Решение уравнений с степенью 4: Уравнение 4 степени с примерами решения

Уравнение 4 степени с примерами решения

Содержание:

1. Решение методом Лагранжа уравнений четвертой степени
2. Решение методом Эйлера уравнений четвертой степени

Уравнение четвертой степени при Биквадратное уравнение: при Замена переменной приводит биквадратное уравнение к квадратному Корни биквадратного уравнения: где — дискриминант.

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по высшей математике:

Высшая математика: лекции, формулы, теоремы, примеры задач с решением

Пример:

Решение методом Лагранжа уравнений четвертой степени

Попытаемся обобщить метод предыдущего параграфа на случай 4-й степени. Рассмотрим выражение где — корень 4-й степени из — корни уравнения то есть Сколько значений принимает выражение при различных перестановках корней? Очевидно, 24 значения — столько же, сколько всех возможных перестановок.

Однако заметим, что некоторые перестановки дают выражения, пропорциональные , причем коэффициенты пропорциональности являются корнями четвертой степени из 1.

Это происходит при циклической перестановке и, следовательно, еще при двух перестановках, являющихся ее степенями, а именно при перестановках (перестановка уже является тождественной). Можно это проверить и непосредственно, например, заметив, что перестановка меняет местами переменные и а также переменные и и выражение при этом меняет знак на противоположный.

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Теорема Виета

Целые числа

Производная сложной функции примеры решений

Скалярное произведение векторов примеры решения

Заметим, что при этих перестановках выражение вообще не меняется.

Упражнение 107. Проверьте, что любая другая перестановка не обладает этим свойством.

Упражнение 108. Проверьте, что при всех 24 перестановках выражение принимает ровно 24/4 = 6 значений:

Эти значения являются корнями уравнения шестой степени, коэффициенты которого полиномиально выражаются через коэффициенты исходного уравнения. Получившееся уравнение шестой степени можно разложить на два кубических. Однако этот способ требует слишком много вычислений.

Попытаемся найти более удобные выражения, чем Для этого рассмотрим подробнее метод разложения на два множителя, примененный Феррари.

Его идея состоит в том, чтобы представить левую часть уравнения в виде разности двух квадратов. Тогда ее можно будет разложить на два множителя второй степени, и решение уравнения приведется к решению двух квадратных уравнений.

Для этого левую часть представим в виде

где — вспомогательная неизвестная, которую подберем так, чтобы выражение в квадратных скобках оказалось квадратом линейного двучлена. Для этого необходимо и достаточно выполнения условия

Это условие есть кубическое уравнение относительно . Оно называется резольвентой Феррари.

После раскрытия скобок уравнение преобразуется к виду

Пусть — один из корней этого уравнения. Тогда при условие будет выполнено, так что имеет место

при некоторых и Исходное уравнение примет вид

или

Приравняв к нулю каждый из сомножителей, находим четыре корня исходного уравнения.

Пусть и — корни первого сомножителя, и — корни второго. Тогда Сложив эти равенства, получим, что Таким образом, мы получим выражение корня вспомогательного кубического уравнения через корни исходного уравнения четвертой степени.

Другими корнями кубического уравнения будут Таким образом, мы нашли такое выражение от корней что при их всевозможных перестановках получается только два новых выражения. Поэтому эти выражения являются корнями уравнения третьей степени, коэффициенты которого полиномиально выражаются через коэффициенты исходного уравнения четвертой степени.

Данный результат можно было получить и двигаясь от этих выражений к уравнению третьей степени.

Действительно, согласно теореме Виета для уравнения Аналогично

и также

Значит, — корни уравнения После решения этого уравнения остается справиться с системой

Пример с решением

Рассмотрим еще один метод решения уравнения 4-й степени Возьмем другое выражение от корней которое тоже принимает при переставлении корней всего 3 значения: Найдем кубическое уравнение с корнями Другими словами, выразим его коэффициенты через коэффициенты Используя теорему Виета, имеем Найдя из этого уравнения можно определить и корни Для этого используем равенство из которого следует, что

Значит

Отсюда можно выразить

Решение методом Эйлера уравнений четвертой степени

Существуют и другие способы решения уравнения четвертой степени. Один из наиболее изящных принадлежит Эйлеру. Этот способ состоит в следующем. Полное уравнение четвертой степени (5) подстановкой приводится к более простому виду: (6) Полагаем: (7) В равенство (7) введено три неизвестных.

Чтобы определить их, нужно будет дать три уравнения. Возводя обе части равенства (7) два раза в квадрат, получаем: (8)

Подставляя в уравнение (6) вместо их выражения из равенств (7) и (8), после упрощения получим: (9)

Для того чтобы выполнялось равенство где — корень уравнения (6), необходимо и достаточно выполнение уравнения (9).

Оно содержит три неизвестных. Чтобы определить их, нужны еще два уравнения, которые можно выбрать произвольно. Свободой выбора следует воспользоваться для наибольшего упрощения уравнения.

Руководствуясь этим, положим (10) При этом выборе величин и уравнение (9) обращается в уравнение (11) Из (10) и (11) заключаем, что и удовлетворяют системе уравнений (12) Отсюда следует, что числа и являются корнями уравнения: (13) Оно совпадает с резольвентой Феррари, полученной ранее. Пусть —корни резольвенты. Положим Извлекая корни, имеем (14) При этом, в силу равенства (10), выполняется равенство (15)

У двух радикалов в равенствах (14) можно взять любое из их значений. После этого значение третьего радикала следует взять определенное — оно находится из равенства (15). Подставляя полученные выражения для в уравнение (7), приходим к следующей теореме.

Теорема 100 (Эйлер). Корни приведенного уравнения четвертой степени выражаются через корни резольвенты Феррари

по формулам: При этом значения радикалов и должны быть выбраны так, чтобы выполнялось равенство:

Методы решения уравнений высших степеней

Автор(ы): Есин Валентин Васильевич
Рубрика: Физико-математические науки
Журнал: «Евразийский Научный Журнал №2 2016»  (февраль)
Количество просмотров статьи: 4129
Показать PDF версию Методы решения уравнений высших степеней

Есин Валентин Васильевич ,пенсионер

Аннотация

Предложенные в статье методы расширяют возможности использования математического аппарата и позволяют решать широкий круг народно-хозяйственных задач, в том числе, и исследования процессов, описываемых уравнениями высших степеней.

Ключевые слова: уравнение, метод, алгоритм, реализация.

Keywords:the equation, method, algorithm, realization.

Известно, что прямого  решения  алгебраических уравнений степени выше 4-й не существует [1].

Предлагаю методы решения уравнений 5-й и выше степеней. Их суть…

1.  Существует метод «касательных» для определения корня уравнения, находящегося  в некотором интервале.

