Какое решение уравнения: Решение дифференциальных уравнений онлайн. Любые с подробным решением.

Формула решения уравнения 4 степени / Хабр

Существует несколько методов нахождения корней полиномиального уравнения 4-ой степени.
Однако они не очень удобны при решении уравнений с коэффициентами, которые представляют собой выражения с параметрами.

Инстаграм

1. Формула решения уравнения 4 степени

Рассмотрим уравнение 4-ой степени, сумма корней которого равна нулю. Коэффициенты могут быть вещественными или комплексными.

Произведение следующих двух квадратов тождественно рассматриваемому уравнению 4-ой степени.

Значение R является решением следующего кубического уравнения.

Почти такое же уравнение появляется при решении уравнения 4-ой степени путем разложения на разность полных квадратов. Будем называть данное кубическое уравнение вспомогательным.

Вычислим произведение двух квадратов new.

То же самое, но в форме коэффициентов при степенях x (в порядке убывания степеней). 3 заменяется на

Получается выражение

В общем описанные в п.2 преобразования не являются тождественными. Но если считать интересными только значения x, которые являются корнями исходного уравнения, то данные преобразования можно считать квазитождественными. И тогда y представляется выражением, соответствующим корням исходного уравнения.

3. Для кубического уравнения операция в п.2 производится еще один раз. В итоге получается система из 3 уравнений по x, которая имеет три ненулевых решения, соответствующих корням исходного уравнения. Из коэффициентов x формируем матрицу

4. Находим определитель матрицы, который представляется кубическим выражением по y.
Вычисляем значения, обеспечивающие равенство определителя нулю.

5. В уравнении по y имеются два параметра P и Q. Вычислим их так, чтобы нулю равнялись коэффициенты при второй и первой степени y.

Любое P

, где

6. В итоге имеем уравнение c тремя кратными корнями для y

7. Остается решить квадратное уравнение с известными y, P, Q

Одно из решений будет решением исходного уравнения.

3. Параметры решения вспомогательного кубического уравнения

Для конкретных значений коэффициентов все выглядит не таким страшным образом.

Отметим, что для формулы решения уравнения 4-ой степени требуется только один корень R вспомогательного кубического уравнения.

Для конкретных коэффициентов вспомогательного уравнения имеем

При использовании формулы решения уравнения 4-ой степени необходимо ссылаться — «Метод ftvmetrics».

Интересные задачи присылайте в Direct Инстаграмм.

Вся элементарная математика — Средняя математическая интернет-школа

Что такое решение уравнения?

Тождественное преобразование. Основные

виды тождественных преобразований.

Посторонний корень. Потеря корня.

Решение уравнения – это процесс, состоящий в основном в замене заданного уравнения другим уравнением, ему равносильным . Такая замена называется тождественным преобразованием . Основные тождественные преобразования следующие:

1.	Замена одного выражения другим, тождественно равным ему. Например, уравнение ( 3 x+ 2 ) 2 = 15 x+ 10 можно заменить следующим равносильным: 9 x 2 + 12 x + 4 = 15 x + 10 .
2.	Перенос членов уравнения из одной стороны в другую с обратными знаками. Так, в предыдущем уравнении мы можем перенести все его члены из правой части в левую со знаком « – »: 9 x 2 + 12 x + 4 – 15 x – 10 = 0, после чего полу чим: 9 x 2 – 3 x – 6 = 0 .
3.	Умножение или деление обеих частей уравнения на одно и то же выражение (число), отличное от нуля. Это очень важно, так как новое уравнение может не быть равносильным предыдущему, если выражение, на которое мы умножаем или делим, может быть равно нулю. П р и м е р .  Уравнение x – 1 = 0  имеет единственный корень x = 1. Умножив обе его части на x – 3 , мы получим уравнение ( x – 1 )( x – 3 ) = 0,  у которого два корня: x = 1 и x = 3. Последнее значение не является корнем заданного уравнения x – 1 = 0.  Это так называемый посторонний корень . И наоборот, деление может привести к потере корня . Так в нашем случае, если ( x – 1 )( x – 3 ) = 0 является исходным уравнением, то корень x = 3  будет потерян при делении обеих частей уравнения на x – 3 . В последнем уравнении (п.2) мы можем разделить все его члены на 3 (не ноль!) и окончательно получим: 3 x 2 –  x – 2 = 0 .

Это уравнение равносильно исходному:

( 3 x+ 2 ) ² = 15 x + 10 .

