Решение уравнений с несколькими модулями: Решение уравнений с модулем методом интервалов

Решение уравнений с модулем методом интервалов

Уравнения с несколькими модулями в одной части

Чем больше модулей, тем больше приходиться их раскрывать и тем больше получается различных уравнений. Когда модулей один или два — это не сложно. Сложность возникает когда модулей больше двух. Человек может забыть рассмотреть какой-то из случаев, и получится что уравнение решено не полностью.

Давайте решим следующее уравнение:

|x − 5| − |x| = 1

У данного уравнения два модуля в левой части. Оно решается путем раскрытия модулей. Не будем комментировать решение, а сразу приведём его:

Такой вид уравнения удобнее решать методом интервалов (или более точно — методом промежутков). Суть этого метода в том, чтобы разбить координатную прямую на несколько промежутков, а затем решить уравнение на каждом из этих промежутков. Модули исходного уравнения на каждом промежутке будут раскрываться по разному.

Решим уравнение |x − 5| − |x| = 1 методом интервалов.

Для начала нарисуем координатную прямую и обозначим её как x

Если координатная прямая содержит все числа, которые существуют в природе, то логично что она содержит и корни нашего уравнения.

Теперь надо разбить координатную прямую на промежутки. Для этого сначала нужно найти на ней те точки, на которых модули нашего уравнения будут менять свой порядок раскрытия. То есть, найти точки перехода для модулей |x − 5| и |x|.

Чтобы найти точки перехода, нужно выяснить при каких значениях x подмодульные выражения равны нулю. Узнать это можно приравняв к нулю подмодульные выражения обоих модулей, и решить обычные линейные уравнения:

Для модуля |x − 5| точкой перехода будет 5. Для модуля |x| точкой перехода будет 0.

Теперь отметим точки перехода на координатной прямой. Мéньшие числа нужно отмечать левее, большие числа правее:

Проведем дуги от точек перехода:

С помощью неравенств подпишем каждый промежуток. Получится три промежутка: от минус бесконечности до нуля, от нуля до пяти, и от пяти до плюс бесконечности. То есть: x < 0, 0 ≤ x < 5 и x ≥ 5

Обратите внимание, что в первом промежутке x < 0 значение 0 не включено в данный промежуток. Но зато это значение включено во второй промежуток 0 ≤ x < 5.

Во втором же промежутке 0 ≤ x < 5 значение 5 не включено в данный промежуток, но зато оно включено в третий промежуток x ≥ 5.

Проще говоря, каждый промежуток включает в себя левый конец, и не включает правый. Сделано это специально, чтобы не допустить потерь значений переменной x. Описать с помощью неравенств нужно все значения на координатной прямой, не допуская их потерь.

Включение левого конца в рассматриваемый промежуток и исключение его из правого это лишь общепринятое правило. На самом деле концы рассматриваемого промежутка можно включать в любой из соседствующих промежутков. Например, значение 0 можно было включить в первый промежуток. Тогда он принял бы вид x ≤ 0, а второй промежуток принял бы вид 0 < x < 5, потому что ноль уже был включен в первый промежуток.

Но лучше всего исходить из ситуации, потому что в каких-то случаях левый конец промежутка целесообразнее исключить из рассматриваемого промежутка и включить его в правый конец соседнего промежутка. Об этом мы поговорим позже.

Теперь выясним как будут вести себя модули |x − 5| и |x| на каждом из этих промежутков. От этого будет зависеть то, как они будут раскрываться.

Начнем с первого промежутка x < 0.

Если x < 0, то при любом значении x на данном промежутке подмодульное выражение x − 5 станет отрицательным, а значит модуль |x − 5| на промежутке x < 0 будет раскрываться со знаком минус. Второй модуль |x| на промежутке x < 0 тоже будет раскрываться со знаком минус.

В результате после раскрытия модулей на промежутке x < 0 уравнение с модулем |x − 5| − |x| = 1 примет вид −(x − 5) + x = 1

Второй модуль |x| на промежутке x < 0 раскрылся с минусом. В самом же уравнении |x − 5 |− |x| = 1 после выражения |x − 5| тоже располагался минус. В математике два минуса, идущие подряд, дают плюс. Поэтому и получилось выражение −(x − 5) + x = 1.

Решим уравнение −(x − 5) + x = 1, которое получилось после раскрытия модулей на промежутке x < 0

Это уравнение решений не имеет. Значит на промежутке x < 0 исходное уравнение не имеет корней. Проще говоря, корень уравнения не является числом меньшим нуля.

Следующий промежуток, на котором нужно решить уравнение это промежуток 0 ≤ x < 5.

Если x больше или равно нулю, но меньше пяти, то подмодульное выражение x − 5, станет отрицательным, а значит модуль |x − 5| на промежутке 0 ≤ x < 5 будет раскрываться со знаком минус. Второй модуль |x| на промежутке 0 ≤ x < 5 будет раскрываться с плюсом.

В результате после раскрытия модулей на промежутке 0 ≤ x < 5 уравнение с модулем |x − 5| − |x| = 1 примет вид −(x − 5) − x = 1

Решим это уравнение:

Получили корень 2. Чтобы проверить действительно ли это число является  корнем исходного уравнения, нужно посмотреть принадлежит ли это число рассматриваемому промежутку  0 ≤ x < 5. Принадлежит? Да. Значит число 2 является корнем уравнения |x − 5| − |x| = 1. Проверка также показывает это:

Следующий промежуток, который нужно рассмотреть это промежуток x ≥ 5.

Если x больше или равно пяти, то модуль |x − 5| на промежутке x ≥ 5 будет раскрываться со знаком плюс. Второй модуль |x| на промежутке x ≥ 5 тоже будет раскрываться с плюсом.

В результате после раскрытия модулей на промежутке x ≥ 5 уравнение с модулем |x − 5| − |x| = 1 примет вид x − 5 − x = 1.

Решим это уравнение:

Это уравнение не имеет решений. Значит на промежутке x ≥ 5 исходное уравнение корней не имеет. Проще говоря, корень уравнения не является числом, бóльшим либо равным пяти.

В итоге корнем уравнения является число 2, которое мы нашли решив исходное уравнение на промежутке 0 ≤ x < 5.

Ответ: 2.

---

Пример 2. Решить уравнение |x − 3| + |x + 2| = 7

Решение

Шаг 1. Находим точки перехода для модулей |x − 3| и |x + 2|

Шаг 2. Отметим на координатной прямой найденные точки перехода и выделим получившиеся промежутки:

Шаг 3. Решим исходное уравнение на каждом промежутке. Для этого посмóтрим как будут раскрываться модули |x − 3| и |x + 2| на этих промежутках.

На промежутке x < −2 модуль |x − 3| будет раскрываться с минусом. Можно проверить это, подставив в данный модуль любое число из промежутка x < −2. Например, числа −4 или −9

|x − 3| = |−4 − 3| = |−7| = −(−7) = 7

|x − 3| = |−9 − 3| =|−12| = −(−12) = 12

Следующий модуль |x + 2| на промежутке x < −2 тоже будет раскрываться с минусом. Убедимся в этом подставив любые два числа из промежутка x < −2 в подмодульное выражение. Например, числа −6 и −8

|x + 2| = |−6 + 2| = |−4| = −(−4) = 4

|x + 2| = |−8 + 2| = |−6| = −(−6) = 6

Значит после раскрытия модулей на промежутке x < −2 исходное уравнение |x − 3| + |x + 2| = 7 принимает следующий вид:

−x + 3 − x − 2 = 7

Решим его:

Обязательно нужно проверить входит ли найденный корень −3 в рассматриваемый промежуток x < −2. Для этого нужно подставить в неравенство x < −2 найденный корень −3 и проверить верное ли оно. В данном случае неравенство −3 < −2 верно, значит корень −3 входит в промежуток x < −2 и соответственно является корнем исходного уравнения.

