Решение уравнений по схеме горнера онлайн: Решение уравнений онлайн

Содержание

Теорема Безу. Схема Горнера — презентация онлайн

Похожие презентации:

Элементы комбинаторики ( 9-11 классы)

Применение производной в науке и в жизни

Проект по математике «Математика вокруг нас. Узоры и орнаменты на посуде»

Знакомство детей с математическими знаками и монетами

Тренажёр по математике «Собираем урожай». Счет в пределах 10

Методы обработки экспериментальных данных

Лекция 6. Корреляционный и регрессионный анализ

Решение задач обязательной части ОГЭ по геометрии

Дифференциальные уравнения

Подготовка к ЕГЭ по математике. Базовый уровень Сложные задачи

Теорема Безу. Схема Горнера
ГБОУ №1392 им. Д. Рябинкина
Давтян Римма Артемовна
Этье́нн Безу́ (1730 – 1783) –
французский
математик,
член
Парижской академии наук
Преподавал математику в Училище
гардемаринов (1763) и Королевском
артиллерийском корпусе (1768).
Основные его работы относятся к
алгебре
(исследование
систем

алгебраических уравнений высших
степеней, исключение неизвестных в
таких системах и др.

)
Автор шеститомного«Курса
математики»
(17641769),неоднократно
переиздававшегося.
Теорема Безу: Остаток от деления многочлена Р(х) на
двучлен (х – а) равен Р(а)
Доказательство.
Поделим с остатком многочлен Р(х) на двучлен (х – а):
Р(х) = Q(х) (х – а) + R(х)
Т.к. степень R меньше степени (х – а), то R(х) – многочлен
нулевой степени, т.е.
R(х) = R – число.
При х = а, имеем
Р(а) = Q(а) (а – а) + R(а.
Р(а) = R(а). чтд
Теорема Безу: Остаток от деления многочлена Р(х) на двучлен (х – а) равен Р(а)
Следствия
1.Число a является корнем многочлена Р(х) тогда и только тогда,
когда Р(х) делится без остатка на двучлен (х – а)
(отсюда, в частности, следует, что множество корней многочлена
тождественно множеству корней соответствующего уравнения)
2.Свободный член многочлена делится на любой целый корень

многочлена с целыми коэффициентами
(если старший коэффициент равен 1, то все рациональные корни
являются и целыми)
3.

Пусть α — целый корень приведённого многочлена A(x) с целыми
коэффициентами. Тогда для любого целого k число A(k) делится на α-k
4.Если число а является корнем многочлена Р(х), то этот многочлен
можно представить в виде произведения
(х – а) Р1(х),
где
Р1(х) — многочлен n-1–й степени.
Приложения
Теорема Безу и следствия из неё позволяют легко находить рациональные корни
уравнений с целыми (рациональными) коэффициентами.
Уильям Джордж Горнер (1786 – 1837)
Английский математик
Основные труды по теории алгебраических
уравнений.
С его именем связана (1819) схема Горнера
деления многочлена на двучлен .
Частный случай: уравнение четвертой степени
Решение уравнений высших степеней (деление многочлена с помощью
схемы Горнера)

English Русский Правила

Методы решения уравнений высших степеней. Метод Горнера | Учебно-методический материал по алгебре (11 класс) по теме:

Методы решения уравнений высших степеней. Метод Горнера.

Подобные задания, содержащие уравнения высших степеней, в последние годы стали появляться в ЕГЭ, олимпиадных заданиях по математике, при вступительных экзаменах в ВУЗы. Большинство учащихся с трудом справляются с решением уравнений со степенью выше 3, поскольку в школьном курсе алгебры при непрофильном обучении отводится этой теме малое количество времени, но умение решать такие уравнения необходимо при написании экзамена в форме ЕГЭ, при решении части С, причем математика является обязательным для сдачи предметом.

Методы решения уравнений высших степеней различными способами.

