Различные методы решения неравенств. Общие методы решения неравенств
Похожие презентации:
Элементы комбинаторики ( 9-11 классы)
Применение производной в науке и в жизни
Проект по математике «Математика вокруг нас. Узоры и орнаменты на посуде»
Знакомство детей с математическими знаками и монетами
Тренажёр по математике «Собираем урожай». Счет в пределах 10
Методы обработки экспериментальных данных
Лекция 6. Корреляционный и регрессионный анализ
Решение задач обязательной части ОГЭ по геометрии
Дифференциальные уравнения
Подготовка к ЕГЭ по математике. Базовый уровень Сложные задачи
1. Различные методы решения неравенств
«МЕТОД РЕШЕНИЯ ХОРОШ,ЕСЛИ С САМОГО НАЧАЛА
МЫ МОЖЕМ ПРЕДВИДЕТЬ –
И ВПОСЛЕДСТВИИ ПОДТВЕРДИТЬ,
ЧТО, СЛЕДУЯ ЭТОМУ МЕТОДУ,
МЫ ДОСТИГНЕМ ЦЕЛИ.»
ЛЕЙБНИЦ
2. Общие методы решения неравенств
1. Обобщенный метод интервалов.2. Метод замены переменной.
3. «Расщепление» неравенств.
4. Использование свойств функции.
4.1. Исследование области определения функции.
4.2. Использование свойства ограниченности
функции.
4.3. Использование свойства монотонности
функции.
5. Метод рационализации.
3. 1. Обобщенный метод интервалов
Применимость метода интервалов неограничивается решением рациональных
неравенств.
Применяя метод интервалов к
решению иррациональных,
трансцендентных, комбинированных
неравенств, говорят об обобщенном
методе интервалов.
4. Алгоритм обобщенного метода интервалов
1) Привести неравенство к виду.
2) Найти область определения функции
же ОДЗ переменной).
3) Найти нули функции
(она
, решив уравнение
4) Изобразить на числовой прямой область
определения и нули функции.
5) Определить знаки функции на промежутках,
входящих в область определения функции.
6) Записать ответ, включив в него промежутки в
соответствии со знаком неравенства (не забыть
включить в ответ изолированные точки).
5. Обобщенный метод интервалов. Примеры
3.6. 2.Метод замены переменной. Примеры.
1.2.
3. log22(
log0,5
7. 3.«Расщепление» неравенств.
Если левая часть неравенства представляет собойпроизведение двух выражений, а правая равна нулю,
то схема решения неравенства опирается на правило
знаков при умножении (делении) положительных и
отрицательных чисел.
Пример 1.
Пример 2.
или
или
8. «Расщепление» неравенств. Примеры.
1.2.
3.
9. 4.Использование свойств функции. 4.1. Исследование области определения функции.
Предварительный анализ области определенияфункций, входящих в неравенство (ОДЗ
неизвестной), иногда позволяет получить
решение без преобразований.
10. 4.1. Исследование ОДЗ неизвестной. Примеры.
1.2.
3.
11. 4.2. Использование ограниченности функции. Метод оценки.
Иногда неравенствоустроено так,
имеют место
.
что на всей ОДЗ неизвестной
неравенства
и
В этом случае:
а) решение неравенства
сводится к
нахождению тех значений , для которых
и
б) решение неравенства
сводится к
нахождению ОДЗ неизвестной неравенства.
12. 4.2. Использование ограниченности функции. Метод оценки.
Примеры.1.
2.
13. 4.2. Использование ограниченности функции. Использование неотрицательности функций.
Пусть левая часть неравенстваесть сумма
нескольких функций
Установили, что каждая из этих функций
неотрицательна на своей области определения. Тогда
неравенство
равносильно системе уравнений
При тех же условиях неравенство
сводится
к нахождению области определения функции
.
14. 4.2. Использование ограниченности функции. Использование неотрицательности функций.
Примеры.1.
2.
15. 4.3. Использование монотонности функции.
Если функциявозрастает на своей области
определения, то неравенство
на
ОДЗ равносильно неравенству
. .
Если функция
убывает на своей области
определения, то неравенство
на
ОДЗ равносильно неравенству
.
16. Использование монотонности. Примеры.
1.2.
3.
17. 5. Метод рационализации.
Метод рационализации заключается в заменесложного выражения F(x) на более простое
выражение G(x) (в конечном счете рациональное), при которой неравенство G(x)
равносильно неравенству F(x)
в области
определения выражения F(x) .
Выделим некоторые выражения F и соответствующие им рационализирующие выражения G.
18. Метод рационализации.
Выражение F(x)Выражение G(x)
loghf — loghg
(h – 1)(f – g)
logfh — loggh
(f – 1)(g – 1)(h – 1)(g – f)
hf — hg
(h – 1)(f – g)
fh — gh
(f – g)h
|f|-|g|
(f – g)(f + g)
loghf · logpg
(f – 1)(g – 1)(h – 1)(p – 1)
√f — √g
f- g
19. Метод рационализации. Примеры.
1.2.
3.
20. Домашнее задание.
1.2.
3.
4.
5.
21. Домашнее задание.
6.7.
8.
9.