На следующем промежутке −2 ≤ x < 3 модуль |x − 3| будет раскрываться с минусом, а модуль|x + 2| будет раскрываться с плюсом.

Значит после раскрытия модулей на промежутке −2 ≤ x < 3 исходное уравнение |x − 3| + |x + 2| = 7 принимает следующий вид:

−x + 3 + x + 2 = 7

Решим это уравнение:

Это уравнение не имеет решений, значит на промежутке −2 ≤ x < 3  исходное уравнение тоже не имеет решений (корней).

Наконец рассмотрим промежуток x ≥ 3

На промежутке x ≥ 3 модуль |x − 3| будет раскрываться с плюсом. Модуль|x + 2| так же будет раскрываться с плюсом. Значит на промежутке x ≥ 3 исходное уравнение |x − 3| + |x + 2| = 7 принимает следующий вид:

x − 3 + x + 2 = 7

Решим это уравнение:

Этот корень входит в рассматриваемый промежуток x ≥ 3, значит является корнем исходного уравнения. Проверка также показывает это:

Ответ: −3 и 4.

---

Пример 3. Решить уравнение |2x − 3| + |2x + 7| = 16

Решение

Найдём точки перехода для модулей |2x − 3| и |2x + 7|

Отметим точки перехода на координатной прямой. Меньшие числа нужно отмечать левее, большие правее:

Решим исходное уравнение |2x − 3| + |2x + 7| = 16 на промежутке . Оба модуля на этом промежутке будут раскрываться с минусом:

Корень −5 принадлежит промежутку , значит является корнем исходного уравнения.

Теперь решим исходное уравнение на промежутке . Модуль |2x − 3| на этом промежутке раскрывается с минусом, а модуль |2x + 7| — с плюсом:

Видим, что на промежутке исходное уравнение не имеет решений (корней).

Теперь решим исходное уравнение на промежутке . Оба модуля на данном промежутке раскрываются с плюсом:

Корень 3 принадлежит промежутку , значит является корнем исходного уравнения.

Ответ: −5 и 3.

---

Пример 4. Решить уравнение |x − 2| + 3x = |x − 5| − 18

Решение

Найдём точки перехода для модулей |x − 2| и |x − 5|

Отметим точки перехода на координатной прямой:

Решим исходное уравнение на промежутке x < 2. Модули |x − 2| и |x − 5| на этом промежутке раскрываются с минусом:

Число −5 принадлежит промежутку x < 2, значит является корнем исходного уравнения.

Решим исходное уравнение на промежутке 2 ≤ x < 5. Модуль |x − 2| на этом промежутке раскрывается с плюсом, а модуль |x − 5| — с минусом:

Число не принадлежит промежутку 2 ≤ x < 5, значит не является корнем исходного уравнения.

Решим исходное уравнение на промежутке x ≥ 5. Модули |x − 2| и |x − 5| на этом промежутке будут раскрываться с плюсом:

Число −7 не принадлежит промежутку x ≥ 5, значит не является корнем исходного уравнения.

Ответ: −5

---

Пример 5. Решить уравнение |x| + |x − 7| + 2|x − 4| = 2

Решение

Найдём точки перехода для модулей |x|, |x − 7| и |x − 4|

Отметим точки перехода на координатной прямой:

Решим исходное уравнение на промежутке x < 0. Все три модуля: |x|, |x − 7| и |x − 4| на этом промежутке раскрываются с минусом:

Число не принадлежит промежутку x < 0, значит не является корнем исходного уравнения.

Решим теперь исходное уравнение на промежутке 0 ≤ x < 4. Модуль |x| на этом промежутке раскрывается с плюсом, а модули |x − 7| и |x − 4| — с минусом:

Число не принадлежит промежутку 0 ≤ x < 4, значит не является корнем исходного уравнения.

Решим теперь исходное уравнение на промежутке 4 ≤ x < 7. Модуль |x| на этом промежутке раскрывается с плюсом; модуль |x − 7| — с минусом; модуль |x − 4| — с плюсом:

Число не принадлежит промежутку 4 ≤ x < 7, значит не является корнем исходного уравнения.

Решим исходное уравнение на промежутке x ≥ 7. Все три модуля: |x|, |x − 7| и |x − 4| на этом промежутке раскрываются с плюсом:

Число не принадлежит промежутку x ≥ 7, значит не является корнем исходного уравнения.

Решив исходное уравнение на каждом промежутке, мы не нашли корней, удовлетворяющих этому уравнению. Значит данное уравнение не имеет корней.

В ответе можно написать словами, что корней нет (или решений нет), либо указать символ пустого множества. Этот символ будет указывать, что множество корней уравнения |x| + |x − 7| + 2|x − 4| = 2 пусто.

Ответ: ø.

---

Пример 6. Решить уравнение

Решение

Найдём точки перехода для модулей и

Если методом интервалов нужно решить уравнение с модулем, который в свою очередь содержит внутри себя другой модуль, то точки перехода надо искать для случаев: когда внутренний модуль раскрывается с плюсом и когда он раскрывается с минусом. Точки перехода будут меняться в зависимости от этих случаев. Давайте посмотрим как это происходит.

Если у модуля внутренний модуль раскроется с плюсом, то есть если 2x − 1 ≥ 0 (что равносильно ), то исходное уравнение примет вид |2x − 1 − 5| + x = |6 − x|. Здесь и далее надо учесть, что внутренний модуль будет раскрываться с плюсом при тех значениях x, которые будут больше либо равны . Отметим эту точку на координатной прямой.

Теперь найдем точки перехода. Поскольку исходное уравнение приняло вид |2x − 1 − 5| + x = |6 − x|, то точки перехода надо найти для модулей |2x − 1 − 5| и |6 − x|.

Для модуля |2x − 1 − 5| точкой перехода будет число 3, а для модуля |6 − x| — число 6. Отметим эти числа на той же координатной прямой где мы отметили точку

Сейчас нас интересуют только те значения x, которые удовлетворяют условию , потому что только при этом условии внутренний модуль исходного уравнения раскрывается с плюсом. Поэтому рассматривать промежуток мы не будем. Рассмотреть нужно те промежутки где x удовлетворяет условию

Первый промежуток на котором мы будем решать уравнение это . На нем модуль |2x − 1 − 5| раскрывается с минусом, а модуль |6 − x| с плюсом:

Получили тождество — равенство верное при любом значении x. В данном случае решением исходного уравнения является любое число из промежутка . Любое число из этого промежутка также удовлетворяют условию

Теперь решим исходное уравнение на промежутке 3 ≤ x < 6. Оба модуля на этом промежутке раскрываются с плюсом. Тогда:

Корень 3 принадлежит рассматриваемому промежутку. Также этот корень удовлетворяет условию , согласно которому внутренний модуль исходного уравнения раскрывается с плюсом.

