Решение уравнения с параметром: Ошибка 403 — доступ запрещён

получаем y = 2a + 12 и y = (3 – a)2 + a

получим

2a + 12 = (3 – a)2 + a

2а+ 12 = 6 – 2а + а

3а = -6

а = — 2

:

У = -2 * 2 + 12 = 8

Ответ: у = 8

Рациональные уравнения с параметром

Уравнение, левая и правая части которого являются рациональными выражениями, называются рациональными. Процесс решения заключается в построении алгоритма, позволяющего для любого значения параметра – найти множество корней уравнения.

Пример 1. Решите уравнение

Решение:

Приводим подобные и получаем

Уравнение равносильно системе ;

;

Исследуем на наличие решений:

1) если a =1 , то уравнение системы имеет вид 0x = 0 , с учетом ОДЗ, решением уравнения является любое число, кроме -2

2) если a1 , то получаем ;

Ответ: если a = 1 , то корнем уравнения является любое число, кроме -2; если a1, то x=1.

Мы видим, что при решении рационального уравнения с параметром, используем тот же алгоритм решения уравнения, как если бы вместо параметра было фиксированное число.

Пример 2. При каких значениях параметра a уравнение имеет единственное решение?

Решение:

Уравнение равносильно системе ;

;

1) При любом a уравнение имеет корень . Корень будет единственный, если или не удовлетворяет условию

Ответ: или

Пример 3. Для каждого значения параметра решите уравнение?

Решение:

1) если , то , то

2) если , то , то

3) если ; 1, то

Ответ:если, то если , то если ; 1, то

Примеры для самостоятельного решения:

4. Для каждого параметра решите уравнение:

1) ; 2) ; 3)

5. При каких значениях параметра уравнение имеет единственное решение

1) ; 2) ; 3)

7. Квадратные уравнения с параметрами

Квадратное уравнение

Алгоритм решения уравнений:

Если a = 0, то получается линейное уравнениеbх + c=0.

Если a ≠ 0 и дискриминант уравнения D = b² – 4ac< 0, то уравнение не имеет действительных решений.

Если, a ≠ 0 и D = 0, то уравнение имеет единственное решение х =

Если a ≠ 0 и D > 0, то уравнение имеет два различных корня .

Пример 1. При каких значениях параметра a уравнение имеет единственный корень?

Решение: Уравнение имеет один корень, если его дискриминант равен нулю.

D = – 144

–144 = 0

Ответ: при

Пример 2. При каких значениях параметра b уравнение имеет два корня?

Решение: Уравнение имеет два корня, если его дискриминант больше нулю.

D = 9 – 4b

9 – 4b

– 4b

b

Ответ:Уравнение имеет два корня при b.

Пример 3. Для каждого параметра b решите уравнение:

Ответ: или = 4

Пример 4. При каких значениях параметра a сумма корней уравнения

равна 3?

Решение: По обратной т. Виета =3

+ — 3 = 0, отсюда = 1

Ответ: при = 1

Пример 5. При каких значениях параметра уравнение имеет единственный корень

Решение:

1) если , тогда получаем 15 = 0, решений нет;

2) если ≠ 0, ≠ 4, получаем квадратное уравнение. Уравнение имеет один корень, если дискриминант равен 0.

или Но при уравнение не имеет корней.

Ответ: = 19

Пример 6. При всех значениях параметра a решить уравнение

1) Решим квадратное уравнение по теореме обратной т. Виета, получаемили = 1;

2) уравнение равносильно системе

Исследуем на наличие корней: если а = 1, то ; если а = 7, то если а 1 и а 7, то .

Ответ: если а = 1, то ; если а = 7, то если а 1 и а 7, то .

Пример 7. При каких значениях параметра a уравнение имеет единственный корень?

Решение:

1)приполучаем 1 + 3 — + ;- 6 = 0,

если , то = 1 или , но так как по условию , то .

2) при получаем — + ;- 6 = 0,

если , получаем , = 3 или , но так как по условию , то – один корень;

3)если

ПолучаемD = , отсюда = 3,5.

Ответ: при = 3,5; 3; 4.

Примеры для самостоятельного решения:

Пример 8. При всех значениях параметра a решить уравнение

Пример 9. При каких значениях параметра a

Пример 10. При каких значениях параметра a уравнение имеет единственный корень

Заканчивая курс решения уравнений с параметрами для учащихся 7-8 классов, решим уравнение с модулем.

