Решение задач матрицы: определение, свойства и примеры решения задач

2.2.4. Примеры решения задач по теме «Ранг матрицы»

Задача 1.

Определить ранг матрицы

Указание

Единственным минором максимального (3-го) порядка для матрицы А является ее определитель. Если ΔА не равен нулю, R(A) = 3; если ΔА = 0, R(A) < 3.

Решение

Единственным минором максимального (3-го) порядка для матрицы А явля-ется ее определитель. Если ΔА не равен нулю, R(A) = 3; если ΔА = 0, R(A) < 3.

Найдем ΔА разложением по первой строке:

Следовательно, R(A) < 3. Поскольку матрица А содержит ненулевые элементы, R(A) > 0. Значит, R(A) = 1 или R(A) = 2. Если найдется минор 2-го порядка, не равный нулю, то R(A) = 2.

Вычислим минор из элементов, стоящих на пересечении двух первых строк и двух первых столбцов:

Ответ: R(A) = 2.

Если найден минор K-го порядка, не равный нулю, то можно утверждать, что R(A) ≥ K. Если же выбранный минор K-го порядка равен нулю, то из этого еще не следует, что R(A) < K, так как могут найтись миноры того же порядка, не равные нулю.

Задача 2.

Определить ранг матрицы

Указание

Используя элементарные преобразования, приведите матрицу А к треугольному виду.

Решение

У матрицы А существуют миноры до 4-го порядка включительно, поэтому

R(A) ≤ 4. Разумеется, непосредственное вычисление всех миноров 4-го, 3-го и т. д. порядка потребовало бы слишком много времени. Поэтому, используя элементарные преобразования, приведем матрицу А к треугольному виду. Поменяем местами 1-ю и 2-ю строки, чтобы элемент

А11 стал равным 1:

Прибавим к третьей строке первую, ко второй – удвоенную первую, к четвертой – первую, умноженную на 3. Тогда все элементы 1-го столбца, кроме А11, окажутся равными нулю:

Вычтем вторую строку полученной матрицы из третьей и четвертой строк:

И вычеркнем нулевые строки:

.

Итак, ранг матрицы А равен рангу полученной матрицы размера , т. е.

R(A) < 2. Минор

Следовательно, R(A) = 2.

Ответ: R(A) = 2.

Задача 3.

Определить ранг матрицы

Указание

Используя элементарные преобразования, приведите матрицу А к треугольному виду.

Решение

Отметим, что минор, составленный из элементов матрицы, стоящих на пересечении первых трех строк и первых трех столбцов, не равен нулю:

Поэтому ранг данной матрицы не меньше трех.

Приведем матрицу к треугольному виду:

Вычеркивание нулевых строк приводит к тому, что

Размер полученной матрицы , поэтому ее ранг не более трех. Поскольку минор 3-го порядка, не равный нулю, существует, ранг исходной матрицы равен 3.

Ответ: R(A) = 3.

Задача 4.

Найти значения L, при которых матрица

Имеет наименьший ранг.

Указание

Приведите матрицу А к треугольному виду и найдите значения L, при которых с помощью элементарных преобразований вторую строку можно сделать нулевой.

Решение

Переставим столбцы матрицы А:

И приведем ее к треугольному виду с помощью элементарных преобразований:

Теперь видно, что при L = 0 вторая строка матрицы становится нулевой, и после ее вычеркивания получаем:

Минор его порядок равен 2, следовательно, при L = 0 R(A) = 2.

Если L ≠ 0, то минор, составленный из последних трех столбцов, имеет вид:

Значит, при L ≠ 0 R(A) = 3.

Итак, наименьший ранг, равный 2, матрица А имеет при L= 0.

Ответ: L = 0.

< Предыдущая		Следующая >

Линейная алгебра.

Семинары | Открытые видеолекции учебных курсов МГУ

Семинары по линейной алгебре, ведутся по задачнику «Сборник задач по аналитической геометрии и линейной алгебре» под редакцией Ю. М. Смирнова.

Список всех тем лекций

Семинар 1. Векторное пространство, линейная независимость.
(п.1) (п.2) (п.3) (п.4) (п.5) (п.6) (п.7) (п.10) (п.11) (п.12) (п.13) (п.14) (п.15) Определение линейной независимости векторов Решение задачи № 997 (п.

