Страница не найдена « Региональный центр развития образования
Вход и регистрация
Планы работы РЦРО
Полезные ссылкиСпутники сайта | Извините, но вы ищете то чего здесь нет. | ГлавноеКонкурс на соискание премии Томской области в сфере образования, науки, здравоохранения и культуры и на звание «Лауреат премии Томской области в сфере образования, науки, здравоохранения и культуры» Версия для слабовидящих АрхивАрхивВыберите месяц Май 2023 (18) Апрель 2023 (90) Март 2023 (88) Февраль 2023 (52) Январь 2023 (52) Декабрь 2022 (82) Ноябрь 2022 (97) Октябрь 2022 (98) Сентябрь 2022 (66) Август 2022 (39) Июль 2022 (33) Июнь 2022 (58) Май 2022 (73) Апрель 2022 (103) Март 2022 (96) Февраль 2022 (63) Январь 2022 (51) Декабрь 2021 (68) Ноябрь 2021 (95) Октябрь 2021 (62) Сентябрь 2021 (92) Август 2021 (48) Июль 2021 (40) Июнь 2021 (54) Май 2021 (64) Апрель 2021 (111) Март 2021 (112) Февраль 2021 (87) Январь 2021 (74) Декабрь 2020 (125) Ноябрь 2020 (133) Октябрь 2020 (130) Сентябрь 2020 (96) Август 2020 (47) Июль 2020 (35) Июнь 2020 (83) Май 2020 (78) Апрель 2020 (86) Март 2020 (118) Февраль 2020 (117) Январь 2020 (77) Декабрь 2019 (115) Ноябрь 2019 (151) Октябрь 2019 (165) Сентябрь 2019 (100) Август 2019 (48) Июль 2019 (20) Июнь 2019 (52) Май 2019 (100) Апрель 2019 (180) Март 2019 (128) Февраль 2019 (118) Январь 2019 (86) Декабрь 2018 (103) Ноябрь 2018 (149) Октябрь 2018 (125) Сентябрь 2018 (78) Август 2018 (65) Июль 2018 (19) Июнь 2018 (57) Май 2018 (106) Апрель 2018 (140) Март 2018 (123) Февраль 2018 (116) Январь 2018 (71) Декабрь 2017 (130) Ноябрь 2017 (121) Октябрь 2017 (109) Сентябрь 2017 (82) Август 2017 (59) Июль 2017 (31) Июнь 2017 (52) Май 2017 (80) Апрель 2017 (112) Март 2017 (112) Февраль 2017 (83) Январь 2017 (76) Декабрь 2016 (96) Ноябрь 2016 (92) Октябрь 2016 (101) Сентябрь 2016 (74) Август 2016 (51) Июль 2016 (25) Июнь 2016 (53) Май 2016 (80) Апрель 2016 (92) Март 2016 (81) Февраль 2016 (60) Январь 2016 (49) Декабрь 2015 (54) Ноябрь 2015 (82) Октябрь 2015 (70) Сентябрь 2015 (72) Август 2015 (24) Июль 2015 (16) Июнь 2015 (60) Май 2015 (56) Апрель 2015 (78) Март 2015 (74) Февраль 2015 (59) Январь 2015 (39) Декабрь 2014 (52) Ноябрь 2014 (48) Октябрь 2014 (76) Сентябрь 2014 (67) Август 2014 (81) Июль 2014 (18) Июнь 2014 (33) Май 2014 (52) Апрель 2014 (67) Март 2014 (68) Февраль 2014 (68) Январь 2014 (35) Декабрь 2013 (45) Ноябрь 2013 (46) Октябрь 2013 (43) Сентябрь 2013 (42) Август 2013 (86) Июль 2013 (10) Июнь 2013 (40) Май 2013 (28) Апрель 2013 (76) Март 2013 (62) Февраль 2013 (47) Январь 2013 (29) Декабрь 2012 (44) Ноябрь 2012 (58) Октябрь 2012 (43) Сентябрь 2012 (53) Август 2012 (89) Июль 2012 (19) Июнь 2012 (19) Май 2012 (47) Апрель 2012 (55) Март 2012 (56) Февраль 2012 (59) Январь 2012 (34) Декабрь 2011 (34) Ноябрь 2011 (47) Октябрь 2011 (50) Сентябрь 2011 (26) Август 2011 (11) Июль 2011 (8) Июнь 2011 (29) Май 2011 (26) Апрель 2011 (57) Март 2011 (100) Февраль 2011 (47) Январь 2011 (42) Декабрь 2010 (25) Ноябрь 2010 (40) Октябрь 2010 (19)
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Методическая разработка урока по математики на тему «Решение системы линейных уравнений методом Крамера» — Информио
ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА
Данная методическая разработка предназначена для проведения учебного занятия по дисциплине «Математика» на тему «Решение систем линейных уравнений методом Крамера» для студентов первого курса по программе учебной дисциплины, разработанной на основе Федерального государственного образовательного стандарта для специальностей среднего профессионального образования.
