Решение уравнений в степени 4 онлайн: Онлайн калькулятор: Уравнение 4-й степени

Решение уравнений 4-ой степени. Метод Феррари

ПЕРВУШКИН БОРИС НИКОЛАЕВИЧ

ЧОУ «Санкт-Петербургская Школа «Тет-а-Тет»

Учитель Математики Высшей категории

 

Решение уравнений 4-ой степени. Метод Феррари

Целью данной статьи является изложение метода Феррари, с помощью которого можно решать уравнения четвёртой степени

a0x4 + a1x3 + a2x2 + a3x + a4 = 0,

(1)

где a0, a1, a2, a3, a4 –  произвольные вещественные числа, причем 

      Метод Феррари состоит из двух этапов.

      На первом этапе уравнения вида (1) приводятся к уравнениям четвертой степени, у которых отсутствует член с третьей степенью неизвестного.

      На втором этапе полученные уравнения решаются при помощи разложения на множители, однако для того, чтобы найти требуемое разложение на множители, приходится решать кубические уравнения.

Приведение уравнений 4-ой степени

      Разделим уравнение (1) на старший коэффициент a0 . Тогда оно примет вид

x4 + ax3 + bx2 + cx + d = 0,

(2)

где a, b, c, d –  произвольные вещественные числа.

      Сделаем в уравнении (2) замену

(3)

где y –  новая переменная.

      Тогда, поскольку

то уравнение (2) принимает вид

(4)

      Если ввести обозначения

то уравнение (4) примет вид

y4 + py2 + qy + r = 0,

(5)

где p, q, r –  вещественные числа.

      Первый этап метода Феррари  завершён.

Разложение на множители. Кубическая резольвента

      Добавив и вычитая в левой части уравнения (5) выражение

2sy2 + s2,

где s –  некоторое число, которое мы определим чуть позже, из (5) получим

      Следовательно, уравнение (5) принимает вид

(6)

      Если теперь выбрать число s так, чтобы оно являлось каким-нибудь решением уравнения

(7)

то уравнение (6) примет вид

(8)

      Избавляясь от знаменателя, уравнение (7) можно переписать в виде

или, раскрыв скобки, — в виде

(9)

      Полученное кубическое уравнение (9), эквивалентное уравнению (7), называют кубической резольвентой уравнения 4-ой степени (5).

      Если какое-нибудь решение  кубической резольвенты (9) найдено, то уравнение (8) можно решить, разложив его левую часть на множители с помощью формулы сокращенного умножения «Разность квадратов».

      Действительно,

      Таким образом, для решения уравнения (8) остаётся решить квадратное уравнение

(10)

а также квадратное уравнение

(11)

      Вывод метода Феррари завершен.

Пример решения уравнения 4-ой степени

      Пример. Решить уравнение

x4 + 4×3 – 4×2 – 20x – 5 = 0.

(12)

      Решение. В соответствии с (3) сделаем в уравнении (12) замену

x = y – 1.

(13)

      Поскольку

x4 + 4×3 – 4×2 – 20x – 5 = (y – 1)4 + 4(y – 1)3 – 4(y – 1)2 – 20(y – 1)– 5 = 
= y4 – 4y3 + 6y2 – 4y + 1 + 4y3 – 12y2 + 12y – 4 – 4y2 + 8y – 4 – 20y + 20 – 5 =
= y4 – 10y2 – 4y + 8,

то в результате замены (13) уравнение (12) принимает вид

y4 – 10y2 – 4y + 8 = 0.

(14)

      В соответствии с (5) для коэффициентов уравнения (14) справедливы равенства

p = – 10,      q = – 4,       r = 8.

(15)

      В силу (9)  и (15) кубической резольвентой для уравнения (14) служит уравнение

2s3 + 10s2 – 16s – 84 = 0,

которое при сокращении на 2 принимает вид:

s3 + 5s2 – 8s – 42 = 0.

(16)

      Проверяя, какой из делителей свободного члена уравнения (16) является целым корнем этого уравнения, находим, что целым корнем кубической резольвенты является число

s = – 3.

(17)

      Подставляя значения (15) и (17) в формулу (10), получаем уравнение

y2 – 2y – 4 = 0,

корни которого имеют вид:

(18)

      Подставляя значения (15) и (17) в формулу (11), получаем уравнение

y2 + 2y – 2 = 0,

корни которого имеют вид:

(19)

      В завершение, воспользовавшись формулой (13), из (18) и (19) находим корни уравнения (12):

      Ответ.  

      Замечание. При решении примера мы попутно получили разложение левой части уравнения (14) на множители:

y4 – 10y2 – 4y + 8 = (y2 – 2y – 4) (y2 + 2y – 2).

(19)

 

Решение уравнений со скобками — Криста Кинг Математика

Как решать уравнения в целом

Если уравнение, которое вам нужно решить, содержит скобки, упростите скобки (чаще всего с помощью распределения), а затем решите, как обычно.

Решение уравнений

1. Максимально упростите обе части уравнения, используя порядок операций (распределить, объединить одинаковые члены и т. д.).
   

2. Если переменная (буква), которую вы пытаетесь найти, появляется в обеих частях уравнения, переместите ее на другую сторону. Перенесите все свои «???x???» в Техас или отправьте все ???x??? в одну сторону уравнения.
   

3. Решите, работая в обратном порядке от порядка операций. Используйте обратные операции до тех пор, пока переменная не станет единственной, и не забывайте делать то же самое с обеими частями уравнения, чтобы оно оставалось сбалансированным.

Привет! Я Криста.

Я создаю онлайн-курсы, чтобы помочь вам в учебе по математике. Прочитайте больше.

