Решение уравнений с модулем онлайн с подробным решением: Калькулятор онлайн — Решение уравнений и неравенств с модулями

alexxlab / / Разное

Уравнения с модулем — что это, определение и ответ

Уравнения с модулем – уравнения, в которых присутствуют аргумент или выражение, содержащее аргумент, под модулем.

ВИДЫ И СПОСОБЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ С МОДУЛЕМ:

Уравнение вида \(\left| \mathbf{f}\left( \mathbf{x} \right) \right|\mathbf{= a,\ a > 0}\)

Аналитический (способ 1):

Выражение под модулем равно самому числу или противоположному.

\(\left| f\left( x \right) \right| = a \Rightarrow \left\lbrack \begin{matrix} \ \\ \text{\ f}\left( x \right) = a \\ \text{\ \ \ f}\left( x \right) = — a \\ \ \\ \end{matrix} \right.\ \)

Аналитический (способ 2):

1. Найдем критическое значение модуля, т.е. такое значение, до и после которого выражение меняет знак. Для этого решим \(f(x) = 0\).

2. Получаем интервалы с разными знаками.

3. Раскрываем модуль для каждого интервала в соответствии со знаком.

Графическое решение:

1.

Изображаем график функции \(\left| f(x) \right|\).

2. Проводим прямую \(y = a\).

3. Находим точки пересечения, которые и являются решениями уравнения.

Пример №1:

Решим уравнение тремя способами.

\(\left| 8x \right| = 16\)

  • Первый способ:

\(\left| 8x \right| = 16 \Rightarrow \left\lbrack \begin{matrix} \ \\ \ 8x = 16 \\ \ \ \ 8x = — 16 \\ \ \\ \end{matrix} \right.\ \Rightarrow \left\lbrack \frac{x = 2}{x = \ –2} \right.\ \)

Ответ: –2; 2.

  • Второй способ:

1. Найдем критическую точку:

\(8x = 0\)

\(x = 0\ — \ критическая\ точка\)

2. Решим уравнение при условии, что при х меньше критической точки – модуль раскрывается с противоположными знаками, при х больше или равно критической точки – модуль раскрывается с теми же знаками:

\(\left\lbrack \frac{\left\{ \begin{matrix} x \geq 0 \\ 8x = 16 \\ \end{matrix} \right.\ }{\left\{ \begin{matrix} x < 0 \\ –8x = 16 \\ \end{matrix} \right.

\ } \right.\ \Rightarrow \left\lbrack \frac{\left\{ \begin{matrix} x \geq 0 \\ x = 2 \\ \end{matrix} \right.\ }{\left\{ \begin{matrix} x < 0 \\ x = \ –2 \\ \end{matrix} \right.\ } \right.\ \Rightarrow \left\lbrack \frac{x = 2}{x = \ –2} \right.\ \)

Ответ: 2; –2.

Графический способ:

  1. Построим график \(y = \left| 8x \right|\):

  1. Проведем прямую \(y = 16\). Точки пересечения двух графиков будут являться корнями уравнения:

Ответ: –2; 2.

не имеют решений

Пример:

Решим уравнение

\(\left| 8x \right| = \ –16\)

Модуль числа не может быть отрицательным

Ответ: \(\mathbf{\varnothing}\)

1. Записываем ОДЗ: \(g(x)\ \geq \ 0\).

2. Решаем по алгоритму для уравнений вида \(\left| f\left( x \right) \right| = a,\ a > 0\).