В результате изучения темы студент должен:
знать:
- решение систем линейных уравнений методом Крамера;
- применение знаний при решении систем линейных уравнений.
уметь:
- решать системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными методом Крамера
- решать системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными методом Крамера
Наблюдается связь истории с математикой, при изучении материала использована задача прикладного характера для будущей практической деятельности, что прививает интерес к предмету. Данная методическая разработка содержит: учебно-методическую карту, ход, где сформулированы цели занятия и последовательность проведения урока, указан список литературы.
При проведении занятия, использованы учебные пособия, технические и наглядные средства обучения
УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКАЯ КАРТА
Дисциплина: Математика
Тема занятия: Решение систем линейных уравнений методом Крамера
Вид занятия (тип урока): Комбинированный
Цели урока:
Дидактическая:
- повторить пройденный материал;
- углубить знания студентов по теме «Решение систем линейных уравнений»;
3) изучить решение систем линейных уравнений c помощью метода Крамера;
4) научиться решать системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными и трех линейных уравнений с тремя неизвестными, используя метод Крамера.
Развивающая:
способствовать развитию:
- логического мышления;
- памяти;
- умению сравнивать, обобщать, анализировать;
- интереса к избранной специальности.
Воспитательная:
стремиться воспитывать:
- чувства ответственности, исполнительности, аккуратности;
- чувство гордости за избранную профессию;
- положительное отношение к знаниям, учениям;
- интерес к математике
Межпредметные связи:
Обеспечивающие: история, русский язык, информатика
Обеспечиваемые: специальные предметы
Обеспечение занятия:
- Наглядные пособия: Приложение (Презентация к уроку), меловые иллюстрации
- Раздаточный материал: карточки.
- Технические средства обучения: калькуляторы, компьютеры, интерактивная доска
ПЛАН УРОКА
1. Организационный момент
Здравствуйте, студенты. Тема урока: «Решение систем линейных уравнений методом Крамера».
Ученый-математик Колмогоров А.Н. говорил: «Без знаний математики нельзя понять ни основ современной техники, ни того, как ученые изучают природные и социальные явления», поэтому математика связана с будущей специальностью. В результате изучения темы научимся решать задачи прикладного характера для профессиональной деятельности.
2. Постановка целей занятия
Цели урока: повторить пройденный материал; углубить знания по теме «Решение систем линейных уравнений»; изучить решение систем линейных уравнений с помощью метода Крамера; научиться решать системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными и трех линейных уравнений с тремя неизвестными, используя метод Крамера.
3. Проверка домашнего задания
4. Проверка знаний
Экспресс — опрос
- Какое уравнение называется линейным?
- Напишите систему m линейных уравнений с n переменными.
- Назовите коэффициенты при переменных.
- Какие числа называются свободными членами?
- Что является решением системы?
- Какие методы решения систем линейных уравнений знаете?
