Решение уравнений с помощью схемы горнера: Схема (метод) Горнера. Примеры. Решение неравенств

2. Метод деления с помощью схемы Горнера

II. Схема Горнера‎ > ‎ 2. Метод деления с помощью схемы Горнера Рассмотрим решение уравнений высших степеней, используя метод деления с помощью схемы Горнера: Если  р0хn+p1xn-1+p2xn-2+…+pn-1x+pn=(b0xn-1+b1xn-2+…+bn—2x+bn-1)(x-a)+ r.  Для деления многочлена на двучлен х – а можно использовать схему Горнера.  Суть этого приема для случая, когда делимое многочлен четвертой степени (что, впрочем, непринципиально).     Пусть  р(х) = bх4 + сх3 +dx2 + ех + f. Разделив р(х) на х – а, получим  р(х) = (х — а)q(x) + r, где q(x) – некоторый многочлен третьей степени, коэффициенты которого нам пока неизвестны: q(x) = kx3 + mx2 + nx + s. Итак,  bх4 + сх3 +dx2 + ех + f = (kx3 + mx2 + nx + s)(х — а) + r. (1)    Раскрыв скобки в правой части тождества (1), получим:    bх4 + сх3 +dx2 + ех + f = kx4 + ( m – ka)x3 + (n – ma)x2 + (s – na)x + r – sa.    Воспользовавшись теоремой о тождественности двух многочленов (два многочлена р(х) и s(x) тождественны тогда и только тогда, когда они имеют одинаковую степень и коэффициенты при одноименных степенях переменной в обоих многочленах равны), приходим к следующей системе равенств: b = k, c = m – ka, d = n – ma, e = s – na, f = r – sa. Это значит, что неопределенные коэффициенты  k, m, n, s, r  связаны с известными коэффициентами a, b, c, d, e, f  следующими соотношениями: k = b; m = ka + c; n = ma + d; s = na + e; r = sa + f.    Эти соотношения удобно записать в виде следующей таблицы.   b c d e f a k = b m = ka + c n = ma + d s = na + e r = sa + f            В верхней строке таблицы записаны коэффициенты делимого – заданного многочлена, а в первом столбце второй строки – заданное число а. В остальных столбцах второй строки последовательно получаются коэффициенты частного и остаток, при этом соблюдается следующий порядок ходов: во втором столбце второй строки записывается то же число, что во втором столбце первой строки;  в третий столбец второй строки записывается число, равное сумме произведения числа из второго столбца второй строки на число а и числа, находящегося в третьем столбце первой строки;  в четвертый столбец второй строки записывается число, равное сумме произведения числа из третьего столбца второй строки на число а и числа, находящегося в четвертом столбце первой строки;  в пятый столбец второй строки записывается число, равное сумме произведения числа из четвертого столбца второй строки на число а и числа, находящегося в пятом столбце первой строки;  в шестой столбец второй строки записывается число, равное сумме произведения числа из пятого столбца второй строки на число а и числа, находящегося в шестом столбце первой строки.    Алгоритм вычисления по схеме Горнера: 1.      Под первым коэффициентом делимого а0 пишется ещё раз этот коэффициент; 2.     Под коэффициентом а1 пишется число b1=а0+а1; 3.     Под коэффициентом а2 пишется число b2=b1b+а2; 4.     Под коэффициентом а3 пишется число b3=b2b+а3, b3 – остаток.

Оглавление

Оглавление 1

Занятие 8. Полиномы. Действия над полиномами. Схема Горнера 2

8.1.Полиномы. Определение 2

8.1.Действия над полиномами 2

8.2.Схема Горнера. Вычисление значения полинома в точке 2

8.3.Схема Горнера. Вычисление корней полинома и нахождение полинома степени 3

Занятие 9. Деление полиномов. НОД. Алгоритм Евклида. Линейное представление НОД 6

9.1.Деление полиномов. НОД 6

9.2. Алгоритм Евклида 7

9.3. Линейное представление НОД 7

Занятие 10. разложение полинома по степеням через схему Горнера. Кратные корни. Отыскание кратности корня с помощью схемы Горнера 8

