Решение задач онлайн на вероятность: Калькуляторы по теории вероятностей. Найти вероятность онлайн легко!

Задачи про извлечения шаров из ящика

• Решение онлайн
• Видеоинструкция
• Оформление Word

Из урны, где находятся шаров, среди которых черныхбелых, случайно вытащены шаров. Какова вероятность того, что среди них будет черныхбелых шара?

Пример 1. В первой урне: три красных, один белый шара. Во второй урне: один красный, три белых шара. Наугад бросают монету: если герб – выбирают из первой урны, в противном случае– из второй.
Решение:
а) вероятность того, что достали красный шар
A – достали красный шар
P₁ – выпал герб, P₂ — иначе

b) Выбран красный шар. Найти вероятность того, что он взят из первой урны, из второй урны.
B₁ – из первой урны, B₂ – из второй урны
,

Пример 2.

В ящике 4 шара. Могут быть: только белые, только черные или белые и черные. (Состав неизвестен).
Решение:
A – вероятность появления белого шара
а) Все белые:
(вероятность того, что попался один из трех вариантов, где есть белые)
(вероятность появления белого шара, где все белые)

б) Вытащили, где все черные



в) вытащили вариант, где все белые или/и черные

— хотя бы один из них белый

P_а+P_б+P_в =

Пример 3. В урне 5 белых и 4 черных шара. Из нее вынимают подряд 2 шара. Найти вероятность того, что оба шара белые.
Решение:
5 белых, 4 черных шара
P(A₁) – вынули белый шар

P(A₂) – вероятность того, что второй шар тоже белый

P(A) – подряд выбрали белые шары

Пример 3а. В пачке 2 фальшивых и 8 настоящих денежных купюр. Из пачки вытянули 2 купюры подряд.

Найти вероятность что обе они фальшивые.
Решение:
P(2) = 2/10*1/9 = 1/45 = 0.022

Пример 4. Имеется 10 урн. В 9 урнах по 2 черных и 2 белых шара. В 1 урне 5 белых и 1 черный. Из урны, взятой наугад, вынули шар.
Решение:
P(A) — ? белый шар взят из урны, где 5 белых
B – вероятность того, что вынули из урны, где 5 белых
, — вынули из других
C₁ – вероятность появления белого шара в 9 ур.

С₂ – вероятность появления белого шара, где их 5

P(A₀)= P(B₁) P(C₁)+P(B₂) P(C₂)

Пример 5. 20 цилиндрических валиков и 15 конусообразных. Сборщик берет 1 валик, а затем еще один.
Решение:
а) оба валика цилиндрические

P(Ц₁)=; P(Ц₂)=
Ц₁ – первый цилиндр, Ц₂ – второй цилиндр
P(A)=P(Ц₁)P(Ц₂) =
б) Хотя бы один цилиндр
K₁ – первый конусообр.
K₂ — второй конусообр.
P(B)=P(Ц₁)P(K₂)+P(Ц₂)P(K₁)+P(Ц₁)P(Ц₂)
;

с) первый цилиндр, а второй нет
P(C)=P(Ц₁)P(K₂)

д) Ни один цилиндр.
P(D)=P(K₁)P(K₂)

е) Ровно 1 цилиндр
P(E)=P(Ц₁)P(K₂)+P(K₁)P(K₂)

Пример 6. В ящике 10 стандартных деталей и 5 бракованных.
Наугад извлекают три детали
а) Из них одна бракованная
P_n(K)=C

n^k·p^k·q^n-k ,
P – вероятность бракованных изделий

q – вероятность стандартных деталей

n=3, три детали

б) две из трех деталей бракованных P(2)
в) хотя бы одна стандартная
P(0)-нет бракованных P=P(0)+ P(1)+ P(2) — вероятность того, что хотя бы одна деталь окажется стандартной

Пример 7. В 1-й урне по 3 белых и черных шара, а во 2-й — 3 белых и 4 черных. Из 1-й урны во 2-ю не глядя перекладывают 2 шара, а затем из 2-й вытягивают 2 шара. Какова вероятность, что они разных цветов?
Решение:
При перекладывании шаров из первой урны возможны следующие варианты:
а) вынули за подряд 2 белых шара
P_ББ¹=
На втором шаге всегда будет на один шар меньше, поскольку на первом шаге уже вынули один шар.

б) вынули один белый и один черный шар
Ситуация, когда первым вынули белый шар, а потом черный
P_БЧ=
Ситуация, когда первым вынули черный шар, а потом белый
P_ЧБ=
Итого: P_БЧ¹=
в) вынули за подряд 2 черных шара
P_ЧЧ¹=
Поскольку из первой урны переложили во вторую урну 2 шара, то общей количество шаров во второй урне будет 9 (7 + 2). Соответственно, будем искать все возможные варианты:
а) из второй урны вынули сначала белый, потом черный шар

P_БЧ²P_ББ¹ — означает вероятность того, что вынули сначала белый, потом черный шар при условии, что из первой урны за подряд вынули 2 белых шара. Именно поэтому количество белых шаров в этом случае равно 5 (3+2).
P_БЧ²P_БЧ¹ — означает вероятность того, что вынули сначала белый, потом черный шар при условии, что из первой урны вынули белый и черный шары. Именно поэтому количество белых шаров в этом случае равно 4 (3+1), а черных шаров равно пяти (4+1).
P_БЧ²P_ЧЧ¹ — означает вероятность того, что вынули сначала белый, потом черный шар при условии, что из первой урны вынули за подряд оба черных шара. Именно поэтому количество черных шаров в этом случае равно 6 (4+2).
Вероятность того, что извлеченные 2 шара окажутся разных цветов, равна:

Ответ: P = 0.54

Пример 7а. Из 1-ой урны, содержащей 5 белых и 3 черных шара наугад переложили 2 шара во 2-ую урну, содержащую 2 белых и 6 черных шаров. Затем из 2-ой урны наугад извлекли 1 шар.
1) Какова вероятность того, что извлеченный из 2-ой урны шар оказался белым?

2) Шар извлеченный из 2-ой урны оказался белым. Вычислите вероятность того, что из 1-ой урны во 2-ую были переложены шары разного цвета.
Решение.
1) Событие А — извлеченный из 2-ой урны шар оказался белым. Рассмотрим следующие варианты наступления этого события.
а) Из первой урны во вторую положили два белых шара: P1(бб) = 5/8*4/7 = 20/56.
Всего во второй урне 4 белых шара. Тогда вероятность извлечения белого шара из второй урны равна P2(4) = 20/56*(2+2)/(6+2) = 80/448
б) Из первой урны во вторую положили белый и черный шары: P1(бч) = 5/8*3/7+3/8*5/7 = 30/56.
Всего во второй урне 3 белых шара. Тогда вероятность извлечения белого шара из второй урны равна P2(3) = 30/56*(2+1)/(6+2) = 90/448
в) Из первой урны во вторую положили два черных шара: P1(чч) = 3/8*2/7 = 6/56.
Всего во второй урне 2 белых шара. Тогда вероятность извлечения белого шара из второй урны равна P2(2) = 6/56*2/(6+2) = 12/448
Тогда вероятность того, что извлеченный из 2-ой урны шар оказался белым равна:
P(A) = 80/448 + 90/448 + 12/448 = 13/32

2) Шар извлеченный из 2-ой урны оказался белым, т. е. полная вероятность равна P(A)=13/32.
Вероятность того, что во вторую урну были переложены шары разного цвета (черный и белый) и был выбран белый: P2(3) = 30/56*(2+1)/(6+2) = 90/448
P = P2(3)/ P(A) = 90/448 / 13/32 = 45/91

Пример 7б. В первой урне 8 белых и 3 черных шара, во второй 5 белых и 3 черных. Из первой наудачу выбирают один шар, а из второй два шара. После этого из выбранных трех шаров наудачу берут один шар. Этот последний шар оказался черным. Найти вероятность того, что из первой урны был выбран белый шар.

Решение.
Рассмотрим все варианты события А – из трех шаров, вынутый шар оказался черным. Каким образом могло произойти, что среди трех шаров оказался черный?
а) Из первой урны вынули черный шар, из второй урны вынули два белых шара.
P1 = (3/11)(5/8*4/7) = 15/154
б) Из первой урны вынули черный шар, из второй урны вынули два черных шара.
P2 = (3/11)(3/8*2/7) = 9/308
в) Из первой урны вынули черный шар, из второй урны вынули один белый и один черный шара.
P3 = (3/11)(3/8*5/7+5/8*3/7) = 45/308
г) Из первой урны вынули белый шар, из второй урны вынули два черных шара.
P4 = (8/11)(3/8*2/7) = 6/77
д) Из первой урны вынули белый шар, из второй урны вынули один белый и один черный шара.
P5 = (8/11)( 3/8*5/7+5/8*3/7) = 30/77
Полная вероятность равна: P = P1+P2+ P3+P4+P5 = 15/154+9/308+45/308+6/77+30/77 = 57/77
Вероятность того, что из белой урны был выбран белый шар, равна:
Pб(1) = P4 + P5 = 6/77+30/77 = 36/77
Тогда вероятность того, что из первой урны был выбран белый шар при условии, что из трех шаров был выбран черный, равна:
Pч = Pб(1)/P = 36/77 / 57/77 = 36/57

Пример 7в. В первой урне 12 белых и 16 черных шаров, во второй 8 белых и 10 черных. Одновременно из 1-ой и 2-ой урны вытаскивают по шару, перемешивают и возвращают по одному в каждую урну. Затем из каждой урны вытаскивают по шару. Они оказались одного цвета. Определить вероятность того, что в 1-ой урне осталось столько же белых шаров, сколько было в начале.

Решение.
Событие А — одновременно из 1-ой и 2-ой урны вытаскивают по шару.

Вероятность вытащить белый шар из первой урны: P1(Б) = 12/(12+16) = 12/28 = 3/7
Вероятность вытащить черный шар из первой урны: P1(Ч) = 16/(12+16) = 16/28 = 4/7
Вероятность вытащить белый шар из второй урны: P2(Б) = 8/18 = 4/9
Вероятность вытащить черный шар из второй урны: P2(Ч) = 10/18 = 5/9

Событие А произошло. Событие В — из каждой урны вытаскивают по шару. После перемешивания, вероятность возвращения шара в урну белого или черного шара равна ½.
Рассмотрим варианты события В — они оказались одного цвета.

Для первой урны
1) в первую урну положили белый шар, и вытащили белый, при условии, что ранее был вытащен белый шар, P1(ББ/А=Б) = ½  * 12/28 * 3/7 = 9/98
2) в первую урну положили белый шар, и вытащили белый, при условии, что ранее был вытащен черный шар, P1(ББ/А=Ч) = ½ * 13/28 * 4/7 = 13/98
3) в первую урну положили белый шар, и вытащили черный, при условии, что ранее был вытащен белый шар, P1(БЧ/А=Б) = ½ * 16/28 * 3/7 = 6/49
4) в первую урну положили белый шар, и вытащили черный, при условии, что ранее был вытащен черный шар, P1(БЧ/А=Ч) = ½ * 15/28 * 4/7 = 15/98
5) в первую урну положили черный шар, и вытащили белый, при условии, что ранее был вытащен белый шар, P1(ЧБ/А=Б) = ½  * 11/28 * 3/7 = 33/392
6) в первую урну положили черный шар, и вытащили белый, при условии, что ранее был вытащен черный шар, P1(ЧБ/А=Ч) = ½ * 12/28 * 4/7 = 6/49
7) в первую урну положили черный шар, и вытащили черный, при условии, что ранее был вытащен белый шар, P1(ЧЧ/А=Б) = ½ * 17/28 * 3/7 = 51/392
8) в первую урну положили черный шар, и вытащили черный, при условии, что ранее был вытащен черный шар, P1(ЧЧ/А=Ч) = ½ * 16/28 * 4/7 = 8/49

Для второй урны
1) в первую урну положили белый шар, и вытащили белый, при условии, что ранее был вытащен белый шар, P1(ББ/А=Б) = ½  * 8/18 * 3/7 = 2/21
2) в первую урну положили белый шар, и вытащили белый, при условии, что ранее был вытащен черный шар, P1(ББ/А=Ч) = ½ * 9/18 * 4/7 = 1/7
3) в первую урну положили белый шар, и вытащили черный, при условии, что ранее был вытащен белый шар, P1(БЧ/А=Б) = ½ * 10/18 * 3/7 = 5/42
4) в первую урну положили белый шар, и вытащили черный, при условии, что ранее был вытащен черный шар, P1(БЧ/А=Ч) = ½ * 9/18 * 4/7 = 1/7
5) в первую урну положили черный шар, и вытащили белый, при условии, что ранее был вытащен белый шар, P1(ЧБ/А=Б) = ½  * 7/18 * 3/7 = 1/12
6) в первую урну положили черный шар, и вытащили белый, при условии, что ранее был вытащен черный шар, P1(ЧБ/А=Ч) = ½ * 8/18 * 4/7 = 8/63
7) в первую урну положили черный шар, и вытащили черный, при условии, что ранее был вытащен белый шар, P1(ЧЧ/А=Б) = ½ * 11/18 * 3/7 = 11/84
8) в первую урну положили черный шар, и вытащили черный, при условии, что ранее был вытащен черный шар, P1(ЧЧ/А=Ч) = ½ * 10/18 * 4/7 = 10/63

Шары оказались одного цвета:
а) белые
P1(Б) = P1(ББ/А=Б) + P1(ББ/А=Ч) + P1(ЧБ/А=Б) + P1(ЧБ/А=Ч) = 9/98 + 13/98 + 33/392 + 6/49 = 169/392
P2(Б) = P1(ББ/А=Б) + P1(ББ/А=Ч) + P1(ЧБ/А=Б) + P1(ЧБ/А=Ч) = 2/21+1/7+1/12+8/63 = 113/252
б) черный
P1(Ч) = P1(БЧ/А=Б) + P1(БЧ/А=Ч) + P1(ЧЧ/А=Б) + P1(ЧЧ/А=Ч) = 6/49 + 15/98 + 51/392 + 8/49 = 223/392
P2(Ч) = P1(БЧ/А=Б) + P1(БЧ/А=Ч) + P1(ЧЧ/А=Б) + P1(ЧЧ/А=Ч) =5/42+1/7+11/84+10/63 = 139/252

P = P1(Б)* P2(Б) + P1(Ч)* P2(Ч)  = 169/392*113/252 + 223/392*139/252 = 5/42

Пример 7г. В первом ящике 5 белых и 4 синих шарика, во втором 3 и 1, а в третьем — 4 и 5 соответственно. Наугад выбран ящик и из него вытащенный шарик, оказался синий. Какова вероятность того, что этот шарик со второго ящика?

Решение.
A — событие извлечения синего шарика. Рассмотрим все варианты исхода такого события.
h2 — вытащенный шарик из первого ящика,
h3 — вытащенный шарик из второго ящика,
h4 — вытащенный шарик из третьего ящика.
P(h2) = P(h3) = P(h4) = 1/3
Согласно условию задачи условные вероятности события А равны:
P(A|h2) = 4/(5+4) = 4/9
P(A|h3) = 1/(3+1) = 1/4
P(A|h4) = 5/(4+5) = 5/9
P(A) = P(h2)*P(A|h2) + P(h3)*P(A|h3) + P(h4)*P(A|h4) = 1/3*4/9 + 1/3*1/4 + 1/3*5/9 = 5/12
Вероятность того, что этот шарик со второго ящика равна:
P2 = P(h3)*P(A|h3) / P(A) = 1/3*1/4 / 5/12 = 1/5 = 0.2

Пример 8. В пяти ящиках с 30 шарами в каждом содержится по 5 красных шаров (это ящик состава h2), в шести других ящиках с 20 шарами в каждом — по 4 красных шара (это ящик состава h3). Найти вероятность того, что наугад взятый красный шар содержится в одном из первых пяти ящиков.
Решение: Задача на применение формулы полной вероятности.

30

30

30

30

30

20

20

20

20

20

20

Вероятность того, что любой взятый шар содержится в одном из первых пяти ящиков:
P(H₁) = 5/11
Вероятность того, что любой взятый шар содержится в одном из шести ящиков:
P(H₂) = 6/11
Событие произошло – вытащили красный шар. Следовательно, это могло произойти в двух случаях:
а) вытащили из первых пяти ящиков.
P₅ = 5 красных шаров * 5 ящиков / (30 шаров * 5 ящиков) = 1/6
P(P₅/H₁) = 1/6 * 5/11 = 5/66
б) вытащили из шести других ящиков.
P₆ = 4 красных шара * 6 ящиков / (20 шаров * 6 ящика) = 1/5
P(P₆/H₂) = 1/5 * 6/11 = 6/55
Итого: P(P₅/H₁) + P(P₆/H₂) = 5/66 + 6/55 = 61/330
Следовательно, вероятность того, что наугад взятый красный шар содержится в одном из первых пяти ящиков равна:
P^к.ш.(h2) = P(P₅/H₁) / (P(P₅/H₁) + P(P₆/H₂)) = 5/66 / 61/330 = 25/61

Пример 9. В урне находятся 2 белых, 3 черных и 4 красных шаров. Наудачу вынимают три шара. Какова вероятность, что хотя бы два шара будут одного цвета?
Решение. Всего возможны три варианта исхода событий:
а) среди трех вытащенных шаров оказалось хотя бы два белых.
P_б(2) = P_2б
Общее число возможных элементарных исходов для данных испытаний равно числу способов, которыми можно извлечь 3 шара из 9:

Найдем вероятность того, что среди выбранных 3 шаров 2 белых.

Количество вариантов выбора из 2 белых шаров:

Количество вариантов выбора из 7 других шаров третий шар:

б) среди трех вытащенных шаров оказалось хотя бы два черных (т.е. или 2 черных или 3 черных).
Найдем вероятность того, что среди выбранных 3 шаров 2 черных.

Количество вариантов выбора из 3 черных шаров:

Количество вариантов выбора из 6 других шаров одного шара:


P_2ч = 0.214
Найдем вероятность того, что все выбранные шары черные.

P_ч(2) = 0.214+0.0119 = 0.2259

в) среди трех вытащенных шаров оказалось хотя бы два красных (т.е. или 2 красных или 3 красных).
Найдем вероятность того, что среди выбранных 3 шаров 2 красных.

Количество вариантов выбора из 4 черных шаров:

Количество вариантов выбора из 5 белых шаров остальные 1 белых:


Найдем вероятность того, что все выбранные шары красные.

P_к(2) = 0.357 + 0.0476 = 0.4046
Тогда вероятность, что хотя бы два шара будут одного цвета равна: P = P_б(2) + P_ч(2) + P_к(2) = 0.0833 + 0.2259 + 0.4046 = 0.7138

Пример 10. В первой урне содержится 10 шаров, из них 7 белых; во второй урне 20 шаров, из них 5 белых. Из каждой урны наудачу извлекли по одному шару, а затем из этих двух шаров наудачу взят один шар. Найти вероятность того, что взят белый шар.
Решение. Вероятность того, что из первой урны извлекли белый шар, равна P(б)1 = 7/10. Соответственно, вероятность извлечения черного шара равна P(ч)1 = 3/10.
Вероятность того, что из второй урны извлекли белый шар, равна P(б)2 = 5/20 = 1/4. Соответственно, вероятность извлечения черного шара равна P(ч)2 = 15/20 = 3/4.
Событие А — из двух шаров взят белый шар
Рассмотрим варианты исхода события А.