Ответы: Уравнение называется линейным, если оно содержит переменные только в первой степени и не содержит произведений переменных.
5. Изучение нового материала
В школьном курсе рассматриваются способ подстановки и способ сложения. В курсе высшей математике решают методом Крамера, методом Гаусса и с помощью обратной матрицы. Рассмотрим решение систем линейных уравнений методом Крамера
5.1 Знакомство с биографией Крамера
При изучении новой темы «Решение систем линейных уравнений методом Крамера» важное место занимает связь истории с математикой, что прививает интерес к предмету. Познакомимся с биографией Габриэля Крамера.
Сведения из истории
Крамер является одним из создателей линейной алгебры. Одной из самых известных его работ является «Введение в анализ алгебраических кривых», опубликованный на французском языке в 1750 году. В ней Крамер строит систему линейных уравнений и решает её с помощью алгоритма, названного позже его именем – метод Крамера.
Габриэль Крамер родился 31 июля 1704 года в Женеве (Швейцария) в семье врача.
Уже в детстве он опережал своих сверстников в интеллектуальном развитии и демонстрировал завидные способности в области математики.
В 18 лет он успешно защитил диссертацию. Через 2 года Крамер выставил свою кандидатуру на должность преподавателя в Женевском университете. Учёный много путешествовал по Европе, перенимая опыт у знаменитых математиков своего времени – Иоганна Бернулли и Эйлера в Базеле, Галлея и де Муавра в Лондоне и других. Со многими из них он продолжал переписываться всю жизнь.
В 1729 году Крамер возобновляет преподавательскую работу в Женевском университете. В это время он участвует в конкурсе Парижской Академии и занимает второе место. Талантливый учёный написал множество статей на самые разные темы: геометрия, история, математика, философия. В 1730 году он опубликовал труд по небесной механике.
В 1740-е гг. Иоганн Бернулли поручает Крамеру подготовить к печати сборник своих работ. В 1742 году Крамер публикует сборник в 4-х томах. В 1744 году он выпускает посмертный сборник работ Якоба Бернулли (брата Иоганна Бернулли), а также двухтомник переписки Лейбница с Иоганном Бернулли. Эти работы вызвали большой интерес со стороны учёных всего мира.
Габриэль Крамер скончался 4 января 1752 года во Франции
5.2 Решение системы линейных уравнений методом Крамера
Теорема Крамера.
Если определитель системы отличен от нуля, то система линейных уравнений имеет одно единственное решение, причём неизвестное равно отношению определителей. В знаменателе – определитель системы, а в числителе – определитель, полученный из определителя системы путём замены коэффициентов при этом неизвестном свободными членами. Эта теорема имеет место для системы линейных уравнений любого порядка.
Заменяя столбец с коэффициентами соответствующей переменной свободными членами:
6. Закрепление.
6.1 Решение системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными методом Крамера
2) Фирма состоит из двух отделений, суммарная величина прибыли которых в минувшем году составила 12 млн усл. ед. На этот год запланировано увеличение прибыли первого отделения на 70%, второго – на 40%.
В результате суммарная прибыль должна вырасти в 1,5 раза. Какова величина прибыли каждого из отделений: a) в минувшем году; б) в этом году?
Решение. Пусть x и y – прибыли первого и второго отделений в минувшем году.
Тогда условие задачи можно записать в виде системы:
Решив систему, получим x = 4, y = 8.
Ответ: а) прибыль в минувшем году первого отделения — 4 млн усл. ед., второго — 8 усл.ед.:
б) прибыль в этом году первого отделения 1,7. 4 = 6,8 млн усл. ед.,
второго 1,4. 8 = 11,2 млн усл. ед.
При решении системы уравнений могут встретиться три случая:
1) система линейных уравнений имеет единственное решение
(система совместна и определённа)
Условия:
2) система линейных уравнений имеет бесчисленное множество решений
(система совместна и неопределённа)
Условия:
т.е. коэффициенты при неизвестных и свободные члены пропорциональны.