10.1. Формула ТеЙлора, разложение полинома по степеням (через схему Горнера) 8

10.2. Кратность корней. Нахождение кратности корня с помощью схемы Горнера 10

10.2. Способ нахождения всех кратных корней 11

Занятие 9. Решение уравнений 3-й и 4-й степени 13

9.1. Решение уравнений 3-й степени 13

9.2. Решение уравнений 4-й степени 16

Занятие 12. Полиномы над полем . Приводимость. Полиномы над полем 18

12.1. Решение уравнений -й степени 18

Занятие 8. Полиномы. Действия над полиномами. Схема Горнера

1. Полиномы. Определение

Определение 8. 1. Многочленом (полиномом) называется функция

Определение 8.2. Говорят, что полином имеет степень n, если . Обозначение: .

Определение 8.3.

Два полинома называются тождественно равными, если при всех где и .

Теорема 8.1. Два полинома тождественно равны тогда и только тогда, когда выполнены два условия:

1. Действия над полиномами

Для полинома определяются операции сложения и умножения:

Упражнение 8.1. Найти многочлены .

2. Схема Горнера. Вычисление значения полинома в точке

Задача 1. Как вычислить значение в точке наискорейшим образом?

При вычислении «в лоб», т. е. , потребуется раз возводить в степень, потом n раз умножать на и n раз складывать: действий. Попробуем считать по-другому:

И начинаем вычислять с самой внутренней скобки. Получаем 2n операций. Именно этот алгоритм реализован в схеме Горнера.

где

Легко видеть, что .

Пример 8.1.

Упражнение 8.2. 544а).

3. Схема Горнера. Вычисление корней полинома и нахождение полинома степени

Основная задача классической высшей алгебры – решение уравнений и систем уравнений. Рассмотрим уравнение

(8.1)

где

Определение 8.4. Уравнение (8.1) называется алгебраическим.

Определение 8.5. Значение называется корнем полинома (или уравнения (8.

1)), если .

Упражнение 8.3. П 75p), .

Существует ли у уравнения (8.1) хотя бы один корень?

Теорема 8.2. (Основная теорема высшей алгебры). Уравнение (8.1) имеет, по крайней мере, один корень , в общем случае комплексный.

Определение 8.6. Выражение вида называется линейным множителем для многочлена .

Теорема 8.3. (Безу). Полином можно представить в виде

где .

Доказательство. Пусть и . Тогда

Как видим выражения для совпадают с выражениями в первой строке схемы Горнера

Пример 8.2.

Упражнение 8.4.

Найти для П 75p), , .

Итак, если найден один корень уравнения (8. 1), то можно понизить степень на 1 и рассматривать уравнение

Теорема 8.4. (Следствие к основной теореме высшей алгебры). Каждый полином можно представить в виде

(8.2)

И такое представление единственно.

Определение 8.7. Представление (8.2) называется разложением полинома на линейные множители.

Пример 8.3. В П 75p) разложить на линейные множители. В П 75p) такое представление

(как видим в таком представлении могут встречаться и одинаковые линейные множители)

Упражнение 8.5. П 582 d).

Теорема 8.5. (Виета). Пусть корни многочлена

равны , тогда

Пример 8.4.

Д/з: 544 b), 582, 618, 624 (а, b), 626.

Занятие 9. Деление полиномов. НОД. Алгоритм Евклида. Линейное представление НОД

1. Деление полиномов. НОД

Теорема 9.1. (О делении с остатком). Для полиномов и существуют и единственны полиномы и , такие что:

где .

Упражнение 9.1. П 539 а).

Имеется полная аналогия между множеством целых чисел и множеством полиномов.

Определение 9.1. Пусть . Тогда называется общим делителем .

Определение 9.2. НОД – полином наибольшей степени из бесконечного множества общих делителей.

9.2. Алгоритм Евклида

Как найти НОД?

