Решение x 2: Решите уравнение x^2=-2 (х в квадрате равно минус 2)

Содержание

заказ решений на аукционе за минимальную цену с максимальным качеством

Предлагаю идею сайта-аукциона по выполнению домашних заданий. Он будет включать:

  • решение задач по математике (сейчас доступен решебник Филиппова), физике, химии, экономике
  • написание лабораторных, рефератов и курсовых
  • выполнение заданий по литературе, русскому или иностранному языку.

Основное отличие от большинства сайтов, предлагающих выполнение работ на заказ – сайт рассчитан на две категории пользователей: заказчиков и решающих задания. Причем, по желанию (чтобы заработать, увеличить свой рейтинг, получить решение сложной задачи) пользователи могут играть любую из этих ролей.

Объединение сервисов в одну систему

Основой для идеи послужили несколько работающих систем, объединение которых позволит сделать сервис для решения задач на заказ. Эти системы:

  • Форум, где посетители обмениваются идеями и помогают друг другу
  • Система bugtracking, где обнаруженные проблемы проходят путь от публикации до принятия в исполнение и решения
  • Аукцион
    , где цена за товар или услугу определяется в результате торгов
  • Система рейтингов, где участники могут оценивать ответы друг друга. Причем, чем больше рейтинг пользователя, тем более значимым становится его голос

Принцип работы

Для удобства и проведения аналогий с реальной жизнью назовем заказчиков студентами, а решающих задания – репетиторами.

Итак, студенту необходимо решить несколько задач. Он заходит на сайт, выбирает раздел с соответствующей дисциплиной и создает новую тему (аналогия с форумом). Но при создании темы он также указывает стартовую (максимальную) цену, которую он готов заплатить за решение задач и крайний срок исполнения задания. Можно будет назначить и нулевую цену – если студенту нужно только бесплатное решение.

Как только тема создана, все пожелавшие подписаться на раздел репетиторы получают уведомление. Причем, условие получения уведомлений можно настроить. Например, уведомлять только о заказах со стартовой ценой более 500 р. и сроком решения не менее недели

.

Заинтересовавшиеся репетиторы делают ставки. Причем студент (автор темы) видит ставки и может посмотреть информацию по каждому репетитору (его решения, рейтинг, дату начала участия в проекте). Когда студент посчитает нужным, он может остановить аукцион и назначить задание одному из репетиторов, сделавшему ставку (не обязательно самую низкую, т.к. можно учитывать и другие факторы – см. выше).

Деньги блокируются на счете студента, и репетитор начинает решать задание. Он должен представить его к сроку, заданному изначально. Выполненное решение публикуется в свободном доступе и его может оценить как заказчик, так и другие репетиторы. На этих оценках и строится рейтинг. Если к решению нет претензий – деньги окончательно переводятся со счета студента на счет репетитора.

За счет чего будет развиваться сервис

Первое – положительная обратная связь. Чем больше условий задач и решений будет опубликовано на сайте, тем чаще его будут находить пользователи через поисковики, будет больше ссылок на готовые решения. Именно поэтому важно размещать решенные задачи в свободном доступе. Знаю это по опыту своего сайта exir.ru (ex irodov.nm.ru) – большая ссылочная база получена исключительно за счет благодарных пользователей.

Второе – удобный сервис для заказчиков и для желающих заработать на решениях.

Преимущества для заказчиков

Студентам и школьникам не нужно перебирать десятки сайтов для сравнения цен, а потом надеяться, что после оплаты они получат качественное решение (и, вообще, все не закончится перечислением денег). Заказчики создают аукцион на понижение цены и могут смотреть на рейтинги желающих решить задачи и ранее выполненные ими решения. Кроме того, деньги окончательно перечисляются исполнителю только после полного решения.

Преимущества для решающих задания

Не нужно создавать и продвигать свой сайт, размещать множество объявлений во всех доступных источниках информации. Заказчики сами придут к вам. Не нужно решать все присланные задания с целью поддержания репутации – можно выбирать те, которые будут интересны по уровню сложности, цене и срокам решения.

Преимущества для владельца сервиса

Если вы не понимаете, какую выгоду получит делающий вам какое-нибудь предложение – будьте осторожны! 🙂 У меня уже есть большой опыт работы с сайтом, предоставляющим бесплатные решения по физике. И вариант с получением прибыли от размещения рекламы подходит и для нового сервиса. Кроме того, мне нравится помогать людям и довольно тяжело смотреть, как множество вопросов по задачам остаются на форуме без ответа. Предложенный аукцион решений сможет значительно сократить число вопросов без ответов.

В будущем возможен вариант и с получением некоторого небольшого процента от оплаты заказов. Но процент этот должен быть минимален и на начальном этапе он взиматься точно не будет.

Что необходимо для создания сервиса

  1. Самым важное сейчас – собрать команду, готовую принять участие в выполнении заданий. Если покупатели заходят в пустой магазин – они надолго забывают в него дорогу.

    Поэтому я собираю предварительные заявки от посетителей, готовых заниматься решениями. Не нужно подписания никаких договоров о намерениях. Просто сообщите, на какие темы вы готовы решать задания, какой у вас опыт подобной работы (e-mail: [email protected]). Когда сервис заработает – я пришлю приглашение на регистрацию.

  2. Выбрать платежную систему.
  3. Сделать подходящий движок для сайта. Нужно решить – создавать его с нуля или изменить какой-нибудь существующий движок (например, форумный) с открытой лицензией.
  4. Привлечь посетителей. Учитывая посещаемость exir.ru и число публикуемых на форуме вопросов, думаю, это не будет большой проблемой.

Уравнения и задачи на подбор параметра в Excel

Часто нам нужно предварительно спрогнозировать, какие будут результаты вычислений при определенных входящих параметрах. Например, если получить кредит на закупку товара в банке с более низкой процентной ставкой, а цену товара немного повысить – существенно ли возрастет прибыль при таких условиях?

При разных поставленных подобных задачах, результаты вычислений могут завесить от одного или нескольких изменяемых условий. В зависимости от типа прогноза в Excel следует использовать соответствующий инструмент для анализа данных.

Подбор параметра и решение уравнений в Excel

Данный инструмент следует применять для анализа данных с одним неизвестным (или изменяемым) условием. Например:

2x+1=7

  • y=7 является функцией x;
  • нам известно значение y, следует узнать при каком значении x мы получим y вычисляемый формулой.

Решим данную задачу встроенными вычислительными инструментами Excel для анализа данных:

  1. Заполните ячейки листа, так как показано на рисунке:
  2. Перейдите в ячейку B2 и выберите инструмент, где находится подбор параметра в Excel: «Данные»-«Работа с данными»-«Анализ что если»-«Подбор параметра».
  3. В появившемся окне заполните поля значениями как показано на рисунке, и нажмите ОК:

В результате мы получили правильное значение 3.

Получили максимально точный результат: 2*3+1=7



Второй пример использования подбора параметра для уравнений

Немного усложним задачу. На этот раз формула выглядит следующим образом:

x2=4

Решение:

  1. Заполните ячейку B2 формулой как показано на рисунке:
  2. Выберите встроенный инструмент: «Данные»-«Работа с данными»-«Анализ что если»-«Подбор параметра» и снова заполните его параметрами как на рисунке (в этот раз значение 4):
  3. Сравните 2 результата вычисления:

Обратите внимание! В первом примере мы получили максимально точный результат, а во втором – максимально приближенный.