3) система линейных уравнений решений не имеет
(система несовместна)
Условия:
Система называется несовместной, если у неё нет ни одного решения, и совместной, если она имеет хотя бы одно решение.
Совместная система уравнений, имеющая только одно решение, называется определённой, а более одного – неопределённой.
6.2 Решение системы трех линейных уравнений с тремя двумя неизвестными методом Крамера
Ответ: (1; 0; -1) .
Решение. Находим определители системы:
Ответ: (1; 0; -1) .
7. Домашнее задание (слайд № 23)
Решите системы:
8. Подведение итогов
Подведем итоги урока. По результатам работы на уроке выставляются оценки, с последующей демонстрацией успеваемости в виде диаграммы на интерактивной доске.
Урок окончен. Спасибо за внимание. До свидания.
Литература:
Основная
- Григорьев В.П.Дубинский Ю.А Элементы высшей математики. Москва, 2014
- Колягин Ю.М., Луканкин Г.Л., Яковлев Г.Н. Математика. Москва, 2008
Дополнительная
- Богомолов Н.В. Практические занятия по математики. Москва, 2013
Интернет-ресурсы: www.
en.edu.ru
ХОД УРОКА
№п/п | Элементы урока, содержание и последовательность изучаемых вопросов | Формы и методы обучения, контроля | Наглядные пособия, ТСО, дидактический материал | Преподаватель | Студенты | Время 45 мин. |
1. | Организационный момент. Взаимное приветствие. | Проверка отсутствующих, рабочих мест | Интерактивная доска слайд №1 | Приветствует, отмечает в журнале отсутствующих. | Приветствуют | 1 мин |
2. | Постановка целей занятия. | Организация внимания | Интерактивная доска | Ставит цели урока | Слушают | 1 мин |
3. | Проверка домашнего задания | Групповая работа | Интерактивная доска | Контролирует | Дежурный проверяет | 5 мин |
4. | Проверка знаний | Экспресс-опрос | Слайды № 2,3,4 | Задает вопрос, поправляет ответ | Думают, отвечают | 5 мин |
5. | Изучение нового материала | Организация внимания | Интерактивная доска | Объясняет | Слушают, рассуждают, отвечают на вопросы. |
|
5.1 | Знакомство с биографией Крамера | Рассказ материала | Слайды № 5-10 | Рассказывает | Смотрят | 5 мин |
5.2 | Решение системы линейных уравнений методом Крамера | Изучение темы | Слайды № 11-15 | Объясняет | Смотрят, слушают | 10 мин |
6. | Закрепление | Самостоятельная работа | Интерактивная доска | Выдает задания | Думают, решают |
|
6.1 | Решение системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными методом Крамера | Групповая работа | Слайды № 16-19 | Выдает задания, проверяет | Решают | 5 мин |
6.2 | Решение системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными методом Крамера | Самостоятельная работа | Слайды № 20-22 | Контролирует, проверяет | Думают, решают | 10 мин |
7. | Домашнее задание |
| Слайды № 23 | Выдает задания | Пишут | 1 мин |
8. | Подведение итогов. | Анализ работы | Интерактивная доска | Подводит итоги, обобщает | Получают оценки | 2 мин |
Презентация «Решение системы линейных уравнений методом Крамера»
Использование правила Крамера для решения системы двух уравнений с двумя переменными | Колледж Алгебра |
Решение систем с помощью правила Крамера
Вычисление определителя матрицы 2×2
Определитель — это действительное число, которое может быть очень полезно в математике, поскольку имеет множество применений, например, для вычисления площади, объема и других величин. Здесь мы будем использовать определители, чтобы определить, является ли матрица обратимой, используя элементы квадратной матрицы , чтобы определить, существует ли решение системы уравнений. Однако, возможно, одним из наиболее интересных приложений является их использование в криптографии.