1. из первой урны вытащили белый шар, из второй урны вытащили белый шар. Затем из этих двух шаров вытащили белый шар. P1 = 7/10*1/4 = 7/40
2. из первой урны вытащили белый шар, из второй урны вытащили черный шар. Затем из этих двух шаров вытащили белый шар. P2 = 7/10*3/4 = 21/40
3. из первой урны вытащили черный шар, из второй урны вытащили белый шар. Затем из этих двух шаров вытащили белый шар. P3 = 3/10*1/4 = 3/40

Таким образом, вероятность можно найти как сумму вышеуказанных вероятностей.
P = P1 + P2 + P3 = 7/40 + 21/40 + 3/40 = 31/40

Пример 11. В ящике n теннисных мячей. Из них игранных m. Для первой игры наудачу взяли два мяча и после игры их положили обратно. Для второй игры также наудачу взяли два мяча. Какова вероятность того, что вторая игра будет проводиться новыми мячами?
Решение. Рассмотрим событие А – игра во второй раз проводилась новыми мячами. Посмотрим какие события могут привести к этому.
Обозначим через g = n-m, количество новых мячей до вытаскивания.
а) для первой игры вытащили два новых мяча.
P1 = g/n*(g-1)/(n-1) = g(g-1)/(n(n-1))
б) для первой игры вытащили один новый мяч и один уже игранный.
P2 = g/n*m/(n-1) + m/n*g/(n-1) = 2mg/(n(n-1))
в) для первой игры вытащили два игранных мяча.
P3 = m/n*(m-1)/(n-1) = m(m-1)/(n(n-1))

Рассмотрим события второй игры.
а) Вытащили два новых мяча, при условии P1: поскольку ранее для первой игры уже вытащили новые мячи, то для второй игры их количество уменьшилось на 2, g-2.
P(A/P1) = (g-2)/n*(g-2-1)/(n-1)*P1 = (g-2)/n*(g-2-1)/(n-1)*g(g-1)/(n(n-1))
б) Вытащили два новых мяча, при условии P2: поскольку ранее для первой игры уже вытащили один новый мяч, то для второй игры их количество уменьшилось на 1, g-1. 2)

Пример 12. В первом, втором и третьем ящиках находится по 2 белых и 3 черных шара, в четвертом и пятом по 1 белому и 1 черному шару. Случайно выбирается ящик и из него извлекается шар. Какова условная вероятность, что выбран четвертый или пятый ящик, если извлеченный шар — белый?
Решение.
Вероятность выбора каждого ящика равна P(H) = 1/5.
Рассмотрим условные вероятности события А — извлечения белого шара.
P(A|H=1) = 2/5
P(A|H=2) = 2/5
P(A|H=3) = 2/5
P(A|H=4) = ½
P(A|H=5) = ½
Полная вероятность извлечения белого шара:
P(A) = 2/5*1/5 + 2/5*1/5 +2/5*1/5 +1/2*1/5 +1/2*1/5 = 0.44
Условная вероятность, что выбран четвертый ящик
P(H=4|A) = 1/2*1/5 / 0.44 = 0.2273
Условная вероятность, что выбран пятый ящик
P(H=5|A) = 1/2*1/5 / 0.44 = 0.2273
Итого, условная вероятность, что выбран четвертый или пятый ящик равна
P(H=4, H=5|A) = 0. 2273 + 0.2273 = 0.4546

Пример 13. В урне было 7 белых и 4 красных шара. Затем в урну положили ещё один шар белого или красного или черного цвета и после перемешивания вынули один шар. Он оказался красным. Какова вероятность, что был положен а) красный шар? б) черный шар?
Решение.
а) красный шар
Событие A — вытащили красный шар. Событие H — положили красный шар. Вероятность, того в урну был положен красный шар P(H=K) = ¹/₃
Тогда P(A|H=K)= ¹/₃*⁵/₁₂ = ⁵/₃₆ = 0.139
б) черный шар
Событие A — вытащили красный шар. Событие H — положили черный шар.
Вероятность, того в урну был положен черный шар P(H=Ч) = ¹/₃
Тогда P(A|H=Ч)= ¹/₃*⁴/₁₂ = ¹/₉ = 0.111

Пример 14. Имеются две урны с шарами. В одной 10 красных и 5 синих шаров, во второй 5 красных и 7 синих шаров. Какова вероятность того, что из первой урны наудачу будет вынут красный шар, а из второй синий?
Решение. Пусть событие A1 — из первой урны вынут красный шар; A2 — из второй урны вынут синий шар:
,
События A1 и A2 независимые. Вероятность совместного появления событий A1 и A2 равна

Пример 15. Имеется колода карт (36 штук). Вынимаются наудачу две карты подряд. Какова вероятность того, что обе вынутые карты будут красной масти?
Решение. Пусть событие A₁ — первая вынутая карта красной масти. Событие A₂ — вторая вынутая карта красной масти. B — обе вынутые карты красной масти. Так как должны произойти и событие A₁, и событие A₂ , то B = A₁ · A₂. События A₁ и A₂ зависимые, следовательно, P(B):
,
Отсюда

Пример 16. В двух урнах находятся шары, отличающиеся только цветом, причем в первой урне 5 белых шаров, 11 черных и 8 красных, а во второй соответственно 10, 8, 6 шаров. Из обеих урн наудачу извлекается по одному шару. Какова вероятность, что оба шара одного цвета?
Решение. Пусть индекс 1 означает белый цвет, индекс 2 — черный цвет; 3 — красный цвет. Пусть событие A_i — из первой урны извлекли шар i-го цвета; событие B_j — из второй урны извлекли шар j -го цвета; событие A — оба шара одного цвета.
A = A₁ · B₁ + A₂ · B₂ + A₃ · B₃. События A_i и B_j независимые, а A_i · B_i и A_j · B_j несовместные при i ≠ j . Следовательно,
P(A)=P(A₁)·P(B₁)+P(A₂)·P(B₂)+P(A₃)·P(B₃) =

Пример 17. Из урны с 3-мя белыми и 2-мя черными шары вытаскиваются по одному до появления черного. Найдите вероятность того, что из урны будет вытащено 3 шара? 5 шаров?
Решение.
1) вероятность того, что из урны будет вытащено 3 шара (т. е. третий шар будет черным, а первые два — белыми).
P=3/5*2/4*2/3=1/5
2) вероятность того, что из урны будет вытащено 5 шаров
такая ситуация не возможна, т.к. всего 3 белых шара.
P = 0

Задание 10 ОГЭ по математике. Вероятность и статистика.

Джамиля Агишева

Задание 10 ОГЭ по математике – это задача по теории вероятностей.

Теория вероятностей рассматривает случайные действия, явления, процессы, исход которых заранее неизвестен. Например, высаживая семена огурцов, мы проводим эксперимент. В результате из десяти семечек может взойти от 0 до 10 ростков, т.е. случайное количество.

Событие – результат некоторого действия. Случайное событие – событие, которое может произойти или не произойти в данном эксперименте. Например, проигрыш или выигрыш нашей любимой футбольной команды заранее предсказать невозможно – это стечение обстоятельств, а сам исход игры мы узнаем по её окончании.

События принято обозначать заглавными латинскими буквами: A, B, C  и т.д.

Пример: A – взошло ровно 9 ростков из десяти посаженных семян огурцов. Оно может произойти или не произойти.

Вероятность события P(A) – это отношение числа  исходов, благоприятствующих событию , к числу всех исходов , возможных в данном эксперименте. Итак,

Имейте в виду, что числитель такой дроби не может быть больше знаменателя, а значит, вероятность всегда меньше либо равна 1.

Приступим к решению задач.

Пример 1. Бабушка испекла одинаковые на вид пирожки: 7 с мясом, 8 с капустой и 5 с яблоками. Внучка Даша наугад выбирает один пирожок. Найдите вероятность того, что пирожок окажется с мясом.

Выбор пирожка – несомненно, испытание для Даши. А вдруг попадётся нелюбимый, с капустой?

Решение. Событие A – достался пирожок с мясом. Найдём m и n.

m – число исходов, благоприятствующих событию A.

n – число всех исходов, возможных в данном эксперименте.

Давайте перефразируем на языке пирожков: m – количество пирожков с мясом, т.е. m=7, n  – количество всех испечённых пирожков, т.е.

Осталось найти вероятность. Вспомним формулу и вычислим. Итак,

Замечание: не забудьте ответ представить в виде десятичной дроби!

Ответ: 0,35.

Давайте рассмотрим задачу посложнее.

Пример 2. В коробке хранятся жетоны с номерами от 5 до 54 включительно. Какова вероятность того, что на извлечённом наугад из коробки жетоне написано двузначное число?

Решение. Событие A – извлечённый наугад жетон содержит двузначное число. Найдём m и n.

m – число жетонов с двузначным номером,  n – число всех жетонов.

Сначала определимся с n. Типичная ошибка считать так: . На самом деле когда-то были жетоны от 1 до 54. Но номера 1, 2, 3 и 4 со временем потерялись, т.е. пропало четыре штуки. Тогда,  .

Сколько жетонов с двузначными номерами? Всего 50, номера 5, 6, 7, 8, 9 (их пять штук) – однозначные. Тогда, .

Итак,

Ответ: 0,9.

Пример 3. В лыжных гонках участвуют 10 спортсменов из России, 8 спортсменов из Швеции и 7 спортсменов из Норвегии. Порядок, в котором спортсмены стартуют, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсмен из Швеции будет стартовать последним.

Решение. Событие A – спортсмен из Швеции будет стартовать последним.

– число спортсменов из Швеции,  – число всех спортсменов.

Т.к. старт определяется жребием, то не важно, под каким стартовым номером будет выступать тот или иной лыжник, под вторым или последним.

Итак,

Ответ: 0,32.

Пример 4. Оля наугад выбирает трёхзначное число. Найдите вероятность того, что оно делится на 51.

Решение. Событие A – выбранное число делится на 51. Найдём m и n.

m – количество трёхзначных чисел, кратных 51, n – число всех трёхзначных чисел.

Последнее трёхзначное число 999. Найдём все числа, кратные 51 среди чисел от 1 до 999 (их даже можно попробовать пересчитать непосредственно: 51, 102, 153, …, 969). Разделим 999 на 51. Получим  , т.е. ровно 19 чисел, кратных 51. Но среди этого количества окажется двузначное число 51, которое не учитывается в задаче, значит, .

Теперь определим n. Чисел от 1 до 999 ровно 999, исключим из них однозначные и двузначные числа от 1 до 99. Таким образом,  .

Итак,

Ответ: 0,02.

Пример 5. Фабрика выпускает сумки. В среднем на 200 качественных сумок приходится двадцать сумок с дефектами. Найдите вероятность того, что купленная сумка окажется качественной. Результат округлите до сотых.

Обратите внимание на условие задачи. Здесь не говорится, что из 200 сумок двадцать – с дефектами. В тексте чётко обозначено, что качественных – 200 штук, а некачественных – 20 штук.

Решение. Событие A – купленная сумка окажется качественной. Найдём m и n.

Всё просто, , .

Итак,

Что-то пошло не так? Полученный результат невозможно будет записать в бланк ответов, т.к. ответом может быть либо целое число, либо конечная десятичная дробь. Ещё раз внимательно перечитываем задачу, а точнее, вопрос задачи. Там сказано: результат округлите до сотых. Помним, калькулятор использовать нельзя. Честно делим в столбик. Т.к. округлить нужно до сотых, то мы найдём три цифры после запятой и только потом запишем результат.

Ответ: 0,91.

 

Больше задач по теории вероятностей: https://ege-study.ru/teoriya-veroyatnostej/ и  https://ege-study. ru/teoriya-veroyatnostej-na-ege-po-matematike/

Простейшие вероятностные задачи 9 класс онлайн-подготовка на Ростелеком Лицей

Достоверное событие, невозможное событие

 

В окружающем нас мире можно наблюдать различные явления, мы будем применять термин «событие», которые обязательно произойдут при некой совокупности условий, такие события называются достоверными.

 

Достоверное событие – это такое событие, которое обязательно произойдет присоблюдении определенных условий.

Например, если подбросить монету, то она через некоторое время обязательно упадет на стол или на любую другую из окружающих поверхностей. Это пример достоверного события.

Невозможное событие

С другой стороны, существуют невозможные события – это те события, которые не произойдут ни при каких условиях.

Пример невозможного события: при подбрасывании монеты она не упадет ни на одну из окружающих поверхностей.

Оба приведенных примера позволяют однозначно предсказать произойдет данное событие либо не произойдет. Тем не менее такое предсказание носит всего лишь качественный характер, потому что не приводится никаких численных оценок или количественных расчетов для того, чтобы сделать такое предсказание. Идея о том, что возможность наступления того или иного события можно выразить числом, появилась у людей после того, как наблюдалось множество явлений, в которых при соблюдении одних и тех же условий какое-либо событие то наступало, то не наступало.

 

Пример с табличками «С», «О», «К»

 

 

Например, у нас в распоряжении имеются три таблички с нарисованными на них буквами «С», «О», «К». Из этих трех букв можно составить шесть разных комбинаций.

 

«К», «О», «С»	«С», «К», «О»	«О», «К», «С»
«С», «О», «К»	«О», «С», «К»	«К», «С», «О»

Расположим таблички случайным образом взакрытую. Случайно получим комбинацию «С», «О», «К». Какова вероятность того, что расположенные случайным образом буквы образуют слово «сок»? Если взглянуть на выписанные комбинации табличек, видно, что одна из шести комбинаций образует слово «сок». Таким образом, из общего числа комбинаций букв слово «сок» составляет  часть.

Полученное число  – это вероятность того, что расположенные вот так в случайном порядке буквы образуют нужное слово. Определение понятия «вероятность» пока не введено, однако, даже на этом простом примере можем прочувствовать смысл этого понятия.

 

Случайное событие, элементарный исход

 

 

Пример с буквами – это искусственно созданная ситуация. Однако в реальной жизни мы постоянно сталкиваемся с тем, что некоторые события при соблюдении определенных условий могут произойти, а могут и не произойти, такие события называются случайными. Теория вероятностей как раз и занимается изучением случайных событий, описанием их свойств и характеристик. В предыдущем примере случайным событием является выпадение слова «сок» при случайном расположении трех букв.

 

Под словами «будут соблюдены определенные условия» подразумевается, например, в эксперименте с монетой, во-первых, подбрасывание монеты, во-вторых, наличие земного тяготения, и, в-третьих, наличие поверхности, на которую монета может упасть.

Для краткости всю эту совокупность условий будет называть испытанием или опытом.

Задача о монете

Изменим условие задачи. Будем говорить не о том, упадет ли монета вообще, а будем говорить о том, какая из ее сторон выпадет. В этом случае мы имеем дело с классическим примером случайного события. Итак, подбрасывание монеты – это испытание, а выпадение, например, орла – случайное событие.

Элементарный исход – каждый из возможных исходов события.

В примере с монетой имеем два элементарных исхода: выпадение орла и выпадение решки. Никаких других возможностей рассматривать не будем, то есть мы не учитываем то, что монета может упасть на ребро, прислониться к стенке и т. д. При этом оба элементарных исхода будем называть равновозможными, или равноправными, то есть будем считать, что при одном броске имеются одинаковые шансы получить на выходе орла или решку.

Исход называется благоприятствующим данному событию, если в результате этого исхода событие наступает.

В примере с монетой имеем дело с двумя случайными событиями (выпадение орла и выпадение решки), для которых определено по одному одноименному благоприятствующему исходу.

Для того чтобы избежать терминологической путаницы, еще раз остановимся на условии задачи. Имеем дело с двумя элементарными событиями, для каждого из которых определен благоприятствующий исход.

Событие 1: выпадение орла (Рис. 1).

Благоприятствующий исход: выпадение орла.

 

Рис. 1. Орел

Событие 2: выпадение решки (Рис. 2).

Благоприятствующий исход: выпадение решки.

Рис. 2. Решка

Обозначения в задачах

 и т. д. (заглавные латинские) – случайные события.

Пусть событие  – выпадение орла, а событие  – выпадение решки.

 – (строчные латинские) – количество элементарных исходов.

 

Общее понятие вероятности, классическое определение

 

 

Пусть у некоторого испытания имеется всего  равновозможных элементарных исходов. Среди них ровно  исходов являются благоприятствующими для некоторого события . Тогда отношение  будет называться вероятностью события  при проведении данного испытания. Обозначается эта вероятность .

 

Классическое определение вероятности:

Вероятностью события  при проведении некоторого испытания называют отношение числа тех исходов, в результате которых наступает событие , к общему числу всех равновозможных между собой исходов этого испытания.

Из определения видно, что:

· Численное значение вероятности всегда лежит в промежутке  (потому что как общее число исходов, так и число благоприятствующих исходов не могут быть отрицательными и число благоприятствующих исходов не может быть больше общего числа исходов).

·  Вероятность равна нулю для невозможного события и вероятность равна единице для достоверного события.

· Для всех остальных, для случайных событий вероятность больше нуля и меньше единицы.

Применим определение, данное выше, к примеру с подбрасыванием монеты.

Общее число элементарных исходов .

Исходов благоприятствующих событию : , поскольку только в одном случае из двух может выпасть орел. Таким образом, .

Соответственно, .

Задание для самостоятельного выполнения: в примере с перестановками трех букв, опираясь на определение вероятности, докажите, что действительно в этой задаче вероятность того, что случайно размещенные буквы образуют слово «сок», равна .

Рассмотрим ряд задач, которые, как и задача с подбрасыванием монеты, уже стали классическими при изучении основ теории вероятностей.

 

Задача 1 (об игральной кости)

 

 

Какова вероятность того, что при единичном бросании игральной кости выпадет одно очко?

 

Событие  – выпадение 1.

 (число граней, на которых нарисовано одно очко).

Общее количество исходов  (общее число граней).

Искомая вероятность .

Ответ: .

 

Задача 2 (о шарах)

 

 

Имеются 5 черных и 5 белых шаров. Все шары помещаются в непрозрачный ящик и перемешиваются. Какова вероятность того, что наугад вынутый из ящика шар окажется черным?

 

Общее количество исходов – это общее количество шаров, находящихся в ящике. .

Событие  – вынимание черного шара.

Число элементарных исходов, благоприятствующих событию  равно числу черных шаров в ящике: .

Искомая вероятность .

Ответ: .

 

Задача 3 (о лотерейных билетах)

 

 

Выпущено 50 000 лотерейных билетов, среди которых 100 являются выигрышными. Какова вероятность того, что купленный билет окажется выигрышным?

 

Общее количество исходов – это общее количество лотерейных билетов .

Событие  – покупка выигрышного лотерейного билета.

Число элементарных исходов, благоприятствующих событию  равно числу всех выигрышных билетов .

Искомая вероятность .

Ответ: .

Во всех рассмотренных примерах мы имели дело с испытаниями, состоящими из одного акта. Рассмотрим более сложные задачи, в которых присутствуют серийные испытания.

 

Задача 4 (о монете)

 

 

Монету подбрасывают три раза. Какова вероятность того, что все три раза выпадет решка?

 

Изобразим результаты испытаний в виде древовидной структуры.

Обозначим элементарное событие «выпадение орла» буквой О, а элементарное событие «выпадение решки» буквой Р.

При первом подбрасывании возможно два результата: орел и решка (Рис. 3).

Рис. 3. Вероятные исходы при первом броске

При втором подбрасывании у каждого исхода есть по два, так называемых наследника (Рис. 4), то есть при втором подбрасывании мы можем получить либо орла, либо решку.

Рис. 4. Вероятные исходы при втором броске

При третьем испытании снова получаем по два исхода (Рис. 5): либо орла, либо решку.

Рис. 5. Вероятные исходы при третьем броске

Соберем все элементарные исходы, наступившие в данной ветке, например, в ветке на Рис. 6 выпал орел (О), орел (О) и решка (Р).

Рис. 6. Выпадение орла, затем орла и решки

В ветке на Рис. 7 выпали РОР.

Рис. 7. Выпадение решки, затем орла и снова решки

Общее число элементарных исходов

Событие  – троекратное выпадение решки (Рис. 8).

Рис. 8. Троекратное выпадение решки

.

Таким образом, искомая вероятность .

Ответ: .

 

Случайное событие (продолжение), несовместимые и противоположные события

 

 

Два случайных события называются несовместимыми, если наступление одного из них исключает возможность наступление другого.

 

Например, при единичном подбрасывании монеты случайное событие «выпадение орла» полностью исключает случайное событие «выпадение решки», то есть эти события несовместны. Другой пример: при бросании игральной кости событие «выпадение одного очка» полностью исключает событие «выпадение шести очков», эти два события также несовместны. Противоположный пример: если бросают две игральные кости, то случайное событие, состоящее в следующем «выпадение трех очков на первой кости», и случайное событие «выпадение пяти очков на второй игральной кости», не исключают друг друга, такие события являются совместными.

Событие  называют противоположным событию , если событие  наступает тогда и только тогда, когде не наступает собятие .

Примеры практически те же: выпадение орла и решки – это противоположные события. При подбрасывании игральных кости выпадение четного и нечетного количества очков – также события противоположные. При стрельбе по мишеням попадание в цель и промах – противоположные события.

Обозначение:  – событие, противоположное событию .

Задание для самостоятельного выполнения: доказать, что противоположные события являются частным случаем несовместных событий.

Вероятности противоположных событий связаны одним свойством. Оно позволяет вычислять вероятность события , если известна вероятность события , то есть противоположного событию .

 

Теорема 1, пример

 

 

Сумма вероятностей противоположных событий равна 1.

 

Эта теорема обладает хорошим практическим приложением, с ее помощью можно вычислять вероятности событий в том случае, когда вероятность противоположного события подсчитать гораздо легче, чем вероятность самого события.

Пример 1

Какова вероятность того, что при трёх последовательных бросках игральной кости хотя бы один раз выпадет 6 очков?

Решение

При одном бросании кубика равновозможно выпадение одного, двух, трёх, четырёх, пяти или шести очков. При втором бросании, вне зависимости от предыдущего броска, возможны те же результаты, для третьего броска – то же самое.

При каждом броске возможно выпадение одного из шести значений. По правилу умножения, общее количество возможных исходов события  исходов.

Событие  – выпадение хотя бы одной шестерки.

Противоположное событие  – шестерка не выпадет ни одного раза. При этом на кубике при каждом броске выпадет два, три, четыре либо пять очков. Если еще раз применить правило умножения, то получаем: количество благоприятствующих исходов для противоположного события  возможных элементарных исходов.

Таким образом, вероятность события , то есть вероятность того, что шестерка не выпадет ни разу, равна:

Сразу же можно найти вероятность исходного события , так как события  и  – противоположные.

 

 

Другой способ решения задачи

 

 

Рассмотрим решение этой же задачи напрямую, без применения теоремы о сложении вероятностей.

 

Применим тот же способ, который использовался в задаче о троекратном подбрасывании монеты. Разница состоит лишь в том, что число элементарных исходов на каждом шаге равно шести, а не двум.

На рисунке (Рис. 9) можно увидеть дерево вариантов для этой задачи. Из всех возможных 216 конечных исходов нужный исход появляется в 91 случае.

Рис. 9. Дерево вариантов для трех бросков кости

Сравнив данный способ решения с тем, который был приведен выше, ясно, что гораздо проще подсчитать вероятность противоположного события, то есть вероятность невыпадения шестерки, чем рисовать такую сложную древовидную схему.

Можно с уверенностью утверждать, что любой другой прямой способ подсчета вероятности выпадения шестерки все равно будет гораздо сложнее, чем подсчет вероятности невыпадения шестерки.

Ранее на уроке были рассмотрены самые распространенные, классические, примеры на подсчет вероятности, а далее мы рассмотрим менее распространенные, но не менее интересные примеры, в которых рассказывается о том, как подсчитывать так называемые геометрические вероятности.

