Решение задач на проценты сложные: Как решать задачи с процентами? Примеры решений задач

Сложные проценты на примерах

Задачи на сложные проценты решаются в достаточно быстрый способ при знании нескольких простых формул. Часть из них касается начислений по вкладу или кредиту, когда те осуществляются через определенные промежутки времени . Также сложные проценты используют в задачах химии, медицины и ряде других сфер.

ФОРМУЛЫ СЛОЖНЫХ ПРОЦЕНТОВ

В случае размещения вкладов с капитализацией процентов на годы конечная сумма депозита определяется формулой
Здесь P – первоначальный взнос, r – процентная ставка, n – количество лет. По сложным процентам работают банки, инвестиционные фонды, страховые компании. Распространенные за рубежом, а теперь и в Украине — пенсионные фонды и фонды страхования жизни работают по схеме сложных процентов.
При размещении вкладов с капитализацией процентов ежеквартально формула сложных процентов будет выглядеть
где q – количество полных кварталов.
При капитализации процентов ежемесячно применяют следующую формулу для вычислений
где s – количество месяцев существования соглашения.
Последний случай, непрерывное начисление процентов, когда сложные проценты начисляются ежедневно, рассчитывают по формуле
где m – количество дней.
Страхование жизни и откладывания пенсий исчисляют сложными формулами, кроме начисления сложных процентов ежегодно осуществляются необходимые взносы.
Рассмотрим два случая накопления. Мужчина откладывает 5000 грн. в течение 20 лет. За это время он отложит
20*5000=100000 (грн).
При откладывании в накопительные фонды с годовой ставкой 13%, за первый год сумма возрастет до
5000*(1+13/100)=5650 (грн).
В следующем году человек в данной суммы добавляет еще 5000 грн. В результате, за второй год сумма увеличится
(5650+5000)*(1+0,13)=12034.50 (грн) .
Продолжая подобные вычисления, в конце срока получим сумму размером 457349,58 грн.
Поверьте — ошибок при исчислении форуме, большое значение набегает за счет сложных процентов. Сомнительным остается только история изменения платежеспособности гривны через 20 лет. Учитывая политику государства вкладывать деньги в такие фонды люди не спешат, однако за рубежом практика откладывания денег распространена, правда процентные ставки намного ниже.

Рассмотрим распространенные задачи на сложные проценты.

Пример 1. Вкладчик положил на депозит $ 3000 под 9% годовых на 10 лет. Какая сумма аккумулируется конце 10-го года при годовой капитализации? На сколько вырастет сумма по сравнению с первоначальным взносом?

Решение: Применяем формулу сложных процентов для нахождения суммы в конце срока

Чтобы ответить на второй вопрос, от значения 7102,09 вычитаем сумму вклада.

Разница составляет 4102 доллара.

 

Пример 2. Инвестор вложил 7000 грн под 10% годовых при условии начисления сложных процентов ежеквартально. Какую сумму он получит через 8 лет?

Решение: Применяем 2 формулу сложных процентов. Находим количество кварталов
8*4=32.
и подставляем в формулу

Например, возьмем задачи из учебника для 9 класса авторов А. Г. Мерзляк, В.Б. Полонский, М.С. Якир «Аглгебра». (Номер в скобках)

Задача 1. (556) Костюм стоил 600 грн. После того как цена была снижена дважды, он стал стоить 432 грн., Причем процент снижения второй был в 2 раза больше, чем в первый раз. На сколько процентов каждый раз снижалась цена?

Решение: Для упрощения вычислений обозначим
X – первая скидка;
X/2 – вторая скидка.
Для вычисления неизвестной X составляем уравнение

Упрощаем, и сводим к квадратному уравнению

и решаем


Первый решение не имеет физического смысла, второй учитываем при вычислениях. Значение 0,2 соответствует снижению на 0,2*100%=20% после первой скидки, и X/2 =10% после второй скидки.

 

Задача 2. (557) Определенный товар стоил 200 грн. Сначала его цену повысили на несколько процентов, а затем снизили на столько же процентов, после чего стоимость его стала 192 грн. На сколько процентов каждый раз происходила смена цены товара?