1) (п.2) (п.3) Общий случай задачи 999 Решение задачи № 1006 (п.1,2) (п.6) (п.7)

Семинар 2. Ранг, базис, размерность, координаты и матрица перехода.
(п.3) из домашнего задания (п.8) из домашнего задания из домашнего задания (п.1) (п.1) (п.2) Вариации задачи 1016 (п.4) Решение задачи № 1023 Матрица перехода от одного базиса к другому Решение задачи № 1027

Семинар 3. Линейные подпространства и операции над ними.

из домашнего задания из домашнего задания Линейное подпространство Решение задачи № 1033 Решение задачи № 1034 (п.4) Другие способы решения задачи № 1049 Пересечение, объединение и сумма линейных пространств (п.1) (п.10)

Семинар 4. Линейные функции и отображения.
Прямая сумма двух подпространств Пример: линейное пространство всех квадратных матриц является прямой суммой подпространства симметричных и подпространства кососимметричных матриц Линейное отображение Решение задачи № 1055 Множество линейных функций на данном линейном пространстве Размерность линейного пространства равна размерности двойственного пространства Второе двойственное пространство, изоморфизм линейных пространств, канонический изоморфизм Базис в ядре линейного функционала

Семинар 5. Аффинные пространства.
из домашнего задания из домашнего задания из домашнего задания Решение задачи № 1076 Аффинные пространства Аффинное подпространство Решение задачи № 1088 Решение задачи № 1089 (п.2) Терминология взаимного расположения в пространствах высшей размерности

Семинар 6. Линейные операторы.
из домашнего задания Пример 1 Пример 2 (п.1) Линейные операторы Решение задачи № 1099 Решение задачи № 1112

Семинар 7. Ядро и образ линейного оператора.
Характеристический многочлен Операторы проектирования Операторы отражения Задача Ядро и образ линейного оператора Решение задачи №1118 Решение задачи Определение собственного вектора Решение задачи №1164

Семинар 8. Жорданова форма.
Оператор с одним собственным значением Тождественные операторы Общий случай (п.12) Решение задачи

Семинар 9. Приложение жордановой формы матрицы.
Приложение жордановой формы Задача (возведение матрицы в степень) Функции от матриц (п.

2) Решение задачи (п.1)

Семинар 10. Скалярное произведение.
Скалярное произведение Решение задачи №1273 Комплексный случай (п.2) Матрица Грама Процесс ортогонализации Грама-Шмидта Решение задачи №1291 Решение задачи №1296

Семинар 11. Представление матрицы в виде произведения ортогональной на верхнетреугольную.
Представление матрицы в виде произведения ортогональной на верхнетреугольную Решение задачи № 1309 Матрица Грама Решение задачи № 1346 Решение задачи № 1350

Семинар 12. Проектирование вектора на подпространство.
(из домашнего задания) Проектирование вектора на подпространство Решение задачи № 1354 (п.1) Угол между вектором и проекцией (п.4) Пример (вычисление расстояния) Евклидово пространство Решение задачи № 1366 Решение задачи № 1368

Семинар 13. Решение задач.
(из домашнего задания) Решение задачи №1370 Решение задачи №1372 Решение задачи №1377 Найдена ошибка в решении задачи № 1372

Семинар 14. Операторы в евклидовых пространствах.
из домашнего задания N-мерный куб N-мерный симплекс (п.3) Операторы в евклидовых пространствах Решение задачи № 1409 Пример Произведение двух операторов

Семинар 15. Самосопряженные операторы.
и решение (из домашнего задания) Самосопряженные операторы (п.3) Операторы, сохраняющие скалярное произведение (п.3) Ортогональный оператор

Семинар 16. Полярные разложения.
из домашнего задания Ортогональные операторы (п. 2) Канонический вид в случае n=3 (п.1) Полярные разложения Решение задачи № 1550

Семинар 17. Билинейная функция.
Билинейная функция Ортогональность нелинейной функции Квадратичная форма Теорема о приведении билинейной функции к каноническому виду (п.6) Критерий Сильвестра Решение задачи № 1257

Семинар 18. Кососимметрическая билинейная функция.
(п.3) из домашнего задания из домашнего задания (п.1) Решение задачи № 1264 Кососимметрическая билинейная функция (п. 1) Приведение пары форм к каноническому виду (п.9)

