Вычисление определителя методом Гаусса
Вычислим определитель методом Гаусса.
Суть метода состоит в следующем: определитель приводится к треугольному виду с помощью элементарных преобразований, и тогда он равен произведению элементов, стоящих на главной диагонали.
Идея метода состоит в следующем: пусть дан определитель третьего порядка
(1)
элементдолжен быть равен, для этого первую строку разделим на.
Получим определитель вида (2)
Обнулим элементы, стоящие в первом столбце, кроме первого. Для этого из второй строки вычтем первую, умноженную на , далее из третьей строки вычтем первую, умноженную на. Получим определитель вида.
Обозначим его элементы буквой с, тогда
(3)
Теперь надо обнулить элемент . Элементдолжен быть равен, для этого вторую строку разделим на. Получим определитель вида.
Далее из третьей строки вычтем вторую,
умноженную на
.
.
Обозначим его элементы буквой t, тогда
(4)
Вот мы привели определитель к треугольному виду, теперь он равен .
Разберем теперь это на конкретном примере.
Пример 4:Вычислить определительметодом Гаусса.
Решение: Поменяем местами первую и третью строки (при замене двух столбцов (строк) определитель меняет знак на противоположный).
Получили
Из второй строки вычтем первую, умноженную на 2, далее из третьей строки вычтем первую, умноженную на 3. Получили
Далее из третьей строки вычтем вторую, умноженную на 3.
Получили —
§2.Матрицы Виды матриц
Определение 7: Если в матрицеmстрок иnстолбцов, то она называетсяразмерностьюmnи пишут.
Определение 8: Если, то матрица называется квадратной.
Определение 9:Матрица, состоящая лишь из одной строки (столбца) называется матрицей-строкой (столбцом).
Определение 10:Матрица, состоящая
из нулей, называется нулевой матрицей.
Определение 11:Диагональной матрицей называется квадратная матрица, у которой все элементы, не принадлежащие главной диагонали равны нулю.
Определение 12:Единичной матрицей называется диагональная матрица, у которой все элементы, стоящие на главной диагонали равны единице.
Определение 13:Треугольной называется квадратная матрица, у которой элементы, расположенные по одну сторону от главной диагонали равны нулю.
Действиянад матрицами.
Определение 14: Две матрицы считаются равными, если они имеют одинаковое число строк и столбцов и равные соответствующие элементы.
Пример 5:
Матрицы А и В равны, т.е.
Определение 15: Суммой (разностью) матриц А и В называется такая матрица С, у которой каждый элемент равен.
Пример 6: Найти матрицу, если
Решение:
Cвойства сложения
А+В=В+А(переместительное)
20А+О=А, где О-нулевая матрица
30 А+(В+С)=(А+В)+С (дистрибутивное)
40А+(-А)=О, где – А противоположная матрица
(т.
е. элементы имеют противоположные
знаки)
Определение 16: Произведением матрицы А на число называется матрица, полученная из данной умножением всех ее элементов на число.
Пример 7:
Умножение матиц
Это действие распространяется на так называемые согласованные матрицы.
Определение 17: Матрица А называется согласованной с матрицей В, если число столбцов у матрицы А равно числу строк у матрицы В.
Пример 8:и- согласованные
и- несогласованные
инесогласованные
Определение 18: Произведением двух матриц А и В называется такая матрица С, каждый элемент которой равен сумме произведений элементовiстроки матрицы А на соответствующие элементыj-го столбца матрицы В.
Если матрица А имеет размерность , а матрица В, то.
Пример 9: Умножить матрицы
Вычисление определителя и обратной матрицы — Студопедия
Поделись
Схема единственного деления.
Задание 3.1.
Решить систему уравнений точными методами.
Для удобства вычисления по методу Гаусса производятся по схеме единственного деления. Процесс преобразования матрицы к треугольной называется
Количество разделов прямого хода равно числу неизвестных системы уравнений. В раздел I схемы записываются коэффициенты при неизвестных; свободные члены, контрольные суммы и строчные суммы, равные сумме всех элементов строки. Последняя строка (b1j) получается делением первой строки раздела (a1j) на ведущий элемент (a11 –первый элемент раздела) :
Элементы раздела II вычисляются по формуле: aij(II)= aij(I)– ai1(I)· b1j .