 

Геометрическая вероятность

 

 

Случайным образом выбирается одно из решений неравенства . Какова вероятность того, что оно окажется также решением неравенства ?

 

Решение

Решением первого неравенства  будет , нанесем его на числовую прямую (Рис. 10).

Рис. 10. Графическое решение первого неравенства

Решением второго неравенства  будет . Нанесем полученный промежуток на числовую прямую (Рис. 11).

Рис. 11. Графическое решение первого и второго неравенств

Построим пересечение двух множеств (Рис. 12). В пересечении получится отрезок . Также изобразим этот отрезок на числовой прямой.

Рис. 12. Пересечение решений первого и второго неравенств

На рисунке видно, что если выбирать точки на отрезке  абсолютно случайным образом, то число благоприятствующих исходов  пропорционально длине маленького отрезка , именно тогда решения обоих неравенств совпадут.

Общее число элементарных исходов будет пропорционально длине всего отрезка .

Тогда отношение числа благоприятствующих исходов к общему числу будет равно отношению длин соответствующих отрезков: .

Данный пример демонстрирует метод решения задач на поиск геометрической вероятности. Типичное условие такой задачи состоит в том, чтобы найти вероятность попадания случайным образом выбранной точки в некоторое подмножество заданного в условии задачи геометрического места точек. Это могут быть одномерные задачи (ее пример рассмотрен выше), это могут быть также задачи двумерные и трехмерные.

В случае одномерной задачи необходимо найти отношение длин каких-либо отрезков, заданных в условии. В случае двумерных задач нужно искать отношение площадей. Например, это может быть вероятность того, что случайным образом выбранная точка принадлежит какой-либо части квадрата. Также могут быть задачи трехмерные. Тогда нужно искать отношение объемов.

 

Заключение

 

 

Было введено понятие случайного события. Случайное событие – это сугубо математический объект. Кроме того, была проведена параллель между реальными явлениями и случайными событиями. Далее было определено новое понятие – вероятность случайного события, даны формулы для вычисления вероятности случайного события для ряда примеров случайных событий. На дальнейших уроках будет рассмотрено применения понятий вероятности, то есть вычисление этой величины будет переведено в более практическую плоскость.

 

 

Список литературы

1. Бунимович Б.А., Булычев В.А. Вероятность и статистика. 5–9 классы: Пособие для общеобразоват. учеб. заведений М.: Дрофа, 2002. – 160 с
2. Теория вероятностей и статистика. Тюрин Ю.Н., Макаров А.А., Высоцкий И.Р., Ященко И.В. 2-е изд., перераб. – М.: МЦНМО, Московские учебники, 2008.
3. Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г. Алгебра: элементы статистики и теории вероятностей. 7–9 классы. Учебное пособие. – 3-е изд. – М.: Просвещение, 2005.

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Mathhelpplanet.com (Источник).
2. Vm.psati.ru (Источник).
3. Nsu.ru (Источник).
4. Cde.osu.ru (Источник).

 

Домашнее задание

1. Все натуральные числа от 1 до 30 записаны на одинако­вых карточках и помещены в урну. После тщательного перемешивания карточек из урны извлекается одна карточка. Какова вероятность того, что число на взятой карточке окажется кратным 5?
2. Из букв слова дифференциал наугад выбирается одна буква. Какова вероятность того, что эта буква будет: а) гласной, б) согласной, в) буквой ч?
3. На завод привезли партию из 1000 подшипников. Случайно в эту партию попали 30 подшипников, не удовлетворяющих стандарту. Определить вероятность того, что взятый наудачу подшипник окажется стандартным.

 

Решение задач по теории вероятности на заказ ✅ От 50 р.

Теория вероятностей, в отличие от классического математического анализа, часто оперирует примерами и задачами из повседневной жизни. Применение ее в таких играх, как покер и рулетка, может существенно увеличить выигрыш, особенно если интуиция – не самая сильная ваша сторона. С другой стороны, законы теории вероятностей базируются на простой логике и могут быть поняты и освоены каждым. Поэтому читателю будет полезно ознакомиться с основными понятиями и принципами решения задач по данной теме.
 

Исходя из определения, вероятность наступления события (будем называть это событие А) есть отношения количества вариантов развития, где А происходит (m), к общему количеству вариантов развития (m).

Очевидно, что m всегда меньше или равно n, поэтому величина P никогда не превышает единицы. С другой стороны, m и n неотрицательны, поэтому вероятность не может быть меньше нуля. Часто величину вероятности выражают в процентах, умножая исходное выражение на 100%.
 

Попробуйте ответить на вопрос:

Какое количество автомобилей с одинаковыми цифрами на номере вы скорее всего встретите среди 300 проехавших мимо?

 

Теория вероятностей тесно связана с комбинаторикой – разделом математики, изучающем в том числе размещения, перестановки, сочетания элементов из множеств. Читателю стоит освоить следующие понятия: размещение, сочетание, размещение и сочетание с повторением из n различных элементов по m в каждом, перестановка из n элементов.
 

Например:

Сколькими способами можно взять три разных карточных короля – сочетание из 4 элементов по 3 в каждом?

Если комбинации из трех карт могут еще отличаться порядком – например, пики–крести–черви и черви-пики-крести, – размещение из 4 элементов по 3 в каждом. Если масти могут совпадать, но порядок не важен – сочетание с повторением, а если все-таки важен – то размещение с повторением. А вот сколькими способами можно упорядочить три карты – перестановка из 3 элементов. С формулами для расчета данных величин читатель может ознакомиться в любом учебном пособии по дисциплине «Теория вероятностей и математическая статистика».
 

Определите, сколькими способами можно наугад достать три белых шара из урны, где 5 белых шаров и 2 черных? Какова при этом вероятность такого исхода?

 

В качестве следующего этапа в освоении теории вероятностей следует изучить связи между вероятностями различных событий. Читателю стоит ознакомиться с такими понятиями, как совместные и несовместные события, благоприятствующие и противоположные события, сумма(объединение) событий, произведение(совмещение) событий, полная группа событий.
 

В качестве примера рассмотрим следующую ситуацию.

Лучник стреляет в мишень, при этом событие А состоит в том, что он поражает ее, событие А1 – стрела попадает в «десятку», а событие В – стрела летит в «молоко».

События А и B являются несовместными, так же как события А1 и В. События А и А1 являются совместными. Событие А1 благоприятствует событию А, но обратное утверждение неверно. Событие B является противоположным по отношению к А и А1. События А и В образуют полную группу событий, а А1 и В или А и А1 – нет.
 

Совмещение и произведение событий очень наглядно иллюстрируется графически. Рассмотрим события в качестве контуров, заключающих в себе все исходы, при которых эти события происходят. При этом площадь под контуром А1 также принадлежит к контуру А. Белым цветом будем обозначать пустое множество, а желтым — результаты суммы (объединения) или умножения (совмещения) различных комбинаций из А, А1 и В. Почему контур А1 внутри А?

Суммой (объединением) А и B будет событие А+В:

Произведением (совмещением) А и B будет событие AB, которое невозможно, так как контуры А и B не пересекаются:

Сумма А + А1:

Произведение АА1:

Сумма А1+В:

Произведение А1В:

Cо всеми вышеизложенными понятиями и с формулами для сложения и умножения вероятностей читатель аналогичным образом может ознакомиться в любом учебном пособии по данному предмету. Изображение вероятностей в качестве геометрических контуров часто помогает при решении задач с множеством заданных условий и сложными связями между ними.

Попробуйте самостоятельно изобразить события А+А1В, А(А1+В), АВ +А1.

 

Если рассматривать цепочку событий, происходящих последовательно, необходимо ввести понятие условной вероятности P_A(B) – вероятности события B, при условии, что А наступило. Читателю следует ознакомиться с формулой полной вероятности и с формулой Бейеса.
 

В качестве примера условной вероятности существует очень интересная задача, называемая парадоксом Монти Холла:

Представьте, что вы – участник шоу, в котором вам предстоит выбирать из трех закрытых дверей одну, за которой находится приз. За двумя другими дверями ничего нет. Ведущий знает, где находится приз, и предлагает вам выбрать дверь. После вашего предположения ведущий не открывает выбранную вами дверь, но из двух оставшихся открывает ту, за которой ничего нет. После этого он предлагает вам либо оставить свой выбор прежним, либо выбрать другую дверь. Станете ли вы менять свой выбор и почему?

 

Для решения задач с большим количеством испытаний классические формулы с использованием сочетаний и размещений неудобны, так как вычисляются с большим трудом (чему равен факториал 10000?). Как правило, подобные задачи легко узнаваемы, и их решение заключается в применении одной формулы, в выборе оной и состоит сложность задания. Читателю стоит освоить понятия и области применения для формул Бернулли, Лапласа и Пуассона.
 

При написании статьи автор использовал учебное пособие «Элементы теории вероятностей и математической статистики», авт. М.Ф.Рушайло, изд. РХТУ им. Д.И.Менделеева, 2005.
 
 

Мы беремся решать задачи по теории вероятностей. Чтобы заказать у нас работу, вам нужно только прикрепить файл и указать срок.
Узнать цену работы можно абсолютно бесплатно.

Помощь по теории вероятности — решение заданий и задач онлайн

Оглавление:

Здравствуйте! Я Людмила Анатольевна Фирмаль, занимаюсь помощью студентам более 17 лет. У меня своя команда грамотных, сильных преподавателей. Мы справимся с любой поставленной перед нами работой технического и гуманитарного плана. И неважно – она по объёму на две формулы или огромная, сложно структурированная, на 125 страниц! Нам по силам всё, поэтому не стесняйтесь, присылайте.

Если что-то непонятно — вы всегда можете написать мне в WhatsApp и я вам помогу!

Вы можете написать сообщение в WhatsApp. После этого я оценю ваш заказ и укажу стоимость и срок выполнения вашей работы. Если условия Вас устроят, Вы оплатите, и преподаватель, который ответственен за вашу работу, начнёт выполнение и в согласованный срок или, возможно, раньше срока Вы получите файл готовой работы в личные сообщения.

Сколько стоит помощь

Стоимость помощи зависит от задания и требований Вашего учебного заведения. На цену влияют: сложность, количество заданий и срок выполнения. Поэтому для оценки стоимости заказа максимально качественно сфотографируйте или пришлите файл задания, при необходимости, загружайте поясняющие фотографии лекций, файлы методичек, указывайте свой вариант.

Какой срок выполнения

Минимальный срок выполнения составляет 2-4 дня, но помните, срочные задания оцениваются дороже.

Как оплатить

Сначала пришлите задание, я оценю, после вышлю вам форму оплаты, в которой можно оплатить с баланса мобильного телефона, картой Visa и MasterCard, apple pay, google pay.

Гарантии и исправление ошибок

В течение 1 года с момента получения Вами готового решения действует гарантия. В течении 1 года я и моя команда исправим любые ошибки.

Чуть ниже я предоставила формулы чтобы вы освежили знания и примеры оформления заказов по некоторым темам теории вероятностей, так я буду оформлять ваши работы если закажите у меня, это не все темы, это лишь маленькая часть их, чтобы вы понимали насколько подробно я оформляю.

Основные комбинаторные формулы

Пусть имеется множество , состоящее из различных элементов. -выборкой называется множество, состоящее из элементов, взятых из множества .

Упорядоченной называется выборка, для которой важен порядок следования элементов. Если каждый элемент множества может извлекаться несколько раз, то выборка называется выборкой с повторениями.

Возможно эта страница вам будет полезна:

Число упорядоченных -выборок (размещений) с повторениями и без повторений равно

Если , то размещения без повторений называются перестановками, т. е. это — расположение элементов исходного множества в определенном порядке. Число перестановок из элементов равно

Пустое множество можно упорядочить только одним способом:

Число неупорядоченных -выборок (сочетаний) с повторениями , и без повторений равно

Число различных разбиений множества из элементов на непересекающихся подмножеств (причем в первом подмножестве элементов, во втором элементов и т. д., а ) равно

Пример оформления заказа №1.

В партии транзисторов стандартных и бракованных. При контроле оказалось, что первые транзисторов стандартны. Найти вероятность того, что следующий транзистор будет стандартным.

Решение:

Всего осталось для проверки транзисторов, из которых стандартных . По формуле классического определения вероятности

Пример оформления заказа №2.

Среди кандидатов в студенческий совет факультета три первокурсника, пять второкурсников и семь студентов третьего курса. Из этого состава наугад выбирают пять человек. Найти вероятность того, что все первокурсники попадут в совет.

Решение:

Число способов выбрать пять человек из 3 + 5 + 7= 15 равно числу сочетаний из 15 по 5 (неупорядоченная выборка без повторений):

Выбрать трех первокурсников из трех можно одним способом. Оставшихся двух членов совета можно выбрать способами:

Искомая вероятность

Пример оформления заказа №3.

Банковский сейф имеет кодовый замок, состоящий из шести дисков с восемью буквами на каждом. Сейф открывается при наборе единственной комбинации букв. Злоумышленник пытается открыть сейф, причем на проверку одной кодовой комбинации у него уходит 10 с. Какова вероятность того, что злоумышленник успеет открыть сейф, если в его распоряжении 1 ч?

Решение:

Обозначим искомую вероятность через . По формуле (1.1) она будет равна . Здесь — общее число исходов, равное числу кодовых комбинаций замка, оно определяется по формуле (1.3) и равно — число благоприятствующих исходов, в данном случае равное числу комбинаций, которые успеет испробовать злоумышленник за 1 ч, т. е. 360. Таким образом, искомая вероятность будет равна

Теоремы сложения и умножения вероятностей

Вероятность суммы несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий

Вероятность суммы двух совместных событий равна сумме вероятностей каждого из событий минус вероятность их совместного появления:

Вероятность суммы трех совместных событии вычисляется по следующей формуле:

Вероятность суммы событии равна

С учетом того, что , вероятность суммы событий (если ) удобнее вычислять по формуле

Вероятность произведения двух событии равна вероятности одного из них, умноженной на условную вероятность второго при наличии первого.

Для независимых событий

Вероятность произведения п событии равна

где — вероятность появления события при условии, что события в данном опыте произошли.

В случае независимых событий данная формула упрощается:

Пример оформления заказа №4.

Сообщение передается одновременно по каналам связи, причем для надежности по каждому каналу оно повторяется раз. При одной передаче сообщение (независимо от других) искажается с вероятностью . Каждый канал связи (независимо от других) «забивается» помехами с вероятностью ; «забитый» канал не может передавать сообщения. Найти вероятность того, что адресат получит сообщение без искажений.

Решение:

Обозначим события:

= {хотя бы один раз сообщение передано без искажений};

= {по -му каналу сообщение хотя бы один раз было передано без искажений}.

Для выполнения события -й канал, во-первых, не должен быть забит помехами и, во-вторых, хотя бы одно сообщение по нему не должно быть искажено.

Вероятность того, что канал не «забит» помехами, равна .

Вероятность того, что хотя бы одно сообщение передано без помех, равна ( — вероятность того, что все сообщения переданы с искажениями).

Тогда

Вероятность события , состоящего в том, что хотя бы на одном канале произойдет событие, равна:

Пример оформления заказа №5.

Какова вероятность угадать в спортлото «5 из 36» не менее трех номеров?

Решение:

Событие — угадать не менее трех номеров в спортлото, разбивается на сумму трех несовместных событий:

— угадать ровно три номера;

— угадать ровно четыре номера;

— угадать ровно пять номеров.

При этом , так как события несовместны.

Найдем вероятность . Для этого воспользуемся формулой (1.1). Здесь общее число комбинаций по формуле (1.7) будет равно числу возможных заполнений карточек:

Число благоприятствующих комбинаций в этом случае определяется следующим образом. Выбрать три номера из пяти выигравших можно способами. Однако каждый выбор трех правильных номеров сочетается с выбором двух неправильных номеров. Число таких выборок равно . Таким образом, число благоприятствующих событий равно произведению найденных чисел:

Тогда

Аналогично вычисляются

Таким образом, искомая вероятность будет равна

Пример оформления заказа №6.

В урне белых черных шаров. Из урны вынимаются сразу два шара. Найти вероятность того, что эти шары будут разных цветов.

Решение:

Введем следующие обозначения: — шар белый, — шар черный, — шары разных цветов. Событие может появиться в двух несовместных вариантах: (Б, Ч) или (Ч, Б). По правилу умножения вероятностей:

По правилу сложения вероятностей несовместных событий

Формула полной вероятности. Формула Байеса

Допустим, что проводится некоторый опыт, об условиях которого можно сделать исключающих друг друга предположений {гипотез): при .

Событие может появляться совместно с одной из гипотез . Тогда полная вероятность события равна

Если опыт произведен и произошло некоторое событие , то определить вероятность гипотезы с учетом того, что произошло событие , можно по формуле Байеса:

Пример оформления заказа №7.

В продажу поступили телевизоры трех заводов. Продукция первого завода содержит 10 % телевизоров с дефектом, второго — 5 % и третьего — 3 %. Какова вероятность купить неисправный телевизор, если в магазин поступило 25 % телевизоров с первого завода, 55 % — со второго и 20 % — с третьего?

Решение:

С рассматриваемым событием = {приобретенный телевизор оказался с дефектом} связано три гипотезы: = {телевизор выпущен первым заводом}, = {выпущен вторым заводом}, = {выпущен третьим заводом}. Вероятности этих событий определяются из условия задачи:

Условные вероятности события также определяются из условия задачи:

Отсюда по формуле полной вероятности следует:

Пример оформления заказа №8.

На вход радиоприемного устройства с вероятностью 0,9 поступает смесь полезного сигнала с помехой, а с вероятностью 0,1 только помеха. Если поступает полезный сигнал с помехой, то приемник с вероятностью 0,8 регистрирует наличие сигнала, если поступает только помеха, то регистрируется наличие сигнала с вероятностью 0,3. Известно, что приемник показал наличие сигнала. Какова вероятность того, что сигнал действительно пришел?

Решение:

С рассматриваемым событием = {приемник зарегистрировал наличие сигнала} связано две гипотезы: = {пришел сигнал и помеха}, = {пришла только помеха}. Вероятности этих гипотез

Условные вероятности события по отношению к гипотезам и находим из условия задачи:

Требуется определить условную вероятность гипотезы по отношению к событию , для чего воспользуемся формулой Байеса:

Пример оформления заказа №9.

Для решения вопроса идти в кино или на лекцию, студент подбрасывает монету. Если студент пойдет на лекцию, он разберется в теме с вероятностью 0,9, а если в кино — с вероятностью 0,3. Какова вероятность того, что студент разберется в теме?

Решение:

Применим формулу полной вероятности (3.1). Пусть — событие, состоящее в том, что студент разобрался в теме, событие (гипотеза) — студент идет в кино, — студент идет на лекцию. Известны из условия задачи следующие вероятности:

Искомая вероятность события будет равна

Пример оформления заказа №10.

Пусть одна монета из 10 000 000 имеет герб с обеих сторон, остальные монеты обычные. Наугад выбранная монета бросается десять раз, причем во всех бросаниях она падает гербом кверху. Какова вероятность того, что была выбрана монета с двумя гербами?

Решение:

Применим формулу Байеса (3.2). Пусть событие состоит в том, что монета десять раз подряд падает гербом кверху. Гипотезы: — выбрана обычная монета; — выбрана монета с двумя гербами. По условию задачи необходимо определить условную вероятность . Неизвестные в формуле (3.2) вероятности равны

Следовательно,

Повторения независимых опытов

Пусть производится независимых одинаковых опытов. В результате каждого опыта событие появляется с вероятностью . Вероятность того, что в последовательности из опытов событие произойдет ровно раз (формула Бернулли), равна

где — вероятность того, что событие не произойдет в одном опыте.

Вычисление вероятностей при больших значениях по формуле Бернулли проблематично. Поэтому вычисление соответствующих вероятностей проводится с помощью следующих приближенных формул:

1) если количество испытаний велико , а вероятность события мала , так что и то используется формула Пуассона:

2) если количество испытаний велико, вероятности и не малы, так что выполняются следующие условия:

то применяются приближенные формулы Муавра-Лапласа:

• локальная

где

• интегральная

где

функция Лапласса.

Функции и табулированы (прил. 1,2). При использовании таблиц следует помнить, что является четной , а функция Лапласа — нечетной .

Пусть производится серия из независимых испытаний, в результате каждого из которых может появиться одно из событий с вероятностями соответственно.

Вероятность того, что в серии из испытаний событие наступит ровно раз, событие раз,событие раз равна:

Пример оформления заказа №11.

По каналу связи передается сообщений, каждое из которых независимо от других, с вероятностью оказывается искаженным. Найти вероятности следующих событий:

= {ровно два сообщения из шести искажены},

= {не менее двух сообщений из шести искажены},

= {все сообщения будут переданы без искажений},

= {все сообщения будут искажены}.

Решение:

По формуле Бернулли (4.1)

Пример оформления заказа №12.

Вероятность появления события А за время испытаний равна 0,8. Определить вероятность того, что в 100 испытаниях событие появится: а) 80 раз; б) не менее 75 и не более 90 раз; в) не менее 75 раз.

Решение:

• Воспользуемся локальной теоремой Муавра-Лапласа:

тогда

• Согласно интегральной теореме Муавра-Лапласа

Значение функции Лапласа определяем по таблице Лапласа:

Случайная величина. Закон распределения

Под случайной величиной (СВ) понимается величина, которая в результате опыта со случайным исходом принимает то или иное значение, причем, заранее, до опыта, неизвестно, какое именно. Случайные величины в зависимости от вида множества значений могут быть дискретными (ДСВ) или непрерывными (НСВ).