Это простые примеры быстрого поиска решений формул с помощью Excel. Сегодня каждый школьник знает, как найти значение x. Например:

x=(7-1)/2

Excel в своих алгоритмах инструментов анализа данных использует более простой метод – подстановки. Он подставляет вместо x разные значения и анализирует, насколько результат вычислений отклоняется от условий указанных в параметрах инструмента. Как только будет, достигнут результат вычисления с максимальной точностью, процесс подстановки прекращается.

По умолчанию инструмент выполняет 100 повторений (итераций) с точностью 0.001. Если нужно увеличить количество повторений или повысить точность вычисления измените настройки: «Файл»-«Параметры»-«Формулы»-«Параметры вычислений»:

Таким образом, если нас не устраивает результат вычислений, можно:

  1. Увеличить в настройках параметр предельного числа итераций.
  2. Изменить относительную погрешность.
  3. В ячейке переменной (как во втором примере, A3) ввести приблизительное значение для быстрого поиска решения. Если же ячейка будет пуста, то Excel начнет с любого числа (рандомно).

Используя эти способы настроек можно существенно облегчить и ускорить процесс поиска максимально точного решения.

О подборе нескольких параметров в Excel узнаем из примеров следующего урока.

Решение уравнений четвертой степени

Для уравнений четвертой степени применимы все те общие схемы решения уравнений высших степеней, что мы разбирали в предыдущем материале. Однако существует ряд нюансов в решении двучленных, биквадратных и возвратных уравнений, на которых мы хотели бы остановиться подробнее.

Также в статье мы разберем искусственный метод разложения многочлена на множители, решение в радикалах и метод Феррари, который используется для того, чтобы свести решение уравнения четвертой степени к кубическому уравнению.

Решение двучленного уравнения четвертой степени

Это простейший тип уравнений четвертой степени. Запись уравнения имеет вид Ax4+B=0.

Определение 1

Для решения этого типа уравнений применяются формулы сокращенного умножения:

Ax4+B=0x4+BA=0x4+2BAx2+BA-2BAx2=0x2+BA2-2BAx2=0x2-2BA4x+BAx2+2BA4x+BA=0

Остается лишь найти корни квадратных трехчленов.

Пример 1

Решить уравнение четвертой степени 4x4+1=0.

Решение

Для начала проведем разложение многочлена 4x4+1 на множители:

4x4+1=4x4+4x2+1=(2x2+1)2-4x2=2x2-2x+1(2x2+2x+1)

Теперь найдем корни квадратных трехчленов.

Первого:

2x2-2x+1=0D=(-2)2-4·2·1=-4x1=2+D2·2=12+ix2=2-D2·2=12-i

Второго:

2x2+2x+1=0D=22-4·2·1=-4x3=-2+D2·2=-12+ix4=-2-D2·2=-12-i

Мы получили четыре комплексных корня.

Ответ: x=12±i и x=-12±i.

Решение возвратного уравнения четвертой степени

Определение 2

Возвратные уравнения четвертого порядка имеют вид Ax4+Bx3+Cx2+Bx+A=0

х=0 не является корнем этого уравнения: A·04+B·03+C·02+B·0+A=A≠0. Поэтому на x2 можно смело разделить обе части этого уравнения:

Ax4+Bx3+Cx2+Bx+A=0Ax2+Bx+C+Bx+Ax2=0Ax2+Ax2+Bx+Bx+C=0Ax2+1x2+Bx+1x+C=0

Проведем замену переменных x+1x=y⇒x+1x2=y2⇒x2+1x2=y2-2:

Ax2+1x2+Bx+1x+C=0A(y2-2)+By+C=0Ay2+By+C-2A=0

Так мы проведи сведение возвратного уравнения четвертой степени к квадратному уравнению.

Пример 2

Найти все комплексные корни уравнения 2x4+23+2x3+4+6x2+23+2x+2=0.

Решение

Симметрия коэффициентов подсказывает нам, что мы имеем дело с возвратным уравнением четвертой степени. Проведем деление обеих частей на x2:

2x2+23+2x+4+6+23+2x+2x2=0

Проведем группировку:

2x2+2x2+23+2x+23+2x+4+6+=02x2+1x2+23+2x+1x+4+6=0

Проведем замену переменной x+1x=y⇒x+1x2=y2⇒x2+1x2=y2-2

2x2+1x2+23+2x+1x+4+6=02y2-2+23+2y+4+6=02y2+23+2y+6=0

Решим полученное квадратное уравнение:

D=23+22-4·2·6=12+46+2-86==12-46+2=23-22y1=-23-2+D2·2=-23-2+23-24=-22y2=-23-2-D2·2=-23-2-23+24=-3

Вернемся к замене: x+1x=-22, x+1x=-3.

Решим первое уравнение:

x+1x=-22⇒2x2+2x+2=0D=22-4·2·2=-14x1=-2-D2·2=-24+i·144x2=-2-D2·2=-24-i·144

Решим второе уравнение:

x+1x=-3⇒x2+3x+1=0D=32-4·1·1=-1x3=-3+D2=-32+i·12x4=-3-D2=-32-i·12

Ответ: x=-24±i·144 и x=-32±i·12.

Решение биквадратного уравнения

Биквадратные уравнения четвертой степени имеют вид Ax4+Bx2+C=0. Мы можем свести такое уравнение к квадратному Ay2+By+C=0 путем замены y=x2. Это стандартный прием.

Пример 3

Решить биквадратное уравнение 2x4+5x2-3=0.

Решение

Выполним замену переменной y=x2, что позволит нам свести исходное уравнение к квадратному:

2y2+5y-3=0D=52-4·2·(-3)=49y1=-5+D2·2=-5+74=12y2=-5-D2·2=-5-74=-3

Следовательно, x2=12 или x2=-3.

Первое равенство позволяет нам получить корень x=±12. Второе равенство не имеет действительных корней, зато имеет комплексно сопряженных корней x=±i·3.

Ответ: x=±12 и x=±i·3.

Нужна помощь преподавателя?

Опиши задание — и наши эксперты тебе помогут!

Описать задание Пример 4

Найти все комплексные корни биквадратного уравнения 16x4+145x2+9=0.

Решение

Используем метод замены y=x2 для того, чтобы свести исходное биквадратное уравнение к квадратному:

16y2+145y+9=0D=1452-4·16·9=20449y1=-145+D2·16=-145+14332=-116y2=-145-D2·16=-145-14332=-9

Поэтому, в силу замены переменной, x2=-116 или x2=-9.

Ответ: x1, 2=±14·i, x3, 4=±3·i.

Решение уравнений четвертой степени с рациональными корнями

Алгоритм нахождения рациональных корней уравнения четвертой степени приведен в материале «Решение уравнений высших степеней».