Метод замены переменной.

Пример 1. Дано: (х2-9)2-8(х2-9) +7=0

Решение. Введем новую переменную, обозначив х2-9=t, тогда получаем:

t2-8t+7=0, D=b2-4ac=36, t1=7; t2=1.

Возвращаемся к “старой” переменной х2-9=1, х=±√10; х2-9=7, х=±4.

Ответ: х1=+√10; х2=-√10; х3=-4; х4=4.

Пример 2. Дано: х(х + 1)(x + 2)(x + 3) = 24

Решение. Перемножим первый и четвертый множители, второй и третий. Получим:

(х2 + 3х)(x2 + 3x + 2) = 24

Вводим замену: x2 + 3x = t, тогда t(t + 2) = 24, t2 + 2t – 24 = 0, t1 = -6; t2 = 4. Возвращаемся к “старой” переменной, получим: x2 + 3x = -6, x2 + 3x + 6 = 0, D

Уравнение x2 + 3x = 4 имеет корни х1 = -4, х2 = 1.

Ответ: х1 = -4, х2 = 1.

Пример 3. Дано: (х – 4)(х2 + 15 + 50)(х – 2) = 18х2

Решение. Разложим на множители х2 + 15 + 50.

х2 + 15 + 50 = 0, х1 = -5, х2 = -10, тогда х2 + 15х + 50 = (х + 5)(х + 10).

Уравнение примет вид: (х – 4)(х + 5)(х + 10)(х – 2) = 18х2

Так как (-4)•5 = -20, 10•(-2) = -20, то перемножая первую скобку со второй, третью с четвертой, будем иметь: (х2 + х – 20)( х2 + 8х – 20) = 18х2

Поскольку х = 0 не корень, разделим обе части уравнения на х2 . Получим:

)=18

Вводим замену: , тогда (t+1)(t+8)=18, т.е. t2+9t-10=0, t1= -10, t2 = 1.

Вернемся к исходной переменной:

;

Решим первое уравнение х2 + 10х – 20 = 0, D = 180, х1=; х2=

Решим второе уравнение х2 — х – 20 = 0, D =81, х3 = — 4, х4 = 5.

Ответ: х1=; х2=; х3 = — 4, х4 = 5.

Пример 4. Дано:

Решение. Произведем преобразования в числителе дроби: х4+324=х4+182,

(х2+18)2=х4+36х2+324, тогда х4+324= х4+36х2+324-36х2. Получим:

Приведем левую и правую части к одному знаменателю:

Приравняем к нулю. Получим:

Решим уравнение в числителе методом группировки:

Разложим на множители , приравняв к нулю:

, введем новую переменную: х2=t, получаем:

х1,2 = = . Тогда:

х2-25=0, или х2+6х+18=0

х= D=36-72=-36, D

Числитель равен нулю при х=5; -5, а знаменатель никогда не будет равен нулю.

Ответ: х=±5.

Пример 5. Дано: (х-1)4-х2+2х-73

Решение. Преобразуем:

(х-1)4-(х2-2х+1)-72, (х-1)4-(х-1)2-72.

Введем новую переменную: (х-1)2=t, t2-t-72=0, D=1+288=289

t1,2=.

Возвращаемся к «старой» переменной:

(х-1)2=9, 2) (х-1)2=-8

х2-2х+1-9=0, х2-2х+1+8=0 ,

х2-2х-8=0 х2-2х+9=0

D=4+32=36 D=4 — 36= -32, D

х1,2=

Ответ: х=4;-2.

Пример 6. Дано: (х2-2х-1)2+3х2-6х-13=0

Решение. Выполним преобразования: (х2-2х-1)2+3(х2-2х-1)-10=0.

Введем новую переменную: х2-2х-1=t

T2+3T-10=0

D=49 х1,2=

Возвращаемся к «старой» переменной:

х2-2х-1=-5, 2) х2-2х-1=2

х2-2х-1+5=0, х2-2х-1-2=0 ,

х2-2х+4=0 х2-2х-3=0

D=4-16=-12, D

х1,2=

Ответ: х=3;-1.