(ЕГЭ) Найдите все значения

Уравнение имеет ровно 3 корня при а = 1

Ответ: при а = 1

Подведение итога:

После того, как мои выпускники в 10-11 классах в рамках внеурочной деятельности изучали различные методы решения уравнений и неравенств с параметрами и успешно справились с заданием №18 ЕГЭ, то я решила разработать данный курс для учащихся 7-8 класса, чтобы они в дальнейшем не боялись заданий с параметрами, имели о них представления и умели их решать. В курсе 7-8 классов в основном рассматриваются две темы – Линейные уравнения и сводящиеся к ним и Квадратные уравнения и сводящиеся к ним. В дальнейшем я планирую разработать курс и для учащихся 9-х классов и применять в своей практике курс «Параметры» с 7-11 классы.

  Вам также может понравиться:

Конкурсы 169 работ

Всероссийский конкурс детско-юношеского творчества «ОТЕЦ – ЗВУЧИТ ГОРДО! » к Дню защитника Отечества

15 Января – 25 Марта

Конкурсы 1 работа

Международный творческий конкурс к Дню детской книги «КНИЖНАЯ КАРУСЕЛЬ »

01 Марта – 20 Мая

Конкурсы 148 работ

Всероссийский конкурс детско-юношеского творчества к Дню китов «ПУТЕШЕСТВИЕ В МОРСКИЕ ГЛУБИНЫ »

10 Января – 25 Марта

Свидетельство участника экспертной комиссии Оставляйте комментарии к работам коллег
и получите документ БЕСПЛАТНО! Подробнее

• Предыдущая работа
• Следующая работа

Также вас может заинтересовать

• Оценка знаний по математике для 7 класса «Контрольная работа «Функция»» ^{Математика}
• Конспект занятия по математике для 2 класса «Конспект урока по математике «Час. Минута». 2 класс. УМК «Школа России».» ^{Математика}
• Презентации по математике для 6 класса «Презентация к уроку математики в 6 классе «Арифметические действия с обыкновенными дробями (взаимно обратные числа, деление дробей).»» ^{Математика}
• Презентации по математике для «Образовательный проект: Историческое развитие науки о качестве и ее практических приложений. Политико-правовые аспекты развития систем управления качеством.» ^{Математика}
• Уроки по математике для 2 класса «КГУ «Архангельская средняя школа»» ^{Математика}

Решение уравнений с параметром | Творческие проекты и работы учащихся

Руководитель: 

Поликарпова Галина Павловна

Учреждение: 

ГБОУ Лицей №150 г. Санкт-Петербурга

В процессе работы над индивидуальным проектом по математике «Решение уравнений с параметром» учеником 11 класса школы была поставлена и реализована цель, изучить различные способы решения задач с параметрами, решить ряд аналогичных заданий, чтобы подготовиться к решению примеров с параметрами на ЕГЭ.

Подробнее о проекте:

В ученической исследовательской работе по математике «Решение уравнений с параметром» автор рассматривает аналитический и графический метод решения уравнений с параметром, а также метод решения задачи относительно параметра. В работе подробно описаны виды уравнений с параметром и варианты решения уравнений с параметром, а также предложены задания для самостоятельного решения таких примеров.

В готовом творческом и исследовательском проекте по математике «Решение уравнений с параметром» автор анализирует задания с параметром из ЕГЭ прошлых лет, систематизирует все задания по видам, показывает способы решения в общем виде, подбирает по несколько подобных примеров на каждый вид для самостоятельного решения. К концу учебного года 19/20 автор планирует создать методичку для подготовки к решению заданий с параметром из ЕГЭ.

Оглавление

Введение
1. Методы решения заданий с параметром.
1.1. Аналитический метод.
1.2. Графический метод.
1.3. Метод решения относительно параметра.
2. Виды уравнений с параметром.
3. Решение уравнений с параметром.
4. Задания для самостоятельного решения.
Заключение
Литература

Введение

В данной работе описываются основные способы решения одного из заданий ЕГЭ — задания с параметром. Возможность и умение решать задачи с параметрами демонстрируют владение методами решения уравнений и неравенств, осмысленное понимание теоретических сведений. Решение задач с параметрами способствуют формированию логического мышления, помогают в приобретении навыков исследовательской деятельности, стимулируют познавательную деятельность. Решение каждой задачи своеобразно и требует к себе индивидуального, нестандартного подхода, поскольку не существует единого способа решения таких задач.

На ЕГЭ встречаются два типа задач с параметрами. Первый «для каждого значения параметра найти все решения некоторого уравнения или неравенства». Второй «найти все значения параметра, при каждом из которых решения уравнения или неравенства удовлетворяют заданным условиям».

И ответы в задачах этих двух типов различаются по существу. В задачах первого типа ответ выглядит так: перечисляются все возможные значения параметра и для каждого из этих значений записываются решения уравнения. В ответах второго типа задач с параметром перечисляются все значения параметра, при которых выполнены условия задачи.

