Отображения. Инъективные и сюръективные отображения
Если указан закон, сопоставляющий каждому элементу множества А единственный элемент множества В, то говорят, что имеется однозначное отображение АВ.
Отображение АВ называется инъективным, если разные элементы множестваA переходят в разные элементы множества B: если а в, то .
Отображение АВ называется сюръективным, если каждый элемент множества В имеет свой прообраз в множестве А.
Если отображение одновременно инъективное и сюръективное, то оно называется биективным.
1. Пусть f: RR задано формулой f(x) = x2-1 (рис.3). Определить, является ли отображение f инъективным, сюръективным, биективным.
Область определения функции – R, область значений функции – [-1;+).
f – отображение.
Найдутся х1, х2R, такие что х1 х2, но: f(x1) = f(x2), например, пусть х1 = 1, х2 = -1, тогда f(x1) = 0 и f(x2) = 0, т.е. х1 х2, а f(x1) = f(x2). Таким образом, это неинъективное отображение.
Так как область значений функции [1;+ ) не совпадает сR, то отображение несюръективно.
2. Пусть f: RR задано формулой f(x) = x4. Является ли отображение инъективным, сюръективным?
Поскольку х1=2R, х2 = -2R, f(2) = f(-2) = 16, т.е. х1 х2, а f(x1
) = f(x2), то отображение неинъективно.Для любого xR не существует f(х), такого что f(х) = -16, так как х4-16, поэтому отображение несюръективно.
3. Пусть отображение f: [0;+)[0;+) задано формулойf(x)=x2. Является ли оно инъективным, сюръективным?
Для любых х1, х2[0;+), х1х2, f(x1)=x12, f(x2)=x22, но f(x1) f(x2), т.е для каждого х существует единственное f(x), следовательно, f(х) — инъективное отображение.
Для каждого значения f(x)[0;+) найдётся х[0;+), поэтомуf(х) — сюръективное отображение.
из 1. и 2. следует, что отображение биективно.
Отношение Г
называют рефлексивным, если aГа
для всех aA.
Отношение Г называют симметричным, если аГbbГа.
Отношение Г называют транзитивным, если аГb, bГааГс.
Если отношение рефлексивно, симметрично, транзитивно, то оно называется отношением эквивалентности.
1. Проверить, является ли D отношением эквивалентности на R, если D={(x;y)| sin x = sin y}.
D – рефлексивно, так как для любого R ()D, т.е. для любого xR имеем sin x = sin x.
D – симметрично, так как для любой пары (,)D имеем ()D, т.е. для любых R из (x,y)D следует, что sin x = sin y, тогда и sin y = sin x, следовательно, (y,x)D.
D – транзитивно, так как для любых а,b,cR из того что ()D и ()D следует, что ()D, т. е. если (x,y)D, то sinx=siny, если (y,z)D, то sin y = sin z, тогда sin x=sin z, следовательно, (x,z) D.
Из 1., 2., 3. следует, что D – отношение эквивалентности на R (где R – множество действительных чисел).
2. Упражнение. Выяснить, является ли отношением эквивалентности, если ху = {(x,y)| x = 3y}.
| 1 | Найти число возможных исходов | 7 выбор 3 | |
| 2 | Найти число возможных исходов | 8 выбор 3 | |
| 3 | Найти число возможных исходов | 5 выбор 2 | |
| 4 | Найти число возможных исходов | 4 выбор 2 | |
| 5 | Найти число возможных исходов | 8 выбор 4 | |
| 6 | Найти число возможных исходов | 10 выбор 3 | |
| 7 | Найти число возможных исходов | 7 выбор 4 | |
| 8 | Найти число возможных исходов | 6 выбор 3 | |
| 9 | Найти число возможных исходов | 9 выбор 3 | |
| 10 | Найти число возможных исходов | 3 выбор 2 | |
| 11 | Найти число возможных исходов | 6 выбор 4 | |
| 12 | Найти число возможных исходов | 5 выбор 4 | |
| 13 | Найти число возможных исходов | 7 перестановка 3 | |
| 14 | Найти число возможных исходов | 7 выбор 2 | |
| 15 | Найти число возможных исходов | 10 выбор 5 | |
| 16 | Найти число возможных исходов | 10 выбор 6 | |
| 17 | Найти число возможных исходов | 13 выбор 5 | |
| 18 | Найти число возможных исходов | 3 выбор 3 | |
| 19 | Найти число возможных исходов | 4 выбор 1 | |
| 20 | Найти число возможных исходов | 4 выбор 4 | |
| 21 | Найти число возможных исходов | 5 выбор 1 | |
| 22 | Найти число возможных исходов | 6 перестановка 3 | |