Пример 7. Дано:

— не является корнем уравнения

Разделим обе части уравнения на (х-1)2, получим

Введем замену.

Пусть , тогда

;

или

; ;

Ответ: ; ; ;

Пример 8. Дано:

Решение. В левой части выделим полный квадрат разности:

Сгруппируем первый, второй и четвертый члены:

Вводим замену: t2 + 18t – 40 = 0; t1 = -20, t2 = 2.

Вернемся к “старой” переменной, получим:

Ответ: , .

Пример 9. Дано:

Решение. х = 0 не является корнем уравнения, поэтому числитель и знаменатель каждой дроби делим на х:

вводим замену:

, тогда

Решим это уравнение:

Вернемся к “старой” переменной:

Решаем первое уравнение х2 – 14х + 15 = 0

; .

Второе уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: ;.

Пример 10. Дано:

Решение. Раскроем скобки в правой части уравнения. Получим:

Введем новые переменные: (х-1)2=а; (х+1)2=b, получаем:

а2+9b2-10аb=0, поделим на а2, 1+9(2-10(), вводим новую переменную и решаем квадратное уравнение:

9t2-10t+1=0, D=100-36=64, t1,2=

Возвращаемся к «старым» переменным: 1) (х+1)2=(х-1)2; 2) (х-1)2=9(х+1)2.

Решаем уравнения:

х2+2х+1=х2-2х+1, 2) х2-2х+1=9х2+18х+9,

4х=0, -8х2-20х-8=0

х=0. D=400-64∙4=144

х1,2=

Ответ: х=0; -2; —

Метод группировки.

Пример 1. Дано:

Решение. Сгруппируем слагаемые в левой части, но следует заметить, что х=0; х=-1; х=-3; х=-4 не могут быть решениями. Получим:

Проводим преобразования и получаем:

2(х+2)(,

2(х+2)=0, или

х1=-2. Введем замену: х2+4х=t, тогда

Решая уравнения, получаем:

Подставляем значение t, получаем уравнение:

х2+4х=,

х2+4х+1,5=0,

D=16-6=10,

х2,3= Ответ: х1=-2; х2=-2+; х3= -2-.

Пример 2. Дано: х4+2х3+2х+1=0

Решение. Поделим на уравнение на х2, получим:

х2+2х+ перегруппируем слагаемые таким образом:

(х2+

(х+2-2+2(

вводим новую переменную: t= х+, t2+2t-2=0, D=4+8=12,

t1,2==

Подставляем обратно:

x2 + (1− )x +1 = 0, D=-1-2

х+=,

x2 + (1+ )x +1 = 0, D=,

х1,2=.

Ответ. х1,2=

Пример 3. Дано: х4+х3-72х2+9х+81=0

Решение. Поделим уравнение на х2 и сгруппируем:

х2+х-72+=0,

(х2++(х+ проведем некоторые преобразования до полного квадрата в одной из скобок, получим:

(х2+18++(х+,

(х+)2+( х+)-90=0, вводим новую переменную: t= х+, решаем уравнение:

t2+t-90=0, D=1+360=361,

t1,2= Решаем уравнения, подставляя значения t:

х+=-10, х0

х2+10х+9=0, D=100-36=64

х1,2=

х+=9, х0

х2-9х+9=0, D=81-36=45

х3,4=.

Ответ: х1 х2=-1; х3,4=

«Схема Горнера»

Определение. Уравнение р0хn+p1xn-1+p2xn-2+…+pn-1x+pn=0, где n – натуральное число, а — произвольные постоянные коэффициенты, называется целым рациональным уравнением n – й степени.

Теорема. Если целое рациональное уравнение с целыми коэффициентами имеет целые корни, то они являются делителями свободного члена.