Решение уравнения | Encyclopedia.com

Методы решения простых уравнений

Решение более сложных уравнений

Решение уравнений с несколькими переменными

Решение уравнений второй степени и выше

Ресурсы

Решением уравнения является множество всех значений, которые при подстановке неизвестных, сделайте уравнение верным. Для уравнений с одним неизвестным, возведенным в одну степень, для определения его решений используются два основных правила алгебры, в том числе свойство аддитивности и свойство мультипликативности. Решения для уравнений с несколькими неизвестными переменными находятся с использованием принципов системы уравнений. Уравнения с членами, возведенными в степень большую, могут быть решены с помощью факторизации, а в некоторых частных случаях — с помощью квадратного уравнения.

Идея решения уравнений существовала еще со времен древних египтян и вавилонян. В то время они использовали простые алгебраические методы для решения практических проблем, связанных с их повседневной жизнью. Методы, использовавшиеся древними, сохранились в трактате, написанном арабским математиком Аль-Коваризми (825 г. н.э.). В эту работу он включает методы решения линейных уравнений, а также уравнений второй степени. Решения некоторых уравнений высших степеней были найдены в шестнадцатом веке итальянским математиком Джероламо Кардано (1501–1576).

Уравнение — это алгебраическое выражение, которое обычно связывает неизвестные переменные с другими переменными или константами. Например, x + 2 = 15 — это уравнение, как и y ² = 4. Решением или корнем уравнения является любое значение или набор значений, которые можно подставить в уравнение, чтобы сделать его верным утверждением. . В первом примере решение для x равно 13. Во втором примере есть два значения, которые сделают утверждение верным, а именно 2 и –2. Эти значения составляют набор решений уравнения.

Используя два фундаментальных правила алгебры, можно получить решения многих простых уравнений. Первое правило гласит, что к обеим частям уравнения можно добавить одну и ту же величину без изменения решения уравнения. Например, уравнение x + 4 = 7 имеет решение x = 3. Согласно первому правилу, можно прибавить любое число к обеим частям уравнения и все равно получить одно и то же решение. При добавлении 4 к обеим частям уравнение становится x + 8 = 11, но решение остается x = 3. Это правило известно как аддитивное свойство равенства. Чтобы использовать это свойство для поиска решения уравнения, все, что требуется, — это выбрать правильное число для добавления. Решение предыдущего примера x + 4 = 7 можно найти, добавив -4 к обеим частям уравнения. Если это сделать, уравнение упрощается до x + 4 – 4 = 7 – 4orx = 3, и уравнение решается.

Второе фундаментальное правило, известное как мультипликативное свойство равенства, гласит, что каждый член в обеих частях уравнения можно умножить или разделить на одно и то же число без изменения решения уравнения. Например, решение уравнения y – 2 = 10 равно y = 12. Используя правило умножения, можно получить эквивалентное уравнение с тем же набором решений, умножив обе части на любое число, например 2. Таким образом, уравнение становится 2y– 4= 20, но решение остается y = 12. Это свойство также можно использовать для решения алгебраических уравнений. В случае уравнения 2x = 14 решение получается путем деления обеих частей на 2. Когда это делается 2x/2 = 14/2, уравнение упрощается до x = 7,9.0003

Часто оба этих правила необходимо использовать для решения одного уравнения, например, уравнения 4x + 7 = 23. В этом уравнении к обеим частям уравнения добавляется -7, и получается 4x = 16. Оба части этого уравнения затем делятся на 4, и оно упрощается до решения, x = 4.

Большинство уравнений дается в более сложной форме, которую можно упростить. Рассмотрим уравнение 4x – x – 5 = 2x + 7. Первым шагом в решении этого уравнения является объединение одинаковых членов с каждой стороны уравнения. В правой части нет одинаковых терминов, но 4x и -x в левой части являются подобными терминами. Это уравнение при упрощении принимает вид 3x – 5 = 2x + 7. Следующий шаг – исключить неизвестное из одной части уравнения. В данном примере это достигается добавлением -2x к обеим частям уравнения, что дает x — 5 = 7. Используя аддитивное свойство, решение получается добавлением 5 к обеим частям уравнения, поэтому x = 12.

Весь процесс решения алгебраических уравнений с одной переменной можно описать следующими шагами. Во-первых, удалите все скобки, умножив множители. Во-вторых, добавьте похожие термины с каждой стороны. В-третьих, исключите неизвестное из одной части уравнения, используя мультипликативные или аддитивные свойства. В-четвертых, исключить постоянный член со стороны неизвестного с помощью аддитивного свойства. Наконец, устраните любой коэффициент при неизвестном, используя мультипликативное свойство.