Закон распределения случайной величины — это любая функция, таблица, правило и т. п., устанавливающая соответствие между значениями случайной величины и вероятностями ее наступления.

Функцией распределения случайной величины называется вероятность того, что она примет значение меньшее, чем аргумент функции :

Свойства функции распределения:

Рядом распределения дискретной называется таблица, в верхней строке которой перечислены все возможные значения , а в нижней — вероятности их появления

Так как события

несовместны и образуют полную группу, то справедливо контрольное соотношение

Функция распределения любой дискретной СВ есть разрывная ступенчатая функция, скачки которой происходят в точках, соответствующих возможным значениям случайной величины, и равны вероятностям этих значений:

Плотностью распределения (плотностью вероятности) непрерывной случайной величины называется производная ее функции распределения

Основные свойства плотности распределения:

1. Плотность распределения неотрицательна: .
2. Условие нормировки:.
3. Вероятность попадания случайной величины на произвольный участок равна:

• Функция распределения случайной величины выражается через ее плотность:

Пример оформления заказа №13.

По одной и той же стартовой позиции противника производится пуск пяти ракет, причем вероятность попадания в цель при каждом пуске одной ракеты равна 0,6. Число попаданий в цель — случайная величина . Определить ряд распределения и функцию распределения величины .

Решение:

Случайная величина может принимать следующие значения: 0, 1, 2, 3, 4, 5. Найдем вероятность принятия величиной этих значений, используя формулу Бернулли:

Ряд распределения имеет вид:

Пример оформления заказа №14.

Случайная величина распределена по закону, определяемому плотностью вероятности вида

Найти константу , функцию распределения и вычислить .

Решение:

Константу вычислим исходя из условия нормировки:

откуда = 0,5.

Так как плотность вероятности задана различными формулами на разных интервалах, то и функцию распределения будем искать для каждого интервала в отдельности:

Окончательно имеем

Вероятность

Числовые характеристики случайной величины

Математическое ожидание характеризует среднее значение СВ и определяется по формуле:

Свойства математического ожидания:

Начальный момент -го порядка есть математическое ожидание — й степени этой случайной величины:

Центрированной случайной величиной называется СВ, математическое ожидание которой находится в начале координат (в центре числовой оси) .

Операция центрирования (переход от нецентрированной величины к центрированной ) имеет вид:

Центральный момент порядка есть математическое ожидание — й степени центрированной случайной величины :

Дисперсия случайной величины характеризует степень рассеивания (разброса) значений случайной величины относительно ее математического ожидания и определяется по следующей формуле:

Свойства дисперсии:

Средним квадратическим отклонением (СКО) называется характеристика

СКО измеряется в тех же физических единицах, что и СВ, и характеризует ширину диапазона значений СВ.

Правило За. Практически все значения СВ находятся в интервале

Модой случайной величины называется ее наиболее вероятное значение, т. е. то значение, для которого вероятность (для дискретной СВ) или (для непрерывных СВ) достигает максимума.

Медианой случайной величины называется такое ее значение, для которого выполняется условие

Медиана, как правило, существует только для непрерывных случайных величин.

Квантилью случайной величины является такое ее значение, для которого выполняется условие

Пример оформления заказа №15.

Из партии численностью 25 изделий, среди которых имеется шесть нестандартных, случайным образом выбраны три изделия. Найти математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение нестандартных изделий, содержащихся в выборке.

Решение:

По условию задачи принимает следующие значения:

Вероятность того, что в этой выборке окажется ровно

нестандартных изделий, вычисляется по формуле

откуда

Дисперсию определим по формулам:

Тогда

Пример оформления заказа №16.

Непрерывная СВ распределена по закону Лапласа:

Найти коэффициент , математическое ожидание дисперсию , среднее квадратическое отклонение .

Решение:

Для нахождения коэффициента воспользуемся свойством нормировки плотности распределения

откуда

Так как функция — нечетная, то

дисперсия

соответственно равны:

Типовые законы распределения

Дискретная имеет геометрическое распределение, если она принимает значения с вероятностями

где — параметр распределения

Числовые характеристики геометрического распределения:

Дискретная имеет биномиальное распределение, если она принимает значения со следующими вероятностями:

где — параметры распределения

Числовые характеристики биномиального распределения:

Дискретная имеет распределение Пуассона, если она принимает значения со следующими вероятностями:

где — параметр распределения .

Числовые характеристики пуассоновской СВ:

Непрерывная имеет равномерное распределение, если ее плотность вероятности в некотором интервале постоянна, т. е. если все значения в этом интервале равновероятны:

Числовые характеристики равномерно распределенной СВ:

Непрерывная , принимающая только положительные значения, имеет экспоненциальное распределение, если ее плотность вероятности и функция распределения равны:

где — параметр распределения .

Числовые характеристики экспоненциальной СВ:

Непрерывная имеет нормальное распределение, если ее плотность вероятности и функция распределения равны:

где — параметры распределения — функция Лапласа.

Значения функции Лапласа приведены в прил. 2. При использовании таблицы значений функции Лапласа следует учитывать, что

Числовые характеристики нормальной СВ:

Пример оформления заказа №17.

Время безотказной работы аппаратуры является случайной величиной , распределенной по экспоненциальному закону. Среднее время безотказной работы составляет 100 ч. Найти вероятность того, что аппаратура проработает больше среднего времени.

Решение:

Так как среднее время безотказной работы, т. е. математическое ожидание, равно 100 часов, то параметр экспоненциального закона будет равен

Искомая вероятность будет равна

Пример оформления заказа №18.

Для замера напряжения используются специальные датчики. Определить среднюю квадратичную ошибку датчика, если он не имеет систематических ошибок, а случайные величины распределены по нормальному закону и с вероятностью 0,8 не выходят за пределы ±0,2.

Решение:

Из условия задачи следует, что

Так как распределение ошибок нормальное, а математическое ожидание равно нулю (систематические ошибки отсутствуют), то

По таблице функции Лапласа находим аргумент

откуда

Функции одного случайного аргумента

Рассмотрим функцию одного случайного аргумента . Если — непрерывная случайная величина, то плотность вероятности величины определяется по формуле

где — плотность вероятности величины ;

— функции, обратные функции ;

— число обратных функций для данного . Весь диапазон значений необходимо разбить на интервалы, в которых число обратных функций постоянно, и определить вид по формуле (8.1) для каждого интервала.

Если — дискретная случайная величина, принимающая значения то величина будет принимать дискретные значения с вероятностями

Числовые характеристики функции одного случайного аргумента Xопределяются по следующим формулам: — начальные моменты:

• математическое ожидание:

• центральные моменты:

• дисперсия:

Пример оформления заказа №19.

Определить плотность вероятности величины если — случайная величина, равномерно распределенная на интервале [-1,2].

Решение:

Так как равномерно распределена в интервале [-1, 2], то ее плотность вероятности по формуле (7.4) равна:

Построим график величины для в интервале [-1, 2] и в зависимости от числа к обратных функций выделим следующие интервалы для (рис. 8.1):

Так как на интервалах и обратная функция не существует, то для этих интервалов .

В интервале [0,1] две обратных функции:

По формуле (8.1) получим

В интервале (1,4] одна обратная функция

следовательно,

Таким образом, плотность вероятности величины равна

Пример оформления заказа №20.

Случайная величина равномерно распределена от -1 до +1. Определить математическое ожидание и дисперсию величины .

Решение:

Плотность вероятности равна:

Вычислим математическое ожидание по формуле (8.3):

Дисперсию рассчитаем по формуле (8.5):

Двухмерные случайные величины

Функцией распределения двухмерной случайной величины называется вероятность совместного выполнения двух событий и :

Свойства двухмерной функции распределения:

Функция распределения может задаваться для непрерывных и дискретных случайных величин.

Для непрерывной двухмерной случайной величины существует двухмерная плотность распределения:

Свойства двухмерной плотности:

Для дискретных случайных величин закон распределения задается матрицей распределения, содержащей вероятности появления всех возможных пар значений :

удовлетворяющих условию

Одномерные ряды вероятностей составляющих определяются по следующим формулам:

Условным законом распределения называется распределение одной случайной величины, найденное при условии, что другая случайная величина приняла определенное значение.

Условные плотности для непрерывных составляющих и определяются по следующим формулам:

Условные ряды распределения для дискретных составляющих и определяются по следующим формулам:

Величина независима от величины , если ее закон распределения не зависит от того, какое значение приняла величина . Для независимых величин выполняются следующие соотношения:

1 )

2) для непрерывных —

3) для дискретных —

Пример оформления заказа №21.

Двухмерная случайная величина распределена по закону, приведенному ниже в таблице:

Определить одномерные ряды вероятностей величин и , условный ряд вероятностей величины при условии, что . Исследовать зависимость случайных величин и .

Решение:

Определим ряды вероятностей и по формулам (9.9) и (9.10), т. е. выполним суммирование по столбцам и по строкам.

Условный ряд при получаем по формуле (9.13):

Величины и зависимы, т. к.

Пример оформления заказа №22.

Двухмерная случайная величина равномерно распределена в области ограниченной прямыми

Исследовать зависимость случайных величин и .

Запишем в аналитической форме совместную плотность вероятности:

Определим , используя условие нормировки (9.5):

Определим одномерные плотности величин и по формуле (9.6):

Очевидно, что критерий независимости (9.16) величин не выполняется, т. е.

следовательно, величины и зависимы.

Числовые характеристики двухмерных случайных величин

Рассмотрим основные числовые характеристики двухмерной случайной величины .

Смешанный начальный момент порядка равен математическому ожиданию произведения и :

Смешанный центральный момент порядка равен математическому ожиданию произведения центрированных величин и :

где — элементы матрицы вероятностей дискретной величины ;

— совместная плотность вероятности непрерывной величины .

Рассмотрим наиболее часто используемые начальные и центральные моменты:

Корреляционный момент характеризует степень тесноты линейной зависимости величин и и рассеивание относительно точки :

Коэффициент корреляции характеризует степень линейной зависимости величин:

Для любых случайных величин . Если величины и независимы, то .

Пример оформления заказа №23.

Определить коэффициент корреляции величин и для примера 9.1.

Решение:

Определим математические ожидания величин и по формуле (10.3):

Определим по формуле (10.1):

Найдем значение по формуле (10.5)

Определим дисперсии величин и по формуле (10.4):

Значение коэффициента корреляции вычислим по формуле (10.6):

Пример оформления заказа №24.

Определить коэффициент корреляции величин и для примера 9.2.

Решение:

Найдем математическое ожидание и дисперсию величины по формулам (10. 3) и (10.4) соответственно:

Так как область симметрична относительно осей координат, то величины и будут иметь одинаковые числовые характеристики:

Определим корреляционный момент по формуле (10.5):

Коэффициент корреляции величин и будет равен по формуле (10.6):

Функции случайных величин

Рассмотрим функцию двух случайных аргументов . Функция распределения величины определяется по формуле

где — совместная плотность вероятности величин и .

В формуле (11.1) интегрирование производится по области , которая определяется из условия .

В случае, когда , функция распределения

а плотность вероятности

Если величины и независимы, то

Числовые характеристики функции двух случайных непрерывных величин и имеющих совместную плотность , определяются по следующим формулам:

• начальные моменты:

• центральные моменты:

В случае, когда закон распределения аргументов и неизвестен, а известны только их числовые характеристики -математическое ожидание и дисперсия величины , могут быть определены по следующим формулам:

Если , то математическое ожидание равно

В случае независимых сомножителей и дисперсия может быть определена по формуле.

Если — заданные коэффициенты, то математическое ожидание и дисперсия равны:

Пусть — независимые случайные величины, значит математическое ожидание и дисперсия равны:

Отметим, что если независимые случайные величины распределены по нормальному закону, то также будет распределена по нормальному закону. В этом случае, вычислив и по формулам (11.11, 11.12) и подставив их в формулу нормального закона, можно полностью определить закон распределения .

Пример оформления заказа №25.

Устройство состоит из двух блоков — основного и резервного. При отказе основного блока автоматически включается резервный блок. Определить вероятность безотказной работы устройства в течение 10 ч, если время безотказной работы блоков случайно и распределено по показательному закону, а среднее время наработки на отказ — 10 ч.

Решение:

Определим закон распределения вероятностей времени безотказной работы устройства:

где — время безотказной работы блоков.

Величины и независимы и имеют одинаковую плотность вероятностей:

Вычислим величину . Для показательного закона . Определим плотность вероятности по формуле (11.4):

Вычислим вероятность того, что :

Пример оформления заказа №26.

Величины независимы и имеют следующие числовые характеристики:

Определить коэффициент корреляции величин и :

Решение:

Вычислим математические ожидания и по формуле (11.11):

Вычислим дисперсии и по формуле (11.12), учитывая, что величины независимы и :

Рассчитаем корреляционный момент по формуле (10.5). Для этого определим :

Так как

Таким образом,

Тогда

Величину определим по формуле (10.6):

Оценка закона распределения

Генеральной совокупностью называется множество объектов, из которых производится выборка. Каждый из объектов задает фиксированное значение случайной величины.

Выборка — множество случайно отобранных объектов (значений) из генеральной совокупности.

Объемом выборки называется число входящих в нее объектов.

Вариационным рядом называется выборка , полученная в результате расположения значений исходной выборки в порядке возрастания. Значения называются вариантами.

Эмпирическая функция распределения определяется формулой

Эмпирическая функция распределения является наилучшей оценкой функции распределения (несмещенной, состоятельной, эффективной).

Если анализируемая является дискретной с известным множеством значений , то по исходной выборке объемом определяется статистический ряд распределения вероятностей.

где — частота появления -го значения;

— число значений в выборке.

Если анализируемая является непрерывной, то по исходной выборке строится интервальный статистический ряд вероятностей.

где — номер интервала;

— число непересекающихся и примыкающих друг к другу интервалов, на которые разбивается диапазон значений :

где — целая часть числа . Желательно, чтобы без остатка делилось на ;

— левая и правая границы -го интервала причем ;

— длина -го интервала;

— количество чисел в выборке, попадающих в -й интервал;

— частота попадания в у-и интервал;

— статистическая плотность вероятности в -м интервале.

При построении интервального статистического ряда вероятностей используют следующие методы разбиения диапазона значений на интервалы: 1) равноинтервальный, т. е. все интервалы одинаковой длинны:

2) равновероятностный, т. е. границы интервалов выбирают так, чтобы в каждом интервале было одинаковое число выборочных значений (необходимо, чтобы без остатка делилось на ):

Гистограмма — статистический аналог графика плотности вероятности и она строится по интервальному статистическому ряду. Гистограмма представляет собой совокупность прямоугольников, построенных, как на основаниях, на интервалах статистического ряда с высотой, равной статистической плотности вероятности в соответствующем интервале.

Для равноинтервального метода все прямоугольники гистограммы имеют одинаковую ширину, а для равновероятностного метода — одинаковую площадь. Сумма площадей всех прямоугольников гистограммы равна единице.

Пример оформления заказа №27.

Задана выборка случайной величины : {4, 3, 3, 5, 2, 4, 3, 4, 4, 5}. Построить вариационный ряд и график эмпирической функции распределения .

Решение:

Вариационный ряд случайной величины имеет вид {2, 3, 3, 3, 4, 4,4,4,5,5}.

Определяем значения эмпирической функции распределения F\x) по формуле (12.1):

График функции имеет вид:

Замечание. В каждой точке оси , соответствующей значениям функция имеет скачок. В точке разрыва F*(x) непрерывна слева и принимает значение, выделенное знаком .

Пример оформления заказа №28.

Вариационный ряд случайной величины имеет следующий вид:

Построить гистограмму равноинтервальным и равновероятностным методами.

Решение:

Объем выборки равен 100. Количество интервалов определяем по формуле (12.2):

Для равноинтервального метода построения интервального статистического ряда вероятностей величины рассчитаны по формулам (12.3), (12.4) :

Равноинтервальная гистограмма имеет вид:

Для равновероятностного метода построения интервального статистического ряда вероятностей величины рассчитаны по формулам (12. 5), (12.6):

Равновероятностная гистограмма имеет вид:

Точечные оценки числовых характеристик и параметров

Статистической оценкой параметра распределения называется приближенное значение параметра, вычисленное по результатам эксперимента (по выборке).

Точечной называется оценка, определяемая одним числом.

Оценка называется состоятельной, если при увеличении объема выборки она сходится по вероятности к значению параметра :

Оценка называется несмещенной, если ее математическое ожидание точно равно параметру для любого объема выборки:

Несмещенная оценка является эффективной, если ее дисперсия минимальна по отношению к дисперсии любой другой оценки этого параметра.

Состоятельная несмещенная оценка математического ожидания, называемая выборочным средним , вычисляется по формуле

Числовые характеристики :

Состоятельная несмещенная оценка дисперсии равна

Числовые характеристики :

Состоятельная несмещенная оценка среднеквадратичного отклонения:

Состоятельная оценка начального момента -го порядка определяется по формуле

Состоятельная оценка центрального момента -го порядка равна

Несмещенная состоятельная и эффективная оценка вероятности случайного события в схеме независимых опытов Бернулли:

где — число опытов, в которых произошло событие ; — число проведенных опытов.

Числовые характеристики :

Для вычисления оценок параметров распределения чаще всего применяются методы моментов и максимального правдоподобия.

Суть метода моментов заключается в следующем. Пусть имеется выборка независимых значений случайной величины с известным законом распределения и неизвестными параметрами . Последовательность вычислений следующая:

• Вычислить значения начальных и/или центральных теоретических моментов:

• Определить соответствующих выборочных начальных и/или центральных моментов по формулам (13.4), (13.5).
• Составить и решить относительно неизвестных параметров систему из уравнений, в которых приравниваются теоретические и выборочные моменты. Каждое уравнение имеет вид или . Найденные корни являются оценками неизвестных параметров.

Замечание. Часть уравнений может содержать начальные моменты, а оставшаяся часть — центральные.

Согласно методу максимального правдоподобия оценки получаются из условия максимума по параметрам положительной функции правдоподобия

Если случайная величина непрерывна, а значения независимы, то

Если случайная величина дискретна и принимает независимые значения с вероятностями

то функция правдоподобия равна

Система уравнений согласно этому методу может записываться в двух
видах:

Найденные корни выбранной системы уравнений являются оценками неизвестных параметров .

Пример оформления заказа №29.

Случайная величина распределена по равномерному закону, т. е.

Необходимо определить оценки параметров и .

Решение:

Для данного закона распределения определяем теоретические выражения двух (по числу неизвестных параметров) моментов:

По исходной выборке определяем оценки этих же моментов и по формулам (13.1) и (13.2) соответственно. Составляем систему их двух уравнений:

Решив ее относительно неизвестных параметров и , получим оценки:

Пример оформления заказа №30.

Пусть — независимые значения случайной величины , распределенной по экспоненциальному закону, т. е.

Необходимо получить оценку параметра методом максимального правдоподобия.

Решение:

Функция правдоподобия имеет вид

Далее записываем уравнение

Решив его, получаем выражение для оценки параметра :

Интервальные оценки числовых характеристик

Доверительным называется интервал, в который с заданной вероятностью (надежностью) попадают значения параметра . Вероятность выбирается близкой к единице: 0,9; 0,95; 0,975; 0,99.

Доверительный интервал надежностью для математического ожидания случайной величины с неизвестным законом распределения:

где — значение аргумента функции Лапласа (прил. 2).

Доверительный интервал надежностью для математического ожидания нормально распределенной случайной величины :

где — значение, взятое из таблицы распределения Стьюдента (прил. 3).

Доверительный интервал надежностью для дисперсии случайной величины с неизвестным законом распределения:

— значение аргумента функции Лапласа (прил. 2).

Доверительный интервал надежностью для дисперсии нормально распределенной случайной величины :

где — значения, взятые из таблицы распределения (прил. 4).

Доверительный интервал надежностью для вероятности события в схеме независимых опытов Бернулли:

где — частота появления события в опытах;

— число опытов, в которых произошло событие ; — число проведенных опытов.

Пример оформления заказа №31.

Производится серия независимых опытов с целью определения вероятности события . В 100 опытах событие произошло 40 раз.

Частота события

принимается за приближенное значение вероятности этого события. Найти вероятность того, что допущенная при этом ошибка меньше 0,1.

Решение:

Необходимо определить с надежность следующий доверительный интервал:

т. е.

(см. формулу (14.5)).

С учетом того, что

искомая вероятность

Пример оформления заказа №32.

Найти минимальный объем выборки, при котором с вероятностью 0,95 точность оценки математического ожидания случайной величины по выборочному среднему равна 0,2, если

Решение:

Из условия задачи известно, что

В соответствии с формулой (14.1) точность оценки математического ожидания

Из таблицы функции Лапласа выбираем значение

Следовательно,

Пример оформления заказа №33.

По результатам 10 измерений определена несмещенная оценка дисперсии . Определить доверительный интервал для дисперсии с надежностью 0,96.

Решение:

Воспользуемся формулой (14.4), т. к. погрешности измерений, как правило, распределены по нормальному закону. Из таблицы выбираем значение

Поэтому

Проверка статистических гипотез о законе распределения

Критерием согласия называется случайная величина

где — значение выборки, которая позволяет принять или отклонить гипотезу о предполагаемом законе распределения.

Алгоритм проверки гипотезы при помощи критерия согласия :

• Построить интервальный статистический ряд вероятностей и гистограмму.
• По виду гистограммы выдвинуть гипотезу:

где — плотность и функция гипотетического закона распределения.