Три примера скобок в уравнениях, которые можно решить с помощью распределения

Пройти курс

Хотите узнать больше об Алгебре 1? У меня есть пошаговый курс для этого. 🙂

Учить больше

Коэффициенты распределения для решения уравнения со скобками с обеих сторон

Пример

Решите для переменной.

???-(3x+4)=6(2x-7)+8???

 

Начните с упрощения обеих частей уравнения. Вам нужно будет распределить коэффициенты перед скобками.

???-3x-4=12x-42+8???

Упростите правую часть уравнения, объединив одинаковые члены.

???-3x-4=12x-34???

Переместить все ???x??? члены к одной стороне уравнения, добавляя ???3x??? в обе стороны.

???-3x+3x-4=12x+3x-34???

???-4=15x-34???

Отменить ???-34??? добавив ???34??? в обе стороны.

???-4+34=15x-34+34???

???30=15x???

Отменить умножение ???15??? разделив обе части на ???15???.

???\frac{30}{15}=\frac{15x}{15}???

???2=х???

Чтобы решить уравнение, в котором есть круглые скобки, распределите, чтобы избавиться от круглых скобок, затем следуйте порядку операций, чтобы упростить остальную часть уравнения 90-4)-4(б+8)???

 

Начните с упрощения всего, что возведено в степень ???0???. Помните, что любое ненулевое значение, возведенное в ???0??? ???1???.

???-(b-1)=1(1-4)-4(b+8)???

Упростите обе части уравнения путем распределения.

???-b+1=1-4-4b-32???

Объедините одинаковые термины с правой стороны (???1-4-32???).

???-b+1=-35-4b???

Переместить все ???b??? членов к одной стороне уравнения, добавляя ???4b??? в обе стороны.

???-b+4b+1=-35-4b+4b???

???3b+1=-35???

Отменить ???+1??? вычитая ???1??? с обеих сторон.

???3b+1-1=-35-1???

???3b=-36???

Отменить умножение ???3??? разделив обе части на ???3???.

???\frac{3b}{3}=\frac{-36}{3}???

???b=-12???

Получить доступ к полному курсу Алгебра 1

Начать

Учиться математикеКриста Кинг 21 января 2019 математика, учиться онлайн, онлайн курс, онлайн математика, уравнения со скобками, решение простых уравнений, скобки в уравнениях

0 лайков

алгебра 1 рабочая тетрадь — Googlesuche

AlleShoppingBilderBücherMapsVideosNews

suchoptionen

Tipp: Begrenze diesuche auf deutschsprachige Ergebnisse. Du kannst deinesuchsprache in den Einstellungen ändern.

Рабочая тетрадь по алгебре 1: руководство для самообучения и практическая рабочая тетрадь с упражнениями и соответствующим объяснением решения. Вы получите и улучшите свои навыки и знания по алгебре 1 от а до я ..

www.amazon.de › Алгебра-Рабочая тетрадь-Самообучение-Упражнения-Объяснение

Bewertung 4,2

(948) · 11,38 € · Auf Lager

Рабочая тетрадь по алгебре 1: руководство по самообучению и практическая рабочая тетрадь с упражнениями и соответствующим объяснением решения. Вы получите и улучшите свои навыки по алгебре 1 …

Рабочая тетрадь по алгебре 1: руководство для самообучения и… — Amazon.com

www.amazon.com

Bewertung 4,2

(980) · 12,95 $ · Auf Lager

Рабочая тетрадь по алгебре 1: руководство для самообучения и практическая рабочая тетрадь с упражнениями и соответствующим объяснением решения. Вы получите и улучшите свои навыки по алгебре 1 …

Рабочая тетрадь по алгебре 1 — Jupitermath.org — William Grant Johnston

www.schweitzer-online.de › buch › Johnston › Рабочая тетрадь по алгебре 1

19.07.2022 · Рабочая тетрадь по алгебре 1. Юпитермат.org. Уильям Грант Джонстон (автор). Уильям Грант Джонстон (Verlag). erschienen am 19. Juli 2022.

9780785470342: Алгебра 1. Практика и решение задач. Рабочая тетрадь

www.abebooks.de : 0785470344 — ISBN 13: 9780785470342 — Prentice Hall — 2010 …

Рабочая тетрадь по алгебре 1: самоучитель и практика… — eBay

www.ebay.com › itm

Bewertung 5,0

(1)

ИЗУЧАЙТЕ И СОВЕРШЕНСТВУЙТЕ СВОИ НАВЫКИ В АЛГЕБРЕ Эта книга содержит: Основные операции, числа и целые числа, свойства, правила и советы. ] Prentice Hall Algebra 1 Workbook Key Answer Key Pdf — UTSA Online

www. online.utsa.edu › readfile › File=prentice hall алгебра 1 workboo…

26.11.2022 · Если вы ищете материал, основанный на национальных или государственных стандартах, эта книга – ваш идеальный учебник. Страница 2. prentice-hall-алгебра-1-workbook- …

Алгебра, Математика, Книги | Barnes & Noble®

www.barnesandnoble.com › книги › алгебра

Алгебра. 1- 20 из результатов 1859 … Название: McGraw-Hill Education Algebra I Review and Workbook, Автор: Сандра Луна … Algebra I For Dummies Book +…

рабочая тетрадь по алгебре для решения задачи овладения основными математическими навыками…

www.walmart.com › Книги › Все книги

6,95 $ Auf Lager

Прибывает в четверг, 29 декабря. книга с упражнениями по алгебре с ответами — рабочая тетрадь по алгебре для овладения основными математическими навыками …

Издатель: Independent Published
Дата публикации: ноябрь 2020 г.

Учебное пособие по алгебре 1.