Дифференциальные уравнения — онлайн калькулятор.
Как известно, теория обыкновенных дифференциальных уравнений начала развиваться в XVII веке одновременно с возникновением дифференциального и интегрального исчисления. Можно сказать, что необходимость решать дифференциальные уравнения для нужд механики, то есть находить траектории движений, явилась толчком для создания Ньютоном нового исчисления. Законы Ньютона позволяют строить математическую модель механического движения, которая обычно представляет собой дифференциальное уравнение. Рассмотрим, например, подробнее такую задачу. С некоторой высоты сброшено тело массой m. Требуется установить закон изменения скорости падения тела v(t), если на него действует сила сопротивления воздуха, пропорциональная скорости (коэффициент пропорциональности k). По II закону Ньютона где – ускорение движущегося тела, – сумма сил, действующих на тело – силы тяжести и силы сопротивления воздуха. Таким образом, имеем уравнение, связывающее искомую функцию
т.
е. дифференциальное уравнение. В настоящее время теория дифференциальных уравнений является одним из самых больших разделов современной математики. Ее разработкой занимались крупнейшие ученые XVIII века, такие как Ж. Даламбер, Ж. Л. Лагранж, А. Клеро и др. Наибольшую роль в развитии этой теории сыграли труды Л. Эйлера. В первых двух томах его «Интегрального исчисления» содержится немало классических примеров интегрирования дифференциальных уравнений, в том числе и решения линейного однородного уравнения любого порядка с постоянными коэффициентами. Отметим, что изучение обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) на младших курсах обычно остается на уровне открытий XVIII века, и заключается в освоении приемов интегрирования лишь хорошо изученных типов уравнений и некоторых экзотических случаев, ибо «точно» интегрируемые уравнения – это исключительная редкость во множестве возможных уравнений. Переходя к реальным объектам исследования, студенты, инженеры и аспиранты сталкиваются с более сложными моделями и их математической реализацией.
В математике и физике часто встречаются задачи, для решения которых требуется решить уравнение, содержащее не только неизвестную функцию и ее аргумент, но и производную неизвестной функции.
Уравнение вида
связывающее независимую переменную x, искомую функцию и ее производные ) , называется обыкновенным дифференциальным уравнением.
Порядок старшей производной, входящей в дифференциальное уравнение, называется порядком дифференциального уравнения.
Например, уравнения
будут дифференциальными уравнениями первого порядка; уравнения
будут дифференциальными уравнениями второго порядка; уравнение
имеет третий порядок.
Функция называется решением дифференциального уравнения на интервале (a,b) если при ее подстановке в это уравнение получается тождество, справедливое для всех x из интервала (a, b)
Например, функция является решением дифференциального уравнения ; функция будет решением уравнения в интервале (-1;1) . Чтобы это проверить, достаточно подставить функцию в соответствующее уравнение.Уравнение задающее в неявном виде решение дифференциального уравнения, называется интегралом дифференциального уравнения. График решения (интеграла) дифференциального уравнения называется интегральной кривой.
Так же если вы затрудняетесь в решении дифференциального уравнения, всегда можно воспользоваться
онлайн калькулятором
Процесс нахождения решений дифференциального уравнения называется интегрированием дифференциального уравнения. Это название не случайно, так как нахождение решений обычно связано с процессом интегрирования. Поскольку процесс интегрирования функции приводит к появлению множества функций, то и решений любое дифференциальное уравнение тоже будет иметь множество. Основной задачей теории дифференциальных уравнений является отыскание всех решений данного дифференциального уравнения в заданной области (в явной или неявной форме). Дифференциальное уравнение называется интегрируемым в квадратурах, если все его решения могут быть получены в результате конечной последовательности элементарных действий над известными функциями и интегрированием этих функций. Таких уравнений сравнительно немного. В нашем курсе мы рассмотрим основные типы дифференциальных уравнений, интегрируемых в квадратурах.
В математике рассматриваются также уравнения, которые связывают искомую функцию нескольких переменных, ее аргументы и частные производные. Такие уравнения называются дифференциальными уравнениями в частных производных. Их интегрирование представляет собой значительно более сложную задачу, чем интегрирование обыкновенных дифференциальных уравнений. Позднее мы познакомимся с одним типом дифференциальных уравнений в частных производных.