Решение: Поскольку проценты одинаковы, то обозначаем изменении цены товара через X.
На основе условия задачи получим уравнение

Его упрощение приведет к решению уравнения

откуда корни приобретут значений

Первая значение отвергаем, оно меняет суть задачи (сначала имеем снижение, а затем рост процентов, противоречит условию). Второе при пересчете составит 0,2*100%=20% процентов.

 

Задача 3. (558) Вкладчик положил в банк 4000 грн. За первый год ему начислена определенный процент годовых, а второго года банковский процент увеличен на 4%. На конец второго года на счете стало 4664 грн. Сколько процентов составила банковская ставка в первый год?

Решение: Обозначим через X – увеличение вклада в первый год, тогда
X+4/100%=X+0,04
начисления во второй год.
По условию задачи составляем уравнение для определения неизвестной X

После упрощений получим квадратное уравнение вида

Вычисляем дискриминант

и корни уравнения

Первый корень отбрасываем, второй соответствует ставке в 6% годовых.

 

Задача 4. (564) В сосуде 12 кг кислоты. Часть кислоты отлили и долили до прежнего уровня водой. Затем снова отлили столько же, как и в первый раз, и долили водой до прежнего уровня. Сколько литров жидкости отливали каждый раз, если в результате получили 25-процентный раствор кислоты?

Решение: Обозначим через X – часть кислоты, которую отливали.
После первого раза ее осталось 12-X, а процентное содержание кислоты

После второй попытки содержание кислоты в сосуде составило
.
Разведя водой до 12 кг, процентное содержание составляло 25%. Составляем уравнение

Упрощаем проценты и избавляемся знаменателей


Решаем квадратное уравнение


Условии задачи удовлетворяет второе решение, а это значит, что каждый раз отливали 6 кг жидкости.

На этом знакомство со сложными процентами завершается. На практике Вам встретятся как простые так и сложные задачи. При проблемах с вычисления сложных процентов обращайтесь к нам, мы поможем Вам в решении задач.

Задачи на «сложные» проценты

Главная

Блог

Задачи на «сложные» проценты

Разнообразие текстовых задач на применение формулы процентов очень велико. Попробуйте решить задания того содержания и уровня сложности, которые могут встретиться вам на экзамене.
Но сперва повторите материал лекции по «сложным» процентам:

№	Условие	Ответ
1	Собрали 100 кг винограда. После сортировки 30% ягод были отсеяны, а остальные отправлены в магазин для продажи. В магазине 10% ягод испортилось, поэтому они не поступили в продажу. Сколько килограммов винограда поступило в продажу?
2	Число 17,28 трижды увеличивали, а затем трижды уменьшали на одно и то же число процентов. Получили 7,29. Чему равно это число процентов?
3	После двух последовательных повышений зарплата выросла на 56%. На сколько процентов повысили зарплату в первый раз, если второе повышение в процентном отношении было в полтора раза больше первого?
4	В некотором регионе в течение двух лет наблюдался рост рождаемости: в первом году рост рождаемости составил р%, а во втором году — увеличился на единицу по сравнению с процентом роста рождаемости в первом году. Найти процент роста рождаемости в регионе за первый год, если известно, что он на 5,2 меньше, чем процент роста рождаемости за два года.	Рождаемость выросла на 4%.
5	В течение года яблоки подешевели на 40%, а зарплата дважды увеличивалась на 20%. На сколько процентов больше можно купить яблок после снижения цены и повышения зарплаты? А во сколько раз?	На 140% больше яблок, что в 2,4 раза больше первоначального значения
6	В первый год работы завода было выпущено 100 станков типа А. В течение нескольких последующих лет годовой объем производства станков этого типа увеличивался на 25% по сравнению с каждым предыдущим годом, затем на протяжении последующих трех лет поддерживался на достигнутом уровне, после чего станки типа А были сняты с производства. Общее количество выпущенных станков типа А за все время составило 850 штук. Сколько лет завод выпускал станки типа А?	Завод выпускал станки типа А в течение 6 лет.
7	Курс рубля по отношению к доллару падает на 2847% в квартал. Вкладчик разделил имеющуюся у него сумму в долларах на две равные части и одну половину разместил в банке «А» на депозите с начислением 60% годовых, а вторую половину конвертировал в рубли и разместил в банке «Б» на депозите с начислением 510% годовых. В каком из банков через год сумма денег в пересчете на рубли окажется больше?	Через год сумма денег в пересчете на рубли окажется больше в банке «А», чем в банке «Б».
8	Курс рубля в течение двух месяцев уменьшался каждый месяц на одно и то же, не превышающее 22, число процентов. В начале первого месяца гражданин А имел некоторую сумму в долларах, которую он тогда же конвертировал в рубли. Двое других граждан (В и С), имея каждый рублевые суммы в 6,25 раза большие, чем та, которую получил гражданин А от совершенно им валютной операции, конвертировали их в доллары: один — в конце первого месяца, другой — в конце второго. При этом у одного из них оказалось долларов больше ровно на столько, сколько гражданин А имел в начале первого месяца. На сколько процентов за два месяца уменьшился курс рубля?	На 36%