Теорема Безу. Остаток от деления многочлена р0хn+p1xn-1+p2xn-2+…+pn-1x+pn на двучлен х-а равен Р(а).

Рассмотрим решение уравнений высших степеней, используя метод деления с помощью схемы Горнера:

Если р0хn+p1xn-1+p2xn-2+…+pn-1x+pn=(b0xn-1+b1xn-2+…+bn-2x+bn-1)(x-a)

	P0	P1	P2	P3	…	Pn-1	Pn
a	b0=p0	b1=p1+b0	b2 =p2+b1	b3=p3+b2		bn-1=pn-1+bn-2 a	bn=pn+bn-1 a

Пример 1. Дано: . Делители свободного числа: , но это очень большое количество делителей, поэтому можно воспользоваться тем, что если сумма коэффициентов равна 0, то один из корней 1.

1-5-9+41+32-60=0 1 – корень.

	1	-5	-9	41	32	-60
1	1	-4	-13	28	60	0
2	1	-2	-17	-6	20	—
3	1	-1	-16	-20	0
4	1	3	-4	0
5	1	4	4	0

х-1=0, или х-3=0, или х-5=0, или (х+2)2=0,

х=1. х=3. х=5. х=-2.

Ответ: 1; 3; 5; -2.

Пример 2. . Делители свободного числа:

	1	-1	-8	14	1	-13	6
1	1	0	-8	6	7	-6	0
1	1	1	-7	-1	6	0
1	1	2	-5	-6	0
-1	1	1	-6	0

(х-1)3=0, или х+1=0, или х+3=0, х-2=0,

х=1. х=-1. х=-3. х=2.

Ответ: 1; -1; -3; 2.

Пример 3. Решить уравнение: х3 – 5х + 4 = 0

Определим корни многочлена третьей степени

:± 1; ± 2; ± 4

f(1) = 1 – 5 + 4 = 0

Одним из корней является х = 1

	1	0	– 5	4
1	1	1	– 4	0

х3 – 5х + 4 = 0

(х – 1) (х2 + х – 4) = 0

х-1=0, или х2 + х – 4=0

х=1. D = 1 + 16 = 17

х1 = ; х2 =

Ответ: 1; ; .

Пример 4. Дано: 6х4-29х3-89х2-19х+35=0

Решение. Делители свободного числа: .

Находим по схеме Горнера целочисленные решения уравнения:

	6	-29	-89	-19	35
1	6	-23	-112	-131
-1	6	-35	-54	35	0
5	6	1	-84	-439
7	6	13	2	-5	0

Итак, 6х4-29х3-89х2-19х+35=(х+1)(х-7)(6х2+7х-5)=0,

х+1=0 или х-7=0 или 6х2+7х-5=0

х1=-1, х2=7, х3,4=.

Ответ:

Пример 5. Решить уравнение: х5+5х-42=0

Решение. Делители свободного числа:

Находим по схеме Горнера целочисленные решения уравнений:

-42

-1

-2

-8

Корень

х4+2х3+4х2+8х+21=0

Делители свободного числа:

	1	2	4	8	21
-1	1	1	3	5	6
1	1	3	7	15	36
-21	1	-19	403	-8455	177576
21	1	23	487	10235	214956

Ответ: х=2.

Пример 6. Дано: х4-8х+63=0

Решение. Делители свободного числа:

Решаем по схеме Горнера:

	1	0	0	-8	63
-1	-1	1	-1	-7	70
1	1	1	1	-7	70
-63	1	63	-3969	Не корень
63	1	63	3969	Не корень

Ответ: решений нет.