| 23 | Найти число возможных исходов | 8 выбор 5 | |
| 24 | Найти число возможных исходов | 9 перестановка 4 | |
| 25 | Найти число возможных исходов | 13 выбор 3 | |
| 26 | Найти число возможных исходов | 12 выбор 2 | |
| 27 | Найти число возможных исходов | 12 выбор 4 | |
| 28 | Найти число возможных исходов | 12 выбор 3 | |
| 29 | Найти число возможных исходов | ||
| 30 | Найти число возможных исходов | 9 выбор 2 | |
| 31 | Найти число возможных исходов | 7 выбор 5 | |
| 32 | Найти число возможных исходов | 6 перестановка 6 | |
| 33 | Найти число возможных исходов | 8 перестановка 5 | |
| 34 | Найти число возможных исходов | 8 перестановка 3 | |
| 35 | Найти число возможных исходов | 7 перестановка 5 | |
| 36 | Найти число возможных исходов | 52 выбор 5 | |
| 37 | Найти число возможных исходов | 5 перестановка 3 | |
| 38 | Найти число возможных исходов | 12 выбор 5 | |
| 39 | Найти число возможных исходов | 3 выбор 1 | |
| 40 | Найти число возможных исходов | 11 выбор 5 | |
| 41 | Найти число возможных исходов | 10 выбор 2 | |
| 42 | Найти число возможных исходов | 15 выбор 3 | |
| Найти число возможных исходов | 52 выбор 4 | ||
| 44 | Найти число возможных исходов | 9 выбор 4 | |
| 45 | Найти число возможных исходов | 9 перестановка 3 | |
| 46 | Найти число возможных исходов | 7 перестановка 4 | |
| 47 | Найти число возможных исходов | 7 перестановка 2 | |
| 48 | Найти число возможных исходов | 11 выбор 4 | |
| 49 | Найти число возможных исходов | 11 выбор 2 | |
| 50 | Найти число возможных исходов | 11 выбор 3 | |
| 51 | Найти число возможных исходов | 10 перестановка 5 | |
| 52 | Найти число возможных исходов | 5 выбор 5 | |
| 53 | Найти число возможных исходов | 6 выбор 1 | |
| 54 | Найти число возможных исходов | 8 перестановка 4 | |
| 55 | Найти число возможных исходов | 8 выбор 6 | |
| 56 | Найти число возможных исходов | 13 выбор 4 | |
| 57 | Вычислить | e | |
| 58 | Найти уравнение, перпендикулярное прямой | -7x-5y=7 | |
| 59 | Найти число возможных исходов | 13 выбор 2 | |
| 60 | Найти число возможных исходов | 10 перестановка 2 | |
| 61 | Найти число возможных исходов | 10 перестановка 3 | |
| 62 | Найти число возможных исходов | 10 выбор 7 | |
| 63 | Найти число возможных исходов | 20 выбор 4 | |
| 64 | Найти число возможных исходов | 6 перестановка 4 | |
| 65 | Найти число возможных исходов | 5 перестановка 4 | |
| 66 | Найти число возможных исходов | 6 выбор 5 | |
| 67 | Найти число возможных исходов | 52 выбор 3 | |
| 68 | Найти число возможных исходов | 4 выбор 0 | |
| 69 | Найти число возможных исходов | 9 перестановка 7 | |
| 70 | Найти число возможных исходов | 6 выбор 2 | |
| 71 | Найти число возможных исходов | 5 перестановка 5 | |
| 72 | Найти число возможных исходов | 5 перестановка 2 | |
| 73 | Найти число возможных исходов | 6 выбор 6 | |
| 74 | Найти число возможных исходов | 7 выбор 6 | |
| 75 | Найти число возможных исходов | 8 перестановка 6 | |
| 76 | Найти число возможных исходов | 7 перестановка 7 | |
| 77 | Найти число возможных исходов | 9 перестановка 5 | |
| 78 | Найти число возможных исходов | 2 перестановка 2 | |
| 79 | Найти число возможных исходов | 10 выбор 8 | |
| 80 | Найти число возможных исходов | 12 выбор 7 | |
| 81 | Найти число возможных исходов | 15 выбор 5 | |
| 82 | Найти обратный элемент | [[1,0,1],[2,-2,-1],[3,0,0]] | |
| 83 | Определить область значений | 1/4x-7 | |
| 84 | Найти число возможных исходов | 10 перестановка 7 | |
| 85 | Найти число возможных исходов | 12 выбор 6 | |
| 86 | Найти число возможных исходов | 2 выбор 1 | |
| 87 | Найти число возможных исходов | 30 выбор 3 | |
| 88 | Найти число возможных исходов | 9 выбор 6 | |
| 89 | Найти число возможных исходов | 8 перестановка 2 | |
| 90 | Найти число возможных исходов | 7 выбор 1 | |
| 91 | Найти число возможных исходов | 6 перестановка 2 | |
| 92 | Найти число возможных исходов | 4 перестановка 2 | |