Если вы не смогли решить все задачи, попробуйте справиться с ними с помощью пошаговых тренажеров. Тренажер проведет вас по шагам решения, подскажет, что нужно сделать, проверит промежуточные вычисления и окончательный ответ.

Перейти в Библиотеку   Выбрать вариант подписки

Следите за обновлениями на сайте и подписывайтесь на наш канал в Ютьюбе и группу Вконтакте!

Календарь занятий
Тема недели

сложных процентов | Формулы, вывод и примеры решений

 

Сложные проценты – это проценты, накапливаемые на основную сумму и проценты вместе в течение определенного периода времени. Проценты, накопленные на основную сумму за определенный период времени, также учитываются в основной сумме. Кроме того, проценты начисляются на следующий период времени на накопленную основную стоимость.

Сложные проценты — это новый метод расчета процентов, используемый для всех финансовых и деловых операций по всему миру. Силу сложных процентов можно легко понять, когда мы наблюдаем значения сложных процентов, накопленные за последовательные периоды времени.

Сумма денег в размере 100 долларов США, инвестированная в течение определенного периода времени по ставке 10 % , даст простые проценты в размере 10 долларов США, 10 долларов США, 10 долларов США… за последовательные периоды времени в 1 год, но даст сложные проценты 11 долларов, 12,1 доллара, 13,31 доллара… Давайте узнаем больше об этом и о расчетах сложных процентов в приведенном ниже содержании.

1.	Что подразумевается под сложным процентом?
2.	Формула сложных процентов
3.	Вывод формулы сложных процентов
4.	Формула сложных процентов для различных периодов времени
5.	Часто задаваемые вопросы о сложных процентах

Что означает сложный процент?

Сложные проценты — это проценты, выплачиваемые как на основную сумму, так и на проценты, начисляемые через равные промежутки времени. Через регулярные промежутки времени накопленные проценты объединяются с существующей основной суммой, а затем проценты рассчитываются для новой основной суммы. Новая основная сумма равна сумме исходной основной суммы и накопленных процентов.

Сложные проценты = проценты на основную сумму + сложные проценты через регулярные промежутки времени

Сложные проценты рассчитываются через регулярные промежутки времени, такие как ежегодно (ежегодно), раз в полгода, ежеквартально, ежемесячно и т. д.; Это похоже на то, что реинвестирование процентного дохода от инвестиций заставляет деньги расти быстрее с течением времени! Это именно то, что сложные проценты делают с деньгами. Банки или любая финансовая организация рассчитывают сумму только на основе сложных процентов.

Формула сложных процентов

Сложные проценты рассчитываются после расчета общей суммы за определенный период времени на основе процентной ставки и первоначальной основной суммы. Для первоначального основного долга P, годовой процентной ставки r, периода времени t в годах, частоты начисления процентов ежегодно n формула для расчета суммы выглядит следующим образом.

Приведенная выше формула представляет собой общую сумму на конец периода времени и включает начисленные проценты и основную сумму. Далее, мы можем рассчитать сложные проценты, вычитая основную сумму из этой суммы. Формула расчета сложных процентов выглядит следующим образом 

В приведенном выше выражении

• P — основная сумма
• р — процентная ставка(десятичная)
• n — частота или нет. раз проценты начисляются ежегодно
• т это общий срок владения.