Пусть f(x) – график функции, к которому проведена касательная в точке  y_{1. ;}

Как видно из рисунка 1, чем меньше Δx_i= x_i+1-x_i, тем ближе график f(x) приближается  к прямой линии.

Т. е. при малых Δx график функции f(x) можно заменить касательной к графику функции.

Тогда: Δf(x) =f(x₁+Δx₁)-f(x₁)= f¹(x₁)*Δx_1,

гдеf¹(x₁) – первая производная функцииf(x) в точке x₁

Если в данном выражении f(x₁+Δx₁) приравнять к 0, то получим:

 Δx₁ = — f(x

1) / f¹(x₁)  _. (1)

Найдя x₂= x₁₊ Δx₁₌x₁ — f(x₁) / f¹(x₁)  _,  и определив значения f(x₂) и f¹(x₂) _, можно на очередном шаге найти значение x₃ = x₂ — f(x₃) / f¹(x₃)  _,  и т. д_. с каждым шагом приближаясь к графику функции f(x).

В итоге, через определенное количество шагов, можно с требуемой точностью найти корень исходного уравнения f(x) =0

Выражение (1) можно получить, если в известной преобразованной формуле бинома Ньютона [2]:

Fⁿ(x+Δx)=fⁿ(x)+f¹(x)*Δx+ f¹¹(x)*Δx²/2!+ f¹¹¹(x)*Δx³/3!+….+ f

( ⁿ⁾ (x)*Δxⁿ/n!(2)

(которая, кстати, получается путем замены в функции fⁿ(x) аргумента Х на выражение Х+Δx)  — отбросить все члены, содержащие производные второго порядка и выше, и устремить f(x+Δx) к нулю.

(Действительно, при малых Δx выражениями Δx², Δx³ ,Δxⁿ…можно пренебречь.

Однако не стоит забывать о коэффициентах при Δx², Δx³ ,Δxⁿ, а также о стационарных точках, когдаf¹(x)=0.)

 

2.  Если же в выражении (2) отбрасывать не все последующие члены, а только последний член,содержащий Δxⁿ, то можно получить другую функциюψ₁(x), график которой с большей достоверностью приближается к функции f(x), чем график прямой линии.

Тогда:

ψ₁(x

1+Δx₁)= f (x₁)+f ¹(x₁)*Δx₁+ f ¹¹(x₁)*Δx₁²/2+ f ¹¹¹(x₁)*Δx₁³/3!+….+

f ^{( n-1)} (x₁)*Δx₁^n-1 /(n1)! (3)

Устремив выражение ψ₁(x₁+Δx₁) 0, мы получаем уравнение (n-1)-степени относительно Δx₁:

Δx₁^n-1+а1*Δx₁^n-2+в1*Δx₁^n-3+…+k1=0 (4)

где: коэффициенты а1,в1…k1- получаются путем деления каждого члена ψ₁(x₁+Δx₁) на выражение f^{( n-1)} (x₁)/(n-1)!

Решив уравнение (4), получаем значение Δx_1, а следовательно,уточненное значение корня x₂  = x₁+Δx₁, при котором f(x) стремится к 0.

При необходимости, повторяя данный прием, мы находим новую функцию ψ₂ (x), следовательно, и новое уравнение

Δx₂^n-1+а2*Δx₂^n-2+в2*Δx₂^n-3+…+k2 = 0  ,  (5) 

    где: коэффициенты а2,в2…k2- получаются путем деления каждого члена ψ₂(x₂+Δx₂) на выражение f^{( n-1)} (x₂)/(n-1)!

Решая уравнение (5), находим значения Δx₂и соответственно x₃ =x₂+Δx₂ и т.д., пока не найдем корень исходного уравнения f(x)=0 :

X1 = x₁ + Δx₁ + Δx₂ + Δx₃ …+ Δx_n(6)

;Как видно из рис.2 и подтверждает практика решения уравнений  [3], здесь уже нет жесткого ограничения на стремление Δx_i  к 0, и требуется гораздо меньшее  число шагов для определения (уточнения) одного из корней уравнения.

Таким образом, от уравнения f(x) (n)-степени мы перешли к последовательному решению уравнений(n-1)-степени (пусть и относительно новой переменной Δx), т.е.фактически понизили степень уравнения.

3.Поскольку любой многочлен f(x), имеющий корниx_i , можно представить в виде произведения:(x-x₁)*(x-x₂)*…(x-x_i),

то, поделив f(x) на (x-x1), мы  получаем новый многочлен, а, следовательно, и новую функцию φ(x) (n-1)-степени, (снова понижение степени уравнения) решая которую, мы получаем все остальные корни исходного уравненияf(x)=0:X_2,X_3,X_4,X_5.

Все эти три приема используются в программной реализации метода[3]:

1- в качестве дополнительного,2 и 3- в качестве основного.

4.    Решения уравнений высших степеней можно пояснить на примере решения уравнения 5-й степени в виде блок – схемы, изображенной на рис 3.

4, x³, x², x  иx⁰ соответственно (уравнение приведенное).

Блок-4 f ¹(x) дифференцирует исходное уравнение и находит корни производной.

В анализаторе Хг определяется знак и значение функции f (x_i¹) в стационарных и близлежащих точках точках, по которым с помощью первого метода находится грубое значение одного из корней исходного уравнения  Хг .

       Это грубое значение Хг поступает в следующий блок4: ψ(Хг), где с помощью 2-го метода вычисляется значение Δx и, соответственно, более точное значение x_.

       Анализатор-X проверяет достаточность точности вычисления первого корня X_1.

       В очередном блоке 4: φ(Х) производится деление f(x) на) (x-X1), согласно 3-ьему методу, и определение оставшихсякорней исходного уравнения: X_2,X_3,X_4,X_5.

Рис з.

В случае браковки первого корня повторяется цикл его уточнения и т. д.

Как видно из блок -схемы, основным элементом решения уравнения 5-й степени является блок-4 (подпрограмма для известного решения уравнения 4-ой степени [1]).

По такому же принципу построены и остальные подпрограммы решения уравнений (до 9 –й степени включительно) программнойреализации метода, выполненного в Excel [3]. С той лишь разницей, что в качестве основного блока-«кирпичика» используется блок уже большей степени (степень «кирпичика» меньше степени уравнения на 1 ступень).

Хотелось бы остановиться на вопросе точности  (приближенном значении вычисления) корней уравнений высших степеней: Поскольку используется метод обратной связи для проверки соответствия выраженияfⁿ (x_i) =0, то точность решения уравнений определяется лишь нашими желаниями (методами реализации решений на практике) и нашими возможностями (мощности и разрядностью компьютеров).

 (Если в Excel оперировать 15-значащими разрядами, то при больших значениях корней и повышения степени уравнений погрешность вычисления значительно возрастает).