Последняя строка раздела вычисляется делением первой строки раздела на ведущий элемент.
Аналогично вычисляются элементы следующих разделов.
Обратный ход начинается с вычисления последнего неизвестного системы уравнений и заканчивается вычислением первого неизвестного, используя лишь последние строки каждого раздела.
Строчные суммы всегда равны суммам элементов своей строки (без контрольной суммы), Над контрольными суммами в каждой строке проделываются те же операции, что и над остальными элементами этой строки. При отсутствии ошибок в вычислениях контрольные суммыприближенноравны строчным.
При необходимости уточнения корней х(0)системы уравнений необходимо:
— вычислить невязки δ =В – Ах(0);
— выписать невязки в столбец ε схемы;
— считая столбец ε столбцом свободных членов, вычислить ε1, ε2, …εn как значения неизвестных
— найти уточненные значения неизвестных: х = х(0) + ε
ЗАДАЧА 3.
2.
По схеме единственного деления найти корни системы уравнений
РЕШЕНИЕ
| Раздел | x1 | x2 | x3 | Свободные члены | Контрольные ∑ | Строчные ∑ | ε | |||
| Прямой ход | I b1j | 0,05 0,02 | ||||||||
| 0,67 | 0,67 | 4,33 | 6,67 | 6,67 | 0,017 | |||||
| II b2j | 1,66 0,66 | 0,66 1,66 | 5,34 6,34 | 7,66 8,66 | 7,66 8,66 | -0,034 -0,014 | ||||
| 0,4 | 3,22 | 4,61 | 4,62 | -0,031 | ||||||
| III b3j | 1,4 | 4,2 | 5,62 | 5,6 | 0,006 | |||||
| 4,01 | 4,01 | 0,00014 | ||||||||
| Обратный ход | 2,02 0,97 | -0,02 0,03 | ||||||||
х3=3+0=3; х2=2,02–0,02=2; х1=0,97+0,03=1
Метод Гаусса может быть использован для вычисления главного определителя матрицы.
Он равен произведению ведущих элементов всех раздела схемы единственного деления.
Для нахождения обратной матрицы используется основное соотношение:
А∙А-1=Е, где Е – единичная матрица.
Элементы обратной матрицы будем считать неизвестными. Полученные n систем линейных уравнений имеют одну и ту же матрицу А и различные свободные члены, составляющие единичную матрицу. Поэтому эти системы можно решать по схеме Гаусса. Решения xij, найденные по схеме единственного деления, и будут элементами обратной матрицы А-1.
ЗАДАЧА 3.3.
Найти обратную матрицу и главный определитель для матрицы
РЕШЕНИЕ.
| Раздел | x1j | x2j | x3j | Свободные члены | ∑ | |||
| j=1 | j=2 | j=3 | ||||||
| Прямой ход | I | |||||||
| 0,67 | 0,67 | 0,33 | 2,67 | |||||
| II | 1,66 0,66 | 0,66 1,66 | -0,66 -0,66 | 2,66 2,66 | ||||
| 0,4 | -0,4 | 0,6 | 1,6 | |||||
| III | 1,4 | -0,4 | -0,4 | 1,6 | ||||
| -0,29 | -0,29 | 0,71 | 1,14 | |||||
| Обратный ход | -0,29 -0,4-0,4∙(-0,29)=-0,28 0,33-0,67∙(-0,28)-0,67∙(-0,29)=0,71 | -0,29 0,72 0-0,67∙0,72-0,67∙ (-0,29)=-0,29 | 0,71 -0,28 -0,29 | 1,14 1,14 1,14 |
∆=3 ∙1,66 ∙1,4=6,97
А-1=
линейная алгебра — определитель с применением исключения Гаусса
спросил
Изменено 8 лет, 8 месяцев назад
Просмотрено 4к раз
$\begingroup$
Насколько я понимаю, при использовании исключения Гаусса вы должны получить его в форме ссылки (верхний треугольник) и вычислить произведение диагонали.
Кроме того, вы должны отслеживать количество свопов, чтобы определить, сколько раз умножать на минус один.