Следует отметить, что приведенная выше формула является общей формулой, когда основная сумма начисляется n раз в год. Если данная основная сумма начисляется ежегодно, сумма после периода времени по процентной ставке r определяется как:

A = P(1 + r/100) ^t и C.I. будет: P(1 + r/100)

t — P .

Вывод формулы сложных процентов

Формула сложных процентов может быть получена из формулы простых процентов. Формула простых процентов представляет собой произведение основной суммы долга, периода времени и процентной ставки (SI = ptr/100). Прежде чем приступить к выводу формулы сложных процентов, давайте разберемся в основных различиях между простыми процентами и расчетом сложных процентов. Основная сумма остается постоянной в течение определенного периода времени для простых расчетов в Интернете, но для расчета сложных процентов проценты добавляются к основной сумме для расчета сложных процентов.

Вывод:  

Вывод формулы сложных процентов дается в следующих шагах:

• Пусть основная сумма равна P, а процентная ставка равна R% годовых. Поскольку проценты начисляются ежегодно, период начисления процентов составляет 1 год. Следует отметить, что основная сумма (P) будет меняться каждые 1 год. Итак, рассчитаем проценты за первый год. Проценты за первый год будут следующими:
• Пусть проценты за первый год равны I ₁
• I _{1 = R% от P = R/100 × P}
• Теперь сумма на конец первого года будет:
• A ₁ = P + I ₁ = P + (R/100 × P). Это даст A ₁ = P (1 + R/100)
.
• Теперь рассчитаем проценты за второй год. Следует отметить, что сумма первого года станет основной суммой второго года. Пусть этот Принципал будет P ₂
• Теперь, P ₂ = A ₁ = P (1 + R/100)
• Теперь возьмем проценты за второй год равными I ₂ = R% от P ₂ , что равно R/100 × P ₂ = R/100 × P(1 + R/100)
• Теперь сумма в конце второго года будет A ₂ = P ₂ + _{I 2 , что равно P (1 + R/100) + R/100 × P(1 + R/ 100)}
• Это выражение можно записать в виде A ₂  = _{P (1 + R/100) (1 + R/100) = P (1 + R/100) ²}
• Продолжая таким образом для n периодов начисления процентов, сумма на конец n ^-го -го периода начисления процентов может быть выражена как A = P(1 + R/100) ⁿ .
• Из приведенных выше формул и вычислений видно, что сложные проценты такие же, как простые проценты для первого интервала. Но с течением времени наблюдается заметная разница в доходах.

Величина простых процентов для каждого года одинакова, поскольку основная сумма, на которую они рассчитаны, постоянна. Но сложные проценты меняются и увеличиваются с годами. Потому что основная сумма, на которую начисляются сложные проценты, увеличивается. Основная сумма за определенный год равна сумме первоначальной основной суммы и накопленных процентов за прошлые годы.

Например, сумма в размере 10 000 долларов США вносится по ставке 10%. В таблице ниже поясняется разница между начислением простых процентов и сложных процентов по этому основному долгу:

Расчет простых процентов (r = 10%)	Расчет сложных процентов (r = 10%)
Для 1 st  год: Р = 10 000 Время = 1 год Проценты = 1000	Для 1 st  год: Р = 10 000 Время = 1 год Проценты = 1000
Для 2 -й  год: Р = 10 000 Время = 1 год Проценты = 1000	Для 2 -й  год: Р = 11000 Время = 1 год Проценты = 1100
Для 3 rd  год: Р = 10 000 Время = 1 год Проценты = 1000	Для 3 rd  год: Р = 12100 Время = 1 год Проценты = 1210
Для 4 -го года: Р = 10 000 Время = 1 год Проценты = 1000	Для 4 -го года: Р = 13310 Время = 1 год Проценты = 1331
За 5 -й  год: Р = 10 000 Время = 1 год Проценты = 1000	Для 5 -го года: Р = 14641 Время = 1 год Проценты = 1464,1
Всего простых процентов = 5000	Общая сумма процентов = 6105,1
Общая сумма = 1000 + 5000 = 6000	Общая сумма = 1000 + 6105,1 = 7105,1

Формула сложных процентов для разных периодов времени

Сложные проценты для данного основного долга могут быть рассчитаны для разных периодов времени с использованием разных формул.