Многие алгебраические уравнения содержат более одной переменной, поэтому полный набор решений не может быть найден с помощью описанных выше методов. Уравнения с двумя неизвестными называются линейными уравнениями и могут быть представлены общей формулой ax + by = c; где a, b и c — константы, а x и y — переменные. Решением этого типа уравнения будет упорядоченная пара x и y, которая делает уравнение верным. Например, набор решений для уравнения x + y = 7 будет содержать все пары значений x и y, которые удовлетворяют уравнению, такие как (2,5), (3,4), (4,3), и т. д. В общем случае для определения решения линейного уравнения с двумя переменными уравнение переписывается и решается с одной переменной. Тогда решением уравнения x + y = 7 становится любая пара значений, которая делает x = 7 – y верным.

Часто существует несколько линейных уравнений, связывающих две переменные в одной и той же системе. Все уравнения, связанные с переменными, известны как система уравнений, а их решение представляет собой упорядоченную пару, которая делает каждое уравнение верным. Эти уравнения решаются методами построения графиков, замены и исключения.

Уравнения, содержащие неизвестные, возведенные в степень единицы, называются уравнениями первой степени. Существуют также уравнения второй степени, включающие

КЛЮЧЕВЫЕ ТЕРМИНЫ

Аддитивное свойство — Свойство уравнения, в котором указано число, может быть добавлено к обеим частям уравнения, не влияя на его решение.

Факторинг — Метод сведения уравнения более высокой степени к произведению уравнений более низкой степени.

Уравнение первой степени —Алгебраическое выражение, содержащее неизвестное, возведенное в первую степень.

Мультипликативное свойство — Свойство уравнения, состоящее в том, что все члены уравнения могут быть умножены на одно и то же число, не влияя на окончательное решение.

Уравнение второй степени —Алгебраическое выражение, содержащее неизвестное, возведенное во вторую степень.

хотя бы одна переменная, возведенная в квадрат или возведенная в степень двойки. Уравнения также могут быть третьей степени, четвертой степени и так далее. Наиболее известным уравнением второй степени является квадратное уравнение, имеющее общий вид ах ² +bx +c = 0; где a, b и c являются константами, а a не равно 0. Решение для этого типа уравнения часто можно найти с помощью метода, известного как факторинг.

Поскольку квадратное уравнение является произведением двух уравнений первой степени, его можно включить в эти уравнения. Например, произведение двух выражений (x + 2)(x – 3) дает одно с квадратным выражением x ² – x – 6. Два выражения (x + 2) и (x – 3) называются множители квадратного выражения x ² – x – 6. Приравнивая каждый множитель квадратного уравнения к нулю, можно получить решения. В этом квадратном уравнении решения x = –2 и x = 3,

Найти коэффициенты квадратного уравнения не всегда просто. Для решения этой задачи была придумана квадратная формула, позволяющая решить любое квадратное уравнение. Квадратное уравнение формулируется следующим образом для общего уравнения: .

См. также Системы уравнений.

КНИГИ

Биттингер, Марвин Л. и Дэвик Элленбоген. Алгебра среднего уровня: концепции и приложения . 7-е изд. Рединг, Массачусетс: Addison-Wesley Publishing, 2006.

Ларсон, Рон. Предварительный расчет . 7-е изд. Бостон, Массачусетс: Houghton Mifflin, 2007.

Лоренц, Фалько. Алгебра. Нью-Йорк: Springer, 2006.

Сетек, Уильям М. Основы математики . Река Аппер-Сэдл, Нью-Джерси: Pearson Prentice Hall, 2005.

Перри Романовски

1.17: Уравнения и их решения

1. Последнее обновление

2. Сохранить как PDF

Идентификатор страницы

45473

• Самар ЭльХитти, Марианна Бонаноме, Холли Карли, Томас Тредлер и Лин Чжоу Технологический колледж Нью-Йорка CUNY
• NY via Городской колледж технологий в CUNY Academic Works 9{2}+x+1=0\)

  g) \(2 x-5>3\) не является уравнением. Это неравенство, и оно будет обсуждаться в главе 21

  .

  Решением уравнения является любое значение переменной, которое удовлетворяет равенству, то есть оно делает левую (левую) и правую части уравнения одинаковыми значениями.

  Чтобы решить уравнение , нужно найти решение(я) для этого уравнения. Метод решения уравнения зависит от вида уравнения. Мы будем учиться:

  • решение линейных уравнений в главах 16 и 17
  • решить квадратные уравнения в главе 20

  Пример 15.2

  Решения уравнений:

  -4=6\), что равно \(\mathrm{RHS}\).

  b) Решением для \(5 x-6=4 x+2\) является \(x=8\), поскольку LHS, оцененное при \(x=8\), равно \(5(8)-6= 40-6=34\), а правая сторона, оцененная как \(x=8\), равна \(4 x+2=4(8)+2=32+2=34,\), и они равны!

  Таким образом, при заданном значении \(x\) мы можем проверить, является ли оно решением, путем одновременного вычисления левой и правой сторон уравнения.

  No related posts.