| 93 | Найти число возможных исходов | 4 перестановка 3 | |
| 94 | Найти число возможных исходов | 3 перестановка 3 | |
| 95 | Найти число возможных исходов | 46 выбор 6 | |
| 96 | Найти число возможных исходов | 5 перестановка 1 | |
| 97 | Найти число возможных исходов | 52 выбор 7 | |
| 98 | Найти число возможных исходов | 52 перестановка 5 | |
| 99 | Найти число возможных исходов | 9 выбор 1 | |
| 100 | Найти число возможных исходов | 9 перестановка 6 |
Различия между инъективной функцией и сюръективной функцией
В математике функции широко используются для определения и описания определенных отношений между множествами и другими математическими объектами.
Кроме того, функции можно использовать для наложения математических структур на множества.
Если никакие два компонента домена не указывают на одно и то же значение в совместном домене, функция является инъективной. Функция сюръективна, если каждый элемент в области определения указывает по крайней мере на один элемент в области определения. Если функция обладает как инъективными, так и сюръективными свойствами.
Инъекция A→B сопоставляет A с B, позволяя вам найти копию A внутри B. Сюръекция A→B сопоставляет A с B в том смысле, что изображение охватывает всю ширину B. Sur” – это латинское фраза, означающая «выше» или «выше», например, «избыток» или «обзор».
Инъективные и сюръективные функции
Инъективные функции
Инъективная функция или функция взаимно однозначного соответствия — это функция, которая отображает различные элементы одной области в различные элементы другой области.
Таким образом, рассмотрим f как функцию, область определения которой установлена в A.
Если для всех x и y в A функция называется инъективной.
Предположим, что f(x) = f(y), а затем продемонстрируем, что x = y.
Предположим, что x не равно y, и продемонстрируем, что f(x) не равно f. (Икс).
Субъективные функции
Сюръективная функция (также сюръективная или онто-функция) в математике — это функция f, которая отображает элемент x в каждый элемент y; то есть для любого y существует такой x, что f(x) = y. Другими словами, каждый элемент кодового домена функции является образом хотя бы одного элемента домена функции.
Если каждый элемент кодового домена отображается хотя бы в один элемент домена, кодовый домен является сюръективным или на. Другими словами, каждый элемент кодомена имеет непустой прообраз. Функция сюръективна, если ее образ совпадает с кодовым доменом.
Если диапазон f равен кодовой области f, функция f : A → B сюръективна, или on.RB в каждой функции с диапазоном R и кодовой областью B.
Чтобы продемонстрировать, что данная функция сюръективна, мы должны установить, что Б Р; поэтому R = B будет истинным.
Различия инъективных и сюръективных функций
Инъективные функции | Сюръективные функции | 333 037
Сюръектива — это функция, которая отображает каждый элемент Y в некоторый (т. е. хотя бы один) элемент X. |
Функция является однозначной или инъективной, если она не отображает два разных элемента домена в один и тот же элемент диапазона. |
Два простых качества, которыми могут обладать функции, оказываются чрезвычайно полезными. Если кодовый домен функции также является ее диапазоном, функция является онтогенной или сюръективной. | |
функция f инъективна, если из a1a2 следует f(a1)≠f(a2) |
Если f равно своему диапазону, функция f:A→B сюръективна (на). Альтернативно, для любого bB существует некоторый aA такой, что f(a)=b. Это означает, что для любого y в B существует некоторый x в A, такой что y=f (x). | |
Определить приемистость в заданной области. | Определение сюръективности домена. | |
|
| |
Пример: f:N→N,f(x)=3x является инъективным.
f:N→N,f(x)=x2 инъективно. |
Пример: f:N→N,f(x)=x+2 является сюръективным выражением. f:R→R,f(x)=x2 не является сюръективным, поскольку никакое целое число не имеет отрицательного квадрата. |
Заключение
В этой статье мы делаем вывод, что Injective также известен как «Один-к-одному».
