x + y = arccos⁡(-1) \rightarrow x + y = \pi + 2n\pi$.

Мы получили другую систему: $ x + y = \pi + 2n\pi$, $ x – y = 2k\pi$

если сложить эти два вместе: $ 2x = \pi + 2n\pi + 2k\ pi \rightarrow x = \frac{\pi}{2} + (n + k)\pi \rightarrow \frac{\pi}{2} + (n + k)\pi + y = \pi + 2n\pi $

$ y = \frac{\pi}{2} + 2n\pi – n\pi – k\pi \rightarrow y = \frac{\pi}{2} + (n – k)\pi$

Это очень простой пример системы тригонометрических уравнений, но все остальные системы решаются аналогично. Единственная сложность, которая может возникнуть, заключается в том, что для каждого уравнения, которое у вас есть, у вас есть 2 значения (положительное и отрицательное), которые дадут вам четыре решения для одной переменной.

Например, если мы получили:

Теперь вы’ Получим четыре системы линейных уравнений.

$ x – y = \frac{\pi}{6}$ и $ x + y = \frac{\pi}{2}$

$ x – y = -\frac{\pi}{6} $ и $ x + y = \frac{\pi}{2}$

$ x – y = \frac{\pi}{6}$ и $ x + y = -\frac{\pi}{2} $

$ x – y = -\frac{\pi}{6}$ и $ x + y = -\frac{\pi}{2}$, просто решите их, и вы получите четыре решения для x , и четыре для y.

Тригонометрические неравенства

Каждое тригонометрическое неравенство решается сначала решением его тригонометрического уравнения и выводом из единичной окружности. Как и в любом другом неравенстве, у нас будет один или несколько интервалов для решения.

Пример 1. Решить неравенство $ cos(x) \le \frac{1}{2}$

Первый шаг – решить уравнение $ cos(x) = \frac{1}{2}$, чтобы получить до концов нашего интервала.

Это $ B = (\pm \frac{\pi}{3} + 2k\pi, k \in \mathbb{Z})$.

Начертите единичную окружность и обозначьте углы $\frac{\pi}{3}$ и $ -\frac{\pi}{3} = \frac{5 \pi}{3}$.

Вы хотите найти все углы, значение косинуса которых меньше или равно $\frac{1}{2}$. Это означает, что мы идем по единичной окружности влево от точки $\frac{\pi}{3}$ и переходим к $\frac{5 \pi}{3}$. И мы берем все эти углы, потому что их значение косинуса меньше $\frac{1}{2}$. Если мы продолжим от $\frac{5\pi}{3}$ до $\frac{\pi}{3}$, их значение косинуса будет больше, чем $\frac{1}{2}$. Это означает, что нашим единственным решением будет $ [\frac{\pi}{3}, \frac{5 \pi}{3}]$.

Но так как это будет справедливо и для других углов, удаленных от них на всю окружность.

Это приводит нас к окончательному решению frac{5\pi}{3} + 2k\pi]$.

Это означает только то, что мы объединяем все сегменты с этим свойством.

Пример 2 :
Решить неравенство $ tan(x) \le 1$
Первый $ tan x = 1$: решения на первом круге: $\frac{\pi}{4} + k\pi$ и $\frac{\pi}{2} + k\pi$.

Теперь ищем все углы, значение тангенса которых меньше или равно 1. Это углы от 0 до $\frac{\pi}{4}$ и от $\pi$ до $\frac {5 \pi}{4}$. Это приводит нас к окончательному решению:

Таблицы тригонометрических уравнений и неравенств

   Найдите недостающую сторону x (230,6 КиБ, 821 совпадение)

   Найдите площадь треугольника (272,8 КиБ, 727 совпадений)

   Тригонометрические уравнения (184,3 КиБ, 1169 совпадений)

Тригонометрические уравнения и неравенства

​Обучающие цели​

Краткий план урока

Первый опыт:

Сегодня мы вернемся к контексту урока 6. 7, где учащиеся построили модель температуры снаружи дома Кариссы. Сегодня учащиеся получают модель и должны найти моменты, когда температура достигает определенного значения. По сути, они решают триггерные уравнения.

Как всегда, мы хотим подчеркнуть множественность представлений и разную степень точности. К вопросу 1 можно подойти с интуитивной точки зрения (температура начинается с минимального значения, максимальное должно произойти в середине цикла) или аналитического (максимальное значение F достигается, когда cos(πt/12)=-1) подхода.

Теперь мы представляем интуитивный подход к решению уравнений, который выходит за рамки простого «действия наоборот». Сначала учащиеся используют график для оценки решений, что затем также позволяет им проверить обоснованность своих аналитических решений. Затем учащиеся обдумывают выражение для F(t) по частям и изолируют влияние переменной t. Другими словами, если F(t)=75˚, каким должно быть выражение 10cos(πt/12), чтобы при вычитании его из 80 я получил 75? Каким же тогда должно быть выражение cos(πt/12)? Вопрос 3d может быть сложным для учащихся, потому что они должны думать о πt/12 как об одной величине, представляющей угол. Может быть полезно использовать изображение или символ, например, маленькую черную коробку, для представления πt/12. Накладывая это на уравнение, учащиеся могут сначала выяснить, какой должна быть «коробка», а затем определить значение t.

В вопросе 3 значения представляют собой целые числа, и их можно найти с помощью единичного круга. В вопросах 4–8 учащиеся должны вычислить обратную триггерную функцию с помощью своего калькулятора. На основе вчерашнего урока учащиеся должны понять, почему калькулятор выдает только одно значение. В ключе для ответов вы заметите, что поиск другого угла является примечанием на полях, потому что учащиеся могут или не могут добраться туда самостоятельно. Однако учащиеся должны понимать, что им не хватает решения, поскольку на графике есть две точки пересечения. При разборе аналитических ответов обязательно подчеркните, что учащиеся могут проверить обоснованность своих ответов, сравнив свои решения со своими оценками в вопросе 4. Поскольку t=7,16 очень близко к t=7, а t=16,84 близко к t=17 решения кажутся разумными.

​

Контрольные вопросы:

• Сколько раз температура будет ровно 83°, согласно этой модели?

• Предположим, что ввод — это «ящик». Какой должна быть коробка?

• (Вопрос 7) Можно ли найти это значение, используя круг единиц измерения?

• Почему ваш калькулятор дает вам только одно значение, когда мы видим, что есть два решения?

• Где еще cos(theta)=-0,3? Как наличие одного решения помогает найти другое?

​

Формализовать Позже:

В этом уроке учащиеся должны понять, что решение тригонометрического уравнения ничем не отличается от решения любого другого уравнения; это требует выделения влияния независимой переменной. Мы рекомендуем вам избегать таких выражений, как «перейти на другую сторону» и «получить х само по себе», поскольку они иногда могут скрыть математическую концепцию отмены уравнения и точного определения эффекта одной переменной.