• Используя метод моментов или максимального правдоподобия, определить оценки неизвестных параметров гипотетического закона распределения.
• Вычислить значение критерия по формуле

где — теоретическая вероятность попадания случайной величины в -й интервал при условии, что гипотеза верна:

Замечания. При расчете и в качестве крайних границ первого и последнего интервалов следует использовать теоретические границы гипотетического закона распределения. Например, для нормального закона . После вычисления всех вероятностей проверить, выполняется ли контрольное соотношение

Из таблицы распределения (прил. 4) выбирается значение , где — заданный уровень значимости ( = 0,05 или 0,01), а — число степеней свободы, определяемое по формуле

где — число параметров гипотетического закона распределения, значения которых были определены в п. 3.

Если то гипотеза отклоняется, в противном случае нет оснований ее отклонить.

Последовательность действий при проверке гипотезы о законе распределения при помощи критерия согласия Колмогорова следующая:

• Построить вариационный ряд и график эмпирической функции распределения (см. (12.1)).
• По виду графика выдвинуть гипотезу:

где — функция гипотетического закона распределения.

• Используя метод моментов или максимального правдоподобия, определить оценки неизвестных параметров гипотетического закона распределения.
• Рассчитать 10-20 значений функции и построить ее график в одной системе координат с функцией .
• По графику определить максимальное по модулю отклонение между функциями и .

• Вычислить значение критерия Колмогорова

• Из таблицы распределения Колмогорова (прил. 5) выбрать критическое значение Здесь — заданный уровень значимости ( = 0,05 или 0,01).
• Если , то нулевая гипотеза отклоняется, в противном случае нет оснований ее отклонить.

Пример оформления заказа №34.

Выдвинуть гипотезу о законе распределения случайной величины и проверить ее с помощью критерия . Вариационный ряд, интервальные статистические ряды вероятностей и гистограммы распределения случайной величины приведены в примере 12. 2. Уровень значимости а равен 0,05.

Решение:

По виду гистограмм, приведенных в примере 12.2, выдвигаем гипотезу о том, что случайная величина распределена по нормальному закону:

Используя метод моментов, определим оценки неизвестных параметров и гипотетического (нормального) закона распределения:

Значение критерия вычисляем по формуле (15.1):

При проверке гипотезы используем равновероятностную гистограмму. В этом случае

Теоретические вероятности рассчитываем по формуле (15.2):

После этого проверяем выполнение контрольного соотношения

После этого из таблицы распределения выбираем критическое значение

Так как

то гипотеза принимается (нет основания ее отклонить).

Пример оформления заказа №35.

По критерию Колмогорова проверить гипотезу о равномерном законе распределения

случайной величины по выборке объема 10: 2,68; 1,83; 2,90; 1,03; 0,90; 4,07; 5,05; 0,94; 0,71; 1,16, уровень значимости

Решение:

Вариационный ряд данной выборки имеет вид: 0,71; 0,90; 0,94; 1,03; 1,16; 1,83; 2,68; 2,90; 4,07; 5,05. Построим график эмпирической функции распределения .

Теоретическая функция распределения равномерного закона равна

Максимальная разность по модулю между графиками и :

Вычислим значение критерия Колмогорова:

Из таблицы Колмогорова выбираем критическое значение

Так как

гипотеза о равномерном законе распределения принимается.

Оценка коэффициента корреляции и линейной регрессии

Пусть проводится независимых опытов, в каждом из которых двухмерная принимает определенные значения и результаты опытов представляют собой двухмерную выборку вида

Первичная обработка опытных данных включает в себя обработку составляющих и как одномерных величин (см. раздел 12 — 15) и вычисление оценок присущих только двухмерным (многомерным) случайным величинам.

Состоятельная несмещенная оценка корреляционного момента равна:

где — значения, которые приняли случайные величины в -м опыте; — средние значения случайных величин и соответственно. Состоятельная оценка коэффициента корреляции:

Доверительный интервал с надежностью для коэффициента корреляции и случая двухмерного нормального распределения:

где

значение аргумента функции Лапласа (прил. 2).

Алгоритм проверки гипотезы оботсутствия корреляционной зависимости следующий (предполагается, что двухмерная случайная величина () распределена по нормальному закону):

• Формулируется гипотеза:

Здесь — теоретический коэффициент корреляции.

• Вычисляется оценка коэффициента корреляции по формуле (16.2).
• Определяется значение критерия

который распределен по закону Стьюдента с степенями свободы, если гипотеза верна.

• По заданному уровню значимости вычисляется доверительная вероятность и из таблицы Стьюдента выбирается критическое значение .
• Если то гипотеза отклоняется, а следовательно, величины коррелированны. В противном случае гипотеза принимается.

Регрессией случайной величины на называется условное математическое ожидание случайной величины при условии, что :

Регрессия на устанавливает зависимость среднего значения величины от величины . Если и независимы, то

Если величины распределены по нормальному закону, то регрессия является линейной:

Оценки параметров и по методу наименьших вычисляются по следующим формулам:

где — оценки математического ожидания величин и ;

— оценка дисперсии величины ;

— оценки корреляционного момента величин и .

Для визуальной проверки правильности вычисления величин необходимо построить диаграмму рассеивания и график .

Если оценки параметров рассчитаны без грубых ошибок, то сумма квадратов отклонений всех точек от прямой должна быть минимально возможной.

Пример оформления заказа №36.

Выборочный коэффициент корреляции, вычисленный по выборке объема 10, . Найти 90 %-ный доверительный интервал для коэффициента корреляции .

Решение:

Из таблицы Лапласа выбирается значение

Тогда

Доверительный интервал вычисляем по формуле (16.3).

Пример оформления заказа №37.

Проверить гипотезу об отсутствии корреляционной зависимости при следующих данных:

Предполагается также, что двухмерный закон распределения — нормальный.

Решение:

Вначале вычислим значение критерия по формуле (16.4):

Из таблица Стьюдента выбираем критическое значение

Так как то гипотеза принимается, потому что нет оснований ее отклонить.

Возможно эти страницы вам будут полезны:

• Решение задач по теории вероятностей
• Помощь по теории вероятности
• Заказать работу по теории вероятности
• Контрольная работа по теории вероятности
• Курсовая работа по теории вероятности
• Решение задач по математической статистике
• Помощь по математической статистике
• Заказать работу по математической статистике
• Контрольная работа по математической статистике
• Курсовая работа по математической статистике
• Теория вероятностей краткий курс для школьников и студентов

задача о проблеме секретаря / Хабр

Настало время занимательных задач. Представьте, что вы снимаете квартиру в огромном городе. Как свести к минимуму риски при столь значимом выборе, когда вы ничего не знаете о вариантах заранее? На этот вопрос отвечает теория вероятности и задача о проблеме секретаря. Графики, рассуждения, немного кода на Julia — все подробности под катом.

---

Как теория вероятностей отвечает на вопрос «согласиться или отказать»?

Проблема секретаря или задача о разборчивой невесте в русскоязычной литературе — это известная загадка на тему принятия решений. Речь идет о том, чтобы найти наилучшую стратегию выбора из последовательности, когда вы не знаете, какой вариант лучше. Формулировка задачи звучит так:

Вы менеджер по персоналу и должны нанять лучшего секретаря из кандидатов. Вы можете собеседовать их одного за другим в случайном порядке. Однако решение о назначении или отказе в назначении на должность должно приниматься сразу после собеседования. Если никто не был принят, выбирается последний кандидат. Какую стратегию вы выберете, чтобы максимально увеличить шансы нанять лучшего кандидата?

На первый взгляд, эта задача кажется неразрешимой или даже кажется обманом. На самом деле у нее есть элегантное математическое решение. Вытекающая из задачи практическая мудрость обычно теряется на страницах книг по теории вероятностей. Я думаю, что это очень печально, потому что есть много ситуаций, в которых знание оптимальной стратегии выбора среди неизвестных альтернатив может пригодиться. Например:

• Решение снять квартиру в переполненном городе.
• Быстрый поиск старшей карты при перетасовывании колоды.
• Поиск магазина с невысокими ценами без проходов туда и обратно.
• Обязательства перед долгосрочным партнером.

Во всех этих случаях вы не знаете, какие варианты будут следующими. Тем не менее, вы, возможно, захотите принять решение быстро, но также и правильно. Цель этого поста — раскрыть решение проблемы секретаря понятными словами и при необходимости проиллюстрировать решение.

Прежде чем приступать к делу, нужно принять важное решение. Решите для себя, хотите ли вы снова прочитать загадку и подумать о решении самостоятельно. Я настоятельно рекомендую это сделать, потому что это упражнение для ума. Независимо от того, осознаете вы лучшую стратегию или нет. Если вы нетерпеливы, просто прочитайте вывод.

Случайность? Спасибо, не надо

Проблема секретаря сложна. Невозможно прямо в момент собеседования понять, собеседуете ли вы лучшего кандидата. Вы можете только сравнивать с теми кандидатами, которых уже опросили. Но даже если нынешний кандидат оказался блестящим, самый лучший всегда может прийти сразу после него.

Перед лицом этой полной неопределенности заманчиво довериться удаче. Можно принять произвольное решение: «как бы то ни было, я выбираю первый вариант». Неудивительно, что эта случайная стратегия работает плохо. У вас есть только вероятность , что первый кандидат будет лучшим. То же самое верно и при выборе всегда последнего претендента или всегда кандидата ваши шансы всегда для любого заранее подготовленного варианта.

Случайная стратегия становится все менее пригодной по мере увеличения числа претендентов. Если бы у вас было всего кандидатов, случайный выбор работал бы только в 33% случаев. При претендентов шансы случайно выбрать лучшего кандидата составляют жалких 10%. С это всего 1%. Эти цифры неприемлемы для уважающего себя менеджера по персоналу. Существует ли жизнеспособная стратегия лучше случайного выбора?

Подождать. Подобрать критерии. Опять подождать

В этот момент вы, возможно, поняли, что единственная контролируемая вами переменная — это число людей, которым вы отказали.

Ваша стратегия может состоять только в том, чтобы решить, скольким людям вы хотите отказать, прежде чем начать решать по-настоящему. Сущность подхода — вы хотите подождать достаточно долго, чтобы получить хорошую точку отсчета, а затем выбрать следующего кандидата, подходящего лучше людей, которых вы собеседовали. В количественном выражении эта стратегия формулируется так:

1. Собеседуем R людей и отказываемся нанимать их. Запоминаем лучшего кандидата. Назовем его .
2. Продолжаем опрашивать следующих кандидатов, пока не найдется первый с оценкой выше . То есть, . Выбираем этого кандидата.

Эта стратегия звучит многообещающе, но нужно уточнить деталь: установить, какому количеству людей вы должны отказать.

Когда число слишком велико, вы можете заложить высокие критерии отбора. Но вы рискуете также сказать «нет» лучшему кандидату. Когда число слишком мало, у вас будет скучная точка отсчета. Вы, вероятно, выберете неоптимального кандидата. Что нам нужно сделать, так это найти оптимальное значение количества отказов, учитывая кандидатов в общей сложности. Чтобы понять это, нам понадобится немного математики.

Однако прежде чем заняться математикой, всегда разумно перепроверить, имеет ли смысл общая идея. Рассмотренную стратегию удобно тестировать в случае претендентов. Здесь единственная значимое количество людей, которому следует отказать, — это . В противном случае вы всегда выберете последнего кандидата, если , или первого, если , и оба случая будут просто случайной стратегией.

На приведенном ниже рисунке показаны все 6 возможных комбинаций прибытия трех кандидатов вместе с соответствующими результатами стратегии «вызвать первого кандидата, а затем выбрать следующего лучшего (в противном случае последнего)».

Тестирование оптимальной стратегии остановки с тремя кандидатами.

Стратегия способна выявить лучшего в трех сценариях из шести. То есть мы имеем вероятность успеха . Это больше, чем случайной стратегии. Теперь, когда наш метод, кажется, работает, стоит сделать некоторые математические расчеты.

Оптимизация стратегии

Во-первых, нам нужно вычислить вероятность успеха при выборе лучшего кандидата для некоторого значения из кандидатов, которым отказали. Вероятность успеха можно рассматривать как сумму вероятностей нахождения наилучшего кандидата в позиции , где может состоять из и общего числа (т.е. оставшихся кандидатов):

Рассуждение 1: раскладываем вероятность успеха на взаимоисключающие события, где выбирается кандидат n, который также является лучшим.

Напомним, что принятый кандидат — это первый кандидат, набравший наибольшее количество баллов из отклоненных кандидатов. Однако это не гарантирует, что он также будет лучшим кандидатом в целом. Итак, как рассчитать вероятность того, что выбранный претендент будет одновременно лучшим? Есть два возможных пути.

Первый способ: рассуждение о втором лучшем кандидате

Выбранный кандидат , несомненно, также лучший, когда второму лучшему было отказано в самом начале. Это означает, что требования были высокими настолько, чтобы продолжать отвергать кого-либо еще, кроме лучшего кандидата.

Визуализация рассуждений о позиции второго по значимости кандидата.

На язык математики это переводится так:

Рассуждение 2(а): вычисляем вероятность успеха, установив, что второй лучший кандидат был отброшен среди первых .

Последнее рассуждение просто выводит из суммы независимые от факторы. Вот и все. У нас есть формула. Давайте теперь рассмотрим другой способ достижения такого же результата.

Второй способ: рассуждение о количестве зарегистрированных записей

Альтернативный способ потребовать, чтобы был выбран кандидат и при этом лучший кандидат — это представить себе, что нужно последовательно пройти через всех оставшихся кандидатов от до и бросить специальную монету на каждом.

Монета решит, будет ли этот кандидат регистрировать запись о новом рекордном балле. Из-за случайного упорядочения запись происходит с вероятностью , где -позиция текущего кандидата. Нам нужен только один максимальный результат для монеты кандидата , тогда как все остальные монеты должны провалить новый рекорд с вероятностью .

Визуализация рассуждений о наивысших баллах. Математический эквивалент этой идеи:

Рассуждение 2(b): вычисляем вероятность успеха, установив, что новый высший балл будет иметь место только один раз до последнего кандидата.

Последняя строка — это просто некоторая алгебраическая манипуляция. Мы проверили, что формула такая же, как и полученная предыдущим способом. В математике это прекрасный момент, когда два разных подхода приводят к одному и тому же результату: часто это весомый признак того, что вы не ошибаетесь.

Оптимальное количество отказов

Теперь, когда у нас есть пуленепробиваемая формула для , можно легко вычислить значения для заданного числа кандидатов и посмотреть, какое оптимальное число отказов максимизирует вероятность успеха . Это легко реализуется, например, на языке Julia:

Ns = collect(1:50)                       # number of candidates
P(R,N) = R/N*sum([1/(n-1) for n=R+1:N])  # define function P(R)
Ropt = zeros(Int64,length(Ns))           # define vector for R*
Popt = zeros(length(Ns))                 # define vector for P(R*)
for N in Ns                              # optimization loop
    Popt[N], Ropt[N] = findmax([P(R,N) for R=1:N])
end

Ниже вы можете увидеть график оптимального по мере увеличения и соответствующей вероятности успеха .

Вверху оптимальное значение отказов, как функция от общего числа кандидатов. Зеленым обозначена вероятность успеха выбора лучшего кандидата, следуя оптимальной стратегии отказов. Красным цветом обозначена низкая вероятность успеха при принятии решения с помощью случайности.

Можно отметить две интересные тенденции. Во-первых, вероятность успеха при оптимальной стратегии не стремится к нулю при больших , как при случайном выборе. Это поразительно. При оптимальной стратегии вероятность выбора именно лучшего кандидата не уменьшается, когда существует произвольно много кандидатов. Просто подумайте об этом: более вероятно выбрать лучшего кандидата из 100 с оптимальной стратегией, чем преуспеть, выбирая наугад между 3 кандидатами.

Во-вторых, оптимальное значение следует простой линейной зависимости с . Можем ли мы извлечь из этого практическое правило?

Да, это закон .

Закон получил свое название от асимптотического поведения вероятности успеха: отношение точно соответствует значению, при котором вероятность успеха сходится для больших . Здесь буква обозначает число Эйлера, 1/ составляет около 1/2.72≈0.37, как видно из графика.

Точно так же мы наблюдаем, что оптимальное число отказов растет с сродни лестнице, совершая прыжок каждые 3 или иногда 2 единицы. Знаете что? Точный наклон снова равен это означает, что оптимальный может быть эффективно приближен вычислением .

Кажущееся магическим значение может быть явно получено путем приближения второй последней строки на рисунке «Рассуждение 2(b)» для больших и , но я опущу это вычисление здесь. Важно отметить, что закон справедлив и для более общих случаев проблемы секретаря. Например, когда также известно общее число заявителей, но нам дан крайний срок, к которому кандидаты могут подать заявку. Для получения более подробной информации о последнем сценарии вы можете обратиться к этой статье.

Заключение

Итак, вы хотите выбрать лучший из нескольких вариантов по принципу «бери или уходи», но ничего не знаете о вариантах? Тогда:

1. Отклоните первые приблизительно вариантов.
2. Выберите вариант лучше тех, что вы увидели.

Получить востребованную профессию с нуля или Level Up по навыкам и зарплате, можно пройдя онлайн-курсы SkillFactory:

• Обучение профессии Data Science с нуля
• Онлайн-буткемп по Data Science
• Профессия аналитика с любым стартовым уровнем
• Онлайн-буткемп по Data Analytics
• Курс по аналитике данных
• Курс «Python для веб-разработки»

Eще курсы

• Профессия C++ разработчик
• Профессия Java-разработчик с нуля
• Курс по JavaScript
• Профессия Веб-разработчик
• Курс по Machine Learning
• Курс «Математика и Machine Learning для Data Science»
• Продвинутый курс «Machine Learning Pro + Deep Learning»
• Курс по DevOps
• Профессия iOS-разработчик с нуля
• Профессия Android-разработчик с нуля
• Профессия UX-дизайнер с нуля
• Профессия Web-дизайнер

Решатели статистических задач | Некоторые задачи по статистике могут быть довольно сложными и довольно трудными для решения.

Если вы окажетесь в замешательстве и потеряетесь, используйте одно из следующих средств решения статистических задач, чтобы свести к минимуму свои усилия и сэкономить время. Калькулятор Z-счета Что случилось в твой день рождения? Веб-сайт Поиск информации Visual Coin Flipper & Dice Roller UMN Music History Grader График приливов и отливов для York Beach Maine Scatter Graph Плоттер Калькулятор статистики бега Калькулятор ROI Калькулятор положительного прогнозного значения Калькулятор вероятности Пуассона Расчеты вероятности нормального распределения Получить значение P из Z Score — Delve Partners, LL Find Равновесная точка Факторный калькулятор Распределение Пуассона Симулятор броска кости Калькулятор описательной статистики Количество дней, прожитых с рождения Текущее время Сравнение стоимости жизни в Сингапуре Сравнение уровня преступности в городах Кривые нормального распределения Среднее значение функции за интервал СТАТИСТИКА ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ ПОМОЩЬ ДЛЯ СЛАБЫХ УЧАЩИХСЯ познакомился с учащимися в средней школе. Это предмет, который требует от учащихся научиться составлять графики и диаграммы для представления математической информации. Он в основном имеет дело с математическими значениями и помогает в кратком представлении большого количества информации с использованием этих диаграмм и графиков. Также требуется, чтобы учащиеся запоминали формулы, чтобы иметь возможность решать математические задачи. Хотя статистика является очень научным предметом, многие студенты боятся этого предмета и не могут понять концепции и основы этого предмета, который часто используется банкирами и теми, кто отвечает за ведение учета. Вы просто не можете отказаться от заданий по статистике, данных учителем в школе. К счастью, есть много источников, предоставляющих решение статистических задач студентам, слабым в этом предмете. ОНЛАЙН-ПОМОЩЬ С ЗАДАНИЯМИ ТАКЖЕ ПОМОГАЕТ В ПРОЯСНЕНИИ ВАШИХ ПОНЯТИЙ Статистика — это предмет, который вводится на уровне средней школы и продолжается до окончания школы, если вы выбрали математику в качестве предмета. Если вы обнаружите, что запутались в фундаментальных понятиях среднего, медианы и моды, вам будет сложно пройти математику в старшей школе. Это связано с тем, что статистика становится более сложной с концепциями вероятности и экстраполяции, которые необходимы для решения проблем. Если ваш школьный учитель продолжает двигаться в быстром темпе, не проясняя за вас понятия, лучше поискать помощь с домашним заданием по статистике в другом месте, чтобы предотвратить падение ваших оценок по математике. ВЫПОЛНИТЕ ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ ПО СТАТИСТИКЕ, НЕ ВЫХОДЯ ИЗ ДОМА Как и в случае с другими предметами, учителя старших классов требуют, чтобы учащиеся выполняли задания, данные им дома. Они делают это, чтобы учащиеся проводили некоторое время дома, решая задачи по всем предметам. То же самое и со статистикой, и часто можно увидеть, как студенты еженедельно приносят статистику домашних заданий. Если вы слабы в статистике, вам может оказаться непосильной задачей выполнить домашнюю работу по статистике, не обращаясь за помощью к родителям или братьям и сестрам. Слишком много статистики домашних заданий может стать настоящей занозой в заднице, требующей онлайн-помощи. Да, есть много веб-сайтов, которые помогают учащимся выполнять задания по статистике. Вы можете проверить некоторые из этих веб-сайтов и составить список некоторых из них в зависимости от честных отзывов и отзывов реальных пользователей. После того, как вы зарегистрируетесь в качестве студента на веб-сайте, который обещает помощь в выполнении ваших статистических заданий, все, что вам нужно сделать, чтобы получить помощь, — это опубликовать свой вопрос на веб-сайте и получить решения по электронной почте. Эти веб-сайты пользуются услугами многих экспертов по статистике, и вы можете ожидать ответы на вопросы, размещенные вами, всего за 2 часа. Конечно, вы обязаны платить за услуги, предоставляемые этими сайтами, но эти деньги ничто по сравнению с комфортом и удобством, которые вы получаете за статистику домашних заданий.

