Решение уравнений средствами ms Excel
Разнообразные проблемы механики, физики, техники сводятся к вопросу о нахождении корней многочлена, причем, иногда достаточно высоких степеней. Точные решения известны для квадратных уравнений, кубических (формула Кардано) и уравнений 4-й степени (метод Феррари). Для уравнений выше 5-й степени не существует формул для выражения корней многочлена. Однако в технических приложениях обычно достаточно знать лишь приближенные значения корней с некоторой заранее заданной точностью. В общем же случае надежд на простое аналитическое решение нет. Более того, доказано, что даже алгебраическое уравнение выше четвертой степени неразрешимо в элементарных функциях. Поэтому решение уравнения проводят численно в два этапа (здесь разговор идет лишь о вещественных корнях уравнения). На первом этапе производится отделение корней – поиск интервалов, в которых содержится только по одному корню. Второй этап решения связан с уточнением
В общем виде уравнение n-й степени выглядит следующим образом:
,
где n − некоторое положительное число, − произвольные числа, причем старший коэффициентдолжен быть не равен нулю.
Выражение называется многочленом (полиномом)n − й степени от неизвестного x.
Если при некотором x = x0 выполняется равенство , тоx0 называется корнем многочлена .
Приведем некоторые рекомендации по отысканию действительных корней многочленов с действительными коэффициентами:
Действительными корнями многочлена будут абсциссы точек пересечения его графика с осью Х и только они;
Число положительных корней многочлена равно числу перемен знаков в системе коэффициентов этого многочлена (коэффициенты, равные нулю, не учитываются) или меньше этого числа на четное число;
Число отрицательных корней многочлена равно числу сохранения знаков в системе коэффициентов этого многочлена или меньше этого числа на четное число;
Если многочлен не имеет отрицательных коэффициентов, то многочлен не имеет положительных корней;
Отрезоклокализации всех корней многочлена определяется по выражению:
Для границы a формула справедлива если
Решение отыскания корней многочлена с помощью электронной таблицы MS Excel предполагает следующие шаги:
Провести табулирование заданного многочлена на интервале .
После локализации корней произвести их уточнение.
При последующем
уточнении корня на обнаруженном
интервале не надейтесь никогда найти точное значение и добиться обращения функции
в нуль при использовании калькулятора
или компьютера, где сами числа
представлены ограниченным числом
знаков. Здесь критерием может служить
приемлемая абсолютная или относительная
погрешность корня. Если корень близок к нулю, то лишь
относительная погрешность даст
необходимое число значащих цифр. Если
же он весьма велик по абсолютной величине,
то критерий абсолютной погрешности
часто дает совершенно излишние верные
цифры. Для функций, быстро изменяющихся
в окрестности корня, может быть
привлечен и критерий: абсолютная
величина значения функции не превышает заданной допустимой
погрешности.
Пример
Найти все действительные корни уравнения:
f(x) = Х5 + 2Х4 + 5Х3 + 8Х2 − 7Х – 3 = 0,
где а5 = 1, а4 = 2, а3 = 5, а2 = 8, а1 = −7, а0 = −3.
Число сохраненных знаков = 4 (в уравнение отрицательных корней 4 или 2)
Число перемены знаков = 1 (в уравнение один положительный корень)
Определяем отрезок [a; b], на котором существуют корни уравнения..
Выполняем приближенное табулирование функции на отрезке [−9; 9] с шагом 1.
Определяем, что функция меняет знак на отрезке [−3; 1].
Производим табулирование функции на отрезке [−3; 1] с шагом 0,1.
Строим график функции.
Используя, таблицу и график функции определяем положение корней уравнения (на рис. 1. отрезки локализации корней выделены желтым цветом).
Рис. 1. Локализация корней уравнения
Из таблицы и графика видно, что многочлен f(x) содержит 3 корня, находящихся в границах отрезков: 1-й корень ,; 2-й корень,; 3 — й корень,.
дифференциальный-уравнение-калькулятор — Google Подобные
AlleBilderVideosShoppingMapsNewsBücher
suchoptionen
Дифференциальные уравнения. Пошаговый калькулятор — MathDF
mathdf.com › dif
Калькулятор обыкновенных дифференциальных уравнений. С удобным вводом и шаг за шагом!
Калькулятор обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) — Symbolab
www.symbolab.com › Step-by-Step › Математическое исчисление шаг.
Линейный дифференциал первого порядка… · Дифференциал 2-го порядка… · Неоднородный
Дифференциальные уравнения — Примеры Wolfram|Alpha
www.wolframalpha.com › примеры › математика
Ответы на задачи дифференциальных уравнений. Решение ОДУ, линейных, нелинейных, обыкновенных и численных дифференциальных уравнений, функций Бесселя, …
Численное дифференциальное… · Пошаговое дифференциальное… · Дифференциальные уравнения sin 2x
Калькулятор дифференциальных уравнений — eMathHelp
www.emathhelp.net › калькуляторы › дифференциальные уравнения…
Решить дифференциальные уравнения… Калькулятор попытается найти решение заданного ОДУ: первого порядка, второго порядка порядок, n-го порядка, отделимый, линейный, точный, …
Калькулятор и решатель дифференциальных уравнений — SnapXam
www.snapxam.com › калькуляторы › дифференциально-уравнение…
Получите подробные решения для вашей математики задачи с помощью нашего пошагового калькулятора дифференциальных уравнений.
Практикуйте свои математические навыки и учитесь шаг за шагом с помощью нашей …
Калькулятор обыкновенных дифференциальных уравнений — Math34.pro
math34.pro › Differential_equation
Используйте Math34.pro для решения дифференциальных уравнений любого типа здесь и сейчас. … Бесплатный калькулятор обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) — решите обыкновенные …
Решите дифференциальные уравнения онлайн
mathforyou.net › online › исчисление › ode
С помощью нашего шага за шагом можно решить почти любое дифференциальное уравнение онлайн калькулятор.
Ähnliche Fragen
Как вы вычисляете дифференциальные уравнения?
Как шаг за шагом решить дифференциальное уравнение?
Какие существуют 4 типа дифференциальных уравнений?
Какое приложение вы используете для решения дифференциальных уравнений?
Калькулятор дифференциальных уравнений — Math20
www.math20.