Решение уравнения бернулли онлайн: Калькулятор Дифференциальных Уравнений Бернулли

Дифференциальные уравнения Бернулли в примерах решений

Дифференциальным уравнением Бернулли называется уравнение вида

,

где m ≠ 0 и m ≠ 1.

Таким образом, дифференциальное уравнение Бернулли обязательно содержит функцию y в степени, отличной от нуля и единицы.

В случае, если m = 0, уравнение является линейным, а в случае, если m = 1, уравнение является уравнением с разделяющимися переменными.

Дифференциальное уравнение Бернулли можно решить двумя методами.

1. Переходом с помощью подстановки к линейному уравнению.
2. Методом Бернулли.

Переход от уравнения Бернулли к линейному уравнению.

Уравнение делим на :

,

.

Обозначим . Тогда , откуда . Переходя к новой переменной, получим уравнение

,

которое является линейным дифференциальным уравнение первого порядка. Его можно решить методом вариации константы Лагранжа или методом Бернулли.

Решение методом Бернулли.

Решение следует искать в виде произведения двух функций y = u ⋅ v. Подставив его в дифференциальное уравнение, получим уравнение

.

Из слагаемых, содержащих функцию u в первой степени, вынесем её за скобки:

.

Приравняв выражение в скобках нулю, то есть

,

получим дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными для определения функции v.

Функцию u следует находить из дифференциального уравнения

,

которое также является уравнение с разделяющимися переменными.

Пример 1. Решить дифференциальное уравнение Бернулли

.

Решение. Решим дифференциальное уравнение двумя методами.

1. Переход от уравнения Бернулли к линейному уравнению. Данное уравнение умножим на y³:

.

Введём обозначение , тогда , и приходим к уравнению

или

.

Решим его методом Бернулли. В последнее уравнение подставим z = u ⋅ v, z‘ = u‘v + uv‘:

,

.

Выражение в скобках приравняем нулю и решим полученное дифференциальное уравнение:

Полученную функцию v подставим в уравнение:

Тогда

2. Методом Бернулли. Ищем решение в виде произведения двух функций y = u ⋅ v. Подставив его и y‘ = u‘v + uv‘ в данное дифференциальное уравнение, получим

Выражение в скобках приравняем нулю и определим функцию v:

Полученную функцию v подставим в уравнение и определим функцию u:

И, наконец, найдём решение данного дифференциального уравнения:

Пример 2. Решить дифференциальное уравнение Бернулли

.

Решение. Это уравнение, в котором m = −1. Применив подстановку y = u ⋅ v, получим

Выражение в скобках приравняем нулю и определим функцию v:

Полученную функцию v подставим в уравнение и определим функцию u:

Таким образом, получаем решение данного дифференциального уравнения:

.

Пример 3. Решить дифференциальное уравнение Бернулли

.

Решение. Это уравнение можно решить, используя подстановку y = u ⋅ v. Получаем

Приравняем нулю выражение в скобках и решим полученное уравнение с разделяющимися переменными:

Подставляем v в данное уравнение и решаем полученное уравнение:

или

Разделим переменные:

и проинтегрируем обе части уравнения:

Далее используем подстановку

:

.

Введём обозначения:

Продолжаем:

Таким образом, получаем функцию u:

.

и решение данного дифференциального уравнения:

Нет времени вникать в решение? Можно заказать работу!

Пример 4. Решить задачу Коши для дифференциального уравнения

при условии .

Решение. Перепишем уравнение, перенося в левую сторону линейные слагаемые, а в правую — нелинейные:

.

Это уравнение Бернулли, которое можно решить, используя подстановку y = u ⋅ v, y‘ = u‘v + uv‘:

Выражение в скобках приравняем нулю и решим дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными:

Подставим функцию v в данное уравнение и решим полученное дифференциальное уравнение:

Вычислим каждый интеграл отдельно.

Первый:

.

Второй интеграл интегрируем по частям. Введём обозначения:

Решаем:

Приравниваем друг другу найденные значения интегралов и находим функцию u:

Таким образом, общее решение данного дифференциального уравнения:

.

Используем начальное условие, чтобы определить значение константы:

Ищем частное решение, удовлетворяющее начальному условию:

В результате получаем следующее частное решение данного дифференциального уравнения:

.

И напоследок — пример с альтернативным обозначением производных — через дробь.

Пример 5. Решить дифференциальное уравнение Бернулли

.