English Русский Правила
Что такое целочисленное решение неравенства. Иррациональные неравенства
Что нужно знать о значках неравенств? Неравенства со значком больше (> ), или меньше () называются строгими.
Со значками
Сам значок не оказывает особого влияния на процесс решения. А вот в конце решения, при выборе окончательного ответа, смысл значка проявляется в полную силу! Что мы и увидим ниже, на примерах. Есть там свои приколы…
Неравенства, как и равенства, бывают верные и неверные. Здесь всё просто, без фокусов. Скажем, 5 > 2 — верное неравенство. 5 2 — неверное.
Такая подготовка работает для неравенств любого вида и проста до ужаса.) Нужно, всего лишь, правильно выполнять два (всего два!) элементарных действия. Эти действия знакомы всем. Но, что характерно, косяки в этих действиях — и есть основная ошибка в решении неравенств, да… Стало быть, надо повторить эти действия. Называются эти действия вот как:
Тождественные преобразования неравенств.
Тождественные преобразования неравенств очень похожи на тождественные преобразования уравнений. Собственно, в этом и есть основная проблема. Отличия проскакивают мимо головы и… приехали.) Поэтому я особо выделю эти отличия. Итак, первое тождественное преобразование неравенств:
1. К обеим частям неравенства можно прибавить (отнять) одно и то же число, или выражение. Любое. Знак неравенства от этого не изменится.
На практике это правило применяется как перенос членов из левой части неравенства в правую (и наоборот) со сменой знака. Со сменой знака члена, а не неравенства! Правило один в один совпадает с правилом для уравнений. А вот следующие тождественные преобразования в неравенствах существенно отличается от таковых в уравнениях. Поэтому я выделяю их красным цветом:
2. Обе части неравенства можно умножить (разделить) на одно и то же положительное число. На любое положительное не изменится.
3. Обе части неравенства можно умножить (разделить) на одно и то же отрицательное число.
На любое отрицательное число. Знак неравенства от этого изменится на противоположный.
Вы помните (надеюсь…), что уравнение можно умножать/делить на что попало. И на любое число, и на выражение с иксом. Лишь бы не на ноль. Ему, уравнению, от этого ни жарко, ни холодно.) Не меняется оно. А вот неравенства более чувствительны к умножению/делению.
Наглядный пример на долгую память. Напишем неравенство, не вызывающее сомнений:
5 > 2
Умножим обе части на +3, получим:
15 > 6
Возражения есть? Возражений нет.) А если умножим обе части исходного неравенства на -3, получим:
15 > -6
А это уже откровенная ложь.) Полное враньё! Обман народа! Но стоит изменить знак неравенства на противоположный, как всё становится на свои места:
15 -6
Про враньё и обман — это я не просто так ругаюсь.) «Забыл сменить знак неравенства…» — это главная ошибка в решении неравенств.
Это пустяковое и несложное правило стольких людей ушибло! Которые забыли…) Вот и ругаюсь. Может, запомнится…)
Особо внимательные заметят, что неравенство нельзя умножать на выражение с иксом. Респект внимательным!) А почему нельзя? Ответ простой. Мы же не знаем знак этого выражения с иксом. Оно может быть положительное, отрицательное… Стало быть, мы не знаем, какой знак неравенства ставить после умножения. Менять его, или нет? Неизвестно. Разумеется, это ограничение (запрет умножения/деления неравенства на выражение с иксом) можно обойти. Если очень надо будет. Но это тема для других уроков.
Вот и все тождественные преобразования неравенств. Ещё раз напомню, что они работают для
Линейные неравенства. Решение, примеры.
Линейными неравенствами называются неравенства, в которых икс находится в первой степени и нет деления на икс. Типа:
х+3 > 5х-5
Как решаются такие неравенства? Они решаются очень просто! А именно: с помощью сводим самое замороченное линейное неравенство прямо к ответу.
Вот и всё решение. Главные моменты решения я буду выделять. Во избежание дурацких ошибок.)
Решаем это неравенство:
х+3 > 5х-5
Решаем точно так же, как и линейное уравнение. С единственным отличием:
Внимательно следим за знаком неравенства!
Первый шаг самый обычный. С иксами — влево, без иксов — вправо… Это первое тождественное преобразование, простое и безотказное.) Только знаки у переносимых членов не забываем менять.
Знак неравенства сохраняется:
х-5х > -5-3
Приводим подобные.
Знак неравенства сохраняется:
4х > -8
Осталось применить последнее тождественное преобразование: разделить обе части на -4.
Делим на отрицательное число.
Знак неравенства изменится на противоположный:
х 2
Это ответ.
Так решаются все линейные неравенства.
Внимание! Точка 2 рисуется белой, т.е. незакрашенной. Пустой внутри. Это означает, что она в ответ не входит! Я её специально такой здоровой нарисовал.
Такая точка (пустая, а не здоровая!)) в математике называется выколотой точкой.