Решение уравнений четвертой степени по методу Феррари

Уравнения четвертой степени вида x4+Ax3+Bx2+Cx+D=0 в общем случае можно решить с применением метода Феррари. Для этого необходимо найти y0. Это любой из корней кубического уравнения y3-By2+AC-4Dy-A2D+4BD-C2=0. После этого необходимо решить два квадратных уравнения x2+A2x+y02+A24-B+y0x2+A2y0-Cx+y024-D=0, у которых подкоренное выражение является полным квадратом.

Корни, полученные в ходе вычислений, будут корнями исходного уравнения четвертой степени.

Пример 5

Найти корни уравнения x4+3x3+3x2-x-6=0.

Решение

Имеем А=3, В=3, С=-1, D=-6. Применим метод Феррари для решения данного уравнения.

Составим и решим кубическое уравнение:
y3-By2+AC-4Dy-A2D+4BD-C2=0y3-3y2+21y-19=0

Одним из корней кубического уравнения будет y0=1, так как 13-3·12+21·1-19=0.

Запишем два квадратных уравнения:
x2+A2x+y02±A24-B+y0x2+A2y0-Cx+y024-D=0x2+32x+12±14x2+52x+254=0x2+32x+12±12x+522=0

x2+32x+12+12x+52=0 или x2+32x+12-12x-52=0

x2+2x+3=0 или x2+x-2=0

Корнями первого уравнения будут x=-1±i·2, корнями второго х=1 и х=-2.

Ответ: x1,2=-1±i2, x3=1, x4=-2.

Различные методы решения уравнений

I. Линейные уравнения

II. Квадратные уравнения

ax2 + bx + c = 0,  a ≠ 0, иначе уравнение становится линейным

Корни квадратного уравнения можно вычислять различными способами, например:

Мы хорошо умеем решать квадратные уравнения. Многие уравнения более высоких степеней можно привести к квадратным.

III. Уравнения, приводимые к квадратным.

замена переменной: а) биквадратное уравнение ax2n + bxn + c = 0, a ≠ 0, n ≥ 2  

2) симметрическое уравнение 3 степени – уравнение вида

3) симметрическое уравнение 4 степени – уравнение вида

ax4 + bx3 + cx2 + bx + a =  0, a ≠ 0, коэффициенты  a b c b a или

ax4 + bx3 + cx2  – bx + a =  0, a ≠ 0, коэффициенты a b c (–b) a 

Т.к. x = 0 не является корнем уравнения, то возможно деление обеих частей уравнения на x2, тогда получаем: .

Произведя замену решаем квадратное уравнение a(t2 – 2) + bt + c = 0

Например, решим уравнение x4 –  2x3x2 – 2x + 1 = 0, делим обе части на x2,

, после замены получаем уравнение t2 – 2t – 3 = 0

– уравнение не имеет корней.

Ответ:

4) Уравнение вида (x – a)(x – b)(x – c)(x – d) = Ax2, коэффициенты ab = cd

Например, (x + 2)(x +3)(x + 8)(x + 12) = 4x2. Перемножив 1–4 и 2–3 скобки, получим (x2 + 14x + 24)(x2 +11x + 24) = 4x2, разделим обе части уравнения на x2, получим:

имеем  (t + 14)(t + 11 ) = 4.

5) Однородное уравнение 2 степени – уравнение вида Р(х,у) = 0, где Р(х,у) – многочлен, каждое слагаемое которого имеет степень 2.

Ответ: -2; -0,5; 0

IV. Все приведенные уравнения узнаваемы и типичны, а как быть с уравнениями произвольного вида?

Пусть дан многочлен Pn(x) = anxn + an-1xn-1 + ...+a1x + a0 , где an≠ 0

Рассмотрим метод понижения степени уравнения.

Известно, что, если коэффициенты a являются целыми числами и an = 1 , то целые корни уравнения Pn(x) = 0 находятся среди делителей свободного члена a0. Например, x4 + 2x3 – 2x2 – 6x + 5 = 0, делителями числа 5 являются числа 5; –5; 1; –1. Тогда P4(1) = 0, т.е. x = 1 является корнем уравнения. Понизим степень уравнения P4(x) = 0 с помощью деления “уголком” многочлена на множитель х –1, получаем

P4(x) = (x – 1)(x3 + 3x2 + x – 5).

Аналогично, P3(1) = 0, тогда P4(x) = (x – 1)(x – 1)(x2 + 4x +5), т.е. уравнение P4(x) = 0 имеет корни x1 = x2 = 1. Покажем более короткое решение этого уравнения (с помощью схемы Горнера).

  1 2 –2 –6 5
1 1 3 1 –5 0
1 1 4 5 0  

 

значит, x1 = 1 значит, x2 = 1.

Итак, (x – 1)2(x2 + 4x + 5) = 0

Что мы делали? Понижали степень уравнения.

V. Рассмотрим симметрические уравнения 3 и 5 степени.

а) ax3 + bx2 + bx + a = 0, очевидно, x = –1 корень уравнения, далее понижаем степень уравнения до двух.

б) ax5 + bx4 + cx3 + cx2 + bx + a = 0, очевидно, x = –1 корень уравнения, далее понижаем степень уравнения до двух.

Например, покажем решение уравнения 2x5 + 3x4 – 5x3 – 5x2 + 3x + = 0

  2 3 –5 –5 3 2
–1 2 1 –6 1 2 0
1 2 3 –3 –2 0  
1 2 5 2 0    

 

 x = –1

 x = 1

 x = 1

Получаем (x – 1)2(x + 1)(2x2 + 5x + 2) = 0. {2}}-4\cdot \left( -8 \right)}{4}=-\frac{4+32}{4}=-9\)

Точно такой же ответ? Молодец!

И вот мы знаем уже координаты вершины, а для построения параболы нам нужно еще … точек. Как ты думаешь, сколько минимум точек нам необходимо? Правильно, \( \displaystyle 3\).

Ты знаешь, что парабола симметрична относительно своей вершины, например:

Процессор Intel® Core™2 Quad Q6600

Дата выпуска

Дата выпуска продукта.

Литография

Литография указывает на полупроводниковую технологию, используемую для производства интегрированных наборов микросхем и отчет показывается в нанометре (нм), что указывает на размер функций, встроенных в полупроводник.

Количество ядер

Количество ядер - это термин аппаратного обеспечения, описывающий число независимых центральных модулей обработки в одном вычислительном компоненте (кристалл).

Базовая тактовая частота процессора

Базовая частота процессора — это скорость открытия/закрытия транзисторов процессора. Базовая частота процессора является рабочей точкой, где задается расчетная мощность (TDP). Частота измеряется в гигагерцах (ГГц) или миллиардах вычислительных циклов в секунду.

Кэш-память

Кэш-память процессора - это область быстродействующей памяти, расположенная в процессоре. Интеллектуальная кэш-память Intel® Smart Cache указывает на архитектуру, которая позволяет всем ядрам совместно динамически использовать доступ к кэшу последнего уровня.

Частота системной шины

Шина — это подсистема, передающая данные между компонентами компьютера или между компьютерами. В качестве примера можно назвать системную шину (FSB), по которой происходит обмен данными между процессором и блоком контроллеров памяти; интерфейс DMI, который представляет собой соединение "точка-точка" между встроенным контроллером памяти Intel и блоком контроллеров ввода/вывода Intel на системной плате; и интерфейс Quick Path Interconnect (QPI), соединяющий процессор и интегрированный контроллер памяти.