Пример 7. Решить уравнение: х4-4х3-13х2+28х+12=0

Решение. Делители свободного числа:

По схеме Горнера находим целочисленные решения уравнения:

	1	-4	-13	28	12
1	1	-3	-16	12	24
2	1	-2	-17	-6	0	Корень
3	1	-1	-16	-20
-3	1	-7	8	4	0	Корень

Уравнение принимает вид: (х-2)(х+3)(х2 -5х-2)=0

х-2=0 или х+3=0 или х2 -5х-2=0

х1=2, х2=-3, х3,4=

Ответ: х1=2, х2=-3, х3,4=

Список литературы:

Алгебра и начала математического анализа. 11 класс. В 2 ч. Ч.1 Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (профильный уровень). А.Г. Мордкович. Изд. «Мнемозина», 2010.
Профильное обучение математике старшеклассников. Учебно-дидактический комплекс. – Новосибирск. Сиб. унив. изд-во, 2003.
Математика. Интенсивный курс подготовки к экзамену. О. Ю. Черкасов, А. Г. Якушев. Москва, изд. “Айрис”, 1997.
Звавич Л. И., Шляпочник Л. Я., Чинкина М. В., Алгебра и начала анализа 8–11. Дидактические материалы, М: Дрофа, 1999.
Ивлев Б. М., Задачи повышенной трудности по алгебре и началам анализа: учебное пособие для 10–11 классов средней школы, М: Просвещение, 1990.
М. И. Шабунин. Алгебра и начала анализа. Дидактические материалы для 10-11 классов.
Тумаркин Л.А. «История математики», Москва, 1975 г.
Иванов К. Б., Сборник задач для старшеклассников, Волгоград, 2000.

Полиномиальная оценка с использованием метода Хорнера

Опубликовано 11 декабря 2014 г. от vinayawsm

Пусть у нас есть полиномиальное выражение n-й степени

  F(x) = c _n .x ⁿ + c _n-1 .x ^n-1 + c _{n-1  х ^n-2 + . . . + c ₁ .x + c ₀}

Здесь c _n , c _n-1 , c _n-2 , … c ₀ – интегральные коэффициенты.

Теперь нам нужно вычислить многочлен для некоторого заданного значения x. Наивный подход к решению потребовал бы сложности O(n ² ), что требует много времени для решения такого рода задач.

Мы можем использовать метод Хорнера, чтобы решить эту проблему эффективным способом. Для решения этой задачи методом Горнера данное уравнение можно записать в виде вложенного умножения в виде

  F(x) = ((...(((c _n *x + c _n-1 )*х + с _n-2 )*х + с _n-3 )*x + . . . )*x + c ₀

Пр. : Пусть у нас есть многочлен f(x) = 6.x ³ – 3.x ² + 2.x + 1
. Мы вычислим этот многочлен для x = 4 по методу Хорнера.
Выражение будет (((6*4 -3)*4 + 2)*4 + 1 = 345
Если решить его напрямую, 6*(4 ³ ) – 3*(4 ² ) + 2* (4) + 1 = 345

Реализация метода Хорнера на C++

#include <иопоток>

использование пространства имен std;

int Horner (int n, int c [], int x)
{
    интервал = с [0];
    интервал я = 0;
    в то время как (я < п)
    {
        анс = анс*х + с[я+1];
        я++;
    }
    возврат ответа; /*возвращает оценочное значение полинома с x*/
}

основной ()
{
    инт н; /*степень или порядок многочлена*/
    cout<<"Введите степень многочлена: ";
    цин> >н;
    интервал с[n+1]; /*это содержит коэффициенты многочлена*/
    интервал я = 0;
    cout<<"Введите n+1 коэффициентов многочлена: ";
    в то время как (я <= п)
    {
        cin>>c[i];
        я++;
    }
    интервал х; /*значение, с которым должен оцениваться полином*/
    cout<<"Введите значение x : ";
    цин>>х;
    cout<<"\nВычисленное значение x в многочлене: ";
    cout< Вывод:
 Введите степень многочлена: 3
Введите n+1 коэффициентов многочлена: 6 -3 2 1
Введите значение x : 4