1. Разложить оба многочлена на линейные множители.

Упражнение 9.2. П 588 а).

Бинарная форма метода Хорнера | Компьютерный журнал

Фильтр поиска панели навигации The Computer JournalЭтот выпускЖурналы BCSИнформатикаКнигиЖурналыOxford Academic Мобильный телефон Введите поисковый запрос

Закрыть

Фильтр поиска панели навигации The Computer JournalЭтот выпускЖурналы BCSИнформатикаКнигиЖурналыOxford Academic Введите поисковый запрос

Расширенный поиск

Журнальная статья

С. Гилл

С. Гилл

Ищите другие работы этого автора на:

Оксфордский академический

Google Scholar

Компьютерный журнал , том 1, выпуск 2, 1958 г., страницы 84–86, https://doi.org/10.1093/comjnl/1.2.84

Опубликовано:

01 января 1958 г.

Фильтр поиска панели навигации The Computer JournalЭтот выпускЖурналы BCSИнформатикаКнигиЖурналыOxford Academic Мобильный телефон Введите поисковый запрос

Закрыть

Фильтр поиска панели навигации The Computer JournalЭтот выпускЖурналы BCSИнформатикаКнигиЖурналыOxford Academic Введите поисковый запрос

Advanced Search

Древний и непопулярный метод нахождения действительных корней вещественного алгебраического уравнения, метод Хорнера, приобретает элегантный вид, когда корни ищутся в двоичной форме. Это может быть даже полезно в некоторых случаях, например. где умножение выполняется медленно, поскольку используются только арифметические операции сложения, вычитания и деления пополам. Сходимость гарантирована, и нет проблем с масштабированием.

Этот контент доступен только в формате PDF.

Раздел выдачи:

Артикул

Скачать все слайды

Реклама

Цитаты

Альтметрика

Дополнительная информация о метриках

Оповещения по электронной почте

Оповещение об активности статьи

Предварительные уведомления о статьях

Оповещение о новой проблеме

Получайте эксклюзивные предложения и обновления от Oxford Academic

Ссылки на статьи по телефону

• Последний

• Самые читаемые

• Самые цитируемые

Безсертификационное шифрование широковещательной передачи с авторизацией, подходящей для хранения личных медицинских записей

Обнаружение групповых шиллинг-атак в рекомендательных системах на основе многомерных характеристик пользователей и анализа поведения в результате сговора

На пути к новой веб-службе RESTFUL для сбора данных о дорожно-транспортных происшествиях на основе больших данных для подключенных транспортных средств

Кодирование с помощью метода комбинированной ориентации для RDH в изображениях Dual Stego

Отказоустойчивость структуры обменного гиперкуба

Реклама

Оценка полинома Хорнера — Документация PROJ 9.

1.1

Новое в версии 5.0.0.

Изменено в версии 9.1.0: Итерационная полинормальная инверсия

Псевдоним	рожок
Домен	2D и 3D
Тип ввода	Геодезические и проекционные координаты
Тип выхода	Геодезические и проекционные координаты

Схема полиномиальной оценки Хорнера используется для преобразований между эталонными кадры, в которых один или оба являются неоднородными или внутренне искаженными. Обычно это системы отсчета, созданные до появления космических геодезических методов, таких как как GPS.

Полиномы Хорнера, или уравнения множественной регрессии, как их еще называют, имеют их сила в том, что они могут создавать сложные сопоставления между координатами системы отсчета, оставаясь при этом легкими как с точки зрения вычислительных затрат, так и с точки зрения дискового пространства. используемое пространство.

PROJ реализует две версии схемы оценки Хорнера: реальную и комплексную. полиномиальная оценка. Ниже кратко описаны оба. Для получения более подробной информации проконсультируйтесь [Ruffhead2016] и [IOGP2018].

Полиномиальная оценка в действительном пространстве определяется следующими уравнениями: 9j\конец{выравнивание}\конец{выравнивание} \]

где

(2)\[ \begin{align}\begin{aligned}U = X_{in} — X_{origin}\\V = Y_{in} — Y_{origin}\end{align}\end{align} \]

и \(u_{i,j}\) и \(v_{i,j}\) — коэффициенты, составляющие многочлен.