Семинар 19. Приведение пары форм к каноническому виду.
Приведение пары форм к каноническому виду (п.4) Второй способ приведения пары форм к каноническому виду (п.1) Гиперповерхности второго порядка

Семинар 20. Операторы, сохраняющие билинейные функции.
(из домашнего задания) (из домашнего задания) Операторы, сохраняющие билинейные функции Группы малой размерности Геометрия матриц Унитарные матрицы Описание группы Sp (2n)

Семинар 21. Тензоры.
(из домашнего задания) Тензоры Тензорный закон преобразования Пример

Семинар 22. Обратная матрица и тензорные операции.
Символ Кронекера Обратная матрица Задача Новые обозначения Тензорные операции Тензорное умножение Свёртка

Семинар 23. Тензорные операции.
(из домашнего задания) Поднятие и опускание индексов Пример Тензорное произведение на уровне полилинейных функций Базис в пространстве тензоров Пример Пример

Семинар 24. Альтернирование и симметрирование.
(из домашнего задания) Симметричные и кососимметричные тензоры Альтернирование тензора Внешнее произведение Пример Задача (внешнее произведение) Базис в пространстве кососимметричных тензоров

Учебное пособие по решению матрицы с примерами

Учащиеся всегда боятся математики, хотя математика очень проста, если вы понимаете обоснование и логику математических понятий, а не копаетесь в каждом вопросе математики. Студенты часто спрашивают, как решить n чисел понятий, и матрица является одним из них. Матрица — это в основном представление чисел или линейных уравнений в блочном формате для их решения. Вы также можете складывать или вычитать или умножать две матрицы друг на друга. Вот почему многие студенты борются с матрицами и спрашивают, как их решить. Эта статья научит вас методу решения матрицы простым пошаговым способом с примерами.

Шаги – Как решить матрицу

1.  Первым шагом для решения матрицы является проверка наличия достаточных данных для определения каждой переменной линейного уравнения с помощью матрицы.

Матрица используется для решения линейного уравнения, но для использования матричного метода должно быть более одного линейного уравнения. Таким образом, если у вас есть только два уравнения, вы также можете использовать матричный метод для определения переменных.

https://www.calltutors.com/AskAssignment

Каждое линейное уравнение имеет определенные переменные, которые нам нужно найти, и такие переменные имеют определенные коэффициенты. Разберемся на данном примере –

2x + 3y – 5z = 2

Здесь x, y и z – переменные уравнения, которое нам нужно найти, а +2, +3 и -5 – коэффициенты в уравнении.

2. Второй шаг в разделе «Как решить матрицу» — записать уравнения в стандартной форме. Следующий вопрос: какова стандартная форма записи линейного уравнения, тогда ответ будет Ax + By + Cz = D.

Итак, вы должны написать все уравнения в такой форме, чтобы узнать значения переменных с помощью матрицы.

Нет необходимости иметь только 3 переменные; может быть меньше 3 переменных и точно так же может быть больше 3 переменных. Если у вас более 3 переменных, вы добавите их слева после переменной z, например: Ax + By + Cz + Dw = E.

Здесь A, B, C и D — коэффициенты, а x, y , z, мы переменные.

3. Следующим шагом в разделе «Как решить матрицу» является передача данных уравнения в матричной форме. Итак, следующее, чему нужно научиться, — это записывать уравнения в матричной форме. Давайте разберемся на примерах, предположим, что у нас есть следующие 3 уравнения –

x + 2y – 3z = 5

x + y + z = 6

2x + y – z = 1

Теперь нам нужно узнать формат матрицы. Как мы видим, уравнения уже имеют стандартный вид, поэтому мы можем приступить к переводу таких уравнений в матричный вид.

Запишем коэффициенты каждого уравнения в виде строк друг за другом. Итак, здесь мы сначала запишем 1, 2 и -3 в первой строке матрицы, после чего запишем коэффициенты второго уравнения, а затем третьего уравнения. Посмотрите ниже, чтобы понять лучше —

Здесь строки и столбцы также именуются. Таким образом, мы можем назвать строку 1 как R1, которая имеет 1, 2 и -3, строку 2 как R2, которая имеет 1, 1 и 1, и аналогично строку 3 как R3, которая имеет 2, 1 и -1.