Четность системной шины

Четность системной шины обеспечивает возможность проверки ошибок в данных, отправленных в FSB (системная шина).

Расчетная мощность

Расчетная тепловая мощность (TDP) указывает на среднее значение производительности в ваттах, когда мощность процессора рассеивается (при работе с базовой частотой, когда все ядра задействованы) в условиях сложной нагрузки, определенной Intel. Ознакомьтесь с требованиями к системам терморегуляции, представленными в техническом описании.

Диапазон напряжения VID

Диапазон напряжения VID является индикатором значений минимального и максимального напряжения, на которых процессор должен работать. Процессор обеспечивает взаимодействие VID с VRM (Voltage Regulator Module), что, в свою очередь обеспечивает, правильный уровень напряжения для процессора.

Доступные варианты для встраиваемых систем

Доступные варианты для встраиваемых систем указывают на продукты, обеспечивающие продленную возможность приобретения для интеллектуальных систем и встроенных решений. Спецификация продукции и условия использования представлены в отчете Production Release Qualification (PRQ). Обратитесь к представителю Intel для получения подробной информации.

Поиск продукции с Доступные варианты для встраиваемых систем

Поддерживаемые разъемы

Разъемом называется компонент, которые обеспечивает механические и электрические соединения между процессором и материнской платой.

T

CASE

Критическая температура - это максимальная температура, допустимая в интегрированном теплораспределителе (IHS) процессора.

Технология Intel® Turbo Boost

Технология Intel® Turbo Boost динамически увеличивает частоту процессора до необходимого уровня, используя разницу между номинальным и максимальным значениями параметров температуры и энергопотребления, что позволяет увеличить эффективность энергопотребления или при необходимости «разогнать» процессор.

Технология Intel® Hyper-Threading

Intel® Hyper-Threading Technology (Intel® HT Technology) обеспечивает два потока обработки для каждого физического ядра. Многопоточные приложения могут выполнять больше задач параллельно, что значительно ускоряет выполнение работы.

Поиск продукции с Технология Intel® Hyper-Threading

Технология виртуализации Intel® (VT-x)

Технология Intel® Virtualization для направленного ввода/вывода (VT-x) позволяет одной аппаратной платформе функционировать в качестве нескольких «виртуальных» платформ. Технология улучшает возможности управления, снижая время простоев и поддерживая продуктивность работы за счет выделения отдельных разделов для вычислительных операций.

Поиск продукции с Технология виртуализации Intel® (VT-x)

Архитектура Intel® 64

Архитектура Intel® 64 в сочетании с соответствующим программным обеспечением поддерживает работу 64-разрядных приложений на серверах, рабочих станциях, настольных ПК и ноутбуках.¹ Архитектура Intel® 64 обеспечивает повышение производительности, за счет чего вычислительные системы могут использовать более 4 ГБ виртуальной и физической памяти.

Поиск продукции с Архитектура Intel® 64

Набор команд

Набор команд содержит базовые команды и инструкции, которые микропроцессор понимает и может выполнять. Показанное значение указывает, с каким набором команд Intel совместим данный процессор.

Состояния простоя

Режим состояния простоя (или C-состояния) используется для энергосбережения, когда процессор бездействует. C0 означает рабочее состояние, то есть ЦПУ в данный момент выполняет полезную работу. C1 — это первое состояние бездействия, С2 — второе состояние бездействия и т.д. Чем выше численный показатель С-состояния, тем больше действий по энергосбережению выполняет программа.

Enhanced Intel SpeedStep® Technology (Усовершенствованная технология Intel SpeedStep®)

Усовершенствованная технология Intel SpeedStep® позволяет обеспечить высокую производительность, а также соответствие требованиям мобильных систем к энергосбережению. Стандартная технология Intel SpeedStep® позволяет переключать уровень напряжения и частоты в зависимости от нагрузки на процессор. Усовершенствованная технология Intel SpeedStep® построена на той же архитектуре и использует такие стратегии разработки, как разделение изменений напряжения и частоты, а также распределение и восстановление тактового сигнала.

Технология Intel® Demand Based Switching

Intel® Demand Based Switching — это технология управления питанием, в которой прикладное напряжение и тактовая частота микропроцессора удерживаются на минимальном необходимом уровне, пока не потребуется увеличение вычислительной мощности. Эта технология была представлена на серверном рынке под названием Intel SpeedStep®.

Поиск продукции с Технология Intel® Demand Based Switching

Технологии термоконтроля

Технологии термоконтроля защищают корпус процессора и систему от сбоя в результате перегрева с помощью нескольких функций управления температурным режимом. Внутрикристаллический цифровой термодатчик температуры (Digital Thermal Sensor - DTS) определяет температуру ядра, а функции управления температурным режимом при необходимости снижают энергопотребление корпусом процессора, тем самым уменьшая температуру, для обеспечения работы в пределах нормальных эксплуатационных характеристик.

Новые команды Intel® AES

Команды Intel® AES-NI (Intel® AES New Instructions) представляют собой набор команд, позволяющий быстро и безопасно обеспечить шифрование и расшифровку данных. Команды AES-NI могут применяться для решения широкого спектра криптографических задач, например, в приложениях, обеспечивающих групповое шифрование, расшифровку, аутентификацию, генерацию случайных чисел и аутентифицированное шифрование.

Поиск продукции с Новые команды Intel® AES

Технология Intel® Trusted Execution

Технология Intel® Trusted Execution расширяет возможности безопасного исполнения команд посредством аппаратного расширения возможностей процессоров и наборов микросхем Intel®. Эта технология обеспечивает для платформ цифрового офиса такие функции защиты, как измеряемый запуск приложений и защищенное выполнение команд. Это достигается за счет создания среды, где приложения выполняются изолированно от других приложений системы.

Поиск продукции с Технология Intel® Trusted Execution

Функция Бит отмены выполнения

Бит отмены выполнения — это аппаратная функция безопасности, которая позволяет уменьшить уязвимость к вирусам и вредоносному коду, а также предотвратить выполнение вредоносного ПО и его распространение на сервере или в сети.

Почетный президент РФС призвал УЕФА объяснить решение по украинской форме :: Футбол :: РБК Спорт

По мнению почетного президента РФС, изображение такой карты на форме — это политическая провокация, которая рассчитана на реакцию со стороны России

Читайте нас в

Новости Новости

Фото: Михаил Джапаридзе/ТАСС

Почетный президент Российского Футбольного Союза (РФС) Вячеслав Колосков считает, что Союз европейских футбольных ассоциаций (УЕФА) должен объяснить решение о допуске формы сборной Украины с присоединенным Крымом. Об этом он сказал порталу «Чемпионат».

«Для меня это решение абсолютно необъяснимо, они ссылаются на правила, но не цитируют их. Когда я был в исполкомах УЕФА и ФИФА, то там был регламент по экипировке», — сказал Колосков. Он также отметил, что регламент мог поменяться, но тем не менее такое изображение можно считать политическим.

«Политический подтекст просматривается четко, это провокация в расчете на нашу реакцию. УЕФА должен публично объяснить свое решение, будем его ждать», — добавил Колосков.