Конечные координаты определены как

(3)\[ \begin{align}\begin{align}X_{out} = X_{in} + \Delta X\\Y_{out} = Y_{in} + \Delta Y\end{align}\ конец {выравнивание} \]

Обратное преобразование такое же, как и выше, но требует другого набора коэффициенты. Если известен только прямой набор коэффициентов и начало координат, можно выполнить обратное преобразование. можно решить путем итеративного решения системы уравнений. Записав (1) как:

\[\begin{split}\begin{bmatrix} \Дельта Х\\ \Дельта Y \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} у_{0,0} \\ v_{0,0} \\ \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} u_{0,1} + u_{0,2} U + … & u_{1,0} + u_{1,1} U + u_{2,0} V + … \\ v_{1,0} + v_{1,1} V + v_{2,0} U + … & v_{0,1} + v_{0,2} V \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} У \\ В \\ \end{bmatrix} \\\end{split}\]

\[\begin{split}\begin{bmatrix} \Дельта Х\\ \Дельта Y \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} у_{0,0} \\ v_{0,0} \\ \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} МА и МБ \\ МС и МД \\ \end{bmatrix} \begin{bматрица} У \\ В \\ \end{bmatrix} \\\end{split}\] 9{-1} \begin{bматрица} \Дельта X — u_{0,0} \\ \Дельта Y — v_{0,0} \\ \end{bmatrix}\end{split}\]

Мы можем итеративно решить с начальными значениями \(U = 0\) и \(V = 0\) и найти \(U\) и \(V\).

Примечание

Это итеративное обратное преобразование является более общим решением для обратимых полиномов степени n , представленных в [IOGP2019]. Они могут обеспечить удовлетворительное решение за один шаг при соблюдении определенных условий.

Оценка комплексных полиномов определяется следующими уравнениями: 9к\]

Где \(n\) — степень многочлена. \(U\) и \(V\) определяется как в (2) и снова определяются результирующие координаты по (3). Сложные многочлены могут быть решены итеративно, как и действительные многочлены.

Примеры

Сопоставление между датским TC32 и зоной 32 ETRS89/UTM с использованием реальных полиномов числовое пространство:

 +проект=Хорнер
+ellps=международный
+диапазон=500000
+fwd_origin=877605.269066,6125810.306769
+inv_origin=877605.760036,6125811.281773
+град=4
+fwd_v=6.1258112678e+06,9.9999971567e-01,1.5372750011e-10,5.9300860915e-15,2.2609497633e-19,4.3188227445e-05,2.8225130416e-10,7.8740007114e-16,-1.7453997279e-19,1.6877465415e-10,-1.1234649773e- 14,-1,7042333358д-18,-7,9303467953д-15,-5,2906832535д-19,3,9984284847д-19
+fwd_u=8.7760574982e+05,9.9999752475e-01,2. 8817299305e-10,5.5641310680e-15,-1.5544700949e-18,-4.1357045890e-05,4.2106213519e-11,2.8525551629e-14,-1.9107771273e-18 ,3,36155
е-10,2,4380247154е-14,-2,0241230315е-18,1,24219е-15,5,3886155968е-19,-1,0167505000е-18
+inv_v=6.1258103208e+06,1.0000002826e+00,-1.5372762184e-10,-5.9304261011e-15,-2.2612705361e-19,-4.3188331419e-05,-2.8225549995e-10,-7.8529116371e-16,1.7476576773e-19,-1.6875687989e-10,1.1236475299e-14,1.7042518057e-18,7.9300735257 е-15,5,2881862699е-19,-3,9990736798е-19
+vin_u = 8,7760527928E+05,1,0000024735E+00, -2,8817540032E-10, -5,5627059451E-15,1,5543637570E-18,1,1357152105E-05,211481361361361361357152105E-05,211481361361361361361361357152105E -05, -4,211481361361361361361357152105E-05,21361361361361361361361357152105E-05,2113671361361361361361357152105E-05363770E-18,1, 18,-3,3616407783д-10,-2,4382678126д-14,2,0245020199д-18,-1,2441377565д-15,-5,3885232238д-19,1,0167203661д-18
 