Защищенные сигналы или сообщения иногда отправляются закодированными в матрице. Данные могут быть расшифрованы только с помощью обратимой матрицы и определителя. Для наших целей мы сосредоточимся на определителе как признаке обратимости матрицы. Вычисление определителя матрицы включает в себя следование определенным шаблонам, описанным в этом разделе.
Общее примечание. Найдите определитель матрицы 2 × 2
Определитель матрицы
2 × 22\text{ }\times \text{ }22 × 2
матрицы, заданной
A=[abcd]A=\left[\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{массив}\right]A=[acbd]
определяется как
Рисунок 1
Обратите внимание на изменение обозначений. Есть несколько способов указать определитель, в том числе
det(A)\mathrm{det}\left(A\right)det(A)
и заменив скобки в матрице прямыми,
∣A∣|A|∣A∣
.
Пример 1. Нахождение определителя матрицы 2 × 2
Найдите определитель данной матрицы.
A=[52−63]A=\left[\begin{array}{cc}5& 2\\ -6& 3\end{array}\right]A=[5−623]
Решение
det(A)=∣52−63∣=5(3)−(−6)(2)=27\begin{массив}{l}\mathrm{det}\left(A\right)=|\ begin{массив}{cc}5& 2\\ -6& 3\end{массив}|\qquad \\ =5\left(3\right)-\left(-6\right)\left(2\right)\ qquad \\ =27\qquad \end{массив}det(A)=∣5−623∣=5(3)−(−6)(2)=27
Использование правила Крамера для решения системы двух уравнений с двумя переменными
Теперь мы представим последний метод решения систем уравнений, использующий определители. Этот метод, известный как Правило Крамера , восходит к середине 18 века и назван в честь его новатора, швейцарского математика Габриэля Крамера (1704–1752), который представил его в 1750 году во Введении к анализу линий Курба. алгебры. Правило Крамера — жизнеспособный и эффективный метод поиска решений систем с произвольным числом неизвестных при условии, что у нас есть такое же количество уравнений, как и неизвестных.
Правило Крамера даст нам единственное решение системы уравнений, если она существует. Однако, если система не имеет решения или имеет бесконечное число решений, на это будет указывать нулевой определитель. Чтобы выяснить, является ли система противоречивой или зависимой, придется использовать другой метод, такой как исключение.
Чтобы понять правило Крамера, давайте внимательно посмотрим, как мы решаем системы линейных уравнений, используя основные операции со строками. Рассмотрим систему двух уравнений с двумя переменными.
a1x+b1y=c1(1)a2x+b2y=c2(2)\begin{array}{c}{a}_{1}x+{b}_{1}y={c}_{1} \left(1\right)\\ {a}_{2}x+{b}_{2}y={c}_{2}\left(2\right)\end{массив}a1x+b1 y=c1(1)a2x+b2y=c2(2)
Мы исключаем одну переменную, используя операции со строками, и находим другую. Скажем, мы хотим найти
xxx
. Если уравнение (2) умножается на коэффициент, противоположный
yyy
в уравнении (1), уравнение (1) умножается на коэффициент
yyy
в уравнении (2), и мы добавим два уравнения, переменная
yyy
будет исключена.