Кроме того, определенные ограничения на решения уравнений накладывает необходимость точной постановки вопросов решаемой задачи (а именно, точное определение коэффициентов уравнения, что с практической точки зрения решения народно- хозяйственных задач, требует более совершенных методов и приборов измерения).

       В заключение, предвидя возражение оппонентов по поводу неактуальности постановки такой задачи,как решение уравнений высших степеней, приведу эпиграф к одной из подпрограмм:

Нельзя не видеть дальше носа и говорить, что мир курнос…

Что он в век «нанотехнологий» до сей проблемы не дорос…

P.S.: Методырешения уравнений высших степеней разработаны в 2003-2004 г, но проверены только после их программной реализации в2006-2007г. Предложенный подход в теоретическом плане открывает перспективы решения уравнений высших степеней гораздо более высокой степени (свыше 9-й) и в практической сфере – совершенствование уже созданного варианта  решения уравнений 5-9 степени. [3]

 

Литература:

Электронные ресурсы (ресурсы Интернета):

1.Википедия.Уравнение четвертой степени.

ru.wikipedia.org/wiki/ Уравнение _четвертой _степени.

2.Википедия.Бином Ньютона.

ru.wikipedia.org/wiki/ Бином_Ньютона.

 

Дополнительные материалы:

3.Свидетельство  о государственной регистрации программы для ЭВМ №2008611944  Приложение в среде разработки Excel: «Решение уравнений высших степеней(5:9)»

от 18 апреля 2008 г,  автор  Есин В.В.

 

 

 

 

 

Курсовая работа на тему: решение уравнений большой степени

Оглавление:

«Большой степенью» мы, в соответствии с традицией, называем степень больше двух. Если степень многочлена больше четырех, то мы будем называть ее «очень большой степенью». Задача этой лекции — рассказать о том, как решаются уравнения большой степени. Но перед этим мы должны сформулировать результат, который, несмотря на свою привычность, остается непростым. Основная теорема алгебры: Всякий отличный от константы многочлен с комплексными коэффициентами имеет хотя бы один комплексный корень. Следствие. Любой многочлен степени с комплексными коэффициентами имеет ровно (комплексных) корней с учётом их кратности.

Более привычной является следующая формулировка основной теоремы.

Основная теорема алгебры: Всякий многочлен с вещественными коэффициентами можно разложить в произведение линейных и квадратичных множителей с вещественными коэффициентами.

Замечание 1. Если многочлен с вещественными коэффициентами имеет комплексный корень , то он имеет и комплексно-сопряженный корень .

Замечание 2. Всякий многочлен с вещественными коэффициентами нечетной степени имеет хотя бы один вещественный корень.

Две следующие теоремы имеют непосредственное отношение к теме:

Теорема Безу. Если многочлен имеет корень , то является его множителем (многочлен делится на ).

Другими словами, если , то многочлен делится на .

Следствие. Остаток от деления многочлена на равен .

Теорема Виета. Если многочлен имеет корни , (комплексные, каждый корень повторяется столько раз, какова его кратность), то

Следствие. (Формулы Виета). Справедливы равенства

всевозможные попарные произведения

всевозможные произведения по три

Замечание 3. Каждой паре комплексно-сопряженных корней соответствует квадратичная функция , где .

Пример 1.

. Здесь .

Пример 2.

Написать многочлен, корнями которого являются числа .

Решение:

Воспользовавшись замечанием 3, запишем две квадратичные функции: , ; , . Таким образом, .

Ответ: .

Решение кубических уравнений.

Кубическим уравнением общего вида называется уравнение . Разделив обе части равенства на , получим

приведенное уравнение

Нашей задачей является решение этого уравнения в вещественной области, то есть нахождение всех вещественных корней. На первых шагах мы преобразуем его к более удобному и простому виду.

Шаг 1. Приведение к «неполному виду»: . Сделаем в приведенном уравнении замену , где — некоторое число, которое нам предстоит определить. Подставив в уравнение, получим . Положив , , мы и получим уравнение нужного нам вида, а именно,

неполное уравнение

Пример 3.

Уравнение после замены приводится к виду .

Частный случай. Если , то уравнение имеет единственное вещественное решение .

В дальнейшем будем предполагать, что .

Шаг 2. Приведение к «нормальной форме»: , где равно 3 или —3. В уравнении сделаем замену , где — некоторое число, которое нам предстоит определить. Подставив в уравнение, получим . Положим

Теорема 1. Кубическое уравнение заменой водится к нормальной форме вида при или при . При этом в обоих случаях .

Пример 4.

Уравнение после замены приводится к виду .

Шаг 3. Решение уравнения . Сделаем еще одну замену: . После подстановки в уравнение получим: , где . Получившееся квадратное уравнение имеет корни , которые удовлетворяют условию .

Обозначим . Поскольку числа и равны, следовательно, решение уравнения имеет вид

Пример 5.

Уравнение имеет единственное вещественное решение

Шаг 4. Решение уравнения . Сделаем замену: . После подстановки в уравнение получим: , где . Получившееся квадратное уравнение имеет корни .

Обозначим . Поскольку числа и равны, следовательно, решение уравнения имеет вид

Пример 6.

Уравнение имеет единственное вещественное решение

Частные случаи:

Шаг 5. Решение уравнения .

В этом случае замена имеет вид . Воспользовавшись формулой косинуса тройного угла () получим, что .

Обозначим . Тогда

Таким образом, мы имеем шесть значений:

Однако, из свойств косинуса следует, что . Также несложно проверить, что поскольку , числа и из различны. Они и составляют набор из трех корней уравнения.

Пример 7.

Уравнение . Здесь

Решение уравнений четвертой степени.

Уравнением четвертой степени общего вида называется уравнение . Разделив обе части равенства на и обозначая для удобства , получим

приведенное уравнение специального вида

Нашей задачей является решение этого уравнения в вещественной области, то есть нахождение всех вещественных корней. На первых шагах мы преобразуем его к более удобному и простому виду.

Шаг 1. Приведение к «неполному виду»: . Сделаем замену : . После приведения подобных членов получим неполное уравнение , где

Пример 8.

Уравнение после замены приводится к виду .

Частный случай. Если , то уравнение является биквадратным и решается заменой .

В дальнейшем будем предполагать, что .

Шаг 2. Разложение на квадратичные множители. Каждый многочлен четвертой степени можно представить в виде произведения двух квадратичных. Мы покажем это для нашего случая «де факто», а именно, покажем, что найдутся вещественные числа такие, что

Для этих чисел должны выполняться равенства

Шаг 3. Решение вспомогательного кубического уравнения. Обозначим . Последнее уравнение системы 7 является кубическим относительно . Назовем его вспомогательным кубическим уравнением:

Заметим, что это уравнение всегда имеет положительный корень, поскольку при левая часть отрицательна, а при достаточно большом она положительна. Обозначим этот корень через . Тогда , а коэффициенты и находятся по формулам 7. Таким образом, разложение 6 получено.