Сопоставление между датской системой Storebælt и ETRS89/UTM зона 32 с использованием комплекса полиномы:

 +проект=Хорнер
+ellps=международный
+диапазон=500000
+fwd_origin=4. 946
817276e+05,6.13342113183056e+06
+inv_origin=6.19480258923588e+05,6.13258568148837e+06
+град=3
+fwd_c=6.13258562111350e+06,6.19480105709997e+05,9.99378966275206e-01,-2.82153291753490e-02,-2.27089979140026e-10,-1.77019590701470e-09,1.08522286274070e-14,2.11430298751604e-15
+inv_c=6.13342118787027e+06,4.946709311e+05,9.99824464710368e-01,2.82279070814774e-02,7.66123542220864e-11,1.78425334628927е-09,-1.05584823306400е-14,-3.32554258683744е-15
 

Параметры

Настройка полиномов Хорнера требует явного указания многих коэффициентов. записано даже для многочленов низкой степени. По этой причине рекомендуется для хранения полиномиальных определений в файле инициализации для более легкое написание и повторное использование.

Обязательно

Ниже приведен список обязательных параметров, которые можно задать для полинома Горнера. трансформация. Как указано выше, преобразование принимает формы либо с использованием действительные или комплексные многочлены. Они разделены на отдельные разделы ниже. Параметры из двух разделов взаимоисключающие, то есть параметры описывающие вещественные и комплексные многочлены нельзя смешивать.

+ellps=<значение>

Имя встроенного определения эллипсоида.

См. Ellipsoids для получения дополнительной информации или выполните proj -le для списка встроенных имен эллипсоидов.

По умолчанию «GRS80».

+град=<значение>

Степень многочлена

+fwd_origin=<север,восток>

Координата происхождения для прямого отображения

Вещественные многочлены

Следующие параметры должны быть установлены, если преобразование состоит из многочлены в реальном пространстве. Каждый параметр принимает список разделенных запятыми коэффициенты. Количество коэффициентов определяется степенью \(d\), полинома:

\[N = \frac{(d + 1)(d + 2)}{2}\]

+fwd_u= ..,u_ij,..,u_mn>

Коэффициенты прямого преобразования, т. е. широты в северное положение как описано в (1).

+fwd_v=

Коэффициенты прямого преобразования, т. е. долготы в восточное положение как описано в (1).

Комплексные многочлены

Следующие параметры должны быть установлены, если преобразование состоит из многочлены в комплексном пространстве. Каждый параметр принимает список разделенных запятыми коэффициенты. Количество коэффициентов определяется степенью \(d\), полинома:

\[N = 2d + 2\]

+fwd_c=

Коэффициенты комплексного прямого преобразования как описано в (4).

Дополнительно

+inv_origin=<север,восток>

Изменено в версии 9.1.0.

Координата начала обратного отображения. Без этой опции итеративное полиномиальное вычисление используется для обратное преобразование.

+inv_u=

Изменено в версии 9.1.0.

Коэффициенты для обратного преобразования, т. е. широты в северное положение как описано в (1). Применяется только для действительных многочленов. Без этой опции итеративное полиномиальное вычисление используется для обратное преобразование.

+inv_v=

Изменено в версии 9.1.0.

Коэффициенты для обратного преобразования, т. е. долготы в восточное положение как описано в (1). Применяется только для действительных многочленов. Без этой опции итеративное полиномиальное вычисление используется для обратное преобразование.

+inv_c=

Изменено в версии 9.1.0.

Коэффициенты комплексного обратного преобразования как описано в (4). Применяется только для комплексных полиномов. Без этой опции итеративное полиномиальное вычисление используется для обратное преобразование.

No related posts.