b_2a_1x+b_2b_1y=b_2c_1Умножить R_1 на b_2−b_1a_2x−b_1b_2y=−b_1c_2Умножить R_2 на −b_2———————-b_2a_1x−b_1a_2x=−b_2c_1−b_1 c_2\begin{matrix} b\text{\textunderscore}{ 2}a\text{\textunderscore}{1}x+b\text{\textunderscore}{2}b\text{\textunderscore}{1}y=b\text{\textunderscore}{2}c\text{ \textunderscore}{1} \qquad& \text{Multiply}R\text{\textunderscore}{1}\text{ by }b\text{\textunderscore}{2} \\-b\text{\textunderscore}{1 }a\text{\textunderscore}{2}xb\text{\textunderscore}{1}b\text{\textunderscore}{2}y=-b\text{\textunderscore}{1}c\text{\textunderscore {2} \qquad& \text{Умножить}R\text{\textunderscore}{2}\text{ на }-b\text{\textunderscore}{2} \\ \text{——— —————} \\ b\text{\textunderscore}{2}a\text{\textunderscore}{1}xb\text{\textunderscore}{1}a\text {\ textunderscore} {2} x = -b \ text {\ textunderscore} {2} c \ text {\ textunderscore} {1} -b \ text {\ textunderscore} {1} c \ text {\ textunderscore} {2 }\end{матрица}b_2a_1x+b_2b_1y=b_2c_1−b_1a_2x−b_1b_2y=−b_1c_2———————-b_2a_1x−b_1a_2x=−b_2c_1−b_1c_2Умножить R_1 на b_2Умножить R_2 на −b_2
Теперь найдите
xxx
.
b2a1x−b1a2x=b2c1−b1c2x(b2a1−b1a2)=b2c1−b1c2 x=b2c1−b1c2b2a1−b1a2=[c1b1c2b2][a1b1a2b2]\begin{array}{l}{b}_{2}{a} _{1}x-{b}_{1}{a}_{2}x={b}_{2}{c}_{1}-{b}_{1}{c}_{2 }\qquad \\ x\left({b}_{2}{a}_{1}-{b}_{1}{a}_{2}\right)={b}_{2}{ c}_{1}-{b}_{1}{c}_{2}\qquad \\ \text{ }x=\frac{{b}_{2}{c}_{1}-{ b}_{1}{c}_{2}}{{b}_{2}{a}_{1}-{b}_{1}{a}_{2}}=\frac{\ слева[\begin{массив}{cc}{c}_{1}& {b}_{1}\\ {c}_{2}& {b}_{2}\end{массив}\right] }{\left[\begin{array}{cc}{a}_{1}& {b}_{1}\\ {a}_{2}& {b}_{2}\end{array} \right]}\qquad \end{массив}b2a1x−b1a2x=b2c1-b1c2x(b2a1-b1a2)=b2c1− b1c2 x=b2a1−b1a2b2c1−b1c2=[a1a2b1b2][c1c2b1b2]
Точно так же, чтобы решить для
yyy
, мы исключим
xxx
.
a_2a_1x+a_2b_1y=a_2c_1Умножить R_1 на a_2−a_1a_2x−a_1b_2y=−a_1c_2Умножить R_2 на −a_1————————a_2b_1y−a_1b_2y=a_2c_1−a_1c _2\begin{matrix} a\text{\textunderscore}{2 } а \ текст {\ textunderscore} {1} х + а \ текст {\ textunderscore} {2} б \ текст {\ textunderscore} {1} у = а \ текст {\ textunderscore} {2} с \ текст {\ textunderscore}{1} \qquad& \text{Multiply}R\text{\textunderscore}{1}\text{ by }a\text{\textunderscore}{2} \\-a\text{\textunderscore}{1} a \ text {\ textunderscore} {2} x-a \ text {\ textunderscore} {1} b \ text {\ textunderscore} {2} y = -a \ text {\ textunderscore} {1} c \ text {\ textunderscore} {2} \qquad& \text{Умножить}R\text{\textunderscore}{2}\text{ на }-a\text{\textunderscore}{1} \\ \text{——— ————-} \\ a\text{\textunderscore}{2}b\text{\textunderscore}{1}ya\text{\textunderscore}{1}b\text{ \textunderscore}{2}y=a\text{\textunderscore}{2}c\text{\textunderscore}{1}-a\text{\textunderscore}{1}c\text{\textunderscore}{2}\ end{matrix}a_2a_1x+a_2b_1y=a_2c_1−a_1a_2x−a_1b_2y=−a_1c_2————————a_2b_1y−a_1b_2y=a_2c_1−a_1c_2Умножить R_1 на a_2Умножить R_2 на −a_1