Пример:

Решим уравнение

\(\left| 8x \right| = \ 14 + x\)

1. Запишем ОДЗ:

\(14 + x \geq 0\)

2. Решим уравнение вторым аналитическим способом:

\(8x = 0\)

\(x = 0\ — \ критическая\ точка\)

Решим уравнение при условии, что при х меньше критической точки – модуль раскрывается с противоположными знаками, при х больше или равно критической точки – модуль раскрывается с теми же знаками:

\(\left\lbrack \frac{\left\{ \begin{matrix} x \geq 0 \\ 8x = 14 + x \\ \end{matrix} \right.\ }{\left\{ \begin{matrix} x < 0 \\ –8x = 14 + x \\ \end{matrix} \right.\ } \right.\ \Rightarrow \left\lbrack \frac{\left\{ \begin{matrix} x \geq 0 \\ 7x = 14 \\ \end{matrix} \right.\ }{\left\{ \begin{matrix} x < 0 \\ –9x = \ 14 \\ \end{matrix} \right.\ } \right.\ \Rightarrow \left\lbrack \frac{x = 2}{x = \ –\frac{14}{9}} \right.\ \)

Ответ: 2; \(- \frac{14}{9}\).

1. Найти значения переменной, при которых каждый из модулей обращается в ноль.

2. Отметить эти точки на числовой прямой.

3. Рассмотреть уравнение на каждом из промежутков, раскрывая модули с соответствующим знаком.

Пример:

Решим уравнение:

\(\left| 8x \right| + \left| 14 + x \right| = 21\)

1. Найдем критические точки уравнения:

\({x = 0 }{x\ = \ –14}\)

2. Отметим эти точки на числовой прямой:

\(\left\{ \begin{matrix} x \leq \ –14 \\ \left| 14 + x \right| = \ –14\ –\ x \\ \end{matrix} \right.\ \ и\ \left\{ \begin{matrix} x > \ –14 \\ \left| 14 + x \right| = 14 + x \\ \end{matrix} \right.\ \)

\(\left\{ \begin{matrix} \mathbf{x < 0} \\ \left| 8x \right| = \ –8x \\ \end{matrix} \right.\ \mathbf{\ и\ }\left\{ \begin{matrix} \mathbf{x \geq 0} \\ \left| 8x \right| = 8x \\ \end{matrix} \right.\ \)

3. Если объединим Условия из пункта 2, получим общую числовую прямую с такими промежутками:

— На синем промежутке раскроем оба модуля с противоположными знаками переменной.

— На зеленом промежутке раскроем модуль \(\left| 8x \right|\) с противоположными знаками, а модуль \(\left| 14 + x \right|\) без изменений.

— На оранжевом промежутке раскроем оба модуля без изменений.

Обозначения промежутков запишем неравенствами в системе. Получим:

\(\left\lbrack \begin{matrix} \left\{ \begin{matrix} x \leq \ –14 \\ –8x\ \ –14\ –\ x = 21 \\ \end{matrix} \right.\ \\ \left\{ \begin{matrix} –14 < x < 0 \\ –8x + 14 + x = 21 \\ \end{matrix} \right.\ \\ \left\{ \begin{matrix} x \geq 0 \\ 8x + 14 + x = 21 \\ \end{matrix} \right.\ \\ \end{matrix} \right.\ \)

4. В ответ записываем решение получившейся системы:

\(\left\lbrack \begin{matrix} \left\{ \begin{matrix} x \leq \ –14 \\ –8x\ \ –14\ –\ x = 21 \\ \end{matrix} \right.\ \\ \left\{ \begin{matrix} –14 < x < 0 \\ –8x + 14 + x = 21 \\ \end{matrix} \right.\ \\ \left\{ \begin{matrix} x \geq 0 \\ 8x + 14 + x = 21 \\ \end{matrix} \right.\ \\ \end{matrix} \right.\ \Rightarrow \left\lbrack \begin{matrix} \left\{ \begin{matrix} x \leq \ –14 \\ –9x\ = 35 \\ \end{matrix} \right.\ \\ \left\{ \begin{matrix} –14 < x < 0 \\ –7x = 7 \\ \end{matrix} \right. {2} + 4x + 16 = 0 \\ \ \\ \end{matrix}\text{\ \ \ \ } \right.\ \) \(\text{\ \ }\left\lbrack \begin{matrix} \ \\ \ \left\{ \begin{matrix} \ \\ x_{1} \cdot x_{2} = \ — 16 \\ \ \\ \ x_{1} + x_{2} = — 6 \\ \ \\ \end{matrix} \right.\ \\ \ \left\{ \begin{matrix} \ \\ \ x_{1} \cdot x_{2} = 16 \\ \ \\ \ x_{1} + x_{2} = — 4 \\ \ \\ \end{matrix} \right.\ \\ \ \\ \end{matrix} \right.\ \) \(\text{\ \ }\left\lbrack \begin{matrix} \ \\ \ \left\{ \begin{matrix} \ \\ x_{1} = — 8\ \\ \ \\ \ x_{2} = 2 \\ \ \\ \end{matrix} \right.\ \\ \ Решений\ нет \\ \ \\ \end{matrix} \right.\ \)