Время от времени каждому студенту, решившему детально изучить статистику, требуются дополнительные интернет-источники, которые могут послужить ему учебным навигатором. В этой статье мы перечислим их и расскажем о преимуществах того, как это работает.

ТОП-3 сайта помощи по статистике домашних заданий, на которых можно сразу решить свои проблемы:

• BookwormHub.com
• AcademicExperts.com
• CheapWritingService.com

Некоторые задачи по статистике могут быть довольно сложными и трудными для решения. Если вы окажетесь в замешательстве и потеряетесь или захотите найти альтернативные ресурсы, используйте один из следующих статистические решения задач , чтобы свести к минимуму ваши усилия и сэкономить ваше время.

1. Калькулятор Z-оценки
2. Что случилось в твой день рождения?
3. Поиск информации о веб-сайте
4. Visual Coin Flipper & Dice Roller
5. УМН Класс музыкальной истории
6. Карта приливов и отливов Йорк-Бич, штат Мэн
7. Графический плоттер
8. Калькулятор статистики бега
9. Калькулятор рентабельности инвестиций
10. Калькулятор положительного прогностического значения
11. Калькулятор вероятности Пуассона
12. Расчет вероятности нормального распределения
13. Получение значения P из Z Score — Delve Partners, LL
14. Найти точку равновесия
15. Калькулятор факториала
16. Распределение Пуассона
17. Симулятор броска игральных костей
18. Калькулятор описательной статистики
19. дней, прожитых с момента рождения
20. Текущее время Сингапур
21. Сравнение стоимости жизни
22. Сравнение уровня преступности в городах
23. Кривые нормального распределения
24. Среднее значение функции за интервал

Статистика Помощь в выполнении домашних заданий для отстающих учащихся

Статистика — это раздел математики, с которым учащиеся знакомятся в средней школе. Это предмет, который требует от учащихся научиться составлять графики и диаграммы для представления математической информации. Он в основном имеет дело с математическими значениями и помогает в кратком представлении большого количества информации с использованием этих диаграмм и графиков. Также требуется, чтобы учащиеся запоминали формулы, чтобы иметь возможность решать математические задачи. Хотя статистика является очень научным предметом, многие студенты боятся этого предмета и не могут понять концепции и основы этого предмета, который часто используется банкирами и теми, кто отвечает за ведение учета. Вы просто не можете отказаться от заданий по статистике, данных учителем в школе. К счастью, существует множество источников, предоставляющих решатель задач по статистике для студентов, слабых в этом предмете.

Онлайн-помощь с заданиями также помогает уточнить ваши понятия.

Статистика — это предмет, который вводится на уровне старшей школы и продолжается до окончания школы, если вы выбрали математику в качестве предмета. Если вы обнаружите, что запутались в фундаментальных понятиях среднего, медианы и моды, вам будет сложно пройти через математику в старшей школе. Это связано с тем, что статистика становится более сложной с концепциями вероятности и экстраполяции, которые необходимы для решения проблем. Если ваш школьный учитель продолжает двигаться в быстром темпе, не проясняя за вас понятия, лучше поискать помощь с домашним заданием по статистике в другом месте, чтобы предотвратить падение ваших оценок по математике.

Выполняйте домашнее задание по статистике, не выходя из дома.

Как и в случае с другими предметами, учителя старших классов требуют, чтобы учащиеся выполняли задания, данные им дома. Они делают это, чтобы учащиеся проводили некоторое время дома, решая задачи по всем предметам. То же самое и со статистикой, и часто можно увидеть, как студенты еженедельно приносят статистику домашних заданий. Если вы слабы в статистике, вам может оказаться непосильной задачей выполнить домашнюю работу по статистике, не обращаясь за помощью к родителям или братьям и сестрам. Слишком много статистики домашних заданий может стать настоящей занозой в заднице, требующей онлайн-помощи. Да, есть много веб-сайтов, которые помогают учащимся выполнять задания по статистике. Вы можете проверить некоторые из этих веб-сайтов и составить список некоторых из них в зависимости от честных отзывов и отзывов реальных пользователей.

После того, как вы зарегистрируетесь в качестве студента на веб-сайте, который обещает помощь в выполнении ваших статистических заданий, все, что вам нужно сделать, чтобы получить помощь, — это опубликовать свой вопрос на веб-сайте и получить решения по электронной почте. Эти веб-сайты пользуются услугами многих экспертов по статистике, и вы можете ожидать ответы на вопросы, размещенные вами, всего за 2 часа. Конечно, вы обязаны платить за услуги, предоставляемые этими сайтами, но эти деньги ничто по сравнению с комфортом и удобством, которые вы получаете за статистику домашних заданий.

Free Math Help — уроки математики, учебные пособия, решатели и статистические калькуляторы онлайн

Наш сайт предлагает широкий выбор справочных ресурсов по математике , включая сотни статистических, исчислений, алгебры, анализа решений и финансовых калькуляторов с пошаговыми инструкциями. Поэтому, пожалуйста, поищите вокруг, чтобы найти то, что вам нужно. Мы постоянно добавляем новые учебники и уроки, решатели, онлайн-калькуляторы и решаемые математические задачи.

Помощь по математике, которую мы предоставляем, в основном подходит для студентов колледжей и старших классов , хотя мы считаем, что есть немного для всех. Мы можем помочь вам по следующим темам:

Ищите наши справочные пособия по математике и статистике, онлайн-решатели и калькуляторы с помощью навигационных меню в верхней части страницы, или вы можете искать то, что вам нужно, в поле поиска ниже:

Наша миссия

Mathcracker стремится помочь ВАМ ИЗУЧИТЬ математику, предоставляя вам доступ к инструментам обучения. Мы считаем, что математика является основой для понимания и функционирования в современном мире, плюс, математика также довольно проста. Наше желание сделать математику доступной для всех в открытом доступе, демократичной среде, помогая вам изучать и делать математику с помощью наших инструментов, решателей, статей.

Проект Mathcracker находится в рамках парадигмы мультиграмотности, которая утверждает, что изменения в технологии меняют то, как образование, обучение и жизнь работают. Цифровые инструменты, представленные в Mathcracker, могут помочь вашей математической грамотности сформироваться и помочь вам стать лучшим учеником, мыслителем и практиком в любой области вашей деятельности. Итак, наслаждайтесь! Обратная связь помогает нам сделать ваш опыт лучше, поэтому присылайте нам свои мысли и идеи по адресу [email protected].

Последние учебные пособия

Добро пожаловать Mathcracker 2. 0
3 февраля 2021 г.

Наконец-то! Мы очень рады сообщить о новой версии сайта. Мы добавили новые интересные функции, такие как новый четкий дизайн графиков с тщательным обзором. содержания и материалов.

● И мы добавили долгожданную функцию: теперь вы сможете загружать пошаговые решения, предоставляемые нашими калькуляторами, в файле Word (docx).

● Мы также добавили премиум-членство, которое позволяет вам получить доступ к нашему контенту и решателям/калькуляторам без рекламы.

● Кроме того, наши участники будут иметь доступ к коллекции из более чем 30 000 пошаговых примеров решенных задач по математике и статистике.

● И многие другие функции, которые будут представлены в течение года, включая искусственный интеллект, автоматизированные рабочие листы, уроки и практику, а также автоматическое обнаружение и решение проблем.

Добро пожаловать 2020
3 января 2020 г.

В этом году MathCracker совершит существенный скачок в плане контента, предлагаемого на сайте. Итак, следите за обновлениями для других математических решателей, калькуляторы и уроки, и всем успехов в этом новом учебном году.

Факторные выражения
1 августа 2019 г.

Этот подробный и содержательный учебник поможет вам понять, как факторизовать алгебраические выражения.

Узнайте, как упростить радикалы
1 августа 2019 г.

Упрощение радикалов должно быть САМОЙ полезной вещью, которую нужно знать в базовой алгебре. Узнайте об этом в этом уроке.

Работа с отрицательными показателями
20 июля 2019 г.

Среди всего, что связано с правилами экспонент, учащиеся часто путаются при работе с отрицательные показатели. Этот урок прояснит все ваши сомнения.

Правила экспонентов
20 июля 2019 г.

Одним из важнейших навыков, необходимых для работы с алгебраическими выражениями, является правильное использование правила показателей.

Правило Крамера
4 июля 2019 г.

Все, что вам нужно знать о правиле Крамера и о том, как его использовать для решения систем линейных уравнений.

Биномиальная теорема
4 июля 2019 г.
Одна из самых распространенных теорем в математике: биномиальная теорема. Научитесь легко вычислять биномиальные коэффициенты. Среднее, медиана и мода
4 июля 2019 г.

Посмотрите это руководство, чтобы узнать, как и когда использовать среднее значение, медиану или моду как мера центра, в зависимости от типа распределения.

Заговор с коробкой и усами
5 июня 2019 г.

Что такое график с коробкой и усами? Как определить коробку? Усы? Узнайте в этом уроке.

Эллипс
28 мая 2019 г.

И в завершение серии о конических сечениях пришло время для эллипса.

Гипербола
28 мая 2019 г.

Продолжаем серию уроков по коническим сечениям. На этот раз настала очередь гиперболы.

Парабола
24.05.2019

Конические сечения и общее уравнение параболы.

Разложение на частичные дроби
23 мая 2019 г.

Очень полное и подробное руководство по разложению на неполные дроби, с последующими конкретными шагами.

Логарифмические правила
22 мая 2019 г.

Полное руководство по применению правил ведения журналов с пояснениями и примерами.

Порядок операций
22 мая 2019 г.

Взгляните на это руководство о PEMDAS и правилах порядка операций.

График функции
21 мая 2019 г.

Узнайте больше обо всех понятиях, связанных с графиком функции.

Единичный круг
21 мая 2019 г.

Один из самых универсальных математических артефактов: посмотрите, как единичный круг пересекает алгебру, Геометрия и тригонометрия.

Домен и диапазон
20 мая 2019 г.

Важнейшие понятия при работе с функциями: домен и диапазон.

Абсолютное значение
19 мая 2019 г.

Еще один отличный подробный учебник. Все, что вам нужно знать об абсолютном значении числа.

Коммутативное свойство
18 мая 2019 г.

Вот еще одно важное свойство алгебры: свойство коммутативности.

Ассоциативное свойство
18 мая 2019 г.

Ассоциативное свойство — одно из тех свойств, которое используется постоянно, но мы действительно не знаем.

Горизонтальные асимптоты
17 мая 2019 г.

Все, что нужно знать о горизонтальных асимптотах.

Уравнение окружности
5 мая 2019 г.

Узнайте все, что связано с кругом: Уравнение круга.

Финансовые решатели
11 октября 2018 г.

Мы запустили новый раздел для финансовых решателей. Ознакомьтесь с ними: Калькулятор будущей стоимости, Калькулятор текущей стоимости, Текущая стоимость аннуитета, среди многих других Финансовые калькуляторы.

Скоро начнется семестр
11 августа 2018 г.

Один из лучших советов перед началом нового семестра: Не паникуйте.

Легкая статистика, сложная статистика?
3 августа 2018 г.

Прекрасная статья о том, почему учащиеся чаще всего нуждаются в помощи именно на простых уроках статистики. Проверьте это!

Занят подготовкой к запуску MathCracker 2.0
01.06.2018

Проводится капитальный ремонт сайта, куда более мощные инструменты. А пока вот я оставляю вам новую статью Секреты торговли: поиск статистики. Помощь с домашним заданием. Еще один интересный пост о том, почему все больше и больше студентов изучают свою статистику с помощью частных репетиторов. Проверьте это здесь. Также все, что нужно знать о процессе найти помощь с вашим финансовым заданием.

Калькуляторы описательной статистики
28 февраля 2018 г.

Хотя у нас уже был полный калькулятор описательной статистики, У меня есть запросы на создание некоторых конкретных калькуляторов, чтобы вычислять одну меру за раз, так что вот она: я добавил средний калькулятор, калькулятор стандартного отклонения и средний калькулятор.

Новый раздел статей об образовании
20 февраля 2018 г.

Я добавил страницу, на которой собраны все имеющиеся у нас статьи на темы образования. Также я нашел эту интересную статью о преимуществах гляделки с Алгебра в раннем возрасте.

Учебник по SPSS
20 сентября 2017 г.

Ознакомьтесь с нашим обновленным руководством по SPSS.

Калькуляторы статистики
17 августа 2017 г.

Я добавил пару алгебраических решателей для арифметических последовательностей и геометрические последовательности.

Калькуляторы статистики
15 августа 2017 г.

Z-показатели — это то, как мы вычисляем нормальные вероятности, поскольку любое общее нормальное распределение всегда можно свести к стандартному нормальному распределению. Проверьте этот калькулятор Z-счетов.

Учебники по статистике
2 августа 2017 г.

Я нашел два отличных урока один о проверка гипотезы, а другая — о статистика и параметры. Оба отлично читаются.

Несколько калькуляторов размера эффекта
31 июля 2017 г.

Я добавил несколько калькуляторов размера эффекта, в том числе калькулятор гаммы и Калькулятор коэффициента Фи.

V-калькулятор Крамера
25 декабря 2016 г.

Идея «величины эффекта» очень актуальна в статистике. Если часто бывает так, что тестовая статистика значима, но ассоциация не имеет практического значение. Это связано с тем, что только очень большой размер выборки может обнаружить значительный или очень маленький эффект. Cramer’s V — это статистика, которая оценивает размер эффекта или практическое значение связи между номинальными переменными. Проверьте это: Калькулятор V Крамера.

Калькулятор площади и объема пирамиды
5 декабря 2016 г.

Больше решателей для нашей серии решателей элементарной геометрии, и теперь мы добавляем калькулятор площади и объема квадратной пирамиды, который покажет вам все шаги и формулы, используемые для расчета площади поверхности и объем квадратной пирамиды со стороной \(l\) и высотой \(h\).

Калькулятор площади и объема куба
4 декабря 2016 г.

Мы продолжаем нашу серию решателей элементарной геометрии, и теперь мы добавляем калькулятор площади и объема куба, который покажет вам все шаги и формулы, используемые для вычисления площади и объема куба со стороной \(л\). Калькулятор площади и объема конуса
30 ноября 2016 г.

Сохраняя импульс, вот вам калькулятор площади и объема конус, который покажет вам все шаги и формулы, используемые для расчета площади и объема прямоугольного конуса, радиуса \(r\) и высоты \(h\).

Калькулятор площади и объема сферы
30 ноября 2016 г.

Еще один решатель для нашей серии Geometry, вычислитель площади и объема сфера, которая покажет вам все шаги и формулы, используемые для расчета площади и объема сферы радиуса \(r\).

Калькулятор критической корреляции
29 ноябряth, 2016

Обычно находится в специальных таблицах, здесь у вас есть калькулятор критической корреляции. Преимущество этого калькулятора в том, что он вычисляет критическую корреляцию для любого значения \(n\), что не всегда возможно при использовании критические таблицы корреляции, которые имеют только несколько значений \(n\).

Решатели геометрии
28 ноября 2016 г.

Многие просили геометрические решатели, и вот они. Я начал новый раздел для геометрии, и я буду добавлять больше решателей на непрерывная основа. А пока здесь я оставляю для вас площадь и периметр калькулятор окружности и калькулятор площади и объема для цилиндров

Калькулятор полиномиальных операций
25 ноября 2016 г.

Это решатель, которого требовал пользователь: Позвольте мне представить наш многочлен Калькулятор операций, с помощью которого вы можете складывать, вычитать и умножать многочлены с пошаговым решением. Кроме того, мы начали с MathQuill и отличный вариант для улучшения ввода математики.

Калькулятор абсолютного значения
23 ноября 2016 г.

Мы еще больше расширили нашу серию по алгебре несколькими базовыми решателями, в данном случае абсолютным калькулятор стоимости.

Калькулятор алгебраических выражений
19 ноября 2016 г.

Новый решатель в нашей серии Algebra, теперь я добавил решатель, который оценивает все виды алгебраических выражений, которые могут включать в себя любые операции (сумма, вычитание, умножение, деление), числа, дроби, тригонометрические функции, экспоненциальные функции, степени, корни и т. д. Проверьте наши Калькулятор алгебраических выражений.

Калькулятор дробных операций
19 ноября 2016 г.

Продолжая серию решателей для алгебры, я добавил решатель, который вычисляет операции между дробями и показывает все шаги. В зависимости от требуемой операции он выполняет соответствующие шаги для достижения конечного результата дроби в сокращенной форме. Проверьте наши решатель дробных операций.

Функциональный граф
17 ноября 2016 г.

Я сделал новый функциональный граф взамен старого флэш-графика, который у нас был. В это время, Я использовал формат Google Chart, который выглядит более современно и соответствует тренду JS-диаграмм.

Уменьшение дроби
13 ноября 2016 г.

Я получаю много запросов на это, так что вот оно. Это инструмент сокращения дроби Fraction-reduction-lowest-terms.php, который преобразует дробь в ее наименьшее значение.

Следующий Алгебра Решатель в нашей серии
12 ноября 2016 г.

На этот раз я добавил наибольший общий делитель, или, как его обычно называют, Калькулятор наибольшего общего делителя. Я постарался предоставить как можно больше деталей в расчетах, показанных решателем.

Новый алгебраический решатель
11 ноября 2016 г.

Сегодня я начинаю новую серию решателей по алгебре. Я добавил простое разложение калькулятор, вы вводите положительное целое число, и решатель подробно сообщает вам, каково его простое разложение.

Новый дизайн сайта
8 сентября 2016 г.

Я очень рад сообщить, что мы выпустили новый дизайн сайта со значительно улучшенным мобильным функционалом.

Больше математических трещин
31 января 2016 г.

В этот раз я решил написать о функциях и о том, как с ними работать.

Еще одна математическая статья
20 января 2016

Очередная статья. На этот раз речь идет о возможности иметь программное обеспечение, которое может решать математические и статистические задачи ПОЛНОСТЬЮ автоматически. Проверьте здесь.

Еще одна математика
5 января 2016 г.

Мне очень понравились отзывы, которые я получил от первого Math Crack, поэтому я решил прокачать серию. Буду периодически их выкладывать. Это следующий первый Math Crack о легком объяснении производных.

Математические трещины
5 января 2016 г.

Наконец-то я начал проект, которым давно хотел заняться. Это Math Cracks, как я называю эти короткие уроки, которые попытаться объяснить сложные математические понятия простыми словами, шаг за шагом. Первая математическая трещина в серии Интеграция по частям.

Обновление сайта
21 апреля 2015 г.

Скоро будет обновление сайта. Я немного изменю макет, чтобы решатели были более организованными, а статьи были организованы. скорее в формате блога. Я добавлю полный набор решателей по алгебре, так что следите за обновлениями.

Больше решателей
4 февраля 2015 г.

Добавлено несколько туториалов и решателей: Квадратичная формула: Значение термина -b/2a, статья об алгебре 2 и a Линейный график Maker

Еще статьи
28 января 2015 г.

Я добавил несколько новых статей для вашего удовольствия: Математические статьи

Минимальный размер выборки
7 декабря 2014 г.

Я добавил калькулятор минимального размера выборки для среднего и пропорция

Многие калькуляторы статистики
5 декабря 2014 г.

После долгих часов работы я закончил все решатели, необходимые для охвата всех основных тем статистики. Новые решатели: Z-тест для двух средних, Z-тест для двух пропорций, Т-критерий для двух средних, Т-критерий для парных выборок, Хи-квадрат Доброта соответствия и Хи-квадрат тест независимости. Я также добавил самые важные непараметрические тесты, такие как Sign Test, также Критерий знаковых рангов Уилкоксона, а также Критерий суммы рангов Уилкоксона и Крускал-Уоллис

Онлайн-курсы по бухгалтерскому учету
12 ноября 2014 г.

Меня просят просмотреть различные учебные программы онлайн. Благодаря приглашенному автору, я только что добавил отличную статью об учебных программах онлайн-бухгалтерии. Вы можете проверить это здесь.

Справка по бухгалтерскому учету
11 ноября 2014 г.

Нашел очень информативную статью о том, что можно и что нельзя делать при выполнении домашних заданий по бухгалтерскому учету. Вы можете проверить это здесь.

Новости
11 ноября 2014 г.

Очень скоро грядут большие изменения для улучшения взаимодействия с пользователем. Недавно я написал много математических и статистических решателей, которые я буду добавлять на сайт. Я полировал сценарии, которые у нас уже есть, и это почти превратилось в полноценную работу. Как известно многим пользователям, у нас была реклама для последние несколько месяцев, и хотя я не люблю рекламу, это единственный способ поддержать сайт, который к настоящему времени превращается в полноценную работу. Я ищу более эффективный способ использования рекламы, чтобы сайт мог поддерживать рекламу и оставаться бесплатным.

Различные статистические тесты
2 ноября 2014 г.

Проведены дополнительные статистические тесты. Я закончил t-тест для одной средней популяции с неизвестным стандартным отклонением населения и хи-квадрат тест для одной совокупности дисперсии. Как и другие решатели, которые я добавил, они просты в использовании: определяют гипотезы, и параметры теста, и выполняется подробный пошаговый расчет.

Z-тесты
31 октября 2014 г.

Я работал над ними некоторое время и, наконец, закончил. я добавил z-критерий для одного среднего значения совокупности и z-тест для одной доли населения. Очень удобен для пользователя, определяет гипотезы и параметры теста, а также выполняется подробный пошаговый расчет. Рекомендуемые.

Средство создания гистограмм
20 октября 2014 г.