Решение для
yyy
дает
−a2b1=∣a1c1a2c2∣∣a1b1a2b2∣\begin{массив }{l}{a}_{2}{b}_{1}y-{a}_{1}{b}_{2}y={a}_{2}{c}_{1} -{a}_{1}{c}_{2}\qquad \\ y\left({a}_{2}{b}_{1}-{a}_{1}{b}_{ 2}\right)={a}_{2}{c}_{1}-{a}_{1}{c}_{2}\qquad \\ \text{ }y=\frac{{a }_{2}{c}_{1}-{a}_{1}{c}_{2}}{{a}_{2}{b}_{1}-{a}_{1 }{b}_{2}}=\frac{{a}_{1}{c}_{2}-{a}_{2}{c}_{1}}{{a}_{1 }{b}_{2}-{a}_{2}{b}_{1}}=\frac{|\begin{array}{cc}{a}_{1}& {c}_{ 1}\\ {a}_{2}& {c}_{2}\end{массив}|}{|\begin{массив}{cc}{a}_{1}& {b}_{1 }\\ {a}_{2}& {b}_{2}\end{массив}|}\qquad \end{массив}a2b1y-a1b2y=a2c1-a1 c2y(a2b1−a1b2)=a2c1−a1c2 y=a2b1−a1b2a2c1−a1c2=a1b2 −a2b1a1c2−a2c1=∣a1a2b1b2∣∣a1a2c1c2∣
Обратите внимание, что знаменатель для
xxx
и
yyy
является определителем матрицы коэффициентов.
Мы можем использовать эти формулы для нахождения
xxx
и
yyy
, но правило Крамера также вводит новое обозначение: постоянный столбец и вычисление детерминанты. Тогда мы можем выразить
xxx
и
yyy
как частное двух определителей.
Общее примечание: правило Крамера для систем 2×2
Правило Крамера — это метод, использующий определители для решения систем уравнений, в которых число уравнений равно числу переменных.
Рассмотрим систему двух линейных уравнений с двумя переменными.
a1x+b1y=c1a2x+b2y=c2\begin{array}{c}{a}_{1}x+{b}_{1}y={c}_{1}\\ {a}_{ 2}x+{b}_{2}y={c}_{2}\end{массив}a1x+b1y=c1a2x+b2y=c2
Решение с использованием правила Крамера задается как
x=DxD=∣c1b1c2b2∣∣a1b1a2b2∣,D≠0; y=DyD=∣a1c1a2c2∣∣a1b1a2b2∣,D≠0x=\frac{{D}_{x}}{D}=\frac{|\begin{array}{cc}{c}_{1}& {b}_{1}\\ {c}_{2}& {b}_{2}\end{массив}|}{|\begin{массив}{cc}{a}_{1}& { b}_{1}\\ {a}_{2}& {b}_{2}\end{массив}|},D\ne 0;\text{ }\text{ }y=\frac{{ D}_{y}}{D}=\frac{|\begin{array}{cc}{a}_{1}& {c}_{1}\\ {a}_{2}& {c }_{2}\end{массив}|}{|\begin{массив}{cc}{a}_{1}& {b}_{1}\\ {a}_{2}& {b} _{2}\end{массив}|},D\ne 0x=DDx=∣a1a2b1b2∣∣c1c2b1b2∣,D= 0; y=DDy=∣a1a2b1b2∣∣a1a2c1c2∣,D=0
.
Если мы ищем
xxx
, столбец
xxx
заменяется столбцом констант. Если мы вычисляем
гггг
, столбец
гггг
заменяется столбцом констант.
Пример 2. Использование правила Крамера для решения системы 2 × 2
Решите следующую систему
2 × 22\text{ }\times \text{ }22 × 2
, используя правило Крамера.