4. Если в совокупности одна система не имеет корней, то решением будут системы с решениями.

\(x_{1} = — 8;x_{2} = 2\)

5. Проверяем корни на соответствие ОДЗ. Оба корня подходят.

Ответ: \(x_{1} = — 8;x_{2} = 2\)

ГДЗ Математика Никольский 6 класс Дидактические Топ

Подробные решения по математике за 6 класс авторы Никольский, Потапов, Шевкин

Эффективное и полезное пособие и гдз дидактические материалы по математике за 6 класс Потапов позволят подросткам самостоятельно проработать даже самые непростые разделы и параграфы курса, качественно подготовиться к предстоящим проверкам – самостоятельным и контрольным работам по дисциплине. Чтобы результат соответствовал ожиданиям или даже превосходил их, важно подойти к подготовке максимально ответственно и запланировать достаточное количество времени на неё. Оптимальными считаются часовые ежедневные занятия, при этом, перерывы в них не должны превышать двух недель.

Основные категории пользователей решебников

К пользователям, использующим готовые решения по математике для 6 класса к дидактическим материалам Потапова и Шевкина в процессе обучения, относят:

  • шестиклассников, которые по тем или иным причинам длительно отсутствовали на школьных уроках. Например, болели, уезжали на спортивные состязания, сборы, творческие или научные конкурсы. Чтобы наверстать пропуски, они применяют решебник самостоятельно;
  • переведенных на семейную, дистанционную, домашнюю формы обучения. Не имея постоянного доступа к объяснениям педагога, такие дети используют онлайн-ответы в качестве его альтернативы;
  • готовящихся к контрольным, олимпиадам и конкурсам, особенно тех, кто занимается по другим программам и учебникам и стремится изучить материал как можно полнее и точнее;
  • родителей шестиклассников – для оценки уровня знаний ребенка и степени его готовности к предстоящим проверочным работам;
  • школьных учителей – чтобы оперативно проверить большой объем ученических работ, высвобождая время на другие, срочные и важные рабочие дела.

Доводы в пользу применения решебников в образовательном процессе

Хотя ряд преподавателей критикуют еуроки ГДЗ, считая, что они создают препятствия для самостоятельного изучения материала школьниками, вдумчивого подхода к решению математических заданий, их оппоненты уверены в безусловной полезности этих ресурсов. Их аргументы:

  • материалы доступны для всех пользователей, постоянно и круглосуточно;
  • удобный формат поиска позволяет, тратя минимальное количество времени, находить нужную информацию и применять её в любое время;
  • все данные соответствуют регламентам Стандартов образования;
  • экономическая выгода, возможность сэкономить на репетиторах или снизить затраты на них.

Все большее число шестиклассников применяет онлайн справочник к дидактическим материалам по математике за 6 класс (авторы Потапов и Шевкин) на системной или постоянной основе. Почти все хотя бы раз пользовались этим источником. Учитывая разнообразие способов применения такого ресурса, каждый сможет найти оптимальный для себя вариант. А полученные навыки работы с этим источником пригодятся школьникам и впоследствии, в том числе – после окончания ими школы и других учебных заведений, в профессиональной и деловой сфере.

Алгебра 2, часть 1 — Средняя школа Силиконовой долины