Решение уравнений второго порядка онлайн: Дифференциальные уравнения онлайн

alexxlab / / Разное

«Ищу в математике гармонию». Учёный о науке, открытиях и молодёжи | Наука | Общество

Юлия Борта, 

Ольга Казанцева

Примерное время чтения: 6 минут

772

Всеволод Солонников. кадр из видео

В этом году исполняется 90 лет выдающемуся российскому математику, получившему большое признание в мировом научном сообществе, Всеволоду Алексеевичу Солонникову. Он занимается исследованиями более 60 лет и до сих пор работает в Санкт-Петербургском отделении Математического института имени В. А. Стеклова РАН. За годы научной деятельности ученый опубликовал порядка 250 работ по теории дифференциальных уравнений в частных производных и теории функций. Его труды оказали серьезное влияние на математиков многих стран. В День российской науки Всеволод Алексеевич рассказал aif. ru о том, как поменял музыку на теоретическую физику, чего достиг за полвека исследований и чем заняты его мысли сейчас.

Тяга к научному познанию у Всеволода Алексеевича появилась с самого детства. Еще до войны, будучи мальчиком, он любил перебирать книги из большой домашней библиотеки, смотреть большой атлас и листать энциклопедию. Потом началась Великая Отечественная война. В тяжелое время блокады Ленинграда умерла мать Всеволода — Галина Сергеевна. И девятилетний мальчик оказался в эвакуации, в детском доме в Кировской области. Сначала он мечтал стать музыкантом, но потом поменял ноты на уравнения.

Вместо струн — формулы

Aif.ru: — Всеволод Алексеевич, вы хотели связать жизнь с музыкой, поступили в консерваторию. Как так получилось, что потом вы кардинально поменяли сферу интересов и ушли в науку?

Всеволод Солонников: — Да, я сначала полагал, что буду музыкантом. После войны я учился в музыкальной школе-десятилетке при Ленинградской консерватории. Поступил в седьмой класс по специальности виолончель, жил в интернате при этой школе. После решил поступать в консерваторию. На виолончель мне поступить не удалось, поэтому отучился один курс на теоретико-композиторском факультете.

Еще во время обучения в десятилетке учителя (а в особенности замечательный учитель физики Юлий Аронович Мирский) заметили мои склонности к точным наукам. И после года в консерватории я понял, что меня больше привлекают математика и физика, поэтому, закончив первый курс, я поступил на физический факультет Ленинградского государственного университета. Там работали выдающиеся ученые: Владимир Иванович Смирнов, Ольга Александровна Ладыженская и другие. Они читали выдающиеся лекции по математическим наукам и объясняли студентам, что природу можно описать с помощью формул и исследовать ее явления, изучая свойства решений уравнений математической физики.

Из Италии в Россию

— Вы занимаетесь исследованиями более 60 лет. Насколько за это время изменилась отечественная наука?

— В советское время наука имела большой престиж, быть ученым было почетно. Потом наступили трудные времена девяностых и нулевых годов, поддержка науки весьма ослабела. Многие молодые ученые вынуждены были уехать за границу, чтобы там продолжить свои исследования.

Я сам много времени провел за рубежом, сотрудничал с учеными из европейских стран, Японии, Китая, США. Несколько лет работал в Лиссабонском университете, вузах Франции и Германии, был профессором университета города Феррара в Италии. Там у меня появились коллеги, которые стали мне друзьями, с которыми у меня нашлись общие научные интересы. Мы наладили плодотворное сотрудничество между нашими институтами.

Сейчас российская наука возрождается, молодые люди снова хотят заниматься исследованиями. И я надеюсь, что в ближайшее время мы еще узнаем о новых выдающихся российских ученых как в области математики и естественных наук, так и в других областях.

— Какое исследование вы считаете самым важным в своей жизни и почему?

— Поскольку я больше математик, чем физик, мои научные интересы связаны преимущественно с теоретической наукой. В математике я нахожу такую же гармонию, как в музыке.

Я занимаюсь математической гидродинамикой, интерес к которой привила мне мой научный руководитель Ольга Александровна Ладыженская. Считаю, что самое важное достижение в этой области в том, что мне удалось развить идеи выдающегося математика Александра Михайловича Ляпунова по устойчивости фигур равновесия вращающейся ограниченной жидкой массы. Александра Михайловича можно назвать одним из родоначальников санкт-петербургской математической школы.

Я обобщил его аналитический метод на случай наличия поверхностного натяжения на границе вязкой жидкости. И мне удалось найти такие условия, при которых при малых начальных данных и малом отклонении начальной формы жидкости от фигуры равновесия поверхность жидкости стремится к этой фигуре. А движение жидкости приближается с течением времени к вращению жидкости твердого тела. Я показал, что устойчивой фигурой равновесия для вращающейся капли является сплюснутый сфероид.