12x+3y=15 2x−3y=13\begin{массив}{c}12x+3y=15\\ \text{ }2x — 3y=13\end{массив}12x+3y=15 2x−3y=13
Решение
Найдите
xxx
.
x=DxD=∣15313−3∣∣1232−3∣=−45−39−36−6=−84−42=2x=\frac{{D}_{x}}{D}=\frac {|\begin{массив}{rr}\qquad 15& \qquad 3\\ \qquad 13& \qquad -3\end{массив}|}{|\begin{массив}{rr}\qquad 12& \qquad 3\\ \qquad 2& \qquad -3\end{массив}|}=\frac{-45 — 39}{-36 — 6}=\frac{-84}{-42}=2x=DDx=∣122 3−3∣∣15133−3∣=−36−6−45−39=−42−84=2
Решите для
гггг
.
y=DyD=∣1215213∣∣1232−3∣=156−30−36−6=−12642=−3y=\frac{{D}_{y}}{D}=\frac{|\begin {array}{rr}\qquad 12& \qquad 15\\ \qquad 2& \qquad 13\end{array}|}{|\begin{array}{rr}\qquad 12& \qquad 3\\ \qquad 2& \qquad -3\end{массив}|}=\frac{156 — 30}{-36 — 6}=-\frac{126}{42}=-3y=DDy=∣1223−3∣∣ 1221513∣=−36−6156−30=−42126=−3
Решение:
(2,−3)\left(2,-3\right)(2,−3)
.
Попробуйте 1
Используйте правило Крамера, чтобы решить систему уравнений 2 × 2.
x+2y=−11−2x+y=−13\begin{array}{l}\text{ }x+2y=-11\qquad \\ -2x+y=-13\qquad \end{array } x+2y=−11−2x+y=−13
Решение
Лицензии и атрибуты
Контент с лицензией CC, конкретное авторство
- Precalculus. Автор: : Колледж OpenStax. Предоставлено : OpenStax. Расположен по адресу : https://cnx.org/contents/[email protected]:1/Preface.
Лицензия : CC BY: Атрибуция
Лицензия : CC BY: Атрибуция Предыдущая
Следующая
Системы трех уравнений: решение с использованием матриц и правила Крамера
Определяющий
Есть и другой способ решения систем уравнений с тремя переменными. Он включает в себя величину, называемую определителем.
Каждая матрица размером 90 247 м 90 248 × 90 247 м 90 248 имеет уникальный определитель. Определитель
единый номер. Чтобы найти определитель 2×2 матрица ,
умножьте числа по диагонали вниз и вычтите произведение
числа на восходящей диагонали:
detA = a 1 b 2 — a 2 б 1 .
Например,
| det = 4(6) — (- 1)(- 2) = 24 — 2 = 22 |
Чтобы найти определитель матрицы 3×3, скопируйте первые два
столбцы матрицы справа от исходной матрицы.
Следующий,
умножьте числа на трех нисходящих диагоналях и добавьте эти
продукты вместе. Умножьте числа на восходящих диагоналях, и
добавить эти продуктов вместе. Затем вычтите сумму из
произведения восходящих диагоналей из суммы произведений
диагоналей вниз (отнять второе число от первого
число):
Пример : Найдите определитель:
Решение :
Шаг 1
Этап 2
Этап 3
Этап 4
10 — 80 = -70. detA = — 70.
Правило Крамера
Вспомните общую матрицу 3×4, используемую для решения систем из трех уравнения:
Эта матрица будет использоваться для решения систем по правилу Крамера. Мы разделите его на четыре отдельные матрицы 3×3:
D — матрица коэффициентов 3×3, а D x , D 90 261 y и D z являются результатом замены столбца констант одним из
столбцы коэффициентов в Д .
Правило Крамера гласит:
х =
у =
z =
Таким образом, для решения системы трех уравнений с тремя переменными с использованием Правило Крамера,
- Оформите систему в следующем виде:
a 1 x + b 1 y + c 1 z 902 48 = д 1
a 2 x + b 2 y + c 2 z = d 2
a 3 x + b 3 y + c 3 z = d 3
90 370 - Создать D , D x , D y и D z .
- Найдите detD , detD x , detD y и detD z .