Пример 9.

Решить уравнение .

Решение:

Здесь . Вспомогательное кубическое уравнение имеет вид . Оно имеет положительный корень , следовательно,

Таким образом, и корнями уравнения являются два вещественных числа и два комплексных числа .

Пример 10.

Решить уравнение .

Решение:

Здесь . Вспомогательное кубическое уравнение имеет вид . Оно имеет положительный корень , следовательно,

Таким образом, . Уравнение имеет четыре комплексных корня: .

На этой странице найдёте другие готовые курсовые работы во высшей математике:

Много готовых курсовых работ по высшей математике

Можете посмотреть другие готовые курсовые работы по высшей математике:

Как решать полиномиальные функции высших степеней

How to Solve Higher-Degree Polynomial Functions

 

Key Terms

 

o         Synthetic division

Objectives

 

o         Realize that if you know all the zeros of a polynomial, вы можете найти соответствующее алгебраическое выражение для этой функции

o         Уметь разложить полином на множители, используя синтетическое деление

o         Уметь находить все нули многочлена (при наличии достаточной информации)

 

 

Полиномы высшей степени часто немного более трудоемкий. Напомним, что многочлен степени n имеет n нулей, некоторые из которых могут быть одинаковыми (вырожденными) или могут быть комплексными. Рассмотрим простой многочлен f ( x ) = x ³ ; этот полином можно разложить на множители следующим образом.

F ( x ) = ( x ) ( x ) ( x )

Как мы видим из этого выражения, есть три нуля, все из которых находятся в x = 0. Теперь давайте немного изменим наш взгляд на факторинг, чтобы проиллюстрировать принцип. Допустим, у нас есть полином третьей степени p ( x ), определенный ниже.

P ( x ) = ( x — 1) ( x — 2) ( x — 3) = ( x ² — 3 x + 2) ( x  – 3) = x ³  – 6 x ² + 11 x  – 6

  x = 1, один при x = 2 и один при x = 3), а затем используйте дистрибутивность умножения, чтобы найти полиномиальное выражение. Давайте взглянем на график этой функции, чтобы подтвердить расположение нулей.

 

 

Как видно из графика, функция пересекает ось x в точках x = 1, x = 2, и x = 2, и x 900. факторизованная форма поясняет нули функции. В результате мы можем построить многочлен степени n , если мы знаем все n нулей. Другими словами, n нулей многочлена степени n полностью определяют эту функцию. Этот же принцип применим к полиномам четвертой степени и выше.

 

 

Практическая задача : Найдите полиномиальное выражение для функции, которая имеет три нуля: x = 0, x = 3 и x –190.

 

Решение : Ранее мы отмечали, что если знать все нули, можно найти многочлен. Нуль при x = c соответствует множителю ( x  – c ) в многочлене. Используем этот факт для построения полинома p ( x ), что соответствует нулям, указанным в задаче.

P ( x ) = ( x — 0) ( x — 3) ( x — (–1)) = x ( x — 3) ( x + 1)

 

Теперь давайте расширим этот результат, чтобы найти полиномиальное выражение.

 

p ( x ) = x ( x ²  – 2 x  – 3) = x ³  – 2 x ²  – 3 x

 

Мы можем подтвердить результат либо построив график, либо проверив каждый нуль, либо и то, и другое. Давайте просто проверим каждый ноль.

 

p (0) = (0) ³  – 2(0) ²  – 3(0) = 0

p (3 0 0 0 3 (3) 3) ² – 3(3) = 27 – 2(9) – 9 = 27 – 18 – 9 = 0

p (–1) = (–1) ³  – 2(–1) ²  – 3(–1) = –1 – 2 + 3 = 0

 

Хотите узнать больше? Почему бы не пройти онлайн-курс по алгебре?

Эта функция равна нулю при каждом из соответствующих значений x .

 

 

Факторизация многочленов

 

Факторизация квадратичной функции может быть несколько сложным процессом, в зависимости от коэффициентов функции. С полиномами более высоких степеней факторинг может быть еще более сложным. Обратите внимание, однако, что если мы знаем один из нулей (скажем, на x = c ), мы можем переписать полином степени n как произведение ( x  – c ) и полинома степени n  – 1. Мы можем повторить этот процесс (если мы знаем или можем найти другие нули), пока мы полностью не разложим многочлен на множители. Однако для этого нам нужен эффективный метод нахождения полинома более низкой степени при факторинге. Один из способов сделать это — синтетическое деление , которое представляет собой алгоритм разложения многочленов на множители. Давайте посмотрим на этот алгоритм в контексте вышеупомянутой практической задачи. У нас есть p ( x ) = x ³  – 2 x ² — 3 x , и, допустим, нам сказали, что ноль расположен в , 3 x . мы будем разлагать p ( x ) следующим образом, где p ₂ ( x ) — полином второй степени.

 

p ( x ) = ( x  – 3) p ₂ ( x ) 9

8 9 00008

Теперь рассмотрим алгоритм синтетического деления.

 

1. Настройка подразделения. Нарисуйте перевернутую скобку деления, как показано ниже. Вне скобки напишите значение нуля; внутри скобок запишите коэффициенты многочлена, который вы разлагаете, в порядке от членов более высокого порядка к членам более низкого порядка (включая коэффициенты с нулевыми значениями).

 

 

 

 

2. Перенести первый коэффициент. Коэффициент старшего разряда должен быть опущен ниже скобки.

 

 

3. Умножьте значение нуля на последнее значение, которое вы написали под скобкой, и запишите его под следующим коэффициентом внутри скобки. Затем вы добавите значения в этот столбец и запишите значение под скобками в том же столбце.

 

 

4. Повторяйте шаг 3, пока не дойдете до конца кронштейна. Последнее число, которое вы пишете под скобками, должно быть нулем. Если нет, то либо вы допустили ошибку, либо нулевое значение за скобками не является истинным нулем многочлена.

 

 

 

5. Запишите новый факторизованный многочлен. Используйте нулевое значение вне скобок, чтобы записать коэффициент ( x  – c ), а числа под скобками используйте в качестве коэффициентов для нового полинома, степень которого на единицу меньше, чем у полинома, с которого вы начали .

P ( x ) = ( x — 3) ( x ² + x )

Потому что пример, используемый в представлении Синтетического подразделения, выше включает только квадратичный полином, мы можем разложить его на множители, не производя еще одного синтетического деления.

P ( x ) = ( x — 3) ( x ) ( x + 1)

. как мы и ожидали. Таким образом, синтетическое деление может позволить нам разложить на множители многочлены произвольной степени.