Остальные числа на оси отмечать можно, но не нужно. Посторонние числа, не относящиеся к нашему неравенству, могут и запутать, да… Нужно только помнить, что увеличение чисел идёт по стрелке, т.е. числа 3, 4, 5, и т.д. находятся
Неравенство х — строгое. Икс строго меньше двух. Если возникают сомнения, проверка простая. Подставляем сомнительное число в неравенство и размышляем: «Два меньше двух? Нет, конечно!» Именно так. Неравенство 2 неверное. Не годится двойка в ответ.
А единичка годится? Конечно. Меньше же… И ноль годится, и -17, и 0,34… Да все числа, которые меньше двух — годятся! И даже 1,9999…. Хоть чуть чуть, да меньше!
Вот и отметим все эти числа на числовой оси. Как? Тут бывают варианты. Вариант первый — штриховка. Наводим мышку на рисунок (или касаемся картинки на планшете) и видим, что заштрихована область всех иксов, подходящих под условие х .
Вот и всё.
Второй вариант рассмотрим на втором примере:
х ≥ -0,5
Рисуем ось, отмечаем число -0,5. Вот так:
Заметили разницу?) Ну да, трудно не заметить… Эта точка — чёрная! Закрашенная. Это означает, что -0,5 входит в ответ. Здесь, кстати, проверка и смутить может кого-нибудь. Подставляем:
-0,5 ≥ -0,5
Как так? -0,5 никак не больше -0,5! А значок больше имеется…
Ничего страшного. В нестрогом неравенстве годится всё, что подходит под значок. И равно годится, и больше годится. Следовательно, -0,5 в ответ включается.
Итак, -0,5 мы отметили на оси, осталось ещё отметить все числа, которые больше -0,5. На этот раз я отмечаю область подходящих значений икса дужкой (от слова дуга ), а не штриховкой. Наводим курсор на рисунок и видим эту дужку.
Особой разницы между штриховкой и дужками нет. Делайте, как учитель сказал. Если учителя нет — рисуйте дужки. В более сложных заданиях штриховка менее наглядна.
Вот так рисуются линейные неравенства на оси. Переходим к следующей особенности неравенств.
Запись ответа для неравенств.
В уравнениях было хорошо.) Нашли икс, да и записали ответ, например: х=3. В неравенствах существуют две формы записи ответов. Одна — в виде окончательного неравенства. Хороша для простых случаев. Например:
х
Это полноценный ответ.
Иногда требуется записать то же самое, но в другой форме, через числовые промежутки. Тогда запись начинает выглядеть очень научно):
х ∈ (-∞; 2)
Под значком ∈ скрывается слово «принадлежит».
Читается запись так: икс принадлежит промежутку от минус бесконечности до двух не включая . Вполне логично. Икс может быть любым числом из всех возможных чисел от минус бесконечности до двух. Двойкой икс быть не может, о чём нам и говорит слово «не включая».
А где это в ответе видно, что «не включая» ? Этот факт отмечается в ответе круглой скобкой сразу после двойки.
Если бы двойка включалась, скобка была бы квадратной. Вот такой: ]. В следующем примере такая скобка используется.
Запишем ответ: х ≥ -0,5 через промежутки:
х ∈ [-0,5; +∞)
Читается: икс принадлежит промежутку от минус 0,5, включая, до плюс бесконечности.
Бесконечность не может включаться никогда. Это не число, это символ. Поэтому в подобных записях бесконечность всегда соседствует с круглой скобкой.
Такая форма записи удобна для сложных ответов, состоящих из нескольких промежутков. Но — именно для окончательных ответов. В промежуточных результатах, где предполагается дальнейшее решение, лучше использовать обычную форму, в виде простого неравенства. Мы с этим в соответствующих темах разберёмся.
Популярные задания с неравенствами.
Сами по себе линейные неравенства просты. Поэтому, частенько, задания усложняются. Так, чтобы подумать надо было. Это, если с непривычки, не очень приятно.) Но полезно. Покажу примеры таких заданий.
1. Найдите любые два решения неравенства 3х — 3
Если не очень понятно, что делать, вспоминаем главное правило математики:
Не знаешь, что нужно — делай, что можно!)
х 1
И что? Да ничего особенного. Что нас просят? Нас просят найти два конкретных числа, которые являются решением неравенства. Т.е. подходят под ответ. Два любых числа. Собственно, это и смущает.) Подходит парочка 0 и 0,5. Парочка -3 и -8. Да этих парочек бесконечное множество! Какой ответ правильный?!
Отвечаю: все! Любая парочка чисел, каждое из которых меньше единицы, будет правильным ответом. Пишите, какую хотите. Едем дальше.
2. Решить неравенство:
4х — 3 ≠ 0
Задания в таком виде встречаются редко. Но, как вспомогательные неравенства, при нахождении ОДЗ, например, или при нахождении области определения функции, — встречаются сплошь и рядом.
Такое линейное неравенство можно решать как обычное линейное уравнение. Только везде, кроме знака «=» (равно ) ставить знак «≠ » (не равно ). Так к ответу и подойдёте, со знаком неравенства:
х ≠ 0,75
В более сложных примерах, лучше поступать по-другому. Сделать из неравенства равенство. Вот так:
4х — 3 = 0
Спокойно решить его, как учили, и получить ответ:
х = 0,75
Главное, в самом конце, при записи окончательного ответа, не забыть, что мы нашли икс, который даёт равенство. А нам нужно — неравенство. Стало быть, этот икс нам как раз и не нужен.) И надо записать его с правильным значком:
х ≠ 0,75
При таком подходе получается меньше ошибок. У тех, кто уравнения на автомате решает. А тем, кто уравнения не решает, неравенства, собственно, ни к чему…) Ещё пример популярного задания:
3. Найти наименьшее целое решение неравенства:
3(х — 1) 5х + 9
Сначала просто решаем неравенство.