Формула сложных процентов — раз в полгода

Проценты в случае сложных процентов варьируются в зависимости от периода расчета. Если срок начисления процентов составляет полгода, проценты начисляются каждые шесть месяцев, а сумма начисляется два раза в год.

Формула для расчета сложных процентов, когда основная сумма начисляется раз в полгода или раз в полгода, выглядит следующим образом:

Здесь сложные проценты рассчитываются за полугодовой период, поэтому процентная ставка r делится на 2 и период времени удваивается. Формула для расчета суммы, когда основная сумма начисляется раз в полгода или раз в полгода, выглядит следующим образом: 

В приведенном выше выражении

• A – это сумма на конец периода времени
.
• P — первоначальная основная стоимость, r — годовая процентная ставка
• t — период времени
• К.И. это сложные проценты.

Формула начисления сложных процентов — ежеквартально  

Если период времени для начисления процентов — ежеквартальный, проценты начисляются каждые три месяца, а сумма начисляется 4 раза в год. Формула для расчета сложных процентов, когда основная сумма начисляется ежеквартально, имеет следующий вид:

Здесь сложные проценты рассчитываются за квартальный период времени, и, следовательно, процентная ставка r делится на 4, а период времени равен вчетверо. Формула для расчета суммы при ежеквартальном начислении основного долга выглядит следующим образом: 

В приведенном выше выражении

• A — это сумма на конец периода времени
• P — первоначальная основная стоимость, r — годовая процентная ставка
• t — период времени
• К.И. это сложные проценты.

Ежемесячная формула сложных процентов

Ежемесячная формула сложных процентов также известна как проценты, рассчитываемые за месяц, т. е. n = 12. Общая сумма сложных процентов — это окончательная сумма, исключая основную сумму. Ежемесячная формула сложных процентов выражается как:
CI = P (1 + r/12) ^12t  — P

Формула начисления сложных процентов за день

Когда сумма начисляется ежедневно, это означает, что сумма начисляется 365 раз в год. т. е. n = 365. Ежедневная формула сложных процентов выражается так: по окончании предыдущего срока пребывания в должности, но не по первоначальному основному долгу. 9{4 n}\end{уравнение} 

При расчете сложных процентов процентная ставка и каждый период времени должны иметь одинаковую продолжительность.

Советы и подсказки

• Правило 72: Это быстрый способ узнать, сколько времени понадобится, чтобы ваши деньги удвоились. Время удвоения = 72/процентная ставка
  Используя правило 72, мы можем найти количество лет, в течение которого ваши деньги удвоятся, просто разделив 72 на процентную ставку. Например, при сложной процентной ставке 8% ваши деньги удвоятся за 72 ÷ 8 = 9.
• Продолжительность времени, в течение которого применяется процентная ставка, упоминается во многих различных терминах. Иногда его называют «за год», «годовой» или «за год». Все это означает, что вы получите указанную процентную ставку в течение 1 года. Полугодовой – 6 месяцев. В то время как ежеквартально – 3 месяца.

---

 

 

1. Пример 1: Ной ссужает Эмме 4000 долларов США по процентной ставке 10 % годовых с начислением сложных процентов каждые полгода сроком на 2 года. Можете ли вы помочь ему узнать, какую сумму он получает через 2 года от Эммы?

   Решение:

   Давайте идентифицируем предоставленные нам данные: Основная сумма «P» составляет 4000 долларов. Процентная ставка r’ составляет 10 % годовых. Период конвертации = Полгода, Процентная ставка за полугодие = 10/2% = 5%. Период времени «т» составляет 2 года.