 

 

Practice Problem : Find the zeros of the polynomial p ( x ) = x ⁴ + 4 x ³  – 7 x ² – 10 x , если один из нулей равен x = –1.

 

Решение : Прежде чем приступить к каким-либо сложным действиям, обратите внимание на один простой факт о многочлене p ( x ): каждый член имеет по крайней мере коэффициент х . Итак, давайте для начала разложим x .

 

p ( x ) = x ⁴ + 4 x ³ – 7 x ²  – 10 x = ( x )( x ³ + 4 x ²  – 7 x  – 10)

 

Итак, мы знаем, что x = 0 является нулем функции. Проблема также говорит нам, что на x 9 есть ноль.0003 = –1; давайте используем это, чтобы разложить ( x + 1) из оставшегося полинома третьей степени, используя синтетическое деление. Во-первых, мы устанавливаем деление, используя значение нуля и коэффициенты многочлена. Мы также перенесем первый срок.

 

 

Теперь мы запустим алгоритм, чтобы найти факторизованный многочлен.

 

 

Тогда (частично) факторизованный многочлен выглядит следующим образом.

P ( x ) = ( x ) ( x ³ + 4 x ² — 7 x — 10) = ( x ) ( x + 1)( x ² + 3 x  – 10)

 

Теперь у нас есть квадратное число, которое мы можем разложить, используя менее сложные методы.

 

p ( x ) = ( x )( x + 1)( x ² + 3 x  – 10) = ( x )( x + 1)( x + 5)( x  – 2)

 

4 Теперь мы можем увидеть все нули полинома

2: x = –5, x = –1, x = 0 и x = 2. Давайте построим график функции, чтобы проверить наши результаты.

 

 

Обратите внимание на x -пересечения (нули) функции, которые соответствуют тому, что мы нашли с помощью факторизации.

 

 

Практическая задача : Скорость частицы относительно времени подчиняется полиномиальной функции третьей степени. Если частица покоится в 0, 2 и 3 секунды, найдите полиномиальную функцию, описывающую скорость этой частицы.

 

Решение : Это задача со словами, которая заставляет нас синтезировать различные аспекты того, что мы уже изучили, с некоторыми другими навыками, которые у нас уже должны быть. Во-первых, обратите внимание, что задача требует, чтобы мы нашли функцию, описывающую скорость частицы как функцию времени. Назовем эту функцию v ( t ), где t — время в секундах. Функция v ( t ) является полиномом третьей степени.

 

Постановка задачи также сообщает нам, что частица покоится (то есть имеет нулевую скорость) в t = 0, 2 и 3 секунды. Эти значения t соответствуют нулям функции; используя эту информацию, мы можем построить v ( t ).

 

v ( t ) = ( t )( t  – 2)( t  – 3)

 

Теперь мы можем расширить результат.

V ( T ) = T ( T ² — 5 T + 6) = T ³ — 5 T ² + 6

T.

 

Мы можем проверить результат, подставив значения t , которые соответствуют нулям функции.

 

v (0) = (0) ³  – 5(0) ² + 6(0) = 0

v (2) = (2) 3 9005 2) ² + 6(2) = 8 – 5(4) + 12 = 8 – 20 + 12 = 0

v (3) = (3) ³  – 5(3) ² + 6(3) = 27 – 5(9) + 18 = 27 – 45 + 18 = 0

 

Результат проверен.

Уравнения первой степени, неравенства… Пошаговое решение математических задач

7.1  Уравнения первой степени

  Уравнения являются уравнениями первой степени, если их можно записать в виде ax + b = c, где x — переменная, а a, b и c — известные константы, а a!=0. Мы обсуждали методы решения уравнений первой степени в разделе 3.4 и снова в разделе 3.5, когда речь идет о формулах. Кроме того, нахождение решений пропорций, обсуждавшихся в разделах 6.6 и 6.7, включало решение уравнений первой степени.

  Эта тема является одной из самых основных и важных для любого начинающего изучать алгебру и представлена ​​здесь снова для положительного подкрепления и в качестве подготовки к решению различных приложений в разделах 7.3, 7.4 и 7.5.

  У уравнения первой степени с одной переменной существует ровно одно решение. Это утверждение можно доказать методом от противного. Доказательство здесь не приводится. Уравнения, имеющие более одного решения, будут обсуждаться в главах 8, 9 и 10.

Примеры

   Решите следующие уравнения.

  1. 3x+14=x-2(x+1)  Запишите уравнение.
   3x+14=x-2x-2  Используйте распределительное свойство, чтобы удалить круглые скобки.

   3x+14=-x-2  Упрощение.

   4x+14=-2  Прибавьте x к обеим сторонам.

   4x=-16  Добавьте -14 к обеим сторонам.

   x=-4  Поделите обе части на 4.

  2. 1+2x+3-3x=20-x+6x  Запишите уравнение.
   4-x=20+5x  Упрощение.

   4=20+6x  Прибавьте x к обеим сторонам.

   -16=6x  Добавьте -20 к обеим сторонам.

   -8/3=x  Поделить обе части на 6 и уменьшить.

  3. (3x)/4-7=-1  Запишите уравнение.
   (3x)/4=6  Добавьте +7 к обеим сторонам.
   3x=24  Умножьте обе части на 4.

   x=8  Поделить обе части на 3 и уменьшить.

  Поскольку (3x)/4=3/4*x/1=3/4x, мы можем решить такое уравнение, как (3x)/4=6, за один шаг, умножив обе части на 4/3, обратное 3 /4 следующим образом:

   (3x)/4=6

   (4/3*3/4)x=4/3*6

   x=8

  4 вместо того, чтобы сначала добавить +7. Однако в этой процедуре мы должны обязательно умножать каждый член на 4 в обеих частях уравнения.

   (3x)/4-7=-1  Запишите уравнение.
   (3x)/4*4-7*4=-1*4  Умножьте каждое слагаемое на 4.
   3x-28=-4  Упростите.

   3x=24  Добавьте +28 к обеим сторонам.

   x=8  Поделить обе части на 3 и уменьшить.

  Преимущество последнего метода состоит в том, что он оставляет только целые коэффициенты и константы. Если дробей больше одной, то каждое слагаемое следует умножить на НОК знаменателей дробей.

Давайте посмотрим, как наш математический решатель решает эту и подобные задачи. Нажмите кнопку «Решить подобное», чтобы увидеть больше примеров.

Решить похожую задачуВведите свою задачу

Пример

    (2x)/5+1/4=-(1/2)

  =-4*(2x)/5 (1/2)*20 Умножение каждого члена на 20 LCM 5, 4 и 2.