Ракрываем скобки, переносим, приводим подобные… Получаем:
х > — 6
Не так получилось!? А за знаками следили!? И за знаками членов, и за знаком неравенства…
Опять соображаем. Нам нужно найти конкретное число, подходящее и под ответ, и под условие «наименьшее целое». Если сразу не осеняет, можно просто взять любое число и прикинуть. Два больше минус шести? Конечно! А есть подходящее число поменьше? Разумеется. Например, ноль больше -6. А ещё меньше? Нам же самое маленькое из возможных надо! Минус три больше минус шести! Уже можно уловить закономерность и перестать тупо перебирать числа, правда?)
Берём число поближе к -6. Например, -5. Ответ выполняется, -5 > — 6. Можно найти ещё число, меньше -5, но больше -6? Можно, например -5,5… Стоп! Нам сказано целое решение! Не катит -5,5! А минус шесть? Э-э-э! Неравенство строгое, минус 6 никак не меньше минус 6!
Стало быть, правильный ответ: -5.
Надеюсь, с выбором значения из общего решения всё понятно.
Ещё пример:
4. Решить неравенство:
7 3х+1 13
Во как! Такое выражение называется тройным неравенством. Строго говоря, это сокращённая запись системы неравенств. Но решать такие тройные неравенства всё равно приходится в некоторых заданиях… Оно решается безо всяких систем. По тем же тождественным преобразованиям.
Надо упростить, довести это неравенство до чистого икса. Но… Что куда переносить!? Вот тут самое время вспомнить, что перенос влево-вправо, это сокращённая форма первого тождественного преобразования.
А полная форма звучит вот как: К обеим частям уравнения (неравенства) можно прибавить/отнять любое число, или выражение.
Здесь три части. Вот и будем применять тождественные преобразования ко всем трём частям!
Итак, избавимся от единички в средней части неравенства. Отнимем от всей средней части единичку. Чтобы неравенство не изменилось, отнимем единичку и от оставшихся двух частей. Вот так:
7 -13х+1-1 13-1
6 3х 12
Уже лучше, правда?) Осталось разделить все три части на тройку:
2 х 4
Вот и всё.
Это ответ. Икс может любым числом от двойки (не включая) до четвёрки (не включая). Этот ответ тоже записывается через промежутки, такие записи будут в квадратных неравенствах. Там они — самое обычное дело.
В конце урока повторю самое главное. Успех в решении линейных неравенств зависит от умения преобразовывать и упрощать линейные уравнения. Если при этом следить за знаком неравенства, проблем не будет. Чего я вам и желаю. Отсутствия проблем.)
Если Вам нравится этот сайт…Кстати, у меня есть ещё парочка интересных сайтов для Вас.)
Можно потренироваться в решении примеров и узнать свой уровень. Тестирование с мгновенной проверкой. Учимся — с интересом!)
можно познакомиться с функциями и производными.
Всякое неравенство, в состав которого входит функция, стоящая под корнем, называется иррациональным . Существует два типа таких неравенств:
В первом случае корень меньше функции g
(x
), во втором — больше.
Если g
(x
) — константа , неравенство резко упрощается. Обратите внимание: внешне эти неравенства очень похожи, но схемы решения у них принципиально различаются.
Сегодня научимся решать иррациональные неравенства первого типа — они самые простые и понятные. Знак неравенства может быть строгим или нестрогим. Для них верно следующее утверждение:
Теорема. Всякое иррациональное неравенство вида
Равносильно системе неравенств:
Неслабо? Давайте рассмотрим, откуда берется такая система:
- f (x ) ≤ g 2 (x ) — тут все понятно. Это исходное неравенство, возведенное в квадрат;
- f (x ) ≥ 0 — это ОДЗ корня. Напомню: арифметический квадратный корень существует только из неотрицательного числа;
- g (x ) ≥ 0 — это область значений корня. Возводя неравенство в квадрат, мы сжигаем минусы. В результате могут возникнуть лишние корни. Неравенство g (x ) ≥ 0 отсекает их.
Многие ученики «зацикливаются» на первом неравенстве системы: f
(x
) ≤ g
2 (x
) — и напрочь забывают два других.
Результат предсказуем: неправильное решение, потерянные баллы.
Поскольку иррациональные неравенства — достаточно сложная тема, разберем сразу 4 примера. От элементарных до действительно сложных. Все задачи взяты из вступительных экзаменов МГУ им. М. В. Ломоносова.
Примеры решения задач
Задача. Решите неравенство:
Перед нами классическое иррациональное неравенство : f (x ) = 2x + 3; g (x ) = 2 — константа. Имеем:
Из трех неравенств к концу решения осталось только два. Потому что неравенство 2 ≥ 0 выполняется всегда. Пересечем оставшиеся неравенства:
Итак, x ∈ [−1,5; 0,5]. Все точки закрашены, поскольку неравенства нестрогие .