   Период времени	Расчет суммы
   1 ст полугодие	Основная сумма = 4000 долларов США Проценты = 5% × 4000 долларов США = (5/100) × 4000 = 200 долларов США Сумма = 4000 долларов США + 200 долларов США = 4200 долларов США
   2 -е полугодие	Основная сумма = 4200 долларов США Проценты = 5% × 4200 долларов США = 5/100 × 4200 = 210 долларов США Сумма = 4200 долларов США + 210 долларов США = 4410 долларов США
   3 рд полугодие	Основная сумма = 4410 долларов Проценты = 5% × 4410 долларов США = 220,5 долларов США Сумма = 4410 долл. США + 220,5 долл. США = 4630,5 долл. США
   4 -е полугодие	Основная сумма = 4630,5 долларов США Проценты = 5% × 4630,5 долл. США =  231,53 долл. США  Сумма = 4630,5 долл. США + 231,53 долл. США = 4862,03 долл. США

   Общая сумма процентов, подлежащих выплате за 2 года: 200 + 210 долларов + 220,5 долларов США + 231,53 долларов США = 862,03 долларов США. Общая сумма = P + I=4000 долл. США + 862,03 долл. США = 4862,03 доллара США. Таким образом, общая сумма составляет 4862,03 доллара США.

    

2. Пример 2:  Решите приведенную выше задачу, используя формулу сложных процентов.

   Решение:

   Основная сумма «P» составляет 4000 долларов. Процентная ставка r – 10 % годовых. Период конвертации = полгода, Процентная ставка за полгода  = 10/2% = 5%. Период времени «т» составляет 2 года. Частота начисления сложных процентов n равна 2.  

   Подставим полученные данные в формулу сложных процентов: A = P(1+{r / 2}/100) ²ⁿ = 4000(1+{10 / 2}/100) ²⁽²⁾ = 4862,03 долл. США

   Следовательно, окончательная сумма составляет 4862,03 доллара США, а формула сложных процентов упрощает решение.

    

перейти к слайдуперейти к слайду

 

 

 

Разбивайте сложные концепции с помощью простых визуальных средств.

Математика больше не будет сложным предметом, особенно когда вы понимаете концепции с помощью визуализаций.

 

 

Забронировать бесплатный пробный урок

 

перейти к слайдуперейти к слайдуперейти к слайдуперейти к слайду

 

Часто задаваемые вопросы о сложных процентах

Как рассчитать сложные проценты?

Для расчета сложных процентов используется следующая формула: CI = P(1 + r/100) ⁿ  — P. В этой формуле рассчитывается сумма, а затем из нее вычитается основная сумма, чтобы получить значение сложных процентов.

В чем разница между простыми и сложными процентами?

Простые проценты — это проценты, выплачиваемые только на основную сумму, тогда как сложные проценты — это проценты, выплачиваемые как на основную сумму, так и на проценты, начисляемые через равные промежутки времени.

Как рассчитать сумму с помощью сложных процентов?

Существует прямая формула расчета сложных процентов. A = P(1 + r/100) ⁿ . Здесь нам нужно определить процентную ставку и временной интервал, за который начисляются сложные проценты.

Как рассчитать сумму по формуле сложных процентов?

Существует общая формула сложных процентов для расчета сложных процентов, т.е.
CI = Сумма — Принципал
где Сумма = P(1 + r/100) ^t . Подставив заданные параметры, такие как P (основная сумма), r (процентная ставка) и t (время), можно легко рассчитать сумму.

Что такое ежемесячная формула сложных процентов?

Ежемесячная формула сложных процентов задается как 
CI = P(1 + (r/12)) ^12t  — P. Где P — основная сумма, r — процентная ставка в десятичной форме, n = 12 (это означает, что сумма начисляется 12 раз в год ), t – время.

Что такое ежедневная формула сложных процентов?

Ежедневная формула сложных процентов задается как 
A = P (1 + r / 365) ^{365 t} , где P — основная сумма, r — процентная ставка в десятичной форме, n = 365 (это означает, что сумма начисляется 365 раз в год), и т — время.

Какова формула сложных процентов для будущей стоимости?

Формула сложных процентов для будущей стоимости выражается как FV = PV (1 + r / n) ^{n t} . Здесь PV = приведенная стоимость (первоначальные инвестиции), r = процентная ставка, n = количество раз, когда сумма начисляется, и t = время в годах.

Лучше ли начислять проценты ежедневно, чем ежемесячно?

Проценты, начисляемые ежедневно, имеют 365 циклов начисления процентов в год. Это принесет больше денег по сравнению с процентами, начисляемыми ежемесячно, которые имеют только 12 циклов начисления процентов в год.

Каковы основные недостатки сложных процентов?