Решение. Решим это уравнение первым из представленных в теоретической части методом — переходом к линейному уравнению. Разделив данное уравнение почленно на y³, получим

.

Введём новую функцию . Тогда

.

Подставляя эти значения в уравнение, полученное на первом шаге, получим линейное уравнение:

.

Найдём его общий интеграл:

,

.

Подставляя эти значение в полученное линейное уравнение, получаем

или

.

Приравниваем нулю выражение в скобках:

Для определения функции u получаем уравнение

.

Разделяем переменные:

Интегрируем по частям:

Таким образом, общий интеграл данного уравнения

или

.

Назад

Листать

Вперёд>>>

К началу страницы

Пройти тест по теме Дифференциальные уравнения

Всё по теме «Дифференциальные уравнения»

Порядок дифференциального уравнения и его решения, задача Коши

Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

Однородные дифференциальные уравнения первого порядка

Линейные дифференциальные уравнения первого порядка

Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах

Дифференциальные уравнения второго порядка, допускающие понижение порядка

Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Поделиться с друзьями

Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Метод Бернулли

Все кто ищет готовые ответы на линейные дифференциальные уравнения пришли по правильному адресу. У нас Вы сможете не только получить быстрый ответ, но и научиться методике решения уравнений. Будет ли сложной схема Бернулли для линейных уравнений зависит от Вашего уровня подготовки. Разберите внимательно приведенные ответы и сделайте выводы, что и как Вам нужно углубленно изучить.
Линейным дифференциальным уравнением первого порядканазывается уравнение вида y’+p(x)*y=g(x), где p(x) и g(x) – непрерывные на определенном промежутке функции.

1. Решение линейного дифференциального уравнения необходимо представить в виде произведения двух неизвестных функций y=u*v от аргумента u=u(x),v=v(x). Одну из этих функций можно выбрать произвольно, а вторая определяется из дифференциального уравнения.
2. По правилу производная произведения равна y=u*v,то y’=u’v+uv’.
3. Подставим запись функции y=u*v и производной y’=u’v+uv’ в уравнение y’+p(x)*y=g(x) и получим u’v+uv’+p(x)*u*v= g(x). Сгруппируем второй и третий слагаемые, вынеся общий множитель (u) за скобки и придем к диф. уравнению u’v+u(v’+p(x)*v)=g(x).
4. Сперва определяем частное решение v=v(x), для этого решаем диф. уравнения v’+p(x)*v=0 и за произвольную постоянную интегрирования берем ноль (С=0). Данное уравнение является дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными.
5. Далее подставим найденную функцию v=v(x) в исходное диф. уравнение u’v+uv’+p(x)*u*v= g(x), которое при этом упростится до вида u’v+u*0=g(x), то есть к дифференциальному уравнению с разделяющимися переменными u’v(х)=g(x) относительно u(x). Из этого уравнения находим u=u(x)+С.
6. Имея u=u(x) и v=v(x) находим общее решение ДУ через произведение y=u*v=( u(x)+С)* v(x).
7. Если задана задача Коши то с дополнительной условия на решение y(x₀)=y₀ определяем сталую С.

Пример 1. Найти решение задачи Коши
Решение:Имеем неоднородное дифференциальное уравнение первого порядка. Запишем его в правильном виде, для этого перенесем в правую сторону функцию

Далее по схеме Бернулли делаем замену переменных y=u*v, y’=u’v+uv’, где u=u(x) і v=v(x).
Учитывая что множители в левой части уровне
и y²=u²v²
получим следующее уравнение

Согласно алгоритму Бернулли уравнение разделим на 2, для этого дужку слева (выделена черным) приравняем к нулю

Сводим к дифференциальному уравнению с разделенными переменными

и решаем интегрированием

В результате получили экспоненту с отрицательным показателем синуса. При этом исходное дифференциальное уравнение достаточно упростится для поиска второй неизвестной пока функции

Перенесем экспоненту с отрицательным показателем в правую сторону

и сведем к ДУ с разделенными переменными

Интегрированием уравнения в дифференциалах

находим решение дифференциального уравнения

Как описано в начале, общее решение дифференциального уравнения равно произведению функций

Но это еще не конечная ответ к задаче. Найдем частичное решение дифференциального уравнения (задача Коши), для этого определим постоянную с начального условия на функцию

Сталая равна нулю, это позволяет упростить формулу решения диф. уравнения, хотя мало кто из Вас увидит эту подсказку

Мы нашли частичный решение дифференциального уравнения и он равен экспоненте в степени «икс» y=e^x.