В Кремле отреагировали на украинскую форму с присоединенным Крымом

Ранее сборная Украины по футболу презентовала форму, в которой будет выступать на чемпионате Европы по футболу. На груди игроков изображены  очертания карты Украины с территорией Крыма. Кроме того, на форме размещены лозунги «Слава Украине» и «Героям Слава».

Позднее в УЕФА сообщили, что форма сборной Украины одобрена «в соответствии с правилами в отношении экипировки».

Чемпионат Европы пройдет с 11 июня по 11 июля в 11 городах: Санкт-Петербурге, Амстердаме, Баку, Будапеште, Бухаресте, Глазго, Копенгагене, Лондоне, Риме, Мюнхене и Севилье.

Сборной Украины предстоит играть в группе С, где ее соперниками будут сборные Австрии, Нидерландов и Северной Македонии.

Больше новостей о спорте вы найдете в нашем Telegram-канале.

Автор

Никита Арманд

Решение, какой метод использовать при решении квадратных уравнений

Решение, какой метод использовать при решении квадратных уравнений Решение, какой метод использовать при решении квадратных уравнений

При решении квадратного уравнения выполните следующие действия. (в таком порядке) выбрать метод:

  1. Сначала попробуйте решить уравнение на множители. Быть уверенным что ваше уравнение имеет стандартную форму (ax 2 + bx + c = 0), прежде чем вы начать попытку факторинга.Не тратьте много времени на попытки фактор вашего уравнения; если вы не можете учесть его менее чем за 60 секунд, перейти к другому методу.
  2. Затем посмотрите на сторону уравнения, содержащую переменную. Эта сторона - идеальный квадрат? Если это так, то вы можете решить уравнение извлекая квадратный корень из обеих частей уравнения. Не забывай чтобы включить в уравнение знак ± как только вы извлечете квадратный корень.
  3. Далее, если коэффициент при квадрате члена равен 1 и коэффициент линейного (среднего) члена четный, завершая квадрат это хороший метод для использования.
  4. Наконец, квадратичная формула будет работать на любом квадратичном уравнение. Однако, если использование формулы приводит к слишком большим числа под знаком радикала, другой метод решения может быть лучше выбор.
Теперь мы рассмотрим некоторые уравнения и подумаем о наиболее подходящий метод их решения.

Пример 1: Решить x 2 + 4 = 4x

Во-первых, представьте уравнение в стандартной форме, чтобы мы могли попробуйте решить это факторингом:

х 2 - 4х + 4 = 0

(х - 2) (х - 2) = 0

x - 2 = 0 | х - 2 = 0

x = 2 | х = 2

Итак, решение этого уравнения, найденное путем факторизации, это x = 2.

Пример 2: Решить (2x - 2) 2 = -4

Сторона уравнения, содержащая переменную ( левая сторона) представляет собой идеальный квадрат, поэтому мы извлечем квадратный корень из обеих сторон для решения уравнения.

(2x - 2) 2 = -4

2x - 2 = ± 2i

2x = 2 ± 2i

х = 1 ± я

Обратите внимание, что знак ± был вставлен в уравнение в точке извлечения квадратного корня.

Пример 3: Решить x 2 + 6x - 11 = 0

Это уравнение не факторизуемо, и сторона, содержащая переменная не является точным квадратом. Но поскольку коэффициент x 2 равно 1, а коэффициент при x четный, завершая квадрат будет подходящим методом. Чтобы найти номер, который нужно быть добавленным к обеим частям уравнения, чтобы получить квадрат, возьмите коэффициент при x, разделите его на 2, а затем возведите это число в квадрат.В в этой задаче 6 ¸ 2 равно 3, а 3 2 равно 9, поэтому мы добавим 9 к обеим частям уравнения, как только мы изолировали переменные условия.

х 2 + 6х - 11 = 0

x 2 + 6x = 11

x 2 + 6x +9 = 11 + 9

(х + 3) 2 = 20

Пример 4: Решить 2x 2 - x + 5 = 0

Это уравнение не факторизуемо, левая часть не учитывается. полный квадрат, а коэффициенты при x 2 и x членах не сделает завершение квадрата удобным. Остается квадратичный формула как лучший метод решения этого уравнения. Мы будем использовать a = 2, b = -1, и c = 5.

Как узнать, сколько решений имеет квадратное уравнение?

Квадратное уравнение - это уравнение, которое выглядит следующим образом:

x 2 + 4x - 2 = 0.

В общем виде это записывается как ax 2 + bx + c = 0, где a, b и c - все числа, а x - наша неизвестная переменная.В приведенном выше примере у нас будет a = 1, b = 4 и c = -2.

Чтобы найти количество решений, мы разделим квадратное уравнение на 3 случая.

Случай 1: 2 уникальных решения - например, x 2 + 5x + 6 = 0. Имеет решения x = 2 и x = 3.

Случай 2: 1 повторное решение - например, x 2 + 4x + 4 = 0. Имеет решение x = 2.

Случай 3: Нет решений - например, x 2 + 2x + 4 = 0. Не имеет решений.

Но как мы узнаем, в каком мы деле? Для этого мы рассмотрим квадратную формулу, которую вы, надеюсь, уже видели. Для справки, это дает решение общей квадратной оси 2 + bx + c = 0 как:

x = [- b ± √ ( b 2 - 4 ac )] / 2 a

, где ± означает, что два решения равны

x = [- b + √ ( b 2 - 4 ac )] / 2 a и

x = [- b - √ ( b 2 - 4 ac )] / 2 a.

В случае 1 это даст два отдельных ответа для x. В случае 2 оба ответа будут одинаковыми.

Однако в случае 3 вы, скорее всего, получите ошибку! Эта ошибка возникает из-за того, что мы не можем извлечь квадратный корень из отрицательного числа *. Это означает, что если мы в случае 3, то участок √ ( b 2 - 4 ac ) является частью, которая вызывает проблемы! Как я уже сказал, мы не можем извлечь квадратный корень из отрицательного числа, поэтому, если b 2 -4 ac отрицательное, у нас есть ошибка и нет решений.

Это ключ к знанию того, сколько решений у нас есть:

Если b 2 -4 ac положительно (> 0), то у нас есть 2 решения.

Если b 2 - 4 ac равно 0, то у нас есть только одно решение, так как формула сокращается до x = [- b ± 0] / 2 a. Итак, x = -b / 2 a , что дает только одно решение.

Наконец, если b 2 -4 ac меньше 0, у нас нет решений.

Пример:

Сколько решений у x 2 - 3x + 2 = -1?

1) Переставьте в соответствии с общей формулой: x 2 - 3x + 3 = 0. Итак, a = 1, b = -3 и c = 3.

2) Используйте формулу: b 2 - 4ac = (-3) 2 - 4 (1) (3) = 9-12 = -3.

3) Поскольку b 2 - 4ac <0, у нас нет решений.

Вот и все! Пожалуйста, свяжитесь с нами, если вам потребуется дополнительная помощь.

* Для заинтересованных / продвинутых студентов: Технически вы МОЖЕТЕ извлечь квадратный корень из отрицательного числа. Это выходит за рамки курса GCSE, поэтому, если после этого вас что-то смущает, не волнуйтесь! Но прежде всего я объясню, почему вам этого еще никто не сказал.