Если мы пропустим платеж еще и на день, к концу срока пребывания в должности это может привести к огромным убыткам. Начисление процентов производится для следующего цикла и для более высокого значения. Сложные проценты на самом деле предназначены для помощи кредиторам, но не заемщикам.

Как сложные проценты зависят от периода времени?

Сложные проценты зависят от временного интервала начисления процентов. Временной интервал для начисления процентов может быть сутки, неделя, месяц, квартал, полугодие. Для более короткого периода расчета чистые накопленные сложные проценты выше.

Насколько сложные проценты больше простых процентов?

Сложные проценты могут быть больше, чем простые проценты. Значение сложных процентов меняется и увеличивается в течение последовательных периодов времени. Первоначальная основная сумма в размере 100 долларов США, инвестированная в течение определенного периода времени, даст простые проценты в размере 10 долларов США, 10 долларов США, 10% . .. в течение последовательных периодов времени в 1 год, но даст сложные проценты            10 долларов США, 11 долларов США, 12,1 доллара США, 13,31 доллара США. … Таким образом, сложные проценты больше, чем простые проценты. Только для первого года или для первого цикла расчета значения сложных и простых процентов равны.

Могут ли сложные проценты быть больше основного долга?

Сложные проценты могут превышать основную сумму. Значение сложных процентов меняется и увеличивается в течение последовательных периодов времени. Первоначальная основная сумма в размере 100 долларов США, инвестированная в течение определенного периода времени, даст сложные проценты в размере 10 долларов США, 11 долларов США, 12,1 доллара США, 13,31 доллара США …. за последовательные периоды времени в 1 год каждый. Таким образом, сложные проценты увеличиваются с течением времени и могут быть больше, чем первоначальная основная стоимость.

Как рассчитать сложные проценты за полгода?

Формула для расчета сложных процентов за полгода: CI = p(1 + {r/2}/100) ^2t . — p. Здесь в этой формуле «A» — окончательная сумма, «p» — основная сумма, а «t» — время в годах. В формуле мы можем заметить, что процентная ставка уменьшена вдвое, а время удвоено, чтобы учесть расчет сложных процентов за полгода.

Какая информация требуется для расчета сложных процентов?

Расчет сложных процентов требует от нас знания основной суммы долга, процентной ставки и периода времени. Кроме того, нам необходимо знать временной интервал, за который должны быть рассчитаны проценты.

Что такое единицы сложных процентов?

Единицы сложных процентов — это денежная единица, аналогичная единице, используемой для основной стоимости. Если основная сумма в долларах или иенах, сложные проценты также будут в долларах или иенах.

---

Скачать БЕСПЛАТНЫЕ учебные материалы

Коммерческий математический лист

Формула сложных процентов и примеры

Сложные проценты — это когда проценты начисляются не только на первоначальную сумму инвестиций, но и на любые проценты. Другими словами, проценты начисляются сверх процентов и, таким образом, «начисляются». Формула сложных процентов может использоваться для расчета стоимости таких инвестиций по истечении определенного периода времени или для расчета таких вещей, как время удвоения инвестиций. Примеры этого мы увидим ниже.

реклама

Примеры определения будущей стоимости с помощью формулы сложных процентов

Сначала мы рассмотрим простейший случай, когда мы используем формулу сложных процентов для расчета стоимости инвестиций через определенный промежуток времени. Это называется будущей стоимостью инвестиций и рассчитывается по следующей формуле.

Пример

Инвестиции зарабатывают 3% ежемесячно. Найдите стоимость первоначальных инвестиций в размере 5000 долларов через 6 лет.

Решение

Определите, какие значения даны и какие значения вам нужно найти.

• Ежемесячно начисляется 3%: ставка \(r = 0,03\), а количество начисленных процентов каждый год составляет \(m = 12\)
• Первоначальные инвестиции в размере 5000 долларов США: первоначальная сумма является основной суммой, \(P = 5000\)
• 6 лет: \(t = 6\)

Вы пытаетесь найти \(A\), будущую стоимость (значение через 6 лет). Теперь применим формулу с известными значениями: 9{12 \times 6} \\ &\приблизительно \bbox[border: 1px сплошной черный; отступ: 2px]{5984.74}\end{align}\)

Ответ: Стоимость через 6 лет составит 5984,74 доллара.