Я только что добавил рабочий генератор гистограмм. Вы вводите набор данных и количество бинов и правильно масштабированная гистограмма визуализируется сценарием.

Создатель гистограммы
9 октября 2014 г.

Я добавил очень крутой инструмент для создания гистограмм. Вы вводите категории, значения, связанные с каждой из категорий, и гистограмму, отображаемую сценарием.

Ипотечный калькулятор
8 октября 2014 г.

Не совсем обычный калькулятор, который мы делаем, но у меня было несколько запросов на него, поэтому я добавил простой инструмент ипотечного калькулятора в рассчитать ежемесячный платеж по ипотеке при основных предположениях (без учета PMI и страховки).

Новый математический решатель
4 октября 2014 г.

Я загрузил решатель системы линейных уравнений 2×2.

Обновление
4 октября 2014 г.

Я обновил скрипт создания круговой диаграммы.

Калькуляторы доверительных интервалов
2 октября 2014 г.

Я добавил два калькулятора доверительных интервалов. Они представляют собой доверительные интервалы для среднего значения μ, когда стандартное отклонение населения σ известно и для когда и a стандартное отклонение населения неизвестно.

Еще два калькулятора вероятностей
1 октября 2014 г.

У нас есть еще два калькулятора вероятностей. Это калькулятор биномиального распределения и калькулятор распределения Пуассона.

Добавлено еще два калькулятора вероятности
30 сентября 2014 г.

Я добавил два новых калькулятора вероятностей по нескольким моим запросам. Они калькулятор экспоненциального распределения и Калькулятор равномерного распределения.

Советы по поиску помощи по математике
9 сентябряth, 2014

Добавил новую статью. Проверьте это здесь.

Калькулятор оценок онлайн
9 июня 2014 г.

Добавил калькулятор коэффициента корреляции. На этот раз скрипт более удобен для пользователя и проверяет данные на наличие ошибок перед их обработкой.

Калькулятор оценок онлайн
4 июня 2014 г.

Я получил много писем с просьбой предоставить инструмент для подсчета оценок. Ну, я только что сделал это. С этим онлайн калькулятор оценок вы можете чтобы ввести баллы за задание/тест, и калькулятор сообщит ваш окончательный балл и окончательную буквенную оценку. И если вы этого не сделаете Если у вас есть все оценки, калькулятор подскажет, какой балл вам нужно набрать за итоговое задание/тест, чтобы получить пятерку.

Еще материал
4 июня 2014 г.

После некоторого молчания я вернулся. Как многие из вас знают, я веду этот сайт в свободное время, стараясь поддерживать его в актуальном состоянии, насколько это возможно. Я очень рад видеть положительный эффект математических инструментов, которые мы предлагаем на нашем сайте, в сообществе. Бесчисленные электронные письма с благодарностью за работу, которую я вложил в сайт, заставляют меня продолжать работать еще усерднее. Бесплатный математический онлайн-калькулятор, который мы предоставляем на сайте, даже использовался в качестве ссылок в научных статьях. Это действительно очень круто! У меня большие планы на сайт. Продолжайте посещать.

Скидка на помощь по математике
25 сентября 2013 г.

Наши хорошие друзья в MGT дарят специально для нас этот код скидки 15% для своих интерактивные службы помощи с домашними заданиями по математике: mthcrk1501 . Судя по отзывам пользователей нашего сообщества, они очень надежны.

Лето закончилось
24 сентября 2013 г.

Лето закончилось, и пришло время заняться математикой. У нас большие планы на этот год. Наша цель состоит в том, чтобы предложить лучшее качество бесплатной математики help, по этой причине мы будем продолжать добавлять все больше и больше полезного контента. Мы также ожидаем материализовать несколько очень интересных партнерских отношений. Следите за обновлениями!

Больше Калькуляторы статистики онлайн
24.05.2013

Как и было обещано, добавлена ​​пара калькуляторов критических значений: z-distribution критические значения и критические значения t-распределения

Новый онлайн-калькулятор статистики
23. 05.2013

Добавлен калькулятор вероятности t-распределения. Это первая поставка из серии скриптов, которые будут добавлены. Скоро появится парочка онлайн-калькуляторов критических значений для z-распределение и t-распределение.

Новая статья
8 марта 2013 г.

Я только что добавил статью о методах решения математических задач. См. артикул

Список математических задач
8 марта 2013 г.

Я нашел новый сайт, предлагающий примеры решенных задач по исчислению: Проблемы исчисления Скрипты Исправлено
30. 01.2013

Добавили более 300 решенных статистических задач

Скрипты Исправлено
21.01.2013

Из-за проблемы с конфигурационным файлом скрипты на сайте какое-то время не работали, теперь работают нормально. Извините за беспокойство.

Новый учебник
18 декабря 2012 г.

Добавлен хороший туториал по нормальному распределению. Нормальный распределение и стандартное нормальное распределение

Больше решаемых статистических задач
7 декабря 2012

Добавил неплохой список решенных задач по статистике.

Исправлен инструмент диаграммы рассеяния и добавлен инструмент линии регрессии
. 3 ноября 2012 г.

Я внес несколько изменений в модуль диаграммы рассеяния и добавил новый инструмент линии регрессии в дополнение к существующему инструменту. Калькулятор линейной регрессии

Бесплатный справочный ресурс по статистике
29 сентября 2012 г.

Этот новый ресурс кажется очень полезным, возможно, вам будет интересно взглянуть на него. Бесплатная справка по статистике

Резервное копирование сайта
27 апреля 2010 г.

Сайт снова в сети. Из-за проблем, не зависящих от меня, сайт был недоступен на пару недель. Мы вернемся с новым материалом. Спасибо всем.

Добавлен новый раздел
17 мая 2008 г.

Я нашел хорошую коллекцию бесплатных математических задач. и математические ответы.

---

Если у вас есть какие-либо предложения, пожалуйста, не стесняйтесь обращаться к нам.

Интересные справочные ссылки по математике

Если вы считаете, что наш сайт может быть полезен посетителям вашего веб-сайта, вы можете указать ссылку на наш бесплатный справочный сайт по математике: Ссылка на нас

Другие интересные ссылки

• Воспользуйтесь услугами по написанию домашних заданий по математике, предоставляемыми Advanced Writers 9. 0096 • Будьте в курсе последних академических новостей и оставайтесь эффективными в дистанционном обучении с помощью высококачественной онлайн-помощи по математике.
• Если вы боретесь со сложными математическими понятиями и сложными формулами, вам могут пригодиться профессиональные эксперты — просто отправьте им сообщение «сделай мою домашнюю работу по математике» и забудьте о своих заботах!
• Покупайте документы для колледжа в Интернете, выполняя сложные математические задания
. • Сделай за меня домашнее задание
• Если вы ищете в Интернете кого-то, кто мог бы предоставить вам Помогите с заданием по математике, не стесняйтесь обратиться за помощью к специалистам.
• Windows VPS.

---

Если у вас есть какие-либо предложения или если вы хотите сообщить о неисправном решателе/калькуляторе, пожалуйста, не стесняйтесь , свяжитесь с нами .

Онлайн-калькулятор вероятности с шагами

Самый забытый ответ для калькулятора вероятности Беспощадный калькулятор вероятности Используемые стратегии В конце концов, пришло время преодолеть 3. Наконец, вероятность того, что это золото и даст еще один ход, равна 0,08. Можно установить вероятность определенного количества дефектных деталей в значительной партии. Возможно, в будущем можно будет сделать онлайн-калькулятор, который будет давать паре персонализированный прогноз. Эта стратегия вряд ли сработает! Представьте, что вы подбрасываете две монеты одновременно. Например, вероятность того, что ваша любимая футбольная команда проиграет матч, может составлять от 1 до 5. Предскажите, что следующий мяч будет цвета с наилучшей экспериментальной вероятностью. В настольной игре есть характерная колода карт, некоторые из которых черные, а некоторые золотые. Если вы клинический исследователь и пытаетесь выяснить, сколько субъектов включить в свое исследование, или у вас есть другой вопрос, связанный с размером выборки или расчетом мощности, мы разработали этот сайт для вас. Проблема в том, что эти стратегии применяют одинаковую отсечку, например. Самое главное преимущество такой викторины в том, что она короткая, занимает всего пару минут и совершенно бесплатна. Таким образом, в большинстве случаев размер совокупности можно было бы оставить незаполненным, потому что совокупность довольно велика по сравнению с выборкой. Его можно рассчитать, разделив количество возможных вариантов на общее количество вариантов. Убедитесь, что вы получили данные за предыдущий 1 год. Работа с определенным набором информации. Пользователю не нужно связывать переменную с каким-либо разнообразием значений. В любом случае ваши данные — это просто выборка всего населения. SSD суммирует все квадраты отклонений. Они являются приблизительными и не основаны на рыночных данных. Еще один способ проверить подразумеваемую волатильность — сравнить текущую степень подразумеваемой волатильности с типичным значением подразумеваемой волатильности для точно такого же выбора. Вместо этого потенциальные результаты определяются по определенной цене. Сложно вычислить значение вероятности, и после этого все еще верно, что вы не знаете неопределенность результата. В некоторых случаях они могут взять только небольшую выборку значений для большой совокупности. Имейте в виду, что условная вероятность не указывает на то, что между обоими событиями почти всегда существует причинно-следственная связь, а также не указывает на то, что оба события происходят одновременно. Медиана — это функция, которая используется для поиска среднего числа в определенном диапазоне чисел. Условная вероятность является разновидностью зависимого события. Ряд предотвратимых проблем за определенный период времени действительно может накапливаться. Представьте, что вам нужно выяснить вероятность того, что понедельник будет на одной неделе. Тогда дайте вашему циклу возможность выровняться! В качестве альтернативы, Калькулятор даты родов можно также использовать для расчета даты родов на основе последней менструации. Поэтому, как только вы вычислите вероятность, вы должны сузить свое внимание до известного события. На основе конкретных условий легко прогнозируется возможность наступления того или иного события. Как и в случае с другими математическими и статистическими понятиями, существует несколько различных обстоятельств, при которых может использоваться стандартное отклонение, и, таким образом, множество различных уравнений. Точно так же другие значения будут определены калькулятором. Типичная формула отклонения сравнима с формулой дисперсии. Учащиеся ведут активный образ жизни и часто забывают о приближающемся дедлайне. Предположим, вы хотите узнать вероятность того, что случайно выбранный студент специализируется на финансах. Проведите эксперимент, чтобы получить экспериментальную вероятность. Откладывание доллара в день в течение месяца или года — один из самых простых способов начать план регулярных сбережений. Также нет никаких ограничений на продажу, поэтому у вас есть возможность получить максимальную отдачу от растущих и падающих валют. Например, владелец франшизы фаст-фуда хотел бы проверить время, необходимое для обслуживания клиентов в двух его магазинах. Можно рассчитать сумму ипотечного кредита из стоимости недвижимости, предложив первоначальный взнос. Если ваши цели сбережений превышают пару сотен долларов в год, рассмотрите возможность увеличения суммы, которую вы откладываете ежедневно, на определенный шаг. Процентные ставки обычно повышаются с течением времени, поскольку вы заработаете больший процент на свои деньги, если захотите вложить их на более длительный период. Поэтому настоятельно рекомендуется принимать во внимание дополнительные меры при оценке риска, связанного с торговлей на Форекс. Но этой информации недостаточно, чтобы оценить потенциал конкретной должности. Существует два вида кредитных спредов. Сделайте все возможное, чтобы в первую очередь уменьшить проблемы со здоровьем. Многие женщины находят процесс слежения привлекательным как способ быть ближе к собственному телу. Начнем с того, что всегда нужно помнить, что полностью бесплатный онлайн-тест на вероятность беременности не может и не должен заменять домашний тест на беременность. Что на самом деле происходит с калькулятором вероятностей Чтобы оправдать название, социологи начали применять статистику в своих исследованиях. Проблема в том, что эти стратегии применяют одинаковую отсечку, например. Конечно, существует ограничение на количество страниц, которые даже наши лучшие писатели могут создать в сжатые сроки, но в целом мы можем удовлетворить всех клиентов, нуждающихся в срочной помощи. Преимущества калькулятора вероятностей В данном случае, если строительной бригаде дается 32 дня, вероятность того, что они разочаруют спонсоров, составляет едва ли 1%. В целом размер группы — это просто потенциальная проблема, когда вы работаете со сравнительно небольшой и известной группой людей, которые, вероятно, будут иметь схожие взгляды или идеи. В этом случае вы, скорее всего, в любом случае будете знать размер общей группы. В конце концов, хорошее самочувствие и любовь — важная часть процедуры, и, возможно, самая важная часть. Вы получаете один и тот же пункт назначения в один и тот же период времени, вы просто выбираете разные маршруты (один более ухабистый, чем другой). Тогда дайте вашему циклу возможность выровняться! Общие события — это все потенциальные события, которые могут произойти в связи с заданным вопросом. На самом деле сумма всех потенциальных событий в определенном множестве всегда равна 1. Исходя из конкретных условий, легко предсказать возможность возникновения того или иного события. Калькулятор крутящего момента Крутящий момент — это всего лишь сила вращения. Особое место в теории вероятностей занимает нормальное распределение. Калькулятор вероятности действительно довольно прост в использовании. Как только вы освоите каждую ситуацию, вы должны быть в состоянии найти любую нормальную вероятность, когда ее спросят. Часто полезно думать о вероятности как о процентах. Проще говоря, эта условная вероятность — это просто вероятность А с учетом некоторых дополнительных сведений о В. Как выбрать калькулятор вероятности РАСЧЕТ ОБЪЕМА ВЫБОРКИ Существует много методов, используемых для определения размера выборки на основе типа информации или плана исследования. Например, понимание эмпирического правила трех сигм поможет вам сделать определенные расчеты или вообще выявить отклонения в вашей компании. Отдельные значения вероятности просто умножаются, чтобы получить ответ. Уровень свободы возникает для каждого значения данных, которое может изменяться после фиксации статистики. Использование стандартного отклонения в таких случаях обеспечивает оценку неопределенности будущих доходов от конкретных инвестиций. И наоборот, большее стандартное отклонение указывает на больший выбор значений. В следующей главе мы рассмотрим практическое применение волатильности. Они являются приблизительными и не основаны на рыночных данных. Еще один способ проверить подразумеваемую волатильность — сравнить текущую степень подразумеваемой волатильности с типичным значением подразумеваемой волатильности для точно такого же выбора. В таких ситуациях становится очень важным сделать определенные предположения и на их основе вычислить теоретическую вероятность, что неоценимо в этих случаях, особенно во многих приложениях, где мы не можем провести эксперимент. Когда речь идет об оценке вероятности, важно сосредоточиться на логических факторах. Экспериментальная вероятность не основана на предположениях. Калькулятор вероятности выкидыша Исходя из вышеизложенного, количество выкидышей может колебаться. Есть, однако, осложнение с вышеизложенным. Что касается вашей цервикальной слизи, когда у вас закончились месячные, вы, вероятно, будете сухими в течение нескольких дней. Если вы хотите самостоятельно проанализировать тренд, начните с рынка. Следовательно, вы должны использовать онлайн-калькулятор, чтобы избежать всех типов ошибок. Очень важно использовать калькулятор высшего качества, если вы хотите, чтобы расчеты выполнялись без ошибок. Можно определить сумму ипотечного кредита из стоимости недвижимости, предложив первоначальный взнос. В то время как платежи по кредиту, как правило, предсказуемы каждый месяц, платежи по кредитным картам могут сильно колебаться от месяца к месяцу, в зависимости от ваших моделей расходов. Когда вы совершаете крупную покупку, например, дом или автомобиль, снижение процентной ставки может помочь вам сэкономить тысячи долларов. Использование кредитных спредов — лучший способ сделать это. Риск — это одна из причин принятия решения о том, что покупать. В этом случае вы хотели бы торговать опционными спредами. Что на самом деле происходит с калькулятором вероятностей Следует понимать, что ответы почти всегда являются относительными вероятностями, основанными на нашем текущем состоянии знаний, и что не очень четкий ответ может привести к определенным обстоятельствам. Как и в случае подбрасывания беспристрастной монеты, возможность выпадения орла и решки равновероятна. Можно установить вероятность определенного количества дефектных деталей в значительной партии. В самом лучшем из возможных миров все мужчины и женщины в группе индивидуума будут иметь очень похожие баллы. Лучший пример, который можно получить, — это всякий раз, когда кто-то говорит, что вот-вот произойдет правильный тип вероятности, например, когда люди покупают несколько лотерейных билетов, и их вероятность должна выиграть, и довольно часто может быть хуже, если вы сообщите, что вы не выигрывая таким образом. Вас интересует только один результат, какой бы номер вы ни выбрали. Например, вероятность того, что ваша любимая футбольная команда проиграет матч, может составлять от 1 до 5. Вы должны сделать как минимум одну ничью и иметь как минимум одну целевую карту. Представьте, что у вас есть кости, и вы должны вычислить перспективу получить 1 в качестве результата. Калькулятор Нюансов Вероятности Калькулятор Хорошего, Плохого и Вероятностного Типичное отклонение также можно использовать на недельных или месячных графиках. Команда, которая обычно плоха в большинстве категорий, будет иметь низкое стандартное отклонение. Вместо этого, вот URL-адрес онлайн-калькулятора Pearson R, который вы можете использовать, чтобы пропустить утомительные вычисления и найти числа за пару секунд. В зависимости от примера, объясненного выше, мы можем получить приведенную ниже формулу для определения экспериментальной вероятности. Предположим, вы хотите узнать вероятность того, что случайно выбранный студент специализируется на финансах. Проведите эксперимент, чтобы получить экспериментальную вероятность. Что нужно сделать, чтобы узнать о калькуляторе вероятностей до того, как вас оставят позади Диаграммы такого рода могут оказаться бесценными в некоторых вопросах. Весь расчет определяется 5 числами, которые присваиваются в отчетах в верхней части интернет-формы и которые вы можете редактировать. Этот шаблон станет конечной платформой, которая поможет вам изучить вероятность. Ни одно из этих распределений не очень хорошо оценивает диапазон преждевременных родов. Согласно Britannica, результат случайного события нельзя предсказать до того, как оно произойдет. Независимо от того, пытаетесь ли вы забеременеть или избежать беременности, существует множество мини-компьютеров, которые определяют период овуляции. Новая пошаговая дорожная карта для калькулятора вероятностей Самый первый сценарий — это произойдет, а второй — нет. Хорошим примером является подбрасывание монеты, чтобы получить орел или решку. В случае события с отличительной причиной может потребоваться больше подгрупп для проверки реальности события. При желании вы можете настроить каждое из этих полей. Это безразмерное число. А количество красных жевательных резинок представляет собой диапазон возможных благоприятных исходов (результатов, которые вас интересуют). Общие события — это все потенциальные события, которые могут произойти в связи с заданным вопросом. Поэтому, как только вы вычислите вероятность, вы должны сузить свое внимание до известного события. Основываясь на логических аспектах, это позволяет нам узнать, будет ли событие иметь высокую или очень низкую вероятность возникновения. Для начала у вас должен быть объективный подход к оценке тенденций как отрасли, так и выбранных вами акций. Небольшое стандартное отклонение может быть целью в некоторых специфических условиях, когда результаты ограничены, например, при производстве продукта и отличном контроле. Знание нормального отклонения может помочь вам решить, какой вариант идеально подходит для вашего бизнеса. Точно так же, когда вы продаете опцион пут, вы хотите, чтобы цена акции оставалась на уровне 30 долларов или выше по истечении срока действия для того же намерения. Теперь все готово для проверки целевых цен. Убедитесь, что вы выбрали акции, которые вы ДЕЙСТВИТЕЛЬНО хотите иметь. Фьючерсы на ценные бумаги сопряжены с высоким уровнем опасности и подходят не всем инвесторам. Риск — это одна из причин принятия решения о том, что покупать. Существует два вида кредитных спредов. Также может быть полезно сравнить, как меняются прогнозы, когда они основаны на различных показателях волатильности. В нашем руководстве по способам оплаты в интернет-казино наши эксперты рассматривают все различные варианты оплаты, которые обычно предоставляются онлайн-казино, и даже предлагают вам сайты онлайн-азартных игр, которые принимают конкретный способ оплаты, который вас интересует. Тройка на кубе с нейтральным числом. В некоторых конкретных случаях у вас будет информация обо всем населении, например, если интересующее нас население — это учащиеся курса или школы, в определенный момент времени можно получить оценки для них всех. Выбрав случайную выборку из 18 человек из огромной совокупности, вы хотите убедиться, что типичный возраст выборки репрезентативен для нормального возраста людей. Итак, если у вас есть стандартное отклонение и среднее значение, вы можете получить оценку z. Если вы будете рассматривать свой кредитный рейтинг каждый год или реже, вы можете многое упустить. 1 бросок монеты не влияет на другой. Представьте, что у вас есть кости, и вы должны вычислить перспективу получить 1 в качестве результата. Основные сведения о калькуляторе вероятностей Это руководство покажет вам, как вычислить вероятность (область под кривой) типичного нормального распределения. По правде говоря, практически бесполезно пытаться определить стандартную ошибку, если у вас нет важной информации для определения стандартных отклонений. Отдельные значения вероятности просто умножаются, чтобы получить ответ. Значения стандартного отклонения связаны со стоимостью недостаточного обеспечения. Это помогает определить, действительно ли значение является истинным выбросом. Его можно использовать для расчета минимального и максимального значения, в пределах которого должен находиться какой-либо аспект продукта в течение некоторого большого процента времени. Имейте в виду, что нормальное отклонение преобразуется в пропорцию сортов, поэтому типичное отклонение отдельных запасов можно сравнивать в одной и той же шкале. Данные о волатильности нелегко получить, поэтому всегда лучше понять, как рассчитать их самостоятельно. 20-дневная историческая волатильность обычно является отличной оценкой. Низкое стандартное отклонение означает, что большинство чисел близки к среднему. Если ваша выборка не является действительно случайной, вы не можете рассчитывать на значения. В большинстве случаев вы обнаружите себя, используя формулу выборочного стандартного отклонения, поскольку большую часть секунды вы будете делать выборку из совокупности и не будете иметь доступа к данным обо всей совокупности.