Представьте, что я попросил вас дать мне ответ на 7 ÷ 3, но вы могли использовать только целые числа. Уравнение 7 ÷ 3 равно 2,33 ..., но это не целое число! Так что не существует целочисленных решений.Если бы я позволил вам использовать дроби, вы могли бы сказать мне, что 7 ÷ 3 равно 7/3 или 2 и 1/3.

Та же идея применима и к проблеме здесь. У нас есть только действительные числа (то есть дроби, десятичные дроби, целые числа и «иррациональные» числа, такие как пи), чтобы справиться с вопросом, и если вас попросят извлечь квадратный корень из отрицательного числа, реальных решений не будет. !

Решение действительно существует в «Мнимых» числах. 2} + bx + c = 0, потому что трехчлен в левой части не может быть легко вычеркнут.Это не означает, что квадратное уравнение не имеет решения. На этом этапе нам нужно обратиться к прямому подходу квадратной формулы, чтобы найти решения квадратного уравнения или, проще говоря, определить значения x, которые могут удовлетворять уравнению.

Чтобы использовать квадратную формулу, квадратное уравнение, которое мы решаем, необходимо преобразовать в «стандартную форму», в противном случае все последующие шаги не будут работать. Цель состоит в том, чтобы преобразовать квадратное уравнение так, чтобы квадратное выражение было изолировано с одной стороны уравнения, в то время как противоположная сторона содержала только число ноль, 0.2} + bx + c = 0.

При необходимости снизьте скорость. Будьте осторожны с каждым шагом, упрощая выражения. Здесь обычно случаются типичные ошибки, потому что учащиеся склонны «расслабляться», что приводит к ошибкам, которые можно было предотвратить, например, при сложении, вычитании, умножении и / или делении действительных чисел.


Примеры решения квадратных уравнений по квадратичной формуле

Пример 1 : Решите квадратное уравнение ниже, используя квадратную формулу.

При осмотре очевидно, что квадратное уравнение имеет стандартную форму, поскольку правая часть равна нулю, а остальные члены остаются в левой части. Другими словами, у нас есть что-то вроде этого

Это здорово! Нам нужно просто определить значения a, b и c, а затем подставить их в формулу корней квадратного уравнения.

Вот и все! Возьмите за привычку всегда проверять решенные значения x обратно в исходное уравнение.


Пример 2 : Решите квадратное уравнение ниже, используя квадратную формулу.

Это квадратное уравнение абсолютно не в той форме, в которой мы хотим, потому что правая часть равна НЕ нулю. Мне нужно удалить это 7 с правой стороны, вычтя обе части на 7. Это решит нашу проблему. После этого решите относительно x как обычно.

Окончательные ответы: {x_1} = 1 и {x_2} = - {2 \ over 3}.


Пример 3 : Решите квадратное уравнение ниже, используя квадратную формулу.

Это квадратное уравнение выглядит как «беспорядок».У меня есть переменные x и константы по обе стороны уравнения. Если мы сталкиваемся с чем-то подобным, всегда придерживайтесь того, что мы знаем. Да, все дело в стандартной форме. Мы должны заставить правую часть равняться нулю. Мы можем сделать это за два шага.

Сначала я вычту обе стороны на 5x, а затем прибавлю 8.

Необходимые нам значения:

a = - 1, b = - \, 8 и c = 2


Пример 4 : Решите квадратное уравнение ниже, используя квадратную формулу.

Что ж, если вы думаете, что Пример 3 - это «беспорядок», тогда он должен быть еще более «беспорядочным». Однако вскоре вы поймете, что они действительно очень похожи.

Сначала нам нужно выполнить некоторую очистку, преобразовав это квадратное уравнение в стандартную форму. Звучит знакомо? Поверьте, эта проблема не так плоха, как кажется, если мы знаем, что делать.

Напоминаю, что нам нужно что-то вроде этого

Следовательно, мы должны сделать все возможное, чтобы правая часть уравнения стала равной нулю.2} термин справа.

  • Исключите член x с правой стороны.
  • Удалите константу с правой стороны.

После получения правильной стандартной формы на предыдущем шаге теперь пора подставить значения a, b и c в формулу корней квадратного уравнения, чтобы найти x.

  • Из преобразованной стандартной формы извлеките требуемые значения.

a = 1, b = - \, 4 и c = - \, 14

  • Затем вычислите эти значения в формуле корней квадратного уравнения.

Практика с рабочими листами


Возможно, вас заинтересует:

Решение квадратных уравнений методом квадратного корня
Решение квадратных уравнений методом факторинга
Решение квадратных уравнений путем заполнения квадрата

Решение | Как мы решаем x + 3 \ sqrt {x} - 1/2 = 0? | Quadratics

  1. Используйте замену \ (\ sqrt {x} = y \) (где \ (y \ geq 0 \)), чтобы найти действительный корень уравнения \ [x + 3 \ sqrt {x} - \ tfrac {1 } {2} = 0. 2 = \ frac {10-3 \ sqrt {11}} {2}. \]

    Мы можем проверить, что это удовлетворяет исходному уравнению (помня, что мы знаем, что такое \ (\ sqrt {x} \), поскольку это значение, которое мы нашли для \ (y \)): \ [x + 3 \ sqrt {x} - \ frac {1} {2} = \ frac {10-3 \ sqrt {11}} {2} +3 \ frac {-3+ \ sqrt {11}} {2} - \ frac {1} {2 } = \ frac {1} {2} - \ frac {1} {2} = 0. \]


    1. Найдите все действительные корни следующих уравнений:

      1. \ (x + 10 \ sqrt {x + 2} - 22 = 0 \);

    Хороший общий совет: если вам предложили первую часть вопроса, и вы не можете сразу увидеть, как решить следующую часть, попробуйте использовать метод, аналогичный предложенному в предложении.2 - 4ac}} {2a} $

    Число D = b 2 - 4ac называется «дискриминантом» .
    Если D <0, то квадратное уравнение не имеет вещественных решений (имеет 2 комплексных решения).
    Если D = 0, то квадратное уравнение имеет 1 решение $ x = - \ frac {b} {2a} $
    Если D> 0, то квадратное уравнение имеет 2 различных решения. 2-32 $ $ y = 2 (x-3) (x + 5) $ y-перехват в
    $ (0, -30) $ вершина при
    $ (- 1, -32) $ x-перехватывает на
    $ (3, 0) $ и $ (- 5, 0) $

    Парабола

    График квадратного уравнения называется параболой .
    Если a> 0, то его вершина указывает вниз:

    Если a <0, то его вершина указывает вверх: Если a = 0, график не парабола, а прямая линия.

    Вершина параболы равна $ x = - \ frac {b} {2a} $.

    Формулы Виета

    Если x 1 и x 2 являются корнями квадратного уравнения ax 2 + bx + c = 0 затем:
    $ x_1 + x_2 = - \ frac {b} {a} $
    $ x_1x_2 = \ frac {c} {a} $
    Эти формулы называются формулами Виета .
    Мы можем найти корни x 1 и x 2 квадратного уравнения, решив совместные уравнения.