Сюръективный означает, что для каждого «В» есть по крайней мере одно «А», которое ему соответствует, если не больше. У нас не будет двух или более «А», указывающих на одно и то же «В», потому что это инъективно. Сюръективность означает, что для каждого «В» есть по крайней мере одно соответствие «А». (может быть больше одного). Неформально инъекция имеет не более одного входа, отображаемого на каждый выход, сюръекция имеет полный возможный диапазон на выходе, а биекция имеет оба критерия истинны.
Урок 7: Инъективное, Сюръективное, Биективное
Прежде чем мы запаниковаем из-за «страшности» трех слов, которыми назван этот урок, давайте вспомним, что терминологии нечего бояться — все, что она означает, это то, что у нас есть что-то новое учить! Как вы увидите к концу этого урока, эти три слова на самом деле совсем не страшны. У математиков есть забавный способ приписывать очень причудливые слова не очень глубоким идеям, и это один из таких примеров. Поэтому давайте продолжим и просто узнаем, что означают эти слова.
На предыдущем уроке мы узнали о функциях между наборами, что дало нам механизм связи элементов одного набора с элементами другого набора (хотя этот «другой» набор может быть самим набором: например, если , то функция f из A в A такая, что является совершенно хорошей функцией, как и функция g из A в A такая, что Мы помним, что функция является невероятно общим объектом: все, что нужно, это два множества и отношение между ними такой, что в одном из двух наборов есть каждый его элемент связан с ровно одним элементом в другом наборе.
И все. Других требований к функциям не было. В частности, если (напомним, что это читается как «если f — функция из множества A в множество B»), то f может быть таким, что оно отправляет каждый элемент в A в один и тот же элемент в B. Также не было Нет никаких требований к тому, сколько элементов в B должно быть «вызвано» функцией. Функция — это просто правило, которое присваивает каждому элементу A ровно один элемент B, а любое другое свойство, которым обладает функция, — это просто бонус.
Однако универсальность функций имеет свою цену. Цена заключается в том, что очень трудно что-то доказать об общей функции просто потому, что ее общность означает, что у нас очень мало структуры для работы. Таким образом, мы хотим сосредоточиться на определенных видах функций. То есть мы хотим ограничиться рассмотрением функций, обладающих определенными свойствами, чтобы мы могли использовать эти новые свойства для доказательства. На самом деле это очень общий шаблон в математике: мы определяем какой-то очень общий объект (множество, функцию или что-то еще), а затем медленно начинаем «добавлять структуру» к нему, чтобы мы могли что-то доказать. Под «добавлением структуры» я просто подразумеваю, что мы наделяем объект определенными дополнительными свойствами, так что, хотя он и теряет часть своей общности, он приобретает определенную структуру, которая позволяет нам задавать более интересные вопросы о нем.
Итак, какой тип «специальных функций» мы хотим здесь рассмотреть? Давайте рассмотрим, что такое функция, и спросим, какими «наиболее очевидными» свойствами мы хотели бы обладать у некоторых функций.
В оставшейся части этого урока пусть («пусть f будет функцией от множества A до множества B). Во-первых, вспомним, что f может отправить два разных элемента из A в один и тот же элемент из B. Например, если и , то функция, определяемая как , является совершенно хорошей функцией, несмотря на то, что и кошка, и собака отправляются к сыру. Предположим, однако, что f — функция, которая не не обладает этим свойством ни для каких элементов в A. А именно, предположим, что f не переводит никакие два различных элемента в A в один и тот же элемент B. Тогда мы назвали бы эту функцию инъективной . Давайте посмотрим пример.
Пусть A — набор мальчиков, B — набор девочек, и пусть f — функция «школьного танца». А именно, пусть f будет функцией, которая назначает мальчиков из A танцевать с девочками из B. Если бы f была просто какой-то старой функцией, то мог бы быть случай, когда все мальчики танцуют с одной и той же девочкой (конечно, неприятный опыт). ), или может быть так, что пять мальчиков танцуют с одной девочкой, а остальные мальчики танцуют с какой-то другой девочкой (все равно довольно неудобно).
Но предположим, что каждому мальчику было назначено разных девушек, чтобы ни одна девушка не танцевала более чем с одним мальчиком. Тогда эта функция была бы инъективной.