8x+5 = -10

8x = -15

x =-(15/8)

7.2 Линия действительных чисел и неравенства первой степени

   0008

  . ..,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4…  (целые числа)

  и дроби, образованные целыми числами в числителе и знаменателе без знаменателя, равного 0. Формальное название таких дробей — рациональные числа. Рациональное число — это любое число, которое можно записать в виде

  a/b  , где a и b — целые числа, а b!=0

   В десятичной форме все рациональные числа можно записать в виде повторяющихся десятичных дробей. Например,

    1/3=0,33333…

    1/4=0,2500000…  (повторяет 0) 92=4/9

Символ √ называется подкоренным знаком, а число под подкоренным знаком называется подкоренным знаком.

Не все корни являются целыми или рациональными числами. Такие числа, как корень (5), корень (7), корень (39) и -корень (10), называются иррациональными числами. В десятичной форме все иррациональные числа можно записать как неповторяющиеся десятичные дроби. Другие примеры иррациональных чисел:

  корень(2)=1,4142136…  (квадратный корень из 2)
  корень(3,4)=1,5874011. ..  (кубический корень из 4)
  PI=3,14159265358979…  (пи, отношение длины окружности к диаметру)

  E=2,718281828459045…  (основание натуральных логарифмов)

  Рациональные числа так же важны и так же полезны в решении рациональных чисел уравнений, как мы увидим в главе 10. Числовые линии имеют точки, соответствующие как иррациональным, так и рациональным числам (см. рис. 7.1).

  

Рис. 7.1

  Рассмотрим круг диаметром 1 единицу, катящийся по прямой. Если окружность касается прямой в точке 0, то в какой точке прямой та же самая точка окружности снова коснется прямой?
  Точка будет в PI на числовой прямой, потому что PI – это длина окружности. (См. рис. 7.2.)

  Вместе рациональные и иррациональные числа образуют действительные числа. То есть каждое рациональное число и каждое иррациональное число также является действительным числом. Свойства действительных чисел при сложении и умножении перечислены ниже на рис. 7.2 на стр. 181.

  

  Рис.0004   Для действительных чисел a,b и c,

  

Дополнение	Свойство	Умножение
a+b — действительное число	крышка	a*b — действительное число
а+б=б+а	коммутативный	а*б=б*а
а+(б+в)=(а+б)+в	ассоциативный	а*(б*с)=(а*б)*с
а+0=а	тождество	*1=
а+(-а)=0	обратный	а*1/а=1 (а!=0)

  Распределительное свойство: a(b+c)=ab+ac

  Числовые линии теперь называются линиями действительных чисел, поскольку каждому вещественному числу соответствует одна точка на линии, а каждой точке на линии одно соответствующее действительное число.

  Теперь нас интересует решение неравенств первой степени и графическое отображение их решений на прямой с действительными числами. Неравенство, которое можно записать в виде ac+bor ax + b <= c, где x — переменная, a, b, c — константы, a!=0, называется неравенством первой степени.
Решение неравенства типа 2x + 1 < 7 аналогично решению уравнения первой степени. Цель состоит в том, чтобы найти эквивалентное неравенство (с теми же решениями), но более простое по форме.

2x+1 <7

2x+1-1 <7-1

2x <6

(2x)/2 <6/2

x <3

. Затенение указывает на все реальные числа, менее 3, чем 3 , Незакрашенный кружок вокруг цифры 3 означает, что цифра 3 не включена в график.

  Важным различием между решением уравнений и решением неравенств является умножение или деление на отрицательные числа. Умножение или деление обеих частей неравенства на отрицательное число меняет смысл неравенства на противоположный; «меньше чем» становится «больше чем» и наоборот. Например (стрелки указывают, где неравенство меняется на противоположное)

  Решение неравенства первой степени зависит от следующей аксиомы:

  1. Если к обеим частям неравенства добавить ненулевую константу, новое неравенство эквивалентно исходному неравенству.

   2. Если обе части неравенства умножить (или разделить) на положительную константу, новое неравенство того же смысла эквивалентно исходному неравенству.

   3. Если обе части неравенства умножить (или разделить) на отрицательную константу, новое неравенство противоположного смысла эквивалентно исходному неравенству.

Примеры

   Решите следующие неравенства и нарисуйте решения

  1. 5x+4<=-1  Запишите неравенство.

   5x+4-4<=-1-4  Добавьте -4 к обеим сторонам.

   5x<=-5  Упрощение.

   (5x)/5<=-5/5  Поделить обе части на 5.

   x<=-1  Упростить.

     (Примечание: сплошная точка означает -1 включено.)

Давайте посмотрим, как наш решатель неравенств решает эту и подобные задачи. Нажмите кнопку «Решить подобное», чтобы увидеть больше примеров.

Решите Similiar Probenceer вашу собственную проблему

2. x+1> = 3-2x

x+1-x> = 3-2x-x

1> = 3-3x

1-3> = 3 -3x-3

-2> =-3x

-2/-3 <= (-3x)/-3

2/3 <= x

Альтернативная процедура.

x+1> = 3-2x

x+1+2x> = 3-2x+2x

3x+1> = 3

3x+1-1> = 3-1

     3x>=2

     (3x)/3>=2/3

     x>=2/3  Обратите внимание, что два неравенства, 2/3<=x3, x>=2 в/ идентичны.

  Мы также можем использовать числовую прямую для построения графика чисел, удовлетворяющих более чем одному неравенству. Например, 3 < x < 4 говорит, что x меньше 4 и больше 3. Также x>=2 или x < 0 говорит, что x больше или равно 2 или меньше 0. Графики этих неравенств приведены ниже в качестве примеров.

Давайте посмотрим, как наш математический решатель решает эту и подобные задачи. Нажмите кнопку «Решить подобное», чтобы увидеть больше примеров.

Решите Similiar Pressumenter вашу собственную проблему

Примеры

График решения для каждого из следующих неравенств

1. 3

2. X> = 2 или x <0

( Затенение круга вокруг 2 означает, что 2 включено.)

  3. Конкретная проблема зависит от многих факторов, включая ваш личный опыт и общие способности к рассуждению. Например, предположим, что вам дали следующую задачу:

  «Автомобиль проезжает 170 миль за 3 часа. Какова была средняя скорость?»
  В задаче прямо не говорится о УМНОЖЕНИИ, ДЕЛЕНИИ, СЛОЖЕНИИ или ВЫЧИТАНИИ. Вы должны знать, что скорость, умноженная на время, равна расстоянию или r*t=d. Вам дано расстояние (170 миль) и время (3 часа). Вам нужно найти среднюю скорость. Инструмент, который вам нужен, — это формула r*t=d.
Пусть r = средняя скорость. Тогда

  3*r=170

  r=56*2/3 миль в час

Пример 1: Расстояние

   Мужчина уезжает в командировку, а в это же время его жена везет детей к бабушке и дедушке. Автомобили, движущиеся в противоположных направлениях, через 3 часа находятся на расстоянии 360 миль друг от друга. Если средняя скорость мужчины на 10 км/ч больше, чем у его жены, какова ее средняя скорость?