Теперь решим исходное уравнение на промежутке x ≥ 6. На этом промежутке модуль |2x − 1 − 5| раскрывается с плюсом, а модуль |6 − x| с минусом. Тогда:

Корень 0 не удовлетворяет условию x ≥ 6, значит на данном промежутке исходное уравнение корней не имеет.

Итак, если внутренний модуль уравнения раскрывается с плюсом, то решениями уравнения являются: промежуток , а также число 3. Запишем эти решения одним промежутком:

Теперь решим исходное уравнение для случая когда внутренний модуль раскрывается с минусом. То есть когда 2x − 1 < 0 (что равносильно неравенству ). В этом случае исходное уравнение примет вид:

|−2x + 1 − 5| + x = |6 − x|

Отметим точку на координатной прямой.

Нас будут интересовать те значения x которые располагаются слева от . Это те значения при которых внутренний модуль исходного уравнения раскрывается с минусом.

Найдем точки перехода для модулей |−2x + 1 − 5| и |6 − x|. Для первого модуля это число −2, для второго модуля — число 6

Рассматривать будем только те промежутки, которые располагаются слева от . Только при них внутренний модуль исходного уравнения раскрывается с минусом

Решим уравнение на промежутке x < −2. На этом промежутке оба модуля раскрываются с плюсом. Тогда:

Это уравнение решений не имеет. Значит на промежутке x < −2 исходное уравнение не имеет корней.

Решим теперь уравнение на промежутке . Замечаем, что при подстановке левого конца этого промежутка (числа −2) в модуль |−2x + 1 − 5| данный модуль раскрывается с плюсом, а при остальных значениях промежутка модуль |−2x + 1 − 5| раскрывается с минусом.

Поэтому число −2 разумнее включить в промежуток x < −2, который мы уже рассмотрели. На промежутке x < −2 модуль раскрывался с плюсом, и при включении числа −2 в данный промежуток, он также будет раскрываться с плюсом.

На промежутке  модуль |−2x + 1 − 5| раскрывается с минусом, а модуль |6 − x| с плюсом. Тогда:

Получится корень который не удовлетворяет условию . Несмотря на это число является корнем исходного уравнения, потому что мы получили его когда решали уравнение для случая 2x − 1 ≥ 0.

---

Задания для самостоятельного решения

Примечание: Решения, не удовлетворяющие исходному уравнению, подчёркнуты красным.

Задание 1. Решить уравнение:

Решение:

Ответ: x ∈ [−5 ; 3].

Показать решение

Задание 2. Решить уравнение:

Решение:

Ответ: x ∈ [3 ; +∞).

Показать решение

Задание 3. Решить уравнение:

Решение:

Ответ: корней нет.

Показать решение

Задание 4. Решить уравнение:

Решение:

Ответ: , 0.

Показать решение

Задание 5. Решить уравнение:

Решение:

Ответ: −5.

Показать решение

Задание 6. Решить уравнение:

Решение:

Ответ: −4, 2.

Показать решение

Задание 7. Решить уравнение:

Решение:

Ответ: , .

Показать решение

---

Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках

Возникло желание поддержать проект?
Используй кнопку ниже

Опубликовано Автор

Уравнения с модулем — что это, определение и ответ

Уравнения с модулем – уравнения, в которых присутствуют аргумент или выражение, содержащее аргумент, под модулем.

ВИДЫ И СПОСОБЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ С МОДУЛЕМ:

Уравнение вида \(\left| \mathbf{f}\left( \mathbf{x} \right) \right|\mathbf{= a,\ a > 0}\)

Аналитический (способ 1):

Выражение под модулем равно самому числу или противоположному.

\(\left| f\left( x \right) \right| = a \Rightarrow \left\lbrack \begin{matrix} \ \\ \text{\ f}\left( x \right) = a \\ \text{\ \ \ f}\left( x \right) = — a \\ \ \\ \end{matrix} \right.\ \)

Аналитический (способ 2):

1. Найдем критическое значение модуля, т.е. такое значение, до и после которого выражение меняет знак. Для этого решим \(f(x) = 0\).

2. Получаем интервалы с разными знаками.

3. Раскрываем модуль для каждого интервала в соответствии со знаком.

Графическое решение:

1. Изображаем график функции \(\left| f(x) \right|\).

2. Проводим прямую \(y = a\).

3. Находим точки пересечения, которые и являются решениями уравнения.

Пример №1:

Решим уравнение тремя способами.

\(\left| 8x \right| = 16\)

• Первый способ:

\(\left| 8x \right| = 16 \Rightarrow \left\lbrack \begin{matrix} \ \\ \ 8x = 16 \\ \ \ \ 8x = — 16 \\ \ \\ \end{matrix} \right.

\ \Rightarrow \left\lbrack \frac{x = 2}{x = \ –2} \right.\ \)

Ответ: –2; 2.

• Второй способ:

1. Найдем критическую точку:

\(8x = 0\)

\(x = 0\ — \ критическая\ точка\)

2. Решим уравнение при условии, что при х меньше критической точки – модуль раскрывается с противоположными знаками, при х больше или равно критической точки – модуль раскрывается с теми же знаками:

\(\left\lbrack \frac{\left\{ \begin{matrix} x \geq 0 \\ 8x = 16 \\ \end{matrix} \right.\ }{\left\{ \begin{matrix} x < 0 \\ –8x = 16 \\ \end{matrix} \right.\ } \right.\ \Rightarrow \left\lbrack \frac{\left\{ \begin{matrix} x \geq 0 \\ x = 2 \\ \end{matrix} \right.\ }{\left\{ \begin{matrix} x < 0 \\ x = \ –2 \\ \end{matrix} \right.\ } \right.\ \Rightarrow \left\lbrack \frac{x = 2}{x = \ –2} \right.\ \)

Ответ: 2; –2.

Графический способ:

1. Построим график \(y = \left| 8x \right|\):

2. Проведем прямую \(y = 16\). Точки пересечения двух графиков будут являться корнями уравнения:

Ответ: –2; 2.

не имеют решений

Пример:

Решим уравнение

\(\left| 8x \right| = \ –16\)

Модуль числа не может быть отрицательным

Ответ: \(\mathbf{\varnothing}\)

1. Записываем ОДЗ: \(g(x)\ \geq \ 0\).

2. Решаем по алгоритму для уравнений вида \(\left| f\left( x \right) \right| = a,\ a > 0\).

Пример:

Решим уравнение

\(\left| 8x \right| = \ 14 + x\)

1. Запишем ОДЗ:

\(14 + x \geq 0\)

2. Решим уравнение вторым аналитическим способом:

\(8x = 0\)

\(x = 0\ — \ критическая\ точка\)

Решим уравнение при условии, что при х меньше критической точки – модуль раскрывается с противоположными знаками, при х больше или равно критической точки – модуль раскрывается с теми же знаками:

\(\left\lbrack \frac{\left\{ \begin{matrix} x \geq 0 \\ 8x = 14 + x \\ \end{matrix} \right. \ }{\left\{ \begin{matrix} x < 0 \\ –8x = 14 + x \\ \end{matrix} \right.\ } \right.\ \Rightarrow \left\lbrack \frac{\left\{ \begin{matrix} x \geq 0 \\ 7x = 14 \\ \end{matrix} \right.\ }{\left\{ \begin{matrix} x < 0 \\ –9x = \ 14 \\ \end{matrix} \right.\ } \right.\ \Rightarrow \left\lbrack \frac{x = 2}{x = \ –\frac{14}{9}} \right.\ \)

Ответ: 2; \(- \frac{14}{9}\).