Противоречие: многие ученики не приступают к решению задания с параметром на ЕГЭ, даже несмотря на то, что оно высоко оценивается.

Проблема: как подготовиться к решению заданий с параметрами из ЕГЭ

Цель проекта: изучение различных способов решения задач с параметрами.

Задачи:

• Проанализировать задания с параметром из ЕГЭ прошлых лет
• Систематизировать все задания по видам
• Показать способы решения в общем виде
• Подобрать по несколько подобных примеров на каждый вид для самостоятельного решения
• к концу учебного года 19/20 создать методичку для подготовки к решению заданий с параметром из ЕГЭ

Данная методическая разработка «Решение уравнений с параметрами» предназначена для учащихся 11-х классов, желающих углубить и расширить свои знания по математике. Для тех, кто готовится к поступлению в высшие учебные заведения.

Актуальность проекта обусловлена тем, что многим ученикам будет гораздо легче подготовиться к ЕГЭ, используя эту разработку.

По данным только около 10% выпускников приступают к решению таких задач, и процент верного решения всего 2–3%, поэтому приобретение навыков решения трудных, нестандартных заданий, в том числе задач с параметрами, учащимися школ по-прежнему остается актуальным.

Продукт проекта: методическая разработка для подготовки к ЕГЭ (задание с параметром).

Этапы работы над проектом:

Текст проекта представлен в формате Word внизу этой страницы!

Заключение

Во время создания данного проекта я взялся за детальное рассмотрение параметра на примерах математических задач. Ведь параметры встречаются гораздо чаще, чем мы себе представляем. Изучение многих процессов и геометрических закономерностей часто приводит к решению задач с параметрами. Включая такое большое количество столкновений, пусть и косвенных, с параметром, я пришел к выводу, что необходимо изучать данную тему более детально. Также, решение уравнений с параметром способствует развитию логического и вариативного мышление человека, что позволит ему улучшить свои знания и умения. В моей работе рассмотрены часто встречающиеся типы уравнений, и я надеюсь, что знания, которые я получил в процессе работы, а также использовал при выполнении данной проектной работы, помогут мне и другим одиннадцатиклассникам при сдаче ЕГЭ. Выполняя данную работу, я ставил цель более глубокого изучения этой темы, выявления наиболее рациональных способов решения. На мой взгляд, графо-аналитический метод является самым удобным и наглядным способом решения уравнений с параметрами, так как при таком решении можно наглядно увидеть все корни и гораздо легче заметить ошибки.

Использованная литература

1. СдамГИА/РешуЕГЭ – образовательный портал для подготовки к экзаменам.
2. ИНФОУРОК – ведущий образовательный портал России.
3. Википедия.
4. Учителя.com — учительский портал
5. А. Шахмейстер «Задачи с параметрами в ЕГЭ» – «Петроглиф», №1 2004 г.
6. Е.А.Ефимов «Задачи с параметром» – Самарский гос. аэрокосмический университет, 2006г.
7. П.И. Горнштейн, В.Б. Полонский, М.С. Якир «Задачи с параметрами» – РИА, 2002г.

Если страница Вам понравилась, поделитесь в социальных сетях:

линейная алгебра — Как найти количество решений системы уравнений с одним параметром, которое нельзя уменьшить?

Задавать вопрос

спросил 5 лет, 11 месяцев назад

Изменено 5 лет, 11 месяцев назад

Просмотрено 1к раз 92 и 0 \\ 0 и 2+к и к \end{bmatrix} $$

Однако я не вижу, как это можно еще уменьшить. Насколько я знаю, мне нужна форма эшелона, чтобы определить, сколько существует решений. Должен ли я просто подключить $k=-2$, чтобы уменьшить его еще больше? Если да, то что можно сказать о количестве решений, если $k \neq =2$?

РЕДАКТИРОВАТЬ: я только начинаю курс линейной математики, поэтому я не могу использовать какие-либо передовые методы (например, определители и т. д.)

• линейная алгебра
92=0$ (т.е. $k= \pm 1$), то то, что у вас выше, равно $$ \begin{bmatrix} 1 & k & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 и 2+к и к \end{bmatrix} \to \begin{bmatrix} 1 & k & 1 \\ 0 и 2+к и к \\ 0 и 0 и 0 \end{bmatrix} $$

Можете взять отсюда в обоих случаях?