В этом примере становится очевидным одно важное качество инъективных функций, которое важно для нас при строгом определении инъективной функции. Предположим, вы сказали мне, что функция, которая связывает мальчиков с девочками, является инъективной, и предположим, что вы также сказали мне, что «мальчик 1» танцевал с «девочкой 17» и что «мальчик 56» также танцевал с «девочкой 17». Тогда я бы немедленно знаю, что мальчик 1 и мальчик 56 на самом деле являются одним и тем же человеком (один и тот же элемент множества), потому что я знаю, что никакие два разных мальчика не танцуют с одной и той же девушкой (потому что вы сказали мне, что функция инъективна). Таким образом, инъективная функция — это такая функция, что если a — элемент в A, а b — элемент в A, и (f отправляет их к одному и тому же элементу в B), то a=b! Поэтому давайте сделаем это определение:
Определение 7.
1 Пусть будет функция из множества A в множество B. Тогда f равно инъективный если для любых элементов a и b в A следует, что . //
Говоря менее формально, это определение говорит нам, что функция определена как инъективная Если каждый раз, когда два элемента в A передаются одному и тому же элементу в B, они должны фактически быть одними и теми же элементами в A для Начать с!
Давайте теперь еще раз вспомним школьный танец. Даже если функция инъективна, не обязательно у каждой девушки есть мальчик, с которым можно танцевать. А именно, девочек может быть больше, чем мальчиков. В этом случае, даже если только одному мальчику будет поручено танцевать с любой данной девушкой, все равно останутся девочки. Ситуация, конечно, хуже, если нескольким мальчикам разрешается танцевать с одной и той же девушкой (т. е. если функция не инъективна). Но предположим, что — это достаточное количество мальчиков, чтобы у каждой девочки был партнер по танцам.
Это все еще не обязательно означает, что у каждой девочки будет партнер по танцу, потому что мы могли бы, например, назначить всем мальчикам танцевать с одной и той же девочкой (оставив всех остальных без партнеров). Если, однако, мы распределили мальчиков таким образом, что каждая девочка имела партнера по танцу (возможно, более одного), то функция называется сюръективной .
Обратите внимание, что сюръективность ничего не говорит о сколько мальчиков танцует с определенной девочкой, а только то, что с каждой девочкой хотя бы один мальчик танцует с ней. Если бы было 10 мальчиков (обозначенных «мальчик 1», «мальчик 2» и т. д.) и 4 девочки (обозначенных аналогичным образом), то мы могли бы поручить мальчикам 1–7 танцевать с девочкой 1, а затем мальчику 8 танцевать. с девочкой 2, мальчиком 9 с девочкой 3 и мальчиком 10 с девочкой 4. Тогда у каждой девушки есть партнер, несмотря на то, что их у них очень разное количество. Теперь у нас достаточно, чтобы дать следующее определение:
Определение 7.
2 Пусть . Тогда f называется сюръективным , если для каждого элемента b в B существует некоторый элемент a в A такой, что . //
Проще говоря, это просто означает, что мы определяем функцию как сюръективную, если для каждого элемента в ее кодовом домене (помните «кодовой домен» из предыдущего урока?) мы можем найти какой-то элемент в его домене, который будет отправлен к этому. Может случиться так, что в ее области есть несколько различных элементов, которые мы могли бы найти, но пока мы всегда можем найти один, мы называем функцию сюръективной.
Мы заканчиваем этот урок определением, которое мы в конечном итоге изучим намного больше на следующем уроке. Учитывая то, что мы определили до сих пор, на самом деле это очень очевидное определение.
Определение 7.3 Пусть . Тогда f называется биективным , если оно одновременно инъективное и сюръективное. //
Обратите внимание, что это определение имеет смысл.
Другими словами, мы видели, что у нас могут быть функции, которые являются инъективными и не сюръективными (если девочек больше, чем мальчиков), и у нас могут быть функции, которые являются сюръективными, но не инъективными (если мальчиков больше, чем девочек, то мы должны были отправить более одного мальчика хотя бы к одной из девочек). Таким образом, мы дополнительно ограничиваемся рассмотрением биективных функций. То есть класс биективных функций «меньше» класса инъективных функций, а также он меньше класса сюръективных. Более того, класс инъективных функций и класс сюръективных функций меньше, чем класс всех общих функций. Таким образом, мы потеряли некоторую общность, говоря, скажем, об инъективных функциях, но получили возможность описывать более подробную структуру внутри этих функций. Это окажется очень плодотворным в следующих уроках (по мере того, как мы продвигаемся к пониманию того, что существует более одного типа бесконечности).
Упражнения:
1) Определите два ваших любимых множества (числа, предметы домашнего обихода, дети и т.