Допустим, у вас есть следующая матрица: $\begin{pmatrix} 2&-1\\ -1&-1\\ \end{pmatrix}$
, и вы масштабируете верхнюю строку на 1/2, получая $\begin{pmatrix} 1&-1/2\\ -1&-1\\ \end{pmatrix}$ <-этот шаг не нужен, но скажем, мы делаем это
, тогда вы выполняете P1+P2 в P2, получая $\begin{pmatrix} 1&-1/2\\ 0&-3/2\\ \end{pmatrix}$
, поэтому согласно этому определитель равен -3/2, но фактический определитель равен -3 (вы можете получить это, пропустив мой ненужный 2-й шаг, так как он не нужен для получения ответа в REF.
Мой вопрос: почему масштабирование вершины влияет на определитель? Я думал, единственное, на что нужно обращать внимание, — это места, где строки меняются местами, чтобы определить, сколько раз вы умножаете на минус 1.
- линейная алгебра
- матрицы
- определитель
$\endgroup$
3
$\begingroup$
$\DeclareMathOperator{Row}{Row}$Исключение Гаусса можно строго изучить с помощью элементарные матрицы .
В этом случае мы хотим вычислить $\det(A)$, где
$$
А=
\begin{pматрица}
2 &-1\\-1&-1
\end{pматрица}
$$
План состоит в том, чтобы сократить $A$ по строкам, отслеживая наши шаги с помощью элементарных матриц.
Шаг 1. Умножьте $\Row_1$ на $1/2$. Это соответствует умножению $A$ слева на $$ E_1=\begin{pmatrix}1/2 & 0 \\ 0 &1\end{pmatrix} $$ и результат $$ E_1 A=\begin{pmatrix}1 и -1/2\\ -1 и -1\end{pmatrix} $$
Шаг 2. Добавить $\Row_1$ в $\Row_2$. Это соответствует умножению $E_1 A$ слева на $$ E_2=\begin{pmatrix}1 и 0 \\ 1 и 1\end{pmatrix} $$ и результат $$ E_2 E_1 A=\begin{pmatrix}1 & -1/2\\ 0 & -3/2\end{pmatrix} $$
Шаг 3. Умножьте $\Row_2$ на $-2/3$. Это соответствует умножению $E_2E_1 A$ слева на $$ E_3=\begin{pmatrix}1 &0\\ 0 & -2/3\end{pmatrix} $$ и результат $$ E_3E_2E_1A=\begin{pmatrix}1 и -1/2\\ 0 и 1\end{pmatrix} $$
Теперь у нас есть
$$
\det(E_3)\det(E_2)\det(E_1)\det(A)=1
$$
Кроме того, легко вычислить $\det(E_1)$, $\det(E_2)$ и $\det(E_3)$.
Можете ли вы вычислить эти определители и использовать их для нахождения $\det(A)$?
$\endgroup$
Зарегистрируйтесь или войдите в систему
Зарегистрируйтесь с помощью Google
Зарегистрироваться через Facebook
Зарегистрируйтесь, используя электронную почту и пароль
Опубликовать как гость
Электронная почта
Требуется, но никогда не отображается
Опубликовать как гость
Электронная почта
Требуется, но не отображается
Нажимая «Опубликовать свой ответ», вы соглашаетесь с нашими условиями обслуживания, политикой конфиденциальности и политикой использования файлов cookie 93$», буду обязан.
- линейная алгебра
- матрицы
$\endgroup$
3
$\begingroup$
При оценке таких алгоритмов, как исключение Гаусса и расширение кофактора, основными операциями являются сложение и умножение . Из них умножение обычно считается намного медленнее, чем сложение, поэтому имеет смысл просто считать умножения (и деления). 9{n-1}-1)$ умножения.
Используя эти формулы, мы можем составить таблицу, показывающую сложность каждого метода:
$$
\begin{массив}{|с|с|с|с|}
\hline
п, 2, 3, 4, 5, 6 \\
\hline
\mathrm{Гаусс} & 3 & 10 & 23 & 44 & 75 \\
\hline
\mathrm{Лейбниц} и 2 и 12 и 72 и 480 и 3600\\
\hline
\mathrm{Лаплас} & 2 & 9 & 28 & 75 & 186 \\
\hline
\конец{массив}
$$
Как видите, разложение Лапласа лучше всего подходит для $2\times 2$ и $3\times 3$, но исключение Гаусса становится лучше, начиная с матриц $4\times 4$.