  Позвольте x = средняя скорость жены

  скорость*время=расстояние

  

Жена	х	3	3x
человек	(х+10)	3	3(х+10)

  

  

расстояние для жены	+	расстояние для человека	=	расстояние друг от друга
3x	+	3(х+10)	=	360

  3x+3x+30=360

  6x=330

  x=55 миль в час

  Средняя скорость жены 55 миль в час.

Пример 2: Расстояние

   Два поезда, A и B, находятся на расстоянии 540 километров друг от друга и движутся навстречу друг другу по параллельным путям. Поезд А движется со скоростью 40 км/ч, а поезд В — со скоростью 50 км/ч. Через сколько часов они встретятся?

  Позвольте x = время

  скорость*время=расстояние

поезд А	40	х	40x
поезд Б	50	х	50x

  

  40x+50x=540

  90x=540

  x=6 часов

 ч.

Пример 3: Геометрия

  Прямоугольник с периметром 140 метров имеет длину, которая на 20 метров меньше, чем удвоенная ширина. Найдите размеры прямоугольника.

  Нарисуйте диаграмму и используйте формулу P=2l+2w.

let W = ширина

2W-20 = длина

2 (W) +2 (2W-20) = 140

2W+4W-40 = 140

6W = 180

W = 30-метров

  2w-20=40 метров

  Ширина 30 метров, длина 40 метров.

7.4  Заявки (проценты, работа)

  Люди в бизнесе знают несколько формул, включающих основную сумму (сумма вложенных денег), ставку (процент или процентная ставка) и процент (фактическая прибыль или полученные проценты). Эти формулы могут зависеть от таких связанных тем, как способ выплаты процентов по кредиту (ежемесячно, ежедневно, ежегодно и т. д.), предусмотрены ли штрафы за досрочное погашение кредита или оговорки о повышении, если инвестиции особенно важны. прибыльный.

  В этом разделе мы будем использовать только основную формулу для расчета процентов на годовой основе: P * R = {Iota}, или основная ставка, умноженная на проценты.

Пример 1: Проценты

  Человек инвестирует в определенную облигацию с доходностью 9%, а затем вкладывает 500 долларов в акции с высоким уровнем риска с доходностью 12%. Через год его общий процент от двух инвестиций составляет 240 долларов. Какую сумму он вложил в облигацию?

  Пусть основная сумма вложена под 9%.

  основная сумма*ставка=проценты

  

облигация	P	0,09	0.09P
акции высокого риска	500	0,12	0,12(500)

проценты по облигации	+	проценты на акции	=	общий доход
0. 09P	+	0,12(500)	=	240

0,09p+60 = 240

0,09p = 180

(0,09p)/(0,09) = (180)/(0,09)

p = 2000 долл. США

. Он инвестировал 2000 долл. интерес.

Пример 2: Проценты

  У женщины есть 7000 долларов. Она решает разделить свои средства на две инвестиции. Один дает процентную ставку 6%, а другой 10%. Если она хочет, чтобы годовой доход от инвестиций составлял 580 долларов, как ей разделить деньги?

  Поскольку мы знаем, что общая сумма инвестиций составляет 7000 долларов, если одна инвестиция равна x долларов, то другая должна быть равна 7000-$x.

Let x = Сумма, инвестированная на 10%
7000 — x = сумма, инвестированная на 6%

Основная сумма*Ставка = проценты

10% инвестиции	х	0,10	0,10x
6% инвестиции	(7000-х)	0,06	0,06(7000-х)

проценты на 10% инвестиции	+	проценты на 6% инвестиции	=	общий доход
0,10x	+	0,06(7000-х)	=	580

  10x+6(7000-x)=5800  Умножьте каждое слагаемое на 100, чтобы исключить десятичные дроби.

10x+42000-6x = 5800

4x = 16000

x = 4000 долл. США при 10%

7000-x = 3000 долл. США@6%

. Она должна инвестировать 4000 долл. США в 10% и 3000 долл. США 6%.

  Задачи, связанные с «работой», могут быть очень сложными и требуют вычислений и физики. Проблемы, которые нас будут интересовать, связаны со временем, затрачиваемым на выполнение работы по конкретному заданию. Эти проблемы связаны только с представлением о том, какая часть работы выполняется за единицу времени (часы, минуты, дни, недели и т. д.). Например, если человек может вырыть канаву за 4 часа, какую часть (работы по копке канавы) он сделал за один час? Ответ: 1/4. Если бы работа заняла 5 часов, он сделал бы 1/5 за один час. Если бы работа заняла x часов, он сделал бы 1/x за один час.

Пример 3: Работа

  Майк может почистить семейный бассейн за 2 часа. Его младшая сестра Стейси может сделать это за 3 часа. Если они будут работать вместе, сколько времени им понадобится, чтобы очистить бассейн?

  Позвольте x = количество часов совместной работы

	часа	часть в 1 час
Майк	2	1/2
Стейси	3	1/3
вместе	х	1/х

часть выполнена Майком за 1 час	+	часть сделана за 1 час Стейси	=	часть делается за 1 час вместе
1/2	+	1/3	=	1/х

  1/2(6x)+1/3(6x)=1/x(6x)  Умножьте каждый член в обеих частях уравнения на 6-кратный НОК знаменателей.

  3x+2x=6

  5x=6

  x=6/5ч

  Вместе они могут очистить бассейн за 6/5 часов или 1 час 12 минут.

Пример 4: Работа

  Мужчине сказали, что его новый бассейн с джакузи наполнится через впускной клапан за 3 часа. Он понял, что что-то не так, когда бассейн наполнился за 8 часов. Он обнаружил, что оставил сливной клапан открытым. Сколько времени потребуется, чтобы осушить бассейн?

  Позвольте t = время слить бассейн.

  (Примечание: в этом случае впускной и выпускной клапаны работают против друг друга.)

  

	часа	часть в 1 час
вход	3	1/3
выход	т	1/т
вместе	8	1/8

часть, заполненная входом	-	часть опорожняется выпускным отверстием	=	заполненная часть
1/3	—	1/т	=	1/8

1/3 (24t) -1/t (24t) = 1/8 (24t)

8T-24 = 3T

5T = 24

T = 24/5

24/5 часов или 4 часа 48 минут.

7.5  Применения (смесь, неравенства)

   Задачи, связанные со смесями, встречаются в физике и химии, а также в таких местах, как кондитерская или табачная лавка. Необходимо смешать два или более предметов с разным процентным содержанием химического вещества, такого как соль, хлор или антифриз; или два или более видов табака должны быть смешаны для получения конечной смеси, которая удовлетворяет определенным условиям процентной концентрации.