1. Найти значения переменной, при которых каждый из модулей обращается в ноль.

2. Отметить эти точки на числовой прямой.

3. Рассмотреть уравнение на каждом из промежутков, раскрывая модули с соответствующим знаком.

Пример:

Решим уравнение:

\(\left| 8x \right| + \left| 14 + x \right| = 21\)

1. Найдем критические точки уравнения:

\({x = 0 }{x\ = \ –14}\)

2. Отметим эти точки на числовой прямой:

\(\left\{ \begin{matrix} x \leq \ –14 \\ \left| 14 + x \right| = \ –14\ –\ x \\ \end{matrix} \right.\ \ и\ \left\{ \begin{matrix} x > \ –14 \\ \left| 14 + x \right| = 14 + x \\ \end{matrix} \right. \ \)

\(\left\{ \begin{matrix} \mathbf{x < 0} \\ \left| 8x \right| = \ –8x \\ \end{matrix} \right.\ \mathbf{\ и\ }\left\{ \begin{matrix} \mathbf{x \geq 0} \\ \left| 8x \right| = 8x \\ \end{matrix} \right.\ \)

3. Если объединим Условия из пункта 2, получим общую числовую прямую с такими промежутками:

— На синем промежутке раскроем оба модуля с противоположными знаками переменной.

— На зеленом промежутке раскроем модуль \(\left| 8x \right|\) с противоположными знаками, а модуль \(\left| 14 + x \right|\) без изменений.

— На оранжевом промежутке раскроем оба модуля без изменений.

Обозначения промежутков запишем неравенствами в системе. Получим:

\(\left\lbrack \begin{matrix} \left\{ \begin{matrix} x \leq \ –14 \\ –8x\ \ –14\ –\ x = 21 \\ \end{matrix} \right.\ \\ \left\{ \begin{matrix} –14 < x < 0 \\ –8x + 14 + x = 21 \\ \end{matrix} \right.\ \\ \left\{ \begin{matrix} x \geq 0 \\ 8x + 14 + x = 21 \\ \end{matrix} \right.\ \\ \end{matrix} \right. \ \)

4. В ответ записываем решение получившейся системы:

\(\left\lbrack \begin{matrix} \left\{ \begin{matrix} x \leq \ –14 \\ –8x\ \ –14\ –\ x = 21 \\ \end{matrix} \right.\ \\ \left\{ \begin{matrix} –14 < x < 0 \\ –8x + 14 + x = 21 \\ \end{matrix} \right.\ \\ \left\{ \begin{matrix} x \geq 0 \\ 8x + 14 + x = 21 \\ \end{matrix} \right.\ \\ \end{matrix} \right.\ \Rightarrow \left\lbrack \begin{matrix} \left\{ \begin{matrix} x \leq \ –14 \\ –9x\ = 35 \\ \end{matrix} \right.\ \\ \left\{ \begin{matrix} –14 < x < 0 \\ –7x = 7 \\ \end{matrix} \right.\ \\ \left\{ \begin{matrix} x \geq 0 \\ 9x = 7 \\ \end{matrix} \right.\ \\ \end{matrix} \right.\ \Rightarrow \left\lbrack \begin{matrix} \left\{ \begin{matrix} x \leq \ –14 \\ x\ = \ –\frac{35}{9} \\ \end{matrix} \right.\ \\ \left\{ \begin{matrix} –14 < x < 0 \\ x = \ –1 \\ \end{matrix} \right.\ \\ \left\{ \begin{matrix} x \geq 0 \\ x = \frac{7}{9} \\ \end{matrix} \right.\ \\ \end{matrix} \right.\ \Rightarrow \left\lbrack \begin{matrix} \varnothing \\ x = \ –1 \\ x = \frac{7}{9} \\ \end{matrix} \right.

{2} + 4x + 16 = 0 \\ \ \\ \end{matrix}\text{\ \ \ \ } \right.\ \) \(\text{\ \ }\left\lbrack \begin{matrix} \ \\ \ \left\{ \begin{matrix} \ \\ x_{1} \cdot x_{2} = \ — 16 \\ \ \\ \ x_{1} + x_{2} = — 6 \\ \ \\ \end{matrix} \right.\ \\ \ \left\{ \begin{matrix} \ \\ \ x_{1} \cdot x_{2} = 16 \\ \ \\ \ x_{1} + x_{2} = — 4 \\ \ \\ \end{matrix} \right.\ \\ \ \\ \end{matrix} \right.\ \) \(\text{\ \ }\left\lbrack \begin{matrix} \ \\ \ \left\{ \begin{matrix} \ \\ x_{1} = — 8\ \\ \ \\ \ x_{2} = 2 \\ \ \\ \end{matrix} \right.\ \\ \ Решений\ нет \\ \ \\ \end{matrix} \right.\ \)

4. Если в совокупности одна система не имеет корней, то решением будут системы с решениями.

\(x_{1} = — 8;x_{2} = 2\)

5. Проверяем корни на соответствие ОДЗ. Оба корня подходят.

Ответ: \(x_{1} = — 8;x_{2} = 2\)

Решение многошаговых линейных уравнений | Purplemath

Add/SubtractTimes/DivideParenthesesZero/No/All Sol’n

Purplemath

На двух предыдущих страницах мы рассмотрели решение одношаговых линейных уравнений; то есть уравнения, требующие одного сложения или вычитания или требующие одного умножения или деления. Однако для решения большинства линейных уравнений требуется более одного шага. Какие шаги следует использовать и в каком порядке?

Для многошаговых линейных уравнений мы будем использовать те же шаги, что и раньше; единственная разница в том, что мы не закончим после одного шага. Нам все равно придется сделать как минимум еще один шаг. В каком порядке следует выполнять эти шаги? Что ж, это будет варьироваться в зависимости от уравнения, но есть некоторые общие рекомендации, которые могут оказаться полезными.

Содержание продолжается ниже

MathHelp.com

Решение многошаговых уравнений

• Решите 7

  x + 2 = −54

Переменная находится в левой части уравнения. В настоящее время оно умножается на семь, а затем к нему прибавляется двойка. Мне нужно отменить «умножить на семь» и «плюс два».

Нет правила о том, какую операцию «отмены» я должен выполнить в первую очередь. Однако, если я сначала разделю на 7, я обязательно создам дроби. Лично я предпочитаю избегать дробей, если это возможно, поэтому я почти всегда делаю плюс/минус перед каждым разом/делением. Возможно, мне все равно придется иметь дело с дробями, но, по крайней мере, я могу отложить их ближе к концу моей работы.

Начав с «плюс два», я вычту два из каждой части уравнения. Только тогда я разделю на семь. Моя работа выглядит так:

7x + 2 = -54
-2 -2
————
7x = -56
—
7 7

x = -8

Выполнив сначала плюс/минус, я избежал дробей. Как видите, в ответе нет дробей, поэтому я сделал себе одолжение, выполнив деление в последнюю очередь. Мое решение:

x = −8

---

Форматирование вашей домашней работы и демонстрация вашей работы способом, который я сделал выше, по моему опыту, является довольно универсально приемлемым. Однако (предупреждение!), неплохо было бы также четко переписать свой окончательный ответ в конце каждого упражнения, как показано (выделено фиолетовым цветом) выше. Не ожидайте, что ваш оценщик потратит время на то, чтобы копаться в вашей работе и пытаться выяснить, что вы, вероятно, имели в виду в своем ответе. Отформатируйте свою работу так, чтобы смысл был понятен.