Расчетное значение x в полиноме: 345 
 Сложность вычисления полинома теперь снижена до O(n). Мы можем увидеть значительное изменение эффективности при использовании метода Хорнера для решения этой задачи.
 Проблемы : POLEVAL(SPOJ)
   Нравится: 
 Нравится Загрузка...
 Эта запись была размещена в Концепции, Интернет-конкурс и помечена как метод Хорнера, правило Хорнера, полевал, полиномиальная оценка. Добавьте постоянную ссылку в закладки. алгоритмов - Как реализовать схему Горнера для многочленов от многих переменных? 
 Задать вопрос
 спросил  12 лет, 7 месяцев назад 
 Изменено
 2 года, 6 месяцев назад
 Просмотрено
 3к раз
 $\begingroup$
 Исходная информация 
 Мне нужно решить многочлены от нескольких переменных, используя схему Хорнера на Фортране 90/95. Основная причина этого заключается в повышении эффективности и точности при использовании схемы Хорнера для вычисления многочленов.
   
   
 В настоящее время у меня есть реализация схемы Хорнера для одномерных полиномов с одной переменной. Однако разработка функции для оценки многомерных многочленов с использованием схемы Хорнера оказалась мне не под силу.
 92+4xy+2x+2y$, который будет разложен на $x(x(y(12y+8))+y(6y+4)+2)+2y$, а затем оценен для конкретных значений x и y.
 Исследования 
 Я провел исследование и нашел ряд статей, таких как: 
 staff.ustc.edu.cn/~xinmao/ISSAC05/pages/bulletins/articles/147/hornercorrected.pdf 
 citeseerx.ist. psu.edu/viewdoc/download?doi=10.1.1.40.8637&rep=rep1&type=pdf 
 www.is.titech.ac.jp/~kojima/articles/B-433.pdf
 Проблема 
 Однако я я не математик и не компьютерщик, поэтому у меня проблемы с математикой, используемой для передачи алгоритмов и идей.
 Насколько я могу судить, основная стратегия состоит в том, чтобы превратить многомерный многочлен в отдельные одномерные многочлены и вычислить их таким образом.
 Кто-нибудь может мне помочь? Если бы кто-нибудь помог мне превратить алгоритмы в псевдокод, который я мог бы сам реализовать на Фортране, я был бы очень признателен.
   полиномы
 алгоритмы
 н.численный анализ
 $\endgroup$
 1
 $\begingroup$
 В статье, которую вы цитируете, "О многомерной схеме Горнера" (Пена, Зауэр) есть явный алгоритм, указанный на стр.3. Оставшаяся проблема состоит в том, чтобы проникнуться обозначениями и соглашениями в статье.
изложены на первых трех страницах достаточно далеко, чтобы превратить их представление алгоритма в код.
 Также кажется, что в этой статье (только чтение реферата) указан явный алгоритм:
«Оценка многомерных полиномов и их производных»,
Дж. Карнисер и М. Гаска,  Математика вычислений  , Vol. 54, № 189 (январь 1990 г. ), стр. 231-243.
Ссылка ResearchGate на полный текст.
   Реферат  . Получено расширение алгоритма Горнера для вычисления многочленов от m переменных и их производных. Схемы вычислений представлены деревьями, потому что этот тип графа точно описывает, в каком порядке должны выполняться вычисления. Приведены примеры алгоритмов для одной и двух переменных.
 $\endgroup$
 $\begingroup$
 Я реализовал это на Python: multivar_horner
 Вы можете посмотреть на использованный там подход и портировать его на Fortran.
 ПРИМЕЧАНИЕ. В отличие от одномерного случая существует несколько возможных факторизаций Хорнера для многомерных многочленов. Можно разрешить поиск по возможным факторизациям, чтобы найти минимальное представление, как описано ЗДЕСЬ. Однако в большинстве случаев достаточно использовать эвристику, чтобы найти единственную «хорошую» факторизацию.
 No related posts.