Дифференциальные уравнения
Решение дифференциальных уравнений
Решить онлайн дифференциальные уравнения — просто! Искусственный интеллект постоянно развивавется. Нашим специалистам удалось научить его решать различные математические задачи. Например, стали доступны такие раздеолы, как решение онлайн дифференциальных уравнений или производная функции онлайн.
На нашем сайте вы можете решить любое дифференциальное уравнение используя Калькулятор
за пару секунд.
Пользоваться калькулятором просто.
Начальные условия вводите как обычные условия. Порядок не важен.
Чтобы
ввести условие, нажмите «+условие»
Например:
Условие 1: y’=y+x
Условие 2: y(0)=1
Нажав кнопку Решить вы получите подробное решение дифференциальных уравнений.
Что такое дифференциальные уравнения и как их решать
Дифференциальное уравнение (ДУ) – это уравнение с производными функции или самой функцией, независимой переменной и параметрами. Чтобы научиться решать дифференциальное уравнение, нужно сначала разобраться с условными обозначениями. Производная функции обозначается символически “штрихом”. Производная функции второго порядка отображается соответственно двумя “штрихами” и так далее.
Порядок дифференциального уравнения – это порядок старшей производной в уравнении.
Как решать дифференциальные уравнения
Решение дифференциального уравнения не будет таким же, как решение обыкновенного уравнения.
При решении дифференциальных уравнений, в отличие от алгебраических уравнений, ищется не число или
несколько чисел, а функция или семейство функций. Алгебраический смысл решения таковой: если вместо
функций и производных всех порядков, подставить любую функцию из семейства её решений, то получится
верное равенство.
ДУ выше первого порядка возможно преобразовать в систему уравнений первого порядка, где число уравнений равняется порядку исходного дифференциального уравнения. Таким образом дифференциальное уравнение второго порядка преобразуется в систему функций, состоящую из двух уравнений.
При решении такой задача, как дифференциальные уравнения важно помнить, что его решением
будет именно семейство функций,
так как если брать производную от константы, то она будет равняться нулю. А так как производная от
константы равняется нулю, то в исходной функции может быть такое определённое решение данного
дифференциального уравнения.
Не все калькуляторы позволяют решить дифференциальные уравнения онлайн, а только самые
“умные”. Ещё несколько
лет назад решить дифференциальное уравнение с помощью калькулятора было невозможным.
Бесплатный онлайн калькулятор дифференциальных уравнений. Производная онлайн калькулятор.
Система дифференциальных уравнений, линейные дифференциальные уравнения или другое дифференциальное уравнение любой сложности будет решено нашим бесплатным решателем за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать — это просто ввести данные уравнения в калькуляторе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как решить дифференциальное уравнение на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в онлайн чате на странице Калькулятора или в нашей группе Вконтакте: pocketteacher. Вступайте в нашу группу, мы всегда рады помочь вам.
Так же читайте нашу статью «Решить систему уравнений методом сложения онлайн решателем»
Решение дифференциальных уравнений шаг за шагом онлайн
Примеры дифференциальных уравнений
- Простейшие дифференциальные уравнения 1-го порядка
у' + у = 0
у' - 5*у = 0
х*у' - 3 = 0
- Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными
(х-1)*у' + 2*х*у = 0
тангенс(у)*у' = грех(х)
2- Линейные дифференциальные уравнения 3-го порядка
у''' + 3*у'' + у' + 3у = 0
у''' + 2*у'' + у' = ехр(-х)
у''' + 3*у'' + у' + 3у = sin(x) + 2
- Другое
-6*y - 5*y'' + y' + y''' + y'''' = x*cos(x) + sin(x)
Что умеет калькулятор дифференциальных уравнений?
- Подробное решение для:
- Обыкновенное дифференциальное уравнение (ОДУ)
- Разделимое дифференциальное уравнение
- Уравнение Бернулли
- Точное дифференциальное уравнение
- Дифференциальное уравнение первого порядка
- Дифференциальное уравнение второго порядка
- Дифференциальное уравнение третьего порядка
- Однородное дифференциальное уравнение
- Неоднородное дифференциальное уравнение
- Дифференциальное уравнение замены
- Система обыкновенных дифференциальных уравнений (Система ОДУ)
- Графики набора решений
- Решение задачи Коши
- Классификация дифференциальных уравнений
- Примеры численных решений
Узнайте больше о Дифференциальные уравнения
.