• Решить −5

  x − 7 = 108

В этом уравнении переменная (в левой части) умножается на минус пять, а затем из нее вычитается семь. В надежде (как всегда!) избежать дробей, я сначала добавлю семь к любой части уравнения. Только тогда я разделю на минус пять. Моя работа выглядит так:

-5x — 7 = 108
+7 +7
————-
-5x = 115
— —
-5 -5

x = -23

Я аккуратно показал свою работу. Теперь я четко перепишу свое решение в конце своей работы:

x = −23

---

• Решить 3

  x — 9 = 33

Переменная (в левой части уравнения) умножается на три, а затем из нее вычитается девятка. Я позабочусь сначала о девятке, а потом о троих:

3x — 9 = 33
+9 +9
————
3x = 42
— —
3 3

x = 14

В этом случае, опять же, в моем решении нет дробей:

x = 14

---

• Решить 5

  х + 7 х = 72

В этом уравнении в левой части есть два члена, которые содержат переменные. Итак, мой первый шаг — объединить эти «подобные термины» слева. Тогда я могу решить:

5 х + 7 х = 12 х

Итак, теперь мое уравнение: ступенчатое уравнение. Я решу делением на двенадцать:

12x = 72
— —
12 12

x = 6

Мой ответ:

x = 6

---

• Решить 4

  х — 6 = 6 х

В этом уравнении у меня есть члены с переменными по обе стороны уравнения. Чтобы решить, мне нужно получить все эти переменные члены на одной стороне уравнения.

Нет правила, говорящего, какой из двух членов я должен переместить, 4 x или 6 x . Однако по опыту я узнал, что, чтобы избежать отрицательных коэффициентов в моих переменных, я должен переместить x член с меньшим коэффициентом. Это означает, что в данном случае я вычту 4 x из левой части в правую:

4x — 6 = 6x
-4x -4x
————-
-6 = 2x

Теперь у меня есть одношаговое уравнение, которое я решу путем деления на два:

-6 = 2x
— —
2 2

-3 = x

Мое решение:

x = −3

---

В приведенном выше упражнении переменная (в моей работе) оказалась в правой части уравнения. Это совершенно нормально. Переменная не «требуется» оказаться в левой части уравнения; мы просто привыкли видеть его там. Таким образом, результат «−3 =  x » вполне приемлем и означает то же самое, что и « x  = −3».

Однако (внимание!), я слышал, что некоторые преподаватели настаивают на том, чтобы переменная располагалась в левой части уравнения в финальном ответе . (Нет, я это не выдумываю.) Таким образом, несмотря на то, что «−3 =  x » вполне допустимо в работе, эти инструкторы сочтут это «неправильным», если вы оставите ответ таким. Если у вас есть какие-либо сомнения относительно настроек форматирования вашего преподавателя, спросите сейчас.

---

В этом уравнении у меня есть переменные по обе стороны уравнения, а также случайные числа по обе стороны. Мне нужно получить переменные термины с одной стороны и свободные числа с другой стороны. Поскольку я хотел бы избежать отрицательных коэффициентов для моих переменных, я буду перемещать меньшее из двух условий; а именно -4 x , который в настоящее время находится справа. Чтобы получить свободные числа на стороне, противоположной переменным терминам, я буду перемещать -1, которая в настоящее время находится в левой части. Для выполнения этих шагов не существует определенного «правильного» порядка; поскольку они оба связаны с добавлением, люди обычно делают их вместе за один шаг. Сначала я сделаю переменные члены, а затем свободные числа:

8x — 1 = 23 — 4x
+4x +4x
——————
12х — 1 = 23
+1 +1
————
12x = 24

На данный момент у меня есть одношаговое уравнение, для решения которого требуется одно деление:

12x = 24
— —
12 12

x = 2

Тогда мой ответ:

x = 2

---

Если бы в приведенном выше примере я сделал первые два шага за один раз, это выглядело бы так:

8х — 1 = 23 — 4х
+4x +1 +1 +4x
——————
12х = 24
— —
12 12

x = 2

Возможно, когда вы только начинаете, лучше делать каждый шаг отдельно. Но как только вы освоитесь с процессом (и надежно получите правильные значения), не стесняйтесь начинать комбинировать некоторые шаги.

---

Это уравнение запутанно! Прежде чем я смогу решить, мне нужно объединить одинаковые члены с обеих сторон уравнения:

   5 + 4 х — 7 = 4 х — 2 — х

(5 — 7) + 4 х = (4 х — 1 х ) — 1 х ) — 1 904 — 90 0

3 = 3 x − 2

Теперь, когда я упростил каждую часть уравнения, я могу заняться его решением.

-2 + 4х = 3х — 2
-3x -3x
——————
-2 + 1x = -2
+2 +2
——————
1x = 0

Я добавил (обычно не указанную) 1 к переменному члену в правой части исходного уравнения, чтобы помочь мне следить за тем, что я делаю; это не «необходимо». И это не ожидается в окончательном ответе, который правильно сформулирован как:

x = 0

Вполне нормально, что x имеет нулевое значение. Ноль является допустимым решением. Не говорите, что это уравнение «не имеет решения»; у него действительно есть решение, это решение x = 0.

---

Это уравнение решается так же, как и все другие линейные уравнения, которые я решал. Просто выглядит на хуже из-за десятичных знаков. Но это легко исправить!

Каким бы ни было наибольшее количество знаков после запятой в любом из коэффициентов, я могу умножить с обеих сторон на «1», за которым следует это количество нулей. В этом случае все десятичные дроби имеют один десятичный разряд, поэтому я умножу на 10:

10(0,2 x + 0,9) = 10(0,3 − 0,1 x )

10 (0,2 x ) + 10 (0,9) = 10 (0,3) — 10 (0,1 x )

2 x + 9 = 3 — 1 x

Теперь I можно решить как обычно:

2x + 9 = 3 — 1x
+1x +1x
——————
3x + 9 = 3
-9 -9
————
3x = -6
— —
3 3

x = -2

То, что в исходном уравнении были десятичные разряды, не означает, что я застрял с ними. Отложите этот трюк на потом; это пригодится.

x = −2

Между прочим, если бы коэффициент с наибольшим количеством знаков после запятой имел два знаков после запятой, то я бы умножил обе части уравнения на 100; для трех знаков после запятой я бы умножил на 1000; и так далее.

---

К черту! Фракции! Но, как и с десятичными знаками в предыдущем упражнении, мне не нужно зацикливаться на дробях. В этом случае я буду умножать, чтобы «очистить» знаменатели, что даст мне более красивое уравнение для решения.

Чтобы упростить вычисления для уравнений с дробями, я сначала умножу обе части на общий знаменатель различных дробей. У этого уравнения общий знаменатель равен 12, поэтому я умножу все на 12 (или, при умножении на дробь, умножу на

12/1):

Теперь с этим уравнением работать намного удобнее. Я продолжу свое решение, вычитая меньшие 2 x с обеих сторон:

3x + 12 = 2x + 6
-2x -2x
——————
1x + 12 = 6
-12 -12
——————
1x = -6

Я уберу 1 из переменной, когда напишу свой окончательный ответ:

x = -6

---

Вы можете использовать виджет Mathway ниже, чтобы попрактиковаться в решении многошагового линейного уравнения. Попробуйте введенное упражнение или введите свое собственное упражнение. Затем нажмите кнопку, чтобы сравнить свой ответ с ответом Mathway. (Или пропустите виджет и продолжите урок.)