$\endgroup$

3

$\begingroup$

Назовем полученную матрицу $A$ и пусть $v = (x,y,z)$. Вы хотите решения для 92)$, это происходит, только если $k$ равно $0, 1$ или $-1$. В любом другом случае $A$ необратима, поэтому $v \to A \cdot v$ не инъективна и, следовательно, существуют $v, w$ такие, что

$$ A\cdot v = A\cdot w \iff A\cdot (v -w) = \vec{0} $$

и любое скалярное умножение $(v-w)$ также является решением. Таким образом, в очень общем анализе система не имеет ненулевых решений при $k = 0,1,-1$ и бесконечного количества решений при любом другом значении $k$.

$\endgroup$

92 — I) = 0$

Где $A$ — ваша системная матрица.

$\endgroup$

Параметрическая форма

Цели

1. Научитесь выражать множество решений системы линейных уравнений в параметрической форме.
2. Понять три возможных числа решений системы линейных уравнений.
3. Рецепт: параметрическая форма.
4. Словарное слово: свободная переменная .

Существует одна возможность для сокращенной по строкам формы матрицы, которую мы не видели в разделе 1. 2.

Пример (Система со свободной переменной)

Рассмотрим линейную систему

E2x+y+12z=1x+2y+9z=-1.

Решаем с помощью редукции строк:

C21121129-1DR1 ←→R2—-→C129-121121D(необязательно)R2=R2-2R1——→C129-10-3-63D(шаг 1c)R2=R2÷-3—— →C129-1012-1D(Шаг 2b)R1=R1-2R2——→C1051012-1D(Шаг2c)

Эта сокращенная по строкам матрица соответствует линейной системе

Ex+5z=1y+2z=-1.

В каком смысле система решена? Переписываем как

Ex=1−5zy=−1−2z.

Для любого значения z существует ровно одно значение x и y, при котором уравнения верны. Но мы можем выбрать любое значение z.

Мы нашли все решения: это множество всех значений x,y,z, где

Fx=1−5zy=−1−2zz=zzлюбое реальное число.

Это называется параметрической формой для решения линейной системы. Переменная z называется свободная переменная .

Figure2A изображение набора решений (желтая линия) линейной системы в этом примере. Существует единственное решение для каждого значения z; переместите ползунок, чтобы изменить z.

Учитывая параметрическую форму решения линейной системы, мы можем получить конкретные решения, заменив свободные переменные любыми конкретными действительными числами. Например, установка z=0 в последнем примере дает решение (x,y,z)=(1,−1,0), а установка z=1 дает решение (x,y,z)=(−4 ,−3,1).

Определение

Рассмотрим непротиворечивую систему уравнений от переменных x1,x2,…,xn. Пусть A — ступенчатая форма расширенной матрицы для этой системы.

Мы говорим, что xi является свободной переменной , если соответствующий столбец в A не является сводным столбцом.

В приведенном выше примере переменная z была свободна, потому что уменьшенная матрица формы эшелона строк была

C1051012-1D.

В матрице

C1A0AA001AAD,

свободные переменные x2 и x4. (Дополненный столбец не свободен, поскольку он не соответствует переменной. )

Рецепт: Параметрическая форма

Параметрическая форма системы решений согласованной системы линейных уравнений получается следующим образом.

1. Запишите систему в виде расширенной матрицы.
2. Уменьшение строки до уменьшенной ступенчатой ​​формы строки.
3. Запишите соответствующую (решенную) систему линейных уравнений.
4. Переместите все свободные переменные в правую часть уравнений.

Перемещение свободных переменных в правую часть уравнений равнозначно решению для несвободных переменных (тех, которые входят в опорные столбцы) в терминах свободных переменных. Можно думать о свободных переменных как о независимых переменных, а несвободные переменные являются зависимыми .

Вы можете выбрать любое значение для свободных переменных в (непротиворечивой) линейной системе.

Свободные переменные происходят из столбцов без точек опоры в матрице в форме эшелона строк.

Пример

Пример (параметризованная плоскость)

Имеются три возможности для сокращенной ступенчатой ​​формы расширенной матрицы линейной системы.

1. Последний столбец является сводным столбцом. В этом случае система несовместима . Решений нет, т. е. множество решений пусто. Например, матрица А100010001Б получается из линейной системы без решений.
2. Каждый столбец, кроме последнего, является сводным столбцом. В этом случае система имеет уникальное решение. Например, матрица A100a010b001cB говорит нам, что единственным решением является (x,y,z)=(a,b,c).
3. Последний столбец не является сводным столбцом, и некоторые другие столбцы также не являются сводными столбцами. В этом случае система имеет бесконечно много решений, соответствующих бесконечному множеству возможных значений свободных переменных. Например, в системе, соответствующей матрице С1-20310014-1Д, любые значения x2 и x4 дают решение системы уравнений.

   No related posts.