  Основной план состоит в том, чтобы написать уравнение, относящееся только к одной части смеси. Следующие примеры объясняют, как это можно сделать.

Пример 1: Смесь

  Для конкретного химического эксперимента требуется 10% раствор кислоты. Если у лаборанта есть 9 унций 5% раствора, сколько кислоты нужно добавить, чтобы получить 10% раствор? (Подсказка: напишите уравнение, которое имеет дело только с количеством кислоты.)

  Позвольте x = количество добавляемой кислоты.

  количество раствора ⋅ процент кислоты = количество кислоты

  

исходный раствор	9	0,05	0,05(9)
добавленный раствор	х	1,00	1,00(х)
окончательный раствор	(х+9)	0,10	0,10(х+9)

 

кислота в 9 унциях	+	добавлена ​​кислота	=	кислота в конечном растворе
0,05(9)	+	1,00(х)	=	0,10(х+9)

5 (9) +100 (x) = 10 (x+9)

45+100x = 10x+90 Умножение каждого члена на 100.

90x = 45

x = 45/90

x. =0,5 унции кислоты

Чек:

  

кислота в 9 унциях	+	добавлена ​​кислота	=	кислота в конечном растворе
0,05(9)	+	0,5	=	0,10(0,5+9)

  0,45+0,5=0,10(9,5)

  0,95=0,95

  10% раствор можно получить, добавив 0,5 унции кислоты.

Пример 2: Смесь

  Сколько галлонов 20% раствора соли нужно смешать с 30% раствором соли, чтобы получить 50 галлонов 23% раствора? (Подсказка: напишите уравнение, которое имеет дело только с количеством соли.)

  Позвольте  x количество 20% раствора  Примечание: Поскольку общее количество галлонов известно. одна сумма находится путем вычитания другой суммы из общей суммы.
  50-x = количество 30% раствора

  количество раствора ⋅ процент соли = количество соли

20% раствор	х	0,20	0,20x
30% раствор	50-х	0,30	0,30(50-х)
23% раствор	50	0,23	0,23(50)

 

Соль в 20% растворе	+	Соль в 30% растворе	=	Соль в 23% растворе
0,20x	+	0,30(50-х)	=	0,23(50)

20x+30 (50-x) = 23 (50)

20x+1500-30x = 1150

-10x = 1150-1500

-10x = -350

x = 35 Gel из 20% раствор

Чек:

Соль в 20% растворе	+	Соль в 30% растворе	=	Соль в 23% растворе
0,20(35)	+	0,30(50-35)	=	0,23(50)

7,0+0,30 (15) = 11,5

7,0+4,5 = 11,5

11,5 = 11,5

Тридцать пять галлонов 20% раствора следует добавить в 15 галлонов из 30% раствора.

  Следующий пример с использованием неравенств не требует пояснений. Внимательно изучите его.

Пример 3: Неравенства

  Студент-физик имеет оценки 85, 98, 93 и 90 на четырех экзаменах. Если он должен в среднем 90 или лучше, чтобы получить пятерку за курс, Какие баллы он может получить на выпускном экзамене и получить пятерку?

  Пусть x = балл на выпускном экзамене.

  (Среднее значение находится путем сложения баллов и деления на 5.)

  (85+98+93+90+x)/5>=90

  (366+x)/5>=90

9008  

  366+x>=450

  x>=450-366

  x>=84

  Если студент наберет 84 или более баллов на выпускном экзамене, он получит в среднем 90 или более баллов и получит пятерку по физике.

Суммы и произведения корней

Корни многочлена

«Корень» (или «ноль») — это место, где многочлен равен нулю :

Проще говоря: корень — это значение x где значение y равно нулю.

Общий многочлен

Если у нас есть такой общий многочлен:

f(x) = ax ⁿ + bx ^n-1 + cx ^n-2 + . .. + z

:

Тогда

• Добавление корней дает −b/a
• Умножение корней дает:
  • z/a (для полиномов четной степени, таких как квадратичные)
  • −z/a (для многочленов нечетной степени, таких как кубики)

Что иногда может помочь нам решить некоторые проблемы.

Как работает эта магия? Давайте узнаем …

Факторы

Мы можем взять многочлен, например:

f(x) = ax ⁿ + bx ^n-1 + cx ^n-2 + … + z

И затем факторизовать это следующим образом:

f(x) = a(x−p)(x−q)(x−r) …

Тогда p, q, r и т. д. являются корнями (где многочлен равен нулю)

Квадратичный

Давайте попробуем это с квадратичным (где наибольший показатель степени переменной равен 2):

ax ² + bx + c

Когда корни равны p и q , то же квадратичное число принимает вид:

a(x−p)(x−q)

Есть ли связь между a,b,c и p,q ?

Разложим a(x−p)(x−q):

a(x−p)(x−q)
= a( x ² − px − qx + pq )
= ax ² − a(p+q)x + apq

Теперь сравним:

Квадратичный:	топор 2	+бх	+с
Расширенные коэффициенты:	топор 2	−a(p+q)x	+apq

Теперь мы можем видеть, что −a(p+q)x = bx, поэтому:

−a(p+q) = b

p+q = −b/a

И apq = c, Итак:

pq = c/a

И мы получаем такой результат:

• Сложение корней дает −b/a
• Умножение корней дает c/a

Это может помочь нам ответить на вопросы.

Пример. Укажите уравнение, корни которого равны 5 + √2 и 5 − √2

Сумма корней равна (5 + √2) + (5 − √2) = 10
Произведение корней равно (5 + √2) (5 − √2) = 25 − 2 = 23

И нам нужно уравнение вида:

ax ² + bx + c = 0

 

Когда a=1 , мы можем вычислить, что: /а = -б

Произведение корней = c/a = c

Что дает нам этот результат

x ² − (сумма корней)x + (произведение корней) = 0

Сумма корней равна 10, а произведение корней равно 23, поэтому мы получаем:

x ² − 10x + 23 = 0

А вот его график:

(Вопрос: что произойдет, если мы выберем a=−1 ?)

Кубический

выше квадратичного):

ax ³ + bx ² + cx + d

Как и в случае квадратичного, расширим множители:

a(x−p)(x−q)(x−r)
= ax ³ − a(p+q+r)x ² + a(pq+pr+qr)x − a( pqr)

И получаем:

Кубик:	топор 3	+bx 2	+сх	+д
Расширенные коэффициенты:	топор 3	−a(p+q+r)x 2	+ а(пк+пр+кв) х	−apqr

Теперь мы можем видеть, что −a(p+q+r)x ² = bx ² , поэтому:

−a(p+q+r) = b

p+q+r = -b/a

И -apqr = d, так что:

pqr = -d/a

Это интересно.