Важно! Будьте осторожны при округлении в формуле. Вы должны сделать как можно больше работы в своем калькуляторе и не округлять до самого конца. В противном случае ваш ответ может отличаться на несколько долларов.

Давайте попробуем еще один пример, прежде чем мы попробуем более сложные типы задач.

Пример

Какова стоимость инвестиций в размере 3500 долларов США через 2 года, если они приносят 1,5% прибыли ежеквартально?

Решение

Как и прежде, мы находим будущую стоимость, A. В этом примере нам дано:

• Значение через 2 года: \(t = 2\)
• Зарабатывает 3% в квартальном исчислении: \(r = 0,015\) и \(m = 4\), поскольку ежеквартальное начисление процентов означает 4 раза в год
• Директор: \(P = 3500\)

Применение формулы:

9{4 \times 2}\\ &\приблизительно \bbox[border: 1px сплошной черный; отступ: 2px]{3606. 39}\end{align}\)

Ответ : Стоимость через 2 года составит 3606,39 долларов США.

Существуют и другие типы вопросов, на которые можно ответить, используя формулу сложных процентов. Большинство из них требуют некоторой алгебры, а требуемый уровень алгебры зависит от того, для какой переменной вам нужно решить. Мы рассмотрим некоторые другие возможности ниже.

Пример нахождения скорости при других значениях

Предположим, вам была дана будущая стоимость, время и количество периодов начисления сложных процентов, но вас попросили рассчитать заработанную ставку. Это можно использовать в ситуации, когда вы берете сумму проданного дома и определяете заработанную ставку, если это рассматривается как инвестиция. Рассмотрим следующий пример.

Пример

Миссис Джефферсон купила старинную статую за 450 долларов. Десять лет спустя она продала эту статую за 750 долларов. Если статуя рассматривается как инвестиция, какую годовую ставку она заработала? 9{\ dfrac {1} {10}} = 1 + г \)

Вычислите значение слева и найдите \(r\).

\(\begin{align}1.0524 &= 1 + r \\1.0524 – 1 &= r \\ \bbox[border: 1px сплошной черный; padding: 2px]
{0.0524} &= r\end{align}\)

Следовательно, годовая ставка миссис Джефферсон составила 5,24%. Неплохо! Но здесь определенно была задействована более сложная алгебра. В некоторых случаях вам, возможно, даже придется использовать логарифмы. Обычная ситуация, когда вы можете увидеть это, — это расчет времени удвоения инвестиции по заданной ставке.

Расчет времени удвоения инвестиции по формуле сложного процента

Независимо от первоначально вложенной суммы вы можете найти время удвоения инвестиции, если вам известна ставка и количество периодов начисления сложных процентов. Давайте рассмотрим пример и посмотрим, как это можно сделать.

Пример

Сколько лет потребуется, чтобы инвестиции удвоились в цене, если они приносят 5% годовых?

Может показаться сложным решить, с чего начать, поскольку нам дана только ставка \(r = 0,05\) и количество периодов начисления процентов \(m = 1\). Обратите внимание, что мы пытаемся найти время \(t\). 9{т}\)

Чтобы найти t, возьмем натуральный логарифм ln обеих сторон. По законам логарифмов это позволит вывести показатель степени на передний план.

\(\ln(2) = t\ln\влево(1,05\вправо)\)

Наконец, мы можем разделить, а затем использовать наши калькуляторы, чтобы найти t.

\(\begin{align}t &= \dfrac{\ln(2)}{\ln\left(1.05\right)}\\ &\приблизительно \bbox[граница: 1px сплошной черный; отступ: 2px]{14.2 \text{ лет}}\end{выравнивание}\)

Ответ : Пройдет немногим более 14 лет, прежде чем инвестиции удвоятся в цене.

Тот же процесс можно использовать для определения того, когда инвестиции увеличатся втрое или даже вчетверо. Вы просто использовали бы другое кратное \(P\) в первой части формулы.

реклама

Резюме

Формула сложных процентов используется, когда инвестиции приносят проценты на основную сумму и ранее начисленные проценты.