Задача. Решите неравенство:
Применяем теорему:
Решаем первое неравенство. Для этого раскроем квадрат разности. Имеем:
2x 2 − 18x + 16 2x 2 − 18x + 16 x 2 − 10x x (x − 10) x ∈ (0; 10).
Теперь решим второе неравенство. Там тоже квадратный трехчлен :
2x
2 − 18x
+ 16 ≥ 0;
x
2 − 9x
+ 8 ≥ 0;
(x
− 8)(x
− 1) ≥ 0;
x
∈ (−∞; 1]∪∪∪∪}
Поиск решений неравенства | Магазин развивающей математики
Результаты обучения
- Классифицировать решения и графики как уравнения или неравенства
- Определить, входит ли упорядоченная пара в набор решений линейного неравенства
Определите разницу между графиком линейного уравнения и линейным неравенством
Вспомните, что решениями линейных неравенств являются целые наборы чисел, а не одно число, как вы находите с решениями равенств (уравнений).
Вот пример из раздела о решении линейных неравенств:
Решить для с. [латекс] 4p+5<29[/латекс]
[латекс] \displaystyle \begin{array}{l}4p+5<\,\,\,29\\\underline{\,\,\,\ ,\,\,\,\,\,-5\,\,\,\,\,\,\,-5}\\\подчеркнуть{4p}\,\,\,\,\,\,\ ,\,<\,\,\подчеркнуть{24}\,\,\\4\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \,\,\,\,\,\,\,\,4\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,p<6\end{массив}[ /latex]
Решение можно интерпретировать так, что p может быть любым числом меньше шести. Теперь вспомните, что мы можем построить уравнения линий, определив выходные данные [latex]y[/latex] и входные данные [latex]x[/latex] и написав уравнение.
Ранее мы показали, как изобразить линию, описываемую уравнением [latex]y=2x+3[/latex] , и обнаружили, что можем построить бесконечную таблицу значений, которые образуют точки на линии — это некоторые решения уравнения [латекс]у=2х+3[/латекс].
| x значения | [латекс]2x+3[/латекс] | y значения |
|---|---|---|
| [латекс]0[/латекс] | [латекс]2(0)+3[/латекс] | [латекс]3[/латекс] |
| [латекс]1[/латекс] | [латекс]2(1)+3[/латекс] | [латекс]5[/латекс] |
| [латекс]2[/латекс] | [латекс]2(2)+3[/латекс] | [латекс]7[/латекс] |
| [латекс]3[/латекс] | [латекс]2(3)+3[/латекс] | [латекс]9[/латекс] |
Кроме того, мы узнали, как изобразить линию, представляющую все точки, которые делают [латекс]у=2х+3[/латекс] верным утверждением.
Что, если мы объединим эти две идеи — линейные неравенства и графики линий? Сначала переведите строку [latex]y=2x+3[/latex] в слова:
Вы получите y, умножив [latex]x[/latex] на два и прибавив три. [latex]y=2x+3[/latex]
Как бы вы перевели это неравенство словами? [latex]y<2x+3[/latex]
Для каких значений [latex]x[/latex] вы получите результат, [latex]y[/latex], который меньше, чем [latex]2[ /латекс] умножить на [латекс]х[/латекс] плюс три?
ВАУ, это может показаться запутанным, но продолжайте читать, мы поможем вам разобраться.
Линейные неравенства отличаются от линейных уравнений, хотя вы можете применить свои знания об уравнениях, чтобы понять неравенства. Неравенства и уравнения — это математические операторы, которые сравнивают два значения. В уравнениях используется символ = ; помните, что неравенства представлены символами < , ≤ , > и ≥.
Один из способов визуализировать неравенства с двумя переменными — нанести их на координатную плоскость.
Вот как выглядит неравенство [latex]x>y[/latex]. Решение представляет собой область, которая заштрихована. Эта область состоит из множества упорядоченных пар, каждая из которых делает утверждение [latex]x>y[/latex] верным.
Здесь следует отметить несколько моментов. Во-первых, посмотрите на пунктирную красную граничную линию: это график соответствующего линейного уравнения [latex]x=y[/latex]. Затем посмотрите на светло-красную область справа от линии. Эта область (за исключением строки [latex]x=y[/latex]) представляет собой все множество решений неравенства [latex]x>y[/latex]. Помните, как все точки на прямой являются решениями линейного уравнения прямой? Ну, все точки в область являются решениями линейного неравенства , представляющего эту область.
Давайте задумаемся об этом на мгновение — если [латекс]x>y[/латекс], то график [латекс]х>у[/латекс] покажет все упорядоченные пары [латекс](х,у)[ /latex], для которого координата x- больше, чем координата y-.
Определение упорядоченных пар, являющихся набором решений линейного неравенства
На приведенном ниже графике показана область [латекс]x>y[/латекс] , а также некоторые упорядоченные пары на координатной плоскости. Посмотрите на каждую заказанную пару. 9Координата 0105 x- больше, чем координата y-? Находится ли упорядоченная пара внутри или снаружи заштрихованной области?