Пожалуйста, примите куки-файлы настроек, чтобы включить этот виджет.

(Нажав «Нажмите, чтобы просмотреть шаги» на экране ответов виджета, вы перейдете на сайт Mathway для платного обновления.)

---

URL: https://www.purplemath.com/modules/solvelin3 .htm

Стр. 1 Стр. 2 Стр. 4 Стр. 5

Системы линейных уравнений: две переменные

Результаты обучения

• Решайте системы уравнений с помощью графиков, подстановок и сложений.
• Определите несовместимые системы уравнений, содержащие две переменные.
• Выразите решение системы зависимых уравнений, содержащей две переменные, используя стандартные обозначения.

Производитель скейтбордов представляет новую линейку досок. Производитель отслеживает свои затраты, которые представляют собой сумму, которую он тратит на производство плат, и свой доход, который представляет собой сумму, которую он зарабатывает на продаже своих плат. Как компания может определить, получает ли она прибыль от своей новой линии? Сколько скейтбордов нужно произвести и продать, чтобы можно было получить прибыль? В этом разделе мы рассмотрим линейные уравнения с двумя переменными, чтобы ответить на эти и подобные вопросы.

(кредит: Томас Сёренес)

Введение в системные решения

Чтобы исследовать ситуации, подобные ситуации с производителем скейтбордов, мы должны понимать, что имеем дело с более чем одной переменной и, вероятно, с более чем одним уравнением. Система линейных уравнений состоит из двух или более линейных уравнений, состоящих из двух или более переменных, так что все уравнения в системе рассматриваются одновременно. Чтобы найти единственное решение системы линейных уравнений, мы должны найти числовое значение для каждой переменной в системе, которое будет удовлетворять всем уравнениям в системе одновременно. Некоторые линейные системы могут не иметь решения, а другие могут иметь бесконечное число решений. Чтобы линейная система имела единственное решение, в ней должно быть не меньше уравнений, чем переменных. Тем не менее, это не гарантирует уникальности решения.

В этом разделе мы рассмотрим системы линейных уравнений с двумя переменными, которые состоят из двух уравнений, содержащих две разные переменные. Например, рассмотрим следующую систему линейных уравнений с двумя переменными.

[латекс]\begin{align}2x+y&=15\\[1mm] 3x-y&=5\end{align}[/latex]

Решение системы линейных уравнений с двумя переменными: любая упорядоченная пара, удовлетворяющая каждому уравнению независимо. В этом примере упорядоченная пара [латекс](4,7)[/латекс] является решением системы линейных уравнений. Мы можем проверить решение, подставив значения в каждое уравнение, чтобы увидеть, удовлетворяет ли упорядоченная пара обоим уравнениям. Вскоре мы исследуем методы нахождения такого решения, если оно существует.

[латекс]\begin{align}2\left(4\right)+\left(7\right)&=15 &&\text{True} \\[1mm] 3\left(4\right)-\ left(7\right)&=5 &&\text{True} \end{align}[/latex]

Помимо учета количества уравнений и переменных, мы можем классифицировать системы линейных уравнений по количеству решений. непротиворечивая система уравнений имеет хотя бы одно решение. Непротиворечивая система считается независимой системой , если она имеет единственное решение, как в примере, который мы только что рассмотрели. Две линии имеют разные наклоны и пересекаются в одной точке плоскости. Непротиворечивая система считается зависимая система , если уравнения имеют одинаковый наклон и одинаковые и -перехваты. Другими словами, прямые совпадают, поэтому уравнения представляют одну и ту же прямую. Каждая точка на прямой представляет собой пару координат, удовлетворяющую системе. Таким образом, существует бесконечное множество решений.

Другим типом системы линейных уравнений является противоречивая система , в которой уравнения представляют собой две параллельные прямые. Линии имеют одинаковый наклон и разные г- перехватов. Нет общих точек для обеих прямых; следовательно, система не имеет решения.

Общее примечание: Типы линейных систем

Существует три типа систем линейных уравнений с двумя переменными и три типа решений.

• Независимая система имеет ровно одну пару решений [латекс]\лево(х,у\право)[/латекс]. Точка пересечения двух прямых является единственным решением.
• Несовместимая система не имеет решения. Обратите внимание, что две линии параллельны и никогда не пересекаются.
• Зависимая от система имеет бесконечно много решений. Линии совпадают. Это одна и та же линия, поэтому каждая пара координат на линии является решением обоих уравнений.

Ниже приведено сравнение графических представлений каждого типа системы.

Как: Имея систему линейных уравнений и упорядоченную пару, определить, является ли упорядоченная пара решением.

1. Подставьте упорядоченную пару в каждое уравнение в системе.
2. Определить, верны ли утверждения в результате замены в обоих уравнениях; если да, то упорядоченная пара является решением.

Пример: определение того, является ли упорядоченная пара решением системы уравнений

Определите, является ли упорядоченная пара [латекс]\влево(5,1\вправо)[/латекс] решением данной системы уравнений.

[латекс]\begin{align}x+3y&=8\\ 2x-9&=y \end{align}[/latex]

Показать решение

Попробуйте

Определите, является ли упорядоченная пара [латекс]\левый(8,5\правый)[/латекс] решением следующей системы.

[латекс]\begin{align}5x-4y&=20\\ 2x+1&=3y\end{align}[/latex]

Показать решение

Решение систем уравнений с помощью графика

Существует несколько методов решения систем линейных уравнений. Для 90 392 системы линейных уравнений 90 393 с двумя переменными мы можем определить как тип системы, так и решение, построив график системы уравнений на одном и том же наборе осей.

Пример. Решение системы уравнений с двумя переменными с помощью графика

Решите следующую систему уравнений с помощью графика. Определите тип системы.

[латекс]\begin{align}2x+y&=-8\\ x-y&=-1\end{align}[/latex]

Показать решение

Попробуйте

Решите следующую систему уравнений с помощью графика.

[латекс]\begin{gathered}2x — 5y=-25 \\ -4x+5y=35 \end{gathered}[/latex]

Показать решение

Вопросы и ответы

Можно ли использовать графику, если система непоследовательна или зависима?

Да, в обоих случаях мы все еще можем построить график системы, чтобы определить тип системы и решения. Если две прямые параллельны, то система не имеет решений и несовместна. Если две линии идентичны, система имеет бесконечные решения и является зависимой системой.

Попробуйте

Постройте график трех различных систем с помощью графического онлайн-инструмента. Классифицируйте каждое решение как последовательное или непоследовательное. Если система непротиворечива, определите, зависима она или независима. Возможно, вам будет проще построить каждую систему по отдельности, а затем очистить свои записи, прежде чем строить следующую.
1)
[латекс]5x-3y = -19[/латекс]
[латекс]x=2y-1[/латекс]

2)
[латекс]4x+y=11[/латекс]
[латекс ]-2y=-25+8x[/latex]

3)
[латекс]y = -3x+6[/latex]
[латекс]-\frac{1}{3}y+2=x[/ латекс]

Показать решение

Решение систем уравнений путем подстановки

Решение линейной системы с двумя переменными с помощью графика хорошо работает, когда решение состоит из целых чисел, но если наше решение содержит десятичные числа или дроби, это не самый точный метод. Рассмотрим еще два метода решения система линейных уравнений более точная, чем графическая. Одним из таких методов является решение системы уравнений методом подстановки , в котором мы решаем одно из уравнений для одной переменной, а затем подставляем результат во второе уравнение для решения второй переменной. Напомним, что мы можем решать только для одной переменной за раз, поэтому метод подстановки ценен и практичен.