    Задачи на квадратные уравнения

    Задача 1. Решите уравнение:
    x 2 - 4 = 0
    Решение: x 2 - 4 = (x - 2) (x + 2)
    (x - 2) (x + 2 ) = 0
    x - 2 = 0 или x + 2 = 0
    Корни равны x = 2 или x = -2

    Решение 2: a = 1, b = 0, c = -4
    D = 0 2 - 4 ⋅ 1 ⋅ (-4) = 16
    $ x_1 = \ frac {-b - \ sqrt {D}} {2a} = \ frac {- 0 - \ sqrt {16}} {2 \ cdot 1} = \ frac {-4} {2} = -2 $
    $ x_2 = \ frac {-b + \ sqrt {D}} {2a } = \ frac {- 0 + \ sqrt {16}} {2 \ cdot 1} = \ frac {4} {2} = 2 $


    Задача 2. Решите уравнение:
    3x 2 + 4x + 5 = 0
    Решение: дискриминант D = 4 2 - 4⋅3⋅5 = 16-60 = -44 Итак, квадратное уравнение не имеет реальных корней.


    Задача 3. Решите уравнение:
    x 2 + 4x - 5 = 0; х =?
    Решение: Дискриминант 4 2 - (-4⋅1⋅5) = 16 + 20 = 36> 0
    Уравнение имеет 2 действительных корня: $ \ frac {-4 \ pm \ sqrt {36} } {2}
    долларов США x = 1 или x = -5


    Задача 4. Решите уравнение:
    x 2 + 4x + 4 = 0; х =?
    Решение: Дискриминант 4 2 - (4⋅1⋅4) = 16-16 = 0
    Итак, есть одно реальное решение: $ x = \ frac {-4} {2} $
    x = -2


    Задача 5. Решите уравнение:
    x 2 - 13x + 12 = 0
    Корни: 1, 12


    Задача 6. Решите уравнение:
    8x 2 - 30x + 7 = 0
    Корни: 3.2 - 4ac}} {2a} $

    Квадратные уравнения на нашем математическом форуме

    Задачи с квадратными уравнениями
    Задачи с использованием формул Виета
    Решение уравнений кубической и четвертой степени - 1

    Форумы, посвященные квадратным уравнениям

    Квадратичное решение на множитель

    Квадратное решение на множитель Вот шаги, необходимые для решения квадратичных расчетов по факторингу:
    Шаг 1 : Напишите уравнение в правильной форме. Чтобы получить правильную форму, вы должны удалить все круглые скобки с каждой стороны уравнения путем распределения, объединить все похожие члены и, наконец, установить уравнение равным нулю с членами, записанными в порядке убывания.
    Шаг 2 : Используйте стратегии факторинга, чтобы учесть проблему.
    Шаг 3 : Используйте свойство нулевого произведения и установите каждый коэффициент, содержащий переменную, равным нулю.
    Шаг 4 : Решите каждый коэффициент, который был установлен равным нулю, получая x с одной стороны и ответ с другой стороны.

    Пример 1 - Решить: x 2 + 16 = 10x

    Шаг 1 : Напишите уравнение в правильной форме. В этом случае нам нужно установить уравнение равным нулю с членами, записанными в порядке убывания.
    Шаг 2 : Используйте стратегии факторинга, чтобы разложить проблему на множители.
    Шаг 3 : Используйте свойство нулевого произведения и установите каждый коэффициент, содержащий переменную, равной нулю.
    Шаг 4 : Решите каждый коэффициент, который был установлен равным нулю, получая x с одной стороны и ответ с другой стороны.

    Пример 2 - Решить: 18x 2 - 3x = 6

    Шаг 1 : Напишите уравнение в правильной форме.В этом случае нам нужно установить уравнение равным нулю с членами, записанными в порядке убывания.
    Шаг 2 : Используйте стратегии факторинга, чтобы разложить проблему на множители.
    Шаг 3 : Используйте свойство нулевого произведения и установите каждый коэффициент, содержащий переменную, равной нулю.
    Шаг 4 : Решите каждый коэффициент, который был установлен равным нулю, получая x с одной стороны и ответ с другой стороны.

    Щелкните здесь для практических задач

    Пример 3 - Решить: 50x 2 = 72

    Шаг 1 : Напишите уравнение в правильной форме. В этом случае нам нужно установить уравнение равным нулю с членами, записанными в порядке убывания.
    Шаг 2 : Используйте стратегии факторинга, чтобы разложить проблему на множители.
    Шаг 3 : Используйте свойство нулевого произведения и установите каждый коэффициент, содержащий переменную, равной нулю.
    Шаг 4 : Решите каждый коэффициент, который был установлен равным нулю, получая x с одной стороны и ответ с другой стороны.

    Щелкните здесь для практических задач

    Пример 4 - Решить: x (2x - 1) = 3

    Шаг 1 : Напишите уравнение в правильной форме. В этом случае нам нужно удалить все круглые скобки путем распределения и установить уравнение равным нулю с членами, записанными в порядке убывания.
    Шаг 2 : Используйте стратегии факторинга, чтобы разложить проблему на множители.
    Шаг 3 : Используйте свойство нулевого произведения и установите каждый коэффициент, содержащий переменную, равной нулю.
    Шаг 4 : Решите каждый коэффициент, который был установлен равным нулю, получая x с одной стороны и ответ с другой стороны.

    Щелкните здесь для практических задач

    Пример 5 - Решить: (x + 3) (x - 5) = –7

    Шаг 1 : Напишите уравнение в правильной форме.В этом случае нам нужно удалить все круглые скобки, распределив, объединить одинаковые термины и установить уравнение равным нулю с членами, записанными в порядке убывания.
    Шаг 2 : Используйте стратегии факторинга, чтобы разложить проблему на множители.
    Шаг 3 : Используйте свойство нулевого произведения и установите каждый коэффициент, содержащий переменную, равной нулю.
    Шаг 4 : Решите каждый коэффициент, который был установлен равным нулю, получая x с одной стороны и ответ с другой стороны.

    Щелкните здесь для практических задач

    Пример 6 - Решить: 3x (x + 1) = (2x + 3) (x + 1)

    Шаг 1 : Напишите уравнение в правильной форме. В этом случае нам нужно удалить все круглые скобки, распределив, объединить одинаковые термины и установить уравнение равным нулю с членами, записанными в порядке убывания.
    Шаг 2 : Используйте стратегии факторинга, чтобы разложить проблему на множители.
    Шаг 3 : Используйте свойство нулевого произведения и установите каждый коэффициент, содержащий переменную, равной нулю.
    Шаг 4 : Решите каждый коэффициент, который был установлен равным нулю, получая x с одной стороны и ответ с другой стороны.

    Щелкните здесь для практических задач

    Квадраты: многочлены второй степени

    10

    Решение квадратного уравнения с множителем

    Двойной корень

    Квадратичное неравенство

    Сумма и произведение корней

    КВАДРАТИКА - ДРУГОЕ НАЗВАНИЕ многочлена 2-й степени.2 - самый высокий показатель степени.

    1. Какой вид имеет полиномиальная функция 2-й степени?

    y = ax 2 + bx + c

    2. Какой вид имеет квадратное уравнение?