 

Пример 2. Решить дифференциальное уравнение та задачу Коши
Решение:Задано неоднородное дифференциальное уравнение первого порядка, которое перепишем в виде

Выполняем замену переменных в уравнении
, где «у» и «в» принимают функциональные зависимости
Находим выражения которые фигурируют в записи

и подставляем в исходное дифференциальное уравнение

Далее схема вычислений заключается в разделении переменных. По алгоритму Бернулли выражение, содержащее «v» приравняем к нулю

Записываем уравнение в дифференциалах

Видим что имеем уравнение с разделяющимися переменным, поетому целесообразно разделить переменные

Проинтегрировав обе части

получим логарифм и синус.

Далее экспонируем обе части и таким образом находим одну из неизвестных функций

Исходное дифференциальное уравнение при этом упростится к виду

Экспоненту в отрицательном показателе переносим вправо от знака равенства

Далее распишем уравнения через дифференциалы (/2)

и сведем к уравнению с разделенными переменными

Интеграл в правой части выглядит тяжелым для высчисления, но если внести дужку под дифференциал, то получим показатель экспоненты

Окончательно после интегрирования получим

Общий интеграл дифференциального уравнения записываем через произведение функций

Чтобы найти частичное решение дифференциального уравнения (задачи Коши) используем начальное условие

Из него определим постоянную и подставим в уравнение частного решения дифференциального уравнения

На этом и построен алгоритм Бернулли вычислений дифференциальных уравнений такого типа. Используйте алгоритм решения уравнения Бернулли ко всем подобным дифференциальным уравнениям.

• Назад
• Вперёд

Калькулятор уравнения Бернулли

Если вы интересуетесь механикой жидкости, вам обязательно пригодится этот калькулятор уравнения Бернулли. Это инструмент, который позволяет вам сравнивать две точки вдоль линии тока и определять их высоту, скорость потока и давление.

Дополнительно можно использовать калькулятор Бернулли для определения расхода анализируемой жидкости. Таким образом, вы можете выбрать правильный диаметр трубы, чтобы обеспечить постоянный поток.

Пожалуйста, продолжайте читать, чтобы узнать больше об уравнении Бернулли, или взгляните на наш калькулятор плавучести!

Уравнение Бернулли

Уравнение Бернулли описывает стационарное течение несжимаемой жидкости. Это означает, что жидкость не меняет своих свойств (например, плотности) с течением времени. Согласно принципу Бернулли, полное давление такой жидкости (как статическое, так и динамическое) остается постоянным вдоль линии тока независимо от изменений окружающей среды.

92 + \rho h g = \text{constant}p+21​ρv2+ρhg=constant

где:

• ppp – давление в выбранной точке. Чтобы узнать больше о давлении, посетите наш раздел преобразования давления.
• ρ\rhoρ – Плотность жидкости (постоянная во времени). Узнайте больше о плотности в нашем калькуляторе плотности.
• vvv – скорость потока в данной точке;
• ччч – высота выбранной точки; и
• ggg — Ускорение свободного падения (на Земле обычно принимается равным 9,80665 м/с²). 92\! +\! \rho h_2 gp1​+21​ρv12​+ρh2​g=p2​+21​ρv22​+ρh3​g

  Это означает, что если вы знаете пять из следующих значений: p1p_1p1​, v1v_1v1​, h2h_1h2​, p2p_2p2 ​, v2v_2v2​ и h3h_2h3​, вы можете легко рассчитать шестую с помощью нашего калькулятора.

  Если вы хотите выполнить эти расчеты вручную, просто выполните следующие действия:

  1. Выберите плотность жидкости. Можно принять ρ=1000 кг/м³\rho = 1000\ \text{кг/м}³ρ=1000 кг/м³.

  2. Определить свойства жидкости в начальной точке. Предположим, что жидкость находится под давлением 1000 Па , на высоте 3 метра и течет при 2 метра в секунду .

  3. Выберите два из трех свойств жидкости во второй точке. Можно сказать, что давление увеличилось до 1200 Па без изменения высоты.

  4. Запишите все переменные:

     p1=1000 Pap_1 = 1000\ \text{Па}p1​=1000 Па 92 &= 3,6\\[0,5эм] v_2 &= 1,897\ \text{м/с} \end{align*}1000+20006v22​v2​=1200+500×v22​=2.4+v22​=3.6=1.897 м/с​

     7. Вы нашли новую скорость потока жидкости. Оно равно 1,897 м/с .