Как: Имея систему из двух уравнений с двумя переменными, решите ее методом подстановки.

1. Решите одно из двух уравнений для одной из переменных относительно другой.
2. Подставьте выражение для этой переменной во второе уравнение, затем найдите оставшуюся переменную.
3. Подставьте это решение в любое из исходных уравнений, чтобы найти значение первой переменной. Если возможно, запишите решение в виде упорядоченной пары.
4. Проверьте решение обоих уравнений.

Пример. Решение системы уравнений с двумя переменными путем замены

Решите следующую систему уравнений путем замены.

[латекс]\begin{align}-x+y&=-5 \\ 2x-5y&=1 \end{align}[/latex]

Показать решение

Попробуйте

Решите следующую систему уравнений методом замены.

[латекс]\begin{align}x&=y+3 \\ 4&=3x — 2y \end{align}[/latex]

Показать решение

Вопросы и ответы

Можно ли использовать метод подстановки для решения любой линейной системы с двумя переменными?

Да, но метод работает лучше всего, если одно из уравнений содержит коэффициент 1 или –1, чтобы нам не приходилось иметь дело с дробями.

Следующее видео длится ~10 минут и представляет собой мини-урок по использованию метода подстановки для решения системы линейных уравнений. Мы представляем три разных примера, а также используем инструмент построения графиков, чтобы обобщить решение для каждого примера.

Решение систем уравнений с двумя переменными методом сложения

Третий метод решения систем линейных уравнений — это метод сложения, этот метод также называется методом исключения . В этом методе мы добавляем два слагаемых с одной и той же переменной, но с противоположными коэффициентами, так что сумма равна нулю. Конечно, не во всех системах два члена одной переменной имеют противоположные коэффициенты. Часто нам приходится корректировать одно или оба уравнения путем умножения, чтобы исключить одну переменную путем сложения.

Как: Имея систему уравнений, решить ее методом сложения.

1. Напишите оба уравнения с x – и y -переменными слева от знака равенства и константами справа.
2. Напишите одно уравнение над другим, выстраивая соответствующие переменные. Если одна из переменных в верхнем уравнении имеет противоположный коэффициент той же переменной в нижнем уравнении, сложите уравнения вместе, исключив одну переменную. Если нет, используйте умножение на ненулевое число, чтобы одна из переменных в верхнем уравнении имела коэффициент, противоположный той же переменной в нижнем уравнении, затем добавьте уравнения, чтобы исключить переменную.
3. Решите полученное уравнение для оставшейся переменной.
4. Подставьте это значение в одно из исходных уравнений и найдите вторую переменную.
5. Проверьте решение, подставив значения в другое уравнение.

Пример: Решение системы методом сложения

Решите данную систему уравнений методом сложения.

[латекс]\begin{align}x+2y&=-1 \\ -x+y&=3 \end{align}[/latex]

Показать решение

Попробуйте IT

 

Пример: Использование метода сложения при необходимости умножения одного уравнения

Решите данную систему уравнений методом сложения .

[латекс]\begin{align}3x+5y&=-11 \\ x — 2y&=11 \end{align}[/latex]

Показать решение

Попробуйте

Решите систему уравнений сложением.

[латекс]\begin{align}2x — 7y&=2\\ 3x+y&=-20\end{align}[/latex]

Показать решение

Пример: Использование метода сложения, когда требуется умножение обоих уравнений

Решите данную систему уравнений с двумя переменными методом сложения.

[латекс]\begin{align}2x+3y&=-16 \\ 5x — 10y&=30\end{align}[/latex]

Показать решение

Пример: Использование метода сложения в системах уравнений, содержащих дроби

Решите данную систему уравнений с двумя переменными методом сложения.

[латекс]\begin{align}\frac{x}{3}+\frac{y}{6}&=3 \\[1 мм] \frac{x}{2}-\frac{y}{ 4}&=1 \end{выравнивание}[/latex]

Показать решение

Попробуйте

Решите систему уравнений сложением.

[латекс]\begin{align}2x+3y&=8\\ 3x+5y&=10\end{align}[/latex]

Показать решение

в следующем видео мы представляем больше примеров того, как использовать метод сложения (исключения) для решения системы двух линейных уравнений.

Классификация решений систем

Теперь, когда у нас есть несколько методов решения систем уравнений, мы можем использовать эти методы для выявления несогласованных систем. Напомним, что противоречивая система состоит из параллельных прямых, которые имеют одинаковый наклон, но разные [латекс]у[/латекс] -перехваты. Они никогда не пересекутся. При поиске решения для несогласованной системы мы придем к ложному утверждению, например [латекс]12=0[/латекс].

Пример. Решение противоречивой системы уравнений

Решите следующую систему уравнений.

[латекс]\begin{gathered}&x=9 — 2y \\ &x+2y=13 \end{gathered}[/latex]

Показать решение

Попробуйте

Решите следующую систему уравнений с двумя переменными.

[латекс]\begin{gathered}2y — 2x=2\\ 2y — 2x=6\end{gathered}[/latex]

Показать решение

Выражение решения системы зависимых уравнений с двумя переменными

Напомним, что зависимая система уравнений с двумя переменными — это система, в которой два уравнения представляют одну и ту же прямую. Зависимые системы имеют бесконечное число решений, потому что все точки на одной прямой находятся также и на другой прямой. После использования подстановки или сложения результирующее уравнение будет тождеством, например [латекс]0=0[/латекс].

Пример: поиск решения зависимой системы линейных уравнений

Найдите решение системы уравнений, используя метод сложения .

[латекс]\начало{собрано}x+3y=2\\ 3x+9y=6\конец{собрано}[/латекс]

Показать решение

Написание общего решения

В предыдущем примере мы представили анализ решения следующей системы уравнений:

[латекс]\begin{gathered}x+3y=2\\ 3x+9y=6\ конец {собрано}[/латекс]

После недолгих вычислений мы обнаружили, что эти два уравнения совершенно одинаковы. Затем мы записали общее решение как [латекс]\влево(х, -\фракция{1}{3}х+\фракция{2}{3}\право)[/латекс]. Почему мы должны писать решение таким образом? В некотором смысле это представление говорит нам о многом. Он говорит нам, что x может быть чем угодно, x — это x . Это также говорит нам, что y будет зависеть от x , точно так же, как когда мы пишем функциональное правило. В этом случае, в зависимости от того, что вы положили на x , y будет определено через x как [латекс]-\frac{1}{3}x+\frac{2}{3}[/latex].

Другими словами, существует бесконечно много ( x , y ) пар, удовлетворяющих этой системе уравнений, и все они попадают на прямую [latex]f(x)-\frac{1}{3 }x+\frac{2}{3}[/latex].

 

Попробуйте

Решите следующую систему уравнений с двумя переменными.