Точно так же мы можем назвать столбцы как C1, C2 и C3. C1 имеет 1, 1 и 2, C2 имеет 2, 1 и 1 и, наконец, C3 имеет -3, 1 и -1.

4. Следующим шагом в решении матрицы является заключение в большие скобки первого и последнего столбца, чтобы получилась матрица. Таким образом, вы поместите квадратные скобки [] вокруг всего блока. Это просто символ матриц и больше ничего, о чем можно не волноваться и не пугаться.

5. Следующее, чему нужно научиться при решении матриц, это сложение двух матриц. Вы можете добавить или вычесть две матрицы.

Предположим, две матрицы равны

А вторая

Теперь вы можете сложить матрицы, добавив R1 к R1 второй матрицы и аналогичным образом все числа блока.

Таким образом, вы получите

Точно так же вы будете выполнять другие функции, такие как вычитание или умножение и т.д.

Заключение

Всех нас пугает даже название математики. Мы сталкиваемся с трудностями при решении большинства понятий и впадаем в панику при названии математики, но факт в том, что если мы понимаем логику решения математических задач, мы можем легко решить все проблемы, независимо от сложности. Многие студенты сталкиваются с проблемами при решении матриц. Они также следуют шагам и руководствам по простому решению матриц. Получите лучшую помощь с домашним заданием по математике от экспертов.

Решение текстовых задач с использованием обратной матрицы

Задача 1 :

Если 

, найдите произведения AB и BA и, следовательно, решите систему уравнений x + y + 2z = 1,3x + 2y + z = 7,2x + y + 3z = 2.

Решение:

AB = BA

x + y + 2z = 1, 3x + 2y + z = 7, 2x + y + 3z = 2

|A| = 1(6 — 1) — 1(9 — 2) + 2(3 — 4)

  = 1(5) — 1(7) + 2(-1)

  =  5 — 7 — 2

  = 5 — 9

  =  -4

x  =  (-1/4)(-8)  =  2

y  =  (-1/4)(-4)  =  1

y  =  (-1/4)(4) = -1

Итак, значения x, y и z равны 2, 1 и -1 соответственно.

Задача 2 :

Человек назначается на работу с ежемесячной заработной платой определенной суммы и фиксированной суммой годовой надбавки. Если его зарплата составляла 19 800 вон в месяц в конце первого месяца после 3 лет службы и 23 400 вон в месяц в конце первого месяца после 9лет службы, найдите его начальный оклад и его ежегодную прибавку. (Для решения задачи используйте метод обращения матрицы.)

Решение:

Пусть «x» и «y» — месячная зарплата и фиксированная сумма годового прироста соответственно.

x + 3y  =  19800 ———(1)

x + 9y  =  23400 ———(2)

X = (1/|A|) adj А

|А| = 9 — 3 = 6

x =  (178200 — 70200)/6  =  18000

y  =  (-19800 + 23400)/6  =  600

Итак, месячная зарплата равна 18000, а годовой прирост равен 600.

Задача 3 :

Четыре мужчины и 4 женщины могут выполнить часть работы вместе за 3 дня, а 2 мужчины и 5 женщин могут выполнить ту же работу вместе за 4 дня. Найдите время, затрачиваемое одним мужчиной и одной женщиной на выполнение одной и той же работы, используя метод обращения матриц.

Решение:

Пусть «x» будет количеством дней, отработанных мужчинами, а «y» будет количеством дней, отработанных женщинами.

Однодневная работа, выполненная 1 мужчиной =  1/x

Однодневная работа, выполненная 1 женщиной  =  1/год

(4/x) + (4/год)  =  (1/3)

(2/ x) + (5/y) = (1/4)

1/x = a, 1/y = b

4a + 4b = 1/3 —(1)

2a + 5b = 1/ 4  —(2)

|А| = 20 — 8 = 12

а = (1/12) [5/3 — 1]   = (1/12) (2/3) а  =  1/18

b  =  (1/12) [-2/3 + 1]   = (1/12) (1/3) б  =  1/36

x =  18 и y = 36

Итак, мужчинам нужно 18 дней, чтобы закончить работу, а женщинам — 36 дней.