Вероятностные практические задачи

1. На шестигранном кубике каждая грань имеет число от 1 до 6. Какова вероятность того, что выпадет 3 или 4?

1. 1 из 6
2. 1 из 3
3. 1 из 2
4. 1 из 4

2. Три монеты подбрасываются в воздух по одной. Какова вероятность того, что два из них выпадут орлом вверх, а один — решкой?

1. 0
2. 1/8
3. 1/4
4. 3/8

3. Случайным образом выбирается двузначное число. Какова вероятность того, что выбранное число кратно 7?

1. 1/10
2. 1/9
3. 11/90
4. 12/90
5. 13/90

4. Сумка содержит 14 синих, 6 красных, 12 зеленых и 8 пурпутных кнопок. Из сумки случайным образом вынимаются 25 пуговиц. Сколько удаленных пуговиц были красными, если шанс вытащить красную пуговицу из мешка теперь равен 1/3?

1. 0
2. 1
3. 3
4. 5
5. 6

5. В мешочке 6 синих, 3 красных и 5 желтых. Какова вероятность того, что при первом розыгрыше выпадет синий или красный шарик?

1. 1/3
2. 4/7
3. 8/14
4. 9/14
5. 11/14

бросает. Какова вероятность того, что Карлин выкинет шестерку при следующем броске?

1. 1/2
2. 1/4
3. 1/6
4. 1/30
5. 1/3125

7. Обычная колода А2. Если предположить, что вы не вернете карту, которую вы взяли, до следующего розыгрыша, какова вероятность того, что вы вытащите три туза подряд?

1. 1 в 52
2. 1 в 156
3. 1 В 2000
4. 1 в 5525
5. 1 В 132600

8. Игрок MP3 выступает случайным Память. Любую песню можно проиграть в любое время, даже если она повторяется. Есть 5 песен группы A, 3 песни группы B, 2 песни группы C и 5 песен группы D. Если игрок только что сыграл две песни группы D подряд, какова вероятность того, что следующая песня также будет быть группой D?

1. 1 из 5
2. 1 из 3
3. 1 из 9
4. 1 из 27
5. Недостаточно данных для определения.

9. Снова возвращаясь к MP3-плееру, описанному в вопросе 8, какова вероятность того, что обе следующие две песни будут принадлежать группе B?

1. 1 из 25
2. 1 из 3
3. 1 из 5
4. 1 из 9
5. Недостаточно данных для определения.

10. Если мешок с шариками состоит из 47 белых шариков, 5 желтых шариков и 10 черных шариков, какова приблизительная вероятность того, что шарик, случайно выбранный из мешка, окажется черным?

1. 19%
2. 16%
3. 21%
4. 33%

11. В лотерее в среднем на каждые 100 проданных билетов приходится 2 победителя. Если мужчина покупает 10 билетов, какова вероятность того, что он выиграет?

1. 21,5%
2. 20%
3. 18,3%
4. 2%

---

1. B: На шестистороннем матрице, вероятность выброса любого числа 1 из 6. вероятность выпадения 3 или 4 в два раза больше, или 2 из 6. Это можно упростить, разделив 2 и 6 на 2.

Следовательно, вероятность выпадения 3 или 4 равна 1 из 3.

2.  D:  Ниже показано пространство возможных исходов для подбрасывания трех монет по одной за раз. Поскольку существует возможность двух исходов (орел или решка) для каждой монеты, всего существует 2 * 2 * 2 = 8 возможных исходов для трех монет. Обратите внимание, что H представляет орел, а T представляет решку:

HHH HHT HTT HTH TTT TTH THT THH

Обратите внимание, что из 8 возможных результатов только 3 из них (HHT, HTH и THH) соответствуют желаемому условию, что две монеты приземляется орлом вверх, а одна монета приземляется решкой вверх. Вероятность, по определению, представляет собой количество желаемых результатов, деленное на количество возможных результатов. Следовательно, вероятность двух орлов и одной решки равна 3/8, вариант D.

3.  E:  Есть 90 двузначных чисел (все числа от 10 до 99). Из них есть 13 кратных 7: 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63, 70, 77, 84, 91, 98.

4. B: Добавьте 14 синих, 6 красные, 12 зеленых и 8 фиолетовых кнопок, чтобы получить в общей сложности 40 кнопок. Если убрать 25 пуговиц, в сумке останется 15 пуговиц. Если шанс вытянуть красную кнопку теперь равен 1/3, то 5 из 15 оставшихся кнопок должны быть красными. Первоначальное количество красных кнопок было 6. Таким образом, одна красная кнопка была удалена.

5.  D:  Используйте это отношение для вероятности:

Вероятность = количество желаемых результатов

количество возможных результатов

Есть 6 синих и 3 красных шарика, всего 9 желаемых результатов. Добавьте общее количество шариков, чтобы получить общее количество возможных результатов, 14. Вероятность того, что будет выбран красный или синий шарик, равна 9/14.

6.  C:  Результаты предыдущих бросков не влияют на результаты будущих бросков. Существует один желаемый результат и шесть возможных результатов. Вероятность выпадения шестерки при пятом броске равна 1/6, так же как и вероятность выпадения шестерки при любом отдельном броске.

7.  D:  Вероятность выпадения трех тузов подряд равна произведению вероятностей каждого розыгрыша. Для первого туза это 4 из 52 или 1 из 13; для второго это 3 из 51 или 1 из 27; а для третьего это 2 из 50 или 1 из 25. Таким образом, общая вероятность P равна P=1/13*1/17*1/25=1/5,525

8. B: Вероятность исполнения песни определенной группой пропорциональна количеству песен этой группы, деленному на общее количество песен, или 5/15=1/3 для B и D. Вероятность исполнения какой-либо конкретной песни не зависит от того, что было сыграно ранее, поскольку выбор является случайным, и песни могут повторяться.

9.  A:  Поскольку 3 из 15 песен принадлежат группе B, вероятность того, что любая песня будет принадлежать этой группе, составляет 3/15 = 1/5. Вероятность того, что следующие две песни принадлежат Band B, равна произведению двух вероятностей, где каждая вероятность состоит в том, что следующая песня принадлежит Band B: 1/5*1/5=1/25. Та же вероятность 1/ 5 может быть умножено дважды, потому что то, принадлежит ли первая песня Band B, не влияет на то, принадлежит ли вторая песня Band B. Это независимые события.

10.  B:  Сначала подсчитайте общее количество шариков в мешке: 47 + 5 + 10 = 62.

Десять из них черные, поэтому разделите это число на 62. Затем умножьте на 100, чтобы выразить вероятность в процентах:

10 / 62 = 0,16

0,16 100 = 16%

11. C: Во-первых, упростим коэффициент выигрыша. Если на каждые 100 билетов приходится 2 победителя, то на каждые 50 проданных билетов приходится 1 победитель. Это может быть выражено как вероятность 1/50 или 0,02. Чтобы учесть (маловероятные) сценарии с более чем одним выигрышным билетом, рассчитайте вероятность того, что ни один из билетов не выиграет, а затем вычтите ее из 1. Вероятность равна 49.(10) ≈ 0,817. Следовательно, вероятность того, что хотя бы один билет выиграет, равна 1 − 0,817 = 0,183 или около 18,3%

Онлайн-игры и ресурсы на вероятность

Вы здесь: Главная → Интернет-ресурсы → Вероятность

Это аннотированный и тщательно отобранный список онлайн-руководств, игр, рабочих листов и заданий на вероятность. Я постарался собрать только самое лучшее, чтобы убедиться, что оно действительно полезно для посетителей моего сайта!

Уроки вероятности в Maths is Fun
Онлайн-уроки и упражнения для простой вероятности, древовидных диаграмм, независимых и зависимых событий, комбинаций и перестановок.
www.mathsisfun.com/data/index.html#stats

Математические полезные уроки теории вероятностей
Учебные пособия с множеством проработанных примеров и интерактивными онлайн-упражнениями. Темы включают независимые и зависимые события, правила сложения, условную вероятность и многое другое.
www.mathgoodies.com/lessons/toc_vol6.html

Анализ данных и вероятностные игры от MathWire
Список настольных игр и игр в кости для начинающих.
mathwire.com/games/datagames.html

Бесплатные вероятностные симуляции для 7-го класса
Набор из четырех интерактивных вероятностных симуляций, в которых используются случайные числа в файле электронной таблицы: игра в кости, подбрасывание двух монет, девочки/мальчики в выборке из 10 человек и учащиеся, выполнившие домашнее задание в выборка из 6 учащихся.
mathmammoth.com/lessons/probability_simulations.php

Вероятностная игра
Онлайн-викторина с несколькими вариантами ответов по простой вероятности
www.math-play.com/Probability-Game.html

Игра «Жабы и лозы»
Игра, в которой участвуют 100 лоз и жаб. На уровне 1 ответьте на вопросы о простой вероятности и сделайте ход своей фигурой. На втором уровне вы работаете с вероятностью двух независимых событий.
www.learnalberta.ca

Тест That Quiz: Вероятность
Онлайн-викторины на понятие простой (классической) вероятности.
www.thatquiz.org/tq-d/math/вероятность

Выше или ниже?
Ставка на то, будет ли следующая показанная карта выше или ниже предыдущей.
www.subtangent.com/maths/ выше-ниже.php

Coin Flip
Виртуальный подбрасывание монеты. Он показывает результаты в числовом виде и работает не менее 100 000 раз.
www.btwaters.com/probab/ флип/coinmainD. html

Бросок костей
Виртуальный бросок костей. Выберите количество кубиков и сколько бросков вы хотите сделать. Страница показывает как фактическую, так и ожидаемую (теоретическую) вероятность и работает для очень большого количества бросков.
www.btwaters.com/probab/ dice/dicemain3D.html

Моделирование подбрасывания монеты
Еще одно виртуальное подбрасывание монеты. Этот показывает результаты как с использованием изображений монет, так и в числовом виде.
syzygy.virtualave.net/multicointoss.htm

Вероятностная практика
Насколько вероятно, что будет выбран каждый шар? Невозможно, маловероятно, даже случайно, вероятно или наверняка?
www.bbc.co.uk/schools/teachers/ ks2_activities/maths/probability.shtml

Виртуальная экспериментальная вероятность
Бросьте кубик или два кубика, покрутите спиннер, выберите карту или подбросьте монету практически много раз. Результаты записываются, чтобы вы могли сравнить их с теоретической вероятностью.
staff.argyll.epsb.ca/jreed/math9/ strand4/probability_display.htm

Вероятность Справедливая
Выберите вероятность, которая имеет наилучшие шансы при вращении красочного спиннера.
mrnussbaum.com/probfair-play

Перейти мост (PDF)
Это настольная игра для печати, основанная на бросании двух игральных костей и вероятности выпадения суммы костей.
www.mathsphere.co.uk/downloads/board-games/ board-game-17-crossing-the-river.pdf

Подсчет и вероятность — от Interactive Mathematics
Полная онлайн-глава о вероятностных темах, охватывающая, например, подсчет, базовую вероятность, условную вероятность, независимые и зависимые события, распределения вероятностей и многое другое.
www.intmath.com/Counting-probability/ Counting-probability-intro.php

Комбинации и перестановки
Простой урок от MathsIsFun. com.
www.mathsisfun.com/combinatorics/ комбинации-перестановки.html

Задача Монти Холла
Попробуйте эту интерактивную версию знаменитой задачи Монти Холла. Включает простое объяснение решения, а также. В задаче Монти Холла вы выбираете одну из трех закрытых дверей. За одним большой приз, а за другим что-то еще, вроде козла. После того, как вы выберете дверь, Монти откроет одну из дверей, где нет приза, и у вас есть шанс переключиться.
www.nytimes.com/2008/04/08/ science/08monty.html?_r=1

Интерактивные занятия по вероятностям
(нажмите «вероятность» в верхнем меню)
Интерактивные инструменты для изучения экспериментальной и теоретической вероятности: регулируемый счетчик, два обычных шестигранных кубика или индивидуальные кубики.
www.shodor.org/interactivate/tools/

Вероятностные уроки
Набор бесплатных онлайн-уроков по различным вероятностным темам.
www.studygeek. org/statistics/

Визуализация вероятностей
Это интересная статья о современных методах визуализации в контексте вероятностей. Правильная картинка действительно может стоить тысячи слов.
plus.maths.org/content/ понимание-неопределенность-визуализация-вероятностей

Рабочие листы по вероятностям
Бесплатные печатные рабочие листы по простым темам вероятности и статистики (средняя школа).
www.teach-nology.com/worksheets/math/stats

Книги

Math Mammoth Статистика и вероятность Рабочий текст с инструкциями и упражнениями, предназначенный для 5-7 классов. Книга включает уроки по чтению и рисованию различных графиков, включая круговые графики и графики «стебель-лист», среднее значение, медиана, мода и диапазон, а также простая вероятность.

Демистификация вероятности Эта книга написана как самоучитель для взрослых и может использоваться как учебник для старших классов. В нем представлены основы вероятности без формальных доказательств. Концепции будут разрабатываться на примерах с использованием монет, игральных костей, карт и других распространенных вероятностных устройств. В книге есть задачи в конце каждой главы и раздела, «выпускной экзамен» из 60 вопросов и ответы на все задачи.

Вы также можете найти главу о вероятности в следующих книгах:

Математика, человеческое усилие: учебник для тех, кто думает, что не любит предмет Хотя технически это учебник, это отличное чтение для всех, кто интересуется математикой. Предметы дают читателю широкое введение в математические науки, включая геометрию, вероятность, комбинаторику, статистику, топологию и многое другое. Что еще более важно, примеры и объяснения Джейкоба делают его актуальным и интересным. 907:30

Задание по математике для учащихся начальных и средних школ В начале есть отличный урок, за которым следует практика, а затем вопросы трех уровней. Автор взял концепции, которые обычно предназначены для детей старшего возраста (и могут быть сухими и утомительными), и сделал их доступными для младшей возрастной группы. Некоторые из концепций довольно просты, но по мере того, как вы работаете над тем, как применять их с возрастающей сложностью к некоторым реальным проблемам, это заставляет вас задуматься. 907:30

Предварительное исчисление с тригонометрией: концепции и связи Пол Ферстер. Продолжая линию его превосходных учебников по математике для средней школы.

 

Меню онлайн математических ресурсов Элементарный Сложение и вычитание Разрядное значение Часы Деньги Измерение Умножение Раздел Практика математических фактов Четыре операции Факторинг и теория чисел Темы геометрии Middle and high school Fractions Decimals Percent Integers Exponents Statistics & Graphs Probability Geometry topics Algebra Calculus Trigonometry Logic and proof Для всех уровней Любимые математические задачки Любимые сложные головоломки Математика в реальном мире Решение задач и математические проекты Для одаренных детей История математики Математические игры и развлекательные веб-сайты Интерактивные уроки по математике Интерактивные математические инструменты и занятия Подготовка к экзаменам Онлайн-курсы по математике

‎Приложение Microsoft Math Solver — HW в App Store

Описание

Изучайте математику с помощью БЕСПЛАТНЫХ пошаговых инструкций. Получите помощь в выполнении домашних заданий от простой арифметики до продвинутой алгебры и исчисления. Сканируйте математическую фотографию, используйте рукописный ввод или калькулятор. Microsoft Math мгновенно распознает проблему и помогает решить ее с помощью подробных пошаговых объяснений, интерактивных графиков, похожих задач из Интернета и онлайн-видео-лекций. Быстрый поиск связанных математических понятий. Получите уверенность в освоении методов с помощью Microsoft Mathematics. Это абсолютно БЕСПЛАТНО и БЕЗ рекламы!

ОСНОВНЫЕ ФУНКЦИИ
● Напишите математическое уравнение на экране так, как вы обычно это делаете на бумаге
● Сканируйте распечатанную или написанную от руки математическую фотографию
● Вводите и редактируйте с помощью расширенного научного математического калькулятора
● Получите интерактивное пошаговое объяснение и графический калькулятор
● Импорт изображений с математическими уравнениями из галереи
● Сканирование и решение математических заданий с несколькими задачами
● Поиск в Интернете похожих задач и видео-лекций
● Попробуйте математические задачи
● Сканирование и построение таблиц данных x-y для линейных/нелинейных функций
● Изучайте математику на своем языке — поддерживает китайский, французский, немецкий, хинди, итальянский, японский, португальский, русский, испанский и многие другие. , римские цифры
● Предварительная алгебра: радикалы и показатели, дроби, матрицы, определители
● Алгебра: квадратные уравнения, система уравнений, неравенства, рациональные выражения, линейные, квадратичные и экспоненциальные графики
● Словесные задачи по математическим понятиям, теории чисел , вероятность, объем, площадь поверхности
● Базовое исчисление: суммирование, пределы, производные, интегралы
● Статистика: среднее, медиана, мода, стандартное отклонение, перестановки, комбинации

Microsoft Math Solver сочетает в себе мощь нескольких решателей, таких как решатель математических задач, решатель уравнений, математический ответ сканер, процентный калькулятор, научный калькулятор, решение задач со словами, решение математических фотографий и решение математических задач почерка. Это мощное математическое приложение для решения домашних заданий по математике. Узнайте больше о приложении Microsoft Math Solver на нашем веб-сайте: https://math.microsoft. com

Свяжитесь с нами по адресу [email protected] или напишите нам в Твиттере по адресу @microsoftmath Мы с нетерпением ждем ваших отзывов.

17 марта 2021 г.

Версия 1.0.23

— исправления ошибок и улучшения производительности

Рейтинги и обзоры

28,4 тыс. оценок

Круто

мне нравится это приложение, потому что оно показывает работу и оно абсолютно бесплатное! Вы можете ввести проблему, показать им проблему и нарисовать проблему! Это приложение действительно потрясающе! Он показывает работу на всякий случай, если вы все еще не понимаете. Это приложение превратило мою жизнь из депрессии в счастье. Когда у меня не было этого приложения, я ничего не понимал, что говорил мой профессор, потому что я много отвлекался, я понятия не имел, что делать со своими работами, я всегда терпел неудачу, и моя мать всегда злилась на неудачу. из-за чего я чувствовал себя неудачником в жизни, я мог выдержать ее крики на меня. Музыка тогда была моей терапией. Я всегда плачу каждую ночь из-за своих оценок и всего, что со мной происходит. Мой лучший друг переехал и не попрощался со мной только с другими своими друзьями. Моя мама всегда наказывала меня, забирая мой телефон, поэтому у меня не было музыки, и это делало мою жизнь хуже, я всегда не спал до 5-7, потому что я никогда не хотел просыпаться по утрам. Мне нравилось, когда я был один дома. Мой папа был моим любимым, он бросил меня, но я до сих пор хожу с ним. Я люблю его так сильно. Как только я скачал это приложение, оно вылечило все мои плохие оценки, и моя мама начала больше гордиться мной. Так что я надеюсь, что вы видите это и скачать это!

Все идет нормально

Я пользуюсь этим приложением недолго, и пока все отлично. Вы можете писать проблемы пальцем (или стилистом), печатать их или сфотографировать проблему (еще не проверял), но первые два работают отлично. Я использовал Math Papa в течение многих лет, и это был мой путь… пока они не решили, что если вы хотите увидеть шаг за шагом, вы должны платить колоссальные 10 долларов в месяц. Это приложение показывает, как они получили ответ бесплатно. Меня поражает, что все так обеспокоены тем, что США отстают в математике от остального мира, но люди не хотят дать вам хорошее обучение бесплатно. Престижность Microsoft (в кои-то веки) за бесплатное обучение… то есть за то, что вы не взимаете плату за просмотр пошаговых решений. Может изменить это, если что-то изменится после более длительного использования.

Чудеса Microsoft Math

В AppStore есть несколько других математических приложений, которые, кажется, помогают нам, когда дело доходит до математики, но мне очень нравится приложение Microsoft Math, потому что обучение НЕ заблокировано платным доступом. (приложения не должны называться!)

Microsoft Math имеет один из самых удобных макетов для навигации пользователя и является хорошим репетитором, когда дело доходит до математики. Он может выполнять предварительную алгебру, алгебру, тригонометрию и исчисление с подробным описанием того, как решить проблему, и объяснить ее пользователю. Одна вещь, которую я должен сказать, это то, что некоторые из проблем еще не доступны для решения и могут быть включены в будущее обновление, но я также должен прокомментировать, насколько просто приложение. Содержимое приложения не обязательно охватывает большинство других математических предметов, поскольку оно фокусируется только на общем уровне предметов.

Тем не менее, я настоятельно рекомендую вам проверить это приложение, так как оно, скорее всего, принесет пользу любому пользователю, который попытается его использовать!

Разработчик, Microsoft Corporation, указал, что политика конфиденциальности приложения может включать обработку данных, как описано ниже. Для получения дополнительной информации см. политику конфиденциальности разработчика.

Данные, не связанные с вами

Могут быть собраны следующие данные, но они не связаны с вашей личностью:

• Пользовательский контент
• История поиска
• Данные об использовании
• Диагностика

Методы обеспечения конфиденциальности могут различаться, например, в зависимости от используемых вами функций или вашего возраста.