[латекс]\begin{собран}y — 2x=5 \\ -3y+6x=-15 \end{собран}[/latex]

Показать решение

Использование систем уравнений для исследования прибыли

Используя то, что мы узнали о системах уравнений, мы можем вернуться к проблеме производства скейтбордов в начале раздела. Функция дохода производителя скейтбордов — это функция, используемая для расчета суммы денег, поступающей в бизнес. Его можно представить уравнением [латекс]R=xp[/латекс], где [латекс]х=[/латекс] количество и [латекс]р=[/латекс] цена. Функция дохода показана оранжевым цветом на графике ниже.

Функция затрат — это функция, используемая для расчета затрат на ведение бизнеса. Он включает постоянные затраты, такие как арендная плата и заработная плата, и переменные затраты, такие как коммунальные услуги. Функция стоимости показана синим цветом на графике ниже. Ось x представляет количество в сотнях единиц. Ось y представляет либо затраты, либо доход в сотнях долларов.

Точка, в которой пересекаются две линии, называется точкой безубыточности . Из графика видно, что при производстве 700 единиц стоимость составляет 3300 долларов, а выручка также составляет 3300 долларов. Другими словами, компания безубыточна, даже если она произведет и продаст 700 единиц. Они не зарабатывают и не теряют деньги.

Заштрихованная область справа от точки безубыточности представляет объемы, при которых компания получает прибыль. Заштрихованная область слева представляет объемы, по которым компания несет убытки. Функция прибыли представляет собой функцию дохода минус функция затрат, записанную как [латекс]Р\влево(х\вправо)=R\влево(х\вправо)-С\влево(х\вправо)[/латекс]. Очевидно, что знание количества, при котором затраты равны выручке, имеет большое значение для бизнеса.

Пример: нахождение точки безубыточности и функции прибыли с помощью замены [latex]R\left(x\right)=1,55x[/latex], найти точку безубыточности и функцию прибыли.

Показать решение

Написание системы линейных уравнений с учетом ситуации

Редко можно получить уравнения, точно моделирующие поведение, с которым вы сталкиваетесь в бизнесе, скорее, вы столкнетесь с ситуацией, для которой вам известна ключевая информация, как в примере выше. Ниже мы суммируем три ключевых фактора, которые помогут вам преобразовать ситуацию в систему.

Как сделать: Дана ситуация, представляющая систему линейных уравнений, напишите систему уравнений и найдите решение.

1. Определите вход и выход каждой линейной модели.
2. Определите наклон и y — точку пересечения каждой линейной модели.
3. Найдите решение, установив две линейные функции равными другой и найдя x , или найдите точку пересечения на графике.

Теперь давайте попрактикуемся в применении этих ключевых факторов. В следующем примере мы определяем, сколько различных типов билетов продано, учитывая информацию об общем доходе и количестве билетов, проданных на мероприятие.

Пример: Написание и решение системы уравнений с двумя переменными

Стоимость билета в цирк составляет 25 долларов США для детей и 50 долларов США для взрослых. В определенный день посещаемость цирка составляет 2000 человек, а общий доход от продажи билетов составляет 70 000 долларов. Сколько детей и сколько взрослых купили билеты?

Показать решение

Попробуйте

Билеты в цирк стоят 4 доллара для детей и 12 долларов для взрослых. Если было куплено 1650 талонов на питание на общую сумму 14 200 долларов, сколько детей и сколько взрослых купили талоны на питание?

Показать решение

Иногда решение может принимать система уравнений. В нашем следующем примере мы помогаем ответить на вопрос: «Какая компания по аренде грузовиков даст наибольшую ценность?»

Пример: построение системы линейных моделей для выбора компании по аренде грузовиков

Джамал выбирает между двумя компаниями по аренде грузовиков. Первый, Keep on Trucking, Inc., взимает авансовый платеж в размере 20 долларов, а затем 59 центов за милю. Второй, Move It Your Way, взимает авансовый платеж в размере 16 долларов, а затем 63 цента за милю. ^[1] Когда компания Keep on Trucking, Inc. станет лучшим выбором для Джамала?

Показать решение

Приложения для систем кажутся почти бесконечными, но мы покажем еще одно. В следующем примере мы определяем количество 80% раствора метана, которое нужно добавить к 50% раствору, чтобы получить окончательный раствор 60%.

Пример. Решение задачи о химической смеси

У химика есть 70 мл 50%-го раствора метана. Какое количество 80%-ного раствора она должна добавить, чтобы конечный раствор состоял из 60%-ного метана?

Показать решение

Try IT

Основные понятия

• Система линейных уравнений состоит из двух или более уравнений, состоящих из двух или более переменных, так что все уравнения в системе рассматриваются одновременно.
• Решением системы линейных уравнений с двумя переменными является любая упорядоченная пара, удовлетворяющая каждому уравнению независимо.
• Системы уравнений классифицируются как независимые с одним решением, зависимые с бесконечным числом решений или несовместные без решения.
• Одним из методов решения системы линейных уравнений с двумя переменными является построение графика. В этом методе мы наносим уравнения на один и тот же набор осей.
• Еще один метод решения системы линейных уравнений — подстановка. В этом методе мы находим одну переменную в одном уравнении и подставляем результат во второе уравнение.
• Третий метод решения системы линейных уравнений — сложение, в котором мы можем исключить переменную, добавляя противоположные коэффициенты соответствующих переменных.
• Часто бывает необходимо умножить одно или оба уравнения на константу, чтобы упростить исключение переменной при сложении двух уравнений.
• Любой метод решения системы уравнений приводит к ложному утверждению для несовместных систем, поскольку они состоят из параллельных линий, которые никогда не пересекаются.
• Решение системы зависимых уравнений всегда будет верным, поскольку оба уравнения описывают одну и ту же прямую.
• Системы уравнений можно использовать для решения реальных задач, включающих более одной переменной, например связанных с доходом, затратами и прибылью.

Глоссарий

метод сложения алгебраический метод, используемый для решения систем линейных уравнений, в котором уравнения складываются таким образом, что исключается одна переменная, что позволяет решить полученное уравнение для оставшейся переменной; Затем подстановка используется для определения первой переменной

точки безубыточности точки, в которой функция затрат пересекает функцию дохода; где прибыль равна нулю

непротиворечивая система система, для которой существует единственное решение всех уравнений в системе и которая является независимой системой, или если существует бесконечное число решений, и она является зависимой системой

функция стоимости функция, используемая для расчета затраты на ведение бизнеса; обычно состоит из двух частей: постоянных затрат и переменных затрат

зависимая система система линейных уравнений, в которой два уравнения представляют одну и ту же прямую; существует бесконечное число решений зависимой системы

несовместная система система линейных уравнений, не имеющая общего решения, поскольку они представляют собой параллельные прямые, не имеющие общих точек и прямых

независимая система система линейных уравнений, имеющая ровно одно решение, пара [латекс]\слева (x,y\right)[/latex]

функция прибыли функция прибыли записывается как [latex]P\left(x\right)=R\left(x\right)-C\left(x\ справа)[/latex], доход минус стоимость

функция дохода функция, используемая для расчета дохода, просто записывается как [latex]R=xp[/latex], где [latex]x=[/latex] количество и [latex]p=[/latex] цена

замена метод алгебраический метод, используемый для решения систем линейных уравнений, в котором одно из двух уравнений решается для одной переменной, а затем подставляется во второе уравнение для решения второй переменной

система линейных уравнений набор из двух или несколько уравнений с двумя или более переменными, которые необходимо рассматривать одновременно.