     8. Также можно рассчитать изменение давления:

     Δp=p2−p1=1200−1000=200 Па\размер сноски \qquad \начать{выравнивать*} \Дельта p &= p_2 — p_1\\ &= 1200 — 1000 = 200\ \text{Па} \end{align*}Δp​=p2​−p1​=1200−1000=200 Па​

     Расход

     Вы также можете использовать калькулятор уравнения Бернулли, чтобы определить объемный и массовый расход вашей жидкости . Расход показывает, сколько кубических метров (в случае объемного расхода) или сколько килограммов (в случае массового расхода) проходит через одну точку на линии тока в течение одного часа.

     Чтобы рассчитать скорость потока, вам нужно знать площадь поперечного сечения , через которое протекает жидкость. Поскольку вы обычно используете трубы, все, что вам нужно знать, это диаметр такой трубы. Затем можно рассчитать объемный расход по следующей формуле: 92v_2π(d/2)2v1​=π(d/2)2v2​

     Чтобы рассчитать массовый расход ммм, просто умножьте объемный расход на плотность жидкости:

     m=qρ\small m = q\rhom=qρ

     Массовый расход является одной из основных характеристик, указываемых для вентиляторов, турбин и т. д.

     Несжимаемые и сжимаемые жидкости

     Как упоминалось ранее, этот калькулятор уравнения Бернулли можно использовать только для анализа течение несжимаемой жидкости . В реальных приложениях уравнение Бернулли используется для проектирования систем водяных насосов, в которых необходимо контролировать изменение давления на всасывании насоса, чтобы избежать кавитации.

     То, что вы знаете как сжимаемый газ, может стать несжимаемой жидкостью при более низких температурах . Это означает, что жидкость имеет постоянную плотность и не может быть сжата под давлением. Тем не менее, можно разработать аналогичное уравнение для сжимаемых жидкостей. В таком случае влияние изменения высоты не учитывается. Однако в этом случае расход зависит от дополнительной величины – удельной теплоемкости жидкости. Чтобы проверить применение уравнения Бернулли к потоку несжимаемой жидкости, воспользуйтесь нашим калькулятором силы Магнуса. 93}\]

     Итак, как отмечалось выше, это линейное дифференциальное уравнение, которое мы знаем, как решать. Мы подробно остановимся на этом, а затем оставим детали остальных примеров в этом разделе для вас. Если вам нужно освежить в памяти решение линейных дифференциальных уравнений, вернитесь к этому разделу для быстрый обзор.

     Вот решение этого дифференциального уравнения.

     \[v’ — \frac{4}{x}v = — {x^3}\hspace{0,25 дюйма}\,\,\,\, \Rightarrow \hspace{0,25 дюйма}\mu \left( x \ справа) = {{\bf{e}}^{\int{{ — \,\,\frac{4}{x}\,dx}}}} = {{\bf{e}}^{ — 4 \,\,\ln \влево| х \справа|}} = {х^{ — 4}}\] \[\begin{align*}\int{{{{\left({{x^{ — 4}}v} \right)}^\prime}\,dx}} & = \int{{ — {x ^{ — 1}}\,dx}}\\ {x^{ — 4}}v & = — \ln \left| х \ справа | + c\hspace{0. 4}\ln x\end{align*}\]

     Обратите внимание, что мы опустили столбцы абсолютного значения для \(x\) в логарифме из-за предположения, что \(x > 0\).

     Теперь нам нужно определить постоянную интегрирования. Это можно сделать одним из двух способов. Мы можем преобразовать приведенное выше решение в решение в терминах \(y\), а затем использовать исходное начальное условие, или мы можем преобразовать начальное условие в начальное условие в терминах \(v\) и использовать его. Поскольку в конце концов нам все равно придется преобразовать решение в \(y\), и это не добавит столько работы, мы сделаем это таким образом. 94}\left( {1 + 16\ln \frac{x}{2}} \right)}}\]

     Обратите внимание, что мы немного упростили решение. Это поможет найти интервал действия.

     Однако, прежде чем найти интервал достоверности, мы упомянули выше, что можем преобразовать исходное начальное условие в начальное условие для \(v\). Кратко поговорим о том, как это сделать.

     No related posts.