    топор 2 + bx + c = 0

    3. Что мы подразумеваем под корнем квадратичного?

    Решение квадратного уравнения.

    4. Сколько корней всегда у квадратичной?

    Два, реальные или сложные.

    5. График квадратичной всегда имеет форму, называемую -?

    Парабола.

    6. Каковы три метода решения квадратного уравнения,
    6. То есть нахождения корней?

    1. Факторинг. 2. Завершение квадрата.

    3.Квадратичная формула.

    Начнем с метода факторинга. В следующей теме мы представим как Завершение квадрата, так и формулу квадратного уравнения.

    7. Если произведение множителей равно 0 - если ab = 0 - то что вы можете
    7. сделать вывод о факторах a , b ?

    Либо a = 0, либо b = 0.

    Пример 1. Решение по факторингу.

    f ( x ) = x 2 −2 x −3. Найдите корни f ( x ) и нарисуйте график y = f ( x ).

    Решение . x 2 −2 x −3 = ( x + 1) ( x - 3).

    Следовательно, корни - это −1 и 3. (См. Урок 37 по алгебре.) Это точки пересечения графа размером x .

    Перехват y - постоянный член −3.

    В каждом полиноме пересечение y является постоянным членом, потому что постоянный член представляет собой значение y , когда x = 0.

    Пример 2. Двойной корень

    f ( x ) = x 2 −10 x + 25. Найдите корни
    f ( x ) и нарисуйте график y = f ( x ).

    Решение . x 2 −10 x + 25 =
    ( x - 5) ( x - 5) = ( x - 5) 2 . Два корня равны, их 5, 5. 5 называется двойным корнем. (См. Урок алгебры 37, вопрос 4.)

    При двойном корне график не пересекает ось x . Это просто трогает.

    Двойной корень возникает, когда квадратичный является трехчленом полного квадрата: x 2 ± 2 ax + a 2 ; то есть, когда квадратичная величина является квадратом бинома: ( x ± a ) 2 .

    Пример 3. Сколько действительных корней, т.е. корней, которые являются действительными числами, имеет квадратичный элемент каждого графа?

    Ответ . График а) имеет два действительных корня. Он имеет два перехватчика x .

    График б) не имеет реальных корней. У него нет x -перехватов. Оба корня сложные.

    График c) имеет два действительных корня. Но они имеют двойной корень.

    Пример 4.Квадратичное неравенство.

    Решите это неравенство:

    x 2 - 4 x - 5

    Для этого осмотрите график

    y = x 2 - 4 x - 5.

    Решение . Для каких значений x эта квадратичная величина будет отрицательной? То есть где график под осью x ?

    График отрицательный между корнями, которые равны -1 и 5.Решение неравенства равно −1 x. Мы также можем заметить, что квадратичная функция будет иметь положительные значения - график будет выше оси x - слева и справа от корней:

    x 9 1027 x> 5.

    В то время как квадратичный будет иметь значение 0 в корнях.

    Мы рассмотрели три возможности:

    Этот квадратичный равен , равному 0 в двух корнях.

    Это на меньше, чем 0 между двумя корнями.

    Это на больше, чем 0 слева и справа от двух корней.

    Эти три возможности, которые верны для любого действительного числа, имеют причудливое название Закона трихотомии. Любое число должно быть либо равно, меньше или больше 0.

    Закон трихотомии также принимает такую ​​форму:

    Для любых действительных чисел a, b , либо a = b , a b, либо a > b .

    Однако мы должны знать, какая из этих возможностей верна. Для любых двух чисел мы должны знать их относительный порядок. Это заложено в значении «числа».

    Задача 1. Изобразите график y = x 2 - 2 x −8. То есть покажите перехваты x и y .

    Чтобы увидеть ответ, наведите указатель мыши на цветную область.
    Чтобы закрыть ответ еще раз, нажмите «Обновить» («Reload»).

    x 2 −2 x - 8 = ( x + 2) ( x - 4). Следовательно, корни равны −2, 4. Пересечение y является постоянным членом −8.

    Задача 2. Нарисуйте график

    .

    y = x 2 + 4 x + 4.

    x 2 + 4 x + 4 = ( x + 2) 2 .В −2 есть двойной корень. Перехват y - постоянный член, 4.

    Проблема 3.

    а) Чтобы решить это квадратное неравенство -

    x 2 + 2 x - 3> 0

    —проверьте график

    y = x 2 + 2 x - 3.

    Квадратичное значение будет положительным - выше оси x - для значений x слева и справа от корня.Решение:
    x x> 1.

    б) Решите это квадратное неравенство:

    x 2 + 2 x - 3

    −3 х

    Квадратичный будет отрицательным между корнями.

    Проблема 4. Квадратичная имеет следующие корни. Запишите каждую квадратичную как произведение линейных множителей.

    а) 3, 4 ( x - 3) ( x - 4)

    б) −3, −4 ( x + 3) ( x + 4)

    в) - р , с ( x + r ) ( x - s )

    г) 3+, 3 - ( x - 3 -) ( x −3 +)

    Сумма и произведение корней

    Теорема. В квадратичной системе со старшим коэффициентом 1:

    Сумма корней равна отрицательному значению коэффициента x ;

    произведение корней - постоянный член.

    То есть, если

    x 2 + bx + c = 0,

    и корни r и s , затем

    r + s = - б ,
    RS = с .

    Ибо, если корни равны r и s , то квадратичный равен

    ( x - r ) ( x - s ) = x 2 - rx - sx + rs
    = x 2 - ( r + s ) x + rs .

    Коэффициент при x равен - ( r + s ), что является отрицательным значением суммы корней. Постоянный член - рупий , который является их произведением.

    Пример 5. Построить квадратичную с корнями 2 и 3.

    Решение . Сумма корней равна 5, их произведение равно 6, следовательно, квадратичный равен x 2 - 5 x + 6.

    Сумма корней равна минус коэффициента x . Произведение корней - постоянный член.

    Пример 6. Построить квадратичную с корнями 2 +, 2 -.

    Решение . Сумма корней равна 4. Их произведение - разность двух квадратов: 2 2 - () 2 = 4 - 3 = 1.

    Таким образом, квадратичный равен x 2 - 4 x + 1.

    Пример 7. Построить квадратичный, корни которого равны 2 + 3 i , 2 - 3 i , где i - комплексная единица.

    Решение . Сумма корней равна 4. Произведение снова является разностью двух квадратов: 4 - 9 i 2 = 4 + 9 = 13.

    Квадратичный с этими корнями равен

    .

    x 2 -4 x + 13.

    Задача 5. Построить квадратичную с корнями −3, 4.

    Сумма корней равна 1. Их произведение равно −12. Следовательно, квадратичное значение равно x 2 - x - 12.

    Задача 6. Построить квадратичную с корнями 3 +, 3 -.

    Сумма корней равна 6. Их произведение равно 9 - 3 = 6.
    Следовательно, квадратичный равен x 2 - 6 x + 6.

    Задача 7. Построить квадрат, корни которого равны 2 + i , 2 - i .

    Сумма корней равна 4. Их произведение равно 4 - ( i ) 2 = 4 + 5 = 9.
    Следовательно, квадратичный равен x 2 - 4 x + 9.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *