Координаты на плоскости
Используй поиск, чтобы найти научные материалы и собрать список литературы
База статей справочника включает в себя статьи написанные экспертами Автор24, статьи из научных журналов и примеры студенческих работ из различных вузов страны
Содержание статьи
1. Основные сведения о координатной плоскости
2. Координаты точки
3. Построение точки по заданным координатам
Основные сведения о координатной плоскости
Каждый объект (например, дом, место в зрительном зале, точка на карте) имеет свой упорядоченный адрес (координаты), который имеет числовое или буквенное обозначение.
Математики разработали модель, которая позволяет определять положение объекта и называется координатной плоскостью.
Чтобы построить координатную плоскость нужно провести $2$ перпендикулярные прямые, на конце которых указываются с помощью стрелок направления «вправо» и «вверх».
На прямые наносятся деления, а точка пересечения прямых является нулевой отметкой для обеих шкал.
Определение 1
Горизонтальная прямая называется осью абсцисс и обозначается х, а вертикальная прямая называется осью ординат и обозначается у.
Две перпендикулярные оси х и у с делениями составляют прямоугольную, или декартовую, систему координат, которую предложил французский философ и математик Рене Декарт.
Координатная плоскость
Координаты точки
Точка на координатной плоскости определяется двумя координатами.
Чтобы определить координаты точки $A$ на координатной плоскости нужно через нее провести прямые, которые будут параллельны координатным осям (на рисунке выделены пунктирной линией). Пересечение прямой с осью абсцисс дает координату $x$ точки $A$, а пересечение с осью ординат дает координату у точки $A$. При записи координат точки сначала записывается координата $x$, а затем координата $y$.
Точка $A$ на рисунке имеет координаты $(3; 2)$, а точка $B (–1; 4)$.
Для нанесения точки на координатную плоскость действуют в обратном порядке.
Построение точки по заданным координатам
Пример 1
На координатной плоскости построить точки $A(2;5)$ и $B(3; –1).$
Решение.
Построение точки $A$:
- отложим число $2$ на оси $x$ и проведем перпендикулярную прямую;
- на оси у отложим число $5$ и проведем перпендикулярную оси $y$ прямую. На пересечении перпендикулярных прямых получим точку $A$ с координатами $(2; 5)$.
Построение точки $B$:
- отложим на оси $x$ число $3$ и проведем перпендикулярную оси х прямую;
- на оси $y$ отложим число $(–1)$ и проведем перпендикулярную оси $y$ прямую. На пересечении перпендикулярных прямых получим точку $B$ с координатами $(3; –1)$.
Пример 2
Построить на координатной плоскости точки с заданными координатами $C (3; 0)$ и $D(0; 2)$.
Решение.
Построение точки $C$:
- отложим число $3$ на оси $x$;
- координата $y$ равна нулю, значит точка $C$ будет лежать на оси $x$.
Построение точки $D$:
- отложим число $2$ на оси $y$;
- координата $x$ равна нулю, значит, точка $D$ будет лежать на оси $y$.
Замечание 1
Следовательно, при координате $x=0$ точка будет лежать на оси $y$, а при координате $y=0$ точка будет лежать на оси $x$.
Пример 3
Определить координаты точек A, B, C, D.$
Решение.
Определим координаты точки $A$. Для этого проведем через эту точку $2$ прямые, которые будут параллельными к координатным осям. Пересечение прямой с осью абсцисс дает координату $x$, пересечение прямой с осью ординат дает координату $y$. Таким образом, получаем, что точка $A (1; 3).$
Определим координаты точки $B$. Для этого проведем через эту точку $2$ прямые, которые будут параллельными к координатным осям. Пересечение прямой с осью абсцисс дает координату $x$, пересечение прямой с осью ординат дает координату $y$.
Получаем, что точка $B (–2; 4).$
Определим координаты точки $C$. Т.к. она расположена на оси $y$, то координата $x$ этой точки равна нулю. Координата у равна $–2$. Таким образом, точка $C (0; –2)$.
Определим координаты точки $D$. Т.к. она находится на оси $x$, то координата $y$ равна нулю. Координата $x$ этой точки равна $–5$. Таким образом, точка $D (5; 0).$
Пример 4
Построить точки $E(–3; –2), F(5; 0), G(3; 4), H(0; –4), O(0; 0).$
Решение.
Построение точки $E$:
- отложим число $(–3)$ на оси $x$ и проведем перпендикулярную прямую;
- на оси $y$ отложим число $(–2)$ и проведем перпендикулярную прямую к оси $y$;
- на пересечении перпендикулярных прямых получаем точку $E (–3; –2).$
Построение точки $F$:
- координата $y=0$, значит, точка лежит на оси $x$;
- отложим на оси $x$ число $5$ и получим точку $F(5; 0).$
Построение точки $G$:
- отложим число $3$ на оси $x$ и проведем перпендикулярную прямую к оси $x$;
- на оси $y$ отложим число $4$ и проведем перпендикулярную прямую к оси $y$;
- на пересечении перпендикулярных прямых получаем точку $G(3; 4).
$
$Построение точки $H$:
- координата $x=0$, значит, точка лежит на оси $y$;
- отложим на оси $y$ число $(–4)$ и получим точку $H(0; –4).$
Построение точки $O$:
- обе координаты точки равны нулю, значит, точка лежит одновременно и на оси $y$, и на оси $x$, следовательно является точкой пересечения обеих осей (началом координат).
Сообщество экспертов Автор24
Автор этой статьи Дата последнего обновления статьи: 20.06.2022
Выполнение любых типов работ по математике
Решение задач по комбинаторике на заказ Решение задачи Коши онлайн Математика для заочников Контрольная работа на тему числовые неравенства и их свойства Контрольная работа на тему умножение и деление рациональных чисел Контрольная работа на тему действия с рациональными числами Дипломная работа на тему числа Курсовая работа на тему дифференциальные уравнения Контрольная работа на тему приближенные вычисления Решение задач с инвариантами
Подбор готовых материалов по теме
Дипломные работы Курсовые работы Выпускные квалификационные работы Рефераты Сочинения Доклады Эссе Отчеты по практике Решения задач Контрольные работы
Координатная плоскость (6 класс) — Гипермаркет знаний.
Прямоугольная система координат на плоскости
Прямоугольная система координат на плоскости образуется двумя взаимно перпендикулярными осями координат X’X и Y’Y. Оси координат пересекаются в точке O, которая называется началом координат , на каждой оси выбрано положительное направление.Положительное направление осей (в правосторонней системе координат) выбирают так, чтобы при повороте оси X’X против часовой стрелки на 90° её положительное направление совпало с положительным направлением оси Y’Y. Четыре угла (I, II, III, IV), образованные осями координат X’X и Y’Y, называются координатными углами (см. Рис. 1).
Положение точки A на плоскости определяется двумя координатами x и y. Координата x равна длине отрезка OB, координата y — длине отрезка OC в выбранных единицах измерения. Отрезки OB и OC определяются линиями, проведёнными из точки A параллельно осям Y’Y и X’X соответственно. Координата x называется абсциссой точки A, координата y — ординатой точки A. Записывают так: A(x, y).
Если точка A лежит в координатном угле I, то точка A имеет положительные абсциссу и ординату. Если точка A лежит в координатном угле II, то точка A имеет отрицательную абсциссу и положительную ординату. Если точка A лежит в координатном угле III, то точка A имеет отрицательные абсциссу и ординату. Если точка A лежит в координатном угле IV, то точка A имеет положительную абсциссу и отрицательную ординату.
Прямоугольная система координат в пространстве образуется тремя взаимно перпендикулярными осями координат OX, OY и OZ. Оси координат пересекаются в точке O, которая называется началом координат, на каждой оси выбрано положительное направление, указанное стрелками, и единица измерения отрезков на осях. Единицы измерения одинаковы для всех осей. OX — ось абсцисс, OY — ось ординат, OZ — ось апликат. Положительное направление осей выбирают так, чтобы при повороте оси OX против часовой стрелки на 90° её положительное направление совпало с положительным направлением оси OY, если этот поворот наблюдать со стороны положительного направления оси OZ.
Положение точки A в пространстве определяется тремя координатами x, y и z. Координата x равна длине отрезка OB, координата y — длине отрезка OC, координата z — длине отрезка OD в выбранных единицах измерения. Отрезки OB, OC и OD определяются плоскостями, проведёнными из точки A параллельно плоскостям YOZ, XOZ и XOY соответственно. Координата x называется абсциссой точки A, координата y — ординатой точки A, координата z — аппликатой точки A. Записывают так: A(a, b, c).
Орты
Прямоугольная система координат (любой размерности) также описывается набором ортов , сонаправленных с осями координат.
Количество ортов равно размерности системы координат и все они перпендикулярны друг другу.
В трёхмерном случае такие орты обычно обозначаются i j k или e x e y e z . При этом в случае правой системы координат действительны следующие формулы с векторным произведением векторов :
- [i j ]=k ;
- [j k ]=i ;
- [k i ]=j .
История
Впервые прямоугольную систему координат ввел Рене Декарт в своей работе «Рассуждение о методе» в 1637 году . Поэтому прямоугольную систему координат называют также — Декартова система координат . Координатный метод описания геометрических объектов положил начало аналитической геометрии. Вклад в развитие координатного метода внес также Пьер Ферма , однако его работы были впервые опубликованы уже после его смерти. Декарт и Ферма применяли координатный метод только на плоскости.
Координатный метод для трёхмерного пространства впервые применил Леонард Эйлер уже в XVIII веке.
См. также
Ссылки
Wikimedia Foundation . 2010 .
Смотреть что такое «Координатная плоскость» в других словарях:
плоскость резания — (Pn) Координатная плоскость, касательная к режущей кромке в рассматриваемой точке и перпендикулярная основной плоскости. [ …
В топографии сеть воображаемых линий, опоясывающих земной шар в широтном и меридиональном направлениях, с помощью которой можно точно определить положение любой точки на земной поверхности. Отсчет широт ведется от экватора – большой окружности,… … Географическая энциклопедия
В топографии сеть воображаемых линий, опоясывающих земной шар в широтном и меридиональном направлениях, с помощью которой можно точно определить положение любой точки на земной поверхности. Отсчет широт ведется от экватора большой окружности,… … Энциклопедия Кольера
У этого термина существуют и другие значения, см. Фазовая диаграмма. Фазовая плоскость координатная плоскость, в которой по осям координат откладываются какие либо две переменные (фазовые координаты), однозначно определяющие состояние системы… … Википедия
главная секущая плоскость — (Pτ) Координатная плоскость, перпендикулярная линии пересечения основной плоскости и плоскости резания.
[ГОСТ 25762 83] Тематики обработка резанием Обобщающие термины системы координатных плоскостей и координатные плоскости … Справочник технического переводчика
инструментальная главная секущая плоскость — (Pτи) Координатная плоскость, перпендикулярная линии пересечения инструментальных основной плоскости и плоскости резания. [ГОСТ 25762 83] Тематики обработка резанием Обобщающие термины системы координатных плоскостей и координатные плоскости … Справочник технического переводчика
инструментальная плоскость резания — (Pnи) Координатная плоскость, касательная к режущей кромке в рассматриваемой точке и перпендикулярная инструментальной основной плоскости. [ГОСТ 25762 83] Тематики обработка резанием Обобщающие термины системы координатных плоскостей и… … Справочник технического переводчика
§ 1 Система координат: определение и способ построения
В этом уроке познакомимся с понятиями «система координат», «координатная плоскость», «оси координат», научимся строить точки на плоскости по координатам.
Возьмем координатную прямую х с началом координат точкой О, положительным направлением и единичным отрезком.
Через начало координат точку О координатной прямой х проведем еще одну координатную прямую y, перпендикулярную х, положительное направление зададим вверх, единичный отрезок такой же. Таким образом, мы построили систему координат.
Дадим определение:
Две взаимно перпендикулярные координатные прямые, пересекающиеся в точке, которая является началом координат каждой из них, образуют систему координат.
§ 2 Координатная ось и координатная плоскость
Прямые, которые образуют систему координат, называют координатными осями, каждая из которых имеет свое название: координатная прямая х — ось абсцисс, координатная прямая y — ось ординат.
Плоскость, на которой выбрана система координат, называется координатной плоскостью.
Описанная система координат называется прямоугольной. Часто ее называют декартовой системой координат в честь французского философа и математика Рене Декарта.
Каждая точка координатной плоскости имеет две координаты, которые можно определить, опустив из точки перпендикуляры на оси координат. Координаты точки на плоскости — это пара чисел, из которых первое число — абсцисса, второе число — ордината. Абсциссу показывает перпендикуляр к оси х, ординату — перпендикуляр к оси y.
Отметим на координатной плоскости точку А, проведем из неё перпендикуляры к осям системы координат.
По перпендикуляру к оси абсцисс (ось х) определяем абсциссу точки А, она равна 4, ординату точки А — по перпендикуляру к оси ординат (ось у) — это 3. Координаты нашей точки 4 и 3. А (4;3). Таким образом, координаты можно найти для любой точки координатной плоскости.
§ 3 Построение точки на плоскости
А как построить точку на плоскости с заданными координатами, т.е. по координатам точки плоскости определить её положение? В данном случае действия выполняем в обратном порядке. На координатных осях находим точки соответствующие заданным координатам, через которые проводим прямые, перпендикулярные осям х и y.
Точка пересечения перпендикуляров и будет искомой, т.е. точкой с заданными координатами.
Выполним задание: построить на координатной плоскости точку М (2;-3).
Для этого на оси абсцисс находим точку с координатой 2, проводим через данную точку прямую перпендикулярную оси х. На оси ординат найдем точку с координатой -3, через нее проведем прямую перпендикулярную оси y. Точка пересечения перпендикулярных прямых и будет заданной точкой М.
А теперь рассмотрим несколько частных случаев.
Отметим на координатной плоскости точки А (0; 2), В (0; -3), С (0; 4).
Абсциссы данных точек равны 0. На рисунке видно, что все точки находятся на оси ординат.
Следовательно, точки, абсциссы которых равны нулю, лежат на оси ординат.
Поменяем координаты данных точек местами.
Получится А (2;0), В (-3;0) С (4; 0). В этом случае все ординаты равны 0 и точки находятся на оси абсцисс.
Значит, точки, ординаты которых равны нулю, лежат на оси абсцисс.
Разберем еще два случая.
На координатной плоскости отметим точки М (3; 2), N (3; -1), Р (3; -4).
Легко заметить, что все абсциссы точек одинаковые. Если эти точки соединить, получится прямая, параллельная оси ординат и перпендикулярная оси абсцисс.
Напрашивается вывод: точки, имеющие одну и ту же абсциссу, лежат на одной прямой, которая параллельна оси ординат и перпендикулярна оси абсцисс.
Если поменять координаты точек М, N, Р местами, то получится М (2; 3), N (-1; 3), Р (-4; 3). Одинаковыми станут ординаты точек. В данном случае, если эти точки соединить, получится прямая параллельная оси абсцисс и перпендикулярная оси ординат.
Таким образом, точки, имеющие одну и ту же ординату, лежат на одной прямой параллельной оси абсцисс и перпендикулярной оси ординат.
В этом уроке Вы познакомились с понятиями «система координат», «координатная плоскость», «оси координат — ось абсцисс и ось ординат». Узнали, как найти координаты точки на координатной плоскости и научились строить точки на плоскости по ее координатам.
Список использованной литературы:
- Математика. 6 класс: поурочные планы к учебнику И.И. Зубаревой, А.Г. Мордковича//автор-составитель Л.А. Топилина. – Мнемозина, 2009.
- Математика. 6 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений. И.И.Зубарева, А.Г.Мордкович.- М.: Мнемозина, 2013.
- Математика. 6 класс: учебник для общеобразовательных учреждений/Г.В. Дорофеев, И.Ф. Шарыгин, С.Б. Суворова и др./по редакцией Г.В. Дорофеева, И.Ф. Шарыгина; Рос.акад.наук, Рос.акад.образования. — М.: «Просвещение», 2010
- Справочник по математике — http://lyudmilanik.com.ua
- Справочник для учащихся в средней школе http://shkolo.ru
На плоскости. Пусть одна будет x, другая – y. И пусть эти прямые будут взаимно перпендикулярны (то есть пересекаются под прямым углом). Причем точка их пересечения будет началом координат для обеих прямых, а единичный отрезок одинаков (рис. 1).
Таким образом, мы получили прямоугольную систему координат , а наша плоскость стала координатной.
Прямые x и y называют осями координат. Причем, ось x – осью абсцисс, а ось y – осью ординат. Обозначается подобная плоскость обычно по названию осей и точке отсчета – xOy. Прямоугольную систему координат также называют декартовой системой координат , так как впервые ее начал активно использовать французский математик и философ — Рене Декарт.
Прямоугольные углы, образованные прямыми x и y, называют координатными углами . Каждый угол имеет свой номер как показано на рис. 2.
Итак, когда мы говорили про координатную прямую у всякой точки этой прямой была одна координата. Теперь, когда идет речь о координатной плоскости, то у каждой точки этой плоскости уже будут две координаты. Одна соответствует прямой x (эту координату называют абсциссой ), другая соответствует прямой y (эту координату называют ординатой ). Записывается это таким образом: M(x;y), где x – абсцисса, а y – ордината. Читается как: «Точка M с координатами x, y».
Как определить координаты точки на плоскости?
Теперь мы знаем, что у каждой точки на плоскости есть две координаты.
Для того чтобы узнать ее координаты нам достаточно через эту точку провести две прямые, перпендикулярные осям координат. Точки пересечения этих прямых с координатными осями и будут искомыми координатами. Так, например, на рис. 3 мы определили, что координатами точки M являются 5 и 3.
Как построить точку на плоскости по ее координатам?
Бывает и так, что мы уже знаем координаты точки на плоскости. И нам нужно найти ее расположение. Допустим у нас координаты точки (-2;5). То есть, абцисса равна -2, а ордината равна 5. Возьмем на прямой x (оси абсцисс) точку с координатой -2 и проведем через нее прямую a, параллельную оси y. Заметим, что любая точка на этой прямой будет иметь абсциссу равную -2. Теперь найдем на прямой y (оси ординат) точку с координатой 5 и проведем через нее прямую b, параллельную оси x. Заметим, что любая точка на этой прямой будет иметь ординату равную 5. На пересечении прямых a и b как раз и будет находиться точка с координатами (-2;5). Обозначим ее буквой P (рис.
4).
Добавим также, что прямая a, все точки которой имеют абсциссу -2, задается уравнением
x = -2 или что x = -2 – уравнение прямой a. Можно для удобства говорить не «прямая, которая задается уравнением x = -2», а просто «прямая x = -2». Действительно, для любой точки прямой a справедливо равенство x = -2. А прямая b, все точки которой имеют ординату 5, в свою очередь задается уравнением y = 5 или что y = 5 – уравнение прямой b.
Основные сведения о координатной плоскости
Каждый объект (например, дом, место в зрительном зале, точка на карте) имеет свой упорядоченный адрес (координаты), который имеет числовое или буквенное обозначение.
Математики разработали модель, которая позволяет определять положение объекта и называется координатной плоскостью .
Чтобы построить координатную плоскость нужно провести $2$ перпендикулярные прямые , на конце которых указываются с помощью стрелок направления «вправо» и «вверх». На прямые наносятся деления, а точка пересечения прямых является нулевой отметкой для обеих шкал.
Определение 1
Горизонтальная прямая называется осью абсцисс и обозначается х, а вертикальная прямая называется осью ординат и обозначается у.
Две перпендикулярные оси х и у с делениями составляют прямоугольную , или декартовую , систему координат , которую предложил французский философ и математик Рене Декарт.
Координатная плоскость
Координаты точки
Точка на координатной плоскости определяется двумя координатами.
Чтобы определить координаты точки $A$ на координатной плоскости нужно через нее провести прямые, которые будут параллельны координатным осям (на рисунке выделены пунктирной линией). Пересечение прямой с осью абсцисс дает координату $x$ точки $A$, а пересечение с осью ординат дает координату у точки $A$. При записи координат точки сначала записывается координата $x$, а затем координата $y$.
Точка $A$ на рисунке имеет координаты $(3; 2)$, а точка $B (–1; 4)$.
Для нанесения точки на координатную плоскость действуют в обратном порядке.
Построение точки по заданным координатам
Пример 1
На координатной плоскости построить точки $A(2;5)$ и $B(3; –1).$
Решение .
Построение точки $A$:
- отложим число $2$ на оси $x$ и проведем перпендикулярную прямую;
- на оси у отложим число $5$ и проведем перпендикулярную оси $y$ прямую. На пересечении перпендикулярных прямых получим точку $A$ с координатами $(2; 5)$.
Построение точки $B$:
- отложим на оси $x$ число $3$ и проведем перпендикулярную оси х прямую;
- на оси $y$ отложим число $(–1)$ и проведем перпендикулярную оси $y$ прямую. На пересечении перпендикулярных прямых получим точку $B$ с координатами $(3; –1)$.
Пример 2
Построить на координатной плоскости точки с заданными координатами $C (3; 0)$ и $D(0; 2)$.
Решение .
Построение точки $C$:
- отложим число $3$ на оси $x$;
- координата $y$ равна нулю, значит точка $C$ будет лежать на оси $x$.
Построение точки $D$:
- отложим число $2$ на оси $y$;
- координата $x$ равна нулю, значит, точка $D$ будет лежать на оси $y$.
Замечание 1
Следовательно, при координате $x=0$ точка будет лежать на оси $y$, а при координате $y=0$ точка будет лежать на оси $x$.
Пример 3
Определить координаты точек A, B, C, D.$
Решение .
Определим координаты точки $A$. Для этого проведем через эту точку $2$ прямые, которые будут параллельными к координатным осям. Пересечение прямой с осью абсцисс дает координату $x$, пересечение прямой с осью ординат дает координату $y$. Таким образом, получаем, что точка $A (1; 3).$
Определим координаты точки $B$. Для этого проведем через эту точку $2$ прямые, которые будут параллельными к координатным осям. Пересечение прямой с осью абсцисс дает координату $x$, пересечение прямой с осью ординат дает координату $y$. Получаем, что точка $B (–2; 4).$
Определим координаты точки $C$. Т.
к. она расположена на оси $y$, то координата $x$ этой точки равна нулю. Координата у равна $–2$. Таким образом, точка $C (0; –2)$.
Определим координаты точки $D$. Т.к. она находится на оси $x$, то координата $y$ равна нулю. Координата $x$ этой точки равна $–5$. Таким образом, точка $D (5; 0).$
Пример 4
Построить точки $E(–3; –2), F(5; 0), G(3; 4), H(0; –4), O(0; 0).$
Решение .
Построение точки $E$:
- отложим число $(–3)$ на оси $x$ и проведем перпендикулярную прямую;
- на оси $y$ отложим число $(–2)$ и проведем перпендикулярную прямую к оси $y$;
- на пересечении перпендикулярных прямых получаем точку $E (–3; –2).$
Построение точки $F$:
- координата $y=0$, значит, точка лежит на оси $x$;
- отложим на оси $x$ число $5$ и получим точку $F(5; 0).$
Построение точки $G$:
- отложим число $3$ на оси $x$ и проведем перпендикулярную прямую к оси $x$;
- на оси $y$ отложим число $4$ и проведем перпендикулярную прямую к оси $y$;
- на пересечении перпендикулярных прямых получаем точку $G(3; 4). $
$Построение точки $H$:
- координата $x=0$, значит, точка лежит на оси $y$;
- отложим на оси $y$ число $(–4)$ и получим точку $H(0; –4).$
Построение точки $O$:
- обе координаты точки равны нулю, значит, точка лежит одновременно и на оси $y$, и на оси $x$, следовательно является точкой пересечения обеих осей (началом координат).
Основные сведения о координатной плоскости
Каждый объект (например, дом, место в зрительном зале, точка на карте) имеет свой упорядоченный адрес (координаты), который имеет числовое или буквенное обозначение.
Математики разработали модель, которая позволяет определять положение объекта и называется координатной плоскостью .
Чтобы построить координатную плоскость нужно провести $2$ перпендикулярные прямые , на конце которых указываются с помощью стрелок направления «вправо» и «вверх». На прямые наносятся деления, а точка пересечения прямых является нулевой отметкой для обеих шкал.
Определение 1
Горизонтальная прямая называется осью абсцисс и обозначается х, а вертикальная прямая называется осью ординат и обозначается у.
Две перпендикулярные оси х и у с делениями составляют прямоугольную , или декартовую , систему координат , которую предложил французский философ и математик Рене Декарт.
Координатная плоскость
Координаты точки
Точка на координатной плоскости определяется двумя координатами.
Чтобы определить координаты точки $A$ на координатной плоскости нужно через нее провести прямые, которые будут параллельны координатным осям (на рисунке выделены пунктирной линией). Пересечение прямой с осью абсцисс дает координату $x$ точки $A$, а пересечение с осью ординат дает координату у точки $A$. При записи координат точки сначала записывается координата $x$, а затем координата $y$.
Точка $A$ на рисунке имеет координаты $(3; 2)$, а точка $B (–1; 4)$.
Для нанесения точки на координатную плоскость действуют в обратном порядке.
Построение точки по заданным координатам
Пример 1
На координатной плоскости построить точки $A(2;5)$ и $B(3; –1).$
Решение .
Построение точки $A$:
- отложим число $2$ на оси $x$ и проведем перпендикулярную прямую;
- на оси у отложим число $5$ и проведем перпендикулярную оси $y$ прямую. На пересечении перпендикулярных прямых получим точку $A$ с координатами $(2; 5)$.
Построение точки $B$:
- отложим на оси $x$ число $3$ и проведем перпендикулярную оси х прямую;
- на оси $y$ отложим число $(–1)$ и проведем перпендикулярную оси $y$ прямую. На пересечении перпендикулярных прямых получим точку $B$ с координатами $(3; –1)$.
Пример 2
Построить на координатной плоскости точки с заданными координатами $C (3; 0)$ и $D(0; 2)$.
Решение .
Построение точки $C$:
- отложим число $3$ на оси $x$;
- координата $y$ равна нулю, значит точка $C$ будет лежать на оси $x$.
Построение точки $D$:
- отложим число $2$ на оси $y$;
- координата $x$ равна нулю, значит, точка $D$ будет лежать на оси $y$.
Замечание 1
Следовательно, при координате $x=0$ точка будет лежать на оси $y$, а при координате $y=0$ точка будет лежать на оси $x$.
Пример 3
Определить координаты точек A, B, C, D.$
Решение .
Определим координаты точки $A$. Для этого проведем через эту точку $2$ прямые, которые будут параллельными к координатным осям. Пересечение прямой с осью абсцисс дает координату $x$, пересечение прямой с осью ординат дает координату $y$. Таким образом, получаем, что точка $A (1; 3).$
Определим координаты точки $B$. Для этого проведем через эту точку $2$ прямые, которые будут параллельными к координатным осям. Пересечение прямой с осью абсцисс дает координату $x$, пересечение прямой с осью ординат дает координату $y$. Получаем, что точка $B (–2; 4).$
Определим координаты точки $C$. Т.
к. она расположена на оси $y$, то координата $x$ этой точки равна нулю. Координата у равна $–2$. Таким образом, точка $C (0; –2)$.
Определим координаты точки $D$. Т.к. она находится на оси $x$, то координата $y$ равна нулю. Координата $x$ этой точки равна $–5$. Таким образом, точка $D (5; 0).$
Пример 4
Построить точки $E(–3; –2), F(5; 0), G(3; 4), H(0; –4), O(0; 0).$
Решение .
Построение точки $E$:
- отложим число $(–3)$ на оси $x$ и проведем перпендикулярную прямую;
- на оси $y$ отложим число $(–2)$ и проведем перпендикулярную прямую к оси $y$;
- на пересечении перпендикулярных прямых получаем точку $E (–3; –2).$
Построение точки $F$:
- координата $y=0$, значит, точка лежит на оси $x$;
- отложим на оси $x$ число $5$ и получим точку $F(5; 0).$
Построение точки $G$:
- отложим число $3$ на оси $x$ и проведем перпендикулярную прямую к оси $x$;
- на оси $y$ отложим число $4$ и проведем перпендикулярную прямую к оси $y$;
- на пересечении перпендикулярных прямых получаем точку $G(3; 4). $
$Построение точки $H$:
- координата $x=0$, значит, точка лежит на оси $y$;
- отложим на оси $y$ число $(–4)$ и получим точку $H(0; –4).$
Построение точки $O$:
- обе координаты точки равны нулю, значит, точка лежит одновременно и на оси $y$, и на оси $x$, следовательно является точкой пересечения обеих осей (началом координат).
Координатная плоскость
Координатная плоскость — это двумерная плоскость, образованная пересечением осей x и y. Его можно использовать для поиска точек на плоскости. На рисунке ниже показана координатная плоскость, на которой указаны пять точек: A, B, C, D и E.
Координатная плоскость также может называться декартовой координатной плоскостью, поскольку она используется как часть декартовой системы координат. .
Свойства координатной плоскости
Несколько свойств характеризуют координатную плоскость.
Ось x и ось y
Координатная плоскость образована пересечением горизонтальной числовой линии, называемой осью x, и вертикальной числовой линии, называемой осью y.
Две оси (множественное число для оси) пересекаются вертикально в точке, называемой началом координатной плоскости.
Сетка часто рисуется на координатной плоскости, чтобы облегчить поиск точки. Сетка представляет собой набор равномерно расположенных горизонтальных и вертикальных линий. Сетка на координатной плоскости выше показана отрезками светло-серых линий.
Квадранты и упорядоченные пары
Местоположение точки задается в виде упорядоченной пары чисел (x 1 , y 1 ). Первое число в паре называется координатой x. Он представляет положение точки на оси X. Точно так же второе число представляет положение точки на оси Y и соответственно называется координатой Y.
Оси также делят координатную плоскость на четыре области, называемые квадрантами, как показано на координатной плоскости выше.
Нахождение точки на координатной плоскости
Начните с начала координат при нахождении точки на координатной плоскости. Считайте либо в положительном (вправо), либо в отрицательном (влево) направлении вдоль оси X, чтобы определить горизонтальное положение точки.
Считайте либо в положительном (вверх), либо в отрицательном (вниз) направлении по оси Y, чтобы определить положение точки по вертикали, как показано на рисунке ниже.
Две точки, одна в квадранте I и одна в квадранте III, показаны на рисунке выше.
Пример:
Запишите упорядоченные пары для точек A, B и C, показанных на координатной плоскости ниже.
Начиная с исходной точки:
Для точки A переместитесь на 2 единицы влево, чтобы получить координату x -2. Поскольку вертикального расстояния для перемещения нет, координата y равна 0. Упорядоченная пара для точки A равна (-2, 0).
Для точки B переместитесь на 4 единицы вправо, чтобы получить координату x, равную 4, затем переместитесь на 3 единицы вниз, чтобы получить координату y, равную -3. Упорядоченная пара для точки B равна (4, -3).
Для точки C переместитесь на 3 единицы вправо, чтобы получить координату x, равную 3, затем переместитесь на 5 единиц вверх, чтобы получить координату y, равную 5.
Заказанная пара для точки C для (3, 5).
Построение графика набора решений на координатной плоскости
График уравнения, записанного в терминах x и y на координатной плоскости, представляет собой набор точек (x, y), который представляет набор решений уравнения.
Например, ниже показаны три решения (их бесконечно много) для y = 2x-1.
| х | у = 2х — 1 | (х, у) | ||
|---|---|---|---|---|
| -2 | у = 2(-2) — 1 = -5 | 90185 1 (90, -60 | у = 2(0) — 1 = -1 | (0, -1) |
| 2 | у = 2(2) — 1 = 3 | (2, 1) | График набора решений показан в координатной плоскости ниже. График содержит три точки, определенные выше. Любая точка на графике линии является частью набора решений для y = 2x — 1. Например, (3, 5) — это еще одна точка на линии, и ее подстановка дает: 5 = 2(3) — 1 5 = 5 верное утверждение, поэтому (3, 5) является решением для y = 2x — 1. Знаете ли вы?Сегодня используется множество других систем координат. Одной из них является Глобальная система позиционирования (GPS), система, которая позволяет вам определять свое местоположение в любой точке Земли в любое время, независимо от погоды. Декартовы координаты — Math InsightДекартовы координаты позволяют задать положение точки на плоскости или в трехмерном пространстве. Декартовы координаты (также называемые прямоугольными координатами) точки представляют собой пару чисел (в двух измерениях) или тройку чисел (в трех измерениях), которые задают расстояния со знаком от оси координат. Декартовы координаты на плоскости Декартовы координаты на плоскости задаются относительно оси координат $x$ и оси координат $y$, как показано на рисунке ниже. Начало координат находится на пересечении осей $x$ и $y$. Декартовы координаты точки на плоскости записываются как $(x,y)$. Первое число $x$ называется $x$-координатой (или $x$-компонентой), так как это расстояние со знаком от начала координат в направлении вдоль оси $x$. Приведенный ниже апплет иллюстрирует декартовы координаты точки на плоскости. Он похож на рисунок выше, только позволяет менять точку. Декартовы координаты на плоскости. Декартовы координаты $(x,y)$ синей точки задают ее положение относительно начала координат, которое является пересечением осей $x$ и $y$. Вы можете изменить положение точки, перетащив ее мышью. Дополнительная информация об апплете. Декартовы координаты трехмерного пространства В трехмерном пространстве декартова система координат основана на трех взаимно перпендикулярных осях координат: оси $x$, оси $y$ и оси $z$- оси, показанной ниже. Загрузка апплета Трехмерные декартовы оси координат. Представление трех осей трехмерной декартовой системы координат. Положительная ось $x$, положительная ось $y$ и положительная ось $z$ — это стороны, помеченные $x$, $y$ и $z$. Начало — это пересечение всех осей. Дополнительная информация об апплете. С приведенными выше определениями положительных осей $x$, $y$ и $z$ результирующая система координат называется правой ; если согнуть пальцы правой руки от положительной оси $x$ к положительной оси $y$, большой палец правой руки будет указывать в направлении положительной оси $z$. Переключение положений положительной оси $x$ и положительной оси $y$ создает левостороннюю систему координат . Правосторонняя и левосторонняя системы координат представляют две одинаково действительные математические вселенные. Проблема в том, что переключение вселенных изменит знак в некоторых формулах. Поскольку эти страницы написаны в правосторонней вселенной, мы предлагаем вам жить в нашей вселенной, изучая эти страницы. В дополнение к трем координатным осям мы часто имеем в виду три координатные плоскости. Декартовы координаты точки в трех измерениях представляют собой тройку чисел $(x,y,z)$. Три числа или координаты определяют расстояние со знаком от начала координат по осям $x$, $y$ и $z$ соответственно. Их можно визуализировать, сформировав прямоугольник с краями, параллельными оси координат, и противоположными углами в начале координат и заданной точке, как показано в следующем апплете. Загрузка апплета Декартовы координаты точки в трех измерениях. Декартовы координаты $(x,y,z)$ точки в трех измерениях задают расстояние со знаком от начала координат по осям $x$, $y$ и $z$ соответственно. Дополнительная информация об апплете. Учитывая приведенную выше аналогию с углом комнаты, мы могли бы сформировать декартовы координаты точки на макушке следующим образом. Представьте, что ваш рост составляет два метра, и вы проходите четыре метра от начала координат по оси $x$, затем поворачиваете налево и проходите параллельно оси $y$ три метра в комнату. Декартовы координаты точки на макушке будут $(4,3,2)$. В отличие от других систем координат, таких как сферические координаты, декартовы координаты задают уникальную точку для каждой пары $(x,y)$ или тройки $(x,y,z)$ чисел, и каждая координата может принимать любые вещественные ценность. |
Координата $x$ задает расстояние вправо (если $x$ положительное) или влево (если $x$ отрицательное) от оси $y$. Точно так же второе число $y$ называется $y$-координатой (или $y$-компонентой), так как это расстояние со знаком от начала координат в направлении вдоль оси $y$. Координата задает расстояние выше (если $y$ положительное) или ниже (если $y$ отрицательное) оси $x$. На следующем рисунке точка имеет координаты $(-3,2)$, так как точка находится на три единицы левее и две единицы вверх от начала координат.
Три оси пересекаются в точке, называемой началом координат. Вы можете представить себе начало координат в точке, где стены в углу комнаты встречаются с полом. Ось $x$ — это горизонтальная линия, вдоль которой пересекаются стена слева от пола. Ось $y$ — это горизонтальная линия, вдоль которой пересекаются стена справа от пола. Ось $z$ — это вертикальная линия, по которой пересекаются стены. Части линий, которые вы видите, стоя в комнате, являются положительной частью каждой из осей, проиллюстрированной половинами каждой оси, помеченными $x$, $y$ и $z$ в апплете ниже. Отрицательная часть этих осей будет продолжением линий за пределами комнаты, что показано на немаркированных половинах каждой оси ниже.
Ветвь каждой оси на противоположной стороне от начала координат (немаркированная сторона) является отрицательной частью. Вы можете перетащить фигуру с помощью мыши, чтобы повернуть ее.
Плоскость $xy$ — это горизонтальная плоскость, натянутая на оси $x$ и $y$. Он идентичен двумерной координатной плоскости и содержит аналогию с полом в комнате. Точно так же $xz$-плоскость — это вертикальная плоскость, натянутая на оси $x$ и $z$ и содержащая аналогию с левой стеной в комнате. Наконец, $yz$-плоскость — это вертикальная плоскость, натянутая на оси $y$ и $z$ и содержащая аналогию с правой стеной в комнате.
Прямоугольный прямоугольник имеет противоположные углы в начале координат и в синей точке. Три координаты синей точки представлены красными точками, которые являются углами прямоугольника вдоль каждой оси. Вы можете изменить точку, перетащив синюю точку с помощью мыши. Как вариант, вы можете самостоятельно изменить одну из координат, перетащив красную точку.