Вышеприведенные примеры также содержат:
- модуль или абсолютное значение: absolute(x) или |x|
- квадратные корни sqrt(x),
кубических корней cbrt(x) - тригонометрические функции:
sinus sin(x), косинус cos(x), тангенс tan(x), котангенс ctan(x) - экспоненциальные функции и показатели exp(x)
- обратные тригонометрические функции:
арксинус asin(x), арккосинус acos(x), арктангенс atan(x), арккотангенс acot(x) - натуральные логарифмы ln(x),
десятичные логарифмы log(x) - гиперболические функции:
гиперболический синус sh(x), гиперболический косинус ch(x), гиперболический тангенс и котангенс tanh(x), ctanh(x) - обратные гиперболические функции:
гиперболический арксинус asinh(x), гиперболический арккосинус acosh(x), гиперболический арктангенс ath(x), гиперболический арккотангенс acoth(x) - другие тригонометрические и гиперболические функции: секанс
sec(x), косеканс csc(x), арксеканс asec(x), арккосеканс acsc(x), гиперболический секанс sech(x), гиперболический косеканс csch(x), гиперболический арксикансек asech(x), гиперболический арккосеканс acsch(x) - функции округления:
округлить пол вниз (x), округлить потолок вверх (x) - знак числа:
знак(х) - для теории вероятностей:
функция ошибок erf(x) (интеграл вероятности), Функция Лапласа laplace(x) - Факториал х :
х! или факториал(х) - Гамма-функция gamma(x)
- Функция Ламберта LambertW(x) 95
- — возведение в степень
- х + 7
- — дополнение
- х — 6
- — вычитание
- Реальные числа
- вставка как 7,5 , № 7,5
- Пи
- — число Пи
- и
- — основание натурального логарифма
- я
- — комплексный номер
- оо
- — символ бесконечности
Константы
Чтобы увидеть подробное решение,
поделитесь со всеми своими друзьями-студентами:
Дифференциальные уравнения
Дифференциальные уравнения
Проверка решения дифференциального уравнения
Последние несколько страниц этого курса будут посвящены введению в
дифференциальное уравнение.
Дифференциальное уравнение представляет собой уравнение (вы увидите знак «=»), имеющее
производные. Некоторые примеры:
д’ + 3xy = sin x и x 2 y» + 3xy’ + 4y = 0
Они возникают, когда мы знаем о взаимосвязи между тем, как что-то меняется, сколько этого чего-то есть, и как долго этот процесс продолжается. В алгебре, когда нам говорят решить, это означает получить «у». сам по себе в левой части и без членов «y» на правая сторона. Если y = f(x) является решение дифференциального уравнения, то если мы подставим «y» в уравнение, мы получаем истинное утверждение. Часто для подключения нам нужно сначала возьмем производные.
Пример
Убедитесь, что
г = е 3x
является решением дифференциального уравнения
г» + 2г’ — 15г = 0
Раствор
Вычислим первые две производные.
г’ = 3e 3x y» = 9e 3x
Теперь подставьте y, y’,
и y» в дифференциальное уравнение.
9e 3x + 2(3e 3x ) — 15(e 3x ) = e 3x (9 + 6 — 15)
= e 3x (0) = 0
Упражнение
Убедитесь, что
г = C 1 e x + C 2 xe x
является решением дифференциального уравнения
г» — 2у’ + у = 0
Особые решения
В предыдущем упражнении мы видели, что общее решение включает константы. На приведенном ниже графике показано решение для нескольких вариантов решений.
Часто нам дают начальное значение или значения, которые помогут нам найти константы.
Пример
В приведенном выше упражнении указано, что
г = С 1 e x + C 2 xe x
является решением дифференциального уравнения
г» — 2y’ + y = 0
Если
y(0) = 2 и у'(0) = 3
найти частное решение
Раствор
Подставим 0 вместо t и установим y равным 2.