Найти ответы на вопросы

— Даже в таком почтенном возрасте вы продолжаете трудиться в Санкт-Петербургском отделении Математического института имени В. А. Стеклова. Над чем работаете сейчас?

— Со своей ученицей, доктором физико-математических наук Ириной Денисовой мы написали и в 2020 году издали книгу «Движение капли в несжимаемой жидкости». Сейчас работаем над вторым томом, в который войдут недавние работы о движении сжимаемых и разнородных жидкостей, имеющих как сжимаемый, так и несжимаемый слой.

В прошлом году у нас с ней были опубликованы две работы в престижных международных журналах на тему движения двухслойной капли, близкой к фигуре равновесия, которая вращается с постоянной скоростью вокруг вертикальной оси. Мы доказали, что ее форма стремится к двум вложенным сфероидам, а движение самой жидкости — к движению капли как твердого тела. Такую же форму имеет наша планета.

Я надеюсь, что это исследование будет полезно ученым, занимающимся изучением движения Земли, которая, как известно, состоит из нескольких слоев жидкой магмы.

— В День российской науки какое напутствие вы могли бы дать молодым ученым?

— Что пожелать молодым ученым? Благодаря науке я прожил очень увлекательную, насыщенную жизнь. Побывал во многих странах, встречался с интересными людьми, находил ответы на интересующие меня вопросы.

Наука — это здорово! Я пожелаю молодым исследователям любить науку, верить в себя, стремиться узнать ответы на вопросы, на которые еще не ответило человечество. Но не витать в облаках, а решать задачи, которые можно решить. И, конечно, удачи в начинаниях!

Всеволод Солонниковматематика

Следующий материал

Новости СМИ2

Онлайн-калькулятор: Метод средней точки

Исследование Математика

Этот онлайн-калькулятор реализует прямой метод средней точки, также известный как модифицированный метод Эйлера, который представляет собой численный метод второго порядка для решения дифференциального уравнения первой степени с заданное начальное значение.

Вы можете использовать этот калькулятор для решения дифференциального уравнения первой степени с заданным начальным значением, используя явный метод средней точки AKA модифицированный метод Эйлера.

Чтобы использовать этот метод, вы должны иметь дифференциальное уравнение в форме

и ввести правую часть уравнения f(x,y) в поле y’ ниже.

Вам также необходимо начальное значение

и точка, для которой вы хотите аппроксимировать значение.

Последний параметр метода — размер шага — представляет собой шаг вдоль касательной для вычисления последовательного приближения кривой функции.

Если вы знаете точное решение дифференциального уравнения в форме y=f(x) , вы также можете ввести его. В этом случае калькулятор также наносит решение вместе с аппроксимацией на график и вычисляет абсолютную ошибку для каждого шага аппроксимации.

Описание метода находится под калькулятором.

Метод средней точки

Исходное значение x

Начальное значение y

Точка приближения

Размер шага

Точное решение (необязательно)0007

Дифференциальное уравнение

 

Приблизительное значение y

 

Приблизительное значение

Файл очень большой. Во время загрузки и создания может происходить замедление работы браузера.

Метод средней точки

Как и в методе Эйлера, мы используем соотношение

, но вычисляем f по-другому. Вместо использования касательной в текущей точке для перехода к следующей точке мы используем касательную в средней точке, то есть приблизительное значение производной в средней точке между текущей и следующей точками. Для этого аппроксимируем y значение в средней точке равно

И наше соотношение изменяется с

на

Локальная ошибка на каждом шаге метода средней точки имеет порядок, что дает глобальную ошибку порядка. Таким образом, несмотря на более интенсивные вычисления, чем метод Эйлера, ошибка метода средней точки обычно уменьшается быстрее, чем .

1

Этот метод является примером семейства методов более высокого порядка, известных как методы Рунге-Кутты.

  1. Википедия: метод средней точки ↩

URL скопирован в буфер обмена

Аналогичные калькуляторы
  • • Явные методы Рунге-Кутты
  • • Метод Эйлера
  • • Метод Рунге-Кутты
  • • Нахождение расстояния и средней точки досрочного погашения кредита между двумя точками
  • 93
  • • Математический раздел (304 калькулятора)

 #дифференциация #дифференцирование средней точки Эйлер Математика Модифицированный метод средней точки Метод Эйлера Численные дифференциальные уравнения

PlanetCalc, Метод средней точки

Timur 2020-12-11 14:12:44

Уравнения дифференциального порядка-калькульс