Упорядоченные пары [латекс](4,0)[/латекс] и [латекс](0,−3)[/латекс] лежат внутри заштрихованной области. В этих упорядоченных парах координата x- больше, чем координата y-. Эти упорядоченные пары входят в набор решений уравнения [латекс]х>у[/латекс].
Упорядоченные пары [латекс](−3,3)[/латекс] и [латекс](2,3)[/латекс] находятся за пределами заштрихованной области. В этих упорядоченных парах 9Координата 0105 x- на меньше , чем координата y-, поэтому они не включены в набор решений неравенства.
Упорядоченная пара [латекс](−2,−2)[/латекс] находится на граничной линии.
Это не решение, так как [латекс]-2[/латекс] не больше, чем [латекс]-2[/латекс]. Однако если бы неравенство было [латекс]x\geq y[/латекс] (читается как « x больше или равно y »), то [латекс](−2,−2)[/латекс ] был бы включен (и линия была бы представлена сплошной, а не пунктирной линией).
Посмотрите видео ниже, чтобы еще раз объяснить разницу между линейным уравнением и линейным неравенством.
Рассмотрим еще один пример: неравенство [латекс]3х+2у\leq6[/латекс]. На приведенном ниже графике показана область значений, которая делает это неравенство верным (заштрихована красным), граничная линия [латекс]3x+2y=6[/латекс], а также несколько упорядоченных пар. Граничная линия на этот раз сплошная, потому что точки на граничной линии [latex]3x+2y=6[/latex] делают неравенство [latex]3x+2y\leq6[/latex] истинным.
Как и в предыдущем примере, вы можете заменить значения [latex]x[/latex]– и [latex]y[/latex] в каждом из [latex](x,y)[/ латекс] упорядочил пары в неравенстве, чтобы найти решения. Хотя вы, возможно, смогли сделать это в уме для неравенства [latex]x>y[/latex], иногда создание таблицы значений имеет смысл для более сложных неравенств.
| Заказная пара | Делает неравенство [латекс]3x+2y\leq6[/латекс] верное утверждение | Делает неравенство [латекс]3x+2y\leq6[/латекс] ложное заявление |
|---|---|---|
| [латекс](−5, 5)[/латекс] | [латекс]\begin{array}{r}3\left(−5\right)+2\left(5\right)\leq6\\−15+10\leq6\\−5\leq6\end{array }[/латекс] | |
| [латекс](−2,−2)[/латекс] | [латекс]\begin{array}{r}3\left(−2\right)+2\left(–2\right)\leq6\\−6+\left(−4\right)\leq6\\ –10\leq6\end{массив}[/латекс] | |
| [латекс](2,3)[/латекс] | [латекс]\begin{array}{r}3\left(2\right)+2\left(3\right)\leq6\\6+6\leq6\\12\leq6\end{array}[/ латекс] | |
| [латекс](2,0)[/латекс] | [латекс]\begin{array}{r}3\left(2\right)+2\left(0\right)\leq6\\6+0\leq6\\6\leq6\end{array}[/ латекс] | |
| [латекс](4,−1)[/латекс] | [латекс]\begin{массив}{r}3\влево(4\вправо)+2\влево(-1\вправо)\leq6\\12+\влево(-2\вправо)\leq6\\10\ leq6\end{массив}[/латекс] |
Если подстановка [латекс](х,у)[/латекс] в неравенство дает верное утверждение, тогда упорядоченная пара является решением неравенства, и точка будет нанесена в заштрихованную область или точку будет частью сплошной граничной линии.
Ложное утверждение означает, что упорядоченная пара не является решением, и точка будет находиться вне заштрихованной области или будет частью пунктирной граничной линии.
Вы можете посмотреть следующее видео, чтобы увидеть больше примеров того, как определить, удовлетворяет ли упорядоченная пара линейному неравенству.
Посмотрите видео ниже, чтобы увидеть пример использования графика для определения того, является ли упорядоченная пара решениями линейного неравенства с двумя переменными
У вас есть идеи по улучшению этого контента? Мы будем признательны за ваш вклад.
Улучшить эту страницуПодробнее
Графические неравенства | Начальная алгебра
Цели обучения
- Определение графиков и решений уравнений и неравенств
- Определите сходства и различия между решениями линейных уравнений с двумя переменными и линейных неравенств с двумя переменными
- Определите сходства и различия между графиками линейных уравнений с двумя переменными и линейных неравенств с двумя переменными
- График неравенства двух переменных
- Определите и выполните шаги для построения графика линейного неравенства с двумя переменными
Определите разницу между графиком линейного уравнения и линейным неравенством
Вспомните, что решениями линейных неравенств являются целые наборы чисел, а не одно число, как вы находите с решениями равенств (уравнений).
Вот пример из раздела о решении линейных неравенств:
Решить для p . [латекс] 4p+5<29[/латекс]
[латекс] \displaystyle \begin{array}{l}4p+5<\,\,\,29\\\underline{\,\,\,\ ,\,\,\,\,\,-5\,\,\,\,\,\,\,-5}\\\подчеркнуть{4p}\,\,\,\,\,\,\ ,\,<\,\,\подчеркнуть{24}\,\,\\4\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \,\,\,\,\,\,\,\,4\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,p<6\end{массив}[ /латекс]
Вы можете интерпретировать решение как p может быть любым числом меньше шести. Теперь вспомните, что мы можем построить уравнения линий, определив выходные данные y и входные данные x и написав уравнение.
Ранее мы показали, как изобразить линию, описываемую этим уравнением: [latex]y=2x+3[/latex] , и обнаружили, что можно построить бесконечную таблицу значений, которые образуют точки на линия — это некоторые решения уравнения [латекс]у=2х+3[/латекс].
| x значения | [латекс]2x+3[/латекс] | y значения |
|---|---|---|
| 0 | [латекс]2(0)+3[/латекс] | 3 |
| 1 | [латекс]2(1)+3[/латекс] | 5 |
| 2 | [латекс]2(2)+3[/латекс] | 7 |
| 3 | [латекс]2(3)+3[/латекс] | 9 |
Кроме того, мы узнали, как изобразить линию, представляющую все точки, которые делают [латекс]у=2х+3[/латекс] верным утверждением.
Что, если мы объединим эти две идеи — линейные неравенства и графики линий? Сначала переведите строку [latex]y=2x+3[/latex] в слова:
Вы получите y , умножив x на два и прибавив три. [latex]y=2x+3[/latex]
Как бы вы перевели это неравенство словами? [latex]y<2x+3[/latex]
Для каких значений x вы получите результат y, который на меньше, чем 2 умножить на x плюс три?
ВАУ, это может показаться запутанным, но продолжайте читать, мы поможем вам разобраться.
Линейные неравенства отличаются от линейных уравнений, хотя вы можете применить свои знания об уравнениях, чтобы понять неравенства. Неравенства и уравнения — это математические операторы, которые сравнивают два значения. В уравнениях используется символ = ; помните, что неравенства представлены символами < , ≤ , > и ≥.
Один из способов визуализировать неравенства с двумя переменными — нанести их на координатную плоскость. Вот что означает неравенство [latex]x>y[/latex] выглядит так.
Решение представляет собой область, которая заштрихована. Эта область состоит из множества упорядоченных пар, каждая из которых делает утверждение [latex]x>y[/latex] верным.
Здесь следует отметить несколько моментов. Во-первых, посмотрите на пунктирную красную граничную линию: это график соответствующего линейного уравнения [latex]x=y[/latex]. Затем посмотрите на светло-красную область справа от линии. Эта область (за исключением строки [latex]x=y[/latex]) представляет собой все множество решений неравенства [latex]x>y[/latex]. Помните, как все точки на строки решения линейного уравнения линии? Итак, все точки в области являются решениями линейного неравенства , представляющего эту область.
Давайте задумаемся об этом на мгновение — если [латекс]x>y[/латекс], то график [латекс]х>у[/латекс] покажет все упорядоченные пары [латекс](х,у)[ /latex], для которого координата x- больше, чем координата y-.
На приведенном ниже графике показана область [латекс]x>y[/латекс], а также некоторые упорядоченные пары на координатной плоскости.
Посмотрите на каждую заказанную пару. 9Координата 0105 x- больше, чем координата y-? Находится ли упорядоченная пара внутри или снаружи заштрихованной области?
Упорядоченные пары [латекс](4,0)[/латекс] и [латекс](0,−3)[/латекс] лежат внутри заштрихованной области. В этих упорядоченных парах координата x- больше, чем координата y-. Эти упорядоченные пары входят в набор решений уравнения [латекс]х>у[/латекс].
Упорядоченные пары [латекс](−3,3)[/латекс] и [латекс](2,3)[/латекс] находятся за пределами заштрихованной области. В этих упорядоченных парах 9Координата 0105 x- на меньше , чем координата y-, поэтому они не включены в набор решений неравенства.
Упорядоченная пара [латекс](−2,−2)[/латекс] находится на граничной линии. Это не решение, так как [латекс]-2[/латекс] не больше, чем [латекс]-2[/латекс]. Однако если бы неравенство было [латекс]x\geq y[/латекс] (читается как « x больше или равно y »), то [латекс](−2,−2)[/латекс ] был бы включен (и линия была бы представлена сплошной, а не пунктирной линией).
Разница между линейным уравнением и линейным неравенством (две переменные)
Рассмотрим еще один пример: неравенство [latex]3x+2y\leq6[/latex]. На приведенном ниже графике показана область значений, которая делает это неравенство верным (заштрихована красным), граничная линия [латекс]3x+2y=6[/латекс], а также несколько упорядоченных пар. Граничная линия на этот раз сплошная, потому что точки на граничной линии [latex]3x+2y=6[/latex] делают неравенство [latex]3x+2y\leq6[/latex] истинным.
Как и в предыдущем примере, вы можете подставить значения x- и y- в каждую из упорядоченных пар [латекс](х,у)[/латекс] в неравенство, чтобы найти решения . Хотя вы, возможно, смогли сделать это в уме для неравенства [latex]x>y[/latex], иногда создание таблицы значений имеет смысл для более сложных неравенств.
| Заказная пара | Делает неравенство [латекс]3x+2y\leq6[/латекс] верное утверждение | Делает неравенство [латекс]3x+2y\leq6[/латекс] ложное заявление |
|---|---|---|
| [латекс](−5, 5)[/латекс] | [латекс]\begin{array}{r}3\left(−5\right)+2\left(5\right)\leq6\\−15+10\leq6\\−5\leq6\end{array }[/латекс] | |
| [латекс](−2,−2)[/латекс] | [латекс]\begin{array}{r}3\left(−2\right)+2\left(–2\right)\leq6\\−6+\left(−4\right)\leq6\\ –10\leq6\end{массив}[/латекс] | |
| [латекс](2,3)[/латекс] | [латекс]\begin{array}{r}3\left(2\right)+2\left(3\right)\leq6\\6+6\leq6\\12\leq6\end{array}[/ латекс] | |
| [латекс](2,0)[/латекс] | [латекс]\begin{array}{r}3\left(2\right)+2\left(0\right)\leq6\\6+0\leq6\\6\leq6\end{array}[/ латекс] | |
| [латекс](4,−1)[/латекс] | [латекс]\begin{массив}{r}3\влево(4\вправо)+2\влево(-1\вправо)\leq6\\12+\влево(-2\вправо)\leq6\\10\ leq6\end{массив}[/латекс] |
Если подстановка [латекс](х,у)[/латекс] в неравенство дает верное утверждение, тогда упорядоченная пара является решением неравенства, и точка будет нанесена в заштрихованную область или точку будет частью сплошной граничной линии.
Ложное утверждение означает, что упорядоченная пара не является решением, и точка будет находиться вне заштрихованной области или будет частью пунктирной граничной линии.
Определите, удовлетворяют ли упорядоченные пары линейному неравенству
Используйте график, определяющий упорядоченные парные решения линейного неравенства в двух переменных
Определите, удовлетворяют ли упорядоченные пары. алгебраическая форма неравенства, например [latex]y>3x+1[/latex], к графику этого неравенства? Построить неравенство довольно просто, если вы выполните пару шагов.
Графические неравенства
Для построения графика неравенства:
- Начертите соответствующую граничную линию.
Замените знак <, >, ≤ или ≥ в неравенстве на =, чтобы найти уравнение граничной линии. - Определите хотя бы одну упорядоченную пару по обе стороны от линии границы и подставьте эти значения [латекс](х,у)[/латекс] в неравенство. Закрасьте область, содержащую упорядоченные пары, которые делают утверждение неравенства верным.
- Если точки на граничной линии являются решениями, используйте сплошную линию для рисования граничной линии. Это произойдет для ≤ или ≥ неравенств.
- Если точки на граничной линии не являются решениями, используйте пунктирную линию для граничной линии. Это произойдет для < или > неравенств.
Замените знак <, >, ≤ или ≥ в неравенстве на =, чтобы найти уравнение граничной линии.Построим график неравенства [latex]x+4y\leq4[/latex].
Чтобы построить граничную линию, найдите не менее двух значений, лежащих на линии [latex]x+4y=4[/latex]. Вы можете использовать точки пересечения x – и y для этого уравнения, подставив сначала 0 вместо x и найдя значение y ; затем подставьте 0 вместо y и найдите x .
| х | у |
| 0 | 1 |
| 4 | 0 |
Нанесите точки [латекс](0,1)[/латекс] и [латекс](4,0)[/латекс] и проведите линию через эти две точки в качестве граничной линии. Линия сплошная, потому что ≤ означает «меньше или равно», поэтому все упорядоченные пары вдоль линии включаются в набор решений.
Следующий шаг — найти область, содержащую решения. Это выше или ниже границы? Чтобы определить область, в которой справедливо неравенство, вы можете протестировать пару упорядоченных пар, по одной с каждой стороны от граничной линии.
Если заменить [латекс](−1,3)[/латекс] на [латекс]x+4y\leq4[/латекс]:
[латекс]\begin{array}{r}−1+4\ left(3\right)\leq4\\−1+12\leq4\\11\leq4\end{array}[/latex]
Это неверное утверждение, поскольку 11 не меньше или равно 4.
С другой стороны, если вы замените [латекс](2,0)[/латекс] на [латекс]x+4y\leq4[/латекс]:
[латекс]\begin{array}{r}2 +4\left(0\right)\leq4\\2+0\leq4\\2\leq4\end{массив}[/latex]
Это правда! Область, включающая [латекс](2,0)[/латекс], должна быть заштрихована, так как это область решений.
Вот и все — график множества решений для [latex]x+4y\leq4[/latex].
Графики линейных неравенств с двумя переменными
Небольшое примечание к описанной выше проблеме: обратите внимание, что вы можете использовать точки [латекс](0,−3)[/латекс] и [латекс](2,1)[/латекс] для построения линии границы, но это эти точки не входят в область решений, так как область не включает граничную линию!
Графики линейных неравенств с двумя переменными (форма пересечения наклона)
Резюме
Когда неравенства изображаются на координатной плоскости, решения располагаются в области координатной плоскости, которая представлена в виде заштрихованной области на самолет.